1Vibracao1-Mestrado

VIBRAES MECNICAS

s

r

o

VIBRAES MECNICAS

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r

VIBRAES LIVRE NO AMORTECIDAS COM N GRAUS

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o AMORTECIDAS COM N GRAUS DE LIBERDADE

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r

P

SISTEMAS COM DOISGRAUS DE LIBERDADEGRAUS DE LIBERDADE

s

r

o

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r

2a. Lei de Newton:

.xmF

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o .JMDiagrama de Corpo Livre:

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r

P

).(.. 1221111 xxkxkxm ).(. 12222 xxkxm


Rearranjando as equaes, temos:

s

r

o

00.).(. 2212111

kkxkxkkxm

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r 0... 221222 xkxkxm Sendo duas equaes diferencias de segunda ordem

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o

)0()0(;)0(;)0(

acopladas, necessitam cada uma de duas condies iniciais, ou seja:

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r

202202101101 )0()0(;)0(;)0( xxexxxxxx Na forma matricial, as equaes so escritas como:

P

00 122111 xkkkxm

0

..0 22222 xkkxm


A equao na forma vetorial , ento, escrita como:

s

r

o

0)(.)(. txKtxM Assumindo soluo harmnica, tem-se:

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r tieutx ..)( tieutx .2 ..)( eS b tit i d t i l t

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o

0.)..( .2 tieuKM Substituindo na equao vetorial, tem-se:

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r

0)( 2 uKMEnto, no podendo a funo exponencial ser nula:

P 0)..( uKMAplicando a condio de singularidade, para obter soluo no trivial:

0).det( 2 KM


O determinante pode ser escrito como:

s

r

o

022

22

22112

kmkkkkm

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r

Que fornece um polinmio de segunda ordem em 2, ou uma equao biquadrada:

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o

0.)....(.. 212

2212214

21 kkkmkmkmmm ;

q q

com

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r 21 ; comAssim, para cada valor de 2 existe um valor de {u} dado por:P por: 0)..( 121 uKM

2 0)..( 222 uKM


Assim, existem quatro solues conforme abaixo:

s

r

o

titititi euEeueueutx 2211 2211 ;;)(

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r

)()()( db titititi A soluo geral ser dada pela combinao linear das solues acima apresentadas, ou seja:

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o 21 )..()..()( 2211 uedecuebeatx titititi Onde a, b, c e d so constantes de integrao. Ento,

d f l d E l l l d

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r usando a frmula de Euler, a soluo geral pode ser reescrita como:

P ).(..).(..)( 22221111 tsenuAtsenuAtxOs valores de A1 A2 1 e 2 so obtidos a partir dasOs valores de A1, A2, 1 e 2 so obtidos a partir das condies iniciais impostas s equaes diferenciais.


EXERCCIO:

s

r

o

m1 = 9 kg m2 = 1 kg

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r

0)4) (2(86 2224

k1 = 24 N/m k2 = 3 N/m

SO O

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o 0)4).(2(8.6 2224 srdesrd /24/22 2

221

21

SOLUO:

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r

2211

03)2(927 uObteno das formas modais:

1uuP

00

.2333)2.(927

12

1

uu

13

1

21

11

12

11 u

uuu

u

1

00

.4333)4.(927

22

1

uu

13

1

22

12

22

12 u

uuu

u


Para as condies iniciais: mmx

01

)0(

00

)0(x

s

r

o

0 0

).(.)( 1111 tsenAtxA soluo geral dada por:

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r

).(.).(.

.)()(

222

11121

2

1

tsenAtsen

uutxtx

)2(1)2(1)(1 tsenAtsenAtx

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o

E t 0 t

).2(.).2(.

).2(.3

).2(.3)(

)(

2211

2211

2

1

tsenAtsenA

tsenAtsenAtxtx

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r Em t = 0, tem-se:

)(.

31)(.

31

01

)0()0(

22111 senAsenAxx

P )(.)(.0)0( 22112 senAsenAx

)cos(2)cos(20)0( AAx

)(..2)cos(..2

)cos(.3

)cos(.30

0)0()0(

2211

2211

2

1

senAA

AAxx


SOLUO GERAL:

s

r

o

SOLUO GERAL:

33 AA

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r

2;

23;

23

2121 AA

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o

)2

.2(.5,0)2

.2(.5,0)(1 tsentsentx

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r 22

)2(51)2(51)( tsentsentxP )2

.2(.5,1)2

.2(.5,1)(2 tsentsentxFazer o grfico no MATLAB

SISTEMAS COM NGRAUS DE LIBERDADEGRAUS DE LIBERDADE

s

r

o

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r

111 0 nnnnnnn xKxM

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o

1.1..1.. 0 nnnnnnn xx tinn eutx .11 .)( 0)..( 2 uKM

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r

nn 1.1.)( )(PROBLEMA DE AUTOVALOR E AUTOVETOR

P njcomuMuK jjj ,,1... 2jj Autovalores ju Autovetores


ORTOGONALIDADE DOS MODOS DE VIBRAO: C d d N t i A li M d l

s

r

o

Coordenadas Naturais e Anlise ModalSejam dois autovalores (freq. naturais) e {u}i e {u}j os correspondentes autovetores (formas modais):

ji e

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r

njcomuMuK 1

p ( )

nicomuMuK iii ,,1...

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o njcomuMuK jjj ,,1... Pr-multiplicando por {u}iT e {u}jT obtemos:

TT

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r nicomuMuuKu iTjiiTj ,,1... njcomuMuuKu jTijjTi ,,1...

P

TTDevido a simetria de [M] e [K], aplicando a transposta na segunda das equaes acima, temos:

njcomuMuuKu iTjjiTj ,,1...


ORTOGONALIDADE DOS MODOS DE VIBRAO: C d d N t i A li M d l

s

r

o

Coordenadas Naturais e Anlise ModalSubtraindo as duas equaes anteriores, temos:

T

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r 0. iTjji uMuEnto, temos:

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o jiseuMu iTj 0 jiseuMu iTj 0 uuuUSe }{}{}{

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r

Pode-se concluir que: \

nuuuUSe }{}{}{ 21

P

\

mUMU T

\

\kUKU T

\ \

NORMALIZAO DAS FORMAS MODAIS:Ortonormalizao.

s

r

o nrue 1Problema de Autovalor-Autovetor:

uMuK

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r nrue rr ,1{u}r no so determinados univocamente, ou seja, . {u}r

f

uMuK

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o tambm uma forma modal.

{u}r .{u}r

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r

P

Portanto, comum o uso de formas diferentes deapresentao dos vetores formas modais. Uma forma comumde se apresentar os vetores formas modais fazendo se ade se apresentar os vetores formas modais fazendo-se adiviso de todas as componentes ui, i = 1 a n, de {u}r por umadelas ( por exemplo, a maior).

NORMALIZAO DAS FORMAS MODAIS:Ortonormalizao.

s

r

o

O processo de ortonormalizao consiste em apresentar asformas modais de tal modo que as massas generalizadasdo sistema assumam um valor unitrio isto :

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r

nrcomuMum T 11 do sistema assumam um valor unitrio, isto :

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o nrcomuMum rrr ,11 Eq.(1)

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r

Neste caso, a constante de rigidez generalizada do modo rser igual numericamente ao autovalor do sistema:

P nrcomuKuk rrrTr r ,12 Eq.(2)

NORMALIZAO DAS FORMAS MODAIS:Ortonormalizao

Como conseqncia, temos que:

Ortonormalizao. s

r

o IUMU T UKU Tq , q

c

n

i

c

a

s

o

n

S

o

e

i

r

espectralmatriz [U] e [] formam o

e

s

M

e

r

.

N

e

w

t

o modelo modalReescrevendo a Eq. (1), em outra forma, temos:

V

i

b

r

a

P

r

o

f

.

D

r

ni

n

jrjririj muum

1 1P i j1 1onde uir e ujr so componentes do vetor {u}r.

CONCLUSO: dividindo as componentes de {u}r pela raiz quadrada de mr, a normalizao ser encontrada.

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