REGINA CASSIA DE SOUZA ORTEGA

APLlCAC;:OES DO CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

UTILIZANDO 0 CABRI-GEOMETRE

Monografia apresentada como requisitoparcial a obten4;ao do titulo de Especialistaem Educa~ao Matematica, Curso de P6s-Gradua~ao em Educac;ao Matematica,Universidade Tuiuti do Parana.

Orientador: Prof. Dr. Rubens Robles OrtegaJunior

CURITIBA

2002

SUMARIO

L1STA DE ILUSTRA<;:OES ..

1 INTRODU<;:ii.O ..

1.1 OBJETIVOS ..

1.2 UM POUCO SOBRE 0 CALCULO ..

. iv

.. . 01

_ __. .. _.. 01

. .._02

1.3 TECNOLOGIA EDUCACIONAL NO ENSINO DE CALCULO .. . 03

1A IMPORTANCIA DO TRABALHO .. ...__ 061_5 ORGANIZACii.O DA MONOGRAFIA ..... __. .. 08

2 ANALISE DA VARIA<;:ii.O DE FUN<;:OES. __ __09

21 CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO E EXTREMOS ..__ _.. .. 092.2 CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEAAO __ _. . 12

3 OTIMIZA<;:ii.O.. ._ _. . ... __16

3.1 EXEMPLO 1 . . .__16

3.2 EXEMPLO 2 __ . 21

4 CALCULO DE AREAS __ _.. .. .__24

5 CONCLUSii.O __ __ 27

REFERENCIAS .. .. __.. .. 28

iii

INTRODU<;:AO

1.1 OBJETIVOS

o objetivo deste trabalho e mostrar a possibilidade de S8 criar urn roteiro para

utilizayao do software Cabri-Geometre /I como auxiliar no processo de ensina e

aprendizagem do Calculo Diferencial e Integral, disciplina que apresenta altos

indices de reprov898o em diversos cursos do Ensino Superior. Atraves de alguns

exemplos bern conhecidos do Calculo, e cuidadosamente escolhidos para esta

monografia, pretendemos mostrar que e passivel elaborar uma sequencia de talas

que pass am permitir ao professor, mesmo nao familiarizado com 0 software, utiliza-

10 em suas aulas com a simples ajuda do mouse.

No presente trabalho apresentaremos problemas envoi venda exclusivamenteaplica<;6es do Calculo, que serao resolvidos e discutidos por intermedio da

construy3o de cenarios dinamicos. A parte de conceituay80 do Calcul0 utilizando 0

CaM foi desenvolvida em [131.Ambos Irabalhos foram apresenlados sob forma de

cornunic8y8o cientifica no VII Encontro Nacional de Educay80 Matematica, realizado

no Rio de Janeiro em julho de 2001 [311.

o Cabri-Geometre e urn aplicativo de fadl manipulayao e permite, entre

outras coisas, representar graficamente funyoes, construir tabelas, calcular areas,

criar macros e, principal mente, movirnentar de varias formas a construgao

geometrica objeto de estudo. De posse destas ferramentas, podemos construir

cenarios que facilitam a compreensao de conceitos tais como limite, derivada e

integral definida, bern como suas aplica90es.

Neste contexto, apesar de apresentar algumas limitagoes, uma vez que 0

Cabri foi pensado e criado para 0 ensino de Geometria, a utilizag80 deste software

possui grande vantagem operacional em relayao a outros, mesmo que

eventual mente rna is sofisticados. Para que 0 professor possa utilizar algum

aplicativo como apoio pedag6gico ao quadro de giz, e necessario ter disponiveis urn

cornputador e urn projetor rnultimidia, 0 que significa infra-estrutura cara, de difidl

transporte e, portanto, rara de se ter. Nao obstante, fazendo uso de uma calculadora

grafica T/-92 Plus, que possui 0 Cabri-Geometre fI, conectada a um painel

View$creen, e possivel projetar a imagem da tela da calculadora utilizando apenas

urn retroprojetor comum. Esta soluyao une portabilidade e baixo custo, oferecendo

ao professor a possibilidade de utilizar tecnologia edueacional em seu curso.

Para encerrar a se9ao, gostarfamos de enfatizar que esta monografia

pretende apenas dar uma ideia de como e possivel trabalhar, nao tendo como

objetivo a construyao efetiva de uma sequencia completa de telas para uso do

professor. Esta tarefa ficara para outra oportunidade.

1.2 UM POUCO SOBRE 0 CALCULO

Partindo de um contato com um livro de Astronomia em 1663 e ap6s um

estudo de um ana dos melhores livres de Matematiea da apoea, Newton1 realizou

em dezoito meses as maiores descebertas ate entao feitas em Matematica e Fisica

desde que 0 homem comeyara a pensar. Em novembro de 1665 ele inventeu 0

Calculo Oiferencial e em maio de 1666 ele havia inventado 0 Calculo Integral.

Na realidade, antes de ser desenvolvida a ideia de Calculo Oiferencial (que e

o estudo das fun¢es derivadas), Newton se baseou em alguns estudes feitos per

Fermat 2

Independentemente dos trabalhos de Newton, Leibniz 3 tambem chegou aos

resultados fundamentais do Calculo, sem aplieac;6es pratieas como feite por Newton,

mas foi 0 primeiro a publica-los, em 1684. As descobertas de Newton somente foram

publicadas em 1687, no livro intitulado Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

A hist6ria registra uma certa disputa entre Newton e Leibniz pel a autoria da

descoberta.

o leitor interessado em conhecer a Hist6ria do Calculo pode consultar as

referimcias [4], [9], [12], [19], [20] e [22].

1 Isaac Nc\\10n (1642·1727)· Matcm:itioo c Fisico ingles, considcrado 0 major genio cientifico da hist6ria ciaHumaniciade.2 Pierre de Fennat (160H665)· Nascido na Fr..tlll;:a, all!m de ser precursor do C<ilculo c da Geomctria Analitica,rcalizou deseobcrtas notavcis, em especial no campo da Teori:1 dos Nllmcros. Uma de suas famosas oonjcctur:lssomentc roi dcmonstrada em 1994.3 Gottfried Wilhelm Lcibniz (1646·1716)· Nascido na A1emanha, doutorou·sc cm Filosofia aos 20 anos c roi urn:lUtodidata em Matcncitica.

o Universo e tudo a que ha nele esta em movimento.

Um des motives relevantes da invenyae do Calculo foi a necessidade de se

chegar a uma forma de estudar 0 comportamento de objetos em movimento.

Atraves do conceito de limite na Matematica e do consequente

desenvolvimento do Calculo Diferencial e Integral, foi possivel entender como, a

partir do estado de movimento do sistema planetario, origina-se 0 movimento que se

segue imediatamente no tempo, au seja, a formulayao da Lei da Gravitaq80

Universal" Gra9as ao conhecimento desta lei, em junho de 1969 os Estados Unidos

da America realizaram a maior fac;:anha tecnologica de todos os tempos, ao enviar 0

homem a Lua.

A aplicayao do Calcula Oiferencial e Integral abrange diversas areas, tais

como Ciemcias Bialogicas, Engenharia, Fisica, Quimica, Meio Ambiente, Econamia,

Ciancias Saciais, Criminologia, entre outras.

A tecnica da modelagem matematica consiste em descrever, atraves de

equa90es, situa90es do mundo real que estao sendo objeto de estudo. Muitas

vezes, quando uma grandeza varia em relayao a outra, utiliza-se 0 conceito de

derivada e obtern-se urna equac;:ao diferenciaJ.

o estudo das Equa90es Diferenciais, uma grande area de aplica9iio do

Calculo, e realizado com consideravel interesse em todo a mundo. Muitos modelos

mate maticos de equac;:oes diferenciais aparecem nas areas anteriormente citadas.

Problemas envolvendo aplica90es do Calculo, incluindo Modelagem e

Equa90es Diferenciais, podem ser encontrados nas referencias [1], [2], [6], [11], [16],

[21], [24], [27] e [33].

1.3 TECNOLOGIA EDUCACIONAL NO ENSINO DE CALCULO

Uma das praticas pedag6gicas que mais tem-se desenvolvido nos ultimos

anos, com relayaa ao ens ina da Matematica, e em particular ao do Calculo, e a

utilizaC;:8o de tecnologia educacional em sala de aula. Para aprofundar este tema,

recamendamos ao leitor [8} e suas referencias, a site

http://www.TechKnowLogia.org ,

4 Cuda corpo cxcrce sobrc OUITO corpo lima alra~o dirclamcnlC proporcional as suas massas c invcrsamcnleproporcional ao quadr.ldo da distiincia que os scparn.

da revista online TechKnowLogia, cuja ediva,o de man;o/abril de 2001 teve como

tema Technology for Science and Mathematics Education (contendo 22 artigos), e a

pagina

http://rnathforurn.orglmathed/tech.rnathed.html

Na sequencia comentaremos sabre alguns softwares que podem ser

utilizados no ens ina do Calculo.

o Cabri-Geometre /I e um aplicativo para aprendizagem de Geometria Plana

no computador. Foi desenvolvido por um grupo de pesquisa coordenado por Jean-

Marie Laborde, na Universidade Joseph Fourier de Grenoble, Franc;a. E como

desenhar objetos geometricos com lapis, regua, transferidor e compasso. Alem de

objetos basicos como pontos, linhas, poligonos e circunferencias, permite construir

facilmente elipses, hiperboles e parabolas. Sua principal caracterfstica e a

representac;ao dinamica, conceito associ ado a utiliz8C;80 de programas de

computador que trabalham com Geometria Dinamica, isto e, programas que

apresentam ferramentas de construc;ao que permitem 0 deslocamento das

construc;oes geometricas, sendo mantidas as relac;oes geometricas que caracterizam

a situac;ao. 0 ambiente Cabri-Geometre apresenta-se como um micromundo no qual

construc;6es geometricas sao manipuladas dinamicamente, a hist6rico das

operac;oes realizadas e acompanhado, existe a possibilidade de acultar construc;6es

auxiliares, verificar propriedades geometricas, deslocar construc;oes, entre autras.

Uma c6pia de demonstra9aOpode ser obtida em

http://www.ti.comlcalclbrasillprodutoslcabri.htm ,

eo guia do usuario em Portugues esta disponfvel em

http://www.ti.com/caJclbrasil/produtos/guias.htm .

As referencias [7] e [32] trabalham com 0 Cabri para 0 ensino de Geometria Plana.

Dois congressos internacionais sabre a Cabri foram realizados ate 0 presente

momento: 0 CabriWorld 99, em Sao Paulo e a CabriWorld 2001, em Montreal no

Canada. Recomendamos as seguintes sites para mais informac;oes sabre este

aplicativo:

http://www.cabri.com.br

e

http://www.cabri.com .

o Derive e um software matematico que possui recursos que 0 Cabri nao

oferece quando S8 Irata de ensinar Cillculo. Aplica as regras de Aritmetica,

Trigonometria, Calculo Diferencial e Integral, Algebra Vetorial e Matricial e muilas

Qutras ferramentas da Matematica, para resolver uma vasta classe de problemas, de

forma grafica, simb61ica e numerica, sendo de relativamente simples manipulayao.

Para utlliza-Io, primeiramente entra-S8 com as express6es usanda a nota980 usual

da Matematica. 0 Derive exibe-as usanda expoentes e frac;;6es. As express6es

podem entao ser simplificadas, expandidas, aproximadas, fatoradas, postas sabre

urn denominador comum, diferenciadas, integradas au ter seu grafico construido.

Equ8c;;oes podem ser resolvidas analitica ou numericamente. Matrizes podem ser

somadas, multiplicadas, transpostas, invertidas, etc. Assim sendo, a Derive e urn

aplicativo muito util no ensino e aprendizagem de Matematica, pais auxilia a

professor em suas exposic;6es e pode motivar a aluno a investigar par conta propria.

A refer€mcia [17] trabalha com a Derive no ensino de Calculo e Algebra Linear. Uma

c6pia de demonstra9ao deste software pode ser obtida em

http://www.education.ti.comlproduct/software/derive/down/download.html .

A calculadora grafica T/-92 Plus, da Texas Instruments, oferece uma versao

especial do Cabri-Geomefre /I e inclui em seu sistema operacional rnuitos recursos

do Derive. Esta calculadora pode ser conectada a urn painel ViewScreen, a que

torna possivel projetar a imagem de sua tela utilizando urn retroprojetor. Esta

soluc;ao une portabilidade e baixo custo, fornecendo ao professor urna possibilidade

real de utilizar tecnologia educacional em seu curso, uma vez que, ao utilizar outro

software, e necessaria ter disponiveis urn computador e urn projetor rnultimidia, 0

que significa infra-estrutura cara e de dificil portabilidade. A referencia (14J traz

atividades com 71-92 Plus para 0 ensino de Calculo.

A referencia (34J trabalha 0 ensino de Calculo atraves do Maple:

Os softwares Mathematica, Maple, Derive, etc..., sao sistemas de computat;aO algebrica

muito eficienles no apoio ao ensino de Calculo, e vern sendo utilizados, por exemplo, nas

fases iniciais dos cursos de Engenharia, Computacyao,Fisica e Matematica, em universidades

estrangeiras, proporcionando aos alunos maior interesse e compreensao. Este recurso

didatico apresenta a facilidade da construt;BO de graficos de fun~es e resolu980 de

problemas. No aprendizado da montagem das equayaes a resolver, da previsBo de seu

comportamenlo, e solu¢es. Os softwares alem de possibililarem uma melhor visualizayao

grafica, tambem apresentam tapicos avant;ados e muitas aplicat;oes praticas. Esta grande

ferramenta matematica permite ao estudante uma compreensao mais nitida dos processos epotencialidades do Calculo Diferencial e Integral. auxiliando-o em seus es1udos.

Para 0 Maple, alem de [34], recomendamos [15], [30] e a site

http://www.maglesQft.coml.

o software Calculus Connections [29] apresenta, entre outras cOisas, varios

videos e simula90es interativas com aplica90es do Calculo relacionadas ao dia-a-

dia. Cada modulo tem inicio com uma apresentayao multimidia de uma aplicayao da

vida real envolvendo Calculo. Pode-se mudar parametros, criar novas func;oes ever

como modificac;oes matematicas afetam as situac;oes ffsicas.

o software Winpfot teve sua versao em Portugues recentemente lan93da na

internet. E um programa simples, interativo, gratuito e pode ser utilizado no ensino

de Calculo (ver Revista do Professor de Matematica numero 47, 30 quadrimestre de

2001, p. 41 -44). Esta disponivel em

http://math.exeter.edu/rparris

Para finalizar esta sec;ao, gostariamos de mencionar que vale a pena conferir

a pagina

http://mss.math.vanderbilt.edul-pscrookeltoolkit.shtml

para ensino online de Calculo e

http://mssmath.vanderbilt.edu/-pscrookeldetoolkit.html

para Equac;oes Diferenciais.

1.4 IMPORTANCIA DO TRABALHO

Este trabalho se insere dentro da linha de pesquisa Educayao Matematica,

recentemente criada para agregar as pesquisas de varios professores da UTP,

principal mente as que atuam no Curso de Especializac;ao em Educac;ao Matematica.

o Calcul0 serve para modelar situayaes concretas, permitindo analisar, preyer

e tirar conclusoes de forma eficaz em circunstancias onde uma abordagem empirica

muitas vezes e insatisfat6ria. Isto faz do Calculo uma poderosa ferramenta a servic;o

da ciemcia e da tecnologia, justificando a grande preocupayao que existe atuaimente,

em todo 0 mundo, com as metodologias do ensino do Calculo, fen6meno conhecido

como Movimento de Reforma do Calculo. Para rnais detalhes, recomendamos ao

leitor as referendas [3J,[5J,[18J,[23J,[25Je [26], al9m da pagina

http://mathforum.ora/mathedlcalculus.reform.html.

Nos ultimos anos tem-S8 constatado urn cresci menta da evasao escolar em

diversos cursos de gradual'ao, inclusive de Instiluil'oes Publicas de Ensino Superior.Urn dado ilustrativo e ao mesma tempo alarmante e que, somente no tradicional

curso de Engenharia Civil da UFPR, a evasao chega a ficar pr6xima de 40%. Em

curses eminentemente aplicados como, par exemplo, nas engenharias, urna passivelrazao da eva sao poderia estar no fato de as alunos terem que estudar determinadosconteudos te6ricos que, segundo eles, da forma como sao apresentados, naDpossuem aparente conexao com a pratica, fazendo com que as mesmos S8 sintam

desestimulados e sensiveis a desistemcia do curs~. Islo ocerre, em particular, na

disciplina de Calculo Diferencial e Integral, cujo indice de nao aproval'ao costuma

ser elevado (a referencia (28) traz urn interessante estudo sabre este fato na

Universidade Federal do Rio Grande do Sui).

Levando em consideragao essas informa90es e pensando nas praticas

pedag6gicas desta disciplina, resolvemos desenvolver urn trabalho no senti do de

oferecer uma contribui.yao ao ensino do Calculo, propondo a utilizagao do softwareCabn·-Geometre junta mente com problemas relacionados as aplicagoes, urna vez

que urn grande aliado do professor no processo de contextualizagao e 0 uso de

softwares educacionais, imprescindivel nos dias de hoje. Oesta forma. espera-se

que 0 estudante possa compreender melhor esta disciplina e saiba aplicar. na sua

futura profissao, 0 que foi aprendido na Universidade, utilizando 0 Calculo e a

informatica como ferramentas do seu dia-a-dia. Espera-se que 0 aluno sinta maior

motivag80 para aprender e, consequentemente, tenha melhor desempenho

profissional.

Acreditamos que este trabalho e de suma importancia dentro do atual

contexto social e tecnol6gico em que vive 0 Brasil, al8m de atender algumas das

necessidades da Universidade Tuiuti do Parana, pais de seus resultados poderao

beneficiar-se todes os cursos que tern em seus curricules a disciplina de Calculo.

1.5 ORGANIZACAo DA MONOGRAFIA

Esle Irabalho foi dividido em mais quatro Capitulos, al9m desta Introdu98o.

o 2° Capitulo aborda quest6es relacionadas a analise da variayao de

func;6es, ou seja, estudo de interval as de crescimento e decrescimento,

concavidade, pontcs extremos e de inflexao.

o 30 Capitulo apresenta aplica90es contextualizadas do Calculo. Mais

especificamente, trabalhamos com 0 problema de bombeamento de petr61eo de urn

poyo no mar e com a problema de confecc;ao de latas de medidas 6timas para a

industria.

o 4° Capitulo discute a ideia do calculo de areas de figuras planas como

aplica9iio da integral definida.

o 5° Capitulo traz as conclus6es da autora referentes ao emprego em sala de

aula da proposta aqui vista e apresenta sugestoes de como se pode dar seqOencia a

este trabalho.

2 ANALISE DA VARIAC;:AO DE FUNC;:OES

Apos a apresentar;:8o da definiC;8o de derivada e das discussoes sobre suas

varias interpretac;:6es, muitos livros incluem urn estudo sabre as regras de deriv8C;:8o

(ver, par exemplo, [2], [10] au [24]). De posse destas ferramentas, partimos entao

para as primeiras aplicac;:6es da derivada. Neste capitulo, veremos como e passivel

utilizar 0 Cabri para conjecturar sobre diversos resultados importantes, que permitem

abter informac;:6es sabre uma fung80 a partir de informac;:6es sabre as sinais das

derivadas prime ira e segunda. A partir de agora, estaremos considerando que as

pre-requisitos para este tema jil sao de conhecimento des estudantes. Os exemplos

que desenvolveremos na sequencia servirao para mostrar ao professor as

vantagens de uma discussao previa a apresentayao dos teoremas. A possibilidade

de se usar 0 Cabri para conduzir os estudantes a formular hipoteses, que serao

posteriormente demonstradas, contribui de forma significativa na aquisiyao do

conhecimento.

2.1 CRESCI MENTO, DECRESCIMENTO E EXTREMOS

Nesta SeyaO, procuraremos utilizar telas feitas no Cabri para estudar a

relayao existente entre a sinal da derivada primeira de uma funyao e seu

crescimento (au decrescimenta) em um intervalo. Para tanto, consideraremos a

fun,ao definida par

f(x) ~ --'-{x3 -9x' -48X)+4.80

A Figura 1 mostra a grafico de .f, um ponto P de abscissa x, que pode

mover-se livremente sabre a eixo dos x (que e 0 dominio de f) e um segmento

tangente a curva no ponto T. Utilizando a ferramenta Edit;;:ao Numerica, podemos

fazer x variar (com precisao de duas casas decimais) e observar 0 sinal da

10

inclina980 da reta tangente, que e a derivada de / no ponto x. Tanto x quanto

P(x) podem ser vistos variando na parte superior direita da tela.

WIfijMl@,@!M"@MI@

~-J.25:;j1I'Cx)=O.5J

Figura 1

o roteiro que sugerimos 80 professor e 0 seguinte:a) Fazer 0 ponto P mover-se sobre 0 eixo x e observar que:

• P(x) > 0 quando x < -2 (ver Figura 1),

• /'(-2) = 0 (ver Figura 2),

• /'(x) < 0 quando - 2 < x < 8 (ver Figura 3),

• P(8) = 0,

• P(x) > 0 quando x> 8.

b) Observar aos estudantes que nos interval os cnde f' e positiva temos que f ecrescente e no intervalo cnde f' e negativa temos que f e decrescente. Observar

tambem que as pontcs que separam os intervalos de crescimento e decrescimento

II

saO pontcs nos quais as derivadas S8 anulam. Estes sao chamados extremantes da

fun\'iio. No exemplo, - 2 e ponto de maximo local e 8 e ponto de minima local.

WiMl§@i@"iMWI! _Ielxl

J)("-2.00±l1

"W"O.oo

Figura 2

c) Apresentar 0 criteria da derivada primeira para crescimento e decrescimento:

Seja f: I -> /I uma fun,ao derivavel em todos os pontos de um intervalo I

• Se f'(r) > 0 para todo r pertencente ao interior de I, entao f e uma

funC80 crescente em 1 ;

• Se f'(r) < 0 para todo r pertencente ao interior de I, entao f e uma

funcao decrescente em I .d) Resolver a problema de encontrar os extremos da fun~ao, bem como determinar

seus intervalos de crescimento e decrescimento. Neste case, temas que

f'(r)~~&r2 -18r-48).80

12

Igualando esta derivada a zero encontramos x = -2 OU x:::: 8. Alem disso, e facil

eonstatar que j'(x»O quando x<-2, f'(x)<O quando -2<x<8 e j'(x»O

quando x>8 Portanto, f e crescenta nos intervalos (-00,-2] e [8,+00) e

decrescente no intervalo [- 2,8], - 2 e ponto de maximo local e 8 e ponto de minima

local. Os extremos loeais sao j(-2) = 4,65 (valor maximo local) e /(8) = -1,6 (valor

minimo local).

Ml!!!iffiffij"j§jf''''!iI!!!il!i!i@

X"~

l'I){J=-O.6~

Figura 3

2.2 CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXAO

Nesta se98o, procuraremos utilizar tal as feitas no Cabri para estudar a

relac;ao existente entre 0 sinal da derivada segunda de uma func;ao e sua

concavidade em urn intervalo. Para tanto, continuaremos considerando a funyao da

s9c;ao anterior, isto e, definida par

13

f(x) = ...!..-(X3 -9x' -48X)+480

A Figura 4 mostra 0 grafico de f, urn ponto P de abscissa x, que pode

mover-S8 livremente sobre 0 eixo dos x (que e 0 dominic de f) e urn segmento

tangente iI curva no ponto T. Utilizando a ferramenta Edi~iio Numenca, podemos

fazer x variar (com precisao de duas casas decimais) e observar a sinal da derivadasegunda de f no ponto x. Tanto x quanta f"(x) podem ser vistas variando na

parte superior direita da tela.

WIf!j!fflW!f1'M!MJIIMen &~ I;,cb IlP9Oe. """"Ie, AM;Ie

I~ .J~QJ .d:j.lJ1ti~zI ~~

P=tO.15.0.00)

~O·1SjJl

1"(xj=-0.17

Figura 4

o rateiro que sugerimos ao professor e a seguinte:a) Fazer 0 ponto P mover-S8 sobre 0 eixo x e observar que:

• f"(x) < 0 quando x <3 (ver Figura 4),

• f"(3) = 0 (ver Figura 5),

14

• f"(x) > 0 quando x> 3 (ver Figura 6).

b) Observar aos estudantes que no intervalo ende i" e positiva f tern concavidade

para cima (a tangente fica abaixo do grafico - ver Figura 6) e no intervalo onde f" enegativa f tern concavidade para baixo (a tangente fica aeirna do grafico - ver

Figura 4). Observar tambem que 0 valor de x que sapara as intervalos de

concavidades diferentes e tal que a derivada segunda S8 anula. Este e abscissa de

urn ponto de inflexiio da fun9iio. No exemplo, (3,/(3») e ponto de inflexiio.

@i\Ifti#b'¥!IM"liMjjffl

X'3.OO:31f"[x)=D.DO

Figura 5

c) Apresentar 0 criteria da derivada segunda para concavidade:

Seja f I --)0 R duas vezes derivavel em todos os pontos de urn intervalo I

• Se f"(x) > 0 para todo x pertencente ao interior de I, entao f tern

concavidade para cima em I ;

15

• Se 1"(x) < 0 para todo x pertencente ao interior de I, entao f tem

concavidade para baixo em I

d) Resolver 0 problema de encontrar 0 ponto de inflexao da func;c3o, bern como

determinar sua concavidade. Neste case, temas que

1"(x) = J...(6x-18).80

Igualando esta derivada segunda a zero encontramos x = 3. Alem disso, e faGil

constatar que f"(x) < 0 quando x < 3 e /"(x) > 0 quando x> 3 Portanto, f tern

concavidade para baixo no intervalo (-00,3] e concavidade para cima no intervalo

[3,_).0 ponto (3,f(3)= 1,525) e de inflexao.

Wifflfi§ !1§iIj"!iIiWiIi!

~~f"[x):O.Ai3

.J

\ .

Figura 6

16

3 OTIMIZACAO

Os mais interessantes exemplos de aplica<;8o da derivada sao, sem duvida,

os que permitem aos estudantes urn cantata com a Modelagem Matematica. Neste

capitulo trabalharemos com dais examplos que sao classicos no ensina de Calculo.

Eles foram retirados basicamente da referencia [2], mas versoes similares podem

ser encontradas em [10] e [24]. A utiliza9ao do CaM nestes problemas permite ao

estudante enxergar que realmente 0 problema possui urna SOlury80 6tima, antes de

partir efetivamente a busea desta SOlug80. Alem disso, a caracteristica dinamica do

software permite facilmente variar dados e analisar 0 que ocorre em Qutras

situ8c;oes.

3.1 EXEMPLO 1

A Figura 7 indica urn poc;o de petrol eo no mar em urn ponto P, cuja ponto

mais proximo de urna praia retilfnea e A 0 petr61eo deve ser canalizado de Pate

urn ponto B na praia que esta a 8 k711 de A. 0 custo para se colocar a tubulac;:ao

sob a agua e de $1.000.000 par km e sabre a terra e de $500.000 par km 0

administrador do projeto recebe tres propostas para canalizar 0 petr61eo de Pate

B. A Proposta 1 sustenta que e mais barato canalizar diretamente de Pate B , pois

a menor distancia entre dois pontos e a do segmento de reta que os une. A Proposta

2 reivindica que e mais barato canalizar diretamente ate A e dar ate B ao longo da

praia, usando assim, 0 minimo de tubulac;:6es sob a linha de agua. A Proposta 3

reivindica que 0 mais barato e seguir sob a agua ate um ponto bem escolhido na

praia, entre A e B, e entao seguir pela praia ate B. Qual e a proposta mais

econ6mica?

A criac;:ao de um cenario com 0 Cabri para analisar este problema pode ser de

grande utilidade em sala de aula, antes de 0 professor apresentar a resoluc;:ao

precisa atraves das ferramentas do Calculo. As telas que mostraremos a seguir

17

fcram elaboradas de modo a permitir variayoes de alguns parametros envolvidos no

problemas, a saber: as distancias AH e AI', 0 custo em terra e 0 custo no mar.

p (po~o de petr6leo)

5km

mar

B

p'!lia"

Primeiramente, consideremos urn ponto C entre A e B I e chamemos de x a

distancia AC (ver Figura 8). Posta que AB = 8, temos que CB = 8 - x. Desta forma,

D custo do trecho CB sera 500.000(8 - x} d6lares. Por Dutro lado, 0 trecho PC mede

/"r2 + 52 I vista que e a hipotenusa de urn triangulo retangulo cujos catetos sao

AI' = 5 e AC = x. Logo, a custo do trecho PC sera I.OOO.oooJ x' + 25 d6lares.

Finalmente, 0 custo total da obra y sera dado, em milh6es de d6lares, par

-..~,

Figura 7

y(x) =~(8-x)+Jx' +25.2

p

Figura 8

18

E fadl perceber tambem que 0 valor de x da soluyao 61ima devera estar no intervalo

[0,8], que y(O) = 9 (milh6es de d6lares) e 0 custo da Proposta 2 e que y(8) = J89(aproximadamente 9,43 milh6es de d6lares) e 0 custo da Proposta 1.

A Figura 9 mostra uma constru~o na qual 0 ponto A foi posicionado na

origem de urn sistema cartesiano de coordenadas, 0 ponto B tern cDordenadas (8,0)

e 0 ponto P tern coordenadas (0,5). Nesta constru~o, 0 ponto C de coordenadas

(x,O) podera mover-se livremente sobre 0 segmento AB Para tanto, utilizamos a

ferramenta Edi~ao Numerica, podendo fazer x variar com precisao de ate duas

casas ap6s a virgula (ver parte superior esquerda da Figura 9).

> ~:

Mif!j!fflW!f!I"ijtiMi4iJ

DlstiinciaAC:X:4.B9:;i!

Cuslo 101111y=8.55

P::[O.OO.5.001

A=(O.OO, 0.00) C=(4.89.0.00) 8=(11.00.0.00)

Figura 9

Nessa sugestao para utilizaryao desta construyao em sala de aula e a

seguinte:

19

a) Mover livremenle 0 ponto C sobre 0 segmenlo AB e obter, para cada posiyao de

C 1 0 correspondente custo total Y I que tambem aparece na parte superior esquerda

da tela (ver Figura 9).

b) Conduzir as estudantes a constatar que existe realmente uma posi9c30 entre as

pontcs A e B cujo valor total da obra e minima et portanto, inferior aDs das

Propostas 1 e 2 (ver Figura 10, que mostra tambeim 0 griifico da fun9ao custo, no

qual 0 eixo y representa 0 custo em milh6es de d6Iares).

wen·WtM!i1iIiiW1i!ii

AB"B.OD

AP=5.00

DiSlanciaAC=x=~

Custololaly:B.33

Custoem teml"'O.50

CU!;lu no 1n1lr=1.l10

Figura 10

c) Observar que 0 valor de x que dii 0 custo minimo, em geral s6 pode ser obtido

com precisao usanda as conhecimentos te6ricos adquiridos em aulas anteriores, 0

que mastra a importancia de S8 estudar as centeudos e as procedimentos para

aplica-Ios.

d) ReSOlver 0 problema. Neste caso, derivamos a funyao custo, que dii

20

y,(x)=_~+ __ x_.2 Jx2 +25

Igualando esta derivada primeira a zero, obtemos apenas urn valor no intervalo [0,8] I

que e x = ~ ~ 2,88. A conclusao de que este ponto e de minima global e simples,

uma vez que se constata facilmente que no intervalo [0, ~] a fun~ao e decrescente

e no intervalo [~,8] e crescente. Para este valor de x, obtemos que a custo

s.J3(minima) e de 4+2 ~8,33 milh6es de d6lares. Logo, a Proposta 3 e a mais

econ6mica.

fHlf!j!fflWlftl"!iIMilfifi

AB=7.l0

~ enPro feb IlP;:OeI ,/-'a AjuJja

~ ..:J.::::IgJ:J.:i:I~ .!J~~~

Distiinclll AC~= J.54±l1Cuslotolal'Fl0.90

AP=·4.BO

CUSIO cmtcHa=O.19

Cuslonomar-l.33

8=(7.30,0.00).!.JE~-'--

Figura 11

21

e) Variar dinamicamente as dados do problema e analisar a que Dcorre com a

SOIUC;80. 0 Cabri permite facilmente fazer este tipo de exercicio, novamente

utilizando a ferramenta Edi~ao Numerica. A Figura 11 mostra 0 caso no qual

AP = 4,8 kill, AB = 7,3 km, 0 custo em terra e $790.000 por kill e 0 custo no mar e$1.330.000 par kill. Observando a Figura 11, concluimos que a soluc;ao 6tima, neste

casa, esta proxima de 3,54, com custo aproximado de 10,9 milh6es de d6lares.

3.2 EXEMPLO 2

Uma industria fabrica latas cilindricas fechadas que devem canter 3001111

(300 em3) de liquido. Como poderiamos escolher a altura e 0 raia para minimizar 0

material usado na confec~o da lata?

Sejam x e II a raia e a altura do cilindro, respectivamente. Sabemos que seu

volume V e dado por

Logo,

h= 300 (1)nx'

e o<x<+oo.

Por outro lado, a area total A e dada por

A = 21«' + 21«h. (2)

Substituindo (1) em (2), obtemos a funyao que devemos minimizar (area total), que edada par

A(x) = 2nx' + 600 .x

A Figura 12 mostra 0 graftco da area total A em funyao do raio x, no qual os

eixos fcram desenhados em escalas diferentes p~r causa da limltayao de espac;o da

tela do computador. No eixo x, cada unidade representa I cm e no eixo y cada

unidade representa 100 cm2, isto a, y = A / I 00. Nesta figura aparece a ponto P de

abscissa x I que pode mover-se livremente sabre a parte positiva do eixo dos x I que

a a dominic da funlYao area. Utilizando a ferramenta Edic;ao Numerica, podemos

22

tazer x variar (com precisao de duas casas decimais), observar a valor da area total

A e, no lado esquerdo da tela, ver 0 desenho do cilindro variar dinamicamente de

acordo com a raia. Os valores de x, de " e de A podem ser vistas na parte superior

direita da tela.

: [x=2.91.'F 2.511

,,

P::[2.91.0.00)

""==~~~~~~. ~

Figura 12

Nossa sugestao para utilizayao desta construy.3o em sala de aula e a

seguinte:

a) Mover livremente 0 ponto I) sabre a parte positiva do eixo x e abter, para cada

posi9ao de P, as correspondentes valores da altura e da area total, que aparecem

na parte superior direita da tela (ver Figura 12).

b) Conduzir as estudantes a constatar que existe realmente urn ponto cuja area total

e minima (ver Figura 13).

c) Observar que 0 valor de x que da a area minima, em gera] 56 pode ser obtido

com precisao usando os conhecimentos te6ricos adquiridos em aulas anteriores, 0

23

que mostra a importancia de S8 estudar as conteudos e as procedimentos para

aplica-Ios.

d) Resolver 0 problema. Neste casc, derivamo$ a func;:ao area total, que da

A'(x); 41lX- 60,0 .x

Igualando esta derivada a zero, obtemos apenas urn valor no intervalo (0,+«», que e, {J5O ... ,(J50

x = V---;-::::: 3,63 Como a denvada A'(x) e negatlva para valores menores que v---;-.. . ,{J50 . . ..

e posltlva para valores malores que ~-;-, conclulmos que e ponto de mlnlmo

global. Para esla valor de x, obtemo$ que 11= 2x (cilindro equilatero) e que a area

total (minima) e de 6n V('~or~248,08 CillO.

Mfti!!1iiWM"i1tMW!!l

RI!IIOX::3.63pl

Alturah;7.25

Figura 13

24

4 CALCULO DE AREAS

Neste capitulo veremos, de forma sucinta, urn exemplo que mostra mais uma

vez a versatilidade do Cabri no apoio ao ensino do Calculo. Como aplicagao da

integral definida, a obtengao de areas de figuras planas e urn t6pico de grande

relevancia.

Consideremos 0 problema de encontrar urn valor aproximado da area da

regiao compreendida entre 0 grafico da fun~a.o dada par f(x) = e-·T2 I 0 eixo x e

as retas x=~3 e x=3.

A interpretaC;Elo geometrica da integral definida nos diz que asta area S e3 , 2

dada par S = f e-x dx. Porem, posta que nenhuma primitiva de e-x pode ser escrita-3

como uma funt;Elo elementar, 0 Teorema Fundamental do Calculo naD e suficiente

para encontrar esta valor.o procedimento que seguiremos e an81090 ao que conduz a definiyao de

integral definida. Faz-se uma partigao do intervalo [-3,3], retimgulos adequados sao

construidos e suas areas sao somadas. Repets-s8 0 processo com mais retangulos

e assim por diante. De fato, nossa construyiio feita no Cabri permite achar,

aproximadamente, a area da regU'io compreendida entre 0 grafico de uma

fun~ao do tipo f(x) = A· B-x2 • 0 eixo x e as retas x = a e x = h. Os parametros

A, B, a e b podem variar ate duas casas decimais.

A Figura 14 mostra 0 caso em que A = 10, B = 1,07, a = -I e h = 2. Urn valor

aproximado S' da area S (S~S'=28,12) utilizando 16 relimgulos aparece indicado

na parte superior esquerda da tela. Os valores aproximados 28,19 e 28,13 foram

obtidos utilizando-se 4 e 8 retimgulos, respectivamente. Na elaborayao desta tela,

com objetivo de ser viavel sua utiliza~o em sala de aula, uma vez que a constru~o

dos retangulos deve ser rapida, foram criadas macroconstru~oes.

25

A=10.0n

6::1.07

8=-1.00

rW,ffl.'tt!j!l!WCS®

b::z2.0D

S'=28.12

Figura 14

A partir da Figura 14, utilizando a ferramenta Edi~ao Numerica, podemos

fazar os parametres A, B, a e h variarem (todos na parte superior esquerda da

tela) e ver, dinamicamente, 0 que ocorre com 0 desenho. Em particular, S8

tomarmos A=I, B=2,72 (comoaproxima98odonumero e:::::2,718281828 .. ), a=-3

e b = 3, teremos uma resposta para a problema enunciado no inicio deste capitulo,

isto e, urn valor aproximado da area abaixo do grafico de f(x) = e-x2 , entre x = -3 e

x = 3 (ver Figura 15). Podemos, portanto, escrever

3 ,

s= fe-x dx~t,77=S'-3

Para finalizar, gostariamos de mencionar a interessante igualdade

26

cujo valor aproximado e 1,772453851.Vale a pena comparar estas duas ultimas

integrals. Deixamos para 0 professor pensar na me thor forma de tirar preveito das

ideias expostas neste capitulo a fim de incrementar suas aulas de Calculo.

MIfI!!1fIW'!f1"titiMM

JA: 1.00

8"'2.72

8"-3.00

b"'J.OU

S'''I.17

I+.Figura 15

27

5 CONCLUSAO

Os exemplos vistas nos capitulos anteriores nos levarn a concluir que a

ado98o do Cabri-Geometre na disciplina de Calculo sera uma grande aliada do

professor, pais sua utilizatyao servira de fonte de motiv8c;ao e interesse para 0

estudante, resultando na melhoria da qualidade de ensine. Acreditamos que 0 aluno

podera compreender, analisar e tirar conclus5es de forma mais satisfat6ria, 0 que

contribuira de forma significativa na dimjnui~o do alto indies de reprovac;:ao e

desistencia desta materia.

Como ja mencionado no texto, nossa intent;ao fo; de apenas apresentar uma

ideia e mostrar como ala pode ser desenvolvida. Certamente, a tarefa de S8 criar urn

curso completo de Calculo baseado em telas elaboradas com 0 Cabri e ardua, mas

valera a pena. Par sua magnitude, este e urn assunto para ser trabalhado par urn

grupo de pesquisadores com objetivo, por exemplo, de se produzir um livro de apoio

didatico. Esta e uma sugestao de sequencia ao trabalho da monografia.

Para concluir, gostariamos de dizer que as ideias expostas aqui vem de

encontro a uma necessaria postura pedagogica democratica, a partir da qual seja

permitido aos alunos interagir, cooperar, trocar e confrontar dados, compartilhar

raciocinios, formular hipoteses, comprovar teses, experimentar e criar processos que

levem a produ98o do conhecimento matematico. Com 0 Cabri-Geometre, isso tudo eperfeitamente possIve1.

28

REFERENCIAS

[1J AGUIAR, A.FA, XAVIER, AF.S. e RODRIGUES, J.E.M. Calculo para CienciasMedicas e Biolegicas. Sao Paulo: Editora Harbra, 1988.

[2J ANTON, H. Calculo, urn Novo Horizonte, volume 1, 6' edi9aO. Porto Alegre:Bookman, 2000.

[3J ASKEY, R What do we do about Calculus? American Mathematical Monthly,Volume 104, Number 8, October 1997.

[4J AVILA, G. Evolu~ao dos Conceitos de Fun~ao e de Integral. RevistaMatematica Universitaria numera 1, SBM, p. 14-46, junho de 1985.

[5J BALDINO, RR Desenvolvimento de Essencias de Calculo Infinitesimal.Universidade Santa Ursula, Rio de Janeiro, 1998.

[6J BASSANEZI, RC. e FERREIRA JR, W.C. Equa~oes Diferenciais comAplica~oes. Sao Paulo: Editora Harbra, 1988.

[7J BONGIOVANNI, V., CAMPOS, T.M.M. e ALMOULOUD, SA Descobrindo 0

Cabr; G(wmetre: Caderno de Atividades. Sao Paulo: FTD, 1997.

[8J BORBA, M.C. Calculadoras Graficas e Educa~iio Matematica. UniversidadeSanta Ursula, Rio de Janeiro, 1999.

[9J BOS, H.J.M. Curso de Histeria da Matematica - Origens e Desenvolvimentodo Calculo. Editora Universidade de Brasilia, 1985.

[10J BOULOS. P. Calculo Diferencial e Integral, volume 1. Sao Paulo: MakranBooks, 1999.

[11J BOYCE, W.E. e DIPRIMA, RC. Equa90es Diferenciais Elementares eProblemas de Valores de Contomo, 6" ediyao. Rio de Janeiro: LTC Editora, 1998.

[12J BOYER, C.B. The History of the Calculus and its Conceptual Development.New York: Dover, 1959.

[13J BRANDAlIZE, PA Explorando Conceitos do Calculo Diferencial e Integralcom 0 Cabri-Geometre. Monografia. Curitiba-PR: Universidade Tuiuti do Parana,2002.

[14J CHILD, J.D. Activities for the TI-92 and TI-92 Plus: Precalculus and CalculusApplications. Texas Instruments, 2001.

29

[15] DA COSTA, I. et al. Matematica Universitiuia Basica com Maple V. SaoCarlos-SP: Editora da UFSCar, 2000.

[16] DANBY, J.MA Computing Applications to Differential Equations. APrentice-Hall Company, Reston, Virginia, 1985.

[17] DUARTE, M.G.O e EGER, RC.S. Calculo e Algebra Linear com Derive.Florianopolis: Editora da UFSC, 1995.

[18] DUBINSKY, E., SCHOENFELD, A.H. and KAPUT, J. Research in CollegiateMathematics Education IV. American Mathematical Society, 2000.

[19] EDWARDS JR., E.H. The Historical Development of the Calculus. New York:Springer-Verlag, 1979.

[20] EVES, H. Introdu~ao a Hist6ria da Matematica, 2' edi~ao. Campinas-SP:Editora da Unicamp, 1997.

[21] FERREIRA, R.S. Matematica Aplicada as Ciencias Agrarias. Vi~osa-MG:Editora da UFV, 1999.

[22] GALARDA, L.J., SILVA, SEE. e ROSSI, S.M.M. A Evolu~ao do CalculoAtraves da Hist6ria. Vitoria-ES, Editora UFES, 1999.

[23] GAVOSTO, EA, KRANTZ, S.G. and McCALLUM, W. Contemporary Issues inMathematics Education. Cambridge University Press, 1999.

[24] HUGHES-HALLETT, D. et al. Calculo, volumes 1 e 2. Rio de Janeiro: LTCEditora, 1997.

[25] KAPUT, J.J. Rethinking Calculus: Learning and Thinking. AmericanMathematical Monthly, Volume 104, Number 8, October 1997.

[26] KNISLEY, J. Calculus: A Modern Perspective. American MathematicalMonthly, Volume 104, Number 8, October 1997.

[27] KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, 8'h edition. John Wiley &Sons,1999.

[28] LOPES, A. Algumas Reflexoes Sobre a Questao do Alto indice deReprova~ao nos Cursos de Calculo da UFRGS. Revista Matematica Universitarianumera 26/27, SBM, p. 123-146, junho/dezembra de 1999.

[29] QUINNEY, D. and HARDING, R. Calculus Connections: A MultimediaAdventure. John Wiley & Sons, 1997.

[30] MAY, M.S.J. et al. Getting Started with Maple. John Wiley & Sons, 1998.

30

[31] ORTEGA, RR, BRANDALlZE, PA e ORTEGA, RC.S. Conceitos eAplica90es do Calculo Via Cabri-Geometre. VII Encontro Nacional de Educa9i\oMatematica, Rio de Janeiro, 2001.

[32] RODRIGUES, C.1. e REZENDE, E.Q.F. Cabri-Geometre e a Geornetria Plana.Campinas-SP: Editora da Unicamp, 1999.

[33] STRAFFIN, P. Applications of Calculus, Resources for Calculus, Volume 3.MAA Notes Number 29, 1993.

[34] TANEJA, LJ. MAPLE V: Urna Abordagern Cornputacional no Ensino deCalculo. Florian6polis: Editora da UFSC, 1997.