14/Mar/2018 – Aula 8

19/Mar/2018 – Aula 9

9. Colisões 9.1 Elásticas 9.2 Inelásticas 9.3 Em 2D e 3D 9.4 “Explosões”

8. Momento linear 8.1 Definição 8.2 Impulso de uma força 8.3 Centro de massa 8.4 Conservação do momento

1

2

O momento linear de uma partícula é o produto da sua massa pela velocidade:

!p =m !v p⎡⎣ ⎤⎦ =kg m / s

!F∑ =m!a =md

!vdt=d m !v( )dt

=d!pdt

A partir da 2ª lei de Newton, se m for constante:

!F∑ =

d!pdt

8.1 Definição

Momento linear total de um sistema de várias partículas:

!Psist =

!pii∑ = mi

!vii∑

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3

O impulso de uma força é o produto da força pelo intervalo de tempo em que ela atua num objeto:

!I =!F Δt I⎡⎣ ⎤⎦ =kg m / s

A variação do momento linear de uma partícula é igual ao impulso da força resultante:

8.2 Impulso de uma força

!F∑ =

d!pdt

Δ!p =!F Δt

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8.3 Centro de massa

O centro de massa de um sistema é o ponto em que esse sistema fica em equilíbrio quando está suspenso num campo gravítico uniforme.

Para 2 partículas, de massas m1 e m2:

xCM =m1x1+m2x2m1+m2

=m1x1+m2x2

M

yCM =m1y1+m2y2m1+m2

=m1y1+m2y2

M

zCM =m1z1+m2z2m1+m2

=m1z1+m2z2

M

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8.3 Centro de massa

O momento linear total de um sistema é igual ao produto da sua massa (total) pela velocidade do centro de massa:

Como

!Psist =

!pii∑ = mi

!vii∑ =M !vCM

d!Psistdt

=Md!vCMdt

=M !aCM

!Fext∑ =M !aCM

!Fext∑ =

d!Psistdt

!Fext∑ = 0 ⇒

d!Psistdt

= 0 ⇒!Psist = constante

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8.4 Conservação do momento linear

Se o somatório das forças exteriores for nulo, o momento linear do sistema mantém-se inalterado (princípio da conservação do momento linear).

Mesmo na presença de forças exteriores, como a gravidade e a força normal, desde que a sua soma seja nula, o momento linear do sistema é constante.

Aula anterior

7

5.6 Conservação do momento linear Dois blocos, com massas M e 3M, estão sobre uma superfície horizontal e podem deslocar-se sem atrito. Uma mola, de massa desprezável, está ligada a um dos blocos e é comprimida contra o outro. Para que não se afastem, os dois blocos são ligados por uma corda. Num dado momento, queima-se a corda, e verifica-se que o bloco 3M se move para a direita, à velocidade de 2 m/s. Determine: a)  a velocidade do bloco M; b)  a energia potencial elástica armazenada na mola, antes da corda ser queimada, se

M = 0,35 kg.

282 C H A P T E R 9 • Linear Momentum and Collisions

Section 9.1 Linear Momentum and its Conservation1. A 3.00-kg particle has a velocity of (3.00i ! 4.00j) m/s.

(a) Find its x and y components of momentum. (b) Findthe magnitude and direction of its momentum.

2. A 0.100-kg ball is thrown straight up into the air with aninitial speed of 15.0 m/s. Find the momentum of the ball(a) at its maximum height and (b) halfway up to its maxi-mum height.

3. How fast can you set the Earth moving? In particular, whenyou jump straight up as high as you can, what is the orderof magnitude of the maximum recoil speed that you giveto the Earth? Model the Earth as a perfectly solid object.In your solution, state the physical quantities you take asdata and the values you measure or estimate for them.

4. Two blocks of masses M and 3M are placed on a horizon-tal, frictionless surface. A light spring is attached to one

1, 2, 3 = straightforward, intermediate, challenging = full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com = computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

Before

(a)

After

(b)

M

v 2.00 m/s

M 3M

3M

Figure P9.4

17. A skater is standing still on a frictionless ice rink. Herfriend throws a Frisbee straight at her. In which of the fol-lowing cases is the largest momentum transferred to theskater? (a) The skater catches the Frisbee and holds ontoit. (b) The skater catches the Frisbee momentarily, butthen drops it vertically downward. (c) The skater catchesthe Frisbee, holds it momentarily, and throws it back toher friend.

18. In an elastic collision between two particles, does the kineticenergy of each particle change as a result of the collision?

19. Three balls are thrown into the air simultaneously. What isthe acceleration of their center of mass while they are inmotion?

20. A person balances a meter stick in a horizontal position onthe extended index fingers of her right and left hands. Sheslowly brings the two fingers together. The stick remains bal-anced and the two fingers always meet at the 50-cm mark re-gardless of their original positions. (Try it!) Explain.

21. NASA often uses the gravity of a planet to “slingshot” aprobe on its way to a more distant planet. The interactionof the planet and the spacecraft is a collision in which theobjects do not touch. How can the probe have its speed in-creased in this manner?

22. The Moon revolves around the Earth. Model its orbit ascircular. Is the Moon’s linear momentum conserved? Is itskinetic energy conserved?

23. A raw egg dropped to the floor breaks upon impact. How-ever, a raw egg dropped onto a thick foam rubber cushionfrom a height of about 1 m rebounds without breaking.Why is this possible? If you try this experiment, be sure tocatch the egg after its first bounce.

24. Can the center of mass of an object be located at a posi-tion at which there is no mass? If so, give examples.

25. A juggler juggles three balls in a continuous cycle. Any oneball is in contact with his hands for one fifth of the time.Describe the motion of the center of mass of the threeballs. What average force does the juggler exert on oneball while he is touching it?

Does the center of mass of a rocket in free space acceler-ate? Explain. Can the speed of a rocket exceed the exhaustspeed of the fuel? Explain.

27. Early in the twentieth century, Robert Goddard proposedsending a rocket to the moon. Critics objected that in avacuum, such as exists between the Earth and the Moon,the gases emitted by the rocket would have nothing topush against to propel the rocket. According to ScientificAmerican (January 1975), Goddard placed a gun in a vac-uum and fired a blank cartridge from it. (A blank car-tridge contains no bullet and fires only the wadding andthe hot gases produced by the burning gunpowder.)What happened when the gun was fired?

28. Explain how you could use a balloon to demonstrate themechanism responsible for rocket propulsion.

29. On the subject of the following positions, state your ownview and argue to support it. (a) The best theory ofmotion is that force causes acceleration. (b) The truemeasure of a force’s effectiveness is the work it does,and the best theory of motion is that work done onan object changes its energy. (c) The true measure ofa force’s effect is impulse, and the best theory of motionis that impulse injected into an object changes itsmomentum.

26.

a) Δpsist = Δ

pM +Δp3M = 0 = pM ,f −

pM ,i( )+ p3M ,f − p3M ,i( )pM ,f −0( )+ p3M ,f −0( ) = 0

MvM +3Mv3M = 0 ⇒ vM = −6 ⇒vM = −6 ex m/s( )

b)

Ecin i = 0 , Ecin f =12M vM

2 +12

3M( )v3M2Wext = ΔEcin +ΔU = 0 ⇒ ΔEcin = −ΔU

Ui =12k x2 , U f = 0

Ui =12k x2 = 8,4 J

8

9. Colisões

A colisão é uma interação entre dois objetos, que se aproximam um do outro com velocidades e . Este processo decorre num intervalo de tempo muito pequeno, relativamente ao tempo total de observação, pelo que podemos distinguir o movimento das partículas antes e depois dessa interação mútua.

!v1!v2

Como as forças de interação durante a colisão são muito maiores do que qualquer força externa, o momento linear conserva-se sempre.

Δ!pcol = 0

9

9. Colisões

m1!v1+m2

!v2 =m1!u1+m2

!u2

Se as duas partículas tiverem velocidades antes da colisão e depois, e se se separarem depois da colisão:

!ui!vi

A velocidade do centro de massa das duas partículas mantém-se constante:

!vCM =m1!v1+m2

!v2m1+m2

=m1!u1+m2

!u2m1+m2

Δ!pcol = 0

Δ!vCMcol

= 0

10

9.1 Colisões elásticas

m1v12

2+m2v2

2

2=m1u1

2

2+m2u2

2

2

Uma colisão diz-se elástica se o trabalho das forças externas for desprezável. Neste caso, a energia cinética total também se conserva:

ΔEcinelástica= 0

Colisão elástica

simulação

11

O comportamento dos objetos na colisão depende da relação entre as suas massas.

9.1 Colisões elásticas

12

m1v12

2+m2v2

2

2=m1u1

2

2+m2u2

2

2

No caso de uma colisão unidimensional, as velocidades só podem ter valores . Neste caso, é possível determinar as velocidades finais a partir das velocidades iniciais e das massas: ±v1,± v 2 ,±u1 e ±u2

m1!v1+m2

!v2 =m1!u1+m2

!u2 m1!v1−!u1( ) =m2

!u2 −!v2( )

m1 v12 −u1

2( ) =m2 u22 − v22( )Dividindo as 2 últimas equações:

!v1+!u1 =!u2 +!v2

!u1 = 2m1!v1+m2

!v2m1+m2

−!v1 = 2

!vCM −!v1

!u2 = 2m1!v1+m2

!v2m1+m2

−!v2 = 2

!vCM −!v2

9.1 Colisões elásticas

13

Casos particulares: •  com sentidos opostos !v1 e!v2 v2 = 0

u1 = 2m1v1−m2v2m1+m2

− v1

u2 = 2m1v1−m2v2m1+m2

+ v2

u1 =m1−m2m1+m2

v1

u2 =2m1m1+m2

v1

• 

m1 !v1

m2!v2m1 !v1

m2!v2 = 0

9.1 Colisões elásticas

14

Casos particulares: •  com sentidos opostos

• 

!v1 e!v2

u1 = −v2u2 = v1

u1 = 0u2 = v1

m1 =m2

v2 = 0 • 

•  m1 =m2

m1 !v1m2!v2

m1 !v1m2 !v2 = 0

9.1 Colisões elásticas

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Casos particulares: • 

• 

u1 = v1u2 = 2v1

u1 = −v1u2 = 0

m1 >>m2

v2 = 0 • 

•  m1 <<m2

v2 = 0

9.1 Colisões elásticas

Exemplo Um bloco com 4 kg de massa move-se para a direita, a 6 m/s. Este bloco choca elasticamente com outro, de 2 kg, que também se move para a direita, a 3 m/s. Determine as velocidades finais dos dois blocos.

16

u1 = 2 (4 kg)(6 m/s)+ (2 kg)(3 m/s)(4 kg)+ (2 kg)

− (6 m/s) = 4 m/s

u2 = 2 (4 kg)(6 m/s)+ (2 kg)(3 m/s)(4 kg)+ (2 kg)

− (3 m/s) = 7 m/s

!u1 = 2m1!v1+m2

!v2m1+m2

−!v1 = 2

!vCM −!v1

!u2 = 2m1!v1+m2

!v2m1+m2

−!v2 = 2

!vCM −!v2

Exemplo Um neutrão de massa mn move-se com velocidade vni e choca elasticamente com um núcleo de carbono 12. Este tem massa mC e inicialmente está em repouso. Determine: a)  as velocidades finais do neutrão e do núcleo; b)  a fração f da energia cinética inicial que o neutrão perde.

17

!u1 = 2m1!v1+m2

!v2m1+m2

−!v1 = 2

!vCM −!v1

!u2 = 2m1!v1+m2

!v2m1+m2

−!v2 = 2

!vCM −!v2

a)

un = 2mnvni +mC 0( )mn +mC

− vni =mn −mCmn +mC

vni

uC = 2mnvni +mC 0( )mn +mC

− 0( ) = 2mnmn +mC

vni

Exemplo Um neutrão de massa mn move-se com velocidade vni e choca elasticamente com um núcleo de carbono 12. Este tem massa mC e inicialmente está em repouso. Determine: a)  as velocidades finais do neutrão e do núcleo; b)  a fração f da energia cinética inicial que o neutrão perde.

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b) f =−ΔEcin, nEcin i, n

A energia cinética perdida pelo neutrão = energia cinética adquirida pelo núcleo.

Colisão elástica: ΔEcincol= 0

f =Ecin f , CEcin i, n

=

12mC uC( )2

12mn vni( )2

=mCmn

uCvni

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2

=4mnmC

mn +mC( )2

19

9.2 Colisões inelásticas

m1!v1+m2

!v2 = (m1+m2)!u

Uma colisão diz-se inelástica se se formar um objeto único, com massa , que se move com velocidade . Neste caso, a conservação do momento linear é dada por

m1+m2!u

Note-se que representa a velocidade do centro de massa dos dois objetos, antes da colisão:

!u

u = !vCM =m1!v1+m2

!v2m1+m2

Colisão inelástica

simulação

20

A energia cinética diminui nas colisões inelásticas. Por exemplo, na colisão de duas partículas, em que uma delas está inicialmente em repouso:

Ecin i =12m1v1

2 +0 =pi

2

2m1

Ecin f =12m1+m2( )u2 =

p f2

2 m1+m2( )

Como o momento se conserva e ( pi = p f ) m1+m2 >m1

Ecin i > Ecin f

9.2 Colisões inelásticas

Exemplo Um projétil de massa m e velocidade v0 choca inelasticamente com uma massa M. Esta está em repouso e suspensa por uma barra sem massa. Depois da colisão, os dois objetos ficam juntos e descrevem uma trajetória circular. Determine a altura h que conseguem atingir.

21

h =u2

2g=

mm+M⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2 v02

2g

A conservação da energia implica que a cinética logo após a colisão seja igual à energia potencial no ponto mais alto:

Colisão inelástica:

E = 12m+M( )u2 = m+M( )g h

Δ!pcol = 0

m!v0 +M 0( ) = (m+M )!u

u =mv0m+M

u

u f = 0

v0 =m+Mm

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ 2g h

22

9.3 Colisões em 2D e 3D

O momento linear num plano ou no espaço tridimensional tem que ser considerado vetorialmente (ou separado nas suas componentes segundo cada eixo).

Colisão oblíqua

simulação

23

Exemplo: dois carros aproximam-se do mesmo cruzamento. Um tem massa m1 = 950 kg, velocidade v1= 16 m/s e vem de oeste. O outro tem massa m2 = 1300 kg, velocidade v2 = 21 m/s e vem de sul. Os carros chocam e ficam juntos. Qual é a direção θ e a velocidade dos dois carros logo após a colisão?

x : m1v1 = (m1+m2)ucosθy : m2v2 = (m1+m2)usenθ

m2v2m1v1

=(m1+m2)usenθ(m1+m2)ucosθ

=senθcosθ

= tgθ

θ = arctgm2v2m1v1

= arctg (1300kg)(21m/s)(950kg)(16m/s)

= 61°

u =m1v1

(m1+m2)cosθ=

(950 kg)(16 m/s)(950 kg)+ (1300 kg)⎡⎣ ⎤⎦cos61°

=14 m/s

9.3 Colisões em 2D e 3D

Numa explosão, as partículas de um sistema afastam-se umas das outras, após uma interação que dura um pequeno intervalo de tempo. Como as forças explosivas são forças internas, se o sistema for isolado, o momento linear total conserva-se durante a explosão. Logo, o momento linear resultante (ou seja, a soma dos momentos dos fragmentos) é igual ao momento linear inicial.

9.4 “Explosões”

24

Exemplo: decaimento radioativo. O núcleo de 238U é radioativo, pelo que, espontaneamente, se pode transformar em dois outros núcleos. Admita que um deles, de massa mais pequena, tem a velocidade de 1,50 x 107 m/s, e o outro, com massa maior, tem a velocidade de 2,56 x 105 m/s. A massa do núcleo inicial é M(238U) = 238 u, em que u = 1,66 x 10-27 kg é a chamada unidade de massa atómica. Quais são as massas dos dois fragmentos?

9.4 “Explosões”

234Th α

⇒ m1v1 f +m2v2 f( )−0 = 0Δ!pcol = 0

m1+m2 = 238u

m1 =v2 f

v2 f − v1 f238u

m1 =(1,50 × 107 m/s)

(1,50×107)− (−2,56×105)⎡⎣⎢

⎤⎦⎥m/s

238 u

= 234 u25

m2 = 238u −m1 = 4u

Quando há forças exteriores a atuarem sobre um sistema de partículas, o centro de massa do sistema move-se como se toda a massa estivesse aí concentrada.

9.4 “Explosões”

26

Exemplo: um projétil é disparado fazendo um ângulo q com a horizontal e pretende-se que atinja o chão a 55 m do ponto de disparo. No entanto, exatamente no ponto em que a sua altura é máxima, explode e separa-se em dois fragmentos, com massas iguais. Imediatamente após a explosão, a velocidade de um dos fragmentos é, momentaneamente, igual a zero, pelo que cai na vertical. Onde é que o outro fragmento aterra?

9.4 “Explosões”

xCM =mx1+mx2m+m

27

x2 = 2xCM − x1 = 2R−R2=32R

Rx2 =32

(55 m) = 82,5 m