1ª Aula de Econometria

Disciplina: ECONOMETRIAProf.: Dr. Jean dos Santos Nascimento

ECONOMETRIA

1ª Parte

ECONOMETRIA

• Introdução

– Ela se ocupa da determinação empírica das leis econômicas;

– A Econometria é a ciência social em que as ferramentas da teoria econômica, da matemática e da inferência estatística são aplicadas à análise dos fenômenos econômicos;

– Seu método é a junção entre a “Teoria Economia”, a Matemática, a Estatística e a Informática.

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• Método Econométrico

– A Matemática ajuda a expressar a teoria em termos de equações, sem se preocupar se elas podem ser medidas ou verificadas empiricamente;

– A Economia declara ou faz hipóteses de natureza qualitativa, ou seja, ela teoriza;

– A Estatística contribui no processo de transformação do modelo matemático em econométrico ao introduzir aspectos testáveis e os meios de coleta e organização das informações;

– Cabe à Informática fornecer ferramentas que facilitam os cálculos necessários.

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Especificação Matemática (determinística): Função ConsumoC=f(Y) ou C=Co+cY, sendo c=PMgC e 0 ≤ c ≤ 1.

– Exemplo: Lei Psicológica Fundamental de KeynesTeoria: Segundo Keynes, “... os homens estão dispostos, como regra e em média, a aumentar seu consumo quando sua renda aumenta, mas não em proporção igual ao aumento da renda”.

Especificação Econométrica (ESTOCÁSTICA): Função Consumo C=Co+cX+u, em que u é o termo de erro, sendo ele estocástico.

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Dizer que uma variável é estocástica é o mesmo que dizer que ela possui uma distribuição de probabilidade para seus valores presentes num determinado intervalo. Ou seja, não se pode prever seus resultados a priori.Assim, dizer que uma variável é estocástica é mesmo que chamá-la de:Probabilística

Eventual Aleatória

Randômica Fortuita

Incerta Casual

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• Método EconométricoTeste de Hipóteses (inferência estatística)A estimativa de está de acordo com a teoria de Keynes, mas isso não é suficiente. É preciso testar a hipótese de que esse valor realmente se encontra no intervalo [0,1], ou seja, é necessário verificar se ele é estatisticamente significativo.

Uso de pacotes estatísticosDisponibilidade de programas computacionaisStata, Eviews, Gretl etc.

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Estatística: Obtenção dos dados; Meios de estimação dos parâmetros Co e c:

Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), Máxima Verossimilhança (MV) etc;

Estimação dos parâmetros: os parâmetros são estimados a partir de seus ESTIMADORES. O resultado numérico se chama ESTIMATIVA. Neste caso, e . Assim:

ECONOMETRIA• Terminologias básicas

1 - Dado C=Co+cY+u (regressão simples), tem-se:C = variável dependente ou explicada

(aleatória/estocástica);Co = valor da constante (ou intercepto);c = parâmetro populacional (a ser estimado);Y = variável independente ou explicativa (não aleatória);u = termo de erro (aleatória/estocástico)

ECONOMETRIA• Terminologias básicas

2 - Dado C=Co+cY+dW+u (regressão múltipla), tem-se:C = variável dependente ou explicada

(aleatória/estocástica);Co = valor da constante;“c” e “d” = parâmetros populacionais (a serem estimados);Y e W= variáveis independentes ou explicativas (não

aleatória);u = termo de erro (aleatório/estocástico)

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TEORIA/HIPÓTESES/HISTÓRIA

MODELO MATEMÁTICO

MODELO ESTATÍSTICO/ECONOMÉTRICO

DADOSESTIMAÇÃO DOS

PARÂMETROSTESTE DE HIPÓTESE

PROJEÇÃO/PREVISÃO USO

Exemplo de estimação

Ano Y C

1982 4620.30 3081.50

1983 4803.70 3240.60

1984 5140.10 3407.60

1985 5323.50 3566.50

1986 5487.70 3708.70

1987 5649.50 3822.30

1988 5865.20 3972.70

1989 6062.00 4064.60

1990 6136.30 4132.20

1991 6079.40 4105.80

1992 6244.40 4219.80

1993 6389.60 4343.60

1994 6610.70 4486.00

1995 6742.10 4595.30

1996 6928.40 4714.10

Tabela I.1 Despesas de consumo Pessoal (C) e PIB/Renda (Y), 1982-1996 (em bi US$ de 1982)

Fonte: Economic Report of the President, 1998, Table B2, p, 282

4000.00 5000.00 6000.00 7000.003000.00

3500.00

4000.00

4500.00

5000.00

Gráfico - Despesas de consumo Pessoal (C) em relação ao PIB/Renda (Y)

Renda (Y)

Cons

umo

(C)

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• Regressão econométrica

• Galton e a origem do termo regressão

• Interpretação moderna: A análise de regressão se ocupa do estudo da dependência de uma variável em relação à outra(s), [Y=f(X,Z,...)] com vistas a estimar/prever o valor médio de Y dados os valores fixos de X,Z,....

• Gráfico para Y e X.

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• Relações Estatísticas versus Determinísticas Relações Estatísticas:

Modelo econométrico => C=Co+cY+u

Y é fixado, ou seja, é determinado e, logo, não estocástico;

u reúne todas as variáveis que afetam C, mas não está no modelo. Muitas dessas variáveis são estocásticas, então u é estocástico;

Conclusão: C depende de Y (não estocástico) e de u, que é estocástico. Desta forma, C é estocástico porque u é estocástico.

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• Relações Estatísticas versus Determinísticas Relações Determinísticas:

Modelo Gravitacional de Newton – cada partícula do universo atrai todas as outras partículas com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.

Neste caso, k, m1, m2 e d² são dados ou determinados. Logo, são determinísticos ou não-estocásticos. Dessa forma, F é não-estocástico.

ECONOMETRIA• Regressão versus Causação

“Uma relação estatística, por mais forte e sugestiva que seja, nunca pode estabelecer uma conexão causal: nossas idéias de causação devem se originar fora da estatística, em última análise, de alguma teoria”.

• Regressão versus CorrelaçãoUma regressão é uma relação entre uma variável aleatória e

uma ou mais variáveis determinísticas. A regressão visa a medida do valor médio da variável aleatória.

A correlação é uma relação entre duas variáveis aleatórias. Seu índice mede o grau de associação entre estas variáveis.

ECONOMETRIA• Terminologias Diversas k é o número de variáveis explicativas. Assim,

em C=Co+cY+u, k=1;em C=Co+cY+dW+u, k=2. i é a i-ésima observação de um conjunto de dados de corte transversal (cross-section). i=1,2,..., n;

Yki= Y1i= é a i-ésima observação da variável renda.

t é a t-ésima observação de um conjunto de dados de série temporal. t=1,2,...,τ;

Ykt= Y1t= é a t-ésima observação da variável renda.

ECONOMETRIA• Terminologias Diversas

N (ou T) é o número total de observações na população;

n (ou τ) é o número total de observações na amostra.

2ª Parte

ECONOMETRIA

• Exemplo: Seja uma tabela de dados que se referem à renda (X) e às despesas de consumo (Y) correspondentes, ambas medidas em US$, de uma população total de 60 famílias de uma comunidade hipotética. As famílias foram divididas em 10 grupos de renda (de US$ 80 a US$ 260)

• Análise de regressão com duas variáveis (X e Y)

ECONOMETRIA• Análise de regressão com duas variáveis (X e Y)

Y X 80 100 120 140 160 200 220 240 260

Despesas de consumo semanais

das famílias, Y, em US$

Tabela 2.1 – Renda Familiar Semanal, X, em US$

Fonte: Gujarati.


Y X 80 100 120 140 160 200 220 240 260

55Despesas de 60

consumo 65semanais 70

das famílias, Y, 75em US$ -

-


Fonte: Gujarati.


Y X 80 100 120 140 160 200 220 240 260

55 65Despesas de 60 70

consumo 65 74semanais 70 80

das famílias, Y, 75 85em US$ - 88

- -


Fonte: Gujarati.


Y X 80 100 120 140 160 200 220 240 260

55 65 79 80 102 120 135 137 150Despesas de 60 70 84 93 107 136 137 145 152

consumo 65 74 90 95 110 140 140 155 175semanais 70 80 94 103 116 144 152 165 178

das famílias, Y, 75 85 98 108 118 145 157 175 180em US$ - 88 - 113 125 - 160 189 185

- - - 115 - - 162 - 191


Fonte: Gujarati.


Y X 80 100 120 140 160 200 220 240 260

1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7Despesas de 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7

consumo 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7semanais 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7

das famílias, Y, 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7em US$ - 1/6 - 1/7 1/6 - 1/7 1/6 1/7

- - - 1/7 - - 1/7 - 1/7

Tabela 2.2 – Probabilidade Condicional dos dados da tabela 2.1

Fonte: Gujarati.


Y X 80 100 120 140 160 200 220 240 260

55 65 79 80 102 120 135 137 150Despesas de 60 70 84 93 107 136 137 145 152



- - - 115 - - 162 - 191Total 325 462 445 707 678 685 1043 966 1211

E(Y|X) 65 77 89 101 113 137 149 161 173


Fonte: Gujarati.


Y X 80 100 120 140 160 200 220 240 260

55 65 79 80 102 120 135 137 150Despesas de 60 70 84 93 107 136 137 145 152



- - - 115 - - 162 - 191Total 325 462 445 707 678 685 1043 966 1211

E(Y|X) 65 77 89 101 113 137 149 161 173


Fonte: Gujarati.Veja-se que E(Y|X)≠E(Y)E(Y) é a média de Y (toda a população), sendo igual à E(Y)=121,20;E(Y|X) é a média de Y quando X está fixado num determinado valor.

ECONOMETRIA• Linha de regressão populacional (LRP)

Em geometria, uma curva de regressão populacional é o lugar geométrico das médias condicionais da variável dependente para os valores fixados da(s) variável(is) explicativas;

Gráfico (Gujarati, 31).

ECONOMETRIA• Conceito de função de regressão populacional (FRP)

A função de regressão populacional ou regressão populacional é dado por:E(Y|X)=f(Xi)

Mas, qual é a forma de f(Xi)?

Se você supor que E(Y|X) é linear em Xi, então pode supor que:

E(Y|X)=f(Xi)=a+bXi

ECONOMETRIA• Conceito de função de regressão populacional (FRP)

O termo E(Y|X) é linear em Xi, nesse caso, significa que X está elevado à potência 1, ou seja, X¹.

Por outro lado, a e b desta equação também são ditas lineares (em X), já que ambos os parâmetros estão elevados à potência 1.

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• Especificação estocásticaSe for tomado os valores individuais de Y (ou seja, Yi), pode-se observar que ele não é exatamente igual à E(Y|X), ou seja,

ui=Yi-E(Y|X) Assim, ui representa o erro ou desvio de Yi em relação à sua média condicional. Ele também é chamado de distúrbio estocástico ou termo de erro estocástico.Pode-se ver que,

Yi=E(Y|X)+ui

Então, Yi é composto por uma parte determinística [E(Y|X)] e outra parte aleatória (sistemática), que é o erro ui.

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• Especificação estocástica

Dado Yi=E(Y|X)+ui e sabendo que E(Y|X)=a+bXi, então: Yi=a+bXi+ui

Em que a+bXi+ é o elemento determinístico, ui é o elemento estocástico.

ECONOMETRIA• O problema do termo de erro estocástico, ui

ui representa todas as variáveis omitidas no modelo e que afetam Yi. Estas variáveis não são colocadas no modelo por alguns motivos, dentre os quais:

• Caráter vago da teoria• Falta de dados• Variáveis essenciais x variáveis periféricas • Comportamento humano • Proxy fraca • Princípio da parcimônia• Forma funcional errada

ECONOMETRIA• Função de regressão amostral (FRA)

Exemplo: Despesa de consumo em função da renda: Y=Y(X).Estimação FRP

Estimação FRA – CASO I: (1/12)

ECONOMETRIA• Função de regressão amostral (FRA)

Estimação FRA – CASO I : (1/12)

Estimação FRA – CASO II : (3/14)

ECONOMETRIA• Função de Regressão Amostral (FRA)

Os estimadores e são apenas fórmulas aplicadas em amostras para estimar os valores dos verdadeiros parâmetros populacionais (a e b). Estas fórmulas serão conhecidas posteriormente.

E(Y|X)=Yi=a+bXi.

Viu-se que para a população a regressão é feita por:

Em termos amostrais, a regressão (FRA) é dada por:

De forma que: é o estimador de E(Y|X), é o estimador de a e é o estimador de b;

ECONOMETRIA• Função de Regressão Amostral (FRA)

De modo similar à FRP, a forma estocástica da FRA é:

Em que é o termo residual (na amostra) e é o estimador de ui.

Finalmente, pode-se ver que:

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