19/11/2009. Trigonometria 2 O significado da palavra trigonometria, vem do grego e resulta da...
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19/11/2009
Trigonometria
2
O significado da palavra trigonometria, vem do grego e resulta da conjunção de três palavras:
Tri – três
Gonos – ângulo
Metrein - medir
Trigonometria significa, o estudo das medidas dos triângulos.
4
Algumas aplicações da Trigonometria
5
6
Triângulo retângulo7
Triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°.
catetocateto
hipotenusacateto
catetohipotenusa
A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo;
Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre 180°;
Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma dos outros dois ângulos agudos (menores que 90º) é sempre 90°;
Quando a soma de dois ângulos internos é igual a 90°, dizemos que esses ângulos são complementares.
Teorema de Pitágoras
8
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.
c = 4
b = 3a = 5
252516925
435 222
222
cba
Aplicação do Teorema de Pitágoras9
22:2
23
43
42:1
22222
22
222
222
ddd
hhhh
Relações Trigonométricas num triângulo retângulo12
Seno
13
Exemplo de aplicação:
14
Cosseno
15
Exemplo de aplicação:
16
Tangente
Exemplo de aplicação:
17
Cálculo de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis
Seno, cosseno e tangente de 30° e 60º
adjacente catetooposto cateto
tgα
hipotenusaadjacente cateto
cosα
hipotenusaoposto cateto
senα
18
2
Seno, cosseno e tangente de 45°
adjacente catetooposto cateto
tgα
hipotenusaadjacente cateto
cosα
hipotenusaoposto cateto
senα
19
Construção da Tabela Trigonométrica
20
Relações entre seno, cosseno e tangente21
Ciclo Trigonométrico
31
32ARCOS E ÂNGULOS
33ÂNGULO CENTRAL
Todo ângulo central possui um arco correspondente, e reciprocamente, a todo arco corresponde um ângulo central.
A medida de um arco é entendida como a medida do seu ângulo central. Para medir um arco, usamos o grau ou o radiano.
O comprimento de um arco é a sua medida linear e é expresso em centímetros, metros...
IMPORTANTE
Os arcos AB e A’B’ têm a mesma “abertura”, ou seja, a mesma medida (mesmo ângulo), mas
possuem comprimentos diferentes.
34
MEDIDA DE ARCOS: O GRAU
O grau é definido, dividindo-se uma circunferência em 360 partes iguais. Cada
uma dessas partes, corresponde a um arco de um grau (1°).
Transferidor: usado para
medir ângulos.
35
MEDIDA DE ARCOS: O RADIANO
Observe o arco AB da circunferência, em que o comprimento é igual a medida do
raio:
Dizemos que, a medida do arco AB ou do ângulo central BÔA, é igual a 1 radiano
(1 rad).
Assim, dizemos que um arco AB que possui comprimento igual ao raio da
circunferência, mede 1 radiano.
36
Qual é o comprimento de uma circunferência?
RCR
C
DiâmetrooCompriment
22
141592654,3
(Pi)
Qual é a medida em radianos de um arco de 360°?
)(360ncia circunferêuma de arco domedida rad rad
rad
arco doMedida arco do oCompriment
22
2
12
21
xR
Rx
RxR
x rad
RR
xπR rad R
37
Quantos graus mede um arco de 1 radiano?
rad rad
1802360Portanto, temos que:
35714,3
1801802
360
3602
12360
12º360
,xπ
x
x
πx
rad x radπ
radianos em arco doMedida graus em arco doMedida
38
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
40
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA: Arcos Simétricos
180:IIQ
180:IIIQ
π-αIV
2360:
:IQ2
90
180
23270
2360
41SENO, COSSENO E TANGENTE NA
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Sinal SENO:
= 30°
= 45°
= 60°
90°
120° =135° =
150° =
210° =
225° =
240° =
270°
= 300°= 315°
= 330°
3602
Seno
42
Sinal COSSENO:
= 30°
= 45°
= 60°
90°
120° =135° =
150° =
210° =
225° =
240° =
270°
= 300°= 315°
= 330°
3602Cosseno
43
Sinal TANGENTE:
= 30°
= 45°
= 60°
90°
120° =135° =
150° =
210° =
225° =
240° =
270°
= 300°= 315°
= 330°
3602
Tangente
44
= 30°
= 45°
= 60°
90°
120° =135° =
150° =
210° =
225° =
240° =
270°
= 300°= 315°
= 330°
3602
Tangente
Seno
Cosseno
45
DEMAIS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Secante: o sinal da secante é o mesmo do cosseno x
xcos
1sec
Cossecante: o sinal da cossecante é o mesmo do seno x
xsen
1seccos
Cotangente: o sinal da cotangente é o mesmo da tangente. x
xgxsencoscot