1._Deformacoes_em_flexao

1Resistncia de Materiais II

Deformaes em flexo

1. Deformaes em flexo

Ana M. Giro Coelho

Victor Magalhes

Resistncia de Materiais II

Deformaes em flexo

1 Introduo

2 Deformaes devidas ao momento flector

2.1 Equao da deformada

2.2 Equaes diferenciais de vigas flectidas

2.3 Integrao da linha elstica

Contedo


Deformaes em flexo

Introduo

Quando no pargrafo 6.2.2 do captulo 6 (Flexo plana) da

disciplina de Resistncia de Materiais I se estudou o efeito do

momento flector, deduziu-se uma expresso que relaciona o

momento flector M com a curvatura 1/r que ele provoca no eixo da

pea:

A validade desta expresso limitada apenas pela relao tenso-

extenso do material, que tem de ser linear e no pelo tamanho

das deformaes.

1 M

r EI=


Deformaes em flexo

Introduo

Neste pargrafo estudam-se mtodos de determinao da

deformao do eixo da pea, a partir da relao entre o momento

flector e a curvatura.

Como se viu, se uma viga estiver solicitada em flexo simples, o

seu eixo deforma-se, adquirindo uma determinada curvatura.

Designa-se por linha elstica a curva que define o eixo da pea

aps deformao.

Os vrios pontos do eixo da viga sofrem deslocamentos

transversais v (translaces). O ngulo que a configurao deformada do eixo (ou, simplesmente, deformada) forma com a

configurao inicial corresponde ao valor da rotao do eixo.


Deformaes em flexo

Introduo

1: eixo na configurao inicial2: deformada


Deformaes em flexo

Introduo

A determinao dos dois deslocamentos anteriores (translaco v e

rotao ) de grande interesse prtico.

Neste captulo caracteriza-se a deformada e deduz-se a sua

equao, com base nas hipteses seguintes:

1. A flexo simples plana;

2. O eixo da viga rectilneo na configurao inicial e as cargas

actuam perpendicularmente a esse eixo (note-se que uma carga

oblqua tem uma componente transversal M0 e N=0 e uma

componente longitudinal M=0 e N0);


Deformaes em flexo

Introduo

3. Os deslocamentos so infinitesimais, pelo que se assume vlida

a hiptese de linearidade geomtrica;

4. Os efeitos do momento flector e do esforo transverso so

dissociveis.


Deformaes em flexo

Deformaes devidas ao Momento FlectorEquao da deformada

Considere-se a seguinte viga deformada:

No sistema de eixos (x,y),

designa-se por u(x) e v(x) as

componentes do deslocamen-

to de um ponto do eixo da

viga, e q(x) o ngulo de

rotao deste eixo.


Deformaes em flexo

Deformaes devidas ao Momento Flector

=

1 d

r ds

Equao da deformada

Em flexo pura, as normais mantm-se perpendiculares ao eixo da

pea na configurao deformada (lei de Bernoulli). O ngulo AOB

intercepta o elemento ds vale d, tal que ds = r d. A curvatura corresponde variao do ngulo:

Introduzindo, agora, a hiptese de linearizao geomtrica. Os

ngulos devem manter-se infinitesimais de tal forma que:

2tan 1 tan cos 1


Deformaes em flexo

Deformaes devidas ao Momento FlectorEquao da deformada

Um elemento dx do eixo da

viga transforma-se num

elemento ds aps deformao

(ver figura). No entanto,

sobre o eixo a deformao

axial nula ( = 0), visto se

tratar do eixo neutro. Logo,

os comprimentos dx e ds so

iguais.


Deformaes em flexo


cosds ds dx =

Equao da deformada

A projeco de ds sobre o eixo x vale:

donde resulta, uma vez que, u+ds cos = dx+u+du:

du = 0

O eixo de uma viga flectida no varia de comprimento, visto as

extenses axiais, ao nvel do eixo neutro serem nulas. Na figura

anterior, os pontos A, A e B, B esto situados sobre uma

perpendicular ao eixo x. Ento, estes pontos apenas sofrem um

deslocamento transversal v, frequentemente designado por

flecha.


Deformaes em flexo


dv

dx =

Equao da deformada

A hiptese de linearidade geomtrica permite concluir que o ngulo

de rotao q entre as seces rectas igual inclinao da

deformada, isto :

Introduzindo, as relaes anteriores, a curvatura da pea pode re-

escrever-se:

ou seja, a curvatura igual segunda derivada da flecha.

2

2

1 d d v

r dx dx

= =


Deformaes em flexo


1 M

r EI=

Equao da deformada

Deduziu-se j a seguinte relao (ver captulo 6, Resistncia de

Materiais I):

Assim, pode escrever-se tambm:

que corresponde equao diferencial da deformada em

flexo ou linha elstica.

2

2

d v M

EIdx=


Deformaes em flexo


2

2

dV dM d Mq V q

dx dx dx= = =

Equaes diferenciais de vigas flectidas

As equaes de equilbrio:

e as equaes anteriores permitem escrever a seguinte srie de

equaes diferencais:

1. Equao da deformada ou da linha elstica: v(x)

2. Rotao: dv

dx =


Deformaes em flexo


2 2

2 2

1 d v M d vM EI

r EIdx dx= = =

2 2

2 2 2

d M d d vq EIdx dx dx

= =

Equaes diferenciais de vigas flectidas

3. Curvatura, momento:

4. Esforo transverso:

5. Carga transversal:

2

2

dM d d vV EI

dx dx dx

= =


Deformaes em flexo


2

2

d v M

EIdx=

0

dv Mdx

dx EI = = +

Integrao da linha elstica

A equao da linha elstica escreve-se, como se viu:

A primeira integrao desta equao fornece-nos a inclinao da

tangente deformada, ou seja, o ngulo de que roda cada seco da pea:

A segunda integrao permite determinar a ordenada v da

deformada:


Deformaes em flexo


20 0

Mv dx dx x v

EI = = + +

Integrao da linha elstica

As constantes de integrao 0 e v0 so determinadas a partir das condies de apoio e de condies de continuidade.

Se M/EI fr um polinmio de grau p em x, v ser um polinmio de

grau p+2. Em particular, a deformada de um troo prismtico no

solicitado transversalmente representada por uma equao

cbica.

Se, numa seco de uma viga, o momento flector fr nulo, a

deformada apresenta nesta seco um ponto de inflexo, visto a

curvatura ser nula (ver figura seguinte).


Deformaes em flexo

Deformaes devidas ao Momento FlectorIntegrao da linha elstica

AB e BC: arcos cbicos; D: ponto de inflexo; B: ponto de descontinuidade

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Deformaes em flexo


Naturalmente, a flecha v e a inclinao no podem apresentar descontinuidades, excepto nas zonas de ligaes/apoio, uma vez

que isso implicaria o eixo da viga ser descontnuo. Pelo contrrio, a

curvatura poder ser descontnua em todas as seces visto as

grandezas M, E e I poderem ser descontnuas (aco de um

momento externo, mudana de material ou variao de seco), o

que geometricamente corresponde a uma variao brusca do raio

de curvatura 1/r.

Estas integraes s so passveis de resoluo analtica se as

expresses forem relativamente simples, ou seja, se a carga variar

de forma simples e, principalmente, se a inrcia se mantiver


Deformaes em flexo


constante. Por exemplo, considere-

se o caso representado na figura

anexa. O momento flector tem trs

expresses diferentes (M1, M2 e

M3), pelo que se ter de dividir a

viga em trs troo diferentes: AB,

BC e CD. As trs expresses

diferentes que surgem para a

deformada contm um total de

seis constantes de integrao, que

podero ser determinadas da

seguinte forma:

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Deformaes em flexo


Exemplo de aplicao:

Deduzir a equao da deformada de uma viga metlica

simplesmente apoiada, de comprimento L, com inrcia I constante,

sujeita a uma carga uniformente distribuda q.

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