2008.1 - Modelagem No Espaço de Estados

Plano Bsico

Autores:

Dcio Haramura Junior

Guilherme Martins Gomes Nascimento

Pedro Andr Martins Bezerra

Universidade Federal do Cear

Departamento de Engenharia Eltrica

Programa de Educao Tutorial

Equaes Diferenciais

Fortaleza, 27 de agosto de 2008

Orientadores: Lus Paulo Carvalho dos Santos

Luiz Fernando Almeida Fontenele



Pedro Andr Martins Bezerra 2

Sumrio

Modelagem no Espao de Estados

Soluo de Equaes Diferenciais Homogneas

Conceito de Estabilidade e Estabilidade Assinttica

Transformada de Laplace

Soluo de Equaes Diferenciais No-Homogneas

Tcnica de Linearizao de Sistemas No-Lineares

Ciclos Limites

Caos e Atratores Estranhos

Anlise de estabilidade de Liapunov

Controlabilidade e Observabilidade

Aplicaes




Motivao

As equaes diferenciais so usadas:

para modelagem de problemas fsicos;

para a Anlise de comportamento de sistemas;

para o Projeto de Controladores;

Modelagem no espao de estados




Vantagens da Modelagem no Espao

de Estados

Permite a anlise e projeto de diversos tipos de sistemas

Sistemas No Lineares

Sistemas Variantes no Tempo

Sistemas com mltiplas entradas e sadas





Estado o menor conjunto de variveis de estado (LI) tais que o

conhecimento dessas variveis para t=t0 juntamente com o conhecimento da entrada para determina o conhecimento do sistema para qualquer instante ;

Variveis de Estado So aquelas que constituem o menor conjunto de variveis capazes

de determinar o estado de um sistema;

0t t

0t t





Espao de estados O espao n-dimensional cujos eixos so as variveis de estado;

Equaes de estado Um conjunto de n equaes diferenciais de primeira ordem,

simultneas, com n variveis, onde as n variveis a serem resolvidas so as variveis de estado;

Equao de Sada A equao algbrica que exprime as variveis de sada de um

sistema como combinaes lineares das variveis de estado e das entradas.





Considerando como as entradas do

sistema e como as sadas do sistema.

Definamos tambm as sadas das

variveis de estado

OBS: Geralmente, o nmero mnimo de variveis de

estado necessrio igual a ordem da equao diferencial

que descreve o sistema.

1 2( ), ( ),..., ( )ru t u t u t

1 2( ), ( ),..., ( )my t y t y t

1 2( ), ( ),..., ( )nx t x t x t





O sistema pode ser descrito

como:

As sadas do sistema podem

ser dadas por:

1 1 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( , ,..., ; , ... ; )

( , ,..., ; , ... ; )

( , ,..., ; , ... ; )

( )

( )

.

.

.

( )

(1)

n r

n r

n n n r

f x x x u u u t

f x x x u u u t

f x x x u u u t

x t

x t

x t

1 1 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( , ,..., ; , ... ; )

( , ,..., ; , ... ; )

( , ,..., ; , ... ; )

( )

( )

.

.

.

( )

(2)

n r

n r

m m n r

g x x x u u u t

g x x x u u u t

g x x x u u u t

y t

y t

y t





Definindo as seguintes matrizes e vetores:

1

2

( )

( )

.

.

.

( )n

x t

x t

x t

x(t)

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

1 2 1 2

( , ,..., ; , ... ; )

( , ,..., ; , ... ; )

.t

.

.

( , ,..., ; , ... ; )

n r

n r

n n r

f x x x u u u t

f x x x u u u t

f x x x u u u t

f(x,u, )

1

2

( )

( )

.

.

.

( )m

y t

y t

y t

y(t)

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

1 2 1 2

( , ,..., ; , ... ; )

( , ,..., ; , ... ; )

.t

.

.

( , ,..., ; , ... ; )

n r

n r

m n r

g x x x u u u t

g x x x u u u t

g x x x u u u t

g(x,u, )

1

2

( )

( )

.

.

.

( )r

u t

u t

u t

u(t)





As (1) e (2) podem agora ser manipuladas de modo a se

obter:

Se f e ou g forem explicitamente funes de t, o sistema

variante no tempo

( ) t Equao de Estadot f(x,u, ) x

( ) t Equao de Sadat y g(x,u, )





Para facilitar os clculos matemticos as funes f(t) e

g(t) podem ser linearizadas:

Onde A(t) chamada de matriz de estado, B(t) de matriz

de entrada, C(t) de matriz de sada e D(t) de matriz de

transmisso direta

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t t t t

t t t t t

A x B u

y C x D u

x





Se as matrizes A(t), B(t), C(t), D(t), ou seja, f e g no

dependerem de t, o sistema dado como linear e

invariante no tempo:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t t t

t t t

Ax Bu

y Cx Du

x





Sistemas em que as entradas so nulas ou a matriz de

entrada nula so ditos homogneos

Esses sistemas homogneos so muito comuns em

problemas fsicos

( ) ( )t tAxx




Exemplo de Modelagam no Espao

de Estados

Obter uma representao no espao de estados se a corrente

atravs do resistor for a sada

Seleciona-se como varivel de estado as grandezas diferenciveis

dos elementos armazenadores de energia vC e iL:

v(t)

L

CR

iL(t) iC(t)

iR(t)

N 1





de Estados

vC e iL devem ser escritos em funo das variveis de

estado e da entrada:

Substituindo e isolando as variveis de estado:

A sada dada pela equao:

1 N 1

( ) Malha externa

C C L

L C

i v iR

v v v t

1 1

( )( )

C C LC L C

CL LC

dv dv iC v i v

dt R dt RC C

vdi di v tL v v t

dt dt L L

1R Ci v

R





de Estados

Colocando na forma matricial:

1 1 0( )

11 0

1 0

C C

L L

C

R

L

v vRC Cv t

i iLL

vi

R i




Anlise de Sistemas Lineares

Homogneos Invariantes no Tempo

Os prximos slides contero uma anlise da estabilidade

de sistemas lineares homogneos invariantes no tempo

atravs de um plano de fases e atravs da transformada

de Laplace. Ser usado para isso, exemplos de sistemas

de segunda ordem




Conceitos da Anlise do Plano de

Fases

geralmente utilizado em sistemas de primeira e

segunda ordem

O plano que tem como coordenadas x1 e x2 (Variveis

de Estado) chama-se plano de fase.

Com o tempo variando de zero a infinito, a soluo x(t)

pode ser representada geometricamente como uma curva

no plano de fase (trajetria).

Uma famlia de trajetrias do plano de fase

correspondentes a varias condies iniciais chamada

de retrato de fase de um sistema.

Soluo de Equaes Diferenciais

Homogneas




Mtodo de Resoluo

Seja o seguinte sistema:

Supe-se solues da forma:

Substituindo (4) em (3)

( ) ( ) (3)t tx Ax

(4)rtex

0 (5)rt rte e

r

A

A I

r




Mtodo de Resoluo

Para sistemas de segunda ordem obtm-se a seguinte equao caracterstica:

Sendo

Tem-se:

Para diferentes tipos de autovalores h uma anlise distinta

11 12

21 22

a a

a a

A

11 12

21 22

2

11 22

det 0

0

( ) det( ) 0

r

a r a

a a r

r r a a

A I

A




Autovalores Reais Distintos e de

Mesmo Sinal (Negativo)

Soluo Geral:

Exemplo:

Polinmio Caracterstico:

Soluo:

Observaes: Como r2





Mesmo Sinal (Negativo)

N Atrator Assintoticamente Estvel

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

TRAJETRIAS DO SISTEMA

x1

x2

-5 0 5-150

-100

-50

0

50

100

150

ESTABILIDADE DO SISTEMA

t

x1





Mesmo Sinal (Positivo)

Soluo Geral:

Exemplo:


Soluo:

Observaes:

Como r2>r1>0, as

trajetrias tem o mesmo

padro do caso anterior,

exceto que o sentido do

movimento se afastando

do ponto crtico

O ponto critico chamado

de fonte

1 2(1) (2)

1 2

r t r tc e c e x

1 1

2 4

A

2 5 6 0r r

2 3

1 2

1 1

1 2

t tc e c e

x

1 (1) (2) ( 2 1)1 2 ()r t r r te c c e x





Mesmo Sinal (Positivo)

Fonte Instvel

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

-1

-0.5

0

0.5

1


x1

x2

-5 0 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

4 ESTABILIDADE DO SISTEMA

t

x1





Sinais Opostos

Soluo Geral:

Exemplo:


Soluo:

Observaes:

Se c2 =0, a soluo

permanece na reta de para

qualquer t. Como r1>0

|x|Inf quando tInf

Se c1 =0, a soluo

permanece na reta de

para qualquer t. Como r1





Sinais Opostos

Ponto de Sela Instvel

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4


x1

x2

-5 0 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10


t

x1




Soluo Geral:

Exemplo:


Soluo:

Autovalores Repetidos com Dois

Autovetores Independentes (Neg)

(1)

Observaes:

A razo x1/x2 independe de

t, mas depende das

coordenadas de e de e

das constantes arbitrrias;

Logo toda trajetria est

contida em uma reta

contendo a origem;

O ponto crtico chamado

de n prprio ou ponto

estrela

1 0

0 1

A

2 2 1 0r r

1 2

1 0

0 1

t tc e c e

x

(1) (2)

1 2

rt rtc e c ex

(2)




Autovalores Repetidos com Dois

Autovetores Independentes (Neg)

N prprio Assintoticamente Estvel

-60 -40 -20 0 20 40 60

-60

-40

-20

0

20

40

60


x1

x2

-5 0 5-150

-100

-50

0

50

100

150


t

x1




Autovalores Complexos Com parte

Real Positiva

Soluo Geral:

Sendo os autovalores

Exemplo:


Soluo:

2 2

4 1

A

(1) (2)1 2t tc e cos t isen t c e cos t isen t x

2 6 0r r

1 1

2 21 2

4 423 23 23 23

3 23 3 23

t t

c e cos t isen t c e cos t isen ti i

x

1,2r i





Real Positiva

Observaes: Sistemas com autovalores so geralmente da forma:

Na forma polar:

Diferenciando as duas equaes:

Substituindo as equaes (1 e 2) nas duas equaes (3 e 4) e em seguida integrando, obtm-se:

O ponto crtico chamado de fonte espiral

1,2ir

1 1 2 2 1 2 (1) (2)x x x x x x

x x

2 2 2

1 2 2 1 tg = x xr x x

2 21 1 2 2 1 2 2 1 1(3) sec (4)rr x x x x x x x x x

tr r r ce

0t





Real Positiva

Fonte Espiral Instvel

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

-1

-0.5

0

0.5

1


x1

x2

-5 0 5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8


t

x1




Autovalores Repetidos com um

Autovetor independente

Soluo Geral:

Exemplo:


Clculo de

Soluo:

Observaes:

Quando t for muito grande o

termo ser dominante;

Quando autovalor tiver parte

real positiva o sistema ser

instvel, j se tiver parte real

negativa o sistema ser

assintoticamente estvel com

x1 e x2 tendendo a 0 por retas

tangentes ao autovetor ;

A origem chamada de n

imprprio

1 2( )rt rt rtc e c te e x

1 1

1 3

A

2 4 4 0r r

2

1 2

0.707 0.707 0

0.707 0.707 0.707

t rt rtc e c te e

x

1

r

A I

rtte




Autovalores Repetidos com um

Autovetor independente

N imprprio Instvel

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3


x1

x2

-5 0 5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10


t

x1





Real Negativa

Soluo Geral:


Exemplo:


Soluo:

1 3

3 1

A

2 2 10 0r r

1 23 3

3 3 3 32 3 2 3

t tcos t isen t cos t isen ti i

c e c e

x

1,2ir

(1) (2)1 2t tc e cos t isen t c e cos t isen t x





Real Negativa

Sorvedouro Espiral Assintoticamente Estvel

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6


x1

x2

-5 0 5-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80


t

x1




Autovalores Puramente Complexos

Soluo Geral:


Exemplo:


Soluo:

0 2

2 0

A

(1) (2)1 2c cos t isen t c cos t isen t x

2 4 0r

1 21

2 2 2 21

icos t isen t cos t isen t

ic c

x

1,2r i





Sistemas com autovalores puramente complexo so do

tipo:

Logo:

Observaes:

Como e r=0 as trajetrias do sistema so crculos centrados

na origem na direo horria

O ponto crtico chamado de Centro

0

0

x x

0 tr r r ce c 0t

0





Centro Estvel

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2


-5 0 5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

x1


Conceito de Estabilidade e

Estabilidade Assinttica




Conceitos de Estabilidade e


Seja o seguinte sistema autnomo:

Seja x0 um ponto critico do sistema (f(x0)=0)

Ponto Crtico Estvel:

se dado um , existe um tal que toda soluo do

sistema ,que satisfaz, em :

Existe para todo t positivo e satisfaz:

x f(x)

0(0) x

0( )t x

0 0

( )tx 0t




Conceitos de Estabilidade e


Ponto Crtico Assintoticamente Estvel:

Deve ser estvel

Se existe um com , tal que, se satisfaz

Ento:

00 0 ( )tx

0

0(0) x

0lim ( )x

t

x




Transformada de Fourier

Sinais

Peridicos e aperidicos;

Contnuos;

Permite melhor compreenso das freqncias presentes

em um sinal;

Simplificao de operaes (convoluo).





Definio:

Onde representa as freqncias do sinal;

: ( ) ( )

1: ( ) ( )

2

j t

j t

Direta X j x t e dt

Inversa x t X j e d




Desvantagem

A Transformada de Fourier s poder ser utilizada

quando sua integral convergir, limitando sua utilizao;

Para poder resolver casos como este que usa-se a

Transformada de Laplace, que uma generalizao da






Definindo a Transformada de Laplace:

Podemos perceber que quando a Transformada

de Laplace ser igual a Transformada de Fourier, pois

Transformada de Laplace Inversa:

( ) ( ) ,stX s x t e dt s j

0

s j

1( ) ( )

2

j

st

j

x t X s e dsj




Regio de Convergncia (ROC)

Constitui em todos os valores de s que existe a

Transformada de Laplace, ou seja, a integral abaixo

deve convergir.

( ) ( ) ,stX s x t e dt s j




Regio de Convergncia

Ex.: Calcule a Transformada de Laplace de x(t):

( )( )

0 0

00 ( )( )

1.) ( ) ( )

1( ) ( ) ,

Regio de Convergncia (ROC):Re( )

2.) ( ) ( )

1( ) ( ) ,

Regi

at

s a tat st a s t

at

s a tat st a s t

x t e u t

eX s e u t e dt e dt

s a s a

s a

x t e u t

eX s e u t e dt e dt

s a s a

o de Convergncia (ROC):Re( )s a




Plano-s

um plano que representa os valores possveis de s para

um sinal ou sistema. Onde o eixo-x representa a parte

Real de s e o eixo-y a parte Complexa de s.




Plos e Zeros

Ao calcular a TL de um sinal podemos identificar para

quais valores a TL ser zero ou tender ao infinito. Esses

valores so, respectivamente, os Zeros e Plos de X(s).

Suas importncias sero vistas mais adiante.

2 3 2 1( ) 3 ( ) 2 ( )2 1 ( 1)( 2)

1: : 1

2

Lt t sx t e u t e u ts s s s

sPlos Zero s

s




Propriedades

Deslocamento no tempo

( )

{ ( )} ( ) , Se ,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

st

s u s su s

Laplace s

L x t x t e dt u t t u

x u e du e x u e du e X s

x t e X s




Propriedades

Derivao no domnio do tempo

( ) ( )

( ) 1 1( ) ( )

2 2

( )( )

Laplace

j j

st st

j j

Laplace

x t X s

dx t dX s e ds sX s e ds

dt j dt j

dx tsX s

dt




Propriedades

Integrao no domnio do tempo

( ) ( ) ( )

1( ) , { } 0

1( ) ( ) ( ) ( )

t

Laplace

t

Laplace

x d u t x t

u t e ss

x d u t x t X ss




Propriedades

Convoluo

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Laplace

Laplace

st

st s

x t h t x h t d

x t h t x h t d e dt

x h t e dt d x e d H s

x t h t X s H s




TL de funes elementares

0

00

Funo Impulso:

{ ( )} ( ) (0) 1

Funo degrau:

1{ ( )} ( )

st

stst st

L t t e dt e

eL u t u t e dt e dt

s s




Resoluo de Equaes Diferenciais

utilizando a TL

Reduo de uma equao diferencial para uma equao

algbrica

Exemplo:

2

2

5 5 52 3 4

( ) ( ) 53 2 ( ) ( ), ( ) 5 ( )

5 5 3 2 ( ) ( )

( 1)( 2) 1 2

Laplaced y t dy t y t x t x t u tt dt s

s s Y s Y ss s s s s s s

25 5 5( ) ( )2 3 4

t ty t e e u t




Transformada de Laplace Unilateral

Bilateral Quando os limites da integral da Transformada vo de a

Unilateral Quando os limites da integral da Transformada vo de 0 a ,

indicando que o sistema causal e, particularmente para sistemas com equaes diferenciais e coeficientes constantes indica que h condies iniciais diferentes de zero.




Diferenciao da Transformada de

Laplace Unilateral

0

00 0

( ),

Aplicando o mtodo de integrao por partes

( ), e ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) (0 )

( )Portanto ( ) (0

st

st st

st st st

Laplace

dx te dt

dt

dx tu e dv du se dt v x t

dt

dx te dt e x t s x t e dt X s x

dt

dx tsX s x

dt

)




Anlise de sistemas LTI usando a


Sistema Causal

A resposta ao impulso desse sistema dever ser zero para t




Anlise de sistemas LTI usando a


Sistema Estvel

Definio: se o sistema for submetido a uma entrada limitada a

sada tambm ser limitada.

Logo, a resposta ao impulso deve ser absolutamente integrvel.

Prova:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t B

y t h x t d

y t h x t d

( ) ( )

Logo, para y(t) ser limitada

( )

y t B h d

h d




Sistema estvel

Note que para a Transformada de Fourier convergir deve-se obedecer os critrios de Dirichlet, que so: A funo deve ser unvoca (injetora);

Ter um nmero finito de descontinuidades em um intervalo finito;

Ter um nmero finito de mximos e mnimos em um intervalo finito;

A funo deve ser absolutamente integrvel;

Portanto, se a Transformada de Fourier da resposta ao impulso de um sistema existe, este sistema estvel.

*OBS.: a volta equivalente

( )h d




Sistema estvel

A Transforma de Fourier no grfico do plano-s

Como Portanto o eixo-jw

do grfico do plano-s equivale a Transformada de Fourier.

Conclui-se que se o eixo-jw pertencer a ROC, a Transformada de

Fourier convergir, a resposta ao impulso do sistema ser

absolutamente integrvel e, finalmente o sistema ser estvel

, se 0 logo s j s j




Sistema estvel

Relao entre localizao de plos, causalidade e estabilidade

Ex.:

H trs regies de convergncia possveis

Logo, se o sistema causal e os plos esto localizados no semi-plano esquerdo do grfico do plano-s o sistema ser estvel e se os plos estiverem no semi-plano direito o sistema ser instvel.

Zero: 22Suponha ( )

Plos: 3 e 1( 3)( 1)

ssH s

s ss s

{ } 1 Causal e instvel

3 { } 1 No-causal e estvel

{ } 3 Anti-causal e instvel

e s

e s

e s




Atratores

Atrator o conjunto de pontos no espao de fase para o qual um sistema dinmico tende a seguir.

Metaforicamente seria como se, no tempo infinito, a trajetria fosse atrada.

Atrator puntiforme: localizados em sistemas que atingem equilbrio estvel.

Atratores peridicos: localizados em sistemas com oscilaes peridicas, ciclos limites.

Atratores Estranhos: sistemas caticos

Ciclos Limites




Ciclos Limites

Para solues peridicas de

sistemas autnomos

(invariantes no tempo) de

segunda ordem da forma:

Uma trajetria fechada no

plano de fase tal que outras,

seja por dentro ou por fora,

tendam a ela quando

chamada de ciclo limite.

x f x

t




Classificao

O ciclo limite pode ser classificado como:

Estvel: Trajetrias nem se aproximam nem se afastam do ciclo

limite.

Assintoticamente estvel: todas as trajetrias se aproximam do

ciclo limite quando . Esse tipo de estabilidade comumente

chamado de estabilidade orbital.

Semi-estvel: as trajetrias de um lado se aproximam, enquanto as

do outro lado se afastam do ciclo limite quando .

Instvel: as trajetrias se afastam do ciclo limite quando .

t

t

t




Teoremas

Nem sempre possvel verificar a existncia de um

ciclo limite. Para isso, existem 3 teoremas gerais para

verific-la.

Considere as funes F e G, tendo derivadas parciais

de primeira ordem contnuas em um domnio D do

plano xy.

Sejam: e

,dx

F x ydt

,dy

G x ydt




Teoremas

Teorema 1 Uma trajetria fechada do sistema deve conter pelo menos um

ponto crtico em seu interior. Se este for nico, necessariamente, no de sela.

Tambm utilizado de maneira inversa: se uma regio no contem pontos crticos, no podem existir trajetrias fechadas inteiramente contidas na regio.

Teorema 2 Sejam as derivadas parciais de F e G em um domnio

simplesmente conexo D. Se Fx e Gy tem o mesmo sinal em todos os pontos de D, no existe trajetria fechada do sistema inteiramente contida em D.

Caos e Atratores Estranhos




Caos Determinstico

Sistemas com modelagem simples mas com

comportamento complexo;

Sadas determinadas, mas hipersensveis s condies

iniciais;

Imprevisibilidade;




Caos Determinstico

Esse fenmeno pode ser observado em modelagens com equaes diferenciais ordinrias no-lineares. Exemplos: Mecnica clssica, reaes qumicas, meteorologia, plasmas,

sistemas biolgicos, dinmica de populaes, circuitos eletrnicos, efeito borboleta, etc.

Dificuldades: Impreciso na previso de estados em longos intervalos de tempo




Equaes de Lorenz

A partir do estudo da conveco do ar na atmosfera,

Lorenz chegou ao seguinte sistema de equaes:

( )dx

y xdt

dyrx y xz

dt

dzxy bz

dt

10, 2.667e 28b r

Tcnica de Linearizao de Sistemas

No-Lineares




Sistemas Quase Lineares

Perturbaes nos coeficientes refletem em perturbaes

nos autovalores;

Os autovalores da matriz de coeficientes A determinam

o tipo de ponto crtico em x=0;

Situaes mais sensveis:

Quando os autovalores so imaginrios puros (centro), a

perturbao gera uma componente real podendo estabilizar ou

desestabilizar o sistema;

Quando os autovalores so reais e iguais (n), a perturbao muda

a trajetria do n e caso os autovalores sejam complexos e iguais,

a perturbao gera um ponto espiral;




Tcnicas de Linearizao de

Sistemas

A linearizao uma aproximao em torno de um

ponto de operao, ela s pode levar predio do

comportamento do sistema em uma vizinhana deste

ponto





Sistemas

Caso mais Simples:

srie de Taylor para : , com n = 1 e em torno do ponto

:

Fazendo uma aproximao linear:

Seja

Se a funo possui n variveis :

:f

z z

2 31( ) ( ) ( )( ) ( )( ) (( ) )2

f x f x f x x x f x x x O x x

( ) ( ) ( )( )f x f x f x x x

y x x

( ) ( ) ( )f x y f x f x y

1 1 1 1 1 1

1

( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., ) ... ( ,..., )n n n n n nn

f x y x y f x x f x x y f x x yx x

: nf





Sistemas

Em notao vetorial:

Considerando n funes de n variveis

1

1 1

1 1 1

1

( ,..., )

( ,..., )

( ,..., )

T

n

n n n

nn

n

f x xx y

f x x y y f x x

yf x x

x

( ) ( )Tf f f x y x x y

1 11 1 1

1

2 2 2

1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

T

nT

Tn nn n n

n

f ff f fx x

f f f

f ff f fx x

x xx y x x y

x y x x yf x + y f x y

x xx y x x y





Sistemas

Resumindo:

Seja o sistema:

Seja um ponto de equilbrio, ento:

Tomando

Se o ponto de equilbrio for na origem:

( ) f x + y f x Fy

x f(x(t))

nx

0f(x)

x(t) = x + y(t)

y = f(x + y(t)) f(x) + Fy(t) y Fy(t)

x Fx(t)

Anlise de estabilidade de Liapunov




Anlise de Estabilidade de Liapunov

Funo Positiva Definida: V(x,t) definida em um domnio D contendo a origem;

e em todos os pontos de D;

Funo Negativa Definida: V(x,t) definida em um domnio D contendo a origem;


Funo Positiva Semidefinida: V(x,t) definida em um domnio D contendo a origem;


Funo Negativa Semidefinida; V(x,y) definida em um domnio D contendo a origem;


( , ) 0 V t x(0, ) 0 t V

(0, ) 0 t V

(0, ) 0 t V ( , ) 0 V t x

( , ) 0 V t x

(0, ) 0 t V ( , ) 0 V t x





Se o sistema no linear, o segundo mtodo de

Liapunov bastante til, uma vez que no necessrio a

resoluo do mesmo;

O principio de Liapunov uma generalizao de dois

princpios fsicos para sistemas conservativos:

Uma posio de repouso estvel se a energia potncial um

mnimo local, caso contrrio instvel;

A energia total constante durante todo o movimento;





A dificuldade dos teoremas de Liapunov est no fato de

no existir uma regra para a construo da funo de

Liapunov;

Geralmente em problemas fsicos considera-se a funo

de Liapunov como a energia total do sistema;





Teorema de Liapunov Relacionado a Estabilidade:

Supondo um sistema descrito por:

,para todo t

Se existe uma funo escalar tendo as primeiras derivadas parciais

continuas e satisfazendo as seguintes condies:

V(x,t) positiva definida;

V(x,t) negativa definida;

Ento o ponto crtico na origem assintoticamente estvel

Se : para , ento o estado de equilbrio na

origem assintoticamente estvel de forma global

( ) ( , )t tx f x (0, ) 0t f

( , )V t x x







,para todo



V(x,t) positiva definida;

V(x,t) negativa semidefinida;

V((t;x0, t0),t) no se anulando em para qualquer t0 e

qualquer

Logo o ponto crtico na origem assintoticamente estvel

globalmente

( ) ( , )t tx f x (0, ) 0t f 0t t

0x x0t t







,para todo



V(x,t) positiva definida em uma certa regio ao redor da origem;

V(x,t) positiva definida na mesma regio;

Ento o ponto crtico na origem Instvel

( ) ( , )t tx f x (0, ) 0t f 0t t




Estabilidade de Liapunov para Sistemas

Lineares Invariantes no Tempo

Seja o sistema:

Para o sistema ser positivo definido escolhe-se uma

possvel funo de Liapunov:

Onde P uma matriz positiva hermitiana (se x um vetor

real)

( ) TV x x Px

( )

( )

( )

T T

T T

T T T

T T

V

x x Px x Px

Ax Px x PAx

x A Px x PAx

x A P PA x

( ) ( )t tx Ax




Estabilidade de Liapunov para Sistemas

Lineares Invariantes no Tempo

Pela definio de estabilidade assinttica Q deve ser

positiva definida:

Onde Q :

( ) TV x x Qx

( )T Q A P PA

Soluo de Equaes Diferenciais

No-Homogneas




Quer-se resolver:

Supondo que a soluo seja na forma de uma srie de potncias vetoriais:

Substituindo a Equao (2) na equao (1)

Igualando os respectivos coeficientes:

A Matriz Exponencial

2( ) ... ... (2)kt t t t k0 1 2

x b b b b

2 2 32 3 ... ... ... ...k kt t t k t t t t t 1 2 3 k 0 1 2 3 kb b b b A b b b b b

2

1 1

3 3 2

...

1 1 1

2 2 !

k

k

3

1 0 3 2 0

2 1 0 k 0

b Ab b Ab A b

b Ab A b b A b

( ) ( ) (1)t tx Ax




Substituindo t =0 na equao (2) obtm-se:

Devido a similaridade com a srie infinita de potncias

para uma exponencial escalar, essa matriz chamada de

exponencial:

Soluo final:

A Matriz Exponencial

(0) 0

x b

21 1... ...2! !

k tt t t ek

2 k AI A A A

21 1( ) ... ...2! !

kt t t tk

2 kx I A A A x(0)

( ) tt e Ax x(0)




Solues de Equaes de Estado no

Homogneas (Por Transformada de Laplace)

Seja o seguinte sistema no Homogneo:

Aplicando a transformada de Laplace:

Multiplicando ambos os lados por :

( ) ( ) ( ) ()t t t x Ax Bu

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

1 1

( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( )

( ) ( ) (0) ( ) ( )

s s s s s s s s

s s s s s s s s

s s s s s s

s s s s

I A X I A x I A AX I A BU

I A X I A AX I A x I A BU

I A I A X I A x I A BU

X I A x I A BU ()

( ) (0) ( ) ( ) ()s s s s X x AX BU

1( )s I A




Solues de Equaes de Estado no

Homogneas (Por Transformada de Laplace)

Note que:

Logo, aplicando a transformada inversa de Laplace em:

Caso t0 seja diferente de 0:

21

2 3( ) ( ...)

I A As

s s s

I A

2-1 1[( ) ] ...

2!

tts t e 2

AAI A I A

L

( ) [ ] (0) [ ] ( )t ts e e s A AX x BUL L

0

0

( ) ( )

0( ) ( ) ( )t

t t t

tt e t e t d

A Ax x Bu

( ) ( )

0( ) (0) ( )

tt tt e e t d

A Ax x Bu




Exemplo de Soluo de um Sistema de

Equaes Diferenciais no Homogneo

Obtenha a resposta temporal do seguinte sistema:

Sabe-se que a soluo geral para o sistema :

v(t)

L

CR

iL(t) iC(t)

iR(t)

N 1

1 1 0( )

11 0

1 0

C C

L L

C

R

L

v vRC Cv t

i iLL

vi

R i

( ) ( )

0( ) (0) ( )

tt tt e e d

A Ax x Bu






Primeiro deve-se achar a soluo do sistema

homogneo:

A matriz de transio de estados dado por:

Logo:

( )( ) (0)tt e Ax x

-1 1[( ) ] ts e AI AL

1 1 1 1 1 100( )

0 1 1 10 0

s ss RC C RC C RC Cs

s s sL L L

I A

22 211

12 11

1( )

det( )

a as

a as

I AI A




Supondo R=0.2, C=1, L=0.25



-1

2

11

( )1 1 1

sC

ss ss L RC

RC LC

I A

-1

2

1

1 ( 1)( 4) ( 1)( 4)1( )

4 5 4 55 4

( 1)( 4) ( 1)( 4)

s

s s s s ss

s ss s

s s s s

I A

4 4

-1 1

4 4

1 4 1 4

3 3 3 3[( ) ]

1 4 4 1

3 3 3 3

t t t t

t

t t t t

e e e e

s e

e e e e

AI AL




Substituindo na equao de x(t) e calculando as

convolues:



( ) ( )

0

( ) 4( ) ( ) 4( )

( )

04 ( ) 4( )

( ) (0) ( )

1 4 1 4

03 3 3 3( ) (0) ( )

1 4 4 1 4

3 3 3 3

tt t

t t t t

tt

t t t t

t e e d

e e e e

t e d

e e e e

A A

A

x x Bu

x x u

4

( )

4

4 4

3 3( ) (0)

16 15

3 3

t t

t

t t

e e

t e

e e

Ax x






Por fim:

Caso as condies iniciais

sejam nulas:

4 4 4

4 4 4

1 4 1 4 4 4

(0)3 3 3 3 3 3

(0)1 4 4 1 16 15

3 3 3 3 3 3

t t t t t t

C C

t t t t t tL L

e e e e e ev v

i ie e e e e e

4

4

4 4

3 3

16 15

3 3

t t

C

t tL

e ev

ie e

420 201 03 3

c t t

r r

l

vi i e e

R i

Controlabilidade e Observabilidade




Controlabilidade de Estado

O processo dito completamente controlvel se cada

varivel de estado pode ser controlada para atingir um

certo objetivo em um tempo finito;

Considere o sistema de tempo contnuo:

O sistema dito controlvel em t=t0 se possvel

construir um sinal de controle no limitado que

transferir um estado inicial para qualquer estado final

em um intervalo de tempo finito

( ) ( ) ( ) (1)t t t x Ax Bu




Controlabilidade de estado

Considerando t0=0, a soluo da Equao (1) :

Aplicando a definio:

Sabe-se que:

Substituindo (3) em (2) tem-se:

( ) ( )

0( ) (0) ( )

tt tt e e t d

A Ax x Bu

11 1( ) ( )

10

( ) 0 (0) ( )t

t tt e e d

A A

x x Bu1

0(0) ( ) (2)

t

e d A

x Bu

1

0

( ) (3)n

t k

ke a

A A

11

00

(0) ( ) ( )n t

k d

kx A B a u




Controlabilidade de estado

Para facilitar a visualizao:

A equao (4) pode ser arranjada da seguinte forma:

Se o sistema completamente controlvel, dado

qualquer estado inicial x(0), a equao (4) deve ser

satisfeita. Ou seja, a matriz no singular

1

0( ) ( )

t

k d ka u

0

111

0

(0) (4)n

k n

i

k

B AB A

kx A B

1nB AB A

Observabilidade




Observabilidade

O processo dito completamente observvel se todo

estado x(0) pode ser pode ser determinado a partir da

observao de y(t) durante um intervalo de tempo finito.

Considere o sistema de tempo contnuo:

O sistema dito observvel em t=t0 se possvel

determinar um sistema com certa entrada a partir da

observao de sua sada durante um intervalo de tempo

finito.

( ) ()

+ ()

t t t

t t t

x Ax Bu

y( ) = Cx Du




Observabilidade

A importncia do conceito de observabilidade se d pela

no acessibilidade por mediao direta no controle por

realimentao de estado, sendo necessrio ento estimar

a varivel de estado no mensurvel para construir sinais

de controle.

Como feito anteriormente, observe que:

Logo:

( ) ( )

0( ) (0) ( )

tt tt e e d

A Ax x Bu

( ) ( )

0( ) (0) ( )

tt tt e e d

A Ay C x C Bu Du




Observabilidade Completa em

Tempo Contnuo

Observe que :

Logo:

Como as matrizes A, B, C e D so conhecidas, assim

como u(t), a sada y(t) conhecida.

( ) ( )

0( ) (0) ( )

tt tt e e d

A Ax x Bu

( ) ( )

0(0) ( )

tt te e d

A Ay(t) C x C Bu Du




Verificao da condio de

Observabilidade Completa

Sejam:

O sistema completamente estvel se a matriz

tiver posto n, ou se tiver n vetores colunas linearmente

independente.

Obs: Lembre-se que a adjunta de B igual a sua conjugada

transposta.

( )

+

t t t

t t t

x Ax Bu

y( ) = Cx Du

1

* * * n

* *

C A C A C

* TB B




Verificao da condio de

Observabilidade Completa

Tambm possvel verificar se um sistema

completamente estvel no domnio da freqncia.

Se na funo de transferncia ou matriz de transferencia

no houver cancelamento, o sistema completamente

observvel.

Se houver, no possvel afirmar nada sobre sua

observabilidade.




Exemplo

Verificando a observabilidade no exemplo do circuito

anteriormente utilizado. Utilizando o sistema obtido,

observe:

v(t)

L

CR

iL(t) iC(t)

iR(t)

N 1

1 1 0( )

11 0

1 0

C C

L L

C

R

L

v vRC Cv t

i iLL

vi

R i




Exemplo

Observe que Linearmente Independente,

logo, o sistema completamente observvel.

1 1 0( )

11 0

1 0

C C

L L

C

R

L

v vRC Cv t

i iLL

vi

R i

1 1

1 0

1 0

RC C

L

R

A

C

2* *

11/R =

10

R C

RC

*C A C

2* *

*

11 1 1

1 10 0

1

0

RC L R CRA C

C RC

R

C

* * *

C A C




Exemplo

Veja novamente:

Como no houve cancelamento, verifica-se a completa

observabilidade do sistema.

1 1 0( )

11 0

1 0

C C

L L

C

R

L

v vRC Cv t

i iLL

vi

R i

s s s s

s s

X AX BU

Y CX

s

s

X B

U s A

s

s

YC

X

s

s

Y CB

U s A

Aplicaes

Levitao Magntica




Levitador Magntico

O objetivo do sistema controlar a posio da bola

ajustando a corrente nas bobinas atravs da tenso de

entrada e(t):




Principio de Funcionamento

Principio de funcionamento:




Modelagem Matemtica

Modelo Matemtico:

Analisando o equilbrio de

foras existente na bola:

A bobina pode ser modelada

como uma resistncia em srie

com uma indutncia:

2 2

2

( ) ( )

( )

d y t i tM Mg

dt y t

( )( ) ( )

di te t Ri t L

dt

e(t) R i(t)

L

Mg

i(t)2/y(t)




Modelo no Espao de Estados

Definindo as variveis de estado:

Pode-se escrever as seguintes equaes de estado:

1

2

3

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

x t y t

dy tx t

dt

x t i t

1

2

( )( )

dx tx t

dt

2 2

3 32 2

1 1

( ) ( )( ) ( ) 1

( ) ( )

x t x tdx t dx tM Mg g

dt x t dt M x t

3 3

3 3

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

dx t dx t e t Re t Rx t L x t

dt dt L L




Linearizao do Sistema

Linearizando o sistema:

Primeiramente define-se um ponto de equilbrio para a posio:

Define-se os outros pontos de equilbrio a partir do primeiro:

1 1( ) Constantex t x

1

2

dx (t)= =0 Constante

dtx

222 2

31

2 2

1

3 1

( )( )( ) ( )

( ) ( )

( ) Constante

x td x td y t i tM Mg M Mg

y t x tdt dt

x t Mgx





Linearizando o sistema em torno dos pontos de

equilbrio determinados:

A matriz de estado pode ser obtida pelo jacobiano. Seja:

1 11 2

12 2

3 3 3

2 2

1 11

13 3

( ) ( )( ) ( ) 0 1 0

( )1( ) 0 2

( )

( ) ( )( )( ) ( ) 0 0

n

n n

n

f ff x tx x

x t x xf g

M x t MxMx

f fe t R Rx xf x t

L L L

x xx

x A

x xx





Com mais algumas manipulaes:

2

3 3

2

1 1 11

0 1 00 1 0

0 2 0 2

0 0 0 0

x x g g

Mx x MxMx

R R

L L

A 3 1( )x t Mgx

0

0

1

L

B




Modelagem Completa

Considerando nossa sada a posio da bola, o sistema

completo representado no espao de estados :

1 1

2 2

1 1

3 3

1

2

3

0 1 00

0 2 0 ( )

1

0 0

( ) 1 0 0

x xg g

x x e tx Mx

x xR

LL

x

y t x

x




Modelagem Completa

Substituindo os valores:

L = 10 mH

R = 1 Ohm

M = 0.765625 kg

g = 9.8 m/s2

1 1

2 2

3 3

1 1

2 2

3 3

0 1 00

9.8 9.80 2 0 ( )

0.05 0.05 0.765625100

0 0 100

0 1 0 0

196 0 32 0 ( )

0 0 100 100

x x

x x e t

x x

x x

x x e t

x x

1x = 0.05m




Estabilidade e Controlabilidade

Estabilidade Segundo Liapunov

O sistema instvel segundo Liapunov, uma vez que no

possvel encontrar uma matriz P real positiva definida tal que ,

onde Q uma matriz positiva definida qualquer

Apesar de ser instvel o sistema controlvel e observvel para a

varivel y(t):

T A P PA Q

1

0 0 3200

0 3200 320000

100 10000 1000000

nB AB A

2

* * *

1 0 0

0 1 0

196 0 32

* *C A C A C




Resoluo do Sistema

Calculemos a soluo do sistema:

0 0 0 1 0 1 0

( ) 0 0 196 0 32 196 32

0 0 0 0 100 0 0 100

s s

s s s

s s

I A

1

s 1 32

(s-14)(s+14) (s-14)(s+14) (s + 100) (s + 14) (s - 14)

196 s -32s( )

(s - 14) (s + 14) (s - 14) (s + 14) (s + 100) (s + 14) (s - 14)

10 0

s+100

s

I A

( ) ( )

0( ) (0) ( )

tt tt e e d

A Ax x Bu




Resoluo do Sistema

14 14 14 14 14 14 100

-1 1 14 14 14 14 14 14 100 ( )

100

1 1 1 1 4 4 8

2 2 28 28 399 301 2451

1 1 8 8 800[( ) ] 7 7

2 2 57 43 2451

0 0

t t t t t t t

t t t t t t t t

t

e e e e e e e

s e e e e e e e e

e

AI AL

( ) ( )

0

14( ) 14( ) 14( ) 14( ) 14( ) 14( ) 100( )

( ) 14( ) 14( ) 14( ) 14( ) 14( ) 14(

( ) (0) ( )

1 1 1 1 4 4 8

2 2 28 28 399 301 2451

1 1 8 8( ) (0) 7 7

2 2 57 43

tt t

t t t t t t t

t t t t t t

t e e d

e e e e e e e

t e e e e e e e

A A

A

x x Bu

x x) 100( )

0

100( )

0800

0 ( )2451

1000 0

tt t

t

e d

e

u




Resoluo do Sistema

14( ) 14( ) 100( )

( ) 14( ) 14( ) 100( )

0

100( )

4 4 8

399 301 2451

8 8 800( ) (0) 100 ( )

57 43 2451

t t t

tt t t t

t

e e e

t e e e e d

e

A

x x u

14 14 100

( ) 14 14 100

100

200 200 200 200

2793 2107 61275 1225

400 400 800(0)

399 301 2451

1

t t t

t t t t

t

e e e

e e e e

e

Ax

14 14 14 14 14 14 100

14 14 14 14 14 14 100

100

14 14

1 1 1 1 4 4 8

2 2 28 28 399 301 2451 0.051 1 8 8 800

( ) 7 7 02 2 57 43 2451

9000 0

2399

200 200

2793 2107

t t t t t t t

t t t t t t t

t

t

e e e e e e e

t e e e e e e e

e

e e

x

100

14 14 100

100

200 200

61275 1225

400 400 800

399 301 2451

1

t t

t t t

t

e

e e e

e




Resoluo do Sistema

14 14 14 14 14 14 100

14 14 14 14 14 14 100

100

14 14

1 1 1 1 4 4 8

2 2 28 28 399 301 2451 0.051 1 8 8 800

( ) 7 7 02 2 57 43 2451

9000 0

2399

200 200

2793 2107

t t t t t t t

t t t t t t t

t

t

e e e e e e e

t e e e e e e e

e

e e

x

100

14 14 100

100

200 200

61275 1225

400 400 800

399 301 2451

1

t t

t t t

t

e

e e e

e

-2 14 -1 14 -3 100 -1

14 14 -1 100

100

( ) 9.2847 10 1.2491 10 4.4885 10 1.6327 10

( )-1.7487 1.2999 4.4885 10

1.3752( )

t t t

t t t

t

y te e e

dy te e e

dte

i t




Controlador PID

Esto presentes as melhores caractersticas dos

controladores PI e PD

0

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ti

p i d p d

kde tu t k e t k e d k k e s e s sk e s

dt s




Controlador PID

Termo de caracterstica integral:

Reduz ou elimina erros estacionrios;

Acaba reduzindo a estabilidade e o amortecimento do sistema;

Termo de caracterstica derivativa

Antecipa a ocorrncia do erro;

Aumenta o amortecimento do sistema;

Sensvel a rudos

Resumo das caractersticas:




Diagrama de Blocos do Sistema

Controlado




Sistema Controlado

1

planta 3 2

-3200(s) =[ ( ) + ]

(s +100s -196s-19600)s G C I A B D

Aplicaes

Conversor CC Buck-Boost




Devido a grande utilizao de tenso contnua em equipamentos

eletrnicos, viu-se a necessidade de obter maiores conhecimentos

sobre conversores CC.

Conversor buck-boost: Alimentado por uma fonte de tenso

contnua, regulada ou no, fornece tenso contnua regulada de

polaridade oposta, de magnitude diferente ou igual.

A tenso regulada atravs do chaveamento de tenso contnua,

atravs de equipamentos de potncia.

Buck-Boost




Consideraes

Resistncias internas dos componentes nulas.

As variveis de estado so a corrente sobre o indutor de entrada e a

tenso sobre o capacitor de sada.

Condies iniciais nulas.

Uma funo de chaveamento q(t), que admite 2 valores apenas

utilizada:

O valor mdio de q(t) em um perodo de tempo denominado razo

cclica (D)

0 ; para chave aberta ( )

1; para chave fechadaq t




Modelagem

Para q = 1:

Para q = 0:

0 0

0

inLvdi

dt L

dv v

dt R C

0

0 0

0

L

L

vdi

dt L

dv vi

dt C R C

Pontos crticos:

0 0Li v

0 0Li v




Modelagem

Somando as equaes e

limitando sua existncia com a

funo de chaveamento, obtm-

se:

Simplificando:

0

0 0 0

0 0

1

1

inL

L

v vdiq q

dt L L

dv v v iq q

dt R C R C C

0

0 0

0

11

1

Lin

L

div q v q

dt L

dv viq

dt C R C




Modelagem

Considerando

simplifica-se a expresso, facilitando sua visualizao.

Assim, pode-se representar o sistema por matrizes:

1 1

22

0

1

2

10 1 1

1 11 0

1 0

0 1

in

qx x qL

vLx

qxC R C

xy

x

1 1

00 2 2

LL

dii x x

dx

dvv x x

dx




Modelagem

As matrizes esto da forma , tal que:

0

10 1 1

1 1

1 0

1 0

0 1

qqL

L

qC R C

A B

C

( )

+

t t t

t t t

x Ax Bu

y( ) = Cx Du




Modelagem

Para q = 1 (chave fechada), tem-se os pontos crticos:

Considere:

R = 19,2

L= 0,44mH

C = 100F

Vin=u1=180V

0

1 2

0

0

Li v

x x

0

0 0 1

10

0

1 0

0 1

L

R C

A B

C

11

22

0

1

1

dxu

dt L

dxx

dt R C

1

520.83

2

409.1Lt

o

x i kt A

x v e V




Modelagem

Para q = 0 (chave aberta),

tem-se os pontos crticos:

0

1 2

0

0

Li v

x x

0

10

0

1 1 0

1 0

0 1

L

C R C

A B

C

(1)

(2)

0.0235 0.4297

0.9027

0.0235 0.4297

0.9027

i

i

1

1

3

3

0.2604 4.702 10

0.2604 4.702 10

i

i

De autovalores e

autovetores:




Modelagem

0 2 4 6 8 10-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


x1

x2

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200


t

x2




Concluso

A modelagem no espao de estado de sistemas facilita a

resoluo de equaes diferenciais de ordem elevada;

Importncia na anlise do comportamento de sistemas

Estabilidade / Estabilidade assinttica / Instabilidade;

Observabilidade;

Controlabilidade;




Bibliografia

OLIVEIRA, Demercil S.; TOMASELLI, Luis C., Estudo de um conversor cc-cc buck boost, Florianpolis/UFSC

OPPENHEIM A. V. e WILLSKY A. S., Signals & Systems (2 edio), Ed. Prentice-Hall, 1997.

SANTOS, E.M.; Caos no circuito de Chua-Matsumoto. USP

Sobrenome, nome, titulo, endereo, data, hora com minutos

NUNES, Ana; GAMA, M. T. Dinmica no-linear e caos, http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo1/topico3.php, 28/08/08, 13:00;

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BARROSO, M. S.; Alguns sistemas caticos, http://www.geocities.com/marciosantosbarroso/texto3.htm, 28/08/08, 13:00.

OGATA, K., Engenharia de controle moderno. 3a Edio, Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro, 1995. Franklin, G. F.; Powell, J. D;




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GOMES, Rafael. Um experimento para ilustrar o sistema de levitao eletromagntica utilizado em trens MAGLEV. UFRJ;

ZUBEN,Von. Tcnicas de Linearizao de Sistemas. FEEC/Unicamp;

SOUSA, Bruno; MARQUES, Srgio. Controlo de um Sistema de Levitao Magntica. ESTT;

LOTUFO, Francisco A. Controle PID. FEG;

MELO, Marco. Ensino de sistemas de controle usando aplicaes reais em engenharia eltrica.UPM;

DOS SANTOS, Juliana; BONFIM, Lcia. Algumas Aplicaes e Teoria Qualitativa das Equaes Diferenciais Ordinrias. FAMAT/UFU.

MEZA, Magno. Introduo ao ao controle de sistemas no lineares. UFRJ

2008.1 - Modelagem No Espaço de Estados

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