UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPEDMA - Departamento de MatematicaDisciplina: Calculo I

Lista - Limites e continuidades; Derivada - 2014.1Prof. Alex Victor

Questao 1. Calcule os limites:

(a) limx→1

(3√x−1√x−1

)(b) limx→3

(3√x− 3√3

x−3

)(c)limx→8

(√2+ 3√x−2

x−8

)(d)limx→1

(4√x−1

5√x−1

)(e)limx→1

(x3−4x+3x5−2x+1

)(f)limx→−2

(x4+2x3−5x2−12x−42x4+7x3+2x2−12x−8

)Questao 2. Calcule os limites:

(a) limx→1

(xm−1xn−1

), onde n,m sao numeros inteiros.

(b) limx→a(xm−amxn−an

), onde n,m sao numeros inteiros.

(c) limx→ax√x−a√a√

x−√a, onde a > 0.

(d) limx→am√x− m√a

n√x− n√a

, onde m,n sao numeros inteiros e se m ou n e par entaoa > 0.

Questao 3. Existe um numero a tal que

limx→−2

(3x2 + ax + a + 3

x2 + ax− 2

)exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.

Questao 4. Seja a funcao f(x) = [[x]] = (o maior numero inteiro que emenor ou igual a x).Considere agora a funcao g(x) = f(x) + f(−x) = [[x]] + [[−x]], mostre quelimx→2g(x) existe mas e diferente de g(2).

Questao 5. Calcule os limites laterais se existir:

(a) limh→0+

(√h2+4h+5−

√5

h

).

(b) limx→−2+((x+3)|x+2|

x+2

).

(c) limx→−2−((x+3)|x+2|

x+2

).

Questao 6. Na Teoria da Relatividade a Formula de Contracao de Lo-rentz,

L = L0

√1− v2

c2

expressa o comprimento L de um objeto como uma funcao de sua veloci-dade v em relacao de um observador, onde L0 e o comprimento do objetono repouso e c e a velocidade da luz. Encontre limv→c−L e interprete oresultado. Porque e necessario o limite a esquerda?

Questao 7. Prove que limx→0+√xesen(

πx ) = 0.

Questao 8. Demonstre que a funcao

f(x) =

{x4sen( 1x), se x 6= 0,

0, se x = 0.

e contınua em (−∞,∞)

Questao 9. Encontre os valores de a e b que tornam f contınua em (−∞,∞)

f(x) =

x2−4x−2 , se x < 2,

ax2 − bx + 3, se 2 ≤ x < 3

2x− a + b, sex ≥ 3

Questao 10. A aceleracao devida a gravidade G varia com a altitude emrelacao a superfıcie terrestre. G e funcao de r (a distancia ate ao centroda terra) e, e dada por:

G(r) =

{gMrR3 , se r < R,gMr2 , se r ≥ R.

, onde R e o raio da Terra, M a massa da Terra e g a constante gravitaci-onal. Verifique se G e contınua.

Questao 11. Encontre as assıntotas verticais e horizontais das funcoesabaixo:

(a) y = 1x−1

(b) y = 2x2+x−1x2−1

(c) y = x+4x+3

(d) y = xx2−1

2

Questao 12. Calcule os seguintes limites:

(a) limx→−∞(13)x

(b) limx→134x5−2x3+2x2x3−x+1

(c) limx→π62senx

(d) limx→0+ ln 2x

Questao 13. Mostre que:

(a) limx→0(1 + 3x)4x = e12

(b) limx→0(1 + 2x)1x = e2

(c) limx→0(1 + 4x7 )

1x = e

47

(d) limx→0(1 + xπ)

1x = e

1π

(e) limx→0(1− x)1x = e−1

Questao 14. Calcule os seguintes limites:

(a) limn→∞(1 + 1n)n+2

(b) limn→∞(1 + 3n)n

(c) limx→∞( x1+x)x

(d) limx→∞(1 + 5x)x+1

(e) limx→π(1 + senx)1

senx

Questao 15. Determine o limite das funcoes trigonometricas, se existirem:

(a) limθ→0(θ

cos θ)

(b) limx→π2

(cosxx−π2

)(c) limx→π( senx−senπx−π )

(d) limt→0sen(3t)

2t

(e) limx→0sen(2x)sen(3x)

(f) limx→0tan2(x)

x

(g) limx→π−sen(t)t−π

Questao 16. Prove que a equacao tem pelo menos uma raiz real

√x− 5 =

1

x + 3.

3

Questao 17. Existe um numero que e exatamente um a mais que seucubo?

Questao 18. Encontre limx→∞f(x) se

4x− 1

x< f(x) <

4x2 + 3x

x2

para todo x > 5.

Questao 19. Seja f(x) = 3√x.

(a) Se a 6= 0, encontre f ′(a)

(b) Mostre que f ′(0) nao existe.

Questao 20. Encontre uma funcao f e um numero a tais que

limh→0(2 + h)6 − 64

h= f ′(a).

Questao 21. Uma funcao f e dita par se f(−x) = f(x) para todo x e ditaımpar se f(−x) = −f(x) para todo x. Use a definicao de derivada paraMostrar que;

(a) A derivada de uma funcao par e um funcao ımpar.

(b) A derivada de uma funcao ımpar e uma funcao par.

Respostas e algumas sugestoes:

Questao 1(a) 2

3

(b) 13 3√9

(c) 148

(d) 54

(e) − 13

(f) 78

Questao 2(a) m

n (b) mn a

m−n (c) 3a (d) n· mn√an−m

m

Questao 3a = 15 e o limite e igual a −1.

4

Questao 4Lembre-se que o limite existe se, e somente se, os limites laterais existeme sao iguais.

Questao 5(a) 2√

5

(b) 1(c) − 1

Questao 6 L = 0.

Questao 7Lembre-se que −1 ≤ senx ≤ 1, para todo x, e use o Teorema do Confronto.

Questao 8Note que a funcao f e contınua para todo x 6= 0 (porque?). Depois analisea continudade em x = 0.

Questao 9a = b = 1

2

Questao 10G e contınua.

Questao 11(a) horizontal: y = 0 vertical: x = 1(b) horizontal: y = 2 vertical: x = 1(c) horizontal: y = 1 vertical: x = −3

Questao 12(a) +∞(b) 6(c)

√2

(d) −∞

Questao 14(a) e(b) e3

(c) e−1

5

(d) e5

(e) e

Questao 15(a) 0(b) 1(c) − 1(d) 3

2

(e) 23

(f) 0(g) − 1

Questao 16Use o Teorema do Valor Intermediario.

Questao 17Comece chamando o numero desconhecido de x, e tente interpretar aquestao como uma equacao envolvendo x.

Questao 18Use o Teorema do Confronto.

Questao 19f ′(a) = 1

3a23, a 6= 0.

Questao 20Compare com a definicao de derivada.

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