Captulo I A. Grandezas Fsicas, Unidades e Dimenses

Objectivos: O aluno deve: 1. Compreender a distino entre grandeza fsica e a unidade em que expressa 2. Compreender a importncia de um sistema de unidade e quais as caractersticas a que este obedece 3. Compreender e saber aplicar o princpio da homogeneidade dimensional 4. Usar o princpio da homogeneidade dimensional para converso de unidades 5. Conhecer os prefixos SI e os respectivos factores multiplicativos

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A - Grandezas Fsicas, Unidades e Dimenses 1.1. Introduo A observao de um fenmeno incompleta quando dela no resultar uma informao quantitativa. Medir um processo que nos permite atribuir um nmero a uma grandeza fsica como resultado de comparao entre quantidades semelhantes. Uma dessas quantidades padronizada e adoptada como unidade da grandeza em questo.

Grandezas fsicas

Fundamentaisaquelas que no so derivadas de outras

Derivadasaquelas que podem ser expressas em termos das grandezas fundamentais

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1.2. Escolha das grandezas fundamentais e suas unidadesGrandezas Fundamentais No estudo da mecnica so necessrias apenas trs grandezas fundamentais. Das muitas escolhas possveis, mantiveram-se duas at poca actual: 1. Comprimento, massa e tempo 2. Comprimento, fora e tempo Sistemas absolutos Sistemas gravitatrios

Unidades - Sistemas absolutos 1. Metro (m), quilograma (kg), segundo (s) (sistema MKS, que dar origem ao Sistema Internacional SI) 2. Centmetro (cm), grama (g), segundo (s) (sistema CGS)3

1.3. Sistemas de unidadesGrandezas e unidades fundamentais do Sistema Internacional (SI) Grandeza Fsica comprimento massa tempo Intensidade de corrente elctrica temperatura intensidade luminosa quantidade de substncia Dimenso de base L M T I J N Unidade metro quilograma segundo ampre kelvin candela mole Abreviatura m kg s A K cd mol

Um sistema de unidades deve ser coerente, o que significa que uma unidade derivada se deve obter custa das fundamentais por simples produto ou quociente, sem que apaream factores numricos.

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Algumas unidades SI derivadas com nomes especiais

Grandeza Frequncia Fora Presso Trabalho Potncia

Unidade Hertz (Hz) Newton (N) Pascal (Pa) Joule (J) Watt (W)

Expresso em termos Expresso em termos das de outras unidades unidades fundamentais s-1 m.Kg.s-2 N/m2 N.m J/s m-1.Kg.s-2 m2.Kg.s-2 m2.Kg.s3

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Definio das unidades padroMassa (m)Quilograma (kg): definido como a massa de um cilindro de platina-irdio (90% Pt 10% Ir), que est guardado na Repartio Internacional de Pesos e Medidas em Svres (Frana) (1901).

Comprimento (l)Metro (m): a distncia que a luz percorre no vcuo num tempo de 1/299 792 458 segundos (1983).

Tempo (t)Segundo (s): definido como a durao de 9 192 631 770 perodos da radiao de um certo estado do 133 Ce (1967).

Intensidade de corrente elctrica (I)Ampere (A): 1 ampere a intensidade de uma corrente constante que, mantida em 2 condutores rectilneos e paralelos, de comprimento infinito e seco circular desprezvel, distncia de 1 m no vazio produzem uma fora de 210-7 N/m (1948).

Temperatura (T)Kelvin (K): 1 K 1/273,16 da temperatura termodinmica do ponto triplo da gua (1967).

Quantidade de matria (n)mole (mol): quantidade de matria de um sistema contendo tantas entidades elementares quanto os tomos que existem em 0,012 kg de 12C (1971)

Intensidade luminosa (Iv)candela (cd): 1 cd a intensidade luminosa numa dada direco de fonte que emite radiao monocromtica de frequncia 5401012 Hz e cuja intensidade nessa direco 1/683 W.sr-1 (1979).6

Grandezas e Unidades Derivadas (alguns exemplos)Grandeza fsica (smbolo) rea (A) volume (V) perodo (T) frequncia (f) velocidade angular () acelerao angular () velocidade (v) acelerao (a) massa volmica () fora (F), peso (P) momento de uma fora (M) momento linear ou quantidade de movimento (p) momento de inrcia (I) trabalho (W), energia (E) potncia (P) Unidade SI (smbolo) metro quadrado (m2) metro cbico (m3) segundo (s) hertz (Hz ou s-1) radiano por segundo (rad.s-1) radiano por segundo quadrado (rad.s-2) metro por segundo (m.s-1) metro por segundo quadrado (m.s-2) quilograma por metro cbico (kg.m-3) newton (N) newton metro (N.m) quilograma metro por segundo (kg.m.s-1) quilograma metro quadrado (kg.m2) joule (J) watt (W) Dimenso de base L2 L3 T T-1 T-1 T-2 LT-1 LT-2 ML-3 MLT-2 ML2T-2 MLT-1 ML2 ML2T-2 ML2T-3 F = 1/T = d/dt = d/dt v = dr/dt a = dv/dt = m/V F = ma M=rF p = mv I = miri2 dW = Fdr P = dE/dt7

Equao de definio l1l2 l1l2l3

Grandeza fsica (smbolo) carga elctrica (Q) campo elctrico (E) potencial elctrico, diferena de potencial ou tenso (V) fora electromotriz (E) fora contra-electromotriz (E) capacidade elctrica (C) resistncia elctrica (R) resistividade elctrica () impedncia (Z) potncia elctrica (P) campo magntico (H) induo magntica (B) fluxo magntico () indutncia (L)

Unidade SI (smbolo) coulomb (C) volt por metro (V.m-1) volt (V) volt (V) volt (V) farad (F) ohm () ohm metro (.m) ohm () watt (W) ampere por metro (A.m-1) tesla (T) weber (Wb) henry (H)

Dimenso de base TI MLT-3I-1 ML2T-3I-1 ML2T-3I-1 ML2T-3I-1 M-1L-2T4 ML2T-3I-2 ML3T-3I-2 ML2T-3I-2 ML2T-3 L-1I MT-2I-1 ML2T-2I-1 ML2T-2I-2

Equao de definio Q = It E = F/Q V = W/Q E = dW/dq E = dW/dq C = Q/V R = V/I = RS/L

P = VI

F = Il B = BS L = /I

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Grandezas derivadas adimensionais

Grandeza fsica

Unidade (smbolo)

Dimenso de base

Definio da unidade 1 rad o ngulo plano compreendido entre 2 raios que, na circunferncia de um crculo, intersectam um arco de comprimento igual ao do raio desse crculo (1960). 1 sr o ngulo slido que tendo o vrtice no centro de uma esfera, intersecta na superfcie desta uma rea igual de um quadrado tendo por lado o raio da esfera (1960).

ngulo plano

radiano (rad)

Adimensional

ngulo slido

esterradiano (sr)

Adimensional

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Prefixos SI e as suas abreviaturasPrefixo decahectoquilomegagigaterapetaexaAbreviatura da h k M G T P E Factor 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 Prefixo decicentimilimicronanopicofemtoattoAbreviatura d c m n p f a Factor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

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Distncias tpicasDistncia mdia at ao sol Raio terrestre Altitude de cruzeiro de um avio Altura de um homem alto Espessura de uma folha de papel Dimetro do tomo de hidrognio Raio aproximado de um proto 1.49 1011 m 6.37 106 m 1 104 m 2 100 m 1 10-4 m 1 10-10 m 1 10-15 m

Massas tpicasMassa de um homem Massa de uma molcula de O2 Massa de um electro 80 kg 5.31 10-26 kg 9.11 10-31 kg

Intervalos temporais tpicosIdade da Terra Um ano Um dia Perodo do batimento cardaco Perodo da maior frequncia audvel Perodo de ondas de rdio tpicas Perodo da vibrao de uma molcula de O2 Tempo de meia vida de um pio neutro 1.3 1017 s 3.2 107 s 8.6 104 s 100 s 5 10-5 s 1 10-6 s 2 10-14 s 2 10-16 s11

Outros sistemas de unidades

Grandezas Comprimento Massa Tempo

Unidades SI metro (m) quilograma (kg) segundo (s) CGS centmetro (cm) grama (g) segundo (s) Britnico (fps) p (ft) libra (lb) segundo (s)

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Converso de unidadesComprimento: 1 jarda (yd) 1 milha martima internacional 1 milha terrestre (mi) 1 p (ft) 1 polegada (in) = 9.14410-1 m = 1.852103 m = 1.60934103 m = 3.04810-1 m = 2.5410-2 m

Massa:

1 ona 1 lb 1 kg 1 uma

= 28.4 Kg = 0.4536 kg = 2.205 lb = 1.660410-27 kg

Velocidade:

1 n (1 milha mart. int./h) 1 p por segundo (ft/s)

= 5.1444410-1 m/s = 3.04810-1 m/s13

1.4. Dimenses

Quando analisamos uma grandeza do ponto de vista das dimenses estamos preocupados com a sua natureza e no propriamente com as unidades em que vamos exprimi-la. Diz-se que uma grandeza tm as dimenses de um comprimento, por exemplo, quando pode exprimir-se em unidades de comprimento ou que tem as dimenses de uma massa quando se pode exprimir em unidades de massa.

Por exemplo para representar as dimenses da velocidade indicamos: [v]

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GrandezaComprimento Massa Tempo Velocidade Acelerao Fora Trabalho Potncia Presso Frequncia

DimensesL M T LT-1 LT-2 MLT-2 ML2T-2 ML2T-3 ML-1T-2 T-1

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1.4.1. Princpio da homogeneidade dimensional

possvel expressar qualquer grandeza, G, em funo das grandezas fundamentais (M, L, T, , I, J, N), designando-se esta representao por equao dimensional: DIM G = [G] = M.L.T..I.J.N em que , , , , , e so os expoentes dimensionais que indicam o nmero de vezes que a grandeza fundamental intervm.

No estudo de vrios problemas encontramos relaes entre grandezas diversas. Por exemplo no movimento uniforme encontramos:

x = v.t

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uma condio necessria para a correco duma equao que ambos os membros tenham as mesmas dimenses, e este o princpio da homogeneidade dimensional. No exemplo apresentado teremos: [x] = L [v.t] = [v][t] = L.T-1.T = L

Se tivermos:

x = x0 + v.t

Ento:

[x] = [x0] = [v.t] = [v][t] = L.T-1.T = L

Importante: o argumento de qualquer funo matemtica tem que ser adimensional17

Exemplos de aplicao:1. Converso de unidadesUm corpo tem um peso de 20 N. Qual o seu peso em dine (CGS) O erg a unidade de trabalho do sistema CGS. Qual o valor, expresso em erg, correspondente ao trabalho de 1 J (Joule = N.s, unidade SI)

2. Relao entre grandezasAs variveis x, v e a esto relacionadas atravs da equao vn = 2ax, onde n um nmero inteiro adimensional. Indique, justificando, qual dever ser o valor de n

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Links : Museu de Metrologia: http://www.ipq.pt/museu/sistema/index.htm SI - Wikipdia: http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades Feira de Cincias: http://www.feiradeciencias.com.br/SIU.asp Inst. de P.M. Est. S. Paulo: http://www.ipem.sp.gov.br/5mt/unidade.asp?vpro=historia Bureau International des Poids et Mesures: http://www.bipm.fr/en/si/ National Institute of Standards and Technology: http://www.nist.gov/ Sistema Tutorial SUD: http://www.defi.isep.ipp.pt/~vcm/19