2 - pilar

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

VERIFICAO DA ESTABILIDADE

DE PILARES ESBELTOS DE

CONCRETO ARMADO

AMRICO CAMPOS FILHO

2014

SUMRIO

1 - FUNDAMENTOS ............................................................................................................................... 1

1.1 - Instabilidade na compresso axial flambagem ................................................................................ 1

1.2 - Instabilidade na flexo composta ............................................................................................ ........... 2

2 - PROCEDIMENTOS PARA A VERIFICAO DE PILARES ............................................................ 4

2.1 - Recomendaes da norma brasileira sobre pilares ............................................................................. 4

2.2 - Verificao da estabilidade de um pilar pelo mtodo do equilbrio ................................................... .. 5

2.3 - Determinao dos deslocamentos pela analogia de Mohr .................................................................. 7

2.4 - Determinao das curvaturas das sees a partir do momento fletor e do esforo normal atuante ....... 9

2.5 - Instabilidade na flexo composta oblqua ........................................................................................ .. 14

2.5.1 - Deformaes do eixo da barra ....................................................................................... ................. 14

2.5.2 Curvaturas .................................................................................................................. .................. 15

2.5.3 - Verificao da estabilidade de um pilar pelo mtodo do equilbrio .................................................. 17

2.6 - Observaes gerais .......................................................................................................... .................. 17

2.6.1 Princpios bsicos de clculo ......................................................................................................... 17

2.6.2 - Considerao da fluncia .................................................................................................... ........... 17

3 - PROGRAMA PARA VERIFICAO DE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO

SUBMETIDOS FLEXO-COMPRESSO NORMAL ............................................................................

19

3.1 Abrangncia do programa ................................................................................................................ 19

3.2 - Primeiro exemplo de utilizao do programa .................................................................................. .. 19

3.3 - Segundo exemplo de utilizao do programa ..................................................................................... 22

3.4 - Terceiro exemplo de utilizao do programa .................................................................................. ... 25

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ....................................................................................................... 28

____________________________________________________________________________________________________

Curso de Especializao em Estruturas de Concreto/UFRGS 1

1 - FUNDAMENTOS

1.1 - Instabilidade na compresso axial - flambagem

Tomando-se uma barra reta, axialmente comprimida, de comportamento elstico-linear, verifica-se

experimentalmente que, sob ao de carregamentos crescentes, atinge-se um estado no qual a forma reta de

equilbrio instvel. A carga correspondente a este estado dita carga crtica ou carga de flambagem.

O fenmeno de instabilidade das barras retas axialmente comprimidas caracterizado pela presena do

ponto de bifurcao do equilbrio, no diagrama que relaciona a carga F aplicada com o mximo deslocamento a

da barra.

Figura 1.1 - Barra reta, de comportamento elstico-linear, axialmente comprimida

A carga crtica ou carga de flambagem dada por

FEI

crit

e

2

2 (1.1)

onde e o comprimento de flambagem da barra, que depende de sua vinculao e de seu comprimento.

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Figura 1.2 - Comprimento de flambagem das barras

Para os materiais estruturais, como o concreto e o ao, a situao de flambagem um estado limite

ltimo. Para cargas pouco superiores carga crtica, a flecha j igual a uma frao aprecivel do comprimento

da barra, levando a barra a ruptura por flexo composta. Em outros materiais, a barra pode resistir a cargas

sensivelmente superiores carga de flambagem, pelo que o estado limite de flambagem deixa de ser um estado

limite ltimo.

Se o material analisado tem um comportamento linear apenas para tenses menores que um dado limite

de proporcionalidade, observa-se uma mudana da forma de equilbrio, para cargas crticas superiores a este

limite. Neste caso, para cargas superiores a carga crtica, a forma reta de equilbrio instvel e a forma fletida

impossvel.

Figura 1.3 - Barra reta, de comportamento no-linear, axialmente comprimida

1.2 - Instabilidade na flexo composta

Determinando-se a flecha de uma barra reta, de comportamento elstico-linear, submetida flexo

composta, chega-se aos resultados apresentados na Fig. 1.4. Conclui-se, desta forma, que enquanto o material

permanecer no regime elstico, no existe problema de instabilidade na flexo composta, pois sempre haver

uma configurao de equilbrio estvel.

____________________________________________________________________________________________________


Figura 1.4 - Barra reta, de comportamento elstico-linear, submetida flexo composta

Caso o material apresente um comportamento no-linear, a resposta da estrutura vai ser do tipo

mostrado na Fig. 1.5. Nesta situao, o equilbrio impossvel para uma carga maior que a carga crtica. O ponto

B no corresponde a uma mudana da configurao de equilbrio estvel, mas sim a uma reverso do andamento

das deformaes. Antes de se atingir este ponto, isto , para uma carga inferior carga crtica, a um aumento de

F corresponde um aumento da flecha a. Pelo contrrio, aps ser atingido o ponto B, no s impossvel

aumentar a carga, como a prpria manuteno do equilbrio somente ser possvel com um sistema de

deformao controlada, pois o aumento das flechas corresponde a uma diminuio das cargas.

Figura 1.5 - Barra reta, de comportamento no-linear, submetida flexo composta

____________________________________________________________________________________________________


2 - PROCEDIMENTOS PARA A VERIFICAO DE PILARES

2.1 - Recomendaes da norma brasileira sobre pilares

Conforme a NBR-6118, o tipo de verificao a ser feita em pilares depende do ndice de esbeltez que o

pilar apresenta. O ndice de esbeltez definido por

e

i (2.1)

onde e o comprimento de flambagem do pilar e i o raio de girao mnimo da seo de concreto, calculado

por

iJc

Ac (2.2)

sendo Ac a rea e Jc o momento principal central de inrcia mnimo da seo transversal do pilar.

As exigncias da NBR-6118, relativas aos pilares, podem ser resumidas na Tabela 2.1.

Neste trabalho, apresenta-se um procedimento exato para a verificao da estabilidade de pilares de

concreto armado, com ndice de esbeltez at 200. O que caracteriza este procedimento exato a determinao

das curvaturas das sees, a partir das solicitaes, utilizando os diagramas tenso-deformao dos materiais

recomendados pela norma. O procedimento apresentado bastante geral, abrangendo a anlise de pilares de

seo transversal qualquer e varivel ao longo da altura do pilar.

____________________________________________________________________________________________________


Tabela 2.1 - Exigncias da NBR-6118 relativas verificao da segurana de pilares

f

Considerao

dos efeitos de

2a ordem

PROCESSO DE CLCULO

Considerao

da fluncia

Exato

Aproximado

(diagramas

M, N, 1/r)

Simplificado

1

1,4

dispensvel - - - -

90

obrigatria

dispensvel permitido

permitido dispensvel

140

no

permitido obrigatria

200 1,4+0,01( 140) obrigatrio no

permitido

NO PERMITIDO EMPREGAR > 200

2.2 - Verificao da estabilidade de um pilar pelo mtodo do equilbrio

A idia bsica do mtodo do equilbrio realizar a verificao da segurana de um pilar, frente ao

estado limite de instabilidade, sem a necessidade da determinao da carga crtica do mesmo. Ou seja, o mtodo

do equilbrio consiste em verificar-se que, sob a ao do carregamento de clculo Fd, tem-se uma flecha a em

uma seo de referncia do pilar, e que tal situao corresponde a uma configurao estvel de equilbrio.

Fd

aref

equlbrio estvel

F

a

Figura 2.1 - Verificao da estabilidade pelo mtodo do equilbrio

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Desta forma, calcula-se apenas um ponto do diagrama carga-deslocamento do pilar. Na Fig. 2.2,

apresenta-se, esquematicamente, o procedimento de verificao da estabilidade de um pilar, usando o mtodo do

equilbrio. Na primeira etapa, determina-se o deslocamento a1, calculando-se as solicitaes considerando-se a

configurao indeformada do pilar. Qualquer que seja o tipo de carregamento ou de variao da seo

transversal, calcula-se a flecha a1 a partir das relaes momento fletor-esforo normal-curvatura. Na segunda

etapa, determinam-se as solicitaes, considerando-se a configurao da barra com os deslocamentos calculados

na etapa anterior e assim sucessivamente.

eiFd

eia1Fd

an-1Fd

ei

1a. etapa 2a. etapa na. etapa

a2

an

a1

. . .

Fd

a

F

curva desconhecida

nico ponto calculado

Figura 2.2 - Procedimento do mtodo do equilbrio

As flechas calculadas a1, a2, a3, ..., an-1, an constituem-se numa seqncia que, quando convergente,

comprova a estabilidade da configurao de equilbrio. A convergncia da seqncia pode ser constatada

numericamente. Quando ela ocorre, sabe-se que a carga Fd est abaixo da carga crtica.

Desta forma, para aplicao do mtodo do equilbrio, precisa-se, em cada uma das etapas, do seguinte

calcular as solicitaes ao longo do eixo do pilar, a partir de uma configurao deformada;

conhecidas as solicitaes de uma seo, calcular a curvatura correspondente;

integrar as curvaturas das diferentes sees, ao longo do eixo do pilar, para obter os deslocamentos.

Apresentam-se, nos itens que seguem, os procedimentos para realizar estas tarefas.

____________________________________________________________________________________________________


2.3 - Determinao dos deslocamentos pela analogia de Mohr

Para a determinao dos deslocamentos dos pilares, necessrio integrar as curvaturas das diversas

sees ao longo do eixo do pilar. Isto pode ser feito atravs da analogia de Mohr, conforme foi empregado por

Hoffmann (1980)

Considerando-se a semelhana que existe entre as expresses

d y

dx r r

M

E J

d M

dxp

dM

dxV

2

2

2

2

1 1

;

;

(2.3)

pode-se imaginar a determinao da deformada y(x), calculando-se os momentos fletores M*(x), devido a um

carregamento imaginrio p*(x)=1/r(x). O sistema equivalente de Mohr o sistema sobre o qual se aplica o

carregamento p*(x), com condies de apoio escolhidas de acordo com as condies de deformao da barra.

y

xy(x)=?

p(x)

A B

M*(x)=y(x)

p*(x)=1/r

A B

Figura 2.3 - Sistema equivalente de Mohr para uma barra bi-rotulada

Para uma barra bi-rotulada, Fig. 2.3, tem-se

BARRA REAL SISTEMA EQUIVALENTE DE MOHR

yA = yB = 0 M*A = M*B = 0

A 0 V*A 0

B 0 V*B 0

____________________________________________________________________________________________________


y

xy(x)=?

p(x)

AB

M*(x)=y(x)A B

p*(x)=1/r

Figura 2.4 - Sistema equivalente de Mohr para uma barra engastada livre

J para uma barra engastada-livre, Fig. 2.4, tem-se

BARRA REAL SISTEMA EQUIVALENTE DE MOHR

yA = 0 M*A = 0

A = 0 V*A = 0

yB 0 M*B 0

B 0 V*B 0

Pelo processo proposto por Hoffmann (1980), deve-se dividir a barra em n partes iguais, com um

comprimento x. Assim

xn

(2.4)

Supondo-se que as curvaturas tenham uma variao parablica, ao longo do comprimento da barra,

determinam-se os pesos wk. Os pesos wk so foras fictcias, aplicadas nos pontos k, equivalentes ao

carregamento p*(x) das curvaturas. A fora fictcia wk do diagrama de curvaturas dada por

wr

dxkk x

k x

1

1( )

(2.5)

Considerando esta distribuio, os pesos w, nos pontos k valem:

- para o extremo superior da barra

wx

r r r0

0 1 2123 5

13

10 5

1

, , (2.6)

____________________________________________________________________________________________________


- para um ponto intermedirio k

wx

r r rk

k k k

12

110

1 1

1 1

(2.7)

- para o extremo inferior da barra

wx

r r rn

n n n

123 5

13

10 5

1

1 2

, , (2.8)

O mesmo processo pode ser utilizado para outra vinculao da barra.

Desta forma, o roteiro do mtodo do equilbrio, usando a analogia de Mohr, pode ser resumido no

seguinte roteiro:

(a) Dividir o comprimento da barra em n partes iguais.

(b) Calcular os esforos solicitantes de primeira ordem em cada um dos (n+1) pontos.

(c) Escolher o sistema equivalente de Mohr.

(d) Calcular as curvaturas (1/r)k (k=0,n), verificando se nenhum estado limite foi excedido.

(e) Determinar os pesos wk.

(f) Considerar o sistema equivalente carregado pelas cargas concentradas wk, nos pontos k, e determinar os

valores de M*k, que devido a analogia de Mohr so os yk.

(g) Verificar a convergncia

y

y

tolerancia

ki

n

ki

n

2

0

2

0

1

2

(2.9)

(h) Caso a condio anterior seja verdadeira, seguir para o passo (j), seno ir para o passo (i).

(i) Determinar os momentos fletores Mk no sistema deformado e voltar para (d).

(j) Final do processo, se houver convergncia a configurao deformada obtida de equilbrio estvel.

2.4 - Determinao das curvaturas das sees a partir do momento fletor e do esforo normal atuante

Na anlise da estabilidade de uma estrutura de concreto armado, necessria a obteno da

configurao deformada de uma seo, para uma determinada combinao de esforos que a solicitam abaixo do

seu limite de resistncia. Apresenta-se, neste item, um procedimento geral para a determinao desta

configurao deformada para uma seo de concreto armado, definida por uma poligonal fechada.

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O problema pode ser definido da seguinte forma:

conhecidos:

a geometria da seo de concreto armado (coordenadas dos vrtices da poligonal fechada,

coordenadas das barras e suas respectivas percentagens em relao rea total de armadura;

as resistncias caractersticas do ao e do concreto (fyk e fck);

a rea total de armadura As.

deseja-se determinar:

a combinao nica de parmetros , b, c (inclinao da linha neutra, curvatura e deformao do

centride da seo), que corresponda a esforos resistentes em equilbrio com os esforos atuantes

fornecidos, desde que as deformaes extremas superior e inferior da seo de concreto armado, S e

I, no ultrapassem os valores estabelecidos pela NBR-6118 (-3,5 na fibra mais comprimida da

seo e 10 na fibra mais tracionada).

X

Y

x

y

LINHA NEUTRA

C

S

I

I

S

Figura 2.5 - Distribuio de deformaes em uma seo de concreto armado

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Na situao mais geral, correspondente flexo-compresso oblqua, deve-se resolver um sistema de trs

equaes no-lineares com trs incgnitas:

f b c MR b c MA

g b c MR b c MA

h b c NR b c NA

x x

y y

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

0

0

0

(2.10)

onde MRx, MRy e NR so os esforos resistentes, funes dos parmetros , b, c, e MAx, MAy e NA so os

esforos atuantes.

Na flexo-compresso reta ou normal, bastaria resolver um sistema de duas equaes no-lineares com

duas incgnitas ( = valor conhecido)

f b c MR b c MA

g b c NR b c NA

x x( , ) ( , )

( , ) ( , )

0

0 (2.11)

Para resolver o sistema formado pela Eqs. (2.10), utilizando-se o mtodo de Newton-Raphson, deve-se

resolver uma srie de sistemas de trs equaes lineares com trs incgnitas, do tipo

K u u pi i i({ } ) { } { } (2.12)

sendo que, para i-sima iterao, tem-se

{u}i - o vetor com os parmetros , b, c a serem ajustados;

{u}i - o vetor incremental de {u}i;

{p}i - o vetor de diferenas entre os esforos atuantes e os esforos resistentes, correspondentes aos valores de

, b, c da i-sima iterao.

A matriz [K({u}i)] contm as derivadas parciais dos esforos resistentes em relao aos parmetros de

ajuste. Desta forma, pode se escrever a Eq.(2.12), por extenso, do seguinte modo

MR MR

b

MR

c

MR MR

b

MR

c

NR NR

b

NR

c

b

c

MA MR

MA MR

NA NR

x x x

y y yx x

y y

(2.13)

O algoritmo para a determinao da deformada de uma seo, uma vez estabelecidas a geometria da

seo de concreto armado (coordenadas dos vrtices da poligonal fechada, coordenadas das barras e suas

respectivas percentagens em relao rea total de armadura), as resistncias caractersticas do ao e do concreto

(fyk e fck) e a rea total de armadura As, o seguinte:

(a) arbitram-se, inicialmente, os parmetros , b e c a serem ajustados;

(b) por integrao das tenses, obtm-se os esforos resistentes MRx, MRy e NR e os elementos da matriz de

derivadas parciais [K], correspondentes aos valores de , b e c; da i-sima iterao;

____________________________________________________________________________________________________


(c) calcula-se o vetor de desequilbrio pela diferena entre esforos atuantes conhecidos e os esforos resistentes

obtidos no item anterior

{ }

p

M

M

N

MA MR

MA MR

NA NR

i

x

y

x x

y y

(2.14)

(d) verifica-se a convergncia por

M M N

MA MA NAtolerncia

x y

x y

2 2 2

2 2 2

1

2

(2.15)

(e) caso a condio acima seja satisfeita, vai-se para o item (i), seno segue-se para (f);

(f) resolve-se o sistema de equaes lineares

{ } [ ] { } u K pi i 1 (2.16)

(g) determinam-se , b e c a partir da expresso

{ }u b

c

b

c

b

c

i

i i

1

1

(2.17)

(h) retorna-se ao item (b);

(i) o processo iterativo encerrado e a deformada da seo obtida.

Atravs deste procedimento so obtidos a inclinao da linha neutra , a curvatura da seo b e a

deformao c do centride da seo de concreto, correspondentes rea total de armadura As preestabelecida, de

tal forma que as deformaes extremas superior e inferior da seo, S e I, no ultrapassem os limites prescritos

na NBR6118.

As derivadas parciais dos esforos resistentes, em relao aos parmetros , b e c, so obtidas conforme

apresentados por Campos Filho (1996) e tm as expresses dadas a seguir

derivadas parciais dos esforos resistentes em relao inclinao da linha neutra

MRMR

MRMR

NR

xy

yx

0

(2.18)

____________________________________________________________________________________________________


derivadas parciais dos esforos resistentes em relao curvatura da seo b

para a seo de concreto:

MR

bG G

MR

bG G

NR

bG G

cdi

n

cdi

n

cdi

n

1 02 2 031

1 11 2 121

1 01 2 021

(2.19)

onde

ba2

ca2a

22

211

(2.20)

para a seo de ao:

MR

bA E

MR

bA E

NR

bA E

j s T jj

m

j

j s T jj

m

j j

j s T j jj

m

. . ( ).

. . ( ).

. . ( ).

.

1

2

1

1

(2.21)

Finalmente, tem-se

MR

b

MR

b

MR

b

MR

b

MR

b

MR

b

x

y

cos sen

sen cos

(2.22)

derivadas parciais dos esforos resistentes em relao deformao no centride da seo c

para a seo de concreto:

MR

cG G

MR

cG G

NR

cG G

cdi

n

cdi

n

cdi

n

1 01 2 021

1 10 2 111

1 00 2 011

(2.23)

____________________________________________________________________________________________________


para a seo de ao:

MR

cA E

MR

cA E

NR

cA E

j s T jj

m

j

j s T jj

m

j

j s T jj

m

. . ( ).

. . ( ).

. . ( )

1

1

1

(2.24)

Finalmente, tem-se

MR

c

MR

c

MR

c

MR

c

MR

c

MR

c

x

y

cos sen

sen cos

(2.25)

2.5 - Instabilidade na flexo composta oblqua

2.5.1 - Deformaes do eixo da barra

Seja uma barra submetida a um carregamento que produz flexo composta oblqua em suas sees

transversais (Fig. 2.6). Sob ao do carregamento aplicado, o eixo da barra sofre deformaes. No caso de barras

esbeltas, os deslocamentos transversais criam as excentricidades e2 de segunda ordem, as quais no podem ser

ignoradas no estudo da pea.

Figura 2.6 - Barra reta submetida flexo-compresso oblqua

____________________________________________________________________________________________________


O eixo deformado do pilar uma curva reversa, j que o plano de flexo varivel, de seo para seo,

em virtude da prpria deformao da barra. A deformada do pilar s vai ser uma curva plana, se a linha neutra de

todas as sees tiver sempre a mesma direo, fato este que no pode acontecer, quando o plano de flexo varia

de seo para seo.

2.5.2 - Curvaturas

Seja uma seo retangular submetida a flexo-compresso oblqua, conforme aparece na Fig. 2.7. As

concluses estabelecidas a seguir so vlidas para sees de forma qualquer, embora determinadas a partir de

uma seo retangular.

A partir da Fig. 2.7, pode-se escrever

1 2 1 3 4

r h hx x x

(2.26)

1 2 3 1 4

r h hy y y

(2.27)

e

1 2 4

r h

(2.28)

Mas

( ) ( ) 2 3 3 4 2 4 (2.29)

e, portanto

h

r

h

r

h

r

y

y

x

x

(2.30)

Por outro lado, tem-se que

h h hx y sen cos (2.31)

Desta forma, pode-se escrever que

h

r

h

r

h h

r

y

y

x

x

x y

sen cos

(2.32)

ou

hr r

hr r

xx

yy

1 10

sen cos

(2.33)

____________________________________________________________________________________________________


Para que a condio expressa pela Eq.(2.30) seja satisfeita, para quaisquer valores de hx e de hy, as

igualdades seguintes devem ser verificadas

1 1

1 1

r r

r r

x

y

sen

cos

(2.34)

x

y

12

3 4

hy

hx

2

h

4LN

Figura 2.7 - Curvaturas em uma seo submetida flexo-compresso oblqua

____________________________________________________________________________________________________


2.5.3 - Verificao da estabilidade de um pilar pelo mtodo do equilbrio

A verificao da estabilidade de um pilar, submetido a flexo-compresso oblqua, feita pelos mesmos

procedimentos empregados nos casos de flexo-compresso normal, com as devidas adaptaes para a

considerao tanto da existncia de dois momentos fletores, quanto da variao da posio da linha neutra.

O procedimento, no caso da flexo-compresso oblqua, tem os seguintes passos

determinam-se os momentos fletores de primeira ordem;

determinam-se a distribuio de curvaturas 1/r e as diferentes inclinaes das linhas neutras ao longo do

eixo do pilar;

calculam-se as curvaturas nas direes x e y (1/rx e 1/ry) a partir dos valores de 1/r e para cada seo;

integram-se as curvaturas ao longo do eixo do pilar separadamente para as direes x e y e determinam-se os

deslocamentos;

calculam-se os novos momentos fletores, considerando a configurao deformada;

reinicia-se o ciclo iterativo com o clculo de novas curvaturas e direes das linhas neutras para as diversas

sees;

o processo iterativo se encerra quando a srie de deslocamento converge (pilar estvel) ou quando se chega a

ruptura de uma das sees.

2.6 - Observaes gerais

2.6.1 Princpios bsicos de clculo

Conforme a NBR6118, a anlise estrutural com efeitos de 2 ordem deve assegurar que, para as

combinaes mais desfavorveis das aes de clculo, no ocorra perda da estabilidade nem esgotamento da

capacidade resistente de clculo. A no-linearidade fsica, presente nas estruturas de concreto armado, deve ser

obrigatoriamente considerada. A deformabilidade dos elementos deve ser calculada com base nos diagramas

tenso-deformao dos materiais. A tenso de pico do concreto deve ser igual a 1,10 fcd, j includo o efeito de

carga mantida (Rsch), e a do ao igual a fyd, com os valores de z e c utilizados para o estado limite ltimo. Os

valores caractersticos das aes devem ser majorados por um fator f / 1,10.

2.6.2 - Considerao da fluncia

Conforme a NBR6118, na avaliao da segurana dos pilares com ndice de esbeltez acima de noventa,

quando houver cargas de longa durao, devero ser consideradas, obrigatoriamente, as deformaes por fluncia

do concreto.

____________________________________________________________________________________________________


1,10 fcd

c

(1+f)c

c fc c2 cu (1+f)c2 (1+f)cu

c

c

f = 0 f = 2

Figura 2.8 - Diagrama tenso-deformao do concreto com a considerao da fluncia

Assim

f

cc c

c total c cc

, (2.35)

onde

c - a deformao imediata do concreto;

cc - a deformao por fluncia do concreto;

c,total - a deformao total do concreto;

f - o coeficiente de fluncia.

Desta forma, o diagrama tenso-deformao do concreto sofre uma transformao, conforme aparece na

Fig. 2.8.

Nas anlises em que coexistirem cargas de curta e longa durao, recomenda-se a utilizao do mtodo

da funo equivalente de fluncia. De acordo com este mtodo aproximado, realiza-se o clculo como se toda a

carga fosse de longa durao, adotando-se para o coeficiente de fluncia o valor efetivo dado por

f fef t t ( , )0 (2.36)

onde

- a frao do esforo normal que produz fluncia;

- a frao do momento fletor de primeira ordem que produz fluncia;

f(t,t0) - o coeficiente de fluncia real do problema.

Este mtodo bastante geral, podendo ser aplicado inclusive nos casos de pilares muito esbeltos ou de

seo transversal varivel.

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3 - PROGRAMA PARA VERIFICAO DE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO

SUBMETIDOS FLEXO-COMPRESSO NORMAL

3.1 Abrangncia do programa

Apresenta-se, neste captulo, a utilizao de um programa, para a verificao de pilares de concreto

armado submetidos flexo-compresso normal, atravs do mtodo do equilbrio. Este programa segue os

procedimentos apresentados no captulo 2.

3.2 - Primeiro exemplo de utilizao do programa

No primeiro exemplo, feita a verificao do pilar bi-rotulado, apresentado na Figura 3.1.

Figura 3.1 - Pilar verificado no exemplo 1

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O arquivo de entrada de dados utilizado o seguinte

2 15 700 0 valor indicando pilar bi-rotulado

nmero sees analisadas

comprimento total do pilar

coeficiente de fluncia

"A" 50 21000 2.5 tipo de ao, fyk, Es, fck

5 2 seo 1:

nmero vrtices seo de concreto

nmero de barras de armadura

400 -70 800 0.1500 Pv(x), Ph(x), M(x), p(x)

-15 -12.5 uma linha para cada vrtice da

15 -12.5 poligonal fechada, indicando

15 12.5 suas coordenadas

-15 12.5

-15 -12.5

0 -10.23 14.78 uma linha para cada barra,

0 10.23 14.78 indicando suas coordenadas

5 2 seo 2

0 0 0 0.1607

-18 -12.5

18 -12.5

18 12.5

-18 12.5

-18 -12.5

0 -10.23 17.73

0 10.23 17.73

5 2 seo 3

0 0 0 0.1714

-21 -12.5

21 -12.5

21 12.5

-21 12.5

-21 -12.5

0 -10.23 20.69

0 10.23 20.69

5 2 seo 4

0 0 0 0.1821

-24 -12.5

24 -12.5

24 12.5

-24 12.5

-24 -12.5

0 -10.23 23.64

0 10.23 23.64

5 2 seo 5

0 0 0 0.1929

-27 -12.5

27 -12.5

27 12.5

-27 12.5

-27 -12.5

0 -10.23 26.60

0 10.23 26.60

5 2 seo 6

0 0 0 0.2036

-30 -12.5

30 -12.5

30 12.5

-30 12.5

-30 -12.5

0 -10.23 29.55

____________________________________________________________________________________________________


0 10.23 29.55

5 2 seo 7

0 0 0 0.2143

-30 -12.5

30 -12.5

30 12.5

-30 12.5

-30 -12.5

0 -10.23 29.55

0 10.23 29.55

5 2 seo 8

0 0 0 0.2250

-30 -12.5

30 -12.5

30 12.5

-30 12.5

-30 -12.5

0 -10.23 29.55

0 10.23 29.55

5 2 seo 9

0 0 0 0.2357

-30 -12.5

30 -12.5

30 12.5

-30 12.5

-30 -12.5

0 -10.23 29.55

0 10.23 29.55

5 2 seo 10

0 0 0 0.2464

-30 -12.5

30 -12.5

30 12.5

-30 12.5

-30 -12.5

0 -10.23 29.55

0 10.23 29.55

5 2 seo 11

0 0 0 0.2571

-27 -12.5

27 -12.5

27 12.5

-27 12.5

-27 -12.5

0 -10.23 26.60

0 10.23 26.60

5 2 seo 12

0 0 0 0.2679

-24 -12.5

24 -12.5

24 12.5

-24 12.5

-24 -12.5

0 -10.23 23.64

0 10.23 23.64

5 2 seo 13

0 0 0 0.2786

-21 -12.5

21 -12.5

21 12.5

-21 12.5

-21 -12.5

____________________________________________________________________________________________________


0 -10.23 20.69

0 10.23 20.69

5 2 seo 14

0 0 0 0.2893

-18 -12.5

18 -12.5

18 12.5

-18 12.5

-18 -12.5

0 -10.23 17.73

0 10.23 17.73

5 2 seo 15

0 0 0 0.3000

-15 -12.5

15 -12.5

15 12.5

-15 12.5

-15 -12.5

0 -10.23 14.78

0 10.23 14.78

As unidades dos dados fornecidos devem ser coerentes. No exemplo. foram usados kN como unidade de

fora e cm como unidade de comprimento. Os valores, em cada linha, devem ser separados por espaos em

branco. O texto em itlico, colocado ao final de cada linha, apenas comentrio e no deve aparecer no arquivo

de entrada de dados.

Ao rodar o programa, aparecer, na tela do computador, a sada de resultados da forma seguinte

resultados da iteracao 13

x y(x) N(x) V(x) M(x) b(x)

1 0,0 0,00 -400,00 70,00 800,00 0,00000597

2 50,0 1,14 -400,00 62,23 4563,74 0,00003283

3 100,0 2,20 -400,00 53,93 7893,24 0,00005567

4 150,0 3,12 -400,00 45,09 10739,29 0,00006989

5 200,0 3,87 -400,00 35,72 13060,71 0,00007749

6 250,0 4,42 -400,00 25,81 14822,85 0,00008018

7 300,0 4,77 -400,00 15,36 15995,42 0,00008741

8 350,0 4,91 -400,00 4,38 16545,15 0,00009081

9 400,0 4,82 -400,00 -7,14 16441,91 0,00009017

10 450,0 4,50 -400,00 -19,20 15659,61 0,00008533

11 500,0 3,97 -400,00 -31,78 14175,58 0,00008512

12 550,0 3,23 -400,00 -44,91 11964,12 0,00007927

13 600,0 2,29 -400,00 -58,57 9004,35 0,00006526

14 650,0 1,20 -400,00 -72,77 5283,79 0,00003965

15 700,0 0,00 -400,00 -87,50 801,00 0,00000597

3.3 - Segundo exemplo de utilizao do programa

No segundo exemplo, feita a verificao do pilar engastado-livre, conforme apresentado na Figura 3.2.

____________________________________________________________________________________________________




1 9 800 0 valor para pilar engastado-livre

nmero sees analisadas

comprimento total do pilar

coeficiente de fluncia

"A" 50 21000 2.5 tipo de ao, fyk, Es, fck

5 2 seo 1:

nmero vrtices seo de concreto

nmero de barras de armadura

1000 -20 40000 0 Pv(x), Ph(x), M(x), p(x)

-30 -30 uma linha para cada vrtice da

30 -30 poligonal fechada, indicando

30 30 suas coordenadas

-30 30

-30 -30

0 -24.55 21.24

0 24.55 21.24

5 2 seo 2

0 0 0 0

-33.75 -30

33.75 -30

33.75 30

-33.75 30

-33.75 -30

0 -24.55 23.90

0 24.55 23.90

5 2 seo 3

0 0 0 0

-37.50 -30

37.50 -30

37.50 30

-37.50 30

-37.50 -30

____________________________________________________________________________________________________


0 -24.55 26.55

0 24.55 26.55

5 2 seo 4

0 0 0 0

-41.25 -30

41.25 -30

41.25 30

-41.25 30

-41.25 -30

0 -24.55 29.21

0 24.55 29.21

5 2 seo 5

0 0 0 0

-45.00 -30

45.00 -30

45.00 30

-45.00 30

-45.00 -30

0 -24.55 31.86

0 24.55 31.86

5 2 seo 6

0 0 0 0

-48.75 -30

48.75 -30

48.75 30

-48.75 30

-48.75 -30

0 -24.55 34.52

0 24.55 34.52

5 2 seo 7

0 0 0 0

-52.50 -30

52.50 -30

52.50 30

-52.50 30

-52.50 -30

0 -24.55 37.17

0 24.55 37.17

5 2 seo 8

0 0 0 0

-56.25 -30

56.25 -30

56.25 30

-56.25 30

-56.25 -30

0 -24.55 39.83

0 24.55 39.83

5 2 seo 9

0 0 0 0

-60 -30

60 -30

60 30

-60 30

-60 -30

0 -24.55 42.48

0 24.55 42.48




____________________________________________________________________________________________________


1 0,0 -10,27 -1000,00 20,00 40000,00 0,00003148

2 100,0 -7,84 -1000,00 20,00 44425,88 0,00003243

3 200,0 -5,74 -1000,00 20,00 48527,86 0,00003292

4 300,0 -3,97 -1000,00 20,00 52300,97 0,00003305

5 400,0 -2,53 -1000,00 20,00 55743,83 0,00003291

6 500,0 -1,41 -1000,00 20,00 58857,78 0,00003255

7 600,0 -0,62 -1000,00 20,00 61646,32 0,00003204

8 700,0 -0,15 -1000,00 20,00 64114,59 0,00003139

9 800,0 0,00 -1000,00 20,00 66269,07 0,00003064

3.4 - Terceiro exemplo de utilizao do programa

No terceiro exemplo, feita a verificao de outro pilar engastado-livre, conforme apresentado na Fig.

3.3.



1 9 800 0

"A" 50 21000 3.5

5 2

160 -35 0 0

-20 -10

20 -10

20 10

-20 10

-20 -10

0 -8.18 13.55

0 8.18 13.55

5 2

0 0 0 0

-20 -10

____________________________________________________________________________________________________


20 -10

20 10

-20 10

-20 -10

0 -8.18 13.55

0 8.18 13.55

5 2

480 -3.9 3200 0

-20 -10

20 -10

20 10

-20 10

-20 -10

0 -8.18 13.55

0 8.18 13.55

5 2

0 0 0 0

-20 -20

20 -20

20 20

-20 20

-20 -20

0 -16.36 27.10

0 16.36 27.10

5 2

0 0 0 0

-20 -20

20 -20

20 20

-20 20

-20 -20

0 -16.36 27.10

0 16.36 27.10

5 2

0 0 0 0

-20 -20

20 -20

20 20

-20 20

-20 -20

0 -16.36 27.10

0 16.36 27.10

5 2

0 0 0 0

-20 -20

20 -20

20 20

-20 20

-20 -20

0 -16.36 27.10

0 16.36 27.10

5 2

0 0 0 0

-20 -20

20 -20

20 20

-20 20

-20 -20

0 -16.36 27.10

0 16.36 27.10

5 2

0 0 0 0

____________________________________________________________________________________________________


-20 -20

20 -20

20 20

-20 20

-20 -20

0 -16.36 27.10

0 16.36 27.10




1 0,0 -24,51 -160,00 35,00 0,00 0,00000000

2 100,0 -18,42 -160,00 35,00 4474,75 0,00007251

3 200,0 -13,10 -640,00 38,90 12026,18 0,00019976

4 300,0 -9,53 -640,00 38,90 18200,63 0,00003230

5 400,0 -6,44 -640,00 38,90 24071,61 0,00004627

6 500,0 -3,80 -640,00 38,90 29646,66 0,00005987

7 600,0 -1,77 -640,00 38,90 34838,94 0,00007279

8 700,0 -0,46 -640,00 38,90 39565,82 0,00008480

9 800,0 0,00 -640,00 38,90 43750,61 0,00009564

____________________________________________________________________________________________________


REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

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CAMPOS FILHO, A. Dimensionamento e verificao de sees poligonais de concreto armado submetidas

flexo oblqua composta. Porto Alegre, PPGEC/UFRGS. 2014.

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COMIT EURO-INTERNATIONAL DU BTON. Codes of Practice for Structures, 1978. Volume I: Common

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Structures. Paris, 1978 (Bulletin dInformation, 124/125).

COMIT EURO-INTERNATIONAL DU BTON. Bending and Compression. Paris, 1981 (Bulletin

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DUMONT, N.A. & MUSSO JR., F. Dimensionamento e verificao de sees de concreto armado e

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microcomputadores. Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil da PUC/RJ, 1987.

FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: solicitaes normais. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1981.

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