1

• 2.0 Introdução

• 2.1 Sinais discretos: Seqüências

• 2.2 Sistemas discretos no tempo

• 2.3 Sistemas lineares discretos no tempo - LTI

• 2.4 Propriedades de sistemas LTI

• 2.5 Equações diferença lineares com coeficiente constante

• 2.6 Representação no domínio da freqüência

• 2.7 Representação de seqüências por transformada de Fourier

• 2.8 Propriedades de simetria transformada de Fourier

• 2.9 Teoremas da transformada de Fourier.

Capítulo 2 Sinais e Sistemas Discretos no Tempo

2

2.0 Introdução

• Sinal: alguma coisa que contém informações sobre o estado ou

comportamento de um sistema físico, por exemplo sinal de voz.

• Sinais contínuos no tempo: definidos ao longo de um intervalo

de tempo contínuo e são representado por uma variável contínua

independente.

• Sinais discretos no tempo: definidos para tempo discreto, e são

representados como uma seqüência de números.

• Sistema de processamento de sinais

– Sistemas contínuos no tempo

– Sistemas discretos no tempo

3

Exemplo de sinais: a) Contínuo no tempob) Sequências de amostras obtidas para T = 125 s

Sinal discreto no tempo

4

• Sinais Digitais: sequências indexadas de números (reais ou

complexos). O índice n é usado como tempo discreto, tal como

o clock instantâneo de um processador digital.

• Função impulso unitário discreta: Sequência de uma única

amostra.

2.1 Sinais Discretos no Tempo: Sequências

0;0

0;1)(

n

nn

kn

knkn

;0

;1)(ou

)(n

0 1 2 3

)( kn

0 1 2 3 k k+1

1 1

5

• O impulso unitário segue as mesmas regras da função impulso

unitário ou função delta de Dirac.

• A propriedade da integração da função impulso envolvendo

deslocamento pode ser visto como a propriedade do somatório

de sequências unitárias deslocados.

Propriedade do deslocamento

• Uma seqüência discreta pode ser expressa como a soma de

impulsos unitários discretos, deslocados e multiplicados por um

peso:

• Outra interpretação usando convolução.

k

knkxnx )()()(

)(*)()( nnxnx

Impulso unitário ou sequência unitária

6

• Função degrau unitário

0;0

0;1)(

n

nnu

kn

knknu

;0

;1)(ou

)(nu

0 1 2 3

)( knu

0 1 2 3 k k+1

1 1

4 5 k+2

• Outra interpretação:

kn

m

mknu )()( )1()()( nunune

k+3

0

)()()(m

n

m

knmnu

7

Exponencial

nAnx ][

Senoidal

)cos(][ nAnx o

8

• Um sistema discreto no tempo é definido matematicamente

como uma transformação ou um operador que mapeia uma

sequência de de entrada com valor x[n] em uma outra sequência

com valor y[n], isto é:

Classificação:

• Sistemas sem Memória

• Sistemas Lineares

• Sistemas Invariante no tempo

• Sistema Causal

• Sistema Estável

2.2.1 Sistemas Discretos no tempo

)]([T)( nxny

],........[][],[][ 1100 nynxnynx

]}[{]}[{]}[][{ 2121 nxbTnxaTnbxnaxT

)()( then),()( 00 nnynnxnynx

],......}2[],1[],[{][ nxnxnxTny

yx BnyBnx ][][

9

• Um sistema L é causal, se para qualquer no, os valores da sequência

de saída para n = no dependem somente dos valores da sequência de

entrada par n no, ou seja y(n) é uma função de {…, x(n-2), x(n-1),

x(n)} somente.

• Teorema (LTI Causalidade) - Um sistema LTI com resposta impulso unitária h(n) é causal e e somente se:

Prova: Uma entrada x(n) resulta em uma saída

O segundo termo será zero para qualquer entrada se e somente se:

ou (trocando a variável)

2.2.2 Causalidade

.0for 0)( nnh

.)()()()()()()(1

n

m nm

mxmnhmxmnhmxmnhny

,....,2,1for 0)( nnmmnh

.1,2,3,...,for 0)( mmh

10

• Um sistema pode ser processado em tempo real (produzindo uma

saída imediata para cada instante de tempo n) se e somente se o

sistema é causal.

• Se o processamento em tempo real não é necessário, então o sistema

pode ser chamado de realizável se a saída pode ser computada usando

uma base com retardos, ou equivalentemente, se a resposta impulso

pode se tornar causal por um dado número de deslocamentos, ou seja:

e h(n) tornar-se-á realizável por um deslocamento de N amostras

• Um sistema com um número infinito de coeficientes não causal na

resposta impulso unitário é não realizável.

2.2.3 Processamento em Tempo Real e Realizável

},...,);({ Nnnh ).()(' Nnhnh

11

• Um sistema L é estável no sentido BIBO (bounded-input,

bounded-output stable) se somente se, para qualquer entrada

limitada a saída resultante é também limitada.

• Formalmente - O sistema L é estável se somente se para algum

AR, A>0, é verdadeiro que:

Então existe um BR, B>0, tal que:

onde

2.2.4 Estabilidade

limitado) é ( todopara )( xnAnx

limitado) é ( todopara )( ynBny

)].([L)( nxny

12

• Teorema (LTI estável) - Um sistema LTI é estável se somente

se ele tem uma resposta impulso unitário h(n) absolutamente

somável, ou seja:

Prova:

• Suficiência: Suponha que e que , para

todo n. Então para qualquer instante de tempo n

n

nh )(

n

rnh )( Anx )(

m

mnxmhny )()()( )()(

m

mnxmh

mm

ArmhAmnxmh )()()(

13

• Teorema (LTI estável): Prova

– Necessidade: Por contradição, suponha que ,

e definindo x(n) como:

Então

n

nh )(

(limitado) 0)(;1

0)(;1)](sgn[)( 0

nh

nhnhnnx

.)()()()( 00

mm

mhmnxmhny

Para a prova S é verdadeira se somente se T é verdadeiro.

14

• Um sistema L é um processo de transformação de sinais.

• Um sistema L é linear se, para qualquer x(n), v(n) tal que

e qualquer constante , tem-se:

• Um sistema é invariante no tempo (ou invariante ao deslocamento) se para todo x(n) tal que , tem-se, para todo k, que :

2.3.1 Sistemas discretos lineares e invariante no tempo (LTI)

)]([L)( nxny )]([L)( nvnw e

Ly (n )= L [x (n )]

y(n)x(n)

Rba ,

)]()([L)()( nbvnaxnbwnay

)]([L)( nxny

)]([L)( knxkny

15

• A resposta ao impulso unitário de um sistema L é definida por:

• Se o sistema L é LTI, então se

Então:

A resposta impulso unitário de um sistema LTI discreto no tempo

caracteriza um sistema da mesma forma que caracteriza os

sistemas LTI contínuos no tempo.

• Resposta ao impulso unitário Resposta a qualquer entrada

2.3.2 Resposta ao impulso unitário de um sistema linear

)]([L);( mnmnh

)]([L)( nnh

)]([L)( mnmnh

16

• A resposta de um sistema tem duas componentes:

– Resposta devido ao estado inicial (resposta a entrada zero),

– Resposta devido a entrada (resposta estado zero),

• Supondo agora, que o estado inicial é zero, então:

• Para determinar a resposta para uma entrada arbitrária x(n):

2.3.3 Resposta de sistemas LTI a uma entrada qualquer

)(nyzi

][][][ nynyny zszi

)(nyzs

][][ nyny zs

m

mnmxnxny ][][L][L][

m

mnmx ][L][

m

mnhmx ];[][

m

mnhmx ][][

(deslocamento)

(linearidade)

(se variante no tempo)

(se for LTI)

17

• Segue a mesma regra da integral convolução para sinais contínuos no tempo.

• Se L é um sistema LTI com resposta impulso unitário h(n), ou seja:

e então

É a convolução soma ou convolução discreta que pode ser diretamente avaliada diretamente para cada n, por computador ou na mão.

• Exceto para certos sinais simples, uma forma fechada para o resultado é difícil de ser obtida.

• A operação de convolução é representada por:

2.3.4 Convolução Soma

][L][ nxny

m

mnhmxny ][][][

][*][][*][][ nxnhnhnxny

18

• Todos os sistemas LTI são descritos são descritos pela convolução soma.

• Comutativa:

• Distributiva:

2.4.1 Propriedades de Sistemas LTI

][*][][*][][ nxnhnhnxny

m

mnhmxny ][][][

][*][][*][])[][(*][ 2121 nhnxnhnxnhnhnx

][nx ][1 nh ][ny

][nx ][ny][1 nh

][nx ][*][ 21 nhnh ][ny

Cascade connection of LTI Systems

][1 nh][2 nh

][2 nh ][2 nh

][nx ][ny

][nx ][][ 21 nhnh ][ny

Parallel connection of LTI Systems

19

• Retardo ideal

• Média móveis

• Acumulador

• Forward Difference

• Backward Difference

2.4.2 Exemplos de Sistemas LTI

0],[][ dd nnnnh

otherwise.,0

,1

1][

1

1][ 21

2121

2

1

MnMMMkn

MMnh

M

Mk

][0,0

0,1][][ nu

n

nknh

n

k

].[]1[][ nnnh

].1[][][ nnnh

][nx Forwarddifference ][ny

][nx ][nyForwarddifference

][nx Backward difference ][ny

Example 1

One-sampledelay

One-sampledealy

Example 2

][nx Accumulatorsystem

][nxBackwarddifference

system

][ny

20

• Um sistema LTI discreto LTI pode ser caracterizado por uma

equação diferença linear com coeficientes constantes (EDLCC).

• Ela pode ser visto como o análogo discreto de uma equação

diferencial linear com coeficientes constantes aplicada na teoria de

sistemas contínuos.

• Exemplo - Equação diferença genérica:

que é uma soma ponderada de saídas deslocadas expressa como

uma soma ponderada de entradas deslocadas para um dado instante

de tempo.

2.5.1 Equação Diferença Linear com Coeficientes Constantes EDLCC

K

k

M

m

mnxmaknykb0 0

.)()()()(

21

• Se M=0, a(0)=1; K=2, b(0)=1, b(1)=1/2, b(2)=1/8, então a ED torna-se

Que tem uma representação gráfica (signal-flow graph):

• Dado um sistema descrito por uma EDLCC, a saída do sistema pode ser encontrada pela solução da ED no domínio do tempo ou da transformada Z.

• Solução no domínio do tempo:

– Solução homogênea

– Solução particular

2.5.2 EDLCC Exemplo

)()2(8

1)1(

2

1)( nxnynyny

)(nx )(nyU n it

de lay

U n itde lay

)1( ny1 /2

1 /8)2( ny

+

- -

A D ig ita l F ilte r

)(nyh

)(ny p

22

• Descreve o comportamento geral de um sistema (estado

estacionário).

• Supondo uma entrada nula:

• A entrada nula de uma EDLCC’s é caracterizada por uma soma

de respostas exponenciais da forma

• Substituindo na EDLCC tem-se:

ou

Que é a equação que caracteriza a EDCC. Ela tem K raízes e

portanto, K soluções.

2.5.3 Solução Homogênea de EDLCC

0])(...)1()0([)( 1

0

KnnnK

k

kn zKbzbzbzkb

K

k

knykb0

0)()(

. )( nh zny

0)(...)1()0( 1 Kbzbzb KK

23

• Case I: K raízes distintas tal que

onde os coeficientes são determinados usando-se as

condições iniciais, depois encontra-se a solução particular.

• Case II: Múltiplas raízes. Por exemplo, supondo que a m-ésima

raiz rm é uma raiz múltipla de ordem Q. Então a solução da

equação homogênea será da forma:

onde os coeficientes são determinados pelas condições

de contorno.

2.5.4 Solução da equação Característica

Q

q

nq

qQqh QKrnny

1raízes). outras as para termos()(

Kkkr 1}{

. )(1

K

k

nkkh zny

K ,...,1

K ,...,1

24

• Exemplo I: Suponha existe uma raiz dupla em 0.3 e uma raiz simples para 0.1. Então a solução da equação homogênea é:

• Exemplo II: Dado um filtro digital

A equação característica: [fazendo x(n)=0]

Ou que tem raízes tal que a solução homogênea é:

2.5.5 Exemplo: Solução da equação característica

nnnh nny )1.0()3.0()3.0()( 121

)(2(8

1)1(

2

1)( nxnynyny

08

1

2

12 zz )1(4

1, 21 jrr

nnh jjny )

4

1

4

1()

4

1

4

1()( 21

25

• Função exponencial constitui-se em uma importante ferramenta na teoria de sistemas lineares discretos e contínuos. Serve como solução homogênea para as equações diferenças e equações diferenciais.

• Condição de estabilidade BIBO: No contexto da transformada Z, as raízes da equação característica (geralmente complexa) deve satisfazer:

para que o sistema causal seja estável (BIBO).

• Representação gráfica das raízes: Outra maneira resolver é considerar que as raízes devem esta localizadas dentro do círculo unitário.

Obs. No caso contínuo as raízes estão

no semi-plano esquerdo.

2.5.6 Raízes da equação característica

.,...,1 ,1 Kkrk

1 R e

Im

26

• Conhecendo-se a solução forçada, a solução particular

da EDCC depende da forma de entrada x(n).

• Geralmente, a solução particular é difícil ou as vezes

impossível de determinar de uma forma fechada, e então

empregam-se métodos numéricos para encontrar uma

solução aproximada.

• A solução particular para uma dada entrada x(n) não

especifica completamente a resposta, daí que deve ser

adicionada solução homogênea.

• Os coeficiente múltiplos da ED são encontrados aplicando-

se condições iniciais extras.

2.5.7 Solução particular da EDLCC

)(ny p

)(ny p

)(ny p

27

• Baseado na observação da forma de entrada, faz-se uma suposição

para a forma de saída, por exemplo se a entrada é ,

supõem-se que a saída é: .

• Este método trabalha com sequências de entrada da forma:

, ou qualquer combinação linear ou

produto entre elas.

• Método para encontrar a solução particular.

– Dada a entrada , supõem-se que .

– Substitui-se na ED não homogênea e encontra-se

– Aplicam-se as condições iniciais para resolver para resolver a

equação e obter a solução total:

2.5.8 Encontrando a solução particular da EDLCC

nnx )(n

p ny )(

np ny )(nnx )(

np ny )(

).()()( nynyny ph

pn nnn (d) );sin( (c) );cos( (b) ; (a)

np ny )(

28

• Considere a seguinte EDLCC:

• Encontre para dada:

– a condição inicial:

– entrada:

• Solução numérica:

• Deve-se encontrar uma forma fechada para a expressão de y(n).

2.5.9 Exemplo

)()2(9)( nxnyny

)(ny

nnnx 2)(

,...,0n

0)2()1( yy

20)1(9)3()3(

6)0(9)2()2(

2)1(9)1()1(

0)2(9)0()0(

yxy

yxy

yxy

yxy

29

• Solução homogênea: Seja . A equação característica é

, que tem as seguintes raízes: Então:

• Solução Particular: Como a entrada é , então

Substituindo na equação diferença:

Resolvendo a equação, tem-se:

Então

• Solução Total:

, onde

(Estável?)

2.5.9 Solução Total da EDLCC

0)2(9)( nyny

092 z .3, 21 rrnn

h ny )3()3()( 21

CBnAnny p 2)(

nnnx 2)(

.])2()2([9 222 nnCnBnACBnAn

.64

63,

16

11,

8

1 CBA

.64

63

16

11

8

1)( 2 nnny p

64

63

16

11

8

1)3()3()()()( 2

21 nnnynyny nnph

64

9,

8

921

].63448)3(9)3(72[64

1)( 2 nnny nn

30

• Suponha que entrada de um sistema LTI discreto resposta ao

pulso unitário h(n) é uma função exponencial complexa

• Então a saída é:

• Note que isto é o produto da entrada com outra

função somente de (ou de somente):

• A função é a resposta em frequência do sistema através

da qual a função exponencial de entrada é escalada e transladada

por: e

2.6.1 Resposta em Frequência

mj

m

njmnj

mm

emheemhmnxmhy

)()()()( )(

)sin()cos()( njnenx nj

njenx )(je

)}.({exp)()()( j

m

jmjj eHjeHemheH

)( jeH

)( jeH )( jeH

31

• Definição: A transformada de Fourier (FT) de uma sequência x(n)

é dada por:

contanto que x(n) seja absolutamente:

• A somabilidade absoluta (ou quadrática) é condição suficiente

para a existência da FT.

• Definição: A transformada de Fourier Inversa (IFT) da função

é dada por:

• Obs: A transformada de Fourier de uma sequência pode ser

interpretada em termos da representação em série de Fourier.

2.7.1 Transformada de Fourier de Sequência

nj

n

j enxeX

)()(

.)(

n

nx

)( jeX.)(

2

1)(

deeXnx njj

32

2.7.2 Interpretações da Transformada Fourier• Sinais: A transformada de Fourier de um sinal x(n)

descreve o conteúdo de frequência do sinal.

– Para cada frequência , o espectro de amplitude

descreve a importância daquela frequência contida no sinal.

– Para cada frequência , o Espectro de fase

descreve a localização (deslocamento relativo) daquela

componente de frequência do sinal.

• Sistemas: A resposta em frequência de um sistema linear

descreve como as frequências de entrada do sistema são modificadas

– Uma componente de frequência da entrada é amplificada ou

atenuada por um fator

– Uma componente de frequência da entrada é defasada por

uma quantidade

)( jeX

0 )( 0jeX

0 )( 0jeX

)( jeH

0.)( 0jeH

0

).( 0jeH

33

2.7.3 Exemplo: Filtro Passa-Baixa

• O sinal discreto h(n) cujo espectro de amplitude é é composto

principalmente por baixas frequências, isto é, frequências abaixo de uma

dada frequência de corte . Frequências mais altas ocorrem com baixa

amplitude.

• Um sistema discreto com espectro de amplitude como mostrado acima

deixa passar baixas frequência com um ganho maior que as altas.

• As frequências mais altas se aproximam de

c

)( 0jeH

0 22

Espectro de Amplitude de um filtro passa-baixa ou sistema passa-baixa

c

.)12( k

)( 0jeH

34

• Suponha que a entrada de um sistema linear real h(n), é

uma função senoidal

Mas

E então:

Como h(n) é real, , então

2.7.4 Resposta de um sistema linear a uma entrada senoidal

)cos()( 00 nAnx

)( jeH

)0( 0 A

)()(0

00

2

1)cos( njnj een

)()(2

)( 0000 )()(0 jnjjnj eHeeHeA

ny

)()( 00 * jj eHeH

*)()(0 )()(2

)( 0000 jnjjnj eHeeHeA

ny

)(Re 00 )(0

jnj eHeA

)sin()(Im)cos()(Re 000000 neHAneHA jj

)](cos[)( 0000

jj eHneHA

35

• A resposta a uma função senoidal com frequência não é

afetada pelo processo de filtragem, exceto por um ganho

(atenuação ou amplificação) e a fase por deslocamento

• Definições: Espectro de amplitude da transformada de Fourier

Espectro de Fase

• A transformada de Fourier pode ser expressa na forma:

2.7.5 Analise da resposta senoidal

)( 0jeH

0

)( 0jeH

2/1222/1* )()()()()( jI

jR

jjj eHeHeHeHeH

)(

)(tan)( 1

jR

jIj

eH

eHeH

)(Im)(

)(Re)(

jjI

jjR

eHeH

eHeH

onde,

)( 000 )()(

jeHjjj eeHeH

36

2.7.6 Exemplo: Função impulso

• Função impulso: )()( nAnx

)(nx

0 1 2 3

A

-1-2-3

n

njj enAeX )()(

AAe j 0

].,[

)( jeXA

n

37

2.7.6 Exemplo: Função “Comb”

• Função “Comb”:

else;0

1;)(

NnAnx

1

1

)(N

Nn

njj eAeX

)cos(1

)cos()]1(cos[

NN

A

].,[

)(nx

0

A

-1-4-5

n

-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8

)( jeXA

38

2.7.6 Exemplo: Função pulso triangular

• Pulso triangular:

else;0

1)];1/(1[)(

NnNnAnx

1

1

1

1 1

1)(

N

Nn

njN

Nn

njj enN

eAeX

. que Note1

1

1

1

N

n

njN

n

nj ed

djne

)(nx

0

A

-1-4-5

n

-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8

)( jeXA

39

2.7.6 Exemplo: Exponecial unilateral

• Exponencial unilateral:

else;0

0;)(

nanx

n

0

)(n

njnj eaeX ja-e

a

.,

)(nx

0

1

-1-4-5

n

-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8

)( jeX

2

(a=2)

40

2.7.6 Exemplo: Exponencial bilateral

• Exponencial bilateral: )1( )( aanx n

n

njnj eaeX )(1)cos(2

12

2

a-a

a

., )(nx

0

1

-1-4-5

n

-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8

)( jeX

3

(a=2)

41

• Definições:

– Qualquer x(n) pode ser expresso como a soma de um sequência

conjugada simétrica (x(n) real e par) com uma sequência conjugada

antisimétrica (x(n) real e ímpar):

onde,

• Similarmente, a transformada de Fourier pode ser expressa

como a soma de funções conjugadas simétricas e antisimétricas.

Onde,

2.8.1 Propriedades de Simetria da Transformada Fourier

)()( :simétrica sequência-conjugado * nxnx ee

)()()( 0 nxnxnx e

)()( :icaantisimétr sequência -conjugado * nxnx oo

)()()(

2

1)(

)()()(2

1)(

**

**

nxnxnxnx

nxnxnxnx

oo

ee

)( jeX

)()()( jo

je

j eXeXeX

)()()(

2

1)(

)()()(2

1)(

**

**

jo

jjjo

je

jjje

eXeXeXeX

eXeXeXeX

42

2.8.2 Propriedades de Simetria da Transformada de Fourier

)(* jeX

Sequência x(n) Transformada de Fourier )( jeX

)(* nx1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.

13.

)(* nx )(Re nx

)(Im nx)(nxe

)(nxo

)( realAny nx

)( realAny nx)( realAny nx

)( realAny nx))( (real )( nxnxe

)( realAny nx

))( (real )( nxnxo

)(* jeX)( j

e eX

)( jo eX

)(Re)( jjR eXeX

)(Im)( jjI eXjejX

)()( * jj eXeX )()( j

Rj

R eXeX )()( j

Ij

I eXeX )()( jj eXeX

)()( jI

j eXeX

)( jR eX

)( jI ejX

43

2.9 Teoremas da Transformada de Fourier

)()( jj ebXeaX

Sequence x(n) and y(n) Fourier Transform )( and )( jj eYeX

)(Linearity )()( nbynax 1.2.3.4.5.

6.7.

8.

9.

shifting) timeinteger, an ( )( dd nnnx

shifting) (frequency )(0 nxe nj

reversal) (time )( nx frequency) in iation(different )(nnx

theorem)on(convoluti )(*)( nynx theorem)(windowing )()( nynx

)( jnj eXe d

)( )( 0jeX)( jeX

d

edXj

j )(

)()( jj eYeX

deYeX jj )()(2

1 )(

Parseval’s Theorem

n

j deXnx

22)(

2

1)(

n

jj deYeXnynx

)()(2

1)()( **

.) thecalled is )((2

rumsity spectenergy deneX j

44

n

j deXnx

22)(

2

1)( :Proof

Exercício: Prova do Teorema de Parseval

n

njj

nn

deeXnxnxnxnx*

*2)(

2

1)()()()(

denxeXn

njj

)()(*

2

1

deX j2

)(2

1

QED

n

njj deeXnx

)(*2

1)(

deXeX jj )()(*2

1