2 - Circuito com R_L_C
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Circuitos Contendo Resistência,
Indutância, Capacitância
Prof.: Welbert Rodrigues
Coltec - UFMG
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Welbert Rodrigues 2
Introdução
Serão estudadas as relações existentes
entre as tensões e as correntes alternadas
senoidais nos Resistores, nos Capacitores
e nos Indutores e sua forma de
representação matemática.
Além de como a freqüência dos sinais
senoidais afeta as características de
comportamento desses elementos.
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Welbert Rodrigues 3
Introdução
A forma de onda senoidal é a única forma
de onda alternada cuja forma não é
afetada pelas características de respostas
dos elementos resistivos, indutivos e
capacitivos.
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Welbert Rodrigues 4
Resistor em Corrente Alternada
Lei de Ohm
Circuito resistivo
VR
I=
( ) ( )p Vv t V sen tω θ= +
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Welbert Rodrigues 5
Resistor em Corrente Alternada
Corrente no resistor:
( )( )( ) ( )p V p
R V
V sen t Vv ti t sen t
R R R
ω θω θ
+= = = +
pP
VI
R=
( ) ( )R p Vi t I sen tω θ= +
I Vθ θ=
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Welbert Rodrigues 6
Resistor em Corrente Alternada
Tensão e Corrente no resistor:
( ) ( )R p Vv t V sen tω θ= +
( ) ( )R p Ii t I sen tω θ= +
I Vθ θ=
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Welbert Rodrigues 7
Resistor em Corrente Alternada
Tensão e Corrente em fase
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Welbert Rodrigues 8
Resistor em Corrente Alternada
Nos terminais de um resistor, a corrente
está sempre em fase com a tensão.
No domínio fasorial:
R
R
VR
I
•
•=
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Welbert Rodrigues 9
Resistor em Corrente Alternada
Exercício: A um resistor de 6Ω é aplicada uma tensão de
senoidal de 12Vef , 60Hz e ângulo de fase inicial zero.
a) Determine a expressão trigonométrica e o fasor
para a tensão;
b) Determine a expressão trigonométrica e o fasorpara a corrente;
c) Trace as formas de onda para v(t) e i(t);
d) Trace o diagrama fasorial para a tensão e corrente.
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Welbert Rodrigues 10
Resistor em Corrente Alternada
Solução:
a)
Expressão trigonométrica:
Fasor da tensão:
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Welbert Rodrigues 11
Resistor em Corrente Alternada
Solução:
b) Fasor da Corrente:
Corrente Instantânea:
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Welbert Rodrigues 12
Resistor em Corrente Alternada
Solução:
c)
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Welbert Rodrigues 13
Resistor em Corrente Alternada
Solução:
d) Diagrama Fasorial:
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Welbert Rodrigues 14
Indutor em Corrente Alternada
Indutância: é capacidade de um condutor possui de induzir tensão em si mesmo quando a
corrente varia.
Um indutor armazena energia na forma de
campo magnético.
LvL
i t=
∆ ∆
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Welbert Rodrigues 15
Indutor em Corrente Alternada
Exemplo:
Qual a indutância de uma bobina que induz 20V
quando a corrente que passa pela bobina varia de 12 para 20 A em 2s?
Resposta: L=5H.
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Welbert Rodrigues 16
Indutor em Corrente Alternada
Reatância Indutiva(XL): é a oposição àcorrente ca devida à indutância do circuito.
Tensão no Indutor:
Energia do Indutor:
2LX L fLω π= =
L
iV L
t
∆=∆
21
2E LI=
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Welbert Rodrigues 17
Indutor em Corrente Alternada
Indutores em série:
Indutores em Paralelo:
1 2 3 ...T nL L L L L= + + + +
1 2 3
1 1 1 1 1...
T nL L L L L= + + + +
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Welbert Rodrigues 18
Indutor em Corrente Alternada
Tensão e Corrente no Indutor:
Em um indutor num circuito CA, a corrente estará
sempre atrasada de 90º em relação à tensão.
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Welbert Rodrigues 19
Indutor em Corrente Alternada
Lei de Ohm
.L L LV X I=
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Welbert Rodrigues 20
Indutor em Corrente Alternada
Corrente no indutor:
Na forma fasorial:
( ) ( )L p ii t I sen tω θ= ±
( ) ( 90º )L p iv t V sen tω θ= ± +
L ef iI I θ•
= ∠
90ºL ef iV V θ•
= ∠ +
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Welbert Rodrigues 21
Indutor em Corrente Alternada
Lei de Ohm
90º| | 90º | | .ef iL
L L Lef i
L
VVX X X j
II
θθ
•
•
∠ += = = ∠ + =
∠
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Welbert Rodrigues 22
Indutor em Corrente Alternada
Tensão e Corrente no Indutor
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Welbert Rodrigues 23
Indutor em Corrente Alternada
O indutor ideal comporta-se como um curto-circuito
em corrente contínua e como uma reatância elétrica
em corrente alternada - XL (se opõe à variação de corrente).
Para freqüências muito altas, o indutor comporta-se
praticamente como um circuito aberto.
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Welbert Rodrigues 24
Indutor em Corrente Alternada
Exemplo:Um fonte de tensão eficaz de 12V/60Hz, fase inicial nula, é
aplicada aos terminais de um indutor de 15mH.
a) Determine a forma trigonométrica e fasorial para a tensão
aplicada ao indutor;
b) Determine o valor da reatância desse indutor;
c) Calcule o valor da corrente na forma fasorial e na forma
trigonométrica;
d) Trace o diagrama fasorial.
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Welbert Rodrigues 25
Indutor em Corrente Alternada
Solução:a)
b)
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Welbert Rodrigues 26
Indutor em Corrente Alternada
Solução:c)
d)
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Welbert Rodrigues 27
Indutor em Corrente Alternada
Impedância:Para dois terminais A e B de um circuito, cuja tensão e corrente é
conhecido. A impedância (Z) é dada por:
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Welbert Rodrigues 28
Indutor em Corrente Alternada
Como os fasores e são números complexos, a
impedância Z é também um número complexo, mas
não é um fasor.
Para um circuito resistivo puro:
Para um circuito indutivo puro:
V•
I•
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Welbert Rodrigues 29
Indutor em Corrente Alternada
Em um Resistor a impedância é um real positivo.
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Welbert Rodrigues 30
Indutor em Corrente Alternada
Em um Indutor a impedância é um imaginário positivo.
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Welbert Rodrigues 31
Indutor em Corrente Alternada
Em um circuito misto, por exemplo RL a impedância é
um número complexo.
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Welbert Rodrigues 32
Indutor em Corrente Alternada
Associação de Impedância (Série/Paralelo)
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Welbert Rodrigues 33
Indutor em Corrente Alternada
Diagrama de Impedâncias e Triângulo de Impedâncias
Um diagrama de impedância é um gráfico auxiliar
para se entender a impedância.
O Triângulo de Impedância é geralmente uma
representação gráfica mais conveniente.
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Welbert Rodrigues 34
Indutor em Corrente Alternada
Diagrama de Impedâncias Triângulo de Impedâncias
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Welbert Rodrigues 35
Indutor em Corrente Alternada
Circuito RL série
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Welbert Rodrigues 36
Indutor em Corrente Alternada
Exemplo:
Um sinal senoidal éaplicado a um resistor ideal de 25Ω associado em
série com um indutor ideal de 25mH.
a) Determine o valor dos componentes no domínio fasorial;
b) Determine a impedância equivalente, o triângulo de impedâncias;
c) Determine as correntes nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal;
( ) 2.200. (2000. )v t sen t V=
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Welbert Rodrigues 37
Indutor em Corrente Alternada
d) Determine as tensões nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal;
e) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos;
f) Trace o diagrama temporal dos sinais nos três elementos.
![Page 38: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/38.jpg)
Welbert Rodrigues 38
Indutor em Corrente Alternada
Solução:
a) R=25Ω
b)
![Page 39: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/39.jpg)
Welbert Rodrigues 39
Indutor em Corrente Alternada
Solução:
Triângulo de Impedâncias
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Welbert Rodrigues 40
Indutor em Corrente Alternada
Solução:
c)
![Page 41: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/41.jpg)
Welbert Rodrigues 41
Indutor em Corrente Alternada
Solução:
d) Tensão no resistor:
Tensão no indutor:
![Page 42: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/42.jpg)
Welbert Rodrigues 42
Indutor em Corrente Alternada
Solução:
e)
![Page 43: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/43.jpg)
Welbert Rodrigues 43
Indutor em Corrente Alternada
Solução:
f)
![Page 44: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/44.jpg)
Welbert Rodrigues 44
Capacitor em Corrente Alternada
Capacitância: é relação entre a quantidade de carga armazenada e a tensão admitida entre as
placas de um capacitor.
![Page 45: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/45.jpg)
Welbert Rodrigues 45
Capacitor em Corrente Alternada
Um capacitor carregado comporta-se como um circuito aberto em tensão contínua constante,
mas permite a condução de corrente no circuito
para tensão variável;
Corrente no capacitor:
c
vi C
t
∆=∆
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Welbert Rodrigues 46
Capacitor em Corrente Alternada
Reatância Capacitiva(XC): é a medida da oposição que um capacitor oferece à variação da
tensão entre seus terminais.
O capacitor armazenar energia no campo elétrico.
1 1
2CXC fCω π
= =
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Welbert Rodrigues 47
Capacitor em Corrente Alternada
Capacitores em série:
Capacitores em Paralelo:
1 2 3
1 1 1 1 1...
T nC C C C C= + + + +
1 2 3 ...T nC C C C C= + + + +
![Page 48: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/48.jpg)
Welbert Rodrigues 48
Capacitor em Corrente Alternada
Tensão e Corrente no Capacitor:
Em um capacitor num circuito CA, a corrente estará
sempre adiantada de 90º em relação à tensão.
![Page 49: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/49.jpg)
Welbert Rodrigues 49
Capacitor em Corrente Alternada
Corrente no capacitor:
Na forma fasorial:
( ) ( )C p ii t I sen tω θ= ±
( ) ( 90º )C p iv t V sen tω θ= ± −
C ef iI I θ•
= ∠
90ºC ef iV V θ•
= ∠ −
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Welbert Rodrigues 50
Capacitor em Corrente Alternada
Lei de Ohm
90º| | 90º . | |ef iC
C C Cef i
C
VVX X j X
II
θθ
•
•
∠ −= = = ∠ − = −
∠
![Page 51: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/51.jpg)
Welbert Rodrigues 51
Capacitor em Corrente Alternada
Tensão e Corrente no Capacitor:
![Page 52: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/52.jpg)
Welbert Rodrigues 52
Capacitor em Corrente Alternada
O capacitor ideal comporta-se como um circuito aberto em corrente contínua (freqüência zero)
E como uma reatância elétrica (Xc) em corrente alternada, pois se opõe à variação de tensão.
Para freqüências muito altas, o capacitor comporta-se praticamente como um curto-
circuito.
![Page 53: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/53.jpg)
Welbert Rodrigues 53
Capacitor em Corrente Alternada
Exemplo:
Um fonte de tensão eficaz de 12V/60Hz, fase inicial nula,
é aplicada aos terminais de um capacitor de 620µF.
a) Determine a forma trigonométrica e fasorial para a tensão aplicada ao capacitor;
b) Determine o valor da reatância desse capacitor;
c) Calcule o valor da corrente na forma fasorial e na forma trigonométrica;
d) Trace o diagrama fasorial da tensão e da corrente.
![Page 54: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/54.jpg)
Welbert Rodrigues 54
Capacitor em Corrente Alternada
Exemplo:
a)
![Page 55: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/55.jpg)
Welbert Rodrigues 55
Capacitor em Corrente Alternada
b)
c)
![Page 56: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/56.jpg)
Welbert Rodrigues 56
Capacitor em Corrente Alternada
d)
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Welbert Rodrigues 57
Capacitor em Corrente Alternada
Circuito RC série
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Welbert Rodrigues 58
Capacitor em Corrente Alternada
Exemplo:
Um sinal senoidal é aplicado a um
resistor ideal de 25Ω associado em série com um capacitor ideal de 20µF.
a) Determine o valor dos componentes no domínio
fasorial;
b) Determine a impedância equivalente, o triângulo de impedâncias;
c) Determine as correntes nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal;
( ) 200 2 (2000 )v t sen t V=
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Capacitor em Corrente Alternada
d) Determine as tensões nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal;
e) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos;
f) Trace o diagrama temporal dos sinais nos três elementos.
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Capacitor em Corrente Alternada
Solução:
a) R=25Ω
b)
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Capacitor em Corrente Alternada
c)
![Page 62: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/62.jpg)
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Capacitor em Corrente Alternada
d)
![Page 63: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/63.jpg)
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Capacitor em Corrente Alternada
e)
![Page 64: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/64.jpg)
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Capacitor em Corrente Alternada
f)
![Page 65: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/65.jpg)
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Análise de Circuito em CA
Circuito RLC série
Um sinal senoidal é aplicado a um resistor ideal de 25Ω associado em série com um
indutor ideal de 25mH e a um capacitor ideal de
20µF.
a) Determine a impedância equivalente;
b) Determine as correntes nos três elementos do
circuito, nos domínios fasorial e temporal;
( ) 200 2 (2000 )v t sen t V=
![Page 66: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/66.jpg)
Welbert Rodrigues 66
Análise de Circuito em CA
c) Determine as tensões nos três elementos do circuito,
nos domínios fasorial e temporal;
d) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos;
![Page 67: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/67.jpg)
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Análise de Circuito em CA
Solução:
a)
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Análise de Circuito em CA
b)
c)
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Análise de Circuito em CA
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Welbert Rodrigues 70
Análise de Circuito em CA
d)
![Page 71: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/71.jpg)
Welbert Rodrigues 71
Análise de Circuito em CA
( ) 200 2 (2000 )v t sen t V=
Exercício
Um sinal senoidal é aplicado a um resistor ideal de
25Ω é associado, como mostra a figura abaixo, com um indutor ideal de 25mH e a um capacitor ideal de
20µF. A tensão da fonte é:
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Análise de Circuito em CA
a) Determine a impedância equivalente, o triângulo de
impedâncias;
b) Determine as correntes nos três elementos do
circuito, nos domínios fasorial e temporal;
c) Determine as tensões nos três elementos do
circuito, nos domínios fasorial e temporal;
d) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três
elementos;
![Page 73: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/73.jpg)
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Análise de Circuito em CA
a)
![Page 74: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/74.jpg)
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Análise de Circuito em CA
b)
![Page 75: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/75.jpg)
Welbert Rodrigues 75
Análise de Circuito em CA
Forma trigonométrica das correntes:
![Page 76: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/76.jpg)
Welbert Rodrigues 76
Análise de Circuito em CA
c) A tensão no capacitor é a mesma da fonte:
A tensão no Resistor:
![Page 77: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/77.jpg)
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Análise de Circuito em CA
A tensão no Indutor:
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Welbert Rodrigues 78
Análise de Circuito em CA
d)
![Page 79: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/79.jpg)
Welbert Rodrigues 79
Análise de Circuito em CA
Admitância
Definimos Admitância Y como sendo o inverso da
impedância Z.
Lei de Ohm:
I YV=
1Y
Z=
![Page 80: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/80.jpg)
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Análise de Circuito em CA
Admitância Y é o inverso da Impedância Z
Condutância G é o inverso da Resistência R
Susceptância B é o inverso da Reatância X
![Page 81: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/81.jpg)
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Análise de Circuito em CA
Associação de Admitância:
1) Série
2) Paralelo
![Page 82: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/82.jpg)
Welbert Rodrigues 82
Análise de Circuito em CA
Tabela de Impedância e Reatância
![Page 83: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/83.jpg)
Welbert Rodrigues 83
Análise de Circuito em CA
Tabela de Admitância e Susceptância
![Page 84: 2 - Circuito com R_L_C](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081721/5571f94449795991698f2fd1/html5/thumbnails/84.jpg)
Welbert Rodrigues 84
Análise de Circuito em CA
Circuitos Ressonantes
A Freqüência de Ressonância é a freqüência na qual um circuito RLC se comporta como um circuito
resistivo.
A Ressonância pode ocorrer em circuitos RLC séries, paralelos ou mistos.
O circuito série é ressonante quando:
| | | |C LX X=
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Welbert Rodrigues 85
Análise de Circuito em CA
Freqüência de Ressonância RLC Série:
Freqüência de Ressonância RLC Paralelo:
0
1
LCω =
0
1
LCω =