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Conceitos de Sinais e SistemasMestrado em Ciências da Fala e da Audição

António Teixeira

8 Janeiro 2005

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Aula

12• Análise LPC• Análise Cepstral• Obtenção de F0 e

Formante

• MATLAB– lpc()– rceps()– xcorr()

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Análise LPC

Uma introdução

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• A análise de Fourier não é a única forma de determinar o espectro de um sinal

• Uma técnica muito utilizada na área do processamento de voz e Fonética envolve determinar os chamados coeficientes de predição linear (Linear Predictive Coding Coeefficients)

• Este procedimento é conhecido por análise LPC– é um processo mais complexo que a DFT

– mas é possível compreender os princípios sem entrar nos detalhes matemáticos mais complexos

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• Segundo a teoria-fonte filtro produz-se um som pela passagem de uma excitação por um filtro

“Entrada nula” cordas vocais tracto vocal rad voz

isto é

“Entrada nula” sistema (cordas vocais + tracto + rad) voz

• A noção base da análise LPC baseia-se no processo inverso

– voz sistema inverso (filtro LPC) “saída zero”

a saída será zero se o filtro LPC for exactamente o inverso do sistema

• No primeiro caso temos “síntese” ou produção, no segundo “análise”

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• Na abordagem LPC as características espectrais da fonte glotal e radiação são incluídas conjuntamente com as relativas ao tracto vocal num mesmo filtro

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• A análise LPC envolve determinar um filtro cujas características em termos de resposta em frequência seja o inverso do espectro do sinal de voz

• Como já vimos os filtros digitais são definidos por um conjunto de coeficientes– lembra-se dos vectores usados no comando filter ?

• Também é possível usar um conjunto de coeficientes para “prever” o valor de uma amostra do sinal com base em amostras anteriores– y[n]= função de y[n-1], y[n-2], y[n-3] ...

• O algoritmo LPC faz uma previsão desta forma usando um número reduzido de pontos anteriores, multiplicando cada por um coeficiente

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• O princípio básico da análise LPC é a de que uma amostra pode ser considerado como simplesmente a a soma de um número de amostras anteriores, cada multiplicada por um número adequado– os números são denominados coeficientes de

predição linear

– y[n]= a1 y[n-1] + a2 y[n-2] ....

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• Para um sinal y, a análise LPC calcula os coeficientes a[1] ... a[p] tais quey[n]= a[1] y[n-1] +a[2] y[n-2]+ ... +a[p] y[n-p] +erro

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Relação com a produção de voz• A produção pode ser descrito pela equação de convolução

y * a = b * x

onde x é ma fonte, a e b coeficientes.

• Para sons sem anti-ressonâncias (exemplo: as vogais) b=1 e a equação reduz-se– y * a = x

y[n] + a[1] y[n-1] +a[2] y[n-2] + ... +a[k]y[n-k]=x[n]

ou rearranjando

y[n] = -a[1] y[n-1]-a[2] y[n-2]- ... -a[k]y[n-k]+x[n]

• Ou seja, num modelo sem anti-ressonâncias, a amostra actual é igual a uma combinação linear de amostras anteriores da saída mais a entrada

• O modelo proposto antes é, portanto, adequado

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Um exemplo de como determinar os coeficientes

• Consideremos um sinal

• tomemos 12 amostras (uma janela)– designados por s1, s2, ..., s12

• a estimativa para s5 considerando as 4 amostras anteriores– s^5= a1 x s4 + a2 x s3 + a3 x s2 + a4 x s1– num caso concreto teríamos algo como– s^5 = -42 a1 + 17 a2 + 5 a3 + 90 a4

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• continuando...– s^6= - 71 a1 – 42 a2 + 17 a3 + 50 a4– s^7= ....– s^8= ....– s^9= ....

• Se cada amostra fosse correctamente predicto, não haveria diferença entre s e s^

0=sn – s^n

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• isto és6 – s^6 = 0

= -40 – (-71 a1 –42 +17 a3 + 50 a4)

s7-s^7=0= -4 –(-74 a1 –54 a2 + 16 a3 + 97 a4)

s8- s^8=0= 22 – (-40 a1 – 79 a2 – 54 a3 + 16 a4)

s9-s^9=0

=49 – (-4 a1 –59 a2 – 79 a3 – 54 a4)

temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas

facilmente se obtem a1,a2,a3 e a4

neste caso: a1=0.5, a2=-0.6, a3=0.4 e a4=-0.7

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generalizando• No entanto pretendemos obter os coeficientes

que sejam adequados não apenas a este conjunto restrito e específico de pontos mas para qualquer amostra– como vimos resolvendo a equação anterior

obtemos coeficientes adequados para s6 a s9– mas darão um erro se aplicados a outras amostras

– o erro para cada ponto é designado por en

• en=(s^n – sn)2

– usa-se o quadrado para que seja sempre positivo

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• teremos:e6=(s^6 – s6)2

(a1 s5 + a2 s4 + a3 s3 + a4 s2 – s6)2

e7=(s^7 – s7)2

(a1 s6 + a2 s6 + a3 s4 + a4 s3 – s7)2

...

e12=(s^12 – s12)2

(a1 s11 + a2 s10 + a3 s9 + a4 s8 – s7)2

• o algoritmo resolve este conjunto de equações tentando minimizar o erro– Usando o Matlab obtêm-se rapidamente usando o comando lpc()– Os coeficientes são uma forma eficiente de descrever o sinal de

voz

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Matlab – lpc()• A = LPC(X,N) finds the coefficients, A=[ 1 A(2) ...

A(N+1) ], of an Nth order forward linear predictor– Xp(n) = -A(2)*X(n-1) - A(3)*X(n-2) - ... - A(N+1)*X(n-N)

– such that the sum of the squares of the errors err(n) = X(n) - Xp(n) is minimized.

• [A,E] = LPC(X,N) returns the variance (power) of the prediction error.

• LPC uses the Levinson-Durbin recursion to solve the normal equations that arise from the least-squares formulation. – This computation of the linear prediction coefficients is

often referred to as the autocorrelation method.

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Métodos de obtenção dos coef.• Existem várias formas de obter os coeficientes

• Sem entrar nos detalhes, refiram-se:– método da autocorrelação– método da covariância– método da “lattice”

– Consultar livros como Rabiner & Schafer 1978 para os detalhes

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Demo

lpclearn

Lpclearn.exe

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Exemplo• Consideremos um segmento de sinal (de uma vogal)

• ak=lpc(frame,12)• resultado

1.0000 -2.3994 2.0545 -0.5626 -0.1950 0.0965 -0.0118 -0.1951

0.7283 -0.5366 -0.4562 0.8068 -0.3069

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Resposta em frequência• Como após a determinação dos coeficientes

temos um filtro (em que a saída depende de valores da saída em instantes anteriores) podemos obter a sua resposta em frequência

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• Como o filtro obtido será o inverso do filtro de produção, as características espectrais do segmento analisado serão:

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Análise na frequência com LPC• Tendo os coeficientes a1...ak facilmente se

obtém o espectro– Exemplo:

• Material analisado: pequeno segmento de uma vogal

0 50 100 150 200 250 300-0.1

-0.05

0

0.05

0.1sinal no tempo

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-20

-10

0

10

20

30espectro

a0= 1.0000 a1= -0.1155

a2= -0.4197 a3= 0.1063

a4= 0.2854 a5= 0.6263

a6= -0.2841 a7= -0.2171

a8= -0.0904 a9 = 0.2207

a10= 0.2150 a11= -0.2755

a12= -0.3004

Raiz1 878Raiz2 1420Raiz3 2729Raiz4 3446

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LPC vs FFT para obter espectro

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30Espectro usando FFT e LPC

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• A análise LPC separa os componentes relativos à fonte e ao filtro

• É importante para a determinação da frequência fundamental e as formantes

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Questões práticas• Ordem a utilizar

– Regra prática• Frequência de amostragem em kHz + 2• Exemplo: 10000 Hz => 10+2=12

• Aplicar janelas• Usar pré-ênfase

– O espectro da fala decai com o aumento da frequência

– Para facilitar a análise LPC tenta-se corrigir esse efeito

• y(n)=x(n) – a x(n-1), a~0.98

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Pré-ênfase• As primeiras formantes têm maior energia e são

preferencialmente modeladas – A maior energia deve-se ao efeito combinado da excitação

glotal e da radiação

• Geralmente utiliza-se um filtro de pré-ênfase– s’(n)=s(n) – a1 s(s-1)

– Tipicamente 0.96<= a1 <= 0.99

• Para reconstruir o sinal deve usar-se o filtro inverso– s(n)= s’(n) + a1 s(n-1)

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Leitura adicional• Capítulo 11 do livro “Elements of Acoustic

Phonetics” de Peter Ladefoged, 2ª ed., University of Chicago Press.– SDUA 801.4 17 2ed

• Capítulo 8 do livro “Techniques in Speech Acoustics” de J. Harrington e S. Cassidy, Kluwer Academic Press, 1999

• SDUA 800H 664• Apresenta:

– informação sobre a forma como são calculados os coeficientes LPC (secção 8.2)

– Obtenção do espectro com base nos coeficientes (sec. 8.4)

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Exercícios Matlab• Obter um pequeno segmento (frame) de uma vogal • Obter os coeficientes com a ajuda do Matlab• Obter a resposta em frequência do filtro e do filtro

inverso– comparar com o espectro obtido pela DFT/FTT

• Obter o sinal de erro• Verificar o efeito de alterar o número de coeficientes• Repetir o processo para outro tipo de som (fricativa

por exemplo)

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Análise Cepstral

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Motivação• Como o sinal de voz pode ser obtido pela convolução

da excitação glotal com a resposta impulsional do filtro constituído pelo tracto torna-se necessário muitas vezes efectuar a operação inversa (desconvolução)

• A análise cepstral é uma das técnicas que permite estimar uma separação da fonte do filtro

• Uma das motivações é que os harmónicos da frequência fundamental podem dificultar a análise das formantes– uma muito melhor estimativa das formantes poderia ser

obtida se os harmónicos forem removidos de alguma forma

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Propriedades importantes • Para compreender a análise cepstral interessa

perceber como são representados no espectro a fonte e o filtro

• Uma das propriedades da DFT é que se dois sinais x (a fonte) e h (o filtro) são convoluidos a sua DFT é igual ao produto da DFT de x pela DFT de h

• Quando se representa o espectro em dBs temos uma escala logaritmica – logaritmo(a x b) = logaritmo(a) + logaritmo (b)

• Portanto, o espectro em dBs representa a SOMA do espectro da fonte com o do filtro – o que nos fornece um caminho para os separar ...

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• Uma pequena revisão:– se tivermos um sinal composto por duas

sinusóides, uma variando lentamente no tempo, outra rapidamente,

• isto é uma de baixa frequência e outra de frequência elevada

– onde apareceriam as riscas no espectro ?

– A correspondente à baixa frequência apareceria na parte “baixa” do espectro; a outra na parte “alta”

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O cepstro• É esta lógica que está na base da separação das

variações rápidas do espectro devido à fonte das variações lentas do filtro

• Se considerarmos o espectro como um sinal (no tempo) e aplicarmos a DFT então a parte devida à fonte deverá aparecer nas frequências elevadas e a relativa ao filtro nas frequências baixas– Na prática não se aplica a DFT para a inversa (IDFT) para

converter da frequência para o tempo • o caminho inverso da DFT

– Curiosamente, apesar de inversas a DFT e a IDFT resultam no mesmo efeito de separação

• com a DFT ou IDFT a parte de variação rápida é separada da parte de variação lenta

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Cepstro real

Definição:

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Origem do nome • Como se trata de um espectro de outro

espectro, os seus “inventores” criaram uma variação da palavra “spectrum” chegado a “cepstrum”– adaptado ao Portugês: “espectro” “cepstro”

• Já agora:– filtering liftering– frequency quefrency

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Em Matlab

z=rceps(x);0 10 20 30 40 50 60 70

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

x

0 50 100 150 200 250-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

zx

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Espectro suave • Depois de separados podemos eliminar cada

uma das partes por um processo de filtragem– Se eliminarmos a parte de frequências mais

elevadas e voltarmos a efectuar uma DFT teremos um espectro “suave” com “apenas” as características devidas ao filtro (tracto)

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Cepstro de sinal periódico• Se o sinal original é periódico então a fonte

manifesta-se como “picos” espaços da duração do período fundamental