8/13/2019 1a Prova 2008- Gabarito

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCOCCEN DEPARTAMENTO DE MATEMATICA AREA2

PRIMEIRO EXERCICIO ESCOLAR DE CALCULO 2 - GABARITOPRIMEIRO SEMESTRE DE 2008 (31032008)

Observacao1 Nao e permitido o uso de calculadora.

Observacao2 Os fiscais nao estao autorizados a dar informacoes complementares.

Observacao3 Escreva seu nome e numero de CPF no lugar indicado desta folha.

Observacao4 Respostas sem justificativas nao serao consideradas.

Nome: CPF:

1a Questao Seja f(x, y) = arcsen xx2 +y2

.

a) (0,5 ponto) Determine o domnio de f. Justifique sua resposta.

b) (1,5 pontos) Determine se o limite

lim(x,y)(0,0)

f(x, y)

existe e, em caso afirmativo, encontre o seu valor.

c) (1,0 ponto) Considere a funcao g: R2

R definida por

g(x, y) =

xf(x, y), se (x, y) = (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0).

Mostre que g(x, y) e contnua.

Solucao:

a) Lembre que o arco-seno tem por domnio o intervalo [1, 1] e por imagem o intervalo[

2, 2

]. Sendo assim, os pontos (x, y) do domnio de f(x, y) devem satisfazer

1 xx2 +y2

1 |x|x2 +y2

1.

Note que, para todo (x, y), vale 0 x2 x2 +y2. Portanto as desigualdades acima saosatisfeitas para todo (x, y) R2, exceto (x, y) = (0, 0). O domnio de f(x, y) e o planomenos a origem.

b) A fim de estudar a existencia do limite, consideremos as retasy = kx passando pelaorigem. Substituindo em f(x, y), encontramos

f(x,kx) = arcsen x

x2 +k2x2 = arcsen x

|x|1 +k2 .

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Logo, na direcao dada por k = 0, x > 0, temos que f(x, y) = 1, e na direcao dada pork= 1, x >0, temos f(x, y) = 1/

2. Conclumos que lim(x,y)(0,0)f(x, y) nao existe!

OBS:Alternativamente, pode-se usar a substituicao em coordenadas polares: x= cos ,y= sen. O limite torna-se, entao,

lim(x,y)(0,0)

f(x, y) = lim0

arcsen cos = arcsen cos =

2 .

Isto significa que o limite depende da direcao =const em que o ponto se aproxima daorigem, e portanto nao existe.

c)Como lim(x,y)(0,0)x= 0 e f(x, y) = arcsen xx2 +y2

e uma funcao limitada (ver item

a)), o teorema do confronto (ou do sanduche) se aplica:

0 x arcsen xx2 +y2

2 |x| = lim(x,y)(0,0) x arcsen xx2 +y2 = 0 =g(0, 0).

Isto significa que a funcao g(x, y) e contnua em (0, 0). Nos demais pontos do plano,g(x, y) = xf(x, y) e contnua, pois e o produto de um polinomio, p(x, y) = x, por umafuncao que e a composicao de duas funcoes contnuas, h1(z) = arcsen(z) e h2(x, y) =

xx2 +y2

.

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2a Questao Seja f : R3 R a funcaof(x,y,z) =x3

y2 +z2.

a) (1,0 ponto) Mostre que f(x,y,z) e diferenciavel no ponto (2,3,4).

Solucao: Calculando as derivadas parciais de f temos:

f

x(x,y,z) = 3x2

y2 +z2;

f

y(x,y,z) =

x3yy2 +z2

(x,y,z); f

z(x,y,z) =

x3zy2 +z2

Como as derivadas parcias existem em (2, 3, 4) e

lim(x,y,z)(2,3,4)

f

x(x,y,z) =

f

x(2, 3, 4) = 60

lim(x,y,z)(2,3,4)

f

x(x,y,z) =

f

x(2, 3, 4) =

24

5

lim(x,y,z)(2,3,4)

f

x(x,y,z) =

f

x(2, 3, 4) =

32

5,

ou seja, as parciais sao contnuas, temos que f e diferenciavel em (2, 3, 4).b) (1,0 ponto) Usando o diferencial de f, encontre um valor aproximado para o numero

(1, 98)3

(3, 01)2 + (3, 97)2.

Solucao: A aproximacao linear defem (2, 3, 4) e dada por f(x,y,z) f(2, 3, 4)+dw,onde dw= f

x(2, 3, 4)dx+ f

y(2, 3, 4)dy+ f

x(2, 3, 4)dz. Tomando dx= x,dy= y e

dz= zobtemos,

f(x,y,z) f(2, 3, 4) + fx

(2, 3, 4)(x 2) + fy

(2, 3, 4)(y 3) + fx

(2, 3, 4)(z 4).

Do item (a) temos que

f(x,y,z) 40 + 60(x 2) +245

(y 3) +325

(z 4).

Assim,

(1, 98)3

(3, 01)2 + (3, 97)2 40+60(1, 982)+ 245

(3, 013)+ 325

(3, 974) = 38, 656.

c) (1,0 ponto) Se x = x(,,) = cos sin , y = y(,,) = sin sin , z =z(,,) = cos , calcule f

(1,

2, ).

Solucao: Pela regra da cadeia temos

f

=

f

x

x

+

f

y

y

+

f

z

z

Assim,

f

(,,) = 33 cos3 sin2 cos

( sin sin )2 + ( cos )2+

4 cos3 sin3 sin cos

( sin sin )2 + ( cos )2Logo, f

(1,

2, ) = 0.

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3a Questao Suponha que a temperatura de cada ponto (x, y) do plano xy seja dada pelafuncao

T(x, y) = 40 x2 2y2,onde T e medido em oC e x e y em km. Um indivduo encontra-se na posicao (3, 2) epretende dar um passeio pelo plano.

a) (1,0 ponto) Determine a temperatura do ponto (3, 2). Que curva o indivduo deverapercorrer de modo que a temperatura se mantenha constante?

Solucao: Desde que a temperatura em cada ponto (x, y) e dada pela expressaoT(x, y) = 40 x2 2y2, tem-se

T(3, 2) = 40 32 2 42 = 23 oC.Se a intencao e percorrer um caminho (curva), a partir do ponto (3,2) no qual atemperatura e constante, entao, para cada ponto deste caminho, tem-se T(x, y) =23. Da, resolvendo-se a equacao 40

x2

2y2 = 23, obtem-se x2 + 2y2 = 17 ou,

equivalentemente,

x2

17+

y2

17/2= 1.

Como os pontos da curva percorrida satisfazem esta equacao, tem-se que a curva euma elipse.

b) (1,0 ponto) Indique explicitamente a direcao e o sentido que ele devera tomar de modoque o crescimento da temperatura seja maximo? Justifique.

A funcao T(x, y), que descreve a temperatura, e uma funcao polinomial (em duasvariaveis), portanto possui, em cada ponto do plano, todas as suas derivadas parciais,e estas sao contnuas. Com isso, T(x, y) e uma funcao diferenciavel em todo o plano.Isto nos permite concluir que o crescimento maximo da temperatura no ponto (3,2)se da na direcao e sentido do vetorT(3, 2). Agora

T(x, y) =

T(x, y)

x ,

T(x, y)

y

= (2x,4y),

logoT(3, 2) = (6,8).

c) (1,0 ponto) Qual e a taxa de crescimento maxima no ponto (3,2)? Justifique.

Solucao: Ainda usando a diferenciabilidade de T(x, y), pode-se concluir que a taxamaxima de crescimento no ponto (3,2) e dada por

T(3, 2) =

(6)2 + (8)2 = 10 oCpor km.

d) (1,0 ponto) Determine a reta tangente a curva de nvel T(x, y) = 7 no ponto (5,2).

Solucao: Mais uma vez, a diferenciabilidade de T(x, y) em cada ponto do plano,

juntamente com a regra da cadeia, permitem concluir que T(5, 2) e um vetor normala reta tangente a curva de nvel T(x, y) = 7 no ponto (5,2). Usando-se a expressao

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