repositorio.uac.pt · 2008-12-04 · Agradecimentos Agradeço profundamente à Professora Doutora...

�

��

� ��

�

�

��

��

��

��

�

�

�

��

��

��

�

�

��

�� !"��#$�$��

�

�

�

��

��

�

�

�

�

�

�

�

��

��

��

��

�

�

�

�

��

�� !"��#$�$��

�

�� !"��#�� $� �%�&��#�#�� #�� '�� !��%�� #�� (�� #�� "�

��")��*�� %�� '�*��+�#�#�� #�� +(�!��,� ��%��#�� '�+�� -�� % �+��

�+�&��#�� %� %��!��+�#��.�* +#�#��#��/%*��*%�+�(��#��%�&��#�#��#��

��"!��0�

�

�

�

��

��

Agradecimentos

Agradeço profundamente à Professora Doutora Manuela Sobral, minha

orientadora, pela disponibilidade, dedicação, conselhos e palavras de incentivo

que sempre teve para comigo durante o desenvolvimento deste trabalho.

Ao Professor Doutor George Janelidze, pelo tempo disponibilizado e pelas

valiosas sugestões.

À minha família, pelo apoio e afecto que sempre me transmitem.

Aos meus colegas e amigos, por me terem ajudado a ultrapassar alguns

obstáculos.

Ao Departamento de Matemática da Universidade dos Açores, agradeço as

condições disponibilizadas para a realização deste trabalho.

Ao Centro de Matemática da Universidade de Coimbra, agradeço o apoio

concedido.

Ao júri, presidido pelo Senhor Vice-Reitor, Doutor Jorge Manuel Rosa de

Medeiros (por delegação do Reitor), e aos vogais, Doutora Maria Manuela Oli-

veira de Sousa Antunes Sobral, professora catedrática da Faculdade de Ciên-

cias e Tecnologia da Universidade de Coimbra; Doutor Jorge Manuel Senos

da Fonseca Picado, professor associado da Faculdade de Ciências e Tecnolo-

gia da Universidade de Coimbra; Doutora Júlia Maria Antunes Loureiro Vaz

iii

iv

de Carvalho, professora associada da Faculdade de Ciências e Tecnologia da

Universidade Nova de Lisboa; Doutora Helena de Fátima Sousa Melo, profes-

sora auxiliar da Universidade dos Açores; e Doutora Maria Isabel de Oliveira

Marques Ribeiro, professora auxiliar da Universidade dos Açores, agradeço as

críticas e sugestões feitas a esta dissertação.

Resumo

A inclusão E : CHausOrd → CHausPreord é plena, e a categoria Psp

dos espaços de Priestley é também uma subcategoria plena de CHausOrd, o

que nos permite obter a reflexão CHausOrd → Psp por composição de E com

a composição das reflexões CHausPreord → StonePreord, StonePreord →PPreord e PPreord → Psp, que são aqui estudadas com pormenor. Estabele-

cemos semelhanças e diferenças entre a reflexão CHausOrd → Psp e a refle-

xão correspondente para as ordens triviais, CHaus → Stone, nomeadamente

o facto de a primeira não ser nem regular epireflectiva nem admissível.

Caracterizamos os morfismos de descida na categoria PPreord dos espa-

ços de Stone pré-ordenados que são totalmente desconexos em relação à pré-

ordem, e em Psp. Provamos que um morfismo de Psp é morfismo de des-

cida efectiva nessa categoria se e só se for morfismo de descida efectiva em

PPreord.

A categoria dos espaços de Priestley surge na equivalência induzida por

uma adjunção dual entre TopOrd e Ret0,1. Ela é também uma subcategoria de

TopPreord cujos objectos são limite de determinados espaços pré-ordenados

finitos e discretos.

A reflexão E−completamente regular ordenado → E−compacto ordenado,

quando E é o espaço ordenado discreto 2 = {0 < 1}, dá-nos uma terceira forma

de obter espaços de Priestley: a categoria dos espaços 2-compactos ordenados

é exactamente Psp.

v

Abstract

The full inclusion functor E : CHausOrd → ChausPreord and the fact that

the category Psp is also a full subcategory of CHausOrd gives us the reflec-

tion CHausOrd → Psp through the composition of E with the composition of

the reflections CHausPreord → StonePreord, StonePreord → PPreord, and

PPreord → Psp, which are described here in detail. We state similarities

and differences between the reflection CHausOrd → Psp and the correspon-

ding reflection for the trivial orders, CHaus → Stone, namely that the former

reflection is not regular epireflective and not admissible.

We characterize the descent morphisms in the categories PPreord of pre-

ordered Stone spaces which are totally disconnected with respect to the pre-

order, and in Psp. We prove that a morphism in Psp is an effective descent

morphism in this category if and only if it is an effective descent morphism in

PPreord.

The induced equivalence by the dual adjunction between TopOrd and Ret0,1

lead us to the category of Priestley spaces. This category is also a subcate-

gory of TopPreord whose objects are limits of suitable finite discrete preorde-

red spaces, the category of limits of all such preordered spaces being exactly

PPreord.

The reflection E−ordered completely regular → E−ordered compact, when

E is the ordered discrete space 2 = {0 < 1}, gives us another way to obtain

Priestley spaces: the category of 2-ordered compact spaces is exactly Psp.

vii

Conteúdo

Introdução 1

1 Preliminares 51.1 Adjunções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Admissibilidade e unidades estáveis . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Monacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Sistemas de factorização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Relações binárias internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Espaços de Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Espaços topológicos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 Espaços de Priestley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Adjunção dual entre TopOrd e Ret0,1 272.1 Adjunção entre TopOrd e Retop

0,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Dualidade de Priestley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Reflexão de CHausOrd em Psp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Reflexão de CHausOrd em Psp 413.1 A Reflexão CHaus → Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 A Reflexão de CHausPreord em

StonePreord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 A Reflexão de StonePreord em PPreord . . . . . . . . . . . . 55

3.4 A Reflexão de PPreord em Psp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 A Reflexão de CHausOrd em Psp . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

ix

x Conteúdo

4 Morfismos de descida efectiva em Psp 674.1 Descida e descida efectiva numa categoria . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Morfismos de descida efectiva em PPreord . . . . . . . . . . . . 72

4.3 Morfismos de descida efectiva em Psp . . . . . . . . . . . . . . . 77

5 Um sistema de factorização reflectivo 815.1 Factorizações reflectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2 Factorização reflectiva definida por

I a H : Psp → PPreord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Uma terceira forma de obter espaços de Priestley 876.1 Compactificações de espaços topológicos . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2 Compactificação de espaços topológicos ordenados . . . . . . . . 91

Considerações finais 95

Bibliografia 97

Índice de categorias 101

Introdução

A Dualidade de Priestley pode ser descrita como a equivalência induzida,

num sentido que tornaremos preciso mais adiante, por uma adjunção entre

a categoria dos espaços topológicos ordenados TopOrd e a categoria dual da

dos reticulados limitados Ret0,1. De forma análoga, a Dualidade de Stone é

a equivalência induzida pela adjunção correspondente para as ordens trivi-

ais, isto é, a adjunção entre a categoria Top dos espaços topológicos e Ret0,1.

No segundo caso, a adjunção e a equivalência dual determinam a reflexão da

categoria CHaus dos espaços compactos de Hausdorff na categoria Stone dos

espaços de Stone, também chamados espaços profinitos. No primeiro caso,

pelo mesmo processo, obtém-se a reflexão de CHausOrd na categoria Psp dos

espaços de Priestley.

A reflexão de CHaus em Stone bem como as propriedades das categorias

envolvidas, nomeadamente a existência de um sistema de factorização reflec-

tivo por ela induzido em CHaus bem como do sistema que dele advém por

localização/estabilização, é um exemplo importante de reflexão onde o pro-

cesso referido conduz à factorização monótona-leve, que é apresentado com

pormenor em [CJKP97] por Carboni, Janelidze, Kelly e Paré.

O estudo da reflexão correspondente da categoria CHausOrd em Psp foi o

tema proposto por M. Sobral e G. Janelidze e ponto de partida deste trabalho.

Uma generalização crucial consistiu na substituição de ordem por pré-ordem.

As novas categorias CHausPreord e PPreord permitiram-nos analisar seme-

lhanças e diferenças entre as reflexões referidas e os contextos em que elas

são definidas.

Nas primeiras secções do Capítulo 1 apresentamos conceitos e resultados

gerais utilizados em todo o trabalho. A secção 7 contém um estudo pormeno-

1

2 Introdução

rizado de aspectos dos espaços topológicos ordenados (pré-ordenados), impor-

tantes no desenvolvimento deste trabalho. O teorema final, que generaliza

os resultados anteriores, é relativo a espaços de uma subcategoria plena C de

Top equipados com uma ordem (pré-ordem), COrd (CPreord). Razões para a

passagem de Ord a Preord são evidentes em 1.7.2, 1.7.3 e 1.7.4.

Na secção 8 estudam-se as categorias Psp dos espaços de Priestley e a

categoria PPreord dos espaços de Stone pré-ordenados que são totalmente

desconexos em relação à pré-ordem. Tal como Stone é a subcategoria plena de

Top dos espaços limites de espaços finitos e discretos([BJ90]) provamos que

PPreord é constituída pelos espaços que são limite de espaços finitos discretos

e pré-ordenados. Daí se deduz, em 1.8.8, que os espaços de Priestley são limite

de determinados espaços finitos discretos e pré-ordenados.

No Capítulo 2 a adjunção dual entre TopOrd e Ret0,1 é estudada em 2.1.

Em 2.2 mostramos que a equivalência induzida é a Dualidade de Priestley.

Através da adjunção e da dualidade obtém-se a reflexão CHausOrd → Psp.

O Capítulo 3 é dedicado ao estudo da reflexão CHausOrd → Psp. Nele

começamos por analisar o caso das ordens triviais CHaus → Stone. Mos-

tramos que ela também pode ser obtida através da adjunção correspondente

entre Top e Ret0,1 e da dualidade de Stone. Diferenças e semelhanças são

referidas, nomeadamente o facto de não ser nem regular epireflectiva nem

admissível. As reflexões CHausPreord → StonePreord e StonePreord →PPreord são estudas nas secções 3.2 e 3.3, respectivamente. Mostramos que

elas não são admissíveis e apresentamos, para a primeira, uma classe de

morfismos para a qual ela é admissível. Na secção 3.4 provamos que a re-

flexão PPreord → Psp tem unidades estáveis. Finalmente, como a inclusão

E : CHausOrd → CHausPreord é plena e a categoria Psp é também uma

subcategoria plena de CHausOrd, obtém-se a reflexão CHausOrd → Psp por

composição de E com a composição das reflexões atrás mencionadas.

No Capítulo 4 caracterizamos morfismos de descida em PPreord e Psp

e provamos que um morfismo de Psp é morfismo de descida efectiva nessa

categoria se e só se for morfismo de descida efectiva em PPreord.

No Capítulo 5 descrevemos o sistema de factorização reflectivo induzido

3

em PPreord pela reflexão PPreord → Psp, tendo como base o estudo do sis-

tema de factorização reflectivo induzido em Preord pela reflexão Preord →Ord, realizado por Xarez em [Xar03].

No último capítulo começamos por estudar "E-compactificações" para um

espaço E de Hausdorff. Na terminologia introduzida por Engelking e Mrówka

([EM58]) definem-se as subcategorias plenas de Top:

E-completamente regular dos subespaços de produtos de cópias de E e

E − compacto dos subespaços fechados de tais produtos.

Temos então a reflexão E-completamente regular→ E-compacto, a "E-

compactificação". Se E é o espaço discreto 2 = {0, 1}, elas são as categorias dos

espaços zero-dimensionais e dos espaços de Stone, respectivamente. Também

aqui Psp substitui Stone quando consideramos o espaço ordenado discreto

2 = {0 < 1}: a categoria dos espaços 2-compactos ordenados é exactamente

Psp.

1Preliminares

Neste capítulo apresentamos conceitos e resultados gerais que são utiliza-

dos ao longo de todo o trabalho. Nomeadamente são referidos a noção e as

propriedades da adjunção, admissibilidade em estruturas de Galois, sistemas

de pré-factorização e de factorização, monacidade, relações binárias internas,

e resultados sobre espaços de Stone. Espaços topológicos ordenados e espaços

de Priestley são estudados com pormenor nas duas últimas secções. Termina-

mos este capítulo apresentando uma forma de construir espaços de Priestley

através de determinados espaços pré-ordenados finitos.

1.1 Adjunções

Dadas duas categorias e functores F : X → A, G : A → X, temos uma

adjunção se existe uma função ϕ que a cada par de objectos X ∈ X, A ∈ A faz

corresponder uma função bijectiva

ϕ = ϕX,A : A(FX, A) ∼= X(X, GA)

natural em X e em A.

Esta noção, usada ao longo de todo este trabalho, é muito importante e

pode ser definida de várias formas ([Mac97], IV.1). Na proposição que se segue

referimos as formas que são utilizadas neste trabalho.

5

6 Preliminares

Proposição 1.1.1 Uma adjunção < F, G, ϕ >: X ⇀ A fica completamentedeterminada por qualquer um dos items da seguinte lista:

(i) O functor G : A → X e para cada X ∈ X um objecto F0X ∈ A e o morfismouniversal ηX : X → GF0X de X para G. Então o functor F tem funçãoobjecto F0 e é definido nos morfismos h : X → X ′ por GFh ◦ ηX = ηX′ ◦ h.

(ii) Functores F , G e transformações naturais η : IX → GF e ε : FG → IA taisque Gε ◦ ηG = IG e εF ◦ Fη = IF . A adjunção < F, G,ϕ >: X ⇀ A é, nessecaso, denotada por < F, G, η, ε >: X ⇀ A.

Numa adjunção < F, G, η, ε >: X ⇀ A, o functor F diz-se adjunto à es-querda de G e G adjunto à direita de F . Frequentemente são usadas outras

notações tais como F a G : A → X, F a G(η, ε) e

X A⊥.......................................................................................................................................... ............F

......................................................................................................................................................G

sendo η a unidade e ε a counidade da adjunção.

Proposição 1.1.2 Se os functores G : A → B e G′ : B → C têm adjuntos àesquerda F e F ′, respectivamente, então FF ′ é adjunto à esquerda de G′G.

Dada uma subcategoria A de uma categoria B, as funções imersão, que

a cada objecto e a cada morfismo de A fazem corresponder os próprios em B,

definem um functor E : A → B, o functor inclusão.

Ao longo da tese as subcategorias consideradas são subcategorias plenas e

repletas, isto é o respectivo functor inclusão é pleno e são subcategorias fecha-

das para isomorfismos.

Uma subcategoria A de B diz-se reflectiva em B quando o functor inclusão

E : A → B tem adjunto esquerdo R : B → A. O functor R é chamado functor

reflector e a adjunção < R, E, η, ε >: B ⇀ A diz-se a reflexão de B em A. Em

particular, a reflexão diz-se epireflectiva (regular epireflectiva) quando as com-

ponentes da unidade da adjunção são epimorfismos (epimorfismos regulares,

isto é, morfismos que são co-igualizadores de algum par de morfismos).

Toda a subcategoria plena e repleta X de uma categoria C é fechada para

limites ([Mac97]). Relativamente a colimites, todo o diagrama em X que tem

1.1 Adjunções 7

colimite em C tem também, por reflexão, colimite em X tal como indicamos

seguidamente para co-igualizadores.

Proposição 1.1.3 Seja C uma categoria com co-igualizadores. Dada umasubcategoria plena, repleta e reflectiva X de C e (f, g) : X → X ′ um par demorfismos em X, o morfismo rQ ◦ q, com q : X ′ → Q co-igualizador do par (f, g)

em C e rQ a componente da unidade da reflexão associada a Q, é co-igualizadordo par de morfismos (f, g) em X.

Demonstração: Seja q : X ′ → Q o co-igualizador em C do par de morfismos

(f, g), consideremos o seguinte diagrama

X X ′ Q R(Q),.................................................................................................. ............q.................................................................................................. ............

f

.................................................................................................. ............g

................................................................................ ............rQ

como q◦f = q◦g, também (rQ ◦q)◦f = (rQ ◦q)◦g e rQ ◦q ∈ X. Seja h : X ′ → X ′′

um morfismo em X tal que h ◦ f = h ◦ g. Como q é co-igualizador do par

(f, g) em C, então existe um único morfismo h′ : Q → X ′′ tal que h′ ◦ q = h.

Mas rQ é componente da unidade da reflexão, logo existe um único morfismo

h′′ : R(Q) → X ′′ em X tal que h′′ ◦ rQ = h′. Portanto h′′ ◦ (rQ ◦ q) = h e é o único

morfismo que satisfaz esta igualdade. Supondo que existe l : R(Q) → X ′′ tal

que l ◦ (rQ ◦ q) = h, então l ◦ rQ = h′′ ◦ rQ = h′, porque q é epimorfismo e l = h′′

pela unicidade de h′′. Portanto rQ ◦ q é co-igualizador do par (f, g) em X. ¤

Uma adjunção < F, G, η, ε >: X ⇀ A é uma equivalência se a unidade

η : IX → GF e a co-unidade ε : FG → IA são isomorfismos naturais. Duas

categorias dizem-se equivalentes se existe uma tal adjunção ([Mac97], IV.4).

Proposição 1.1.4 Toda a adjunção < F,G, η, ε >: A ⇀ B induz uma equiva-lência < F1, G1, η

′, ε′ >: A1 ⇀ B1 entre A1 e B1 que são as subcategorias plenasde A e B definidas por:

(i) X ∈ A1 se e só se ηX é um isomorfismo em A.

(ii) Y ∈ B1 se e só se εY é um isomorfismo em B.

que são também subcategorias repletas.

8 Preliminares

Demonstração: Seja < F, G, η, ε >: A ⇀ B uma adjunção e A1, B1 as subca-

tegorias plenas de A e B satisfazendo (i) e (ii), respectivamente.

Seja X ∈ A1, então ηX : X → GFX é um isomorfismo em A, logo

FηX : FX → FGFX é um isomorfismo. Assim existe o isomorfismo

(FηX)−1 : FGFX → FX tal que (FηX)−1 ◦ FηX = IdFX e FηX ◦ (FηX)−1 =

IdFGFX .

Sabendo que εF ◦ Fη = IdF temos queεFX ◦ FηX = IdFX ⇒ εFX ◦ FηX ◦ (FηX)−1 = IdFX ◦ (FηX)−1

⇒ εFX ◦ IdFGFX = (FηX)−1

⇒ εFX = (FηX)−1.

Como (FηX)−1 é isomorfismo, εFX é isomorfismo, logo FX ∈ B1.

De forma análoga, tem-se que se Y ∈ B1 então GY ∈ A1.

Assim obtemos uma adjunção < F1, G1, η′, ε′ >: A1 ⇀ B1, onde

F1(X) = F (X), F1(f) = F (f) e η′X = ηX , para todo o objecto e morfismo de

A1, e G1(Y ) = G(Y ), G1(g) = G(g) e ε′Y = εY , para todo o objecto e morfismo

de B1. ¤

1.2 Admissibilidade e unidades estáveis

Nesta secção referimos alguns conceitos e resultados relativos às estru-

turas categoriais de Galois introduzidos por G. Janelidze em [Jan90]. Para

informação detalhada ver [BJ01]. Em particular, averiguamos a admissibili-

dade e a existência de unidades estáveis de diversas adjunções.

Uma adjunção < F,G, η, ε >: C ⇀ X juntamente com duas classes de mor-

fismos (chamadas fibrações) K e S em C e X, respectivamente, tais que

• K e S são classes estáveis para produtos fibrados e existem produtos

fibrados ao longo de morfismos de K e de S;

• K e S são classes fechadas para a composição e contêm todos os isomor-

fismos;

• F (K) ⊆ S e G(S) ⊆ K

1.2 Admissibilidade e unidades estáveis 9

constitui uma estrutura de Galois na categoria C.

Uma estrutura de Galois numa categoria C é admissível se para todo o ob-

jecto C em C e toda a fibração φ : X → F (C) em X a composição dos morfismos

canónicos

F (C ×GF (C) G(X)) → FG(X) → X

é um isomorfismo.

Sejam K e S as classes de todos os morfismos de codomínio B e F (B),

respectivamente. Se C/B e X/F (B) são as correspondentes categorias na ad-

junção associada a uma reflexão admissível < F, G, η, ε >: C ⇀ X,

< FB, GB, ηB, εB >: C/B ⇀ X/F (B)

o functor GB induz uma equivalência X/F (B) ∼ M/B onde M é constituída

pelos morfismos α : A → B para os quais ηB(A,α) é um isomorfismo. Este facto,

bem como os que lhe correspondem para fibrações particulares, é um resultado

central da teoria referida ([BJ01] 5.1 e [CJKP97] 5.).

Consideremos K = Mor(C) e S = Mor(X).

Proposição 1.2.1 Uma reflexão plena, isto é uma adjunção

< F,G, η, ε >: C ⇀ X (1.1)

cuja co-unidade ε é isomorfismo, é admissível se e só se F preserva produtosfibrados da forma

B

B ×GF (B) G(X)

GF (B)

G(X)...............................................................................................................................................................................

π1

...................................................................... ............π2

...............................................................................................................................................................................

G(ϕ)

.......................................................................................................................................... ............ηB

com X ∈ X.

10 Preliminares

Definição 1.2.2 Diz-se que a reflexão (1.1) tem unidades estáveis quando ofunctor F : C → X preserva qualquer produto fibrado da forma

A

A×G(X) B

G(X)

B...............................................................................................................................................................................

π1

...................................................................................................................... ............π2

...............................................................................................................................................................................

β

.................................................................................................................................................... ............α

Proposição 1.2.3 Se a reflexão (1.1) tem unidades estáveis e a co-unidadeε : FG → IX é um isomorfismo, então a adjunção é admissível.

1.3 Monacidade

Uma mónada T numa categoria X é um terno (T, η, µ) constituído por um

functor T : X → X e duas transformações naturais η : IX → T, µ : T 2 → T tais

que, para todo o objecto X ∈ X, os diagramas

T 2X TX.............................................................................................................. ............µX

T 3X T 2X....................................................................................................... ............TµX

.......................................................................................................................................

µTX

.......................................................................................................................................

µX

TX T 2X.............................................................................................................. ............ηTX

TX..........................................................................................................................TηX

TX

.......................................................................................................................................................................................... ............

ITX

.......................................................................................................................................

µX

......................................................................................................................................................................................................

ITX

são comutativos.

Dada uma mónada em X, uma T-álgebra é um par (X, ξ) constituído por

um objecto X e um morfismo ξ : TX → X em X, chamado o morfismo de

estrutura, para o qual os diagramas

TX X........................................................................................................................ ............ξ

T 2X TX.............................................................................................................. ............Tξ

.......................................................................................................................................

µX

.......................................................................................................................................

ξ

X TX

X

........................................................................................................................ ............ηX

.......................................................................................................................................

ξ

.......................................................................................................................................................................................... ............

IX

são comutativos.

1.3 Monacidade 11

Um T-morfismo entre duas T-álgebras, (X, ξ) e (Y, θ), é um morfismo

f : X → Y em X para o qual o diagrama

X Y........................................................................................................................... ............f

TX TY...................................................................................................................... ............Tf

.......................................................................................................................................

ξ

.......................................................................................................................................

θ

é comutativo.

Para qualquer mónada T numa categoria X as T-álgebras e os T-morfismos

constituem uma categoria, denotada por XT, e o functor de esquecimento

UT : XT → X tem adjunto à esquerda

FT : X −→ XT

X 7−→ (TX, µX)

f 7−→ Tf

com unidade ηTX = ηX , para cada X ∈ X, e co-unidade εT(Y,θ) = θ, para cada

(Y, θ) ∈ XT.

Proposição 1.3.1 Se < F, U, η, ε >: X ⇀ A é uma adjunção então existe umamónada T em X definida da seguinte forma:

• T = UF ;

• η : IX → UF ;

• µ = UεF : UFUF → UF .

Nota: Toda a adjunção induz uma mónada e, reciprocamente, toda a mó-

nada é induzida por (em geral por mais do que) uma adjunção. Em particular

a adjunção definida por (UT, FT) induz a mónada T em X.

Teorema 1.3.2 Dada uma adjunção < F,U, η, ε >: X ⇀ A seja T a mónadapor ela induzida em X. Então existe um functor Φ : A → XT definido por

12 Preliminares

Φ(A) = (UA,UεA) e Φ(f) = Uf . Ele é o único functor para o qual UT ◦Φ = U eΦ ◦ F = FT, ou seja para o qual o seguinte diagrama comuta

A

X

XT..................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............Φ........................................................................................................................................................................................................... .........

...

U

......................

......................

......................

......................

......................

......................

......................

......................

.......................................

F

.......................................................................................................................................................................................................................

UT

.......................................................................................................................................................................................................................

FT

O functor Φ chama-se functor de comparação de Eilenberg-Moore. Este func-

tor permite "avaliar" a algebricidade da categoria A relativamente à mónada

induzida pela adjunção em causa.

Um functor com adjunto à esquerda diz-se pré-monádico se o functor de

comparação Φ é fiel e pleno e diz-se monádico se Φ é uma equivalência.

Da teoria das mónadas referimos seguidamente alguns factos que serão

frequentemente utilizados neste trabalho.

Proposição 1.3.3 (i) O functor Φ é pré-monádico se e só se as componentesda co-unidade da adjunção são epimorfismos regulares.

(ii) Todo o functor monádico reflecte isomorfismos.

1.4 Sistemas de factorização

Enunciamos, aqui, definições e resultados sobre sistemas de pré-factoriza-

ção e de factorização usando as notações e resultados referidos por Carboni,

Janelidze, Kelly e Paré em [CJKP97].

Um sistema de factorização numa categoria C é um par (E, M), onde E e

M são classes de morfismos de C, tal que todo o morfismo de C se factoriza de

forma única segundo um morfismo de E seguido de um morfismo de M. Mais

precisamente, se f ∈ C então f = m ◦ e com m ∈ M e e ∈ E e, se f = m′ ◦ e′ é

outra factorização (E,M) então existe um único isomorfismo g tal que g ◦e = e′

1.4 Sistemas de factorização 13

e m′ ◦ g = m.

A B......................................................................................................................................................................................... ............f

C ′

................................................................................................................... ............

e′

.....................................................................................................................

m′

C

........................................................................................................................

e

................................................................................................................... ............

m................................................................................................................................

g

Dados morfismos p e i, numa categoria C, dizemos que p é ortogonal ao

morfismo i, e escrevemos p ↓ i, se para todo o par de morfismos u, v tais que

v ◦ p = i ◦ u existe um único morfismo w que torna o seguinte diagrama

• •

• •

................................................................................... ............i

................................................................................... ............p

...............................................................................................

u

...............................................................................................

v

.............................................................................................................................................

w

comutativo.

Para cada classe H de morfismos na categoria C considera-se as seguintes

classes de morfismos

H↑ = {p|p ↓ h para todo h ∈ H} e H↓ = {i|h ↓ i para todo h ∈ H}.Um sistema de pré-factorização (E, M) em C é o par de classes de morfismos

para as quais E = M↑ e M = E↓. Um sistema de factorização é um sistema

de pré- factorização (E, M) tal que qualquer morfismo f ∈ C se factoriza na

forma f = m ◦ e com m ∈ M e e ∈ E. Em resumo, classes de morfismos em

C constituem sistemas de factorização se verificam as condições da seguinte

proposição.

Proposição 1.4.1 Classes de morfismos (E, M) constituem sistemas de facto-rização se e só se

(i) E e M contêm todos os isomorfismos;

(ii) E e M são fechadas para a composição;

(iii) todo o morfismo f de C se factoriza como f = m ◦ e com m ∈ M, e ∈ E;

14 Preliminares

(iv) e ↓ m, com e ∈ E,m ∈ M.

Em particular, se todo o morfismo f : A → B numa categoria C se factoriza

na forma f = m ◦ e sendo m monomorfismo e e epimorfismo regular então

a categoria C tem um sistema de factorização (EpiReg,Mono). De facto, a

classe E dos epimorfismos regulares e a classe M dos monomorfismos numa

categoria C contêm os isomorfismos de C, portanto satisfazem a condição (i).

Essas classes também satisfazem (iv): se e = co-ig(u, v) e m ◦ s = t ◦ e com

m ∈ M então,

C ′ D

A C

................................................................................................................. ............m

.............................................................................................................................

s

................................................................................................................. ............e

.............................................................................................................................

t

A′ .......................................................................................................................................... ............v

.......................................................................................................................................... ............u

como m é um monomorfismo e m ◦ s ◦ u = m ◦ s ◦ v, vem que s ◦ u = s ◦ v.

Portanto, por definição de co-igualizador, existe um único morfismo d : C → C ′

tal que d ◦ e = s. Além disso m ◦ d ◦ e = m ◦ s = t ◦ e implica que m ◦ d = t,

sendo d o único morfismo nessas condições, como é fácil verificar.

Admitindo que todo o morfismo de C tem uma factorização (E,M), isto é a

condição (iii), resta provar (ii). Dados e1 : A → B e e2 : B → C com e1, e2 ∈ E

suponhamos que e2 ◦ e1 = m ◦ e é a factorização (E, M) de e2 ◦ e1.

D

A.............................................................................................................................

e

C....................................................................................................................................................................................................................................................................... ............m

B................................................................................................................. ............e1

C................................................................................................................. ............e2

..........................

..........................

..........................

..................................

d1

...........................................................................................................................................................

............

d2

.....................................................................................................

.....................................................................................................

Por (iv) existe d1 tal que d1 ◦ e1 = e e m◦d1 = e2. De m◦d1 = e2 e (iv) deduz-se

a existência de um único d2 tal que d2 ◦ e2 = d1 e m ◦ d2 = 1C . Como m é

monomorfismo e epimorfismo cindido é um isomorfismo, portanto e2 ◦ e1 ∈ E.

Em qualquer categoria a classe M é fechada para a composição, pois a

composição de monomorfismos é sempre um monomorfismo.

Proposição 1.4.2 Seja C uma categoria com um sistema de factorização(EpiReg,Mono). Se X é uma subcategoria plena, repleta e regular epireflectivade C então

1.5 Relações binárias internas 15

(i) X tem factorizações (EpiReg,Mono);

(ii) o functor inclusão preserva e reflecte epimorfismos regulares;

(iii) se m : C → X é monomorfismo em C e X ∈ X então C ∈ X.

Proposição 1.4.3 Para um sistema de factorização (E, M) numa categoria C

tem-se as seguintes propriedades:

(i) f ∈ E ∩M ⇒ f é um isomorfismo;

(ii) a factorização f = m ◦ e,m ∈ M, e ∈ E, de um morfismo f de C é única amenos de um isomorfismo;

(iii) f ∈ M se e só se e ↓ f , com e ∈ E;

(iv) f ◦ g ∈ M e f ∈ M ⇒ g ∈ M,

(v) no produto fibrado

• •

• •

................................................................................... ............m

................................................................................... ............n

...............................................................................................

a

...............................................................................................

b

se m ∈ M, então n ∈ M.

As propriedades duais de (iii), (iv), (v) são válidas para morfismos em E. A

propriedade (v) não é em geral válida para morfismos da classe E. Os siste-

mas que verificam essa propriedade, isto é, tais que a classe E é estável para

produtos fibrados designam-se por sistemas de factorização estáveis.

1.5 Relações binárias internas

Definição 1.5.1 Seja C uma categoria. Uma relação binária interna em X ∈ C

é um objecto R ∈ C juntamente com um par de morfismos conjuntamente mo-nomórfico

R X......................................................................................................... ............

r1

......................................................................................................... ............

r2

16 Preliminares

Definição 1.5.2 Seja C uma categoria com produtos binários.

Um par R X.................................................................... ............

f

.................................................................... ............g

de morfismos numa categoria C (ou o morfismo indu-zido pelo produto < f, g >: R → X ×X), diz-se uma relação de pré-ordem emX se

(i) (f, g) é um par de morfismos monomórfico, isto é < f, g > é um monomor-fismo;

(ii) existe um morfismo δ : X → R tal que f ◦ δ = 1X , g ◦ δ = 1X ;

(iii) existe um morfismo σ : R ×X R → R tal que f ◦ σ = f ◦ ρ1, g ◦ σ = g ◦ ρ2,onde o produto fibrado é o apresentado no seguinte diagrama

R

R×X R

X

R.........................................................................................................

ρ1

............................................................... ............ρ2

.........................................................................................................

f

............................................................................................. ............g

Definição 1.5.3 Seja C uma categoria com produtos binários.

Um par R X.................................................................... ............

f

.................................................................... ............g

de morfismos de C (ou o morfismo induzido pelo produto< f, g >: R → X ×X), diz-se uma relação de equivalência em X se

(i) (f, g) é um par de morfismos monomórfico, isto é < f, g > é um monomor-fismo;

(ii) a diagonal ∆ : X → X ×X factoriza-se através de < f, g >;

(iii) existe um morfismo t : R → R tal que f ◦ t = g e g ◦ t = f ;

(iv) para o diagrama produto fibrado

R

A

X

R.........................................................................................................

f ′

............................................................................................. ............g′

.........................................................................................................

f

............................................................................................. ............g

< f ◦ f ′, g ◦ g′ >: A → X ×X factoriza-se através de < f, g >.

Definição 1.5.4 Uma relação de equivalência diz-se efectiva se é o par núcleode algum morfismo.

1.6 Espaços de Stone 17

1.6 Espaços de Stone

Um espaço topológico X diz-se

• totalmente desconexo se os únicos subconjuntos conexos de X são os sub-

conjuntos singulares;

• totalmente separado se para quaisquer dois pontos distintos de X existe

um subconjunto aberto-fechado de X que contém um e não contém o

outro;

• zero dimensional se os subconjuntos abertos-fechados de X formam uma

base para a topologia.

Proposição 1.6.1 Para um espaço topológico X são equivalentes as seguintescondições:

(i) X é compacto, Hausdorff e totalmente desconexo;

(ii) X é compacto e totalmente separado;

(iii) X é compacto, T0 e zero dimensional.

Um espaço de Stone, também chamado espaço profinito, é um espaço topo-

lógico satisfazendo uma e, portanto, todas as condições da proposição anterior.

Denotamos por Stone a subcategoria plena da categoria dos espaços topológi-

cos constituída por estes espaços. Sendo uma subcategoria reflectiva ([BJ01]

3.4.4) ela é fechada para produtos e subespaços. Efectivamente, Stone é uma

subcategoria regular epireflectiva de CHaus, tendo, portanto, as propriedades

referidas em 1.4.2.

1.7 Espaços topológicos ordenados

Tal como em [DP90] um terno (X, τ,≤) diz-se um espaço topológico orde-nado (pré-ordenado) se (X, τ) é um espaço topológico e (X,≤) é um conjunto

parcialmente ordenado (pré-ordenado).

18 Preliminares

Neste trabalho não utilizamos a definição de espaço topológico ordenado

(pré-ordenado) de L. Nachbin ([Nac65]) visto não incluirmos a condição de a

relação de ordem (pré-ordem) ser fechada em X×X. No entanto essa condição

surge naturalmente em determinados tipos de espaços como veremos.

A categoria TopOrd é a categoria cujos objectos são os espaços topológicos

ordenados e os morfismos são as aplicações contínuas que preservam a ordem

e o mesmo para TopPreord.

Proposição 1.7.1 As categorias TopOrd e TopPreord são completas.

Demonstração: Dado um conjunto {(Xi, τi,≤i)|i ∈ I} de espaços topológicos

ordenados o seu produto é o terno (X, τ,≤), onde X =∏

i∈I Xi é o produto dos

conjuntos subjacentes, τ é a topologia produto e (xi)i∈I ≤ (yi)i∈I se e só se

xi ≤i yi para todo o i ∈ I, munido das projecções pi : (X, τ,≤) → (Xi, τi,≤i).

Como o espaço singular é objecto terminal em TopOrd, concluímos que esta

categoria tem produtos.

O igualizador em TopOrd de f, g : (X, τ,≤) → (Y, τ,≤) é o par (E, i) onde

E = {x|f(x) = g(x)} é o subconjunto de X equipado com a topologia e a ordem

de subespaço de X e i : E → X é a inclusão.

Sendo uma categoria com produtos e igualizadores TopOrd tem limites

([Mac97], capV 2, teorema 2), isto é, é uma categoria completa. E o mesmo se

verifica para TopPreord. ¤

O functor de esquecimento U : TopPreord → Top preserva limites. O resul-

tado seguinte dá-nos uma boa razão para esse facto e diz-nos que U também

preserva colimites.

Proposição 1.7.2 O functor U : TopPreord → Top tem adjunto à esquerda eadjunto à direita.

Demonstração: Os functores F, G : Top → TopPreord definidos em objectos

por F (X, τ) = (X, τ,∆X), onde ∆X = {(x, x)|x ∈ X}, e G(X, τ) = (X, τ, X ×X)

são o adjunto à esquerda e o adjunto à direita, respectivamente. ¤

1.7 Espaços topológicos ordenados 19

Seja Preord a categoria dos conjuntos pré-ordenados e das funções que

preservam as pré-ordens. Denotemos por RX o subconjunto {(x, x′)|x ¹ x′} de

X ×X para (X,¹) ∈ Preord.

Lema 1.7.3 ([JS02] 2.2) Um morfismo f : (X,¹) → (Y,¹) é um epimorfismoregular em Preord se e só se f(X) = Y e RY é o fecho transitivo de f × f(RX).

Usamos também ¹X para denotar RX .

Seja V : TopPreord → Preord o functor de esquecimento.

Proposição 1.7.4 O morfismo f : (X, τ,¹) → (Y, τ,¹) é um epimorfismo re-gular em TopPreord se e só se Uf é epimorfismo regular em Top e V f é epimor-fismo regular em Preord.

Demonstração: Se f é um epimorfismo regular em TopPreord então f é o

co-igualizador do seu par núcleo (π1, π2) e, por 1.7.2, (Uπ1, Uπ2) é o par núcleo

de Uf e Uf é o co-igualizador de (Uπ1, Uπ2). Além disso, supondo que RY

contém estritamente o fecho transitivo de f × f(RX), seja Y ′ o espaço com o

mesmo espaço topológico subjacente de Y e RY ′ o fecho transitivo de f×f(RX).

O morfismo f ′ : X → Y ′ definido por f ′(x) = f(x), para todo o x ∈ X, é tal que

f ′ ◦ π1 = f ′ ◦ π2 mas não se factoriza através de f . Consequentemente, f não

é co-igualizador de (π1, π2).

Reciprocamente, se Uf e V f são epimorfismos regulares em Top e Preord,

respectivamente, e g ◦ π1 = g ◦ π2 em TopPreord, então existe um morfismo

h ∈ Top tal que h ◦ f = g.

Além disso, se y ¹ y′ em Y , pela lema anterior, existe uma sequência finita

x0 ¹ x′0, x1 ¹ x′1, . . . , xn ¹ x′n

em X tal que y = f(x0), f(x′i) = f(xi+1), para i = 0, 1, . . . , n − 1, e y′ = f(x′n).

Então h(y) = g(x0) ¹ g(x′0) = g(x1) ¹ . . . ¹ g(x′n) = h(y′) e, pela transitividade,

h(y) ¹ h(y′). Portanto, h ∈ TopPreord e é o único morfismo que satisfaz a

condição h ◦ f = g. ¤

20 Preliminares

Proposição 1.7.5 TopOrd é uma subcategoria plena e regular epireflectiva deTopPreord

Demonstração: Para X = (X, τ,¹) em TopPreord define-se uma relação de

equivalência em X da seguinte forma

x ∼ x′ ⇔ x ¹ x′ e x′ ¹ x

e toma-se I(X) = (X/ ∼, τ,≤) onde X/ ∼ é o conjunto quociente, τ é a topologia

quociente relativamente à projecção canónica pX : X → X/ ∼ e ≤ é o fecho

transitivo de pX × pX(RX), que é uma ordem em X/ ∼. Então pX : X → I(X)

é a reflexão de X em TopOrd. Além disso, por 1.7.4, pX é um epimorfismo

regular sendo portanto TopOrd uma subcategoria plena e regular epireflectiva

de TopPreord. ¤

Seja CPreord a subcategoria plena de TopPreord cujos objectos são ternos

(X, τ,¹) tais que (X, τ) é objecto da subcategoria plena C de Top. Denotamos

por U e V os correspondentes functores de esquecimento de CPreord em C e

em Preord.

As proposições desta secção são casos particulares das que reunimos no

teorema que se segue.

Teorema 1.7.6 Em CPreord

(i) O functor U : CPreord → C tem adjunto à esquerda e à direita;

(ii) um functor D : I → CPreord tem limite se e só se UD : I → C tem limiteem C;

(iii) se C é fechada para produtos fibrados um morfismo f ∈ CPreord é epi-morfismo regular se e só se Uf e V f são epimorfismos regulares em C eem Preord, respectivamente;

(iv) se, para (X, τ,¹) ∈ CPreord, X/ ∼ com a topologia quociente pertenceainda a C então COrd é uma subcategoria regular epireflectiva de CPreord.

1.8 Espaços de Priestley 21

1.8 Espaços de Priestley

Seja X um espaço topológico ordenado (pré-ordenado). Um subconjunto I

de X diz-se decrescente em X se

x, y ∈ X, y ∈ I e x ≤ y ⇒ x ∈ I.

Denotamos por AFD(X) o conjunto dos subconjuntos abertos-fechados de-

crescentes de X.

Definição 1.8.1 O espaço topológico ordenado (pré-ordenado) (X, τ,≤) diz-setotalmente desconexo em relação à ordem (pré-ordem) se dados x, y ∈ X taisque y 6≤ x existe um subconjunto U aberto-fechado decrescente de X tal quex ∈ U e y 6∈ U .

Proposição 1.8.2 Todo o espaço totalmente desconexo em relação à ordem éespaço de Hausdorff.

Demonstração: Seja (X, τ,≤) um espaço totalmente desconexo em relação

à ordem. Vejamos que é de Hausdorff.

Sejam x, y ∈ X tais que x 6= y.

Suponhamos que y 6≤ x. Então, como (X, τ,≤) é totalmente desconexo em

relação à ordem, existe U , subconjunto aberto-fechado decrescente de X, tal

que x ∈ U e y /∈ U .

Sendo U aberto-fechado, X − U é aberto-fechado. Como y /∈ U , então

y ∈ X − U . Assim existem os abertos U , X − U tais que x ∈ U , y ∈ X − U e

U ∩ (X − U) = ∅, ou seja (X, τ) é espaço de Hausdorff. ¤

Proposição 1.8.3 Todo o subespaço de um espaço totalmente desconexo emrelação à ordem é ainda totalmente desconexo em relação à ordem.

Demonstração: Seja (X, τ,≤) um espaço topológico totalmente desconexo

em relação à ordem. Seja A um subespaço de X.

Vejamos que A é ainda totalmente desconexo em relação à ordem.

22 Preliminares

Sejam a, a′ ∈ A tais que a 6≤ a′. Então existe U ∈ AFD(X) tal que a′ ∈ U e

a /∈ U . Se U é aberto-fechado decrescente de X então U ∩ A é aberto-fechado

decrescente de A, e assim A é totalmente desconexo em relação à ordem. ¤

Proposição 1.8.4 O espaço produto de espaços topológicos totalmente desco-nexos em relação à ordem é ainda um espaço totalmente desconexo em relaçãoà ordem.

Demonstração: Sejam (Xi)i∈I uma família de espaços topológicos ordena-

dos totalmente desconexos em relação à ordem.

Vejamos que o espaço topológico produto,∏

i∈I Xi, é totalmente desconexo

em relação à ordem.

Sejam (xi)i∈I , (yi)i∈I ∈∏

i∈I Xi tais que (xi)i∈I 6≤ (yi)i∈I . Então existe um

índice i0 ∈ I para o qual xi0 6≤ yi0 . Em Xi0 existe Ui0 ∈ AFD(Xi0) tal que

yi0 ∈ Ui0 e xi0 /∈ Ui0 .

Fazendo Ui = Xi, para todo o i 6= i0, em U =∏

i∈I Ui, U é um subconjunto

aberto-fechado decrescente do espaço produto,∏

i∈I Xi, tal que (yi)i∈I ∈ U e

(xi)i∈I /∈ U . Logo o espaço produto considerado é totalmente desconexo em

relação à ordem. ¤

Um espaço de Priestley é um espaço topológico ordenado, compacto e to-

talmente desconexo em relação à ordem, portanto os espaços de Priestley são

espaços de Stone visto serem espaços compactos, Hausdorff e totalmente des-

conexos.

Denotamos por Psp a subcategoria plena de TopOrd constituída pelos es-

paços de Priestley.

Proposição 1.8.5 Se X é um espaço totalmente desconexo em relação à ordementão a relação é fechada.

Demonstração: Seja (X, τ,≤) um espaço totalmente desconexo em relação

à ordem e seja RX = {(x, y) ∈ X × X|x ≤ y}. Mostremos que RX é um

subconjunto fechado de X ×X.


Consideremos A = (X ×X)−RX e vejamos que A é um aberto de X ×X.

Seja (x, y) ∈ A, isto é x 6≤ y. Como X é um espaço totalmente desconexo

em relação à ordem, existe U aberto-fechado decrescente de X tal que y ∈ U e

x /∈ U . Logo existe um subconjunto aberto de X ×X, (X −U)×U , que contém

(x, y). Vejamos que (X − U)× U ⊆ A.

Seja (a, b) ∈ (X − U) × U . Suponhamos que (a, b) /∈ A. Então a ≤ b, como

b ∈ U e U é decrescente, tem-se a ∈ U , o que é um absurdo. ¤

Em particular, num espaço de Priestley a relação de ordem é interna. De

facto, RX sendo um subespaço fechado de X × X é compacto e totalmente

desconexo em relação à ordem. Além disso Psp é uma subcategoria plena de

TopOrd.

Um espaço finito e discreto é um espaço de Priestley relativamente a qual-

quer ordem.

F. Borceux e G. Janelidze, em [BJ01] 3.4.7, caracterizam os espaços de

Stone como sendo limites de espaços topológicos finitos e discretos. Para obter

uma "versão ordenada" deste resultado, seguindo um raciocínio semelhante,

temos que passar a um patamar mais elevado de generalidade e considerar

os espaços de Stone pré-ordenados que são totalmente desconexos em rela-

ção à pré-ordem. A correspondente subcategoria plena de TopPreord vai ser

denotada por PPreord.

Proposição 1.8.6 As categorias Psp e PPreord são completas.

Demonstração: Como o produto de espaços compactos é compacto, de 1.8.4

e atendendo a que o objecto terminal de TopOrd e TopPreord (o espaço orde-

nado singular) é o terminal em Psp e em PPreord, vem que estas categorias

têm produtos.

De 1.8.2 e 1.8.3 conclui-se que o igualizador de qualquer par de morfismos

em Psp ou PPreord ainda pertence a essas categorias: basta ver que no igua-

lizador (E, i) do par f, g : X → Y , E é um subconjunto fechado de X (porque

24 Preliminares

estamos a trabalhar com espaços Hausdorff) portanto compacto.

Concluímos portanto que Psp e PPreord tendo produtos e igualizadores

têm todos os limites. ¤

Teorema 1.8.7 Um espaço topológico pré-ordenado é objecto de PPreord se esó se é limite de espaços pré-ordenados finitos e discretos.

Demonstração: Um espaço finito e discreto é compacto. Ele é também to-

talmente desconexo em relação a qualquer pré-ordem (tal como a qualquer

ordem). Pela proposição anterior concluímos que o limite de espaços pré-

-ordenados finitos e discretos é ainda um objecto de PPreord.

Reciprocamente, seja X ∈ PPreord e R o conjunto das relações de equi-

valência R em X tais que o espaço topológico quociente X/R relativamente à

projecção canónica pR : X → X/R é finito e discreto. Considerando o conjunto

R ordenado por inclusão como uma categoria seja

D : R → PPreord

o functor definido por D(R) = X/R, o espaço quociente com a relação de pré-

-ordem que é o fecho transitivo de pR × pR(¹X).

Se R ⊆ R′ temos um morfismo X/R → X/R′ definido por [x]R 7→ [x]R′ ,

denotando por [x]R e por [x]R′ as correspondentes classes de equivalência de

x ∈ X.

Seja (λR : L → X/R)R∈R o limite de D. Como (pR : X → X/R)R∈R é um

cone de X para D, pela definição de limite, existe um único morfismo g em

PPreord tal que λR ◦ g = pR para todo o R ∈ R.

Pelo teorema 3.4.7 em [BJ01], g é um homeomorfismo. Suponhamos agora

que g(x) ¹ g(y) e que x 6¹ y. Então, porque X é totalmente desconexo em

relação à pré-ordem, existe U subconjunto aberto-fechado decrescente de X

tal que y ∈ U e x /∈ U .

Tomemos a relação de equivalência RU em X correspondente à partição

{U,X − U}. Então RU ∈ R. Vejamos que [x]RU6¹ [y]RU

.

Suponhamos que [x]RU¹ [y]RU

, então existem

x′1 ¹ x1, x′2 ¹ x2, . . . , x

′n ¹ xn tais que


[x′1]RU= [x]RU

, [x1]RU= [x′2]RU

, . . . , [xn]RU= [y]RU

.

Assim, como y ∈ U então xn ∈ U e, também, x′n ∈ U , pois U é um sub-

conjunto decrescente. Aplicando o mesmo raciocínio sucessivamente temos

também x′1 ∈ U .

Por outro lado, x /∈ U logo x ∈ X − U , e, como [x′1]RU= [x]RU

, também

x′1 ∈ X − U . O que é um absurdo.

Assim existe uma relação de equivalência RU ∈ R tal que [x]RU6¹ [y]RU

,

portanto g(x) 6¹ g(y).

Portanto X é limite de espaços topológicos pré-ordenados finitos e discre-

tos, a menos de um isomorfismo. ¤

Partindo de um espaço de Priestley X, as relações induzidas em X/R pelo

fecho transitivo podem não ser, e não são em geral, relações de ordem. Con-

tudo o limite L sendo isomórfico em PPreord a X é ordenado: considerando os

espaços pré-ordenados X/R, mais precisamente o correspondente diagrama

em PPreord definido pela categoria R e o seu limite em PPreord obtemos o

espaço de Priestley X de que partimos.

Assim, o teorema anterior dá-nos uma forma de construir espaços de Pries-

tley.

Corolário 1.8.8 Todo o espaço de Priestley é limite de espaços finitos, discre-tos e pré-ordenados.

2Adjunção dual entre TopOrd

e Ret0,1

Seja TopOrd a categoria dos espaços topológicos ordenados e das aplicações

contínuas que preservam a ordem, definida na secção 1.7. Ret0,1 denota a

categoria cujos objectos são os reticulados limitados e que tem por morfismos

os homomorfismos de reticulados que preservam o zero e o um.

Vamos estabelecer uma adjunção entre TopOrd e a categoria dual da ca-

tegoria Ret0,1 cuja equivalência induzida, no sentido de 1.1.4, é exactamente

a dualidade de Priestley. Daí se deduz a reflexão da categoria CHausOrd dos

espaços compactos Hausdorff ordenados em Psp.

2.1 Adjunção entre TopOrd e Retop0,1

O conjunto 2 = {0, 1} com a ordem 0 < 1 é um reticulado limitado, que

denotamos por 2r. O mesmo conjunto ordenado equipado com a topologia dis-

creta é um espaço topológico ordenado, denotado por 2t.

Para um objecto L de Ret0,1, consideremos o conjunto Hom(L, 2r) com a

ordem ponto a ponto, isto é f ≤ g se e só se f(a) ≤ g(a) para todo o a ∈ L,

27

28 Adjunção dual entre TopOrd e Ret0,1

sendo a topologia a menor topologia na qual todos os subconjuntos

Ua = {f ∈ Hom(L, 2r)|f(a) = 1}, a ∈ L (2.1)

e os seus complementos são subconjuntos abertos.

Proposição 2.1.1 Existe um functor U : Retop0,1 → TopOrd que a cada

L ∈ Ret0,1 faz corresponder o espaço topológico Hom(L, 2r) e a todo o mor-fismo f : L → K em Ret0,1 faz corresponder o morfismo U(f) : Hom(K, 2r) →Hom(L, 2r) definido por U(f)(g) = g ◦ f .

Demonstração: De facto, para todo o morfismo f : L → K em Ret0,1 a

aplicaçãoUf : Hom(K, 2r) −→ Hom(L, 2r)

g −→ g ◦ f

é contínua e preserva a ordem, pois sejam g, h ∈ Hom(K, 2r) tais que g ≤ h,

isto é g(b) ≤ h(b) para todo o b ∈ K.

Seja a ∈ L.

Uf(g)(a) = (g ◦ f)(a) = g(f(a)) ≤ h(f(a)) = (h ◦ f)(a) = Uf(h)(a). Então

Uf(g) ≤ Uf(h), isto é Uf preserva a ordem.

Mostremos que Uf é uma aplicação contínua.

Seja b ∈ L.(Uf)−1(Ub) = {g ∈ Hom(K, 2r)|(Uf)(g) ∈ Ub}

= {g ∈ Hom(K, 2r)|(g ◦ f) ∈ Ub}= {g ∈ Hom(K, 2r)|(g ◦ f)(b) = 1}= {g ∈ Hom(K, 2r)|g(f(b)) = 1} = Uf(b), subconjunto

aberto de Hom(K, 2r).(Uf)−1(Hom(L, 2r)− Ub) = {g ∈ Hom(K, 2r)|Uf(g) /∈ Ub}

= {g ∈ Hom(K, 2r)|(g ◦ f)(b) 6= 1}= {g ∈ Hom(K, 2r)|g(f(b)) 6= 1}= Hom(K, 2r)− Uf(b), subconjunto aberto

de Hom(K, 2r).

É óbvio que U(idL) = idUL e que U(g ◦ f) = Uf ◦ Ug já que U é uma

"elevação" do functor Hom(−, 2r) : Retop0,1 → Conj para TopOrd, onde Conj

denota a categoria dos conjuntos. ¤

2.1 Adjunção entre TopOrd e Retop0,1 29

Vamos agora provar que também o functor Hom(−, 2t) : TopOrd → Conj

admite uma "elevação" para F : TopOrd → Retop0,1.

Para um objecto X ∈ TopOrd, o conjunto Hom(X, 2t) com a ordem ponto

a ponto é um reticulado limitado, onde o zero (limite inferior) e o um (limite

superior) são definidos por

θX : X → 2t, θ(x) = 0,∀x ∈ X

ιX : X → 2t, ι(x) = 1, ∀x ∈ X,

respectivamente, e

(f ∧ g)(x) = f(x) ∧ g(x),∀x ∈ X

(f ∨ g)(x) = f(x) ∨ g(x),∀x ∈ X

Proposição 2.1.2 Define-se um functor F : TopOrd → Retop0,1 fazendo corres-

ponder a cada X ∈ TopOrd o reticulado limitado Hom(X, 2t) e a cada mor-fismo f : X → Y em TopOrd a função F (f) : Hom(Y, 2t) → Hom(X, 2t) tal queF (f)(g) = g ◦ f .

Demonstração: Para qualquer morfismo f : X → Y em TopOrd a aplicação

Ff : Hom(Y, 2t) −→ Hom(X, 2t)

g −→ g ◦ f

é um morfismo de reticulados limitados. De facto tem-se, para qualquer x ∈ X,

Ff(θY )(x) = (θY ◦ f)(x) = θY (f(x)) = 0;

Ff(ιY )(x) = (ιY ◦ f)(x) = ιY (f(x)) = 1;

Ff(g ∧ h)(x) = (Ff(g) ∧ Ff(h))(x),∀g, h ∈ Hom(Y, 2t);

Ff(g ∨ h)(x) = (Ff(g) ∨ Ff(h))(x), ∀g, h ∈ Hom(Y, 2t).

E para quaisquer g, h ∈ Hom(Y, 2t) tais que g ≤ h, isto é tal que g(y) ≤ h(y)

para todo o y ∈ Y , g ◦f ≤ h◦f . Logo F define um functor de TopOrd em Retop0,1.

¤

Para todo o espaço topológico ordenado X e x ∈ X a aplicação de avaliação,

avX,x : Hom(X, 2t) → 2r tal que avX,x(i) = i(x), para todo o i ∈ Hom(X, 2t), é

um morfismo de reticulados limitados.


Proposição 2.1.3 A função que a cada X ∈ TopOrd faz corresponder

ηX : X −→ UFX = Hom(Hom(X, 2t), 2r)

x −→ avX,x

é uma transformação natural η : IdTopOrd → UF .

Demonstração: A aplicação ηX preserva a ordem. Vejamos que é contínua.

Seja f ∈ FX.η−1

X (Uf ) = {x ∈ X|ηX(x) ∈ Uf}= {x ∈ X|avX,x(f) = 1}= {x ∈ X|f(x) = 1}= f−1(1), subconjunto aberto de X.

η−1X (UFX − Uf ) = {x ∈ X|ηX(x) /∈ Uf}

= {x ∈ X|avX,x(f) 6= 1}= f−1(0), subconjunto aberto de X.

Sejam X,Y espaços topológicos ordenados. Seja f : X −→ Y uma aplicação

contínua que preserva a ordem. Mostremos que o seguinte diagrama comuta

Y

X

UFY

UFX.........................................................................................................

f

.............................................................................. ............ηX

.........................................................................................................

UFf

.............................................................................. ............ηY

Seja x ∈ X.

(ηY ◦ f)(x) = ηY (f(x)) = avY,f(x).

(UFf ◦ ηX)(x) = UFf(ηX(x)) = UFf(avX,x) = avX,x ◦ Ff .

Vejamos que avY,f(x = avX,x ◦ Ff .

Seja i ∈ Hom(Y, 2t).

avY,f(x(i) = i(f(x)).

(avX,x ◦ Ff)(i) = avX,x(Ff(i)) = avX,x(i ◦ f) = (i ◦ f)(x) = i(f(x)). ¤

Para todo o reticulado limitado L e a ∈ L a aplicação avaliação,

avL,a : Hom(L, 2r) → 2t tal que avL,a(i) = i(a) para todo o i ∈ Hom(L, 2r), é

uma aplicação contínua que preserva a ordem.

2.1 Adjunção entre TopOrd e Retop0,1 31

Proposição 2.1.4 A função que a cada L ∈ Ret0,1 faz corresponder

εL : L −→ Hom(Hom(L, 2r), 2t)

a −→ avL,a

é uma transformação natural ε : IdRet0,1 → FU .

Demonstração: A aplicação εL é um morfismo de reticulados limitados.

Seja f : L −→ K um morfismo de reticulados limitados.

Vejamos que o diagrama seguinte comuta

K

L

FUK

FUL.........................................................................................................

f

................................................................................ ............εL

.........................................................................................................

FUf

.............................................................................. ............

εK

Seja a ∈ L.

(FUf ◦ εL)(a) = FUf(εL(a)) = FUf(avL,a) = avL,a ◦ Uf .

(εK ◦ f)(a) = εK(f(a)) = avK,f(a).

Vejamos que avL,a ◦ Uf = avK,f(a).

Seja i ∈ Hom(L, 2r).(avL,a ◦ Uf)(i) = avL,a(Uf(i))

= avL,a(i ◦ f)

= (i ◦ f(a))

= i(f(a))

= avK,f(a).

¤

Teorema 2.1.5 O functor F é adjunto à esquerda do functor U : Retop0,1 →

TopOrd.

Demonstração: Vamos provar que os functores F , U e as transformações

naturais η e ε satisfazem as identidades triangulares, isto é que

UεL ◦ ηUL = IdUL e FηX ◦ εFX = IdFX , para todo L ∈ Ret0,1 e X ∈ TopOrd.

Sejam X ∈ TopOrd e f ∈ FX.


(FηX ◦ εFX)(f) = FηX(εFX(f)) = FηX(avFX,f ) = avFX,f ◦ ηX .

Vejamos que avFX,f ◦ ηX = f .

Seja x ∈ X.

(avFX,f ◦ ηX)(x) = (avFX,f )(ηX(x)) = (avFX,f )(avX,x) = avX,x(f) = f(x).

Similarmente, UεL ◦ ηUL = IdUL. ¤

2.2 Dualidade de Priestley

Vamos agora determinar a equivalência induzida, no sentido de 1.1.4, pela

adjunção definida na secção anterior.

Dado um espaço topológico ordenado X , o conjunto dos abertos-fechados

decrescentes de X, AFD(X), é um reticulado distributivo limitado para a re-

lação de inclusão.

Proposição 2.2.1 Seja X um espaço topológico ordenado. O reticulado limi-tado F (X) = Hom(X, 2t) é isomorfo a AFD(X)op.

Demonstração: Consideremos a aplicação

ϕ : Hom(X, 2t) −→ (AFD(X))op

f −→ f−1({0})

e provemos que ϕ é isomorfismo de reticulados limitados.

Dado f ∈ Hom(X, 2t), isto é f : X → 2t é uma aplicação contínua que

preserva a ordem, f−1({0}) ∈ AFD(X).

Sejam f, g ∈ Hom(X, 2t) tais que f 6= g, isto é existe x ∈ X tal que

f(x) 6= g(x), logo tem-se (x ∈ f−1({0}) e x /∈ g−1({0})) ou (x /∈ f−1({0}) e

x ∈ g−1({0})), e portanto ϕ é uma aplicação injectiva.

De seguida mostremos que ϕ é uma aplicação sobrejectiva.

Dado A ∈ AFD(X), seja f : X → 2t tal que

f(x) =

{0 se x ∈ A,

1 se x /∈ A

2.2 Dualidade de Priestley 33

Ora f ∈ Hom(X, 2t) e ϕ(f) = A. Logo ϕ é sobrejectiva.

ϕ(θX) = θ−1X ({0}) = {x ∈ X|θX(x) = 0} = X

ϕ(ιX) = ι−1X ({0}) = {x ∈ X|ιX(x) = 0} = ∅

ϕ(f ∧ g) = (f ∧ g)−1({0}) = f−1({0}) ∪ g−1({0}) = ϕ(f) ∪ ϕ(g), ∀f, g ∈Hom(X, 2t).

ϕ(f ∨ g) = (f ∨ g)−1({0}) = f−1({0}) ∩ g−1({0}) = ϕ(f) ∩ ϕ(g), ∀f, g ∈Hom(X, 2t).

Sejam g, h ∈ Hom(X, 2t) tais que g ≤ h, isto é g(x) ≤ h(x), para todo o

x ∈ X. Então h−1(0) ⊆ g−1(0). ¤

Dado um reticulado limitado L, o conjunto dos ideais primos de L, de-

notado por Ip(L), é um espaço topológico ordenado. A topologia tem como

subbase de abertos o conjunto

S = {Vb|b ∈ L} ∪ {IP (L)− Vc|c ∈ L},

sendo

Vb = {I ∈ Ip(L)|b /∈ I}. (2.2)

Proposição 2.2.2 Para todo o reticulado distributivo limitado L o espaço to-pológico dos ideais primos de L, X = (Ip(L), τ), é compacto.

Demonstração: Pelo Lema da subbase de Alexander, basta provarmos que

toda a cobertura aberta de X por elementos de S tem uma subcobertura finita.

Sejam A0, A1 ⊆ L tais que

X ⊆ (⋃

b∈A0

Vb) ∪ (⋃

c∈A1

(X − Vc))

Seja J o ideal gerado por A0 e G o filtro gerado por A1. Suponhamos que

J ∩ G = ∅, pelo Teorema do Ideal Primo, existe I ideal primo de L tal que

J ⊆ I e I ∩G = ∅Como I ∈ X, então

∃b ∈ A0 : I ∈ Vb ou ∃c ∈ A1 : I ∈ (X − Vc)


Se I ∈ Vb então b /∈ I. Mas b ∈ A0 ⊆ J ⊆ I. O que é um absurdo.

Se I ∈ (X − Vc) então c ∈ I. Mas c ∈ A1 ⊆ G e I ∩ G = ∅. O que é um

absurdo. Então J ∩G 6= ∅Seja a ∈ J ∩G.

Temos os seguintes casos:

1. Suponhamos que A0 6= ∅, A1 6= ∅Então, como

J = (A0] =↓ {b1 ∨ b2 ∨ ... ∨ bn|n ∈ IN, a1, a2, ..., an ∈ A0} (1)

G = [A1) =↓ {c1 ∧ c2 ∧ ... ∧ ck|k ∈ IN, c1, c2, ..., ck ∈ A1}existe n, k ∈ IN, b1, ..., bn ∈ A0, c1, ..., ck ∈ A1 tal que

c1 ∧ ... ∧ ck ≤ a ≤ b1 ∨ ... ∨ bn.

Seja I ∈ X.

Se a ∈ I então c1 ∧ ... ∧ ck ∈ I, logo I /∈ Vc1∧...∧ck= Vc1 ∩ ... ∩ Vck

. Então

I ∈ (X − Vc1) ∪ ... ∪ (X − Vck).

Se a /∈ I então b1 ∨ ... ∨ bn /∈ I e, consequentemente I ∈ Vb1∨...∨bn = Vb1 ∪...∪Vbn . Concluímos então que X = Vb1∪...∪Vbn∪(X−Vc1)∪...∪(X−Vck

),

isto é, existe uma subcobertura finita.

2. Suponhamos que A0 6= ∅ e A1 = ∅. Neste caso G = {1}, então a = 1

e 1 ∈ J . Existe n ∈ IN e b1, ..., bn ∈ A0 tal que 1 ≤ b1 ∨ ... ∨ bn. Então

1 = b1 ∨ ... ∨ bn e V1 = Xb1∨...∨bn = Vb1 ∪ ... ∪ Vbn . Logo existe uma

subcobertura finita.

3. Se A0 = ∅ e A1 6= ∅, de uma forma similar prova-se que existe uma

subcobertura finita.

4. Se A0 = ∅ e A1 = ∅, é trivial que existe uma subcobertura finita.

¤

Proposição 2.2.3 Dado um reticulado distributivo limitado L e o espaço to-pológico ordenado dos ideais primos de L, X = (Ip(L), τ,⊆), tem-se:


(i) I, J ∈ Ip(L), J 6⊆ I ⇒ ∃a ∈ L : I ∈ Va e J /∈ Va;

(ii) Os subconjuntos abertos-fechados decrescentes de X são exactamente osconjuntos Va = {I ∈ Ip(L)|a /∈ I} com a ∈ L.

Demonstração:

(i) Sejam I, J ideais primos de L tais que J 6⊆ I. Então existe a ∈ L tal que

a ∈ J e a /∈ I logo J /∈ Va e I ∈ Va.

Mais, para todo o a ∈ L, Va é um subconjunto aberto-fechado de X, por-

que Va ∈ S, e X − Va ∈ S.

(ii) Sejam I ∈ Va e J ∈ Ip(L) tais que J ⊆ I. Se a ∈ J temos a ∈ I, o que é um

absurdo, porque I ∈ Va, logo J ∈ Va. Então Va é decrescente.

Seja V um subconjunto aberto-fechado decrescente de X.

Se V = ∅, então V = V0.

Se V = X então V = V1.

Suponhamos que V 6= ∅ e V 6= X. Seja J ∈ X−V . Para todo o I ∈ V ,tem-

se J 6⊆ I, porque V é decrescente e J /∈ V . Por 1, para todo o I ∈ V , existe

aI ∈ L tal que I ∈ VaI e J /∈ VaI . Logo

V ⊆⋃

I∈V

VaI e J /∈⋃

I∈V

VaI .

Como X é compacto e V é fechado, V é compacto. Como VaI é aberto para

todo o I ∈ V , existe U ⊆ V não vazio e finito tal que

V ⊆⋃

I∈V

VaI

Seja bJ =∨

I∈V

aI . Então V ⊆ VbJe J /∈ VbJ

.

Seja J ∈ X − V . Tem-se

X − V ⊆⋃

J∈X−V

(X − VbJ) e V ⊆

⋂

J∈X−V

VbJ.


Mas, X − V é fechado e consequentemente é compacto. Como X − VbJé

aberto para todo o J ∈ X − V , existe A ⊆ (X − V ) não vazio e finito tal

que

X − V ⊆⋃

J∈A

(X − VbJ) = X −

⋂

J∈A

VbJ.

Então V ⊇⋂

J∈A

VbJe como V ⊆

⋂

J∈A

VbJ, concluímos que

V =⋂

J∈A

VbJ= Va

com a =∧

J∈A

bJ .

¤

Pelas proposições anteriores podemos concluir que

Proposição 2.2.4 Para todo o reticulado distributivo limitado L o espaço dosideais primos de L é um espaço de Priestley.

Proposição 2.2.5 Todo o espaço de Priestley X é isomorfo ao espaço dos ideaisprimos do reticulado dos seus abertos-fechados decrescentes.

Demonstração: Seja X um espaço de Priestley, consideremos a aplicação

η′X : X −→ Ip(AFD(X))

x −→ Γx

sendo Γx = {A ∈ AFD(X)|x /∈ A} e vejamos que é um isomorfismo.

A aplicação η′X é contínua e preserva a ordem.

Mostremos que η′X é sobrejectiva.

Se X = ∅ então Ip(AFD(X)) = ∅ e η′X é sobrejectiva.

Suponhamos que X 6= ∅.Seja x ∈ Ip(AFD(X)). Consideremos os seguintes conjuntos:

F0 =⋃

A∈x

A e F1 =⋂

A∈AFD(X)−x

A,


temos (X − F0) ∩ F1 6= ∅, porque X é compacto.

Seja y ∈ (X − F0) ∩ F1. Vejamos que η′X(y) = x.

y ∈ (X − F0) ∩ F1 ⇒ y ∈ Y, y /∈ F0 e y ∈ F1.

y /∈ F0 ⇒ y /∈⋃

A∈x

A ⇒ y /∈ A,∀A ∈ x.

y ∈ F1 ⇒ y ∈⋂

A∈AFD(X)−x

A ⇒ y ∈ A,∀A ∈ AFD(X)− x.

Seja A ∈ η′X(y).

A ∈ η′X(y) ⇒ A ∈ Γy ⇒ y /∈ A ⇒ A ∈ x.

Seja A ∈ x.

A ∈ x ⇒ y /∈ A ⇒ A ∈ Γy ⇒ A ∈ η′X(y).

Então η′X é sobrejectiva.

Sejam x1, x2 ∈ X tais que Γx1 ⊆ Γx2 . Suponhamos que x1 6≤ x2, existe A

subconjunto aberto-fechado decrescente de X tal que x2 ∈ A e x1 /∈ A, pois X

é um espaço de Priestley. Logo A ∈ Γx1 e A /∈ Γx2 , o que é um absurdo.

Então η′X é um isomorfismo. ¤

Proposição 2.2.6 Todo o reticulado distributivo limitado L é isomorfo ao re-ticulado dos abertos-fechados decrescentes dos seus ideais primos.

Demonstração: Seja L um reticulado distributivo limitado, consideremos a

aplicaçãoε′L : L −→ AFD(Ip(L))

a −→ Va

e mostremos que é um isomorfismo de reticulados distributivos limitados.

A aplicação ε′L é um homomorfismo de reticulados limitados.

Sejam a, b ∈ L tais que a 6= b. Suponhamos que a � b. Pelo Teorema do

Ideal Primo, existe I ideal primo de L tal que b ∈ I e a /∈ I. Então I ∈ Va e

I /∈ Vb, consequentemente Va 6= Vb, logo ε′L(a) 6= ε1L(b) então ε′L é injectiva.

Como AFD(Ip(L)(L)) é o reticulado dos subconjuntos abertos--fechados

decrescentes de Ip(L), e sabendo que AFD(Ip(L)) = {Va|a ∈ L} (2.2.3(ii))então ε′L é sobrejectiva. ¤

Proposição 2.2.7 Dado um reticulado limitado L, o espaço topológico orde-nado UL = Hom(L, 2r) é isomorfo ao espaço (Ip(L), τ,⊆op).


Demonstração: Consideremos a seguinte aplicação

ψ : Hom(L, 2r) −→ (Ip(L))op

f −→ f−1({0})

e mostremos que ψ é um homeomorfismo de ordem.

Para todo o morfismo f : L → 2r em Ret0,1, f−1({0}) ∈ Ip(L).

Sejam f, g ∈ Hom(L, 2r) tais que f 6= g, isto é existe a ∈ L tal que

f(a) 6= g(a). Tem-se (a ∈ f−1({0}) e a /∈ g−1({0})) ou (a /∈ f−1({0}) e

a ∈ g−1({0})), logo ψ é injectiva.

Vejamos que ψ é sobrejectiva.

Seja I um ideal primo de L e f : L → 2r tal que

f(a) =

{0 se a ∈ I,

1 se a /∈ I

Porque I é ideal primo de L, a aplicação f é um morfismo de reticulados limi-

tados e ψ(f) = I. Logo ψ é sobrejectiva.

Seja b ∈ L.ψ−1(Vb) = {f ∈ Hom(L, 2r)|ψ(f) ∈ Vb}

= {f ∈ Hom(L, 2r)|f−1({0}) ∈ Vb}= {f ∈ Hom(L, 2r)|b /∈ f−1({0})}= {f ∈ Hom(L, 2r)|f(b) = 1}= Vb, subconjunto aberto em Hom(L, 2r).

ψ−1(Ip(L)− Vb) = {f ∈ Hom(L, 2r)|ψ(f) ∈ Ip(L)− Vb}= {f ∈ Hom(L, 2r)|f−1({0}) ∈ Vb}= {f ∈ Hom(L, 2r)|f−1({0}) ∈ Ip(L)− Vb}= {f ∈ Hom(L, 2r)|f−1({0}) /∈ Vb}= {f ∈ Hom(L, 2r)|b ∈ f−1({0})}= Hom(L, 2r)− Vb, subconjunto aberto em Hom(L, 2r).

Então ψ é uma aplicação contínua.

Sejam f, g ∈ Hom(L, 2r) tais que f ≤ g. Mostremos que

g−1({0}) ⊆ f−1({0}).Seja a ∈ g−1({0}). Então g(a) = 0. Como f ≤ g, então f(a) ≤ g(a). Logo

f(a) = 0, isto é a ∈ f−1({0}).

2.3 Reflexão de CHausOrd em Psp 39

Sejam f, g ∈ Hom(L, 2r) tais que f−1({0}) ⊆ g−1({0}). Vejamos que g ≤ f .

Seja a ∈ L. Se f(a) = 1, então g(a) ≤ f(a). Se f(a) = 0, como

f−1({0}) ⊆ g−1({0}), g(a) = 0, então g(a) ≤ f(a). ¤

Proposição 2.2.8 Um reticulado limitado L é distributivo se e só se εL (2.1.4)é um isomorfismo.

Demonstração: Seja L um reticulado distributivo limitado, então ε′L (2.2.6)

é, a menos de isomorfismo, εL. Logo εL é um isomorfismo.

Dado um reticulado limitado L, como UL = Hom(L, 2r) é um espaço topoló-

gico ordenado então FUL é um reticulado distributivo limitado (2.2.1). Assim,

se εL é um isomorfismo então L é um reticulado distributivo limitado. ¤

Proposição 2.2.9 Um espaço topológico ordenado X é um espaço de Priestleyse e só se ηX é um isomorfismo.

Demonstração: Seja X um espaço de Priestley, então η′X (2.2.5) é, a menos

de isomorfismo, ηX , logo ηX é um isomorfismo.

Dado X um espaço topológico ordenado, como FX = Hom(X, 2t) é um re-

ticulado distributivo limitado (2.2.1), Ip(FX) é um espaço de Priestley (2.2.4),

logo UFX é um espaço de Priestley, pois é isomorfo a Ip(FX) (2.2.7). Assim,

se ηX é um isomorfismo então X é um espaço de Priestley. ¤

As proposições anteriores conduzem-nos ao seguinte teorema

Teorema 2.2.10 A adjunção < F, U, η, ε >: TopOrd ⇀ Retop0,1 induz uma equi-

valência dual entre a subcategoria dos espaços de Priestley e a subcategoriados reticulados distributivos limitados.

2.3 Reflexão de CHausOrd em Psp

Da adjunção dual entre TopOrd e Ret0,1, utilizando a dualidade anterior,

obtemos a reflexão de CHausOrd na categoria dos espaços de Priestley, cuja


unidade tem por componente no ponto X

rX = ηX : X → R(X) = Hom(Hom(X, 2t), 2r).

De facto temos, denotando também por F e U os correspondentes functores

contravariantes,

TopOrd

CHausOrd

Psp

Ret0,1

DRet...................................................................................................................................................... ............

F ′

..................................................................................................................................................................U ′

.......................................................................................................................................... ............F

......................................................................................................................................................U

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...................

............

........................

H

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...................

............

........................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...................

............

........................

....................................................................................................................................................................................................... ............

F

com F a restrição de F a CHausOrd, e R = U ′F adjunto à esquerda do functor

inclusão H.

Podemos descrever a reflexão da seguinte forma

< I, H, η, ε >: CHausOrd ⇀ Psp (2.3)

onde :

• H é o functor inclusão

• I(X, τ,≤) = (Hom(Hom(X, 2t), 2r), τ1,≤); com ≤ a ordem ponto a ponto

e τ1 a topologia definida em (2.1).

• ηX : X → HI(X), ηX(x) = avX,x;

• A counidade é a identidade IH = Id.

3Reflexão de CHausOrd emPsp

Depois de termos determinado, no capítulo anterior, a reflexão da cate-

goria dos espaços compactos Hausdorff ordenados na categoria dos espaços

de Priestley através da adjunção dual entre a categoria dos espaços topo-

lógicos ordenados e a categoria dos reticulados limitados, damos uma nova

forma de descrever a reflexão de CHausOrd em Psp. Para tal vamos definir

functores I1 : CHausPreord → StonePreord, I2 : StonePreord → PPreord e

I3 : PPreord → Psp, que são adjuntos esquerdos dos respectivos functores

inclusão, H1,H2,H3.

3.1 A Reflexão CHaus → Stone

A reflexão da categoria CHausOrd em Psp é, embora existindo algumas

semelhanças, bastante diferente da reflexão para o caso das ordens triviais,

CHaus → Stone. Nesta secção apresentamos algumas dessas semelhanças e

diferenças.

Em primeiro lugar salientamos que um espaço de Priestley não é apenas

um espaço de Stone ordenado.

41

42 Reflexão de CHausOrd em Psp

Exemplo 3.1.1 Seja IN∞ a compactificação de Alexandroff do espaço discreto

dos números naturais, isto é IN∞ = {1, 2, 3, · · · } ∪ {∞} e os seus subconjuntos

abertos são os subconjuntos que ou não contêm o infinito ou têm complemento

finito. Equipando IN∞ com a ordem

{(1, a)|a ∈ IN} ∪∆IN∞

obtemos um espaço de Stone ordenado, que denotamos por IN′∞. Mostremos

que não é um espaço de Priestley.

Sabemos que 1 6< ∞. Suponhamos que existe V subconjunto aberto-fechado

decrescente de IN′∞ tal que ∞ ∈ V e 1 /∈ V .

Como V é aberto-fechado de IN′∞ e ∞ ∈ V , existe a ∈ IN tal que a ∈ V , por-

que V é o complementar de um conjunto finito A. Mas 1 < a e V é decrescente,

então 1 ∈ V , o que é um absurdo. ¤

À semelhança do que foi feito na secção 2.1, podemos, também, mostrar

que existe uma adjunção entre Retop0,1 e a categoria Top dos espaços topológicos

cuja equivalência induzida, no sentido de 1.1.4, é exactamente a dualidade de

Stone, isto é a equivalência entre a categoria Stone dos espaços de Stone e a

categoria dual da categoria das álgebras de Boole.

De facto, um espaço topológico pode ser considerado como um espaço to-

pológico ordenado com a ordem trivial: x ≤ y se e só se x = y. Assim, podemos

considerar os functores U = GU e F = FE, sendo G o functor de esquecimento

de TopOrd em Top e E a inclusão de Top em TopOrd.

Sendo X um espaço topológico e L um reticulado limitado, as aplicações

de avaliação avX,x : Hom(X, 2t) → 2r e avL,a : Hom(L, 2r) → 2t são, respec-

tivamente, um morfismo de reticulados limitados e uma aplicação contínua.

Além disso ηx e εL são respectivamente uma função contínua e um morfismo

de reticulados limitados, sendo F adjunto à esquerda de U : Retop0,1 → Top.

Vejamos, aplicando a proposição 1.1.4, que esta adjunção induz uma equi-

valência entre a categoria dos espaços de Stone e a categoria dual das álgebras

de Boole.

Dado um espaço topológico X, e sendo AF (X) o conjunto de todos os sub-

conjuntos abertos-fechados de X, (AF (X),∩,∪) é uma álgebra de Boole, pois é

3.1 A Reflexão CHaus → Stone 43

um reticulado distributivo complementado. Pela proposição 2.2.1, o reticulado

limitado Hom(X, 2t), com a ordem trivial em X, é isomorfo a AF (X)op, isto é

(AF (X),⊆op) que é isomorfo a (AF (X),⊆), logo é uma álgebra de Boole.

Por outro lado, dada uma álgebra de Boole B, e considerando Ip(B) o con-

junto de todos os ideais primos de B, temos que (Ip(B), τ), com τ a topologia

definida em (2.2), é um espaço topológico compacto (2.2.2).

Resta provar que (Ip(B), τ) é totalmente separado. De facto, pela pro-

posição 2.2.3 (i), podemos concluir que, para uma álgebra de Boole B, se

I, J ∈ Ip(B) com I 6= J então existe a ∈ B tal que I ∈ Va e J /∈ Va, com Va

subconjunto aberto-fechado de (Ip(B), τ), logo (Ip(B), τ) é um espaço de Stone.

Assim, dado um espaço topológico X, temos que F (X) é uma álgebra de Boole

e, consequentemente, que Ip(FX) é um espaço de Stone. Logo, pela proposição

2.2.7, Hom(FX, 2r) com a ordem trivial em X é isomorfo ao espaço de Stone

Ip(F (X)), e, portanto, U FX é um espaço de Stone.

Se considerarmos, na proposição 2.2.5, X um espaço de Stone, Ip(AF (X))

e Γx = {A ∈ AF (X)|x /∈ A} podemos concluir que X é isomorfo a Ip(AF (X)).

Assim, como FX é isomorfo a AF (X), temos que

U FX ∼= U(AF (X) = Hom(AF (X), 2r) ∼= Ip(AF (X)),

seguindo-se a proposição:

Proposição 3.1.2 Um espaço topológico X é um espaço de Stone se e sóηX : X → U FX é um isomorfismo.

Por outro lado, dado L um reticulado distributivo, temos que F UL é uma

álgebra de Boole, pois F (X) é isomorfo à álgebra de Boole AF (X) para qual-

quer espaço topológico X.

Pela proposição 2.2.6 podemos concluir que toda a álgebra de Boole é iso-

morfa a AF (Ip(B)), pois os abertos-fechados de Ip(B) são também os conjuntos

Ua com a ∈ B. Assim, como UB é isomorfo a Ip(B), temos que

F UB ∼= F (Ip(B)) = Hom(Ip(B), 2t) ∼= AF (Ip(B)),

seguindo-se a proposição:


Proposição 3.1.3 Um reticulado limitado L é uma álgebra de Boole se e só seεL : L → F UL é um isomorfismo.

Teorema 3.1.4 A adjunção dual < F , U , η, ε >: Top ⇀ Retop0,1 define a equi-

valência dual entre a subcategoria dos espaços de Stone e a subcategoria dasálgebras de Boole.

Da adjunção dual entre Top e Ret0,1 deduz-se a reflexão da categoria dos

espaços compactos Hausdorff na categoria dos espaços de Stone, cuja compo-

nente unidade é rX = ηX : X → R(X) = Hom(Hom(X, 2t), 2r). No entanto, a

reflexão pode ser definida de uma forma mais directa, tal como apresentada

em [Bou66].

Seja (X, τ) um espaço compacto Hausdorff. Considera-se a relação de equi-

valência em X definida por

x ∼ y ⇔ ∃A ⊆ X conexo : x, y ∈ A.

O conjunto das componentes conexas de X, Γ(X) = {Γx|x ∈ X}, é o respectivo

conjunto quociente. Sendo τ a topologia quociente relativamente à projecção

canónica γX : X → Γ(X), que a cada ponto x de X faz corresponder a sua com-

ponente conexa Γx, então (Γ(X), τ) é um espaço de Stone e γX é a componente

em X da reflexão de CHaus em Stone.

A categoria dos espaços compactos Hausdorff é monádica sobre a categoria

dos conjuntos, aqui denotada por Conj. O mesmo não sucede com a categoria

dos espaços compactos Hausdorff ordenados.

O functor de esquecimento | − | : CHaus → Conj, que tem por adjunto à

esquerda o functor compactificação β tal que, para cada X, β(X) é a compacti-

ficação de Stone− Cech do correspondente espaço discreto, é monádico ([BJ01]

5.8.7).

O functor de esquecimento | − | : CHausOrd → Conj também tem adjunto

à esquerda definido em objectos por (β(X), τ, =). No entanto não é monádico

sobre Conj, pois não reflecte isomorfismos. Por exemplo, se X é um espaço

topológico finito e discreto, a aplicação f : (X, τ,=) → (X, τ,≤), sendo ≤X não


trivial, é um morfismo em CHausOrd , |f | é isomorfismo em Conj e f não é

isomorfismo de ordem.

A categoria CHaus, sendo uma categoria monádica sobre Conj, é exacta

([Bor94b] 4.4.5). Portanto, qualquer morfismo em CHaus se factoriza através

de um epimorfismo regular seguido de um monomorfismo ([Bor94b] 2.1.3), isto

é a categoria tem um sistema de factorização (EpiReg, Mono). Nesta catego-

ria os epimorfismos regulares são as aplicações contínuas sobrejectivas e os

monomorfismos são as aplicações contínuas injectivas. Consequentemente, a

reflexão CHaus → Stone é regular epireflectiva.

Analisemos estes conceitos na categoria CHausOrd. Começamos

por considerar a categoria CHausPreord. Pelo teorema 1.7.6 o func-

tor esquecimento U : CHausPreord → CHaus tem adjunto à esquerda,

o functor F : CHaus → CHausPreord tal que F (X, τ) = (X, τ,∆X), pois

ηX = IdX : X → UFX definido por ηX(x) = x é morfismo universal de X para

U .

Vamos descrever os epimorfismos regulares em CHausPreord.

Sejam (X, τ,¹) ∈ CHausPreord e q : X → Q um epimorfismo regular em

CHaus, isto é

X ×Q X X Q.................................................................................................. ............q................................................................................................................. ............

π1

................................................................................................................. ............

π2

é o diagrama do co-igualizador em CHaus. Equipemos o espaço Q com a pré-

ordem que é o fecho transitivo de q× q(¹X), portanto Q ∈ CHausPreord. Seja

f : X → C um morfismo em CHausPreord tal que f ◦ π1 = f ◦ π2. Logo,

existe um único morfismo f1 : Q → C em CHaus com f1(a) = f(x), x ∈ q−1(a)

e, portanto, tal que f1 ◦ q = f . Vejamos que f1 ∈ CHausPreord, isto é que

preserva a pré-ordem.

Sejam a ¹ a′ em Q, então existem x′1 ¹X x1, x′2 ¹X x2, . . ., x′n ¹X xn tais

que

q(x′1) = a,

q(xi) = q(x′i+1), para i = 1, . . . n− 1,

q(xn) = a′.

Mas f preserva a pré-ordem, então f(x′1) ¹C f(x1), . . ., f(x′n) ¹C f(xn).


Por outro lado, se q(xi) = q(x′i+1) então f(xi) = f(x′i+1) para i = 1, . . . , n − 1.

Assim, tem-se

f1(a) = f1(q(x′1)) = f(x′1) ¹C f(x1) = f(x′2) ¹C . . . ¹C f(xn) = f1(q(xn)) = f1(a′).

Portanto f1(a) ¹C f1(a′), seguindo-se a proposição:

Proposição 3.1.5 Dados X ∈ CHausPreord e q : X → Q um epimorfismoregular em CHaus, atribuindo a Q a pré-ordem obtida através do fecho tran-sitivo de q × q(¹X) q é epimorfismo regular em CHausPreord.

Seja f : X → Y um morfismo em CHausPreord. Consideremos a factorização

(EpiReg,Mono) de f em CHaus,

X Y

Q

................................................................................................................................................................................... ............

q

........................................................................................................................... ............f

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...................

............

m

(3.1)

Atribuindo a Q ∈ CHaus a pré-ordem obtida através do fecho transitivo de

q × q(¹X), q é epimorfismo regular em CHausPreord e o morfismo m é mono-

morfismo em CHaus que preserva a pré-ordem. Obtemos assim a factorização

(EpiReg,Mono) de f em CHausPreord o que implica, como provámos em 1.4,

o resultado seguinte:

Proposição 3.1.6 A categoria CHausPreord tem um sistema de factorização(EpiReg,Mono).

Como, em (3.1), m é injectiva, Q ∈ CHausOrd, portanto CHausOrd tem o

mesmo sistema de factorização (EpiReg, Mono) que CHausPreord.

Proposição 3.1.7 A categoria CHausOrd tem um sistema de factorização(EpiReg,Mono).

Consideremos o seguinte exemplo:

Exemplo 3.1.8 Consideremos o espaço de Stone ordenado IN′∞ descrito no

exemplo 3.1.1 e IN∗∞ o espaço compactificação de um ponto do espaço discreto


dos números naturais com a ordem 1 menor ou igual a a, para todo o natural a,

e 1 menor que ∞ e mais nenhum par ordenado. Note-se que IN∗∞ é um espaço

de Priestley.

Seja m :IN′∞ −→ IN∗∞ tal que m(x) = x para todo x ∈ IN′∞. Ora m é um

monomorfismo, mas IN∗∞ é um espaço de Priestley e IN′∞ não. ¤

Assim a reflexão ordenada de CHausOrd em Psp não é regular epireflec-

tiva (1.4.2)(iii).

Uma outra diferença relevante entre estas duas reflexões é que a refle-

xão de CHaus em Stone é admissível, efectivamente, mais do que isso, ela

tem unidades estáveis ([BJ01] 5.8.4) enquanto que a versão ordenada não é

admissível, como podemos verificar pelo seguinte exemplo:

Exemplo 3.1.9 Sejam X = IN′∞ e I(X) = IN∗∞ os espaços descritos no exemplo

anterior: de facto, é fácil ver que ηX = m é a reflexão de X em Psp. Seja

Y = {x, y} um espaço discreto com a ordem ∆Y ∪ {(x, y)}, sendo portanto um

espaço de Priestley.

Consideremos o seguinte diagrama:


.......................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

1

2 3 4 . . .∞..........

........................................... .........

.............................. .........................................................................................................

X

.......................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

1

2 3 4 . . .∞..........

........................................... .........

.............................. .........................................................................................................

..............................................................

I(X)

................................................................................... ............ηX

.......................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

x

y

........

........

........

........

........

.............

............

Y

.......................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

x

y

P

...............................................................................................

π1

...............................................................................................

ϕ

................................................................................... ............π2

.......................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

x

y

I(P )

.......................................................................................................................................................................

ηP

.......................................................................................................................................................................................... ............

I(π2)

onde

• ϕ(x) = 1, ϕ(y) = ∞, sendo, portanto, uma aplicação contínua que pre-

serva a ordem;

• o produto fibrado é o espaço P = {x, y} discreto e finito com a ordem

trivial;

• I(P ) = P , pois x 6¹ y em P e existe U = {y} ∈ AFD(P ) tal que y ∈ U e

x /∈ U .

Claramente I(π2) = π2 não é um isomorfismo em Psp e isso implica que a re-

flexão não é admissível já que a composição dos morfismos canónicos referida

na página 9, εY ◦ I(π2) : I(P ) → I(Y ) = Y , não é isomorfismo. ¤

3.2 A Reflexão de CHausPreord emStonePreord 49

3.2 A Reflexão de CHausPreord emStonePreord

Nesta secção descrevemos a reflexão de CHausPreord em StonePreord

usando a descrição da reflexão da categoria CHaus em Stone através das

suas componentes conexas, apresentada na secção anterior. Mostramos que

esta reflexão não é admissível e apresentamos uma classe de morfismos em

StonePreord para a qual é admissível.

Consideremos a subcategoria plena de CHausPreord dos espaços de Stone

pré-ordenados, denotada por StonePreord.

Seja X ∈ CHausPreord, consideremos (Γ(X), τ) o espaço das suas compo-

nentes conexas e ηX : (X, τX ,¹X) → (Γ(X), τ,¹ ) onde ¹ é a pré-ordem que é

o fecho transitivo de (ηX × ηX)(¹X), isto é

Γx ¹ Γy ⇔ ∃x′1 ¹ x1, x′2 ¹ x2, ..., x

′n ¹ xn em X tais que (3.2)

Γx = ηX(x′1),

ηX(xi) = ηX(x′i+1), para i = 1, ..., n− 1 e

ηX(xn) = Γy.

Logo (Γ(X), τ,¹) ∈ StonePreord, pois (Γ(X), τ) é um espaço de Stone.

Proposição 3.2.1 Seja X um espaço compacto Hausdorff pré-ordenado, entãoηX é a reflexão de X na categoria dos espaços de Stone pré-ordenados.

Demonstração: Sejam X um espaço pré-ordenado compacto Hausdorff e Y

um espaço de Stone com uma pré-ordem. Seja f : X → Y uma aplicação con-

tínua preservando a pré-ordem. Provemos que existe um único g : Γ(X) → Y

tal que g ◦ ηX = f .

Seja g : Γ(X) → Y tal que g(Γx) = f(x).

Vamos mostrar que se Γx = Γy então f(x) = f(y).

Suponhamos que f(x) 6= f(y), então existe U , subconjunto aberto-fechado

de Y , tal que f(x) ∈ U e f(y) /∈ U , pois Y é um espaço de Stone.


Como f é uma aplicação contínua, existe f−1(U) subconjunto aberto-

-fechado de X tal que x ∈ f−1(U) e y /∈ f−1(U). Então y /∈ Γx, porque

Γx =⋂{A ∈ AF (X)|x ∈ A}, mas y ∈ Γy, logo Γx 6= Γy.

É evidente que g é contínua e é o único morfismo tal que g ◦ ηX = f .

Mostremos que g preserva a pré-ordem.

Sejam Γx, Γy ∈ Γ(X) tais que Γx ¹ Γy. Então existe uma sequência finita

x′1 ¹ x1, x′2 ¹ x2, ..., x

′n ¹ xn em X com Γx = ηX(x′1), ηX(xi) = ηX(x′i+1), para

i = 1, ..., n− 1, e ηX(xn) = Γy. Como f preserva a pré-ordem,

f(x′1) ¹ f(x1), f(x′2) ¹ f(x2), ..., f(x′n) ¹ f(xn). Temos que

Γx = Γx′1 ⇒ f(x) = f(x′1),

Γx1 = Γx′2 ⇒ f(x1) = f(x′2),

...,

Γxn = Γy ⇒ f(xn) = f(y).

Então f(x) ¹ f(x1) ¹ f(x2) ¹ ... ¹ f(xn) = f(y).

Como ¹ é transitiva, f(x) ¹ f(y). ¤

O functor inclusão

H1 : StonePreord ↪→ CHausPreord

tem adjunto à esquerda, o functor I1,

I1 : CHausPreord → StonePreord, (3.3)

onde:

• I1(X, τ,¹X) = (Γ(X), τ ,¹) sendo Γ(X) = {Γx|x ∈ X} e τ a topologia

quociente relativamente à projecção;

• ¹ é o fecho transitivo de ηX × ηX(¹X) (3.2);

• I1(f) : I1(X) → I1(Y ) tal que I(f)(Γx) = Γf(x).

Podemos descrever a reflexão

CHausPreord StonePreord⊥............................................................................................................................................... ............

I1

...........................................................................................................................................................H1

(3.4)

da seguinte forma:


• H1 é o functor inclusão;

• I1 é o functor definido em (3.3);

• ηX : X → H1I1(X), ηX(x) = Γx;

• a counidade, ε, é a identidade I1H1 = Id.

Como a categoria CHausPreord tem um sistema de factorização

(EpiReg,Mono) (3.1.6) e ηX , para qualquer X ∈ CHausPreord, é epimorfismo

regular (3.1.5), a reflexão é regular epireflectiva e, portanto, o functor inclusão

H1 preserva e reflecte epimorfismos regulares (1.4.2) e

Proposição 3.2.2 A categoria StonePreord tem um sistema de factorização(EpiReg,Mono).

Um morfismo p diz-se epimorfismo regular estável para produtos fibradosse o seu produto fibrado ao longo de qualquer morfismo é epimorfismo regular.

Proposição 3.2.3 Um morfismo p : E → B em StonePreord sobrejectivo éepimorfismo regular estável para produtos fibrados se e só se ¹B= p× p(¹E).

Demonstração: Seja p : E → B um morfismo em StonePreord sobrejectivo.

Se ¹B= p× p(¹E) então p é epimorfismo regular em StonePreord, isto é a

relação de pré-ordem em B é a pré-ordem obtida através do fecho transitivo

de p× p(¹E).

Vejamos que p é estável para produtos fibrados. Consideremos o diagrama

do produto fibrado de p ao longo de um morfismo α,

E

E ×B A

B

A.........................................................................................................

π1

................................................................. ............π2

.........................................................................................................

α

............................................................................................. ............p

Sejam a ¹ a′ em A, então α(a) ¹ α(a′) em B e, pela hipótese, existem e ¹ e′

em E tais que p(e) = α(a) e p(e′) = α(a′). Portanto existem (e, a) ¹ (e′, a′) em


E×B A tais que π2(e, a) = a e π2(e′, a′) = a′. Logo π2 é epimorfismo regular em

StonePreord.

Seja p : E → B um epimorfismo regular em StonePreord estável para

produtos fibrados. Vejamos que ¹B= p× p(¹E).

Sejam b ¹ b′ em B. Consideremos o espaço finito e discreto A = {b ¹ b′},que é um espaço de Stone pré-ordenado, e o produto fibrado de p ao longo de α,

sendo α(b) = b, α(b′) = b′. Como p é epimorfismo regular estável para produtos

fibrados, então π2 é epimorfismo regular em StonePreord e temos o seguinte

diagrama,

E

E ×B A

B

A...................................................................................................................

π1

........................................................................... ............π2

...................................................................................................................

α

....................................................................................................... ............p

Assim, como b ¹ b′ em A existem x′1 ¹ x1, x′2 ¹ x2, . . . , x

′n ¹ xn em E ×B A

tais que π2(x′1) = b, π2(xi) = π2(x′i+1), com i = 1, ..., n − 1 e π2(xn) = b′. Mas

E ×B A = (p−1(b) × b) ∪ (p−1(b′) × b′), logo tem-se, para algum k = 1, ..., n,

π2(x′k) = b e π2(xk) = b′, ou seja existem e ¹ e′ em E tais que p(e) = b e

p(e′) = b′, como pretendíamos mostrar. ¤

Vejamos que a reflexão não é admissível.

A preservação por I1 de produtos fibrados da forma

B

B ×I1(B) AP =

I1(B)

A.............................................................................................................................

π1

................................................................. ............π2

.............................................................................................................................

α

.................................................................................................. ............ηB

com A ∈ StonePreord (que é igual à admissibilidade da reflexão) significa que


I1(π2) é um isomorfismo. De facto, no diagrama

B I1(B)........................................................................................................................... ............ηB

P......................................................................................................................................................

π1

I1(P )........................................................................................................................... ............ηP

......................................................................................................................................................

I1(π1)

I1(A) = A............................................................................................................ ............I1(π2)

I1(B)

......................................................................................................................................................

I1(α) = α

............................................................................................................ ............

I1ηB = id

2Ã'!&"%#$

o quadrado 2Ã'!&"%#$ é um produto fibrado se e só se I1(π2) é um isomorfismo.

Como os morfismos ηB têm fibras conexas, I1(π2) é um homeomorfismo

([CJKP97], 7.2). Portanto basta exibir um morfismo α : A → I1(B) para o qual

I1(π2) não é um isomorfismo de ordem.

Exemplo 3.2.4 Seja B ∈ CHausPreord tal que Γb ¹ Γb′ e não existem x ¹ x′

tal que Γx = Γb e Γx′ = Γb′ . Consideramos o subespaço A = {Γb ¹ Γb′} e seja

α : A → I1(B) a inclusão. Então no produto fibrado

B I1(B).................................................................................................. ............ηB

P.............................................................................................................................

π1

A................................................................................................................. ............π2

.............................................................................................................................

α

onde α é o morfismo inclusão, P = {(x,Γb)|x ∼ b} ∪ {(x′, Γb′ |x′ ∼ b′} e

I1(π2) : {Γ(x,Γb), Γ(x′,Γb′ )} → {Γb ¹ Γb′} não é um isomorfismo de ordem. De

facto se Γ(x,Γb) ¹ Γ(x′,Γb′ ) existiria x ¹ x′ tal que Γx = Γb e Γx′ = Γb′ o que

contradiz a hipótese. ¤

Consideremos a seguinte classe de morfismos sobrejectivos de StonePreord:

Θ = {ϕ : A → B|a ¹ a′, ϕ(a) ¹ b ¹ ϕ(a′) ⇒ ∃a ∈ A : a ¹ a ¹ a′} (3.5)

Proposição 3.2.5 A adjunção (3.4) é admissível para a classe de morfismosΘ.


Demonstração: Vejamos que o functor I1 preserva o produto fibrado repre-

sentado no seguinte diagrama :

B

B ×I1(B) A

I1(B)

A...............................................................................................................................................................................

π1

................................................................................................................... ............π2

...............................................................................................................................................................................

ϕ ∈ Θ

.................................................................................................................................................... ............ηB

Mostremos que I1(π2) : I1(B ×I1(B) A) → I(A) = A, é tal que

I1(π2)(Γ(x,a)) ¹ I1(π2)(Γ(x′,a′)) ⇒ Γ(x,a) ¹ Γ(x′,a′).

Sejam a, a′ ∈ A tais que a = I1(π2)(Γ(x,a)), a′ = I1(π2)(Γ(x′,a′)) e a ¹ a′.

Se a ¹ a′ então ϕ(a) ¹ ϕ(a′) em I1(B), isto é existe uma sequência finita

x′1 ¹ x1, x′2 ¹ x2, ..., x

′n ¹ xn em X com

ϕ(a) = ηX(x′1) = Γx′1 ,

Γx1 = ηX(xi) = ηX(x′i+1) = Γx′i+1, para i = 1, ..., n− 1, e

ϕ(a′) = ηX(xn) = Γxn .

Então temos

ϕ(a) ¹ Γx1 ¹ Γx2 ¹ . . . Γxn−1 ¹ ϕ(a′) em I1(B).

Logo, como ϕ ∈ Θ, existem a1, a2, . . . an−1 ∈ A tais que

a ¹ a1 ¹ a2 ¹ . . . ¹ an−1 ¹ a′.

Logo existe (x′1, a) ¹ (x1, a1), (x′2, a1) ¹ (x2, a2), . . . (x′n, an−1) ¹ (xn, a′) em

X ×I(B) A tais que

Γ(x,a) = ηB×I1(B)A(x′1, a),

ηB ×I1(B) A(x1, a1) = ηB×I1(B)A(x′2, a1),

. . .,

ηB×I1(B)A(xn, an) = Γ(x′,a′),

ou seja Γ(x,a) ¹ Γ(x′,a′).

Logo I1(π2) é um isomorfismo em StonePreord. ¤

3.3 A Reflexão de StonePreord em PPreord 55

3.3 A Reflexão de StonePreord em PPreord

Consideremos PPreord, a subcategoria plena da categoria StonePreord

constituída pelos espaços de Stone pré-ordenados totalmente desconexos em

relação a essa pré-ordem.

Nesta secção, caracterizamos a reflexão de StonePreord em PPreord utili-

zando uma relação de pré-ordem que separa os elementos através de subcon-

juntos abertos-fechados decrescentes.

Seja (X, τ,¹) um espaço de Stone com uma pré-ordem ¹. Em (X, τ) consi-

deremos a seguinte relação binária:

x ¹1 y ⇔ (x ¹ y) ou (∀U ∈ AFD(X, τ,¹) : y ∈ U ⇒ x ∈ U). (3.6)

A relação ¹1 é uma pré-ordem em (X, τ) e (X, τ,¹1) é um espaço de Stone

totalmente desconexo em relação à pré-ordem, portanto pertence a PPreord.

Para todo o X ∈ StonePreord, definimos ηX : (X, τ,¹) → (X, τ,¹1) por

ηX(x) = x.

Proposição 3.3.1 Seja X um espaço de Stone com uma pré-ordem. Então ηX

é a reflexão de X na categoria PPreord.

Demonstração: Sejam (X, τ,¹) um espaço de Stone com uma pré-ordem e

(Y, τY ,¹Y ) um espaço de Stone pré-ordenado totalmente desconexo em relação

à pré-ordem.

Seja f : X → Y uma aplicação contínua que preserva a pré-ordem. Mos-

tremos que existe um único g : (X, τ,¹1) → (Y, τY ,¹Y ) tal g ◦ ηX = f .

Definamos g : (X, τ,¹1) → (Y, τY ,¹Y ) por g(x) = f(x).

A aplicação g é contínua, porque f é contínua.

Sejam x1, x2 ∈ (X, τ,¹1) tais que x1 ¹1 x2. Provemos que g(x1) ¹Y g(x2),

isto é, f(x1) ¹Y f(x2).

Se x1 ¹1 x2 então x1 ¹ x2 ou ∀U∈AFD(X,τ,¹)x2 ∈ U ⇒ x1 ∈ U .

Se x1 ¹ x2, então f(x1) ¹Y f(x2), pois f preserva a pré-ordem.

Consideremos que x1 � x2 e ∀U∈AFD(X,τ,¹)x2 ∈ U ⇒ x1 ∈ U e suponhamos


que f(x1) 6¹Y f(x2). Então existe U ∈ AFD(Y ) tal que f(x2) ∈ U e f(x1) /∈ U ,

pois Y é um espaço de Stone totalmente desconexo em relação à pré-ordem.

Mas se U ∈ AFD(Y ), então f−1(U) ∈ AFD(X), porque f é contínua e

preserva a pré-ordem, logo existe f−1(U) ∈ AFD(X, τ,¹) tal que x2 ∈ f−1(U)

e x1 /∈ f−1(U), o que é uma contradição.

A aplicação g é o único morfismo tal que g ◦ ηX = f . ¤

Assim o functor inclusão

H2 : PPreord → StonePreord

tem adjunto esquerdo, o functor I2 :

I2 : StonePreord → PPreord (3.7)

onde:

• I2(X, τ,¹) = (X, τ,¹1) sendo ¹1 a relação de pré-ordem definida em

(3.6);

• I2(f) : I2(X) → I2(Y ) tal que I2(f) = f ;

Podemos, então, descrever a reflexão

StonePreord PPreord⊥............................................................................................................................................... ............

I2

...........................................................................................................................................................H2

(3.8)

da seguinte forma:



• ηX : X → H2I2(X) é o morfismo identidade em Conj;


Como ηX , para todo o X ∈ StonePreord, é um bimorfismo (isto é, um mor-

fismo que é simultaneamente monomorfismo e epimorfismo) a reflexão é bire-

flectiva.

3.3 A Reflexão de StonePreord em PPreord 57

Dados (X, τ,¹) ∈ PPreord e q : X → Q um epimorfismo regular em

StonePreord temos que ηQ ◦ q é epimorfismo regular em PPreord (1.1.3), e,

portanto,

Proposição 3.3.2 Seja p : X → B um morfismo em PPreord, (π1, π2) o seupar núcleo e q = co − ig(π1, π2) em StonePreord. Então p é um epimorfismoregular se e só se

(i) p é sobrejectivo ;

(ii) b ¹B b′ ⇔ (b ¹Q b′ ou ∀U ∈ AFD(Q), b′ ∈ U ⇒ b ∈ U).

Observação 3.3.3 Dado um morfismo p : X → B em PPreord, seja RB1 a pré-

ordem definida pelo fecho transitivo de p × p(RX) e SB o conjunto de todos os

pares (b, b′) /∈ RB1 tais que b ∈ U sempre que b′ ∈ U para todo o aberto-fechado

U de B decrescente relativamente a RB1 . Então p é epimorfismo regular se

e só se RB = RB1 ∪ SB. Em particular p é epimorfismo regular se RB = RB1

sendo portanto, nesse caso, SB = ∅.

Dado um morfismo f : X → Y em PPreord, consideremos a sua factoriza-

ção (EpiReg,Mono) f = m ◦ q em StonePreord.

Sendo q : X → Q epimorfismo regular em StonePreord então q′ = ηQ ◦ q é

epimorfismo regular em PPreord e, portanto, tem-se

X Y

Q

H2I2Q

............................................................................................................................................................................................................... ............

q

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............f

....................................................................................................................................................................................................................

m

........

........

........

........

........

.............

............ηQ

..................................

..................................

..................................

...........................................

m′..................................................................................................................................... ...........

.

q′

Ora m′ é um morfismo em PPreord injectivo, pois dados a, a′ ∈ H2I2Q tais que

m′(a) = m′(a′) tem-se m(a) = m(a′), como m é monomorfismo em StonePreord,

então a = a′, logo m′ é monomorfismo em PPreord e f = m′◦q′ é a factorização

de f em PPreord, o que implica o seguinte resultado.


Proposição 3.3.4 A categoria PPreord tem um sistema de factorização(EpiReg,Mono).

A reflexão (3.8) não é admissível, como podemos verificar pelo exemplo

3.1.9, e, portanto, não tem unidades estáveis.

3.4 A Reflexão de PPreord em Psp

Dado (X, τ,¹) um espaço de Stone pré-ordenado totalmente desconexo em

relação à pré-ordem, consideremos a relação de equivalência em X definida

por

x ∼ y ⇔ x ¹ y e y ¹ x

Seja (X, τ1,≤) um espaço onde: X = X/ ∼ é o conjunto quociente, τ1 é a

topologia quociente relativamente à projecção canónica ηX : X → X e ≤ é a

ordem induzida.

Para esta relação de equivalência tem-se [x] ≤ [y] ⇔ x ¹ y.

Proposição 3.4.1 O espaço (X, τ1,≤) é um espaço de Priestley.

Demonstração: O espaço é compacto por ser a imagem contínua de um es-

paço compacto. Vejamos que é totalmente desconexo em relação à ordem.

Seja [x] � [y].

[x] � [y] ⇒ x � y ⇒ ∃U1 ∈ AFD(X) : x /∈ U1 e y ∈ U1.

Consideremos U = {[a] ∈ X|a ∈ U1}.U é um subconjunto aberto de (X, τ1), porque η−1

X (U) = U1 é um subcon-

junto aberto de X. De facto U1 ⊆ η−1X (U). Seja a ∈ η−1

X (U), então existe a′ ∈ U1

tal que [a] = [a′]. O que significa que a ¹ a′ e a′ ¹ a.

Então a ¹ a′, a′ ∈ U1 e U1 ∈ AFD(X) implica que a ∈ U1 . Logo U1 =

η−1X (U).

Como η−1X (X − U) = X − U1, U é um subconjunto fechado de (X, τ1).

Mostremos que U é decrescente .

Sejam [a] ≤ [b], [b] ∈ U .

3.4 A Reflexão de PPreord em Psp 59

[a] ≤ [b] ⇒ a ¹ b.

[b] ∈ U ⇒ ∀x ∈ [b], x ∈ U1.

Seja y ∈ [a].

y ∈ [a] ⇒ y ∼ a ⇒ y ¹ a e a ¹ y. Como a ¹ b, então y ¹ b. Mas b ∈ [b], logo

b ∈ U1, U1 ∈ AFD(X), y ¹ b, concluímos, então, que y ∈ U1, isto é [a] ∈ U .

Ora [y] ∈ U , porque y ∈ U1, e como x /∈ U1 e x ∈ [x], [x] /∈ U , e segue-se a

conclusão. ¤

Proposição 3.4.2 Seja (X, τ,¹) um espaço de Stone pré-ordenado totalmentedesconexo em relação à pré-ordem, então ηX é a reflexão de X em Psp.

Demonstração: Sejam (X, τ,¹) um espaço de Stone pré-ordenado totalmente

desconexo em relação à pré-ordem e (Y, τY ,≤Y ) um espaço de Priestley.

Seja f : (X, τ,¹) → (Y, τY ,≤Y ) uma aplicação contínua e preservando a

pré-ordem.

Provemos que existe um único g : (X, τ1,≤) → (Y, τY ,≤Y ) tal que g◦ηX = f .

Definamos g : (X, τ1,≤) → (Y, τY ,≤Y ) por g([x]) = f(x).

Seja x1, x2 ∈ X tal que [x1] = [x2].

Se [x1] = [x2] então x1 ∼ x2, isto é x1 ¹ x2 e x2 ¹ x1. Mas f preserva a

pré-ordem, logo f(x1) ≤Y f(x2) e f(x2) ≤Y f(x1), então f(x1) = f(x2), porque

≤Y é uma relação de ordem, o que implica que g([x1]) = g([x2]).

A aplicação g é contínua, pois f é uma aplicação contínua, g ◦ ηX = f e ηX

é a aplicação quociente.

Mostremos que g preserva a ordem.

Sejam [x1], [x2] ∈ X tais que [x1] ≤ [x2].

Se [x1] ≤ [x2] então x1 ¹ x2 e f(x1) ≤Y f(x2), porque f preserva a pré-

ordem, logo g([x1]) ≤Y g([x2]).

Claramente g é o único morfismo tal que g ◦ ηX = f . ¤

Assim o functor inclusão

H3 : Psp → PPreord

tem adjunto à esquerda, o functor I3,


I3 : PPreord → Psp, (3.9)

onde:

• I3(X, τ,¹) = (X, τ1,≤) com [x] ≤ [y] ⇔ x ¹ y;

• I3(f) = I3(X) → I3(Y ) tal que I3(f)([x]) = [f(x)].

E a reflexão

PPreord Psp⊥........................................................................................................................................................................................................... ............

I3

.......................................................................................................................................................................................................................H3

(3.10)

é descrita por:



• ηX : X → H3I3(X), ηX(x) = [x];


Dado um espaço (X, τ,¹) em PPreord e ηX : (X, τ,¹) → (X, τ,≤) a compo-

nente da unidade da reflexão associada a X, o morfismo

(X, τ,¹) → X2 = (X, τ,¹X2),

com [x] ¹X2 [y] ⇔ ([x] ¹X1 [y] ou ∀U ∈ AFD(X1), [y] ∈ U ⇒ [y] ∈ U) e

(X, τ,¹) → X1 = (X, τ,¹X1) epimorfismo regular em StonePreord, é um

epimorfismo regular em PPreord visto que (X, τ,≤X1) = (X, τ,≤X2).

Assim, a reflexão é regular epireflectiva e, como a categoria PPreord tem

um sistema de factorização (EpiReg, Mono) (3.3.4), o functor H3 preserva e

reflecte epimorfismos regulares (1.4.2) e

Proposição 3.4.3 A categoria Psp tem um sistema de factorização(EpiReg,Mono).


João Xarez em [Xar03] prova que a reflexão da categoria Preord das pré-

ordens na categoria Ord das ordens tem unidades estáveis. Utilizando este

facto, provamos que a reflexão PPreorder em Psp também tem unidades es-

táveis. Para isso consideramos o seguinte resultado geral:

Proposição 3.4.4 Sejam C, C1, X, X1 categorias com produtos fibrados.Sejam (I1,H1, η1, ε1) : C1 ⇀ X1 uma reflexão plena com unidades estáveis e

H : X → C uma imersão plena que tem adjunto esquerdo, I a H : X → C.Se existem functores V e U que preservam produtos fibrados tais que o

seguinte diagrama comuta

C1

C

X1

X.................................................................................................

V

....................................................................................................... ............I

...................................................................................................................H

.................................................................................................

U

....................................................................................................... ............I ’

...................................................................................................................H ’ (3.11)

então a adjunção < I, H, η, ε >: C ⇀ X tem unidades estáveis se U reflecteisomorfismos.

Demonstração: Seja

A

P

H(X)

B.........................................................................................................

π1

............................................................................................. ............π2

.........................................................................................................

β

........................................................................... ............α

um produto fibrado em C.

Suponhamos que o diagrama

I(A)

P

IH(X)

I(B).........................................................................................................

p1

................................................................................... ............p2

.........................................................................................................

I(β)

.................................................................... ............

I(α)

é o produto fibrado de I(β) ao longo de I(α).


Como I(β) ◦ I(π2) = I(α) ◦ I(π1), existe um único morfismo ϕ : I(P ) → P

tal que p2 ◦ ϕ = I(π2) e p1 ◦ ϕ = I(π1).

Por outro lado, V preserva produtos fibrados, logo o diagrama

V (A)

V (P )

V H(X)

V (B).................................................................................................................................................

V (π1)

......................................................................................................... ............V (π2)

.................................................................................................................................................

V (β)

............................................................................................. ............

V (α) (3.12)

é um produto fibrado em C1 e V H(X) = H1(U(X)).

Como < I1, H1, η1, ε1 >: C1 ⇀ X1 tem unidades estáveis e o diagrama (3.11)

é comutativo, o seguinte diagrama

I1V (A)

I1V (P )

I1H1(U(X))

I1V (B).................................................................................................................................................

I1V (π1)

................................................................................... ............I1(π2)

.................................................................................................................................................

I1V (β)

..................................................... ............

I1V (α)

é o produto fibrado de UI(β) ao longo de UI(α).

Mas U preserva produtos fibrados, logo o seguinte diagrama

UI(A)

U(P )

I1H1(U(X))

UI(B).................................................................................................................................................

U(p1)

.................................................................................................... ............U(p2)

.................................................................................................................................................

UI(β)

.......................................................... ............

UI(α)

é também produto fibrado de UI(β) ao longo de UI(α).

Como existe Uϕ : UI(P ) → U(P ) tal que UI(α) ◦ UI(π1) = UI(β) ◦ UI(π2),

então Uϕ é um isomorfismo.

Ora U reflecte isomorfismos, logo ϕ é um isomorfismo, e portanto o dia-

grama


I(P )

I(P )

IH(X)

I(B).................................................................................................................................................

I(π1)

................................................................................................................. ............I(π2)

.................................................................................................................................................

I(β)

.................................................................................................. ............

I(α)

é o produto fibrado de I(β) ao longo de I(α), logo a adjunção

< I,H, η, ε >: C ⇀ X tem unidades estáveis. ¤

Consideremos o seguinte diagrama:

PPreord

StonePreord

Preord

Psp

StoneOrd

Ord

Stone

Conj

...............................................................................................................................................................................

′

...................................................................................................................................................... ............I′

..................................................................................................................................................................H′

.......................................................................................................................................... ............I

......................................................................................................................................................H

...............................................................................................................................................................................

V ′

...............................................................................................................................................................................

U ′

.......................................................................................................................................................................

........................ .......................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

V

................................................................................................................. ............

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

U

.............................................................................................................................

(3.13)

Proposição 3.4.5 O functor U reflecte isomorfismos.

Demonstração: Seja ϕ : (X, τ,≤) → (Y, τ,≤) um morfismo na categoria dos

espaços de Priestley.

Suponhamos que U(ϕ) : (X,≤) → (Y,≤) é um isomorfismo na categoria dos

conjuntos ordenados. Então ϕ é sobrejectiva, mas X, Y são espaços compactos

de Hausdorff, logo ϕ é um epimorfismo regular. Como ϕ é monomorfismo, ϕ é

um isomorfismo na categoria dos espaços de Priestley. ¤

Proposição 3.4.6 Os functores U e V preservam produtos fibrados.


Demonstração: Conclui-se vendo como são construídos os limites em Psp

(1.8.3 e 1.8.4). ¤

Teorema 3.4.7 A reflexão (3.10) tem unidades estáveis.

Demonstração: O diagrama (3.13) é comutativo, os functores U e V preser-

vam produtos fibrados , o functor U reflecte isomorfismos e a reflexão

Preord Ord⊥.......................................................................................................................................... ............

......................................................................................................................................................

tem unidades estáveis ([Xar03]), logo podemos concluir que a reflexão (3.10)

tem unidades estáveis (3.4.4). ¤

3.5 A Reflexão de CHausOrd em Psp

Aqui provamos que o functor inclusão Psp ↪→ CHausOrd tem como adjunto

esquerdo o functor composição dos functores adjuntos esquerdos das inclusões

Psp ↪→ PPreord ↪→ StonePreord ↪→ CHausPreord restrito a CHausOrd, uti-

lizando o resultado geral apresentado na proposição 3.5.1.

Proposição 3.5.1 Dados functores H : X → C,H ′ : X → C′ e a imersão plenaE : C → C′ tal que E ◦H = H ′ então, se H ′ tem adjunto à esquerda I ′, o functorI ′E é adjunto à esquerda de H.

Demonstração: Consideremos a adjunção I ′ a H ′(η′, ε′), η′E(C) : E(C) →H ′I ′E(C) e f : E(C) → EH(X) um morfismo em C′ (e portanto em C porque C

é plena). Pela universabilidade de η′

E(C) H ′I ′E(C).............................................................................................................. ............η′

E(C)

H ′(X)

.............

.............

.............

.............

.............

.............

........................

H′(f ′)

.................................................................................................................................................................................................................................... ............

f

= EHI ′E(C)

= EH(f ′)

= EH(X)

I ′E(C)

X

.............

.............

.............

.............

.............

.............

........................

f ′ ∈ X

3.5 A Reflexão de CHausOrd em Psp 65

existe um único morfismo f ′ ∈ X tal que H ′(f ′) ◦ η′E(C) = f .

Mas H ′(f ′) = EH(f ′) e, como E é uma imersão plena, temos a seguinte

situação em C

C HI ′E(C)............................................................................................................................. ............ηC

H(X)

.............

.............

.............

.............

.............

.............

........................

H(f)

........................................................................................................................................................................................................................................... ............

f

I ′E(C)

X

.............

.............

.............

.............

.............

.............

........................

f ∈ X

sendo portanto ηC um morfismo universal de C para H. ¤

Corolário 3.5.2 O functor H : Psp → CHausOrd tem adjunto à esquerda.

Demonstração: Estamos nas condições da proposição anterior com

CHausOrd

CHausPreord

.........................................................................................................................................................................................................................

........................

E

Psp.............

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

...........................................

H

............................................................................................................................................................................................ ............

I′

........................................................................................................................................................................................................H′

>

onde I ′ = I3 ◦ I2 ◦ I1. ¤

Temos, então, a seguinte reflexão:

CHausOrd Psp⊥........................................................................................................................................................................................................... ............I

.......................................................................................................................................................................................................................H

(3.14)

onde:

• H é o functor inclusão;

• I é o functor I ′ restrito a CHausOrd.

• ηX : X → HI(X), ηX(x) = [Γx];


• a counidade ε é a identidade IH = Id.

A reflexão (3.14) não é admissível, e portanto não tem unidades estáveis.

O contra exemplo apresentado em 3.1.9 serve também para este caso, uma

vez que também X ∈ CHausOrd e Y ∈ Psp.

4Morfismos de descida efectivaem Psp

Neste capítulo caracterizamos os morfismos de descida nas categorias

PPreord e Psp e provamos que um morfismo em Psp é morfismo de descida

efectiva nessa categoria se e só se é morfismo de descida efectiva em PPreord.

4.1 Descida e descida efectiva numa categoria

Apresentamos, nesta secção, as definições de morfismos de descida e de

descida efectiva numa categoria C com produtos fibrados através do functor

de comparação de Eilenberg-Moore, Φ : C/B → (C/E)T, atendendo a que, para

a fibração em causa, monacidade e descida coincidem [BR70].

Seja B um objecto numa categoria C, consideremos a categoria (C/B) cujos

objectos são os pares (A,α) com A um objecto e Aα→ B um morfismo em C e os

morfismos (A,α)f→ (A′, α′) são os morfismos A

f→ A′ em C tais que α′ ◦ f = α.

Observações 4.1.1 Um morfismo Af→ C em C para o qual existe um mor-

fismo Cγ→ B pode ser visto como um morfismo (A, γ ◦ f)

f→ (C, γ) em (C/B).

A categoria (C/B) tem produtos fibrados e o produto fibrado de um mor-

fismo (A, α)f→ (C, γ) ao longo de um morfismo (D, δ)

g→ (C, γ) pode ser cons-

67

68 Morfismos de descida efectiva em Psp

truído como um produto fibrado de f ao longo de g em C. Por isso, muitas ve-

zes, um diagrama envolvendo produtos fibrados em C também pode ser usado

como um diagrama em (C/B).

Seja C uma categoria com produtos fibrados e seja p : E → B um morfismo

em C, então existe uma adjunção associada a p, p! a p∗ : C/B → C/E.

O functor p∗ é definido por p∗(A,α) = (E ×B A, π1) e p∗(f) = 1×B f

E B

E ×B A A

............................................................................................................................................... ............p

.......................................................................................................................................

π1

.......................................................................................................................................

α

................................................................................................................... ............

π2

E ×B A′ A′.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ............bπ2

................................................................................................................................................................................................................................................................... ............

bπ1

........................................................................................................................................................................................................................................................

α′

.................................................................................................................

f

........................................................................................... ............

1×B f

com π1, π2 as projecções.

O functor p! é definido pela composição: p!(C, γ) = (C, pγ) e p!(g) = g. A

unidade da adjunção, η, é o único morfismo tal que o seguinte diagrama

E B

C C

................................................................................................................................................................... ............p

...............................................................................................................................................................................

γ

...............................................................................................................................................................................

pγ

................................................................................................................................................................... ............

id

E ×B C..............................................................................................

...............

π1

...................................................................................................

π2

................................................................................................. ............

η(c,γ)

comuta; a counidade ε é definida por ε(A,α) = π2 : (E ×B A, pπ1) → (A,α).

A esta adjunção, pela proposição 1.3.1, associamos a mónada

T = (p∗p!, η, µ = p∗εp!) (4.1)

em C/E, com

• T (C, γ) = (E ×B C, π1), (C, γ) ∈ C/E;

4.1 Descida e descida efectiva numa categoria 69

• T (g : (C, γ) → (C ′, γ′)) = g : (E ×B C, π1) → (E ×B C ′, π′1) com

{π′1 ◦ g = π1

π′2 ◦ g = g ◦ π2

• η : IdC/E → p ∗ p! é tal que, para (C, γ) ∈ C/E,

{π1 ◦ η(C,γ) = γ

π2 ◦ η(C,γ) = 1C

• µ : p∗p!p∗p! → p∗p! é tal que, para (C, γ) ∈ C/E, µ(C,γ) = p∗εp!(C,γ).

A categoria das álgebras (C/E)T associada à mónada T = (T, η, µ) é cons-

tituída pelos objectos (C, γ; ξ) em que (C, γ) ∈ C/E e ξ é um morfismo de

(E ×B C, π1) em (C, γ) na categoria C/E tal que

ξ ◦ η(C,γ) = 1C e ξ ◦ T (ξ) = ξ ◦ µ(C,γ)

ou seja, tal que os diagramas (onde denotamos T (ξ) por ξ e µc,γ por π2)

C E ×B C

C

.......................................................................................................................................

ξ

............................................................................................. ............η(C,γ)

.......................................................................................................................................................................................... ............

1C

e E ×B (E ×B C) E ×B C...................................................................................................................... ............ξ

E ×B C C

.......................................................................................................................................

π2 = µC

................................................................................................................................................................................................. ............

ξ

.......................................................................................................................................

ξ

comutam.

Consideremos o functor de comparação de Eilenberg-Moore

Φ : C/B → (C/E)T :

{Φ(A,α) = (p∗(A,α), p∗ε(A,α))

Φ(f) = p∗(f)


E ×B (E ×B A)

E ×B A

E

.............................................................................................. ............

π2 = p∗ε(A,α)

...........................................................................................................................................................

π1

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

π′1

E ×B A

A

B............................................................................................................................................................................................................................... ............p

...........................................................................................................................................................

α

..........................................................................................................................

π2 = ε(A,α)

................................................................................................................................................................................................... ............π2

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

pπ1

...........................................

..............................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............

π′2

Desta forma obtemos o seguinte diagrama comutativo

C/B

C/E

(C/E)T.................................................................................................................................................................................................................................................................... ............Φ........................................................................................................................................................................................................... .........

...

p∗

......................

......................

......................

......................

......................

......................

......................

......................

.......................................

p!

.......................................................................................................................................................................................................................

p∗T

.......................................................................................................................................................................................................................

p!T

Definição 4.1.2 Um morfismo p : E → B diz-se um morfismo de descida se p∗

é pré-monádico, isto é, se Φ é fiel e pleno.

Definição 4.1.3 Um morfismo p : E → B diz-se um morfismo de descida efec-tiva se p∗ é monádico, o que significa que Φ é uma equivalência de categorias.

Proposição 4.1.4 Seja C uma categoria com produtos fibrados. O functor decomparação Φ : C/B → (C/E)T tem um adjunto à esquerda L se e só se (C/B)

tem co-igualizadores dos pares (ξ, π2), para (C, γ; ξ) ∈ (C/E)T, e L(C, γ; ξ) =

(Q, δ), em que (Q, δ) é o co-domínio do co-igualizador de (ξ, π2) em C/B.

Definição 4.1.5 Seja C uma categoria. Um morfismo p : E → B em C é umepimorfismo regular estável para produtos fibrados se para todo o produtofibrado

4.1 Descida e descida efectiva numa categoria 71

E

E ×B A

B

A.........................................................................................................

π1

................................................................. ............π2

.........................................................................................................

α

............................................................................................. ............p (4.2)

π2 é epimorfismo regular. Em particular, tomando α = 1B, vem que o próprio p

é epimorfismo regular.

Uma vez que, para (A,α) ∈ C/B, ε(A,α) = π2 resulta do produto fibrado de p

com α, temos numa categoria C o seguinte resultado que será usado frequen-

temente nesta tese.

Proposição 4.1.6 Um morfismo p : E → B é morfismo de descida se e só se p

é um epimorfismo regular estável para produtos fibrados.

Na proposição seguinte enunciamos factos relativos à mónada induzida

pela adjunção p! a p∗ : C/B → C/E demonstrados em [ST92] e que utilizare-

mos para caracterizar os morfismos de descida efectiva em PPreord.

Proposição 4.1.7 Para a mónada T induzida pela adjunçãop! a p∗ : C/B → C/E temos que para qualquer T-álgebra (C, γ; ξ)

(i) o par (π2, ξ) é uma relação de equivalência em C que é efectiva se e só seα(C,γ,ξ) é um monomorfismo para toda a álgebra (C, γ, ξ);

(ii) se q =co-igualizador(π2, ξ) então

q(c) = q(c′) ⇔ ξ(γ(c), c′) = c ⇔ ξ(γ(c′), c) = c′.

Se C/B tem co-igualizadores de relações de equivalência então o functor

Φ tem adjunto à esquerda, L. A componente da unidade da adjunção

L a Φ : C ↓ B → (C/E)T no ponto (C, γ; ξ) é o único T-morfismo

α(C,γ;ξ) : (C, γ; ξ) → ΦL(C, γ; ξ)

tal que

α(C,γ;ξ) ◦ ξ = 1×B q(= p∗(q)).


Equivalentemente, é o único morfismo de C para o qual comutam os dois

triângulos de cima no diagrama

E B

C Q

................................................................................................................................................................... ............p

...............................................................................................................................................................................

γ

................................................................................................................................................................... ............q

...............................................................................................................................................................................

δE ×B Q...........................................................................................

...............

π1

...................................................................................................

π2

..........................

................................ ............

portanto, α(C,γ;ξ) é um monomorfismo se e só se (γ, q) é um par conjuntamente

monomórfico.

Proposição 4.1.8 Para uma T-álgebra (C, γ; ξ) as seguintes condições são equi-valentes:

(i) (π2, ξ) é uma relação de equivalência efectiva;

(ii) α(C,γ;ξ) é um monomorfismo.

Com a notação definida nesta secção enunciamos o Teorema 2.3 de [ST92].

Teorema 4.1.9 Um epimorfismo regular numa categoria C é um morfismo dedescida efectiva se e só se, para qualquer T-álgebra (C, γ; ξ), a relação de equi-valência (π2, ξ) é efectiva e o seu co-igualizador é um morfismo de descida emC.

4.2 Morfismos de descida efectiva em PPreord

Vamos estudar os morfismos de descida efectiva em PPreord utilizando a

teoria das mónadas tal como a exposta na secção anterior.

Começamos por caracterizar os morfismos de descida em PPreord.

Proposição 4.2.1 Um morfismo p : E → B em PPreord (Psp) é morfismo dedescida se e só se ¹B= p× p(¹E).

4.2 Morfismos de descida efectiva em PPreord 73

Demonstração: Se¹B= p×p(¹E) então¹B é o fecho transitivo de p×p(¹E)

e SB = ∅ (veja observação 3.3.3). Logo p é epimorfismo regular em PPreord

(Psp).

Vejamos que é estável para produtos fibrados. Consideremos o diagrama

do produto fibrado de p ao longo de um morfismo α,

E

E ×B A

B

A.........................................................................................................

π1

................................................................. ............π2

.........................................................................................................

α

............................................................................................. ............p

Sejam a ¹ a′ em A, então α(a) ¹ α(a′) em B, pela hipótese, existem e ¹ e′

em E tais que p(e) = α(a) e p(e′) = α(a′), portanto existem (e, a) ¹ (e′, a′) em

E×B A tais que π2(e, a) = a e π2(e′, a′) = a′. Logo π2 é epimorfismo regular em

PPreord (Psp).

Seja p : E → B um morfismo de descida em PPreord (Psp), então p é

epimorfismo regular estável para produtos fibrados. Vejamos que ¹B= p ×p(¹E).

Sejam b ¹ b′ em B. Consideremos o espaço finito e discreto A = {b ¹ b′}e o produto fibrado de p ao longo de α, sendo α(b) = b, α(b′) = b′. Como p é

epimorfismo regular estável para produtos fibrados, então π2 é epimorfismo

regular em PPreord (Psp) e temos o seguinte diagrama,

E

E ×B A

B

A

A′

....................................................... ............q

.....................................................ηA′....................................................................................................

...............

π1

........................................................................... ............π2

...................................................................................................................

α

....................................................................................................... ............p

com q epimorfismo regular em StonePreord e ηA′ a reflexão de A′ em PPreord.

Mas ηA′ é a identidade em Top, logo A′ ∈ PPreord (Psp) pois é finito e dis-

creto, portanto A′ = A. Assim, como b ¹ b′ em A, existem x′1 ¹ x1, x′2 ¹

x2, . . . , x′n ¹ xn em E ×B A tais que π2(x′1) = b, π2(xi) = π2(x′i+1), com

i = 1, ..., n − 1, e π2(xn) = b′. Mas E ×B A = (p−1(b) × b) ∪ (p−1(b′) × b′),

logo tem-se, para algum k = 1, ..., n, π2(x′k) = b e π2(xk) = b′, ou seja existem

e ¹ e′ em E tais que p(e) = b e p(e′) = b′, como pretendíamos mostrar. ¤


Proposição 4.2.2 Sejam C′ uma categoria com produtos fibrados, C uma sub-categoria plena de C′ fechada para produtos fibrados e p : E → B um morfismode C.

(i) Se p é morfismo de descida em C′, então p é morfismo de descida em C.

(ii) Se p é morfismo de descida efectiva em C′, então p é morfismo de descidaefectiva em C se e só se

E ×B A ∈ C ⇒ A ∈ C

para qualquer produto fibrado (4.2) em C′.

Demonstração: Sejam Φ : C′/B → DesC′(p) o functor de comparação defi-

nido em C′/B e Φ1 : C ↓ B → DesC(p) o definido em C/B.

(i) Consideremos p : E → B um morfismo de descida em C′, logo Φ é fiel

e pleno. Como o functor Φ restringe-se e co-restringe-se a Φ1 então Φ1

também é fiel e pleno, isto é, p é um morfismo de descida em C.

(ii) Seja p : E → B um morfismo de descida efectiva em C′, então Φ é uma

equivalência, logo p é de descida em C′, e por (i) é também de descida

em C. Suponhamos que p é de descida efectiva em C, isto é Φ1 é uma

equivalência, e consideremos o produto fibrado

E

E ×B A

B

A.........................................................................................................

π1

................................................................. ............π2

.........................................................................................................

α

............................................................................................. ............p

em C′ com E ×B A em C.

Como π1 está em C, Φ(A,α) ∈ DesC(p), logo existe (A′, α′) ∈ (C/B) tal que

Φ1(A′, α′) ∼= Φ(A,α), como Φ restringe-se e co-restringe-se a Φ1, temos

Φ(A′, α′) = Φ1(A′, α′) e Φ(A′, α′) ∼= Φ(A,α), mas, sendo Φ fiel e pleno re-

flecte isomorfismos e portanto (A′, α′) ∼= (A, α), logo A′ ∼= A em C′. Como

4.2 Morfismos de descida efectiva em PPreord 75

A′ ∈ C e C é fechada para isomorfismos (por se fechada para produtos

fibrados), A ∈ C.

Reciprocamente, seja (C, γ, ξ) ∈ DesC(p), como C é fechada para produtos

fibrados, (C, γ, ξ) ∈ DesC′(p). Como Φ é uma equivalência, existe

(A,α) ∈ DesC′(p) tal que Φ(A,α) = (C, γ, ξ), em particular, para algum q

E

C

B

A.........................................................................................................

γ

............................................................................................. ............q

.........................................................................................................

α

............................................................................................. ............p

é um produto fibrado. Como C ∈ C e por hipótese A ∈ C, então

(A,α) ∈ (C/B). Como Φ1(A,α) ∼= Φ(A, α) = (C, γ, ξ), Φ1 é isomorfica-

mente denso. Mas Φ1 é também fiel e pleno, pois p é de descida em C,

logo Φ1 é uma equivalência, isto é, p é um morfismo de descida efectiva

em C. ¤

Para C′ = PPreord e C = FinPreord, a categoria dos espaços pré-ordenados

finitos que se pode identificar com a subcategoria plena dos espaços finitos de

PPreord (atribuindo a cada (X,≤) em C a topologia discreta), π2 : E×B A → A

é sobrejectivo e E ×B A ∈ FinPreord então A ∈ FinPreord. Logo, p : E → B,

em FinPreord, é um morfismo de descida efectiva em FinPreord se é mor-

fismo de descida efectiva em PPreord.

Morfismos de descida efectiva em FinPreord (em Preord) foram caracteri-

zados em [JS02], Proposição 3.4, da seguinte forma:

Proposição 4.2.3 Um morfismo p : E → B em FinPreord (em Preord) é mor-fismo de descida efectiva se e só se para toda a cadeia b0 ≤ b1 ≤ b2 em B existee0 ≤ e1 ≤ e2 em E tal que p(ei) = bi para i = 0, 1 e 2.

É agora fácil mostrar que a classe dos morfismos de descida efectiva em

PPreord é uma subclasse própria da classe dos morfismos de descida.

Exemplo 4.2.4 Seja E = {e0, e′0, e1, e

′1, e2, e

′2} com

RE = {(e0, e1), (e′1, e2), (e′0, e′2)} ∪∆E


e B = {b0, b1, b2} com

RB = {(b0, b1), (b1, b2), (b0, b2)} ∪∆B.

Então p : E → B com

p(e0) = p(e′0) = b0, p(e1) = p(e′1) = b1 e p(e2) = p(e′2) = b2

é um morfismo de descida em PPreord mas não é morfismo de descida efectiva

nessa categoria, pois, caso contrário, seria morfismo de descida efectiva em

FinPreord o que é falso. ¤

Para qualquer morfismo p : E → B em PPreord, (π2, ξ) é uma relação de

equivalência efectiva pois α = α(C,γ;ξ) é monomorfismo para toda a T-álgebra

(C, γ; ξ). De facto α é injectiva como vamos provar. Consideremos o diagrama

E B

C Q

................................................................................................................. ............p

.............................................................................................................................

γ

................................................................................................................. ............q

.............................................................................................................................

δE ×B Q.......................................................

............... π1

...............................................................

π2

.......................................................... ............α

E ×B C ................................................................................................................. ............

ξ

................................................................................................................. ............π2

Sejam c, c′ ∈ C tais que α(c) = α(c′). Como α(C,γ;ξ)(c) = (γ(c), q(c)) temos

γ(c) = γ(c′) e q(c) = q(c′).

Ora q(c) = q(c′) ⇔ ξ(γ(c′), c) = c′ ⇔ ξ(γ(c), c′) = c.

Como ξ(γ(c′), c′) = c′, porque ξ ◦ η(C,γ) = 1, temos que

c = ξ(γ(c), c′) = ξ(γ(c′), c′) = c′, portanto α é injectiva.

Além disso, como α(C,γ;ξ) ◦ ξ = 1 ×B q e 1 ×B q é sobrejectivo (porque q é

sobrejectivo) então α é sobrejectivo.

Vemos assim (tal como observado em [ST92], depois do corolário 2.8) que α

é um bimorfismo em qualquer categoria concreta sobre a categoria dos conjun-

tos cujo functor de esquecimento preserva produtos fibrados e co-igualizadores.

Neste caso, como PPreord é uma subcategoria plena de CHaus, α(C,γ;ξ) é um

homeomorfismo para todo o (C, γ; ξ).

Proposição 4.2.5 Um morfismo de descida p : E → B em PPreord é de des-cida efectiva se e só se para toda a T-álgebra (C, γ; ξ), se U ∈ AFD(C) entãoα(U) ∈ AFD(E ×B Q).

4.3 Morfismos de descida efectiva em Psp 77

Demonstração: Já vimos que, na adjunção L a Φ(α, β), β é um isomorfismo

natural se e só se p é morfismo de descida. Sabemos também que α(U) é

aberto-fechado se U é aberto-fechado visto α ser homeomorfismo. Se α é um

isomorfismo em PPreord então α(U) é decrescente se U o for.

Reciprocamente, sejam c, c′ ∈ C tais que α(c) ¹ α(c′). Vejamos que c ¹ c′.

Suponhamos que c 6¹ c′, então, como C é totalmente desconexo em relação

à pré-ordem, existe U aberto-fechado decrescente em C tal que c′ ∈ U e c /∈ U .

Como α é um homeomorfismo α(U) é também aberto-fechado decrescente de

E ×B C e α(c′) ∈ α(U) e α(c) /∈ α(U), o que é um absurdo.

Assim α é um isomorfismo em PPreord para todo o (C, γ; ξ), logo p é mor-

fismo de descida efectiva nessa categoria. ¤

4.3 Morfismos de descida efectiva em Psp

Como PPreord tem produtos fibrados e Psp é uma subcategoria plena e

fechada para produtos fibrados, utilizamos a proposição 4.2.2 e o facto da

reflexão ter unidades estáveis para mostrar que os morfismos de descida efec-

tiva em Psp são os morfismos desta categoria que são morfismos de descida

efectiva em PPreord.

Como qualquer espaço finito e discreto com qualquer ordem é um espaço

de Priestley e os epimorfismos regulares em Psp são epimorfismos regulares

em PPreord, (4.2.1) é verdadeira para Psp e podemos afirmar que

Proposição 4.3.1 Um morfismo em Psp é morfismo de descida nessa catego-ria se e só se é morfismo de descida em PPreord.

Teorema 4.3.2 Um morfismo em Psp é morfismo de descida efectiva nessacategoria se e só se é morfismo de descida efectiva em PPreord.

Demonstração: Seja p : E → B um morfismo em Psp de descida efectiva

em PPreord.

Dado o produto fibrado


E

E ×B A

B

A.........................................................................................................

π1

................................................................. ............π2

.........................................................................................................

α

............................................................................................. ............p (4.3)

em que E, B, E ×B A ∈ Psp, vamos provar que A é um espaço de Priestley.

Sabemos que a reflexão

PPreord Psp...........................................................................................................................................................H3

............................................................................................................................................... ............I3

tem unidades estáveis, logo, como B ∈ Psp, I3 preserva o produto fibrado (4.3).

Portanto, como o rectângulo 1Ã'!&"%#$ + 2Ã'!&"%#$ e o quadrado 2Ã'!&"%#$ são produtos fibrados,

I3(E ×B A)

E ×B A

I3(A)

A..........................................................................................................................................................................

ηE×BA

.................................................................................................................................. ............π2

..........................................................................................................................................................................

ηA

............................................................................................. ............

I3(π2)

1Ã'!&"%#$

E B.............................................................................................................................................................. ............

I3(p) = p

..........................................................................................................................................................................

α′ = I3(α)

..........................................................................................................................................................................

I3(π1) 2Ã'!&"%#$

concluímos que o quadrado 1Ã'!&"%#$ é um produto fibrado, portanto p∗(ηA) = ηE×BA.

Como E×B A ∈ Psp, a reflexão correspondente é um isomorfismo, isto é p∗(ηA)

é um isomorfismo. Como p é, em particular, um morfismo de descida efectiva

em PPreord, então o functor p∗ é monádico e, portanto, reflecte isomorfismos.

Assim ηA é um isomorfismo, logo A é um espaço de Priestley.

Reciprocamente, se p : E → B em Psp é morfismo de descida efectiva em

Psp vamos provar que é também morfismo de descida efectiva em PPreord.

Se p é morfismo de descida em Psp ele é também morfismo de descida em

PPreord (4.3.1).

4.3 Morfismos de descida efectiva em Psp 79

Seja (C, γ; ξ) uma T-álgebra da mónada induzida em PPreord/E pela ad-

junção p! a p∗ : PPreord ↓ B → PPreord/E e q =co-igualizador(π2, ξ). Temos

de provar que, no diagrama

E B

C Q

................................................................................................................. ............p

.............................................................................................................................

γ

................................................................................................................. ............q

.............................................................................................................................

δ

E ×B C ................................................................................................................. ............

ξ

................................................................................................................. ............π2

q é morfismo de descida em PPreord.

Como a reflexão I3 : PPreord → Psp tem unidades estáveis, portanto

preserva produtos fibrados de morfismos com codomínio em Psp, temos que

(I3(C), I3(γ), I3(ξ)) é uma T-álgebra para a mónada definida pela adjunção

p! a p∗ : Psp/B → Psp/E. Além disso, e atendendo a que a reflexão I3 preserva

colimites, I3(q) =co-igualizador(I3(π2), I3(ξ)) em Psp. Então, no seguinte dia-

grama

I3(C)

C

I3(Q)

Q..........................................................................................................................................................................

ηC

.............................................................................................................................................................. ............q

..........................................................................................................................................................................

ηQ

................................................................................................................................ ............

I3(q)

1Ã'!&"%#$

E B.............................................................................................................................................................. ............p

..........................................................................................................................................................................

I3(δ)

..........................................................................................................................................................................

I3(γ) 2Ã'!&"%#$

o quadrado 2Ã'!&"%#$ é produto fibrado, isto é I3(q) é morfismo de descida, pois p é

morfismo de descida efectiva em Psp.

Como p é morfismo de descida efectiva em PPreord se e só se o rectângulo

1Ã'!&"%#$ + 2Ã'!&"%#$ é produto fibrado e o quadrado 2Ã'!&"%#$ é produto fibrado, vamos provar que

o quadrado 1Ã'!&"%#$ é produto fibrado.

Seja h : C → I3(C)×I3(Q) Q definido por h(c) = ([c], q(c)) para todo o c ∈ C,


vejamos que h é homeomorfismo e isomorfismo de ordem.

Considerando o seguinte diagrama

I3(C)

I3(C)×I3(Q) Q

I3(Q)

Q..........................................................................................................................................................................

π1

........................................................................................ ............

π2 ..........................................................................................................................................................................

ηQ

................................................................................................................................ ............

I3(q)

C..................................................................................................................................... .........

...

h

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ............

ηC

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ............

q

E ×B Q

................................................................................ ............

t

E B.............................................................................................................................................................. ............p

..........................................................................................................................................................................

I3(δ)

..........................................................................................................................................................................

I3(γ)

................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................

temos que E ×B Q é isomorfo a I3(C)×I3(Q) Q, e h é, a menos de isomorfismo,

α(C,γ,ξ), pois h = t−1 ◦ α(C,γ,ξ).

Como o functor de esquecimento de PPreord na categoria dos conjuntos

preserva produtos fibrados e epimorfismos regulares, as componentes de α

são bimorfismos portanto são homeomorfismos.

Além disso, dados c, c′ ∈ C tais que h(c) ≤ h(c′), temos que [c] ≤ [c′] em

I3(C) e portanto c ¹ c′ em C, logo h é isomorfismo em PPreord. ¤

5Um sistema de factorizaçãoreflectivo

Neste capítulo vamos descrever o sistema de factorização induzido em

PPreord pela reflexão PPreord → Psp.

5.1 Factorizações reflectivas

Dadas uma categoria C finitamente completa e X uma subcategoria re-

flectiva de C, define-se em C um sistema de pré-factorização (E,M) tomando

E = (H(morX))↑, M = (H(morX))↑↓.

Proposição 5.1.1 Sejam C uma categoria finitamente completa e

< I, H, η, ε >: C ⇀ X

uma reflexão da categoria C na subcategoria X. Tem-se

(i) f ∈ E se e só se I(f) é um isomorfismo;

(ii) se e ∈ E e e ◦ f ∈ E então f ∈ E;

(iii) ηA : A → HI(A) está em E.

81

82 Um sistema de factorização reflectivo

Se a categoria C é finitamente bem completa, isto é, além de admitir li-

mites finitos admite intersecções arbitrárias de subojectos, este sistema de

pré-factorização (E, M) é um sistema de factorização, como demonstrado em

[CHK85] (3.5).

Seja C uma categoria finitamente completa. Consideremos a adjunção

< I, H, η, ε >: C ⇀ X (5.1)

Para cada objecto B em C esta adjunção induz a adjunção

< IB,HB, ηB, εB >: C/B ⇀ X/I(B), (5.2)

da categoria dos objectos sobre B em C na categoria dos objectos sobre I(B) em

X, tal que HB a cada (X, ϕ) faz corresponder o produto fibrado de (H(X),H(ϕ))

ao longo do morfismo ηB, e IB a cada (A,α) faz corresponder (I(A), I(α)).

Proposição 5.1.2 Se a adjunção (5.1) é admissível e a co-unidade ε : IH → Id

é um isomorfismo então o morfismo f : A → B pertence a M se e só se odiagrama

B IB........................................................................................................................... ............ηB

A IA........................................................................................................................... ............ηA

.......................................................................................................................................

f

.......................................................................................................................................

If

é um produto fibrado. Por outras palavras, o morfismo f pertence a M se e sóse o morfismo unidade ηB

(A,f) da adjunção induzida (5.2) é um isomorfismo.

Proposição 5.1.3 Se a adjunção (5.1) é admissível e a co-unidade ε : IH → Id

é um isomorfismo então (E, M) é um sistema de factorização.

5.2 Factorização reflectiva definida porI a H : Psp → PPreord

Como a reflexão < I, H, η, ε >: PPreord ⇀ Psp tem unidades estáveis

(3.4.7), ela é admissível. Portanto, por 5.1.3, PPreord tem um sistema de

factorização reflectivo (E,M).

5.2 Factorização reflectiva definida porI a H : Psp → PPreord 83

Adoptando a terminologia usada em [Xar03], damos descrições explicitas

da classe M das coberturas triviais e da classe E dos morfismos verticais.

Proposição 5.2.1 Um morfismo f : A → B em PPreord é vertical se e só severifica as duas condições seguintes:

(i) para quaisquer dois objectos a e a′ em A, se f(a) ¹ f(a′) em B então a ¹ a′

em A;

(ii) para qualquer objecto b em B, existe um objecto a em A tal que b ¹ f(a) ef(a) ¹ b em B.

Demonstração: Seja f : A → B um morfismo em PPreord vertical, então

I(f) é um isomorfismo em Psp (5.1.1 (i)). Logo f verifica as condições (i) e (ii).

De facto, sejam a, a′ ∈ A tais que f(a) ¹ f(a′) em B. Temos:f(a) ¹ f(a′) em B ⇒ [f(a)] ≤ [f(a′)] em I(B)

⇒ I(f)([a]) ≤ I(f)([a′])

⇒ [a] ≤ [a′] em I(A)

⇒ a ¹ a′ em A.

Seja b ∈ B, então [b] ∈ I(B). Logo existe [a] ∈ I(A) tal que I(f)([a]) = [b],

isto é, existe a ∈ A tal que b ¹ f(a) e f(a) ¹ b.

Reciprocamente, seja f : A → B um morfismo em PPreord satisfazendo as

condições (i) e (ii). O morfismo I(f) é contínuo.

Vejamos que é sobrejectivo. Seja [b] ∈ I(B), então b ∈ B, logo pela condição

(ii) existe a ∈ A tal que b ¹ f(a) e f(a) ¹ b. Assim, existe [a] ∈ I(A) tal que

I(f)([a]) = [f(a)] = [b].

Sejam [a], [a′] ∈ I(A) tais que I(f)([a]) = I(f)([a′]). Temos,I(f)([a]) = I(f)([a′]) ⇒ [f(a)] = [f(a′)]

⇒ f(a) ∼ f(a′)

⇒ f(a) ¹ f(a′) e f(a′) ¹ f(a)

⇒ (por (i))a ¹ a′ e a′ ¹ a

⇒ [a] = [a′].Logo I(f) é injectiva.

Assim I(f) é um isomorfismo de ordem, pois I é um functor e f verifica

84 Um sistema de factorização reflectivo

a condição (i), portanto I(f) é um isomorfismo em Psp, ou seja f pertence à

classe E. ¤

Proposição 5.2.2 Um morfismo f : A → B em PPreord pertence a M se e sóse as aplicações [a] → [f(a)], induzidas por f para qualquer objecto a ∈ A, sãobijecções.

Demonstração: Seja f : A → B um morfismo em PPreord tal que as apli-

cações [a] → [f(a)], induzidas por f para qualquer objecto a ∈ A, são bijecções.

Seja < IB,HB, ηB, εB >: PPreord ↓ B ⇀ Psp ↓ I(B) a adjunção induzida

pela adjunção < I, H, η, ε >: PPreord ⇀ Psp.

Consideremos o seguinte diagrama

P

A

B

............................................................................................................................................

π1

..........................

................................ ............

ηB(A,f)

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

f

I(A)

I(B)

............................................................................................................................................

I(f)

................................................................................................................................ ............π2

..................................................................................................................................................................................................................................................................... ............

ηA

................................................................................................................................ ............ηB

Mostremos que ηB(A,f) é um isomorfismo.

Os objectos de P são todos os pares (b, [a]) ∈ B × I(A) tais que [b] = [f(a)].

Seja (b, [a]) ∈ P . Como [b] = [f(a)], b ∈ [f(a)], então, pela hipótese, existe

a′ ∈ [a] tal que f(a′) = b. Logo existe a′ ∈ A tal que ηB(A,f)(a

′) = (b, [a]), ou seja

ηB(A,f) é sobrejectiva.

Sejam a, a′ ∈ A tais que ηB(A,f)(a) = ηB

(A,f)(a′). Temos,

ηB(A,f)(a) = ηB

(A,f)(a′) ⇒ (f(a), [a]) = (f(a′), [a′])

⇒ f(a) = f(a′) e [a] = [a′]

⇒ a, a′ ∈ [a] e f(a) = f(a′)

⇒ (porhipotese) a = a′.Como ηB

(A,f)(a) ¹ ηB(A,f)(a

′) ⇔ a ¹ a′, quaisquer que sejam a, a′ ∈ A, ηB(A,f) é

um isomorfismo.

Reciprocamente, seja f : A → B um morfismo em PPreord tal que ηB(A,f) é

5.2 Factorização reflectiva definida porI a H : Psp → PPreord 85

um isomorfismo. Seja a ∈ A. Mostremos que a aplicação [a] → [f(a)] induzida

por f é uma bijecção.

Seja b ∈ [f(a)]. Como [b] = [f(a)], (b, [a]) ∈ P , então, como ηB(A,f) é um

isomorfismo, existe a′ ∈ A tal que ηB(A,f)(a

′) = (b, [a]), isto é existe a′ ∈ [a] tal

que f(a′) = b.

Sejam a1, a2 ∈ [a] tais que f(a1) = f(a2). Logo (f(a1), [a1]) = (f(a2), [a2]),

ou seja ηB(A,f)(a1) = ηB

(A,f)(a2) o que implica a1 = a2, pois ηB(A,f) é injectiva. ¤

6Uma terceira forma de obterespaços de Priestley

A categoria dos espaços de Priestley surge na equivalência induzida por

uma adjunção dual entre TopOrd e Ret0,1 (2.2.10), tal como Stone aparece na

equivalência induzida pela adjunção análoga para as ordens triviais (3.1.4).

Ela é também uma subcategoria de TopPreord cujos objectos são limite de

determinados espaços pré-ordenados, finitos e discretos (1.8.8). Neste capítulo

vamos provar que Psp substitui mais uma vez Stone na versão ordenada de

um certo tipo de compactificação.

6.1 Compactificações de espaços topológicos

Uma compactificação do espaço topológico E é um espaço compacto E1 e

uma imersão i : E → E1 tal que i(E) é denso em E1, isto é, i(E) = E1. Se todo

o morfismo f de E num espaço compacto E2 se factoriza através de i,

E E1

E2

.......................................................................................................................................

f

........................................................................................................................... ............i...................................................................................................................................................................................... .........

...

f

87

88 Uma terceira forma de obter espaços de Priestley

daí resulta, em vários casos, a universabilidade de i relativamente a um func-

tor inclusão e a definição da reflexão correspondente.

Dado um espaço topológico E, usamos a notação∏

S E para o produto de S

cópias de E. Chamaremos a esse tipo de espaços espaços potência de E.

Um espaço topológico X diz-se completamente regular se para todo o sub-

conjunto fechado A de X e x /∈ A, existe uma função contínua f : X → [0, 1] tal

que f(x) = 0 e f(A) = 1.

Um espaço Tychonoff é um espaço Hausdorff completamente regular.

Todo o espaço topológico X em que cada um dos seus pontos tem uma base

de vizinhanças constituída por abertos-fechados diz-se zero-dimensional.

Seja E um espaço topológico Hausdorff. Consideremos a subcategoria

plena de Top dos subespaços de espaços potência de E, denotada por

E-completamente regular, e a subcategoria plena de E-completamente regulardos subespaços fechados de espaços potência de E, denotada por E-compacto.

Sejam E um espaço topológico Hausdorff e X um espaço E-completamenteregular, ou seja, X é subespaço de um espaço potência de E, isto é, existe uma

imersão X ↪→ ∏S E para algum S. Suponhamos, sem perda de generalidade,

que S é o conjunto das aplicações contínuas de X em E, S = Top(X, E). Temos,

X∏

S E

E

.......................................................................................................................................

ps

............................................................................................................ ............ϕ

.......................................................................................................................................................................................... ............

s

sendo s uma aplicação contínua, ps a projecção e ϕ = avX,s a aplicação avalia-

ção, isto é ϕ(x) = (s(x))s∈S .

Assim o espaço X é, por hipótese, isomorfo ao subespaço de∏

S E definido

por ϕ(X) = {(s(x))s∈S |x ∈ X}.Define-se R(X) como o fecho de ϕ(X) em

∏S E, ϕ(X) (portanto R(X) ∈ E-

compacto) e ηX = i ◦ ϕ sendo i a imersão de ϕ(X) em ϕ(X).

6.1 Compactificações de espaços topológicos 89

Proposição 6.1.1 Dado X um subespaço de um espaço potência de um espaçoHausdorff E, então ηX : X → R(X) é a unidade da reflexão

R : E-completamente regular → E-compacto.

Demonstração: Sejam Y um subespaço fechado do espaço potência de E e

f : X → Y um morfismo em E-completamente regular.

Para o espaço Y temos o seguinte diagrama,

X Y................................................................................... ............f

R(Y )...................................................................... ............ηY

∏S′ E............................................. ........................

............

E

......................................................................................................................................................................................................................... ............

q

...............................................................................................

pq

sendo S′ = Top(Y, E). Como q ∈ S′ então q ◦ f ∈ S, logo pela definição de

produto existe um único morfismo h :∏

S E → ∏S′ E tal que pq ◦ h = pq◦f ,

∏S E

∏S′ E

.......................................................................................................................................

h

E

................................................................................................................................................................................... ............

pq◦f

......................................................................................................... ............pq

O morfismo h é definido por h((es)s∈S) = (es′)s′∈S′ , onde es′ = es′◦f .

Portanto, h(ϕ(X)) ⊆ ϕ(Y ), porque h((s(x))s∈S) = (s′(f(x)))s′∈S′ , e h(ϕ(X)) ⊆h(ϕ(X)) ⊆ ϕ(Y ), isto é h(R(X)) ⊆ R(Y ), portanto a restrição h′ de h a

R(X) é uma função contínua de R(X) em R(Y ) tal que h′ ◦ ηX = ηY ◦ f ,

X ϕ(X).............................................................................................................. ............∼= R(X)........................................................................................ ........................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............

ηX ∏S E..................................................................................... ........................

............

Y ϕ(Y ).............................................................................................................. ............∼= R(Y ).......................................................................................... ........................

............ ∏S′ E..................................................................................... ........................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............

ηY

.......................................................................................................................................

f

.......................................................................................................................................

h

.......................................................................................................................................

h′

mas, Y é subespaço fechado de∏

S′ E, portanto Y ∼= ϕ(Y ) ∼= ϕ(Y ) = R(Y ) e ηY

é um isomorfismo. Fazendo f = η−1Y ◦ h′ tem-se f : R(X) → Y com f ◦ ηX = f .


O morfismo f é o único morfismo de E-compacto tal que f ◦ηX = f , porque,

em Haus, ηX é um epimorfismo pois é uma aplicação contínua com imagem

densa. Logo ηX é a unidade da reflexão. ¤

Se E é espaço de Hausdorff, os espaços E-completamente regulares são

exactamente aqueles que podem ser imersos de forma universal na sua "com-

pactificação do tipo E".

Vejamos alguns exemplos,

Exemplo 6.1.2 Tomando E = I = [0, 1],

I-completamente regular= Tych,

a categoria dos espaços de Tychonoff, e

I-compacto= CHaus

¤

Exemplo 6.1.3 Tomando E = 2 = {0, 1}

2-completamente regular= zero-dimensional +T2,

a categoria dos espaços Hausdorff e zero-dimensional, e

2-compacto=Stone

como demonstrado por Banaschewski em [Ban55], que denota por ζ a reflexão

2-completamente regular 2-compacto............................................................................................................................................................................................ ............ζ

Supondo X um espaço discreto então X é Hausdorff e zero-dimensional,

portanto pertence à categoria I-completamente regular e à categoria 2-comple-tamente regular.

Considerando a compactificação de Stone-Cech de X, β(X), e a reflexão de

β(X) em Stone, bem como a reflexão de X, ζ(X), em Stone, existe um único

morfismo h : β(X) → ζ(X) tal que h ◦ ηX = σX , porque ζ(X) é um espaço

6.2 Compactificação de espaços topológicos ordenados 91

compacto Hausdorff e existe um único morfismo h′ : β(X)/ ∼→ ζ(X) tal que

h′ ◦ rβ(X) = h, porque ζ(X) é espaço de Stone,

X β(X)...................................................................................................................................................... ............ηX β(X)/ ∼................................................................................................................... ............

rβ(X)

ζ(X)

................................................................................................................................................................................................................... ............

σX

...........................................................................................................................................................

h

...................................................................................................................................................................................................

h′

com x ∼ y se e só se Γx = Γy. Como rβ(X)◦ηX e σX são reflexões de X em Stone,

então h′ é um isomorfismo. Assim β(X) ∼= ζ(X) se e só se as componentes co-

nexas de β(X) são conjuntos singulares, são os chamados espaços fortemente

zero-dimensionais.

Como X é um espaço topológico discreto, as componentes conexas de β(X)

são os pontos e temos β(X) ∼= (β(X)/ ∼) ∼= ζ(X), subespaço fechado de uma

potência de 2, logo β(X) é um espaço de Stone. ¤

6.2 Compactificação de espaços topológicos ordena-dos

Dado um espaço topológico Hausdorff ordenado E, consideremos as sub-

categorias plenas de TopOrd dos subespaços de espaços potência de E com a

ordem induzida, denotada por E-completamente regular ordenado e a catego-

ria E-compacto ordenado dos subespaços fechados de espaços potência de E.

Temos a versão ordenada de 6.1.1 e dois exemplos importantes.

Tomando E = I = [0, 1] com a topologia e a ordem de subespaço de IR (com

a topologia e ordem usuais) a categoria I-completamente regular ordenado é

a categoria dos espaços completamente regulares ordenados, I-compacto orde-nado a categoria dos espaços compactos ordenados e a reflexão

I-completamente regular ordenado I-compacto ordenado.................................................................................................. ............β

é a compactificação de Nachbin-Stone Cech, ([Nac65], página 104).


Consideremos o espaço discreto ordenado 2 = {0 < 1} e as categorias

2-completamente regular ordenado e 2-compacto ordenado. Existe uma refle-

xão

2-completamente regular ordenado 2-compacto ordenado.................................................................................................. ............ζ

que nos dá uma nova forma de obter espaços de Priestley:

tal como 2-compacto=Stone temos que 2-compacto ordenado=Psp.

Teorema 6.2.1 A categoria 2-compacto ordenado é a categoria dos espaços dePriestley.

Demonstração: Toda a potência de 2 é um espaço de Priestley, porque, para

qualquer conjunto S,∏

S 2 é compacto e totalmente desconexo em relação à

ordem (1.8.4). Como todo o subespaço fechado de um espaço de Priestley é um

espaço de Priestley, por 1.8.3 e atendendo a que todo o subconjunto fechado de

um compacto é compacto, então todo o subespaço fechado de uma potência de

2 é um espaço de Priestley.

Reciprocamente, vejamos que se X é um espaço de Priestley então é um

subespaço fechado de alguma potência de 2.

Seja X um espaço de Priestley e S = TopOrd(X, 2) o conjunto dos mor-

fismos de X para 2 em TopOrd. Consideremos a aplicação avaliação

ϕ : X → ∏S 2, isto é ϕ(x) = (s(x))s∈S , e temos

X∏

S 2

2

.......................................................................................................................................

ps

................................................................................................................. ............ϕ

.......................................................................................................................................................................................... ............

s

O morfismo X → ϕ(X) é sobrejectivo e contínuo. Vejamos que ele é injec-

tivo.

Sejam x, x′ ∈ X tais que x 6= x′, então x 6≤ x′ ou x′ 6≤ x. Suponhamos que

x 6≤ x′. Então, como X é totalmente desconexo em relação à ordem, existe um

subconjunto aberto-fechado decrescente U de X tal que x′ ∈ U e x /∈ U . Assim

6.2 Compactificação de espaços topológicos ordenados 93

x′ ∈ U , com U aberto-fechado decrescente, e x ∈ (X −U), com (X −U) aberto-

fechado crescente, logo existe um morfismo s0 : X → 2 em S tal que s0(U) = 0 e

s0(X −U) = 1. Portanto, ϕ(x) = (s(x))s∈S 6= ϕ(x′) = (s(x′))s∈S , logo X → ϕ(X)

é uma bijecção contínua e consequentemente é homeomorfismo.

Mas X → ϕ(X) é também isomorfismo de ordem, pois, como provámos, se

x 6≤ x′ então ϕ(x) 6≤ ϕ(x′).

Assim o espaço de Priestley X é isomorfo ao espaço ϕ(X) que é um subes-

paço fechado de um espaço de potências de 2, por ser subespaço compacto de

um espaço de Hausdorff. ¤

Considerações finais

O estudo da reflexão da categoria dos espaços compactos Hausdorff ordena-

dos na categoria dos espaços de Priestley levou-nos a uma generalização, cru-

cial para o desenvolvimento dos nossos trabalhos, que consistiu na substitui-

ção de ordem por pré-ordem. As novas categorias, a categoria dos espaços com-

pactos Hausdorff pré-ordenados CHausPreord e a categoria dos espaços de

Stone pré-ordenados totalmente desconexos em relação à pré-ordem PPreord,

permitiram-nos analisar semelhanças e diferenças entre esta reflexão e a re-

flexão correspondente para o caso das ordens triviais, CHaus → Stone. Tam-

bém provámos que um morfismo na categoria dos espaços de Priestley é mor-

fismo de descida efectiva nessa categoria se e só se é morfismo de descida

efectiva em PPreord.

A adjunção entre a categoria Top dos espaços topológicos e a categoria

dual da dos reticulados limitados Ret0,1 e a equivalência por ela induzida de-

terminam a reflexão da categoria CHaus dos espaços compactos Hausdorff na

categoria Stone dos espaços de Stone. Pelo mesmo processo obtém-se a refle-

xão de CHausOrd na categoria Psp dos espaços de Priestley. Tal como Stone é

a subcategoria plena de Top dos espaços limite de espaços finitos e discretos,

PPreord é a subcategoria de TopPreord dos espaços limite de espaços finitos

discretos e pré-ordenados, sendo os objectos de Psp limite de determinados

espaços desse tipo.

Se E é espaço de Hausdorff os espaços E-completamente regulares são

exactamente aqueles que podem ser imersos de forma universal na sua "com-

pactificação do tipo E". Da mesma forma que, tomando E = 2 = {0, 1}, a

"compactificação do tipo E" é a categoria dos espaços de Stone, a "compactifi-

cação do tipo E" quando consideramos o caso ordenado e E = 2 = {0 < 1} é

a categoria dos espaços de Priestley. Assim, uma vez mais, os espaços de Pri-

95

96 Considerações finais

estley substituem os espaços de Stone quando é considerado o caso ordenado.

Temos então três formas diferentes de se obter espaços de Priestley.

Bibliografia

[Ban55] B. Banaschewski. Über nulldimensionale Räume. Math. Nachr.,(13):129–140, 1955.

[BJ01] F. Borceux e G. Janelidze. Galois theories. Cambridge University

Press, 2001.

[Bor94a] Francis Borceux. Handbook of Categorical Algebra 1. Cambridge

University Press, 1994.

[Bor94b] Francis Borceux. Handbook of Categorical Algebra 2. Cambridge

University Press, 1994.

[Bou66] N. Bourbaki. General Topology. Hermann, Paris, 1966.

[BR70] J. Bénabou e J. Roubaud. Monades et descente. Comptes RendusAcad. Sc. Paris, (270 A):96–98, 1970.

[CD98] David M. Clark e Brian A. Davey. Natural Dualities for the WorkingAlgebraist. Cambridge University Press, 1998.

[CHK85] C. Cassidy, M. Hérbert e G. M. Kelly. Reflective subcategories, loca-

lizations and factorization systems. J. of Australian MathematicalSociety, (38 A):287–329, 1985.

[CJKP97] A. Carboni, G. Janelidze, G. M. Kelly e R. Paré. On localization and

stabilization for factorization systems. Appl. Categorical Stuctures,

(5):1–58, 1997.

97

98 Bibliografia

[DP90] B. A. Davey e H. A. Priestley. Introduction to Lattices and Order.

Cambridge Mathematical Textbooks, 1990.

[DS] M. Dias e M. Sobral. Priestley spaces: the threefold way. (empreparação).

[DS05] M. Dias e M. Sobral. Descent for Priestley spaces. Pré-publicaçãodo Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra, (05-

04), 2005.

[EM58] R. Engelking e S. Mrówka. On E-compact spaces. Bull Sér, Sci.Math. Astronom. Phys., (6):429–436, 1958.

[Hof02] Dirk Hofmann. On a generalization of the Stone-Weierstrass the-

orem. Appl. Categ. Struct. 10, páginas 569–592, 2002.

[Jan90] George Janelidze. Pure Galois theory in categories. J. of Algebra,

(132):270–286, 1990.

[JK94] G. Janelidze e G.M. Kelly. Galois theory and a general notion of

central extensions. J. Pure Appl. Algebra, (97):135–161, 1994.

[Jon92] P. Jonhstone. Stone Spaces. Cambridge University Press, 1992.

[JS02] G. Janelidze e M. Sobral. Finite preorders and topological descent

I. J. Pure Appl. Algebra, (175):187–205, 2002.

[Mac97] Saunders MacLane. Categories for the Working Mathematician.

Springer, 1997.

[Nac65] Leopoldo Nachbin. Topology and Order. Van Nostrand, Princeton,

Toronto, New York, London, 1965.

[ST92] M. Sobral e W. Tholen. Effective descent morphisms and effec-

tive equivalence relations. Conference Proceedings of the CanadianMathematical Society, (13):421–433, 1992.

[Wal74] Russel C. Walter. The Stone-Cech Compactification. Springer-

Verlag Berlin Heidelberg New York, 1974.

Bibliografia 99

[Wil70] S. Willard. General Topology. Addison-Wesley Publishing Com-

pany, 1970.

[Xar03] João Xarez. The monotone-ligth factorization for categories via pre-ordered and ordered sets. Tese de Doutoramento, Universidade de

Aveiro, 2003.

Índice de categorias

17 CHaus (espaços topológicos

compactos Hausdorff)

17 Stone (espaços de Stone)

18 Top (espaços topológicos)

18 TopPreord (espaços topológicos pré-ordenados)

18 TopOrd (espaços topológicos ordenados)

22 Psp (espaços de Priestley)

23 PPreord (espaços de Stone pré-ordenados

totalmente desconexos em relação

à pré-ordem)

27 CHausOrd (espaços topológicos

compactos Hausdorff ordenados)

27 Ret0,1 (reticulados limitados)

41 CHausPreord (espaços topológicos compactos

Hausdorff pré-ordenados)

41 StonePreord (espaços de Stone pré-ordenados)

63 StoneOrd (espaços de Stone ordenados)

88 E-completamente regular (subespaços de espaços potência de E)

88 E-compacto (subespaços fechados de espaços potência de E)

91 E-completamente regular (subespaços de espaços potência de E com

ordenado a ordem induzida)

91 E-compacto ordenado (subespaços fechados de espaços potência de E

com a ordem induzida)

101

repositorio.uac.pt · 2008-12-04 · Agradecimentos Agradeço profundamente à Professora Doutora...

Documents

Transcript of repositorio.uac.pt · 2008-12-04 · Agradecimentos Agradeço profundamente à Professora Doutora...