1ª Aula Advecção - Difusão

Objectivos deste capítulo e Método dos volumes finitos.

Objectivos

• Este capítulo tem como objectivos apresentar métodos de resolução da equação de Advecção – Difusão e fazer uma aplicação num sistema unidimensional.

• Este capítulo dá continuidade ao problema de difusão resolvido em Mecânica dos Fluidos Ambiental. Usa o mesmo código desenvolvido em VBA, adicionando o transporte pela velocidade e juntando alguma complexidade às condições de fronteira num problema com superfície livre.

• O trabalho desenvolvido dá suporte teórico para Modelação Ambiental.

Programa deste capítulo• Revisão do método do volume finito para quantificação do princípio

de conservação “a taxa de acumulação é igual ao que entra, menos o que sai, mais o que se produz menos o que se consome”.

• Particularidade da advecção por necessitar dos valores sobre as faces do volume finito. Método upwind e método do valor médio (diferenças centrais). Outros métodos de resolução.

• A questão do tempo: métodos explícitos, implícitos e Crank-Nicholson (semi-implícitos).

• A questão da difusão numérica e da estabilidade. Relação entre as propriedades dos métodos numéricos e os princípios físicos. Nº de Courant e nº de Difusão.

• Dedução das equações algébricas a partir das equações diferenciais e das séries de Taylor. Erro de truncatura e precisão do método.

Processos• Taxa de acumulação:

• Fluxos:– Advectivo:

– Difusivo:

– Porquê o sinal “-” antes dos integrais?

vol

volcdt

ulaçãoTaxadeAcum

dAnucA

.

dAncA

.

Localização das variáveis no volume de controlo: Fluxos advectivo e

difusivo através das faces

tx

tx

ttx

ttx VolcVolc t

xxt

xxttxx

ttxx VolcVolc

t

xxt

xxttxx

ttxx VolcVolc

* 2/*

2/ xxxx cQucdA ***

*2/

dA

x

cc xxxxx

* 2/*

2/. xxxxAcQucdAdAnuc

***

*2/.

dA

x

ccdAnc xxx

xx

A

Aplicando o princípio de conservação

x

ccAQc

x

ccAQc

t

VolcVolc

xxxxxxx

xxxxxxx

tx

tx

ttx

ttx

2/2/

2/2/

A taxa de acumulação é igual ao que entra menos o que sai, mais o que se produz menos o que se destrói. Se não existir produção nem destruição, fica só:

Hipótese Upwind para a concentração na face

0:

0:

0:

0:

*2/

**2/

*2/

**2/

*2/

**2/

*2/

**2/

xxxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxx

usecc

usecc

usecc

usecc

x

ccA

x

ccACQCQtVolcVolc xxx

xxxxx

xxxxxxxxxtx

tx

ttx

ttx 2/2/2/2//

• No caso de velocidade positiva (escoamento para a direita):

Teste em problema unidimensional com volume constante e caudal uniforme

Ci

Ci-1

Ci+1

2

111 2

x

ccc

x

ccu

t

cc ti

ti

ti

ti

ti

ti

tti

x

ccA

x

ccACQCQtVolcVolc xxx

xxxxx

xxxxxxxxxtx

tx

ttx

ttx 2/2/2/2//

Se o volume for constante e o caudal e a difusividade forem uniformes fica, em upwind explícito:

Rearranging the equation

• Using 3 vectors to store the coefficients that relate the new (at t+dt) with values at time t in the point and in the neighbouring points one can write:

ti

ti

ti

tti c

x

tc

x

t

x

tuc

x

t

x

tuc 12212

21

ti

tii

ti

tti xxi

CfCeCdc

11

iii fde

Explicit, Upwind, Cr = 1, Dif=0

i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3

0 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0 12 0 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0 13 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 04 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 0

Time stepGrid point number Total

amount

In this table each line representa a time instant (the first is the initial solution) and each column displays the solution in one point. The right column is the addition of the solution along one line (i.e is the total mass).

ti

ti

ti

tti c

x

tc

x

t

x

tuc

x

t

x

tuc 12212

21

Cr=(Espaço percorrido num intervalo de tempo)/(passo espacial)

Cr=1, implica uma célula por passo => a solução é exacta

Explícito, Upwind, Cr= 0.5, Dif=0

i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3

0 0 0 0 1 0 0 0 1.001 0 0.00 0.00 0.50 0.50 0.00 0 1.002 0 0.00 0.00 0.25 0.50 0.25 0 1.003 0 0.00 0.00 0.13 0.38 0.38 0 0.884 0 0.00 0.00 0.06 0.25 0.38 0 0.695 0 0.00 0.00 0.03 0.16 0.31 0 0.506 0 0.00 0.00 0.02 0.09 0.23 0 0.347 0 0.00 0.00 0.01 0.05 0.16 0 0.238 0 0.00 0.00 0.00 0.03 0.11 0 0.149 0 0.00 0.00 0.00 0.02 0.07 0 0.09

10 0 0.00 0.00 0.00 0.01 0.04 0 0.05

Time stepGrid point number Total

amount

ti

ti

ti

tti c

x

tc

x

t

x

tuc

x

t

x

tuc 12212

21

A mancha espalha-se e por isso temos difusão numérica. Porque será? É porque violámos a definição de concentração. Como se resolve? Com uma malha mais fina

Como aconteceu?

t0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

t0+Δt 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0

t0+2Δt 0 0 0.25 0.5 0.25 0 0 0 0

t0+3Δt 0 0 0.125 0.375 0.375 0.125

O modelo é estável: os erros que aparecem diminuem no tempo.

O modelo tem difusão numérica: a concentração vai baixando apesar de a difusão física ser nula.

Explícito, Upwind, Cr=2

t0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

t0+Δt 0 0 -1 2 0 0 0 0 0

t0+2Δt 0 0 +1 -4 4 0 0 0 0

t0+3Δt 0 0 -1 10 -16 8

ti

ti

ti

tti c

x

tc

x

t

x

tuc

x

t

x

tuc 12212

21

Temos um modelo instável: os erros aparecem e crescem. Porquê? Num modelo explícito Cr≤1. Os coeficientes têm que ser positivos.

As instabilidades são consequências da violação de princípios físicos

• Quando as propriedades aumentam num instante, nos instantes seguintes também só podem aumentar.

• Quando Cr>1 o coeficiente de Ci fica negativo. • Neste caso, durante um intervalo de tempo o

volume que sai de uma célula é maior do que o que lá estava no início (Usando volumes finitos é fácil ver que isso é a causa do problema).

• (ver Patankar, Fluid Flow)

Condição de estabilidade

Condição de estabilidade:

0212

x

t

x

tu

ti

ti

ti

tti c

x

tc

x

t

x

tuc

x

t

x

tuc 12212

21

2ª Aula Advecção - Difusão

Diferenças Centrais. Método implícito. Método QUICK

Outra opção: Valores médios nas faces =>Diferenças Centrais

*

*2/

**

2/

2

2

xxxxx

xxxxx

ccc

ccc

***2/

*2/

222

x

cc

x

cc

x

cc

x

cc xxxxxxxxxxxxxx

Diferenças Centrais Explícitas

ttttti

xxxxx

xxxxxxxxx

tx

ttx

iiiC

x

t

x

tuC

x

tC

x

t

x

tuc

x

ccA

x

ccACCAuxAcc

11 222

2/2/

21

ti

tii

ti

tti xxi

CfCeCdc

11

iii fde

A equação continua a poder ser escrita na forma:

1D explicit central differences Courant=1

i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3

0 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0.00 -0.50 1.00 0.50 0.00 0 12 0 0.25 -1.00 0.50 1.00 0.25 0 13 0 0.75 -1.13 -0.50 1.13 0.75 0 14 0 1.31 -0.50 -1.63 0.50 1.31 0 15 0 1.56 0.97 -2.13 -0.97 1.56 0 16 0 1.08 2.81 -1.16 -2.81 1.08 0 17 0 -0.33 3.93 1.66 -3.93 -0.33 0 18 0 -2.29 2.94 5.59 -2.94 -2.29 0 19 0 -3.76 -1.00 8.52 1.00 -3.76 0 1

10 0 -3.26 -7.14 7.52 7.14 -3.26 0 111 0 0.31 -12.54 0.38 12.54 0.31 0 1

Total amount

Grid point numberTime step

Modelo Instável. Porquê? Há um dos coeficientes que é sempre negativo.Propriedade transportiva violada. Como se resolve?

ti

ti

ti

tti c

x

t

x

tuc

x

tc

x

t

x

tuc 12212 2

21

2

Porque é instável?

• Por advecção (ou por difusão) quando as propriedades aumentam num ponto, nos pontos vizinhos só podem aumentar também.

• Isso implica que os coeficientes que multiplicam as concentrações nos pontos vizinhos têm que ser positivos.

• Só adicionando difusão é que isso pode acontecer….

Condição de estabilidade para diferenças centrais explícitas

Porque é que adicionando difusão o método fica estável?

Porque é que excesso de difusão torna o modelo instável?

Interpretação das diferenças centrais

• Porque é que as diferenças centrais são instáveis sem difusão? – Resp: Violam a propriedade transportiva. Um ponto fica

a saber o que está abaixo através da advecção, o que é fisicamente impossível.

• Porque é que a difusão pode estabilizar as diferenças centrais?– Resp: Porque a difusão transporta a informação para

montante. No caso de a difusão ser importante a advecção transporta efectivamente para jusante coisas que foram transportadas para montante pela difusão.

Continuação• Poderão as diferenças centrais explícitas ser usadas quando a advecção é

dominante?– Resp: Não. Nesse caso difusão transporta para montante muito menos do que a

advecção transporta para jusante (Reynolds da malha) • Se a difusão for dominante é preferível usar diferenças centrais ou upwind?

– Se a difusão for dominante as diferenças centrais são vantajosas porque têm precisão de 2ª ordem e por isso introduzem menos difusão numéricas

• E se o algoritmo fosse implícito? Seria o algoritmo mais estável?– Resp: Sim. Nesse caso a solução seria função dos valores das variáveis no passo de

tempo seguinte. Se a advecção tende a criar concentrações negativas, a difusão aumenta automaticamente para porque o gradiente de concentração aumenta.

• E se o método fosse upwind? – Resp: nesse caso as concentração não pode ficar negativa. Em upwind a

concentração fica negativa se retirarmos de uma célula mais do que lá existe para sair. Mas como em implícito o que sai é função da nova concentração, se ela ficasse negativa isso significaria que sairia uma quantidade negativa e por isso a concentração cresceria…..

Outros métodos para a advecção• Upwind: Passa numa face o que está a montante.• Diferenças centrais: Passa numa face a média do que está dos

dois lados. • E se ajustássemos um polinómio de 2ª ordem a 3 pontos?

Obteríamos o método QUICK: (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics):

• Tem precisão de terceira ordem. Tem mais problemas de estabilidade (em situações particulares, nomeadamente junto às fronteiras.

• Afinal qual é o melhor método?

18

118

386

281

83

186

21

21

0

0

iiiii

iiiii

CCCCQ

CCCCQ

3ª Aula Advecção - Difusão

Cálculo Implícito

Método implícito

tttxx

ttx

tt

tt

xxxxxtt

xxxtx

ttx

tt

xxxxx

tt

xxxxx

ttxxx

tx

ttx

xxxcc

x

tc

x

t

x

tuc

x

t

x

tu

x

ccc

x

CCu

t

cc

x

ccA

x

ccACCAuxAcc

222

2

2/2/

21

2

ti

tti

ttii

tti CCfCeCd

ii

111

itt

itt

iitt

i TICfCeCdii

11

1

iii fde

In this case the Independent Term is just the concentration at time t.

Porque serão os métodos implícitos incondicionalmente estáveis?

• UPWIND– No método explícito o que sai de uma célula é o que lá está

em “t”. No método implícito o que sai é o que lá vai estar em “t+dt”.

– No método explícito, quando se retira de uma célula mais do que lá está para sair, a concentração fica negativa.

– No método implícito não pode ficar porque o que sai é função do que lá vai estar e por isso, se a concentração pudesse ficar negativa, sairia uma quantidade negativa e por isso a concentração iria aumentar e não diminuir. Isto mostra que é impossível ficar com concentrações negativas em upwind.

– E em diferenças centrais?

Porque são as diferenças centrais implícitas mais estáveis que as explícitas?

• No caso das diferenças centrais, o que entra numa célula é o que está a montante e o que sai é calculado em função do que está a jusante ( em explícito viola a propriedade transportiva da advecção).

• Em explícito, sem difusão a solução é instável (viola a propriedade transportiva). Em implícito, o que sai de uma célula é o que vai estar a jusante e o que entra é o que vai estar a montante. Se a concentração a montante de uma célula for nula, nessa zona ela vai ter que ficar negativa. No entanto, o valor negativo a montante vai entrar na célula de jusante e vai fazê-lo baixar, o que implica que vai ser removido menos material de montante e por isso que a concentração vai ser menos negativa.

Diferença entre métodos explícitos e implícitos

t

c

t1 t1+Δt

Método Explícito

Método implícito

Têm erros da mesma ordem de grandeza. Se um é por excesso o outro é por defeito. O método ideal é a média dos dois.

Método Semi-implícito (Crank – Nicholson)

ti

tii

ti

tti

ttii

tti iiii

CfCeCdCfCeCd1111 2

1

2

11

2

1

2

1

2

11

2

1

ti

tii

ti

tti xxi

CfCeCdc

11

Método explícito:

Método implícito:

ti

tti

ttii

tti CCfCeCd

ii

111

Método Semi-implícito (Crank – Nicholson):

Requer o dobro das contas, mas deve ser mais preciso.

Summary

• The rationale used to obtain the algebraic equations was based on the direct application of the conservation principle to a finite volume, assuming that it is small enough to guarantee that the average value is representative of each point of the volume and that the properties over each face can be assumed as uniforms and also that the time step is small enough to assume that its value does not change over the time step.

• Could we get the same result starting from the differential equations?

3ª Aula Advecção - Difusão

Séries de Taylor para obtenção das equações algébricas.

Formas da equação

)( kkjjj

kjk PFx

c

xx

cu

t

c

)( kkj

kjj

k PFx

ccu

xt

c

Escrevendo na forma da divergência dos fluxos:

Onde o 1º termos do 2º membro é o simétrico da divergência dos fluxos, i.e. o que entra menos o que sai.

)( kkjjj

kj

kk PFx

c

xx

cu

t

c

dt

dc

Ou na forma convencional:

Séries de Taylor

• Estão na base do método das diferenças finitas, que são da mesma família dos Volumes Finitos.

• Os Elementos Finitos/Elementos de fronteira são a segunda principal família de métodos numéricos.

t

i

n

nnt

i

t

i

t

i

ti

tti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

O que representa a série de Taylor?t

i

n

nnt

i

t

i

t

i

ti

tti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

t1 t1+Δt

Δt

Δc

Outras derivadas Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt

t

c

Como usar para calcular as derivadas?t

i

n

nnt

i

t

i

t

i

ti

tti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

)(

)( 2

tt

cc

t

c

tt

ctcc

ti

tti

t

i

t

i

ti

tti

Método Explícito: A derivada é calculada à esquerda “em t” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por )( t

O erro ser proporcional a significa que “o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta.

A derivada ser calculada à esquerda significa “à esquerda do intervalo de tempo”, i.e. em “t” e por isso o método é explícito. Todas as derivadas (i.e. todos os termos da equação) são calculados em “t”.

)( t

Mas poderia ter feito calculado a derivada à direita do intervalo de tempo

tt

i

n

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

ti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

!

....!3!2 3

33

2

22

)(

)( 2

tt

cc

t

c

tt

ctcc

ti

tti

tt

i

tt

i

tti

ti

Método Implícito: A derivada é calculada à direita “em t+dt” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, todas as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por )( tIsto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta. Os métodos implícitos e explícitos têm a mesma precisão.

Para calcular a derivada no centro do intervalo teria que calcular os valores nos extremos a partir daquele

2/2/

3

332/

2

222/2/

!

2/....

!3

2/

!2

2/2/

tt

i

n

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

tti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

Subtraindo uma da outra:

2/2/

3

332/

2

222/2/

!

2/....

!3

2/

!2

2/2/

tt

i

n

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

ti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

22/

32/

2/

2/

tt

cc

t

c

tt

ctcc

ti

tti

tt

i

tt

i

ti

tti

Neste método a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo e tem precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica. As derivadas ignoradas estão multiplicadas por 22/t

O que representa a série de Taylor?t

i

n

nnt

i

t

i

t

i

ti

tti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

t

c

t1 t1+Δt

Δt

Δc

Outras derivadas

1ª Derivada: Δc/ Δt

Método ImplícitoMétodo Explícito

Método Diferenças Centrais

Derivadas espaciaist

i

n

nnt

i

t

i

t

i

ti

txi x

c

n

x

x

cx

x

cx

x

cxcc

!....

!3!2 3

33

2

22

)(

)( 2

xx

cc

x

c

xt

cxcc

ti

txi

t

i

t

i

ti

txi

Derivada à direita, Método downwind, se velocidade positiva

Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à direita.

Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.

Derivadas espaciais

Derivada à esquerda: “Método upwind” se velocidade positiva e downwind se fosse negativa.

t

i

n

nnt

i

t

i

t

i

ti

txi x

c

n

x

x

cx

x

cx

x

cxcc

!....

!3!2 3

33

2

22

)(

)( 2

xx

cc

x

c

xt

cxcc

txi

ti

t

i

t

i

ti

txi

Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à esquerda. Este método respeita a propriedade transportiva da velocidade se esta for positiva, mas não se for negativa. Nesse caso a derivada deveria ser calculada “à direita”.

Subtraindo uma equação da outra

)(2

)(2

2

3

xx

cc

x

c

xt

cxcc

txi

txi

t

i

t

i

txi

txi

Diferenças Centrais

t

i

n

nnt

i

t

i

t

i

ti

txi x

c

n

x

x

cx

x

cx

x

cxcc

!....

!3!2 3

33

2

22

t

i

n

nnt

i

t

i

t

i

ti

txi x

c

n

x

x

cx

x

cx

x

cxcc

!....

!3!2 3

33

2

22

2ª Derivada**

3

33*

2

22***

!....

!3!2i

n

nn

iiiixi x

c

n

x

x

cx

x

cx

x

cxcc

**

3

33*

2

22***

!....

!3!2i

n

nn

iiiixi x

c

n

x

x

cx

x

cx

x

cxcc

)(2

)(2

22

****

2

2

4

*

2

22***

xx

ccc

x

c

xt

cxccc

xiixi

i

i

ixixi

Adicionando:

4ª Aula Advecção - Difusão

Equações algébricas. Erro de truncatura, condições iniciais e

condições de fronteira.

Sumário da aula anterior• Na última aula vimos como obter equações algébricas a partir das equações

diferenciais, usando séries de Taylor.• Vimos que poderíamos obter facilmente discretizações com precisão de primeira ou

de segunda ordem no tempo e/ou no espaço e vimos o que queria dizer o erro de truncatura.

• Combinando este conhecimento com o que obtivemos quando analisamos o problema com o método dos volumes finitos concluímos que nem sempre o menor erro de truncatura significa menor erro dos resultados.

• Para se obterem bons resultados é necessário garantir o respeito pelos princípios físicos, nomeadamente:

– Conceito de Concentração, que tem que ser mais ou menos uniforme no interior da célula,– A transportividade da advecção,– Que uma célula não é despejada numa iteração (Cr ≤ 1).

• Os métodos implícitos respeitam os processos físicos de forma semelhante aos explícitos e são mais estáveis. OS métodos semi-implícitos são mais estáveis e têm maior precisão que os explícitos.

Equações Algébricas• Obtêm-se substituindo as derivadas pelas

aproximações:

• Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no espaço e 1ª no tempo.

• Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço.

22

2 2

2x

x

cccx

x

ccut

t

cc txx

tx

txx

txx

txx

txx

tt

22

2/2/2/2

2/2/2 2

2x

x

cccx

x

ccut

t

cc ttxx

ttx

ttxx

ttxx

ttxx

txx

tt

O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?

Como se obtém o valor em (t+Δt/2) ?Fazendo a média…..

• Adicionando as equações!

2/2/

3

332/

2

222/2/

!

2/....

!3

2/

!2

2/2/

tt

i

n

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

tti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

2/2/

3

332/

2

222/2/

!

2/....

!3

2/

!2

2/2/

tt

i

n

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

ti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

22/

2/

2

222/

2/2

.....2/2

tcc

c

t

ctccc

tti

titt

i

tt

i

tti

ti

tti

• Substituindo estes termos nas equações obtém-se a equação a resolver.

Explícito Upwind

• Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção. Segunda ordem para difusão.

• Esta equação pode ser organizada na forma:

22

2 2x

x

cccx

x

ccut

t

cc txx

tx

txx

txx

tx

tx

ttx

)(1 11 PFcfcecdc tii

tii

tii

tti

ti

ti

ti

tti c

x

tc

x

t

x

tuc

x

t

x

tuc 12212

21

Forma geral da Equação )(11111 1111 PFcfkcekcdkckfckeckd t

iitii

tii

ttii

ttii

ttii

Explicito, upwind:

x

tuCr

2

ºx

tDifN

Números de Courant e de Difusão

ti

ti

ti

tti c

x

tc

x

t

x

tuc

x

t

x

tuc 12212

21

K=1=> implícito. K=0 => Explicito, k=0.5=> Crank-Nicholson:

Sobre a precisão do cálculo• No cálculo implícito e no cálculo explícito as derivadas são calculadas

nos extremos do intervalo de tempo. Estes métodos ignoram todas as derivadas a partir da primeira: têm precisão de primeira ordem ou “até à primeira ordem”.

• Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por• Quando a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo as

derivadas só são ignoradas a partir da segunda. São métodos com precisão de 2ª ordem, ou “até à 2ª ordem”. Se a função for uma recta ou uma parábola o cálculo da derivada é exacto.

• Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por• Mas >1 então quanto maior é a ordem de precisão do

cálculo, maior é o coeficiente dos termos ignorados. Porque é que a precisão do cálculo aumenta?

)( t

22/t)( t

Porque aumenta a precisão com o expoente de ?)( t

2/1

!

2/tt

in

nn

t

c

n

t

Porque os termos ignorados são da forma:

O cálculo da derivada faz aparecer em denominador o intervalo de tempo elevado n e o coeficiente está elevado a (n-1) e por isso o produto é proporcional a ou seja à primeira derivada multiplicada pelo inverso do factorial de n e por isso quanto maior é o valor do expoente do intervalo de tempo, menor é o valor dos temos desprezados.

Esta conclusão é consistente como facto de as derivadas perderem importância à medida que a ordem aumenta.

)/()( tc

Condições Iniciais e de Fronteira

• Iniciais podem ser importantes ou não• Fronteira idem. Como se impõem?

Ci

Ci-1

Ci+1

ti

tti

ttii

tti CCfCeCd

ii

111

Condições de fronteira

• Difusão:– Requer o cálculo dos fluxos nas células de fronteira e por isso

requer a concentração no exterior em ambas as fronteiras. Se não for conhecida a melhor solução é normalmente gradiente nulo.

• Advecção– Quando o escoamento entra no domínio transporta as

propriedades do exterior. As propriedades têm que ser conhecidas no exterior. Se não forem conhecidas, a simulação só pode fazer sentido se as fontes e os poços ou os fluxos através do fundo e/ou da superfície livre dominarem a solução.

Transporte de calor

• No caso do calor os fluxos através do fundo são normalmente pouco importantes.

• Pelo contrário os fluxos através da superfície livre são essenciais (radiação, calor sensível e calor latente.

5ª Aula Advecção - Difusão

Condições de fronteira na interface com a atmosfera.

Condições de fronteira: Fronteiras abertas

• Num canal as fronteiras de entrada e de saída do escoamento (fronteiras abertas) requerem duas condições de fronteira por via da difusão e da advecção no caso de o escoamento estar a entrar.

• A difusão envolve uma segunda derivada e por isso precisa de duas condições de fronteira (uma na entrada e outra na saída).

• A advecção envolve uma primeira derivada e por isso requer uma condição de fronteira: valor da propriedade à entrada (ou fluxo advectivo à entrada, pois estão relacionados pelo caudal).

Condições de Fronteira: Fronteiras sólidas

• Nas fronteiras sólidas só pode haver fluxos difusivos, que dependem da propriedade que se está a estudar.

• No caso de sedimentos poderíamos ter erosão e deposição (este último processo envolve a velocidade de queda dos sedimentos).

• No caso do calor o fluxo difusivo através da fronteira sólida é igual ao fluxo que se propaga através do solo. Admitindo que esse fluxo é baixo, então poderemos admitir que os fluxos através das paredes sólidas são desprezáveis.

Condições de fronteira: fluxos através da superfície livre

• Os fluxos através da superfície livre dependem também da propriedade que estamos a considerar.

• No caso de gases e de vapores dependem das pressões parciais na atmosfera e na água. Na grande maioria das propriedades são nulos, mas no caso do calor são determinantes.

• Poderemos ter fluxos de calor latente, sensível e fluxos de calor por radiação directa do sol, difusa da atmosfera e ainda radiação da água para a atmosfera.

Fluxo de calor latente

• Depende da temperatura da água e da humidade relativa do ar. No modelo MOHID é calculado como:

Fluxo e calor sensível

Fluxo de calor por radiação

• Ver: • Brock, T. D. (1981) - Calculating solar radiation

for ecological studies. Ecological Modelling.