2010.2 - TRANSP20AA
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REVISÃO Dado o circuito na figura (a), achar a resposta à entrada dada na figura (b), de 3 maneiras diferentes. A decomposição da entrada em soma de funções primitivas é mostrada na figura (c). ) 3 ( 4 ) 3 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 2 2 1 t U t U t U t U t i
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REVISÃO
Dado o circuito na figura (a), achar a resposta à entrada dada na figura (b), de 3 maneiras diferentes. A decomposição da entrada em soma de funções primitivas é mostrada na figura (c).
)3(4)3(2)(2)(2)( 1221 tUtUtUtUti
REVISÃO
Método 1: baseado na linearidade do circuito, a resposta à rampa (U-2(t)), que vamos chamar de p(t), é a integral da resposta ao degrau (U-1(t)), que é r(t).
Cálculo de r(t):
)()()(
0)()(
)( tidt
tdeC
R
te
dt
tdeC
R
teti
Solução homogênea:
RCtKte
RCxRCxR
te
dt
tdeC
/)(
/10/10)()(
RteRtedt
tdeC )(1/)(
)(Solução particular:
REVISÃO
Método 1: Cálculo de r(t):
Solução completa:
RKte RCt /)( Cálculo de K:
)()1()()(
00)0()0(
1/
0
tURtrte
RKRKeeRCt
Como C = 1F e R = 1:
)()1()( 1 tUtr t
REVISÃO
Método 1: Resposta à rampa:
1)1()(
)()1()()(
00
0
1
tttt
tt
tdtp
dUdrtp
Já temos r(t) e p(t). Assim, para a entrada dada, a resposta e(t) será:
tte
tte
tptrt
trtptptrte
tUtUtUtUti
t
tt
244)(
)1(2)1(2)(
0)3()3(30
)3(4)3(2)(2)(2)(
)3(4)3(2)(2)(2)(
1
1
1221
REVISÃO
Método 1:
)2(2)(
)1(422)3(2244)(
)3(4)3(2)(3
3
)3()3(
1
t
ttt
te
ttte
trtptet
Resposta método 1:
)2(2)(:3
244)(:30
0)(:0
3
t
t
tet
ttet
tet
REVISÃO
Método 1: Resposta gráfica:
)2(2)(:3
244)(:30
0)(:0
3
t
t
tet
ttet
tet
REVISÃO
Método 2: conhecendo a resposta ao impulso (h(t)), a resposta a qualquer entrada f(t), baseada no Teorema da Convolução, usando-se a Integral de Superposição, é dada por:
dthfty )()()(
Para um sistema real (realizável!), podemos substituir os limites da integração por 0 e t. Assim:
t
dthfty0
)()()(
REVISÃO
Método 2: resposta ao impulso, h(t): para o circuito dado, repetido aqui, o impulso unitário simplesmente carrega o capacitor instantaneamente, em t = 0, com uma tensão igual a 1/C. Assim, só temos a solução homogênea, com a condição inicial e(0+) = 1, no nosso caso.
)()(
11)0()()(
/10/10)()(
1
0/
tUth
KKeKthte
RCxRCxR
te
dt
tdeC
t
RCt
REVISÃO
Método 2: nossa função pode ser decomposta em 3 funções, baseadas nos intervalos definidos:
tt
t
ttt
t
t
dty
dthfdthftyt
tdty
dthfdthftyt
dthftyt
tft
ttft
tft
)2(20)22()(
)()()()()(:3
424)22(0)(
)()()()()(:30
0)()()(:0
0)(:3
22)(:30
0)(:0
33
0
)(
3
3
0
0
)(
0
0
REVISÃO
Método 2: Resposta:
t
t
tyt
ttyt
tyt
)2(2)(:3
424)(:30
0)(:0
3
Obviamente idêntica ao método 1!
REVISÃO
Método 3: tendo a solução homogênea, a resposta particular para 0<t<3 é:
ttedt
tde22)(
)(
Tentando-se:
4;2
22)(
BA
tBAtABAtteP
Solução completa:
ttet
KKe
tKte
t
t
244)(:30
4040)0(
24)(
REVISÃO
Método 3: para t > 3, a entrada é 0 e só temos a solução homogênea/complementar:
tKte )(
Só que agora o circuito tem uma energia armazenada antes de t = 3, na forma de tensão no capacitor, que é o próprio e(t). Assim, e(3-) = e(3+)= valor de e(t) no final do intervalo (0,3):
342)3()3( ee
Substituindo para t = 3 na equação acima:
4242)3( 333 KKe
REVISÃO
Método 3: para t > 3, a resposta é: tte )2(2)( 3
A resposta completa do método 3 é:
t
t
tyt
ttyt
tyt
)2(2)(:3
424)(:30
0)(:0
3
Que é igual às outras duas anteriores!
Graças a Deus...
