2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

54
SUMÁRIO CONJUNTOS NUMÉRICOS 3 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS 7 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 9 RADICIAÇÃO 10 RAZÃO E PROPORÇÃO 11 REGRA DE TRÊS SIMPLES 12 REGRA DE TRÊS COMPOSTA 12 PORCENTAGEM 13 RACIOCÍNIO LÓGICO 14 ÁLGEBRA BOOLEANA 15 ESTRUTURAS LÓGICAS 15 SIMBOLIZAÇÃO 15 O MODIFICADOR LÓGICO 15 OS CONECTIVOS LÓGICOS 15 EXERCÍCIOS 16 VALORAÇÃO DE SENTENÇAS 16 DIAGRAMAS LÓGICOS 18 DIAGRAMA LÓGICO 20 TAUTOLOGIA 24 CONTRADIÇÃO 24 NEGAÇÃO 26 PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS DE ARISTÓTELES 28 IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA 30 EQUIVALÊNCIA 31 LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 33 VALIDADE DE UM ARGUMENTO 33 CORRETO, DEDUTIVO E INDUTIVO 33 JUROS E DESCONTOS SIMPLES 36 JUROS E DESCONTOS COMPOSTOS 39 ESTATÍSTICA 41 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 44 EQUAÇÕES DO 1º GRAU 48 EQUAÇÕES DO 2º GRAU 51 LÓGICA APLICADA A PLANILHAS EXCEL: 54

Transcript of 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

Page 1: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

SUMÁRIO

CONJUNTOS NUMÉRICOS 3

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS 7

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 9

RADICIAÇÃO 10

RAZÃO E PROPORÇÃO 11

REGRA DE TRÊS SIMPLES 12

REGRA DE TRÊS COMPOSTA 12

PORCENTAGEM 13

RACIOCÍNIO LÓGICO 14

ÁLGEBRA BOOLEANA 15 ESTRUTURAS LÓGICAS 15 SIMBOLIZAÇÃO 15 O MODIFICADOR LÓGICO 15 OS CONECTIVOS LÓGICOS 15 EXERCÍCIOS 16 VALORAÇÃO DE SENTENÇAS 16 DIAGRAMAS LÓGICOS 18 DIAGRAMA LÓGICO 20

TAUTOLOGIA 24

CONTRADIÇÃO 24 NEGAÇÃO 26

PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS DE ARISTÓTELES 28

IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA 30 EQUIVALÊNCIA 31 LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 33 VALIDADE DE UM ARGUMENTO 33 CORRETO, DEDUTIVO E INDUTIVO 33

JUROS E DESCONTOS SIMPLES 36

JUROS E DESCONTOS COMPOSTOS 39

ESTATÍSTICA 41

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 44

EQUAÇÕES DO 1º GRAU 48

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 51

LÓGICA APLICADA A PLANILHAS EXCEL: 54

Page 2: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático
Page 3: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

3 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. Conjunto dos números naturais:

PROPRIEDADES Múltiplos:

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par. Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3. Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3. Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4. Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4. Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5. Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.

Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3. Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3. Divisibilidade por 7 Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7. Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

16592 Número sem o último algarismo

-16 Dobro de 8 (último algarismo)

16576 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

1657 Número sem o último algarismo

-12 Dobro de 6 (último algarismo)

1645 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

164 Número sem o último algarismo

-10 Dobro de 5 (último algarismo)

154 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

15 Número sem o último algarismo

-8 Dobro de 4 (último algarismo)

7 Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7. Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:

426 Número sem o último algarismo

-2 Dobro do último algarismo

424 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

Page 4: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

4 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

42 Número sem o último algarismo

-8 Dobro do último algarismo

34 Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7. Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8. Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8. Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9. Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9. Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero). Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero). Divisores: Primos: Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores distintos: o número um e ele mesmo.

Em aritmética e em teoria dos números o mínimo múltiplo comum (mmc) de dois inteiros a e b é o menor inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente de a e de b. Se não existir tal inteiro positivo, por exemplo, se a = 0 ou b = 0, então mmc(a, b) é zero por definição. MDC O máximo divisor comum ou MDC (mdc) entre dois ou mais números inteiros é o maior número inteiro que

é fator de tais números.[1]

Por exemplo, os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6, logo mdc(12,18)=6. A definição abrange qualquer número de termos, por exemplo mdc(10,15,25,30)=5. O máximo divisor comum também pode ser representado só com parênteses. Com esta notação, dizemos que dois números inteiros a e b são primos entre si se e só se mdc(a, b)=1. Determinar o MMC e MDC: 12 e 18 140 e 210 Problemas sobre MMC:

1. Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

2. A jornada do soldado Saldanha é de 12 horas de trabalho por 24 horas de folga e a de seu sobrinho, Sardinha, que é motorista de transporte coletivo, é de 9 horas de trabalho por 18 horas de folga. Se, em certo dia, os dois iniciarem suas jornadas de trabalho em um mesmo momento, então essa coincidência voltaria a ocorrer em:

a) 96 horas b) 108 horas c) 132 horas d) 144 horas e) 156 horas

Problemas sobre MDC:

3. Dispondo de 3 bobinas de papel de, respectivamente, 135m, 225m e 360m , todos com 12cm de largura, deseja-se obter folhas de 12cm de largura e de comprimento máximo. Assim sendo, o comprimento de cada folha e o número de folhas que podem ser obtidas, nas condições citadas, serão: a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 23 4. Se em duas ruas paralelas forem instalados postes, do inicio ao fim de cada uma (que medem 112 m e 154 m, respectivamente), separados pela mesma distância entre si, de modo que esta distância seja máxima, então serão colocados, ao todo quantos postes?

a) 17 b) 18

Page 5: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

5 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

c) 19 d) 20 e) 21 5. Quadrados perfeitos:

6. Cubos perfeitos: Expressões numéricas: a) b) Operações Com Conjuntos Em geral, apresentamos o conjunto por letras maiúsculas e os elementos por minúsculas.

Se a é elemento de A, indicamos a A e, se não é

elemento, indicamos a A. Notações Existem várias maneiras de representar conjuntos. Uma é enumerar os elementos entre chaves. Exemplos: Conjunto vazio:{ } Conjunto das vogais: {a, e, i, o, u} Conjunto formado pelos números pares: {2,4, 6, 8...} Um conjunto fica caracterizado por uma propriedade P de seus elementos. Assim indicamos: A = {x | x possui a propriedade P} Exemplo: A={x | x é um número inteiro e par} Logo A { , , , , …} O conjunto que apresenta um único elemento é chamado de Unitário. Exemplo:

Conjunto dos números primos e pares: {2} Caso o conjunto não apresente elementos ele é chamado conjunto Vazio.

Representamos o conjunto vazio por ou { }. Muitas vezes é necessário determinar o conjunto formado pela totalidade dos elementos que estão sendo analisados. É o chamado conjunto Universo. Subconjunto Dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se e somente se todo elemento de A também pertence a B.

Com A B indicamos A não é subconjunto de B. Exemplos:

{1, 7} {1, 3, 7, 10}

{a, c} {a, e, i, o, u} Igualdade:

Exemplos: {1, 4, 6, 7} = {7, 4, 6, 1}

{x Z | 10 < x < 20} = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} Notem que em conjunto não importa ordem, nem a quantidade de vezes que aparece o mesmo elemento, ou seja:{a, b, c, d} = {b, c, a, d} = {a, a, a, b, b, c, d, d} Operações com Conjuntos União

A B = {x | x A ou x B}

Diagrama de Venn:

Exemplos:

{c, e} {b, c, d, e} = { b, c, d, e}

{1, 3, 4} {1, 3, 4, 5} {3, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

{2 , 3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} Intersecção de Conjuntos

A B = {x | x A e x B}

))(( BxAxxBA

) ( ABeBABA

Page 6: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

6 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

Diagrama de Venn:

{10, 20, 30, 40, 50} {20, 30, 60, 70} = {20, 30}

{A, F, H} {b, c, d} =

= Diferença entre Conjuntos

A - B = {x | x A e x B} Diagrama de Venn:

Exemplos: {a, b, c, f, e} - {a, e, i, o, u} = {b, c, f} N – N* = {0} {3, 4, 5} - {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = {5} Complementar de B em relação a A: Indicamos o complementar de B em relação a A por:

BA :condição

B} xe x |{x B -A CB

A

A

No Diagrama de Venn vemos:

Exemplos: Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {2, 3} , então CAB = (1, 4, 5, 6). Conjunto das Partes

Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A aquele que é formado por todos os subconjuntos de A.

P(A) = {x | x A) Exemplo: Se A = {1, 2, 3}

P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} , {1,2,3} } Obs: Se A á um subconjunto finito com n elementos, então P(A) tem 2n elementos. Produto Cartesiano Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares (x, y),

onde x A e y B, e indica-se por A x B.

A x B = {(x, y) | x A e y B} Se A ou B for vazio

A x B = , isto é:

A x = , x B = , x = A x A = A2. Exemplos: a) Se A = {1, 2} e B = {3, 4}, então: A x B = {(1, 3), (1,4), (2, 3), (2, 4)} B x A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)} Representação no plano cartesiano:

b) Se A = {x R | - 1 x 2} e B = {x R | 1 x 3},temos que:

A x B = {(x, y) | (x, y) R2 | - 1 x 2 e 1 y 3}

1. Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem, obteve-se o resultado seguinte: 280 pessoas assistem o canal A, 250 assistem o canal B e 70 assistem outros canais distintos de A e B. 0 número de pessoas que assistem A e não assistem B é: a) 30

produto cartesiano

0

1

2

3

4

5

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Page 7: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

7 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

b)150 c) 180 d) 200 e) 210 2. Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é: a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183 3. Numa Universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas três faculdades. Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as três faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade? a) 304 b) 162 c) 146 d) 154 e) n.d.a 4. Dos alunos formados em uma escola Segundo de 2º Grau, 70 inscreveram-se no vestibular para Medicina, 42 para Odontologia, 15 para ambos (Medicina e Odontologia) e 38 em outros. O número total de alunos formandos dessa Escola que se inscreveram em algum vestibular é: a) 165 b) 135 c) 127 d) 97 e) 120 5. Numa empresa de 90 dos funcionários, 40 são os que falam inglês, 49 os que falam espanhol e 32 os que falam espanhol e não falam inglês. O número de funcionários dessa empresa que não falam Inglês nem espanhol é: a) 9 b) 17 c) 18 d) 27 e) 89 6. Uma prefeitura pretende melhorar os serviços de energia elétrica, água e esgotos oferecidos a um bairro da cidade, com 2.480 residências. Por meio de uma pesquisa constatou que, entre as residências daquele bairro. - 1.850 possuem água encanada; - 500 possuem somente energia elétrica; - 150 possuem somente energia elétrica e água encanada;

- 130 possuem somente água encanada e serviços de esgoto; - 70 possuem energia elétrica, água encanada e serviços de esgoto; - 10 possuem somente energia elétrica e serviços de esgoto; - 120 não possuem qualquer um dos três serviços. Nesse caso, o número de residências que não possuem serviços de esgoto é de: a) 120 b) 650 c) 1860 d) 2000 e) 2270

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS

Os números inteiros são constituídos dos números naturais, incluindo o zero (0, 1, 2, 3, ...) e todos números negativos, que são os simétricos dos números naturais não nulos (− , − , − , ) Dois números são simétricos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativos. O conjunto de todos os inteiros é representado por

um Z em negrito (ou ainda um em blackboardbold,

ou ℤ, que vem do alemão Zahlen, que significa números,

algarismos.

2.1- Múltiplos: 2.2- Divisores: 2.3- Primos:

Page 8: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

8 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

Operações com sinais: adição e subtração: Obs.: Operações com sinais: multiplicação e divisão:

Obs.:

Operações com sinais: potenciação:

Obs.:

Cálculo de raízes:

Expressões numéricas: Calcular o valor da expressão:

3 - Conjunto dos números racionais:

Decimais exatos:

Dízimas periódicas simples: Dízimas periódicas composta:

Obs.:

Operações com racionais: adição e subtração:

Operações com racionais: multiplicação.

=

=

Operações com racionais: divisão.

=

=

Page 9: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

9 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

Operações com racionais: potenciação.

Operações com racionais: radiciação.

=

Simplificação:

Produtos notáveis:

Racionalização de denominadores:

NÚMEROS REAIS:

Não são números reais:

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

Potenciação Propriedades da potenciação: Produto de mesma base:

aaanmnm

7512

2410

84

55c)5

33b)3

2a)2

:Exercícios

Divisão de mesma base:

aaanmnm

Page 10: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

10 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

6

43

5

55)d

22

235

4

)e

23

3335

4 14

)f

Potência de uma potência:

aanmn

m

52)

3

g

102

5

)h

72

3

)i

7)3

2

j

Expoente negativo:

0,0,

ba

a

b

b

ann

2

3

7

4)

5

3)

l

k

3

2

5)m

Expoente fracionário:

nm

nm

aa

RADICIAÇÃO

010010101000

8228

abba

:Definição

33

33

nn

23

22

33

nnn

32c)

82b)

164a)

baba1

:esPropriedad

4

4

2

2

3

3

nn

n

4

64f)

5

125e)

3

81d)

b

a

b

a2

2 5

2 3

mnn m

1024h)

243g)

aa3

Page 11: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

11 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

10 3

3 1

2 3

7 14

12 4

10 5

7)

6)

5)

5

2)

4)

3)

4

l

k

j

aa

i

h

g

aa

n

mn m

n mpn pm

RAZÃO E PROPORÇÃO Razão: É uma divisão entre dois números reais.

Exemplo:

Proporção : É uma igualdade entre razões:

Exemplo:

Propriedades: (1)

(2)

1. O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito? a) 2 horas e 7 minutos. b) 2 horas e 5 minutos. c) 1 hora e 57 minutos. d) 1 hora e 43 minutos. e) 1 hora e 36 minutos. 2. Trabalhando individualmente, o funcionário A é capaz de cumprir certa tarefa em 8 horas, o funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5 horas. Nessas condições, se trabalharem juntos na execução dessa tarefa, o esperado é que ela seja cumprida em, aproximadamente: a) 1h e 40min b) 2hs, 2min, 2seg c) 2hs, 20min d) 2hs, 22min, 30seg e) 2hs, 54min 3. Em uma fazenda, o abastecimento de água é feito por três reservatórios, A, B, e C, com capacidades proporcionais a 2, 3 e 5 litros (L), respectivamente. De acordo com essa situação, julgue os itens abaixo: I – Se a capacidade total dos reservatórios é de 20.000 L, então o reservatório A tem capacidade de 6.000 L. II – Se o reservatório B tem capacidade de 3.000L, então os reservatórios A e C têm, juntos, capacidade de 7.000 L. III – Se os reservatórios B e C têm, juntos, capacidade de 12.000 L, então o reservatório A tem capacidade de 3.000 L. IV – Se o reservatório B comporta 3.000 L de água a mais que o reservatório A, então os três reservatórios, juntos, têm capacidade de 27.000L. V – O reservatório C tem capacidade igual à capacidade dos reservatórios A e B juntos.

A quantidade de itens verdadeiros é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Page 12: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

12 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

Divisão proporcional: 1. As idades de Pedro e Luís formam, nessa ordem, uma

razão, igual a

A soma de suas idades é 48 anos. Qual a

idade dessas pessoas? 2. Numa indústria química, uma certa solução contém ao todo 350g de 3 substâncias em quantidades diretamente proporcionais ao números 2, 5 e 7. Quantos gramas de cada substância contém a solução? 3. Para estimular a assiduidade, uma professora primária promete distribuir 600 figurinhas aos alunos de suas três classes. A distribuição será feita de modo inversamente proporcional ao número de faltas de cada classe durante 1 mês. Após esse tempo, as faltas foram: 8, 12 e 24. Achar a quantidade de figurinhas que cada classe recebeu: a) 100, 200, 300 b) 100, 300, 200 c) 200, 300, 100 d) 300, 200, 100 e) 300, 100, 200 Na tabela abaixo têm-se as idades e os tempos de serviço de três soldados na corporação, que devem dividir entre si um certo número de fichas cadastrais para verificação. • ome dos soldados: Abel, aniel, anoel • Idade, em anos: , , 30. • Tempo de serviço, em anos: , , 4. Se o número de fichas for 504 e a divisão for feita em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades, mas inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na corporação, o número de fichas que caberá a “ a) Daniel é 180. b) Manoel é 176. c) Daniel é 170. d) Manoel é 160. e) Daniel é 162. 5. Dois analistas judiciários devem emitir pareceres sobre 66 pedidos de desarquivamento de processos. Eles decidiram dividir os pedidos entre si, em quantidades que são, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais às suas respectivas idades e inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no TRT. Se um deles tem 32 anos e trabalha há 4 anos no Tribunal, enquanto que o outro tem 48 anos e lá trabalha há 16 anos, o número de pareceres que o mais jovem deverá emitir é: a) 18 b) 24 c) 32 d) 36 e) 48

REGRA DE TRÊS SIMPLES 1. Um agente executou uma certa tarefa em 3 horas e 40 minutos de trabalho. Outro agente, cuja eficiência é de 80% da do primeiro, executaria a mesma tarefa se trabalhasse por um período de a) 2 horas e 16 minutos. b) 3 horas e 55 minutos. c) 4 horas e 20 minutos. d) 4 horas e 35 minutos. e) 4 horas e 45 minutos. 2. Um automóvel faz um certo percurso em 2 horas, com velocidade média de 80 km/h. Se a velocidade média fosse de 60 km/h, em quanto tempo faria esse mesmo percurso? a) Uma hora e trinta minutos. b) Uma hora e cinqüenta e cinco minutos. c) Duas horas e vinte minutos. d) Duas horas e trinta minutos. e) Duas horas e quarenta minutos. 3. Um ciclista, com a velocidade constante de 18 quilômetros a cada hora, começa uma prova de resistência exatamente às 6 horas da manhã e chega a linha de chegada às 13 horas e 30 minutos do mesmo dia, sem paradas no decorrer da corrida. A partir desses dados responda as questões 02 e 03 seguintes: Se sua velocidade constante fosse 15 quilômetros a cada hora, a que horas teria chegado na linha de chegada, sem realizar paradas? a) 16 h b) 15 horas e 30 minutos c) 15 h d) 14 horas e 30 minutos e) 14 h 4. Se ele pretendesse quebrar o recorde de tempo e realizar a prova em exatamente 6 horas qual deveria ser sua velocidade constante?

a) 22,5 quilômetros por hora b) 22 quilômetros por hora c) 21,5 quilômetros por hora d) 21 quilômetros por hora e) 20,5 quilômetros por hora

REGRA DE TRÊS COMPOSTA Etapa 1:

Page 13: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

13 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

Etapa 2:

Etapa 3:

1. O motor de um navio consome 200 litros de óleo em 5 horas quando faz 1500 rotações por minuto. Exigindo-se mais do motor, 1800 rotações por minuto, quantos litros de óleo ele consumirá em 3 horas de viagem? a) 125 b) 136 c) 140 d) 144 e) 150 2. Em 3 dias, 72 000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108 000 bombons? a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 e) 5 3. Se 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operários que trabalhavam 7 horas por dia, então quantos dias serão necessários para terminar o trabalho, sabendo que 4 operários foram dispensados e que os restantes agora trabalham 6 horas por dia? 4. Doze operários em, 90 dias, trabalhando 8 horas por dia fazem 36m de certo tecido. Quantos dias levarão para fazer 12m do mesmo tecido com o dobro de largura, quinze operários trabalhando 6 horas por dia?

PORCENTAGEM Representação:

Forma Percentual

Forma Decimal

Forma Fracionária

Forma Fracionária

Forma Decimal

Forma Percentual

1 2 3

Calcular:

a) b) c)

Base de cálculo: Caso 1 Uma loja vende um produto por R$1.000,00 com lucro de 25% acima do valor de custo do produto. O valor de custo do produto é de: Caso 2 Uma loja vende um produto por R$1.000,00 com lucro de 25% calculado com base no valor de venda do produto. O valor de custo do produto é de:

Page 14: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

14 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

Caso 3 Uma loja compra um produto por R$1.000,00 com lucro de 25% acima do valor de custo do produto. O valor de venda do produto é de: Caso 4 Uma loja compra um produto por R$1.000,00 com lucro de 25% calculado com base no valor de venda do produto. O valor de venda do produto é de: Exemplos: 1. Em março de 1998, o preço de um determinado produto correspondia a 15% do salário de um certo funcionário. O preço do produto obteve, no mesmo ano um aumento de 10% em abril e de 20% em maio. No entanto, o salário desse funcionário ficou congelado por dois meses, ou seja, em maio era o mesmo de março. Depois do aumento do preço do produto em maio,a percentagem do salário do funcionário a que corresponde o preço do produto é: a) 19,8% b) 25% c) 30% d) 32% e) 45%

2. Duas irmãs, Ana e Lúcia, têm uma conta de poupança conjunta. Do total do saldo, Ana tem 70% e Lúcia 30%. Tendo recebido um dinheiro extra, os pais das meninas resolveram fazer um depósito igual ao saldo da caderneta. Por um a questão de justiça, no entanto, ele disse às meninas que o depósito deveria ser dividido igualmente entre as duas. Nessas condições, a participação de Ana no novo saldo. a) Diminui para 60% b) Diminui para 65% c) Permaneceu em 70% d) Aumentou para 80% É impossível ser calculada se não conhecemos o valor do saldo inicial. 3. Se o poder de compra de meu salário é hoje 20% daquele de um atrás, então, para reaver aquele poder de compra, meu salário atual deve ser reajustado em:

a) 20% b) 80%

c) 180% d) 400% e) 500% 4. Um comerciante aumentou os preços de suas mercadorias em 150%. Como a venda não estava satisfatória, voltou aos preços praticados antes do aumento. Em relação aos preços aumentados, o percentual de redução foi de:

a) 0%

b) 60% c) 75% d) 100% e) 150% 5. No mês de janeiro de determinado ano, uma categoria profissional tem direito a um aumento salarial de 75%. Como a categoria já havia recebido uma antecipação de 25% em novembro, qual deve ser a porcentagem de acréscimo adicional do salário para compensar a antecipação concedida. a) 30% b) 40% c) 55% d) 65% e) 75% 6. Certa categoria profissional obteve, a partir de 1º de novembro, no Tribunal do Trabalho, reajuste salarial de 134% sobre os salários de julho, descontadas as antecipações recebidas no período. Se essa categoria recebeu adiantamento de 20% em agosto e 30% em setembro sobre os vencimentos dos respectivos meses anteriores, calcule o índice a ser aplicado em outubro, para cumprir as determinações judiciais. a) 84% b) 70% c) 66% d) 50% e) 40% 7. O tribunal concedeu a uma certa categoria profissional aumento de 100% sobre o salário, descontadas as antecipações. Se os trabalhadores já haviam recebido uma antecipação de 20% em setembro, receberão agora um aumento, sobre o salário de setembro, de: a) 45% b) 50% c) 67% d) 72% e) 80%

RACIOCÍNIO LÓGICO

Raciocínio é um processo mental. A Lógica não investiga como esse processo ocorre: mesmo sendo considerada a “ciência do raciocínio” A Lógica procura investigar se as coisas que sabemos ou em que acreditamos, as premissas, de fato constituem uma razão para acreditar em uma conclusão alcançada, ou seja, se a conclusão está adequadamente justificada em vista da informação que se tem. A introdução do Raciocínio Lógico nas provas de concursos públicos tem o objetivo de selecionar o candidato mais criativo e inovador, que tenha maior produtividade, capacidade de fundamentar os raciocínios e ações, analisar situações e problemas do nosso

Page 15: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

15 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

cotidiano a partir de hipóteses e chegar a novas informações, ‘conclusões’, coerentes baseadas em um raciocínio lógico.

ÁLGEBRA BOOLEANA

Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se melhor, a partir da metade do século XIX, com a publicação, em 1849, do livro Investigações sobre as leis do pensamento, de George Boole (1815 – 1864) matemático inglês criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica. O livro de Boole deu início à “simbolização”, ou “matematização” da lógica, que consistiu em fazer, numa linguagem simbólica, artificial, o que Aristóteles havia começado em grego. Álgebra Booleana são cálculos lógicos contendo infinitas formas válidas de argumentos.

ESTRUTURAS LÓGICAS

PROPOSIÇÃO Dá-se o nome de proposição ou sentença a todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Existem proposições declarativas, interrogativas, exclamativas e imperativas. Exemplos:

Declarativas: Interrogativas:

Nilo é engenheiro. Hoje chove.

Você gostou? Ela é sua filha?

Exclamativas: Imperativas:

Que lindo! Feliz aniversário!

Abra a porta. Cale a boca.

Estudaremos somente as proposições declarativas, afirmativas ou negativas, que têm associado a elas, obrigatoriamente, um valor-lógico ou valor-verdade que é ou Verdadeiro (V) ou Falso (F). Exemplos: 1) p:A Lua é o satélite natural da terra. Nesse exemplo temos uma proposição de valor lógico igual a VERDADEIRO. 2) q:Nenhum pássaro voa. Nesse exemplo temos uma proposição de valor lógico igual a FALSO.

Note que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

SIMBOLIZAÇÃO

Na lógica proposicional não verificamos o conteúdo das proposições, devemos aceitar seu valor-verdade para estudarmos a forma com que se relacionam com outras proposições. Caso seja colocado como verdadeiro, por exemplo, que as proposições ‘A água do mar é doce’ ou ‘Todo vegetal é carnívoro’, essas devem ser aceitas como verdadeiras, mesmo que saibamos que em nosso cotidiano não sejam. Por isso podemos representar as proposições apenas por símbolos. Por convenção, as proposições são indicadas por letras minúsculas, preferindo o ‘p’, o ‘q’, o ‘r’ e o ‘s’ e daí seguindo o alfabeto.

O MODIFICADOR LÓGICO

O ‘não’ é chamado de modificador lógico porque ao ser inserido em uma proposição muda seu valor lógico, ou seja, faz a negação da proposição. Quando formos representar a negação de uma proposição, vamos usar o sinal de til (~) ou (¬) antes da letra que representa a proposição original. Veja:

Proposição p Proposição ¬p

Maria é bela.

Maria não é bela.

Não é verdade que Maria é bela.

Maria é feia.

Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, a proposição ¬p, é falsa.

Se a proposição... tem valor lógico...

O céu é azul. verdadeiro

então a proposição... tem valor lógico...

O céu não é azul. falso

Se uma proposição ¬p é verdadeira, então a sua negação, proposição p, é falsa.

Se a proposição... tem valor lógico...

Meu carro não é velho. verdadeiro

então a proposição... tem valor lógico...

Meu carro é velho. falso

OS CONECTIVOS LÓGICOS

Denomina-se conectivo lógico a certos elementos que ligam as proposições simples para formarem novas proposições, as proposições compostas. São eles: ‘e’, ‘ou’, ‘se, então’, e ‘se, e somente se’. Exemplos de proposições compostas:

Page 16: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

16 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

P: Glauber Rocha é famoso e é irmão de Glauco Rocha. Q: Se Paulo é amazonense, então Paulo é brasileiro. R: Vanessa é minha sobrinha ou Isabela é filha de meu irmão.

Cada conectivo é representado por um símbolo, Símbolos utilizados na Lógica Matemática

ESCREVENDO NA FORMA SIMBÓLICA. Considere as proposições simples: p:João é alto q: Guilherme é forte Veja como devemos escrever as proposições compostas na forma simbólica. João é alto ou Guilherme é forte. Forma simbólica: p q Se João é alto, então Guilherme é forte. Forma simbólica: pq

Se João é alto, então João é alto e Guilherme é forte.

Forma simbólica: p (p q) João não é alto ou Guilherme é forte se, e somente se, João é alto e Guilherme não é forte. Forma simbólica: (¬p q) (p ¬q)

Nem João é alto nem Guilherme é forte, conseqüentemente Guilherme é forte. Forma simbólica: (¬p ¬q)q

EXERCÍCIOS

Considere as proposições simples:

p:João é alto. q: Guilherme é forte. Escreva cada uma das proposições abaixo na forma simbólica.

a) João não é alto, então Guilherme não é forte.

b) João é alto se, e somente se Guilherme é fraco.

c) João é baixo, mas Guilherme é forte.

d) João é alto e não é verdade que Guilherme é forte, conseqüentemente Guilherme é forte.

e) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é forte.

f) se João é alto ou Guilherme é forte, então Guilherme é forte.

g) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é fraco.

h) Tanto é falso que João é alto como é falso que Guilherme é forte, conseqüentemente Guilherme é forte.

VALORAÇÃO DE SENTENÇAS

Nº. DE VALORAÇÕES: n2

distintas. sproposiçõe de númeron

Uma proposição:

Tabela verdade:

P P~ P~~

Diagrama lógico:

Obs.:

Page 17: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

17 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

Duas proposições:

Tabela verdade:

P Q P~ Q~

Diagrama lógico:

Três proposições:

Tabela verdade:

P Q R

Diagrama lógico:

Page 18: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

18 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

DIAGRAMAS LÓGICOS

1) Conjunção:

Tabela verdade:

Page 19: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

19 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

2) Disjunção simples:

Tabela verdade:

1. (ANEEL-2004/ESAF) Surfo ou estudo.

Fumo ou não surfo.

Velejo ou não estudo.

Ora, não velejo.

Assim, a) estudo e fumo. b) não fumo e surfo. c) não velejo e não fumo. d) estudo e não fumo. e) fumo e surfo.

2. Homero não é honesto ou Júlio é justo.

Homero é honesto ou Júlio é justo ou Beto é bondoso.

Beto é bondoso ou Júlio não é justo.

Beto não é bondoso ou Homero é honesto.

Logo, a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo; b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo; c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo; d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo; e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.

Page 20: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

20 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

3) Disjunção exclusiva:

DIAGRAMA LÓGICO

Tabela verdade:

1) Maria tem três carros: um gol, um corsa e um fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou gol é branco, ou o fiesta é branco. 2) ou o gol é preto, ou o corsa é azul. 3) ou o fiesta é azul, ou o corsa é azul. 4) ou o corsa é preto, ou o fiesta é preto. Portanto, as cores do gol, corsa e do fiesta são, respectivamente: a) Branco, preto, azul; b) Preto, azul, branco; c) Azul, branco, preto; d) Preto, branco, azul; e) Branco, azul, preto.

2) (MPU/2004) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor.

Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente,

a) Professor, médico, músico. b) Médico, professor, músico. c) Professor, músico, médico. d) Músico, médico, professor. e) Médico, músico, professor. 3) De três irmãos – José, Adriano e Caio -, sabe-se que: Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: a) Caio e José b) Caio e Adriano c) Adriano e Caio d) Adriano e José e) José e Adriano

Page 21: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

21 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

4) Condicional simples:

Tabela verdade:

1. Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) O jardim é florido e o gato mia; b) O jardim é florido e o gato não mia; c) O jardim não é florido e o gato mia; d) O jardim não é florido e o gato não mia; e) Se o passarinho canta então o gato não mia 2. (ANEEL-2004/ESAF) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desisto, compreendo. Se é feriado, não desisto.

Então, a) jogo, não é feriado. b) não jogo, é não feriado. c) é feriado, não leio. d) não é feriado, leio. e) é feriado, jogo. 3. Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo: a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia; b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia; c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz; d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz; e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz 4. (ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla, logo: a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. 5. Se não durmo, bebo. Se estiver furioso, durmo. Se dormir, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo: a) Não durmo, estou furioso e não bebo. b) Durmo, estou furioso e não bebo. c) Não durmo, estou furioso e bebo. d) Durmo, não estou furioso e não bebo. e) Não durmo, não estou furioso e bebo. 6. Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; O mordomo não é inocente.

Page 22: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

22 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

Logo: a) A governanta e o mordomo são os culpados. b) Cozinheiro e o mordomo são os culpados. c) Somente a governanta é culpada. d) Somente o cozinheiro é inocente. e) Somente o mordomo é culpado. 7. José quer ir ao cinema assistir ao filme ‘’Fogo contra fogo’’, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está em cartaz ou não. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado então o filme não está sendo exibido. Ou o filme ‘’Fogo contra fogo’’ está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo: a) Filme ‘’fogo contra fogo’’ está sendo exibido b) Luís e Júlio não estão enganados. c) Júlio está enganado, mas não Luís. d) Luís está enganado, mas não Júlio. e) José não irá ao cinema. 8. Ou lógica é fácil, ou Arthur não gosta de Lógica. Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Arthur gosta de Lógica, então: a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. 9. Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora Rui não vai a Roma, logo: a) Celso compra um carro e Ana não vai à África; b) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro; c) Ana não vai à África e Luís compra um livro; d) Ana vai à África ou Luís compra um livro; e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma. 10. Determinado rio passa pelas cidades A, B e C. Se chove em A, o rio transborda. Se chove em B, o rio transborda. Se chove em C, o rio não transborda. Se o rio transbordou, pode-se afirmar que: a) choveu em A e choveu em B. b) não choveu em C. c) choveu em A ou choveu em B.

d) choveu em C. e) choveu em A. 11. A partir das seguintes premissas: remissa 1: “X é A e B, ou X é C” remissa 2: “Se Y não é C, então X não é C” remissa 3: “Y não é C” Conclui-se corretamente que X é: a) A e B b) Não A ou C c) Não A e B d) A e não B e) Não A e não B 5) Bicondicional:

Diagrama lógico

Tabela verdade:

Page 23: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

23 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

Condicional simples: Ou condição necessária ou condição suficiente:

Biondicional simples: Condição necessária e condição suficiente:

1) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio: a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. d) João não está feliz, e Maria não sorri e Daniela não abraça Paulo. e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.

2) O Rei ir à caça é condição necessária para o Duque sair do castelo, e é condição suficiente para a Duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o Conde encontrar a Princesa é condição necessária e suficiente para o Barão sorrir e é condição necessária para a Duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo: a) A Duquesa foi ao jardim ou o Conde encontrou a Princesa. b) Se o Duque não saiu do castelo, então o Conde encontrou a Princesa.

c) O Rei não foi à caça e o Conde não encontrou a Princesa. d) O Rei foi à caça e a Duquesa não foi ao jardim. e) O Duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.

3) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre: a) D ocorre e B não ocorre. b) D não ocorre ou A não ocorre. c) B e A ocorrem. d) Nem B nem D ocorrem. e) B não ocorre ou A não ocorre.

4) (AFC – 2004) Uma professora de matemática faz as três seguintes afirmações: “X > Q e Z < Y”, “X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z”; “R ≠ Q, se e somente se Y X”. Sabendo que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que: a) X > Y > Q > Z b) X > R > Y > Z c) Z < Y < X < R d) X > Q > Z > R e) Q < X < Z < Y 5) Se chove então faz frio. Assim sendo: a) Chover é condição necessária para fazer frio. b) Fazer frio é condição suficiente para chover. c) Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio. d) Chover é condição suficiente para fazer frio. e) Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover.

Page 24: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

24 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

TAUTOLOGIA

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma tautologia se ela for sempre verdadeira, independente da verdade de seus termos. Exemplo:

A ~A B AB ~AB (A B) (~A B)

V F V V V V

V F F F F V

F V V V V V

F V F V V V

A proposição (A B) (~A B) é uma tautologia. Um exemplo de Tautologia é: a) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.

b) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo.

c) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.

d) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo.

e) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.

CONTRADIÇÃO Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma contradição se ela for sempre falsa, independente da verdade de seus termos. Exemplo:

A ~A A ~A

V F F

F V F

A proposição A ~A é uma contradição 1) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um homem honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações:

O primeiro diz: “Eu sou o ladrão”.

O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão”.

O terceiro diz: “Eu sou o ladrão”.

Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que: a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro; b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo; c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo; d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro; e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.

2) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade, Janete às vezes fala a verdade e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: “Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita é, respectivamente:

que está sentada à esquerda diz: “Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”.

Page 25: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

25 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

a) Janete, Tânia e Angélica; b) Janete, Angélica e Tânia; c) Angélica, Janete e Tânia; d) Angélica, Tânia e Janete; e) Tânia, Angélica e Janete. 3) Três irmãs – Ana, Maria e Cláudia – foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco, e a terceira preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”. A de branco falou: “Eu sou Maria”. E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco”. Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria às vezes diz a verdade, e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente que era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram. Respectivamente: A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”. A de branco falou: “Eu sou Maria”. E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco”. a) preto, branco, azul; b) preto, azul, branco; c) azul, preto, branco; d) azul, branco, preto; e) branco, azul, preto;

4) Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado”. Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que: Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado”. Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. a) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente. b) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente. c) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente. d) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade. e) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.

5) (MPU/2004) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde, mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações:

Beta: “Alfa respondeu que sim”.

Gama: “Beta está mentindo”.

Delta: “Gama está mentindo”.

Épsilon: “Alfa é do tipo M”.

Page 26: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

26 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

6) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:

Armando: “Sou inocente”

Celso: “Edu é o culpado”

Edu: “Tarso é o culpado”

Juarez: “Armando disse a verdade”

Tarso: “Celso mentiu”

Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando; b) Celso; c) Edu; d) Juarez; e) Tarso. 7) (AFC) Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei, que era um pouco surdo não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram:

Bebelim: “Cebelim é inocente’’.

Cebelim: “Dedelim é inocente”.

Dedelim: “Ebelim é culpado”.

Ebelim: “Abelim é culpado”. O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cincos acusados, disse então ao rei: ’’ Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram’’. O velho rei, que embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era: Assinale a alternativa que apresenta uma contradição

a) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião

b) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião

c) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano

d) Algum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano

e) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano.

NEGAÇÃO

Leis de Morgan:

BABA ~~~

A B BA BA ~

A~ B~ BA ~~

BABA ~~~

A B BA BA~

A~ B~ BA ~~

Negação da afirmação condicional:

Page 27: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

27 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

BABA ~~

A B BA BA~

A B~ BA ~

1) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. b) Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Milão não é a capital da Itália. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vão ao cinema. 2) (AFC) Dizer que não é verdade que: “Pedro é pobre e Alberto é alto”, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 3) A negação da afirmação condicional: “Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é: a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. b) Não esta chovendo e eu levo o guarda-chuva. c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.

Page 28: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

28 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS DE ARISTÓTELES

Lógica de 1ª ordem:

B.é A Todo

B.é não A Algum

B.é A Algum

B.é A Nenhum

SENTENÇA NEGAÇÃO

B.é A Todo B.é não A Algum

B.é não A Algum B.é A Todo

B. éA Algum B.é A Nenhum

B.é A Nenhum B.é A Algum

1) A negação da sentença “Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta a escola” é

a) “Todas as pessoas lentas em aprender freqüentam

esta escola” b) “Todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola” c) “Algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola” d) “Algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola” e) “ enhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola” 2) A negação da proposição “Todos os homens são bons motoristas” é:

a) “Todas as mulheres são boas motoristas” b) “Algumas mulheres são boas motoristas” c) “ enhum homem é bom motorista” d) “Todos os homens são maus motoristas” e) “Ao menos um homem é mau motorista”

4) Se é verdade que “Alguns escritores são poetas” e que “ enhum músico é poeta”, então, também é necessariamente verdade que:

a) Nenhum músico e escritor. b) Algum escritor é músico. c) Algum músico é escritor. d) Algum escritor não é músico. e) Nenhum escritor é músico.

5) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que:

Page 29: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

29 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

a) Todo C é B. b) Todo C é A. c) Algum A é C. d) Nada que não seja C é A. e) Algum A não é C.

6) Em uma pequena comunidade sabe-se que: “ enhum filósofo é rico” e que “alguns professores são ricos” Assim pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade;

a) Alguns filósofos são professores. b) Alguns professores são filósofos. c) Nenhum filósofo é professor. d) Alguns professores não são filósofos. e) Nenhum professor é filósofo.

7) Em uma comunidade todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente:

a) Todo responsável é artista. b) Todo responsável é filósofo ou poeta. c) Todo artista é responsável. d) Algum filósofo é poeta. e) Algum trabalhador é filósofo. 8) (ESAF) Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade decolação de grau estiverem, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio:

a) Todos foram à solenidade de colação de grau de

Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio. b) Pelo menos um não foi à solenidade de colação de

grau de Hélcio c) Alguns foram à solenidade de colação de grau de

Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio. d) Alguns foram à solenidade de colação de grau de

Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

e) Todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

9) (ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:

a) Pelo menos um aluno de português é aluno de inglês. b) Pelo menos um aluno de matemática é aluno de

história. c) Nenhum aluno de português é aluno de matemática. d) Todos os alunos de informática são alunos de

matemática. e) Todos os alunos de informática são alunos de

português. 10) (ESAF) Todas as amigas de Aninha que foram à sua festa de aniversário estiveram, antes, na festa de aniversário de Betinha. Como nem todas amigas de Aninha estiveram na festa de Betinha, conclui-se que, das amigas de Aninha:

a) Todas foram á festa de Aninha e algumas não foram à

festa de Betinha. b) Pelo menos uma não foi à festa de Aninha. c) Todas foram á festa de Aninha, mas não foram à festa

de Betinha. d) Algumas foram à festa de Aninha, mas não foram à

festa de Betinha. e) Algumas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à

festa de Betinha. 11) (ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano, e alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então:

Page 30: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

30 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

a) Nenhum professor de violão é professor de canto. b) Pelo menos um professor de violão é professor de

teatro. c) Pelo menos um professor de canto é professor de

teatro. d) Todos os professores de piano são professores de

canto. e) Todos os professores de piano são professores de

violão. 12) Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então:

a) Pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis. b) Pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.

c) Todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras

d) Todas as meninas de cabelos crespos são alegres. e) Nenhuma menina alegre é loira.

IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA

sentença tautologia

BA BA

BA BA

Exemplos:

BAA

A B BA BAA

Conclusão:

Exemplos:

BBA

A B BA BBA

Conclusão:

Exemplos:

ABBA ~~

A B BA B~ A~ AB ~~

ABBA ~~

Conclusão:

Page 31: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

31 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

EQUIVALÊNCIA

PQQPPQQP ~~~~

P Q QP

Q~ P~ PQ ~~

P~ Q QP ~

1) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:

a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro;

b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro;

c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro;

d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista;

e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.

Page 32: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

32 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

2) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:

a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista;

b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro;

c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista;

d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista;

e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.

3) Laura, Marta e Fernanda compraram um biquíni cada uma nas cores azul, preto e vermelho, mas não necessariamente nesta ordem. Cada uma delas comprou também uma peça de roupa sendo que uma delas foi uma camiseta. Marta comprou uma blusa de alças. Quem comprou o biquíni azul comprou também a miniblusa. Laura não comprou o biquíni vermelho nem o azul. Logo:

a) Laura comprou a camiseta e Marta comprou a

miniblusa. b) Fernanda comprou o biquíni azul e Laura comprou a

camiseta. c) Marta comprou o biquíni vermelho e Fernanda

comprou a camiseta. d) Laura comprou a miniblusa e Fernanda comprou o

biquíni preto. e) Fernanda comprou o biquíni azul e Laura, o vermelho. 4) Clara, Isabel e Luísa procuraram místicos para consultar seus problemas. A que procurava orientação para seus negócios procurou um numerólogo. Luísa não procurou o numerólogo. Clara procurou o astrólogo, mas não buscava resolver um caso de amor. Uma das três procurou uma cartomante. Uma delas buscava resolver um problema familiar. Nessas condições é correto concluir que:

a) Clara procurou o astrólogo para receber orientação para seus negócios.

b) Isabel procurou um numerólogo para resolver um caso de amor.

c) Luísa procurou uma cartomante para resolver um problema familiar.

d) Carla procurou o astrólogo para resolver um problema familiar.

e) Luísa procurou um astrólogo para resolver um caso de amor.

5) Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria. Alguns que conhecem Maria não a admiram. Logo:

a) Todos os que conhecem Maria a admiram b) Ninguém admira Maria c) Alguns que conhecem Maria não conhecem João d) Quem conhece João admira Maria e) Só quem conhece João e Marica conhece Maria 6) Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo:

a) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante. b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes. c) Toda pessoa tenaz é um bom estudante. d) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante. e) O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes.

Page 33: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

33 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO

A lógica estuda os resultados do processo psicológico de raciocínio quando se faz uma listagem de razões para que se acredite em certa conclusão. ARGUMENTO OU FORMA DE DEDUÇÃO Denomina-se Argumento ou Forma de Dedução a relação que associa um conjunto de proposições, chamadas premissas (ou hipóteses), a outra proposição chamada de conclusão (ou tese). A lógica se ocupa na análise dos argumentos.

P1 , P2 , P3 , ... : são as premissas. Q : representa a conclusão.

IMPORTANTE

A Lógica não se preocupa com o valor lógico das premissas e da conclusão, se preocupa apenas com a forma que as premissas se relacionam com a conclusão, ou seja, se o argumento é válido ou inválido.

VALIDADE DE UM ARGUMENTO

Um argumento é Válido, também chamado de Legítimo ou Bem Construído, quando a conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. Qualquer circunstância que torne as premissas de um argumento verdadeiras faz com que sua conclusão seja automaticamente verdadeira. A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e a conclusão. Logo, afirmar que um dado argumento é válido significa afirmar que as premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que não é possível ter a conclusão falsa se as premissas forem verdadeiras. Um argumento é inválido, também chamado de ilegítimo, mal construído ou falacioso, quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Exemplo de argumentos:

P1:De acordo com a acusação, Ou o réu roubou um carro ou roubou uma motocicleta.

P2: O réu roubou um carro.

C: Portanto, o réu não roubou uma motocicleta. Exemplo de argumentos:

P1: Se juízes fossem deuses, então juízes não cometeriam erros.

P2: , juízes não são deuses

C: Portanto. Juízes cometem erros.

Exemplo de argumentos:

P1:Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.

P2:Sócrates não foi mico de circo.

C:Portanto, Lógica não é fácil.

CORRETO, DEDUTIVO E INDUTIVO

Um argumento é dito CORRETO se for válido e, além disso, tiver premissas verdadeiras. Um argumento é dito DEDUTIVO quando sua conclusão trás apenas informações tiradas das premissas, ainda que implícitas. É um argumento de conclusão não-ampliativa. Para um argumento dedutivo válido, caso se tenha premissas verdadeiras, a conclusão será necessariamente verdadeira. Nesses argumentos há uma particularização dentro de situações gerais. Um argumento é dito INDUTIVO quando sua conclusão trás mais informações que as premissas fornecem. É um argumento de conclusão ampliativa. Para um argumento dedutivo válido, caso se tenha premissas verdadeiras a conclusão será possivelmente verdadeira. Nesses argumentos há uma generalização de situações particulares. (CESPE)

P V Q P V Q P Q P Q

P Q P Q

Q

P

Q

P

I II III IV As letras P, Q e R representam proposições, e os esquemas acima representam quatro formas de dedução, nas quais, a partir das duas premissas (proposições acima da linha tracejada), deduz-se a conclusão (proposição

abaixo da linha tracejada). Os símbolos ¬ e são operadores lógicos que significam, respectivamente,não e

então, e a definição de é dada na seguinte tabela verdade.

P Q P V Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Considerando as informações acima e as do texto, julgue os itens que se seguem, quanto à forma de dedução.

1) Considere a seguinte argumentação. Se juízes fossem deuses, então juízes não cometeriam erros.

Juízes cometem erros.

Portanto, juízes não são deuses.

Page 34: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

34 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

Essa é uma dedução da forma IV.

2) Considere a seguinte dedução.

De acordo com a acusação: O réu roubou um carro ou roubou uma motocicleta.

O réu roubou um carro.

Portanto, o réu não roubou uma motocicleta.

Essa é uma dedução da forma II.

3) Dadas as premissas P Q; ¬Q; R P, é possível fazer uma dedução de ¬R usando-se a forma de dedução IV.

4) Na forma de dedução I, tem-se que a conclusão será verdadeira sempre que as duas premissas forem verdadeiras.

(CESPE) A forma de uma argumentação lógica consiste de uma seqüência finita de premissas seguidas por uma conclusão. Há formas de argumentação lógica consideradas válidas e há formas consideradas inválidas. A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes.

5) A seguinte argumentação é inválida. Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.

Premissa 2: João é funcionário e conhece contabilidade.

Conclusão: João sabe lidar com orçamento.

6) - A seguinte argumentação é válida.

Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.

Premissa 2: Carlos não paga os impostos devidos.

Conclusão: Carlos não é uma pessoa honesta.

7) - A seqüência de proposições

Se existem tantos números racionais quanto números irracionais, então o conjunto dos números irracionais é infinito.

O conjunto dos números irracionais é infinito.

Existem tantos números racionais quanto números irracionais.

é uma argumentação da forma

P Q Q P

8) A argumentação Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.

Lógica não é fácil.

Sócrates não foi mico de circo.

é válida e tem a forma

P Q ¬P ¬Q Considere que as letras P, Q, R e T representem

proposições e que os símbolos ¬, , v e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

9) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) V (¬ Q) também é verdadeira.

10) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R

é falsa, então a proposição R (¬ T) é falsa.

11) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a

proposição R é falsa, então a proposição (P

R) (¬ Q) é verdadeira.

Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens seguintes.

Page 35: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

35 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

12) Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada

por ¬ P Q é falsa.

13) O número de valorações possíveis para

(Q ¬R) P é inferior a 9.

14) Considere as proposições A, B e C a seguir. A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso público.

B: Jane foi aprovada em concurso público.

C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça.

Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V.

A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas idéias de natureza lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por exemplo, a implicação lógica denotada por

P Q pode ser interpretada como uma inclusão entre

conjuntos, ou seja, como QP , em que P é o conjunto

cujos objetos cumprem a condição p, e Q é o conjunto cujos objetos cumprem a condição q. Com o auxílio do texto acima,

15) Julgue se a proposição apresentada em cada item a seguir é equivalente à sentença abaixo.

“Se um indivíduo está inscrito no concurso do Senado Federal, então ele pode ter acesso às provas desse concurso”.

I. Se um indivíduo não pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele não está inscrito nesse concurso.

II. O conjunto de indivíduos que não podem ter

acesso às provas do concurso do Senado Federal e que estão inscritos nesse concurso é vazio.

III. Se um indivíduo pode ter aceso às provas do

concurso do Senado Federal, então ele está inscrito nesse concurso.

IV. O conjunto de indivíduos que podem ter acesso

às provas do concurso do Senado Federal é igual ao conjunto de indivíduos que estão inscritos nesse concurso.

V. O conjunto de indivíduos que estão inscritos no

concurso do Senado Federal ou que podem ter acesso às provas desse concurso está contido neste último conjunto.

16) O Teorema Fundamental da Aritmética afirma

que: Se n for um número natural diferente de 1, então n pode serdecomposto como um produto de fatores primos, de modoúnico, a menos da ordem dos fatores. Julgue se cada um dos itens subseqüentes reescreve, de modocorreto e equivalente, o enunciado acima.

I. É condição suficiente que n seja um número natural para quen possa ser decomposto como um produto de fatores primos,de modo único, a menos da ordem dos fatores.

II. É condição necessária que n seja um número

natural para que n possa ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.

III. Se n não possuir decomposição como um

produto de fatores primos, que seja única, a menos da ordem dos fatores, então n não é um número natural diferente de 1.

Page 36: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

36 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

IV. Ou n não é um número natural diferente de 1, ou

n tem umadecomposição como um produto de fatores primos, que éúnica, a menos da ordem dos fatores.

V. n é um número natural diferente de 1 se puder

serdecomposto como um produto de fatores primos, de modoúnico, a menos da ordem dos fatores.

Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga. Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário. Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue os itens a seguir.

17) A proposição correspondente à negação da premissa é logicamente equivalente a “ omo eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi”

18) Se a proposição “Eu não sou traficante” for verdadeira, então a premissa 2 será uma proposição verdadeira, independentemente dos valores lógicos das demais proposições que a compõem.

19) Sob o ponto de vista lógico, a argumentação do jovem constitui argumentação válida.

20) Se P e Q representam, respectivamente, as

proposições “Eu não sou traficante” e “Eu sou usuário”, então a premissa estará corretamente representada por .

JUROS E DESCONTOS SIMPLES

CONCEITO DE JUROS:

Os juros consistem na remuneração do capital, ou seja, o preço que se paga por utilizar um bem que não nos pertence. Quem determina que parte do capital será tomada como juros, em cada unidade de tempo, é a TAXA.

CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES: A taxa incide, sempre, sobre o capital inicial. Se o capital ficar aplicado/emprestado “t” períodos, a taxa (i) incidirá

sobre o capital (c), “t” vezes, logo os juros (J) produzidos pelo capital “ ” à taxa “i” em “t” períodos, será:

Onde a taxa pode ser inserida na forma decimal ou fracionária. CÁLCULO DO MONTANTE SIMPLES: O montante corresponde ao total ao qual o aplicador tem direito após “t” períodos de aplicação

1. Um capital de R$ 10 500,00 foi aplicado a juros simples. Sabendo que a taxa de juros contratada foi de 42% ao ano, então, não tendo sido feito qualquer depósito ou retirada, o montante de R$ 11 725,00 estará disponível a partir de quanto tempo da data de aplicação?

(A) 4 meses. (D) 3 meses.

(B) 3 meses e 20 dias. (E) 2 meses e 20 dias.

(C) 3 meses e 10 dias.

2. Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa anual de 36%. Para que seja possível resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá ficar aplicado por um período mínimo de:

(A) 7 anos, 6 meses e 8 dias. (D) 11 anos e 8 meses.

(B) 8 anos e 4 meses. (E) 11 anos, 1 mês e 10 dias.

(C) 8 anos, 10 meses e 3 dias.

3. Numa aplicação a juro simples um capital produz em 2 meses o montante de R$ 5 460,00. Se aplicado à mesma taxa mensal, o mesmo capital produziria, ao final de 5 meses, o montante de R$ 5 850,00. O valor desse capital é a) R$ 5 280,00 b) R$ 5 200,00 c) R$ 5 180,00 d) R$ 5 100,00 e) R$ 5 008,00 4. Um capital foi aplicado a juro simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um

montante equivalente a de seu valor. A taxa mensal

dessa aplicação foi de a)2% b)2,2%

Page 37: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

37 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

c)2,5% d)2,6% e)2,8% 5. Um capital de R$ 15 000,00 foi aplicado a juro simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19 050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de a) 1 ano e 10 meses. b) 1 ano e 9 meses. c) 1 ano e 8 meses. d) 1 ano e 6 meses. 6. Um televisor é vendido em uma loja onde o comprador pode escolher uma das seguintes opções: I. R$ 5 000,00, à vista sem desconto. II. R$ 1 000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$ 4 500,00 em 1 (um) mês após a data da compra. A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento da segunda opção, que vence em 1 (um) mês após a data da compra, é de

(A) 30%

(B) 25%

(C) 20% (D) 15% (E) 12,5%

7. Uma empresa oferece aos seus clientes desconto de 10% para pagamento no ato da compra ou desconto de 5% para pagamento um mês após a compra. Para que as opções sejam indiferentes, a taxa de juros mensal praticada deve ser, aproximadamente, a) 0,5%. b) 3,8%. c) 4,6%. d) 5,0%. e) 5,6%.

DESCONTOS

DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) SIMPLES: Descontar significa pagar uma dívida, antecipadamente, (antes do vencimento). Se o pagamento ocorre antes do vencimento, então os juros contidos na dívida devem ser retirados e, o devedor, pagará apenas o principal, ou seja, o valor da dívida na data da quitação. Se os juros retirados foram os mesmos incorporados, dizemos que houve um desconto verdadeiro, racional ou “por dentro”

CARACTERÍSTICAS:

Temos, assim, que o desconto racional é o “retorno” de uma aplicação feita a juros simples. NOMENCLATURA DOS DESCONTOS Valor atualizado do título: A

Valor no vencimento: valor nominal – N

Taxa do desconto: i Prazo de antecipação: t desconto (racional): d Obs.:O desconto é a diferença entre o valor nominal e o Atual. Associando ideias, temos que valor nominal é montante (N = M) e valor atual é capital inicial (A = C), então, da fórmula:

Page 38: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

38 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

EQUAÇÕES:

Já que os descontos devem ser iguais aos juros embutidos. Resumo: Se o desconto for racional, pode-se usar as mesmas fórmulas do juros simples, lembrando-se que: Montante = Nominal Capital = Atual Juros = desconto DESCONTO COMERCIAL / BANCÁRIO (POR FORA) SIMPLES: Nessa modalidade de desconto de títulos permanecem as idéias básicas de desconto, porém agora aplica-se a taxa de desconto sobre o valor nominal (No desconto racional a taxa incide sobre o valor atual-A)

CARACTERÍSTICAS:

hamaremos o desconto comercial de “ ” Como N > A, é claro que D > d

EQUAÇÕES:

Agora, para resgatar um título antes de seu vencimento, a taxa é aplicada “t” vezes sobre o valor nominal, o que significa que o valor atual obtido, reaplicado à mesma taxa não atingirá o valor do nominal, pois a taxa incidiria sobre o valor atual.

Concluímos, então, que para restaurar o valor nominal, à partir do Atual obtido no desconto comercial, deve-se usar uma taxa maior que a do desconto. Essa taxa é conhecida por Taxa Real (efetiva) da operação e sua relação com a Taxa de Desconto é: Um título com valor de face de R$ 1.000,00, faltando 3 meses para seu vencimento, é descontado em um banco que utiliza taxa de desconto bancário, ou seja, taxa de desconto simples “por fora”, de % ao mês O valor presente do título, em reais, é (A) 860,00 (B) 850,00 (C) 840,00 (D) 830,00 (E) 820,00 Uma duplicata foi descontada em R$ 700,00, pelos 120 dias de antecipação. Se foi usada uma operação de desconto comercial simples, com a utilização de uma taxa anual de desconto de 20%, o valor atual do título era de:

(A) R$ 7 600,00.

(B) R$ 8 200,00.

(C) R$ 9 800,00.

(D) R$ 10 200,00. (E) R$ 10 500,00. Uma duplicata no valor de R$ 6 900,00 foi resgatada 3 meses antes de seu vencimento. Considerando que a taxa anual de desconto comercial simples foi de 48%, então, se o valor atual dessa duplicata era X reais, é correto afirmar que

(A) X ≤

(B) < X ≤ 8

( ) 8 < X ≤ 9

(D) 5 9 < X ≤ (E) X > 6 000. Um título de valor nominal igual a R$ 25 000,00 foi descontado por uma empresa 40 dias antes de seu vencimento, segundo a operação de desconto comercial simples, à taxa de desconto de 3% ao mês. Considerando a convenção do ano comercial, a empresa recebeu, no ato da operação,

(A) R$ 24 000,00

(B) R$ 23 850,00

(C) R$ 23 750,00

(D) R$ 23 500,00 (E) R$ 22 500,00 Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor atual igual a R$ 21.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do

Page 39: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

39 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

primeiro título é descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 2% ao mês. O valor atual deste segundo título é de (A) R$ 42.160,80. (B) R$ 41.529,60. (C) R$ 40.664,40. (D) R$ 39.799,20. (E) R$ 38.934,00. Uma empresa desconta em um banco um título com vencimento daqui a 4 meses, recebendo no ato o valor de R$ 19 800,00. Sabe-se que a operação utilizada foi a de desconto comercial simples. Caso tivesse sido aplicada a de desconto racional simples, com a mesma taxa de desconto anterior i (i > 0), o valor que a empresa receberia seria de R$ 20 000,00. O valor nominal deste título é de

(A) R$ 21 800,00 (D) R$ 22 800,00

(B) R$ 22 000,00 (E) R$ 24 000,00

(C) R$ 22 400,00

Em suas operações de desconto de duplicatas, um banco cobra uma taxa mensal de 2,5% de desconto simples comercial. Se o prazo de vencimento for de 2 meses, a taxa mensal efetiva nessa operação, cobrada pelo banco, será de, aproximadamente, (A) 5,26% (B) 3,76% (C) 3,12% (D) 2,75% (E) 2,63%

JUROS E DESCONTOS COMPOSTOS

MONTANTE: O princípio fundamental de uma aplicação / empréstimo feito sob o regime de juros compostos é o fato de que a taxa incide, periodicamente, sobre o capital acumulado até o período anterior. Assim: Se aplicarmos C à taxa i por t períodos, teremos ao final do:

ti) C . ( M período t

i) C( i) . ( i) C(: M º período

i) C( i ) . ( i) C(: M º período

i) C ( c . i C . M º período:

1

1113

1112

11

0

32

21

1

Daí a fórmula fundamental usada no regime de juros compostos.

t i) C . (M 1

Os juros compostos são calculados pela diferença:

CMJ

PERÍODO MONTANTE SIMPLES

MONTANTE COMPOSTO

O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa de juros utilizada.

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros (A) compostos, sempre. (B) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. (C) simples, sempre. (D) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. (E) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. NOTA:

Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentando um montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa

Page 40: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

40 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

de juros compostos de 15% ao ano, então o montante no final deste prazo seria igual a (A) R$ 17.853,75. (B) R$ 17.192,50. (C) R$ 16.531,25. (D) R$ 15.870,00. (E) R$ 15.606,50. Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de (A) R$ 560,00 (B) R$ 585,70 (C) R$ 593,20 (D) R$ 616,00 (E) R$ 617,40 Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou R$ 2 000,00 em 05/06/97 e R$ 3 000,00 em 05/09/97. Se o banco pagou juros compostos à taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de A) R$ 5 320,00 B) R$ 5 480,00 C) R$ 5 620,00 D) R$ 5 680,00 E) R$ 5 720,00

TAXAS

TAXAS PROPORCIONAIS:

..%5,0..%180

..%6..%18

..%5..%20

..%5..%30

..%9..%3

..%20..%5

..%24..%0,2

..%0,6 ..%5,0

360

3

4

6

3

4

12

30

daaa

mata

maqa

masa

tama

qama

aama

mada

Exemplos:

TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Exemplo 1: Um capital aplicado à taxa de 24% a.a. é capitalizado trimestralmente. Determinar a taxa nominal e a taxa efetiva da aplicação:

Exemplo 2: Um capital aplicado à taxa de 4% a.m. é capitalizado quadrimestralmente. Determinar a taxa nominal e a taxa efetiva da aplicação:

Exemplo 3: Um capital aplicado à taxa de 10% a.m. é capitalizado semestralmente. Determinar a taxa nominal e a taxa efetiva da aplicação:

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO: Se, em um investimento, o capital é incorporado de juros, ao longo do tempo, é racional pensar que, fazendo o caminho contrário, ou seja, à partir do montante (ou valor futuro, ou valor nominal), para encontrar o valor do capital inicial (ou valor atual) que deu origem a ele, bastaria retirar do montante os juros que a ele foram adicionados. Essa operação assim realizada denomina-se desconto racional (os juros retirados representam o desconto). Utiliza-se, portanto a mesma fórmula dos juros compostos, com a devida terminologia:

Se M = C . (1 + i)t

então N = A . (1 + i)t

onde: N: valor nominal (valor do título na data do vencimento) A: valor atual (valor do título na data da quitação) i: taxa do desconto racional composto

Page 41: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

41 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

t: prazo de antecipação Obs.: como nos descontos simples, tem-sem sempre: D = N - A onde D é o desconto. DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO: Tipo de desconto realizado sob o regime de juros compostos, onde a taxa incide sucessivamente sobre o valor nominal do título, gerando a seguinte expressão para seu cálculo:

A = N (1 - i)t

Exemplo: Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale (A) 399,00 (B) 398,00 (C) 397,00 (D) 396,00 (E) 395,00

ESTATÍSTICA

Quando algumas pessoas ouvem a palavra “estatística”, imaginam logo taxa de acidente, índices de mortalidade, litros por quilômetro, etc. Essa parte da estatística, que utiliza números para descrever fatos, é chamada, de forma bastante apropriada, estatística descritiva.

Outro ramo da estatística relaciona-se com a probabilidade, e é útil para analisar situações que envolvem o acaso. Jogos de dados e de cartas, ou o lançamento de uma moeda para o ar enquadram-se na categoria do acaso.

Um terceiro ramo da estatística é a inferência. Diz respeito a análise e interpretação de dados amostrais. A idéia básica da amostragem é efetuar determinada mensuração sobre uma parcela pequena, mas típica, de determinada “população” e utilizar essa informação para fazer inferência sobre a população toda.

Firmas comerciais e entidades governamentais recorrem a amostragem por várias razões. O custo é usualmente um fator relevante.

Outra razão para o emprego de amostragem é que o valor da informação em geral dura pouco. Para ser útil, a informação deve ser obtida e usada rapidamente. Por vezes, o exame de determinado artigo o destrói.

A estatística compreende a estatística descritiva, a teoria da probabilidade e amostragem.

Um modelo interessante, que pode ser usado para ilustrar a amostragem, é uma urna contendo grande número de bolinhas de diversas cores. As bolinhas representam membros de alguma população. Pode-se mostrar que. Se as bolas estiverem bem misturadas, uma amostra relativamente pequena (50, digamos) poderá refletir muito bem a população. Isto é, a divisão das bolas por cor, na amostra, se aproximará bastante da divisão por cores na população (urna).

Um modelo é uma versão simplificada de algum problema ou situação da vida real destinado a ilustrar certos aspectos do problema sem levar em conta todos os detalhes.

CONCEITOS BÁSICOS

ESTATÍSTICA – É o campo do conhecimento científico que trata de coletar e analisar dados observados com fins de se tirar conclusões ou se tomar decisões

UNIVERSO – É o conjunto constituído por todos os elementos possíveis, sendo que, tais elementos podem ser reunidos em subconjuntos denominados populações

POPULAÇÃO – É o total de objetos ou indivíduos que possuem uma mesma característica

CENSO – É a operação que consiste numa apuração dos valores que constituem uma população. É o levantamento total da população

Page 42: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

42 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

AMOSTRA – É a parte representativa da população

EXPERIMENTO ALEATÓRIO – É a experiência feita para o conhecimento de determinado fenômeno. Caracteriza-se pelo fato de poder ser repetido sempre sob as mesmas condições. A qualquer resultado proveniente de um experimento aleatório é denominado acontecimento ou evento.

ATRIBUTO – É a avaliação de um característico de qualidade, baseada em uma classificação, apesar de poder ser expressa por um número, não implica necessariamente uma mensuração.

VARIÁVEL – É a avaliação de um característico de quantidade com base na medida correspondente à leitura de uma escala. Podem ser discretas ou contínuas.

VARIÁVEL DISCRETA – É uma variável numérica cujos valores se obtém a partir do procedimento de contagem.

VARIÁVEIS CONTÍNUAS – São aquelas que podem assumir qualquer valor entre dois dados (não enumeráveis)

ORGANIZAÇÃO DE DADOS

Os métodos estatísticos envolvem a análise e a interpretação de números, tais como renda anual, vendas mensais, escores de testes, número de peças defeituosas, percentagem de respostas favoráveis a um questionário, vida ativa, etc.

Os dados estatísticos se obtêm mediante um processo que envolve a observação ou outra mensuração de itens tais como renda anual numa comunidade, escores de testes, quantidade de café por xícara servida por uma máquina automática, resistência à ruptura de fibras de náilon, percentagem de açúcar em cereais, etc. Tais itens chamam-se variáveis, porque originam valores que tendem a exibir certo grau de variabilidade quando se fazem mensurações sucessivas.

As variáveis contínuas podem assumir qualquer valor num intervalo contínuo. Os dados referentes a tais variáveis dizem-se dados contínuos.

As variáveis discretas assumem valores inteiros. Os dados discretos são o resultado da contagem do número de itens.

Tanto os dados discretos como os contínuos se dizem quantitativos, porque são inerentemente numéricos. Isto é, certos valores numéricos acham-se naturalmente associados às variáveis que estamos medindo. Por outro lado, os dois tipos restantes de dados – nominais e por postos – envolvem variáveis que não são inerentemente numéricas. São as variáveis que não são inerentemente numéricas. São as variáveis qualitativas – que devem ser convertidas em valores numéricos antes de serem processadas estatisticamente.

Os dados nominais surgem quando se definem categorias e se conta o número de observações pertencentes a cada categoria. Por exemplo, nos concursos de culinária, de beleza, de flores e de cães, os elementos se classificam como primeiro, segundo, terceiro, etc.

Os dados por postos consistem de valores relativos atribuídos para denotar ordem: primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc.

ANÁLISE DE PEQUENOS CONJUNTOS DE DADOS

A análise de dados freqüentemente segue linhas diferentes, conforme se trate de um grande ou de um pequeno conjunto de dados. Quando há, digamos, 30 dados pontuais ou menos, utilizam-se os métodos indicados nas páginas que seguem imediatamente.

Conquanto não exista um padrão que se possa considerar o melhor, há técnicas que se prestam melhor que outras a determinadas situações.

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

As medidas de tendência central são usadas para indicar um valor que tende a tipificar, ou a representar melhor, um conjunto de números. As três medidas mais usadas são a média, a mediana e a moda.

A MÉDIA

A média de uma amostra * é representada pelo

símbolo x (leia-se “x barra”), e seu cálculo pode

expressar-se em notação sigma como segue.

n

x

x

n

i

i 1

:como tesimplismen maisou

A média tem certas propriedades interessantes e úteis, que explicam por que é ela a medida de tendência central mais usada:

1- A média de um conjunto de números pode sempre ser calculada.

2- Para um dado conjunto de números, a média é única.

3- A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto.Assim, se um valor se modifica, a média também se modifica.

4- Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada do valor dessa constante.

5- A soma dos desvios dos números de um conjunto a contar da média é zero.

0 xxi

A MÉDIA PONDERADA

Page 43: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

43 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

A fórmula anterior para calcular a média aritmética supõe que cada observação tenha a mesma importância. Conquanto este caso seja o mais geral, há exceções.

n

i

i

n

iii

P

w

w

xx

1

1

ponderada média

onde wié o peso da observação de ordem.

A MEDIANA

Uma segunda medida do meio de um conjunto de números é a mediana. Sua característica principal é dividir um conjunto ordenado de dados em dois grupos iguais;a metade terá valores inferiores à mediana, a outra metade terá valores superiores à mediana. Para calcular a mediana, é necessário primeiro ordenar os valores (comumente) do mais baixo ao mais alto. Em seguida, conta-se até a metade dos valores para achar a mediana.

O processo para determinar a mediana é o seguinte:

1- Ordenar os valores.

2- Verificar se há um número ímpar ou par de valores.

3- Para um número ímpar de valores, a mediana é o valor do meio. Para um número par de valores, a mediana é a média dos dois valores do meio.

COMPARAÇÃO ENTRE MÉDIA E MEDIANA

A média é sensível a (ou influenciada por) cada valor do conjunto, inclusive os extremos. Por outro lado, a mediana é relativamente insensível aos valores extremos.

A MODA

A moda é o valor que ocorre com maior freqüência num conjunto.

Comparação entre Média, Mediana e Moda:

Definição Vantagens Limitações

Média n

xx

i

1. reflete cada valor 1. é

influenciada por valores extremos

2. possui propriedades matemáticas atraentes

Mediana

metade dos valores são

maiores metade

menores

1. menos sensível a valores extremos do que a média

1. difícil de determinar para grande quantidade de dados

Moda valor mais 1. valor 1. não se

freqüente “típico”: maior quantidade de valores concentrados neste ponto

presta análise matemática

2. pode não ser moda para certos conjuntos de dados

Exemplos:

4 8 9 2

8 6 3 1

10 4 4 3

6 7 7 6

média= 5,5

mediana= 6

moda= 4

Dados brutos

50 150 100 100

80 60 70 40

10 120 100 50

30 100 50 6

média= 69,75

mediana= 65

moda= 100

Dados brutos

13,2 4,7 9,5 9,7

10,9 5,6 0,1 12,5

9,2 2,8 4,1 4,6

3,5 8,3 6,4 3,2

média= 6,8

mediana= 6,0

moda= #N/D

Dados brutos

A ANÁLISE DE GRANDES CONJUNTOS DE DADOS

Os métodos principais para organizar dados estatísticos compreendem o arranjo ou disposição dos itens em subconjuntos que apresentem características similares.

A designação para os dados dispostos em grupos ou categoria é distribuição de freqüência.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

Uma distribuição de freqüência é um grupamento de dados em classes, exibindo o número ou percentagem de observações em cada classe. Uma distribuição de

Page 44: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

44 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

freqüência pode ser apresentada sob forma gráfica ou tabular.

Construção de uma Distribuição de Freqüência para Dados Contínuos

Os principais estágios na construção de uma distribuição de freqüência para dados amostrais são:

1. Estabelecer as classes ou intervalos de grupamento dos dados.

2. Enquadrar os dados nas classes, mediante contagem.

3. Contar o número em cada classe.

4. Apresentar os resultados numa tabela ou num gráfico.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

DADOS BRUTOS – São aqueles que não se encontram prontos para análise, por não estarem numericamente organizados.

Ex.: 3, 1, 2, 5, 8, 1, 2, 3, 18, 3, 4, 9, 9

ROL – É uma lista em que os valores estão dispostos em ordem crescente ou decrescente de grandeza

Ex.: 2, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10

FREQÜÊNCIA (fi) – É o número de observações ou repetições de um determinado valor, ou seja, é o número de casos observados.

TABULAÇÃO – É a condensação de todos os resultados em uma tabela, estabelecendo a correspondência entre o valor individual e o respectivo número de vezes que ele foi observado

AMPLITUDE TOTAL (AT) – É a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável em estudo

CLASSE DE FREQÜÊNCIA (K) – É cada um dos grupos de valores em que se subdivide a amplitude do conjunto de valores observados

LIMITE SUPERIOR E LIMITE INFERIOR – São os valores extremos da classe

LIMITE REAL DE CLASSE – É a média aritmética entre o limite superior de uma classe e o limite inferior da classe seguinte.

AMPLITUDE DO INTERVALO OU COMPRIMENTO DE CLASSE (c) - É a diferença entre os limites superior e inferior de uma classe

PONTO MÉDIO DA CLASSE (Xj) – É a média aritmética simples dos limites superior e inferior de uma classe

FREQÜÊNCIA:

SIMPLES ABSOLUTA (fi) – É o número de repetições ou observações de um valor individual ou de uma classe de valores da variável, ou seja, é o número de casos observados

= é a soma das freqüências simples absolutas e é igual ao número total de casos observados

SIMPLES RELATIVA

n

f

f

ffr i

i

ii

ACUMULADA ABSOLUTA (Fi) = ode ser: “Abaixo de” ou crescente e “Acima de” ou decrescente A freqüência acumulada absoluta “abaixo de” uma classe ou de um valor individual é a soma da freqüência simples absoluta dessa classe ou deste valor com as freqüências simples absolutas das classes ou dos valores “anteriores”

ACUMULADA RELATIVA

n

FFr i

i

Exemplo 1:

Dados Brutos:

6 9 2 7 0 8 2 5 4 2

5 4 4 4 4 2 5 6 3 7

3 8 8 4 4 4 7 7 6 5

4 7 5 3 7 1 3 8 0 6

5 1 2 3 6 0 5 6 6 3

Tabela de Freqüências:

Histograma de Freqüências Relativas:

Histograma de Freqüências Relativas Acumuladas (OGIVA):

Page 45: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

45 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

Exemplo 2:

Dados Brutos:

11,10 12,50 32,40 7,80 21,00 16,40 11,20 22,30

4,40 6,10 27,50 32,80 18,50 16,40 15,10 6,00

10,70 15,80 25,00 18,20 12,20 12,60 4,70 23,50

14,80 22,60 16,00 19,10 7,40 9,20 10,00 26,20

3,50 16,20 14,50 3,20 8,10 12,90 19,10 13,70

Tabela de Freqüências:

Histograma de Freqüências Relativas:

Histograma de Freqüências Relativas Acumuladas (OGIVA):

MEDIDAS DE DISPERSÃO

Se os valores estão relativamente próximos uns dos outros, ou separados.

Consideramos quatro medidas de dispersão: o intervalo, desvio médio, a variância e o desvio padrão. Todas elas, exceto o intervalo, têm na média o ponto de referência.

Consideremos quatro medidas de dispersão: o intervalo, o desvio médio, a variância e o desvio padrão. Todas elas exceto o intervalo, têm na média o ponto de referência.

O INTERVALO

O intervalo pode ser expresso pela diferença entre o maior e o menor número num grupo, ou pela identificação desses dois números.

Seguem-se alguns exemplos:

Intervalo

Números Diferença Do Menor

ao Maior

13-1=12 de 1 a 13

73-3=70 de 3 a 73

10,3-1,9=8,4 de 1,9 a 10,3

Variância:

Na teoria da probabilidade e na estatística, a variância de uma variável aleatória é uma medida da sua dispersão estatística, indicando quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado.

Para uma distribuição de freqüências:

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

3-8 8-13 13-18 18-23 23-28 28-33

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

3-8 8-13 13-18 18-23 23-28 28-33

Page 46: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

46 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

Desvio padrão:

Em probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a medida mais comum da dispersão estatística. O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da variância. É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da dispersão que:

1. seja um número não-negativo;

2. use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos inicialmente.

Exercícios

1. Palmira faz parte de um grupo de 10 funcionários do Banco do Brasil cuja média das idades é 30 anos. Se Palmira for excluída do grupo, a média das idades dos funcionários restantes passa a ser 27 anos. Assim sendo, a idade de Palmira, em anos, é

(A) 60. (B) 57. (C) 54.

(D) 52. (E) 48.

2. Os salários dos 40 empregados de uma empresa, em 31 de dezembro de 2005, estavam distribuídos conforme a tabela abaixo:

SALÁRIO

R$

NÚMERO DE

FINCIONÁRIOS

400 4

550 8

1000 10

1400 16

1800 2 Neste caso, tem-se que a média aritmética dos salários dos empregados é

(A) R$ 1 400,00 (B) R$ 1 230,00

(C) R$ 1 150,00 (D) R$ 1 100,00

(E) R$ 1 050,00

3. O histograma de freqüências absolutas abaixo demonstra o comportamento dos salários dos 160 empregados de uma empresa em dezembro de 2005:

Utilizando as informações nele contidas, calculou-se a média aritmética dos valores dos salários destes empregados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Escolhendo aleatoriamente um empregado da empresa, a probabilidade dele pertencer ao mesmo intervalo de classe do histograma ao qual pertence a média aritmética calculada é

(A) 6,25% (D) 31,25%

(B) 12,50% (E) 32,00%

(C) 18,75%

4. A tabela abaixo apresenta dados parciais sobre a folha de pagamento de um Banco

Um desses empregados foi sorteado para receber um prêmio. A probabilidade desse empregado ter seu salário na faixa de R$ 300,00 a R$ 500,00 é (A) 1/3 (B) 2/5 (C) 1/2 (D) 3/5 (E) 7/10

Para responder às questões de nos 5 e 6, utilize os dados da tabela abaixo, que apresenta as freqüências acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20 anos.

5. Um desses jovens será escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o jovem escolhido tenha menos de 18 anos, sabendo que esse jovem terá 16 anos ou mais? (A) 8/14 (B) 8/16 (C) 8/20 (D) 3/14 (E) 3/16

Page 47: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

47 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

6. Uma das medidas de dispersão é a variância

populacional, que é calculada por:

n

mxn

i 1

2

Sabendo-se que m é a média aritmética dessas idades, qual a variância das idades na população formada pelos 20 jovens? (A) 0,15 (B) 0,20 (C) 1,78 (D) 3,20 (E) 3,35

Page 48: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

48 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

EQUAÇÕES DO 1º GRAU Denominamos equações do primeiro grau às equações redutíveis à forma:

ax + b = 0

(com a 0)

zz

yy

xx

x

Exemplos

934

9842

3245

032

:

Raiz de uma Equação

R

:log

)açãoindetermin(0

0

00

000

:

0 e 0

0

:º1

S

o

x

x

x

raizes

basendo

bax

caso

S

o

impossível

sendo

bax

caso

:log

)(0

b-x

-b0x

0b0x

:raizes

0b e 0a

0

:º2

}{

x

-bax

0bax

:raiz

0a

0

:º3

a

bS

a

b

sendo

bax

caso

Problemas do 1º Grau

1) Qual é o número que adicionado a 5 é igual à sua metade mais 7?

2) O triplo de um número, menos 49, é igual à sua metade mais 20. Qual é este número?

3) Três números consecutivos somam 369. Determine o maior deles.

4) Três números pares e consecutivos soma 702. Determine o menor deles.

5) Três números ímpares e consecutivos somam 831. Determine o maior deles.

6) A soma de 11 números consecutivos deu 198. Determine o maior deles.

7) Qual é o número cujo triplo excede de 16 a sua Terça parte?

8) A soma de um número com a sua terça parte é igual à metade desse número acrescida de 30. Qual é esse número?

9) Encontrar dois números consecutivos cuja soma seja igual a 2/3 do menor com 9/7 do maior.

10) Liquidaram-se três contas com a quantia total de R$ 1.300,00. A primeira foi paga com tanta notas de R$ 50,00 quantas a Segunda de R$ 10,00 e a terceira de R$ 5,00. Qual é o valor da menor das três contas?

11) Certa quantia foi dividida em partes iguais entre dois irmãos. Atualmente, a parte do mais velho está aumentada de 2/7 e a parte dos mais moço, diminuída de 3/5 do valor inicial. Sabendo-se que o mais velho tem R$ 6.200,00 mais do que o mais moço, quanto tem hoje, este último?

Sistema de Equações do 1º Grau com duas Variáveis

Um sistema de equações com duas variáveis, x e y, é um conjunto de equações do tipo

ax + by = c onde (a, b, c R ) ou de equações redutíveis a esta forma.

62

234)

725

032)

:

yx

yxb

yx

yxa

Exemplos

Resolução Algébrica

a)método da adição:

1203

222

102

21

102

:

1

102

yx

yx

yx

yx

yx

resolução

yx

yx

Page 49: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

49 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

3,4

3

41

141

14

1

4

3

12

123

S

y

y

y

y

yx

x

x

x

b)método da substituição:

3,4

4

31

1

: xde valor o se-calculando

3

3

9

93

1103

1021

102

equação 1º nay 1por x se-dosubstituin

1

1

:equação 2º na x se-separando

1

102

S

x

x

yx

y

y

y

y

yy

yx

yx

yx

yx

yx

Sistema Indeterminado

Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variáveis, chegarmos a uma expressão do tipo 0 = 0 ou 3 = 3 ou qualquer outra que expresse uma sentença sempre verdadeira, o sistema terá infinitas soluções e diremos que ele é possível mas indeterminado.

Sistema Impossível

Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variáveis, chegarmos a uma expressão do tipo 0 = 3 ou 2 = 5 ou qualquer outra que expresse uma sentença sempre falsa, o sistema não terá qualquer solução e diremos que ele é impossível. O conjunto-solução de um sistema impossível é vazio.

Exercícios

1)

1yx

5yx

Solução:

3,2

2131

32

6y

152y

5y1-y

5yx

:equação 1º na x doSubstituin

1-yx

1y-x

:equação segunda na x Separando

S

yx

2)

7yx2

1y2x

Solução:

1,3

32112121

15

5

55

55

275

742

72y-12

:equação segunda na doSubstituin

2y-1x

:equação primeira na x

S

yx

y

y

y

y

yy

y

Separando

3)

5yx

11y2x

Solução:

Page 50: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

50 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

2,7

7255

23

6

63

5113

1125

112

:equação º1

5

5

:equação º2

S

yx

y

y

y

yy

yx

yx

yx

4)

3y5x4

13y7x3

Solução:

1,2

23

6

63

7133

1373

13)1(73

1373

143-

43y

4343y-

91512

522812

3- 354

4 1373

S

x

x

x

x

x

yx

yx

yx

yx

yx

5) Dividir o número 120 em duas partes, tais que a maior exceda a menor em 30 unidades.

Solução:

75,45

75304530

452

90

902

301202

12030

120

30

120

S

xy

x

x

x

xx

yx

xy

yx

6) Dois números são tais que se multiplicando o maior por 5 e o menor por 6 os produtos serão iguais. O menor, aumentando de 1 unidade, fica igual ao maior, diminuído de 2 unidades. Quais são estes números? 7) Numa gincana cultural, cada resposta correta vale 5 pontos, mas perdem-se 3 pontos para cada resposta errada. Em 20 perguntas, minha equipe só conseguiu 44 pontos. Quantas perguntas ela acertou?

8) Somando-se 8 ao numerador, uma fração fica equivalendo a 1. Se, em vez disso, somássemos 7 ao denominador, a fração ficaria equivalente a 1/2. Qual a fração original?

9) Num quintal encontram-se galinhas e coelhos, num total de 30 animais. Contando os pés seriam ao todo, 94. Quantos coelhos e quantas galinhas estão no quintal?

10) Quando o professor Oliveira entrou na sala dos professores, o número de professores presentes ficou igual ao triplo do número de professoras. Se, juntamente com o professor, entrasse também uma professora, o número destas seria a metade do número de professores (homens). Quantos professores (homens e mulheres) estavam na sala após a chegada do professor Oliveira?

11) A soma dos valores absolutos dos dois algarismos de um número é 9. Somando com 27, totaliza outro número, representado pelos mesmos algarismos dele, mas na ordem inversa. Qual é este número?

6) Dois números são tais que se multiplicando o maior por 5 e o menor por 6 os produtos serão iguais. O menor, aumentando de 1 unidade, fica igual ao maior, diminuído de 2 unidades. Quais são estes números? 7) Numa gincana cultural, cada resposta correta vale 5 pontos, mas perdem-se 3 pontos para cada resposta errada. Em 20 perguntas, minha equipe só conseguiu 44 pontos. Quantas perguntas ela acertou?

8) Somando-se 8 ao numerador, uma fração fica equivalendo a 1. Se, em vez disso, somássemos 7 ao denominador, a fração ficaria equivalente a 1/2. Qual a fração original?

9) Num quintal encontram-se galinhas e coelhos, num total de 30 animais. Contando os pés seriam ao todo, 94. Quantos coelhos e quantas galinhas estão no quintal?

Page 51: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

51 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

10) Quando o professor Oliveira entrou na sala dos professores, o número de professores presentes ficou igual ao triplo do número de professoras. Se, juntamente com o professor, entrasse também uma professora, o número destas seria a metade do número de professores (homens). Quantos professores (homens e mulheres) estavam na sala após a chegada do professor Oliveira?

11) A soma dos valores absolutos dos dois algarismos de um número é 9. Somando com 27, totaliza outro número, representado pelos mesmos algarismos dele, mas na ordem inversa. Qual é este número?

EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Denominamos equação do 2º grau a toda a

equação da forma ax² + bx + c = 0 (a 0) ou qualquer equação redutível a esta forma.

Resolução Algébrica

A determinação algébrica das raízes de uma

equação na forma ax² + bx + c = 0, com a 0, pode ser

obtida com a fórmula de Báskara a2

bx

onde = b² - 4ac (discriminante da equação)

O sinal do discriminante, , determina a quantidade de raízes da equação do segundo grau:

> 0 – duas raízes reais e distintas

= 0 – uma única raie real (duas raízes iguais)

< 0 – nenhuma raiz real

1) Resolva as seguintes equações incompletas do segundo grau

a)2 x² - 50 = 0

5,5

5

25

25

2

50

502

0502

:

2

2

2

2

S

x

x

x

x

x

x

solução

b) 3 x² - 108 = 0

6,6

6

36

3

108

1083

01083

:

2

2

2

2

S

x

x

x

x

x

solução

c) 5 x² - 980x = 0

d) x² - 6x = 0

196,0

196

0196

05

0 xlogo 05

01965

09805

:

2

S

x

x

x

xx

xx

solução

6,0

6

06

0

06

06

:

2

S

x

x

x

xx

xx

solução

3) Resolva as seguintes equações completas do 2º grau:

a) x² - 13x + 12 = 0

12,1

12

1113

122

1113

2

1113

12

12113

2

121

48169

121413

4

12;13;1

"

'

2

2

S

x

x

x

x

a

bx

acb

cba

b) x² + 7x + 12 = 0

3,4

42

17

32

17

2

17

12

17

2

1

4849

12147

4

12;7;1

"

'

2

2

S

x

x

x

x

a

bx

acb

cba

c) x² + 15 x + 36 = 0

d) x² + 11x – 12= 0

Page 52: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

52 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

3,12

122

915

32

915

2

915

12

8115

2

81

144225

361415

4

36;15;1

"

'

2

2

S

x

x

x

x

a

bx

acb

cba

1,12

122

1311

12

1311

2

1311

12

16911

2

169

48121

121411

4

12;11;1

"

'

2

2

S

x

x

x

x

a

bx

acb

cba

e) x² + x – 12 = 0

S

R

x

a

bx

acb

cba

:logo , 47-

12

4715

2

47

481

12141

4

12;1;1

2

2

f) – x² + 8 x + 20 = 0

10,2

102

20

2

128

22

4

2

128

2

128

12

1448

2

144

8064

20148

4

20;8;1

"

'

2

2

S

x

x

x

x

a

bx

acb

cba

g) – x² + x + 12 = 0 h) 2 x² + 3 x – 2 = 0

5,4

52

10

2

91

42

8

2

91

2

91

12

491

2

49

481

12141

4

12;1;1

"

'

2

2

S

x

x

x

x

a

bx

acb

cba

2

1,2

24

8

4

53

2

1

4

2

4

53

4

53

22

253

2

25

169

2243

4

2;3;2

"

'

2

2

S

x

x

x

x

a

bx

acb

cba

i) 15 x² - 8 x + 1 = 0

3

1,

5

1

5

1

30

6

30

28

3

1

30

10

30

28

30

28

152

48

2

4

6064

11548

4

1;8;15

"

'

2

2

S

x

x

x

x

a

bx

acb

cba

j) 3 x² + 4 x + 1 = 0

3

1,1

16

6

6

24

3

1

6

2

6

24

6

24

32

44

2

4

1216

1344

4

1;4;3

"

'

2

2

S

x

x

x

x

a

bx

acb

cba

Page 53: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

53 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

3) Verifique se –2 é raiz da equação 2 x² - 5x – 18 = 0.

4) Calcular m na equação mx² - 3x + (m – 1) = 0, de modo que uma de suas raízes seja igual a 1.

5) Determine m na equação mx² - mx + x + 8 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 5.

6) Determine m tal que as raízes de 4 x² + (m + 1)x + (m + 6) = 0 sejam iguais.

7) Determine dois números cuja soma seja -1 e o produto entre elas seja -110.

8) Decompor 21 em duas parcelas tais que o produto entre elas seja 110.

9) A soma de certo número natural com o seu quadrado é igual a 72. Determine este número.

10) A soma de certo número inteiro com o seu inverso é igual a 50/7. Qual é esse número?

11) Determine dois números inteiros e consecutivos tais que a soma dos seus inversos seja 5/6.

12) Determine dois números pares, positivos e consecutivos cujo produto seja 120.

13) A diferença entre o quadrado e o triplo de um mesmo número natural é igual a 54. Determine esse número.

14) Determine o maior de três números naturais e consecutivos tais que a soma dos quadrados dos dois menores seja igual ao quadrado do maior.

15) Ao multiplicar dois números positivos, um dos quais maior que o outro em 36 unidades, um aluno cometeu em erro, diminuindo de 8 unidades o algarismo das dezenas do produto. Em seguida, com o objetivo de tirar a prova da operação realizada, dividiu o produto encontrado pelo menor dos fatores encontrando quociente 53 e resto 4. Sabendo que esta divisão não estava errada, qual era o produto correto dos dois números?

16) Considere a igualdade x4y

4 – 10 x²y² + 9 = 0. Quantos

pares de números naturais (x, y) satisfazem esta equação?

17) Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. A primeira gasta 5 horas mais do que a segunda para fazê-lo sozinha. Em quanto tempo a segunda torneira, sozinha, enche o tanque?

18) Um grupo de pessoas dividiu em partes iguais a conta do restaurante. Se fossem 6 pessoas a mais, cada uma delas teria pagado R$ 3,00 a menos; se fossem 2 pessoas a menos, cada uma delas teria pagado R$ 2,00 a mais. Quantas eram as pessoas? Quanto pagou cada uma?

19) Um tonel estava cheio com 100 litros de vinho puro. Um comerciante desonesto retirou certa quantidade do vinho deste tonel completando-o com água. Em seguida retirou desta mistura uma quantidade igual àquela retirada na primeira vez e completou novamente com água. Uma análise feita posteriormente revelou que restaram no tonel apenas 64 litros do vinho puro original. Quantos litros foram retirados de cada vez?

20) Uma quantia de R$ 1.200,00 foi paga a dois grupos, um de carpinteiros e outro de auxiliares. A diferença entre o valor pago a cada carpinteiro e aquele pago a cada auxiliar foi de R$ 80,00. Entretanto o total pago ao grupo de carpinteiros resultou igual ao total pago aos auxiliares. Entre carpinteiros e auxiliares, eram ao todo 20 trabalhadores. Quanto foi pago a cada carpinteiro?

Page 54: 2. 1 banco do brasil- raciocínio lógico matemático

54 RACIOCÍNIO LÓGICO | EVOLUÇÃO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

LÓGICA APLICADA A PLANILHAS EXCEL:

CONT.SE(A1:C3;”>50”) SOMASE(A1:C3;”<>100”) =SE(B2<30;2*A2;C1/2) =SE(E(C1<>10;A3=30);A1+A2;A3+B3) =SE(OU(C1<>10;A3=30);A1+A2;A3+B3)

=SE(C2<=40;SE(B2<>20;A1^2;C3/2);0)

=SE(C2>40;SE(B2<>20;A1^2;C3/2);0)

Se as células C5, C6, C7 e C8 contiverem as instruções a seguir, então a soma do conteúdo das células C5, C6, C7 e C8 será igual a 132. em C5: =SOMA(C2:C4)/3 em C6: =MÉDIA(C2:C4) em C7: =SOMASE(C2:C4;"<50")/3 em C8: =SE(C7=C6;SE(C5=C6;C6;SOMA(C2:C7)/6); SOMA(C2:C7)/6)

Se a sequência de operações a seguir for realizada na

planilha mostrada, nesse caso, a soma do conteúdo das

células D2, D3 e D4 será igual a 99.

• atribuir o rótulo CLIENTE à célula B2;

• atribuir a instrução SE(B2 CLIENTE;C2;0) à

célula D2;

• copiar, por meio da operação de Copiar e

Colar padronizada, o valor de D2 para as células D3

e D4.