Soma de Vetores e Multiplicacao por Escalar 1

Exercıcios Numericos

3.1.1. Determine o ponto C tal que−→AC= 2

−→AB sendo A = (0,−2) e B = (1, 0).

3.1.2. Uma reta no plano tem equacao y = 2x + 1. Determine um vetor paralelo a esta reta.

3.1.3. Determine uma equacao para a reta no plano que e paralela ao vetor V = (2, 3) e passa peloponto P0 = (1, 2).

3.1.4. Determine o vetor X , tal que 3X − 2V = 15(X − U).

3.1.5. Determine o vetor X , tal que

{6X − 2Y = U3X + Y = U + V

3.1.6. Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor V =(3, 0,−3), sabendo-se que sua origem esta no ponto P = (2, 3,−5).

3.1.7. Quais sao as coordenadas do ponto P ′, simetrico do ponto P = (1, 0, 3) em relacao ao ponto

M = (1, 2,−1)? (Sugestao: o ponto P ′ e tal que o vetor−→

MP ′= −−→

MP )

3.1.8. Verifique se os pontos dados a seguir sao colineares, isto e, pertencem a uma mesma reta:

(a) A = (5, 1,−3), B = (0, 3, 4) e C = (0, 3,−5);

(b) A = (−1, 1, 3), B = (4, 2,−3) e C = (14, 4,−15);

3.1.9. Dados os pontos A = (1,−2,−3), B = (−5, 2,−1) e C = (4, 0,−1). Determine o ponto Dtal que A, B, C e D sejam vertices consecutivos de um paralelogramo.

2 Vetores no Plano e no Espaco

3.1.10. Verifique se o vetor U e combinacao linear (soma de multiplos escalares) de V e W :

(a) V = (9,−12,−6),W = (−1, 7, 1) e U = (−4,−6, 2);

(b) V = (5, 4,−3),W = (2, 1, 1) e U = (−3,−4, 1);

3.1.11. Verifique se e um paralelogramo o quadrilatero de vertices (nao necessariamente consecutivos)

(a) A = (4,−1, 1), B = (9,−4, 2), C = (4, 3, 4) e D = (4,−21,−14)

(b) A = (4,−1, 1), B = (9,−4, 2), C = (4, 3, 4) e D = (9, 0, 5)

3.1.12. Quais dos seguintes vetores sao paralelos U = (6,−4,−2), V = (−9, 6, 3), W =(15,−10, 5).

Exercıcios usando o MATLABr (Optativos)>> V=[v1,v2,v3] cria um vetor V, usando as componentes numericas v1, v2, v3. Porexemplo >> V=[1,2,3] cria o vetor V = (1, 2, 3);

>> V+W e a soma de V e W; >> V-W e a diferenca V menos W; >> num*V e o produto do vetor Vpelo escalar num;

>> subs(expr,x,num) substitui x por num na expressao expr;

>> solve(expr) determina a solucao da equacao expr=0;

Comandos graficos do pacote GAAL:

>> desvet(P,V) desenha o vetor V com origem no ponto P e >> desvet(V) desenha o vetorV com origem no ponto O = (0, 0, 0).

Matrizes Vetores e Geometria Analıtica Marco 2006

Soma de Vetores e Multiplicacao por Escalar 3

>> po([P1;P2;...;Pn]) desenha os pontos P1, P2, ..., Pn.>> lineseg(P1,P2,’cor’) desenha o segmento de reta P1P2. >> tex(P,’texto’) co-

loca o texto no ponto P.

>> axiss reescala os eixos com a mesma escala. >> eixos desenha os eixos coordenados.

>> box desenha uma caixa em volta da figura. >> rota faz uma rotacao em torno do eixo z.>> zoom3(fator) amplifica a regiao pelo fator.

3.1.13. Coloque em duas variaveis V e W dois vetores do plano ou do espaco a seu criterio

(a) Use a funcao ilsvw(V,W) para visualizar a soma dos dois vetores.

(b) Coloque em uma variavel a um numero e use a funcao ilav(a,V) para visualizar amultiplicacao do vetor V pelo escalar a.

3.1.14. Use o MATLABr para resolver os Exercıcios Numericos a partir do Exercıcio 1.3.

Exercıcios Teoricos

3.1.15. Demonstre que o segmento que une os pontos medios dos lados nao paralelos de um trapezioe paralelo as bases, e sua medida e a media aritmetica das medidas das bases. (Sugestao:

mostre que−→

MN= 12(−→AB +

−→DC) e depois conclua que

−→MN e um multiplo escalar de

−→AB.

Revise o Exemplo 3.3 na pagina 174)

4 Vetores no Plano e no Espaco

A B

C

M N

D

3.1.16. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. (Sugestao: Sejam M e

N os pontos medios das duas diagonais do paralelogramo. Mostre que o vetor−→

MN= 0, entaoconclua que M = N .)

Soma de Vetores e Multiplicacao por Escalar 5

A B

C

M N

D

6 Vetores no Plano e no Espaco

3.1.17. Considere o triangulo ABC e sejam M o ponto medio de BC, N o ponto medio de AC e P oponto medio de AB. Mostre que as medianas (os segmentos AM , BN e CP ) se cortam nummesmo ponto que divide as medianas na proporcao 2/3 e 1/3. (Sugestao: Sejam G, H e I os

pontos definidos por−→AG= 2

3

−→AM ,

−→BH= 2

3

−→BN e

−→CI= 2

3

−→CP . Mostre que

−→GH= 0,

−→GI= 0,

conclua que G = H = I .)

Soma de Vetores e Multiplicacao por Escalar 7

A

B

C

M

P

NGH

I

3.1.18. Sejam A, B e C pontos quaisquer com A 6= B. Prove que:

(a) Um ponto X pertence a reta determinada por A e B (−→AX= λ

−→AB) se, e somente se,

−→CX= α

−→CA +β

−→CB, com α + β = 1.

8 Vetores no Plano e no Espaco

(b) Um ponto X pertence ao interior do segmento AB (−→AX= λ

−→AB, com 0 < λ < 1) se, e

somente se,

−→CX= α

−→CA +β

−→CB, com α ≥ 0, β ≥ 0 e α + β = 1.

(c) Um ponto X e um ponto interior ao triangulo ABC (−→

A′X= λ−→

A′B′, com 0 < λ < 1,em que A′ e um ponto interior ao segmento AC e B ′ e interior ao segmento CB) se, esomente se,

−→CX= α

−→CA +β

−→CB, com α > 0, β > 0 e α + β < 1.

Soma de Vetores e Multiplicacao por Escalar 187

A

B

C

3.1.19. Mostre que se αV = 0, entao α = 0 ou V = 0.

3.1.20. Se αU = αV , entao U = V ? E se α 6= 0 ?

3.1.21. Se αV = βV , entao α = β ? E se V 6= 0 ?