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No caso da folha de rosto levar texto, colocar numa caixa só a partir desta guia

Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de março

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

Prova Escrita de Matemática A

12.º Ano de Escolaridade

Prova 635/1.ª Fase 8 Páginas

Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.

2012

VERSÃO 1

Na folha de respostas, indique de forma legível a versão da prova (Versão 1 ou Versão 2). A ausência dessa indicação implica a classificação com zero pontos das respostas aos itens do Grupo I.

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta, exceto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, de desenhos ou de outras representações, que podem ser, primeiramente, elaborados a lápis, sendo, a seguir, passados a tinta.

Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que for necessário.

Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deve riscar de forma inequívoca aquilo que pretende que não seja classificado.

Escreva de forma legível a numeração dos grupos e dos itens, bem como as respetivas respostas.

As respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos.

Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.

Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas:• o número do item;• a letra que identifica a única opção escolhida.

Não apresente cálculos, nem justificações.

A prova inclui, na página 2, um Formulário.

As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.

Prova 635.V1/1.ª F. • Página 1/ 8


Formulário

Geometria

Comprimento de um arco de circunferência:

, , ;âr amplitude em radianos do ngulo ao centro r raioa a- -^ h

Áreas de figuras planas

Losango: Diagonal maior Diagonal menor2#

Trapézio: Base maior Base menor Altura2

#+

Polígono regular: í óSemiper metro Ap tema#

Sector circular:

, , ;âr amplitude em radianos do ngulo ao centro r raio2

2a a- -^ h

Áreas de superfícies

Área lateral de um cone: ;r g r raio da base g geratrizr - -^ h

Área de uma superfície esférica: 4 r raio2 -rr ] g

Volumes

Pirâmide: Área da base Altura31# #

Cone: Área da base Altura31# #

Esfera: r r raio34 3r -] g

Trigonometria

a b a b b asen sen cos sen cos+ = +] g

a b a b a bcos cos cos sen sen+ = -] g

a ba b

a b

1tg tg tg

tg tg+ =

-

+] g

Complexos

cis cis nnt i t= n i^ ^h h

, ,cis cisnk k n n2 0 1 e Nn n f! !t i t i r= + -b ]l g! +

Probabilidades

é ã, ,

,

,

,

p x p x

p x p x

X N

P X

P X

P X

0 6827

2 2 0 9545

3 3 0 9973

:Se ent o

n n

n n

1 1

1 12 2

f

f

1 1

1 1

1 1

.

.

.

n

v n n

n v

n v n v

n v n v

n v n v

= + +

= - + + -

- +

- +

- +

] ^

]

]

]

]

g h

g

g

g

g

Regras de derivação

u

u

u

u

u

u

sen cos

cos

tgcos

ln

ln

logln

sen

u v u v

u v u v u v

vu

vu v u v

u n u u n

u u u

u u

uu

e e

a a a a

uu

uu a

a

1

1

R

R

R

n n

u u

u u

a

2

1

2

!

!

!

+ = +

= +

= -

=

=

=-

=

=

=

=

=

-

+

+

l l l

l l l

l l l

l l

l l

l l

l l

l l

l l

l l

l l

^^

`

^ ^^^

^

^

^ ^

^

^ ^

hh

j

h hhh

h

h

h h

h

h h

"

"

,

,

Limites notáveis

3

lim

lim sen

lim

limln

lim ln

lim

ne n

xx

xe

x

x

xx

xe p

1 1

1

1 1

11

0

N

R

n

x

x

x

x

x

x p

x

0

0

0

!

!

+ =

=

- =

+=

=

=+

"

"

"

"

"

3

3

+

+

b ^

^

^

l h

h

h


GRUPO I

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, selecione a única opção correta.

Escreva, na folha de respostas:

• o número do item;

• a letra que identifica a única opção escolhida.

Não apresente cálculos, nem justificações.

1. Seja W o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos (A Ì W e B Ì W).

Sabe-se que:

• A e B são acontecimentos independentes;

• P A 107=] g

• P A B 43, =] g

Qual é o valor de P B] g?

(A) 145 (B) 14

9 (C) 209 (D)

2011

2. Para assistirem a um espetáculo, o João, a Margarida e cinco amigos sentam-se, ao acaso, numa fila com sete lugares.

Qual é a probabilidade de o João e a Margarida não ficarem sentados um ao lado do outro?

(A) !!

72 5× (B)

!!

75 (C)

72 (D)

75

3. Numa caixa com 12 compartimentos, pretende-se arrumar 10 copos, com tamanho e forma iguais: sete brancos, um verde, um azul e um roxo. Em cada compartimento pode ser arrumado apenas um copo.

De quantas maneiras diferentes se podem arrumar os 10 copos nessa caixa?

(A) 3!A ×127 (B) A C×12

75

3 (C) C A×127

53 (D) C A×12

712

3

4. Seja f uma função de domínio R , 3f x edefinida por = −x^ h

Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite afirmar que a equação f x x 23= − −^ h

tem, pelo menos, uma solução?

(A) ,051 :D (B) 1 ,5 4

1 :D (C) 1 ,4 31 :D (D) 1 ,

31:D


5. Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. xOy, parte

do gráfico de uma função g, de domínio ,a a31, com3 1+ −6 6

Para esse valor de a, a função f , contínua em R , é definida

por

log

f x

x x a

g x x a

31 se

se

3 1

$

=

− −

^`

^h

j

h

Z

[

\

]]

]]

Qual é o valor de a ?

(A) 328- (B)

325- (C)

319- (D)

38-

6. Na Figura 2, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função f , de domínio R

Figura 2

f

O x

2

1

–1

2–1–2–3–4

–2

y

–5 1

Sejam f fel ll, de domínio R , a primeira derivada e a segunda derivada de f , respetivamente.

Qual dos valores seguintes pode ser positivo?

(A) f 1l] g (B) f 3-l] g (C) f 3-ll] g (D) f 1ll] g

g

a O x

2

y

Figura 1


7. Na Figura 3, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números complexos: w, z1, z2, z3 e z4

Qual é o número complexo que pode ser igual a

iw3

?

(A) z1

(B) z2

(C) z3

(D) z4

8. Na Figura 4, está representada, a sombreado, no plano complexo, parte de uma coroa circular.

Sabe-se que:

• O é a origem do referencial;

• o ponto Q é a imagem geométrica do complexo –1 + i

• a reta PQ é paralela ao eixo real;

• as circunferências têm centro na origem;

• os raios das circunferências são iguais a 3 e a 6

Considere como ( )zarg a determinação que pertence ao intervalo ,r r-7 7

Qual das condições seguintes pode definir, em C , conjunto dos números complexos, a região a sombreado, incluindo a fronteira?

(A) 3 6 arg i1 43z z/# ; ; # # #r r− − +] g

(B) 9 36 arg i1 43z z/# ; ; # # #r r− + −] g

(C) 3 6 arg i1 43z z/# ; ; # # #r r− + −] g

(D) 9 36 arg i1 43z z/# ; ; # # #r r− − +] g

Figura 3

w

z1

z2

z3

z4

Re(z)

Im(z)

O

Re(z)

Im(z)

O

R

QP

Figura 4


GRUPO II

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Em , conjunto dos números complexos, considere z i z ii2 2

1 28e13

2= − + = ++^ h

1.1. Resolva a equação z z z31 2+ = , sem recorrer à calculadora.

Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.

1.2. Seja w um número complexo não nulo.

Mostre que, se w e w1 são raízes de índice n de um mesmo número complexo z, então

z = 1 ou z = –1

2. Numa escola, realizou-se um estudo sobre os hábitos alimentares dos alunos. No âmbito desse estudo, analisou-se o peso de todos os alunos.

Sabe-se que:

• 55% dos alunos são raparigas;

• 30% das raparigas têm excesso de peso;

• 40% dos rapazes não têm excesso de peso.

2.1. Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa escola.

Determine a probabilidade de o aluno escolhido ser rapaz, sabendo que tem excesso de peso.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

2.2. Considere agora que a escola onde o estudo foi realizado tem 200 alunos.

Pretende-se escolher, ao acaso, três alunos para representarem a escola num concurso.

Determine a probabilidade de serem escolhidos duas raparigas e um rapaz.

Apresente o resultado com arredondamento às centésimas.

3. Num saco estão cinco bolas, indistinguíveis ao tato, cada uma delas numerada com um número diferente: –2, –1, 0, 1 e 2

Extraem-se, ao acaso e em simultâneo, quatro bolas do saco.

Seja X a variável aleatória «produto dos números inscritos nas bolas extraídas».

A tabela de distribuição de probabilidades da variável X é a seguinte.

Elabore uma composição na qual:

• explique os valores da variável X• justifique cada uma das probabilidades.

xi 0 4

P X xi=^ h 54

51


4. Considere a função f , de domínio R , e a função g , de domínio ,0 3+ 6@ , definidas por

lnf x eee g x x4 4 4ex

x2

2= − + = − +− −

^ ^ ^h h h

4.1. Mostre que ln 2 2 2+^ h é o único zero da função f , recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

4.2. Considere, num referencial o. n. xOy , os gráficos das funções f e g e o triângulo [OAB]

Sabe-se que:

• O é a origem do referencial;

• A e B são pontos do gráfico de f• a abcissa do ponto A é o zero da função f• o ponto B é o ponto de intersecção do gráfico da função f com o gráfico da função g

Determine a área do triângulo [OAB], recorrendo à calculadora gráfica.

Na sua resposta, deve:

• reproduzir os gráficos das funções f e g , devidamente identificados, incluindo o referencial;

• assinalar os pontos A e B• indicar a abcissa do ponto A e as coordenadas do ponto B com arredondamento às centésimas;

• apresentar o valor da área pedida com arredondamento às décimas.

5. Considere a função f , de domínio R , definida por

ln ln

f x

x x x x x x

x e x

1 3 0

0

se

sex1

2

#

=

+ - +

-

^^ ^

hh h

*

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

5.1. Estude a função f quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.

5.2. Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa x = –1


6. Na Figura 5, está representado um trapézio retângulo [ABCD]

Sabe-se que:

• BC 1=

• 1CD =

• a é a amplitude, em radianos, do ângulo ADC

• ,2!a r r;E

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

6.1. Mostre que o perímetro do trapézio [ABCD] é dado, em função de a , por sencosP 3 1aaa= + -^ h

6.2. Para um certo número real i , tem-se que tg 82

, com 1 1i r i r=-

Determine o valor exato de P il^ h

Comece por mostrar que sencosP 12

aaa= −l^ h

FIM

COTAÇÕES

GRUPO I

1. a 8. ................................................ (8 × 5 pontos) ..................... 40 pontos

40 pontosGRUPO II

1. 1.1. ........................................................................................... 15 pontos1.2. ........................................................................................... 15 pontos

2. 2.1. ........................................................................................... 15 pontos2.2. ........................................................................................... 10 pontos

3. .................................................................................................... 15 pontos4.

4.1. ........................................................................................... 15 pontos4.2. ........................................................................................... 15 pontos

5. 5.1. ........................................................................................... 15 pontos5.2. ........................................................................................... 15 pontos

6. 6.1. ........................................................................................... 15 pontos6.2. ........................................................................................... 15 pontos

160 pontos

TOTAL ................................... 200 pontos

A B

D C

Figura 5

Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de março

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

Prova Escrita de Matemática A

12.º Ano de Escolaridade

Prova 635/1.ª Fase

Critérios de Classificação 10 Páginas

2012COTAÇÕES

GRUPO I

1. a 8. ..................................................... (8 × 5 pontos) ........................ 40 pontos

40 pontos

GRUPO II1.

1.1. .................................................................................................. 15 pontos1.2. .................................................................................................. 15 pontos

2. 2.1. .................................................................................................. 15 pontos2.2. .................................................................................................. 10 pontos

3. ........................................................................................................... 15 pontos

4. 4.1. .................................................................................................. 15 pontos4.2. .................................................................................................. 15 pontos

5. 5.1. .................................................................................................. 15 pontos5.2. .................................................................................................. 15 pontos

6. 6.1. .................................................................................................. 15 pontos6.2. .................................................................................................. 15 pontos

160 pontos

TOTAL ......................................... 200 pontos

Prova 635/1.ª F. • Página C/1/ 10


A classificação da prova deve respeitar integralmenteos critérios gerais e os critérios específicos a seguir apresentados.

CriTériOS gErAiS dE CLASSifiCAÇãO

A classificação a atribuir a cada resposta resulta da aplicação dos critérios gerais e dos critérios específicos de classificação apresentados para cada item e é expressa por um número inteiro, previsto na grelha de classificação.

As respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos. No entanto, em caso de omissão ou de engano na identificação de uma resposta, esta pode ser classificada se for possível identificar inequivocamente o item a que diz respeito.

Se o examinando responder a um mesmo item mais do que uma vez, não eliminando inequivocamente a(s) resposta(s) que não deseja que seja(m) classificada(s), deve ser considerada apenas a resposta que surgir em primeiro lugar.

A ausência de indicação inequívoca da versão da prova (Versão 1 ou Versão 2) implica a classificação com zero pontos das respostas aos itens de seleção (escolha múltipla).

Nos itens de seleção (escolha múltipla), a cotação total do item é atribuída às respostas que apresentem de forma inequívoca a única opção correta.

São classificadas com zero pontos as respostas em que seja assinalada:– uma opção incorreta;– mais do que uma opção.

Não há lugar a classificações intermédias.

Os critérios de classificação das respostas aos itens de construção apresentam-se organizados por etapas e/ou por níveis de desempenho. A cada nível de desempenho e a cada etapa corresponde uma dada pontuação.

Nos itens de construção com cotação igual ou superior a quinze pontos e que impliquem a produção de um texto, a classificação a atribuir traduz a avaliação simultânea das competências específicas da disciplina e das competências de comunicação escrita em língua portuguesa. A avaliação das competências de comunicação escrita em língua portuguesa contribui para valorizar a classificação atribuída ao desempenho no domínio das competências específicas da disciplina. Esta valorização corresponde a cerca de 10% da cotação do item e faz-se de acordo com os níveis de desempenho a seguir descritos.

Níveis Descritores

3 Composição bem estruturada, sem erros de sintaxe, de pontuação e/ou de ortografia, ou com erros esporádicos, cuja gravidade não implique perda de inteligibilidade e/ou de sentido.

2 Composição razoavelmente estruturada, com alguns erros de sintaxe, de pontuação e/ou de ortografia, cuja gravidade não implique perda de inteligibilidade e/ou de sentido.

1 Composição sem estruturação aparente, com erros graves de sintaxe, de pontuação e/ou de ortografia, cuja gravidade implique perda frequente de inteligibilidade e/ou de sentido.

No caso de a resposta não atingir o nível 1 de desempenho no domínio específico da disciplina, a classificação a atribuir é zero pontos. Neste caso, não é classificado o desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa.


Até ao ano letivo 2013/2014, na classificação das provas, continuarão a ser consideradas corretas as grafias que seguirem o que se encontra previsto quer no Acordo de 1945, quer no Acordo de 1990 (atualmente em vigor), mesmo quando se utilizem as duas grafias numa mesma prova.

No quadro seguinte, apresentam-se os critérios de classificação a aplicar em situações não descritas anteriormente.

Situação Classificação

1. Classificação da resposta a um item cujo critério se apresenta organizado por etapas.

A pontuação indicada para cada etapa é a pontuação máxima que lhe é atribuível.

A classificação da resposta resulta da soma das pontuações das diferentes etapas, à qual se subtrai, eventualmente, um ou dois pontos, de acordo com o previsto nas situações 13 e/ou 18.

2. Pontuação de uma etapa dividida em passos. A pontuação indicada para cada passo é a pontuação máxima que lhe é atribuível.

A pontuação da etapa resulta da soma das pontuações dos diferentes passos.

3. Classificação da resposta a um item ou pontuação de uma etapa cujo critério se apresenta organizado por níveis de desempenho.

A resposta é enquadrada numa das descrições apresen-tadas.

À classificação/pontuação correspondente subtrai-se, eventualmente, um ou dois pontos, se ocorrer um erro ocasional num cálculo, e/ou se se utilizar simbologia ou expressões inequivocamente incorretas do ponto de vista formal.

4. Utilização de processos de resolução que não estão previstos no critério específico de classificação.

É aceite e classificado qualquer processo de resolução cientificamente correto.

O critério específico deve ser adaptado ao processo de resolução apresentado, mediante distribuição da cotação do item pelas etapas* percorridas pelo examinando. Esta adaptação do critério deve ser utilizada em todos os processos de resolução análogos.

5. Apresentação apenas do resultado final, se a resolução do item exige cálculos e/ou justificações.

A resposta é classificada com zero pontos.

6. Utilização de processos de resolução que não respeitam as instruções dadas [exemplo: «usando métodos analíticos»].

A etapa em que a instrução não é respeitada é pontuada com zero pontos, bem como todas as etapas subsequentes que dela dependam, salvo se houver indicação em contrário no critério específico de classificação.

7. Ausência de apresentação dos cálculos e/ou das justificações necessárias à resolução de uma etapa*.

A etapa é pontuada com zero pontos, bem como todas as etapas subsequentes que dela dependam, salvo se houver indicação em contrário no critério específico de classificação.

8. Ausência de apresentação explícita de uma dada etapa que não envolva cálculos e/ou justificações.

Se a resolução apresentada permitir perceber inequi-vocamente que a etapa foi percorrida, a mesma é pontuada com a pontuação total para ela prevista.

Caso contrário, a etapa é pontuada com zero pontos, bem como todas as etapas subsequentes que dela dependam.

* Em situações em que o critério é aplicável tanto a etapas como a passos, utiliza-se apenas o termo «etapas» por razões de simplificação da apresentação.


Situação Classificação

9. Transposição incorreta de dados do enunciado e/ou transposição incorreta de um número ou de um sinal na resolução de uma etapa.

Se o grau de dificuldade da resolução da etapa não diminuir, é subtraído um ponto à pontuação da etapa.

Se o grau de dificuldade da resolução da etapa diminuir, a pontuação máxima a atribuir a essa etapa deve ser a parte inteira de metade da pontuação prevista.

10. Ocorrência de um erro ocasional num cálculo. É subtraído um ponto à pontuação da etapa em que o erro ocorre.

11. Ocorrência de um erro ocasional que revela desconhecimento de conceitos, de regras ou de propriedades.

A pontuação máxima a atribuir nessa etapa deve ser a parte inteira de metade da pontuação prevista.

12. Ocorrência de um erro ocasional na resolução de uma etapa.

A etapa é pontuada de acordo com o erro cometido.

As etapas subsequentes são pontuadas de acordo com os efeitos do erro cometido:

– se o grau de dificuldade das etapas subsequentes não diminuir, estas são pontuadas de acordo com os critérios específicos de classificação;

– se o grau de dificuldade das etapas subsequentes diminuir, a pontuação máxima a atribuir a cada uma delas deve ser a parte inteira de metade da pontuação prevista.

13. Apresentação de cálculos intermédios com um número de casas decimais diferente do solicitado e/ou apresentação de um arredondamento incorreto.

É subtraído um ponto à classificação da resposta, salvo se houver indicação em contrário no critério específico de classificação.

14. Apresentação do resultado final que não respeita a forma solicitada [exemplos: é pedido o resultado na forma de fração, e a resposta apresenta-se na forma de dízima; é pedido o resultado em centímetros, e a resposta apresenta-se em metros].

É subtraído um ponto à pontuação da etapa correspondente à apresentação do resultado final.

15. Omissão da unidade de medida na apresentação do resultado final [exemplo: «15» em vez de «15 metros»].

A etapa relativa à apresentação do resultado final é pontuada com a pontuação para ela prevista.

16. Apresentação do resultado final com aproximação quando deveria ter sido apresentado o valor exato.


17. Apresentação do resultado final com um número de casas decimais diferente do solicitado, e/ou apresentação do resultado final incorretamente arredondado.


18. Utilização de simbologias ou de expressões inequivo-camente incorretas do ponto de vista formal.

É subtraído um ponto à classificação da resposta, exceto:

– se as incorreções ocorrerem apenas em etapas já pontuadas com zero pontos;

– nos casos de uso do símbolo de igualdade onde, em rigor, deveria ter sido usado o símbolo de igualdade aproximada.


CriTériOS ESPECÍfiCOS dE CLASSifiCAÇãO

GRUPO I

1. a 8. ............................................................... (8 × 5 pontos) ....................................................... 40 pontos

As respostas corretas são as seguintes.

Itens 1 2 3 4 5 6 7 8

Versão 1 B d C B A C A C

Versão 2 C B d B C A d A

GRUPO II

É de aceitar qualquer processo de resolução cientificamente correto, ainda que não esteja previsto nestes critérios específicos, nem no Programa (ver n.º 4 dos Critérios Gerais de Classificação).

1.1. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Determinar z1 na forma algébrica (ver nota) ........................................................ 3 pontos

Escrever z i i2 2×12= − + − +^ ^h h ............................................. 1 pontos

Obter i2 2− +^ h ............................................................................ 1 pontos

Obter z1 na forma algébrica .......................................................... 1 pontos

Determinar z2 na forma algébrica (ver nota) ........................................................ 3 pontos

Indicar a multiplicação de ambos os termos da fração pelo conjugado do denominador .......................................................... 1 pontos

Efetuar a multiplicação no numerador ......................................... 1 pontos

Efetuar a multiplicação no denominador ...................................... 1 pontos

Obter z3 = 8 ......................................................................................................... 2 pontos

Obter 8z 3= ..................................................................................................... 1 pontos

Escrever cis8 0z 3= ....................................................................................... 1 pontos

Escrever 2 , , ,cis k k3

2 0 1 2z !r= " , ............................................................ 2 pontos

Obter z = 2 cis 0 ................................................................................................. 1 pontos

Obter 2 cisz 32r= ............................................................................................ 1 pontos

Obter 2 cisz 34r= ............................................................................................. 1 pontos

Nota – Se o examinando determinar o complexo na forma algébrica utilizando processos de resolução que não respeitam a instrução dada, a pontuação a atribuir nesta etapa é zero pontos e a pontuação das etapas subsequentes não deve ser desvalorizada.


1.2. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos.

1.º Processo

Escrever ww1n

n

= b l (ou equivalente) ................................................................ 5 pontos

Resolver a equação w w1n n

= b l ......................................................................... 10 pontos

Obter w2n = 1 .............................................................................. 2 pontos

Referir que wn = z ....................................................................... 2 pontos

Referir que w2n = z2 (ou equivalente) .......................................... 2 pontos

Escrever z2 = 1 ............................................................................ 2 pontos

Obter z = 1 ou z = –1 .................................................................. 2 pontos

2.º Processo

Considerar cisw t i=

Referir que z wn= ............................................................................................... 2 pontos

Escrever w w1n n

= b l (ou equivalente) ............................................................... 5 pontos

Resolver a equação w w1n n

= b l ......................................................................... 5 pontos

Escrever cisw nn nt i= ^ h ......................................................... 1 pontos

Escrever cisw n1 1n n

ti= −b c ^l m h ............................................. 2 pontos

Obter 1n2t = ............................................................................. 1 pontos

Obter n k k, Z!i r= ............................................................... 1 pontos

Obter 1cisz k k, Z!r= .................................................................................. 1 pontos

Obter 1 1z zou= = − ....................................................................................... 2 pontos

2.1. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Seja A o acontecimento «o aluno ser rapariga», e seja B o acontecimento «o aluno ter excesso de peso».

Podem ser admitidas outras designações para os acontecimentos.

Calcular P A B+^ h .............................................................................................. 4 pontos

Escrever 0,P A 55=^ h ................................................................ 1 pontos

Escrever 0,P B A 3; =^ h ............................................................ 2 pontos

Obter P A B+^ h .......................................................................... 1 pontos

Calcular P A B+^ h .............................................................................................. 4 pontos

Escrever 0,P B A 4; =^ h ............................................................ 2 pontos

Obter P A^ h .................................................................................. 1 pontos

Obter P A B+^ h .......................................................................... 1 pontos

Calcular P A B+^ h ............................................................................................... 2 pontos


Calcular P B^ h ...................................................................................................... 2 pontos

Identificar o pedido com P A B;^ h ....................................................................... 1 pontos

Escrever P A B P BP A B+

; =^^

^h

hh

(ou equivalente) .............................................. 1 pontos

Obter P A B;^ h .................................................................................................... 1 pontos

2.2. ................................................................................................................................................. 10 pontos

Escrever a expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ...................................... 8 pontos

Calcular o valor pedido (ver nota 2) .................................................................... 2 pontos

Notas:

1. Esta etapa deve ser classificada de acordo com os seguintes níveis de desempenho.

C

C 90200

3

1102 # (ou equivalente) ....................................................................................... 8 pontos

A

A 90200

3

1102 # (ou equivalente) ....................................................................................... 5 pontos

Outras frações próprias com denominador C2003 ........................................................ 2 pontos

Outras respostas ........................................................................................................... 0 pontos

2. A pontuação relativa a esta etapa só pode ser atribuída se o resultado estiver de acordo com a expressão escrita pelo examinando e se essa expressão não tiver sido pontuada com zero pontos.

3. .................................................................................................................................................... 15 pontos

A composição deve contemplar os pontos seguintes.

A) uma explicação para X = 0 B) uma explicação para X = 4 C) uma justificação para P (X = 0) D) uma justificação para P (X = 4)

Na tabela seguinte, indica-se como deve ser classificada a resposta a este item, de acordo com os níveis de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa e com os níveis de desempenho no domínio específico da disciplina.

Descritores do nível de desempenho no domínioda comunicação escrita em língua portuguesa

Descritores do nível de desempenhono domínio específico da disciplina

Níveis*

1 2 3

Níveis

4 A composição contempla corretamente os quatro pontos. 13 14 15

3 A composição contempla corretamente apenas três dos quatro pontos. 10 11 12

2 A composição contempla corretamente apenas dois dos quatro pontos. 7 8 9

1 A composição contempla corretamente apenas um dos quatro pontos. 4 5 6

** Descritores apresentados nos Critérios Gerais de Classificação.


4.1. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Escrever 0f x =^ h ................................................................................................... 1 pontos

Resolver a equação 0f x =^ h ................................................................................. 14 pontos

Obter 0e e4 4x x− − =− ............................................................... 4 pontos

Obter 0e e4 4x x2 − − =^ h ............................................................ 3 pontos

Concluir que e 2 2 2x != (ver nota) ....................................... 3 pontos

Reconhecer que 2 2e 2x = - é uma equação impossível ...... 2 pontos

Obter lnx 2 2 2= +^ h .............................................................. 2 pontos

Nota – Se o examinando utilizar a calculadora para determinar a solução da equação do 2.º grau, a pontuação a atribuir nesta etapa não deve ser desvalorizada.

4.2. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Reproduzir os gráficos visualizados na calculadora (ver notas 1 e 2) ................... 4 pontos

Reproduzir o gráfico de f .............................................................. 2 pontos

Reproduzir o gráfico de g ............................................................. 2 pontos

Assinalar os pontos A e B ........................................ (1 + 1) .................................... 2 pontos

Indicar a abcissa do ponto A .................................................................................... 1 pontos

Indicar as coordenadas do ponto B ......................................................................... 2 pontos

Identificar a base do triângulo [OAB] ...................................................................... 1 pontos

Identificar a altura do triângulo [OAB] ..................................................................... 2 pontos

Calcular a área do triângulo [OAB] ......................................................................... 3 pontos

Notas:1. Se o examinando não apresentar o referencial, a pontuação a atribuir nesta etapa deve ser

desvalorizada em 1 ponto.2. Se o examinando apresentar um gráfico que não respeite o domínio da função, a pontuação a

atribuir nesta etapa deve ser desvalorizada em 1 ponto.


5.1. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Estudar a existência de assíntotas não verticais do gráfico da função f quandox " 3- .................................................................................................................. 3 pontos

Calcular limx

f x

x" 3-

^ h .................................................................... 2 pontos

Concluir que o gráfico de f não tem assíntota não vertical quando x " 3- .......................................................................................... 1 pontos

Estudar a existência de assíntotas não verticais do gráfico da função f quandox " 3+ .................................................................................................................. 12 pontos

Determinar limx

f x

x" 3+

^ h ............................................................... 5 pontos

Escrever lim ln lnx x1 3x

+ − +" 3+

^ ^` h h j ............. 1 pontos

Escrever 1lim lnx

x 3x

+ +" 3+

ce m o ......................... 1 pontos

Escrever lim lnx

1 1 3x

+ +" 3+

ce m o .......................... 1 pontos

Obter o valor de limmx

f x

x=

" 3+

^ h ........................ 2 pontos

Determinar lim f x mxx

−" 3+

^` h j .................................................... 6 pontos

Escrever lim ln lnx x x x1x

+ −" 3+

^ ^` h hj .............. 1 pontos

Escrever lim lnxx

x 1x

+" 3+

ce mo ............................ 1 pontos

Levantar a indeterminação ..................................... 3 pontos

Escrever

lim

ln

limln

x

xy

y

1

1 11

x y 0

+

=+

" "3+

c ^m h

(ou equivalente) (ver nota) .................. 2 pontos

Referir o limite notável limln

y

y1

y 0

+"

^ h 1 pontos

Obter o valor de limb f x mxx

= −" 3+

^` h j ............... 1 pontos

Concluir que o gráfico de f tem uma assíntota não vertical quando x " 3+ .......................................................................................... 1 pontos

Nota – Se o examinando referir que x " 3+ é equivalente a x1 0" , esta etapa deve ser

considerada como cumprida.


5.2. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Determinar f l ........................................................................................................... 5 pontosEscrever x e x e x ex x x1 1 1= +- - -l l l^ ^h h (ou equivalente) .......... 2 pontosObter f l .......................................................................................... 3 pontos

Identificar o declive da reta tangente com f 1-l^ h ................................................. 3 pontos

Calcular f 1-l^ h ...................................................................................................... 2 pontos

Calcular f 1-^ h ....................................................................................................... 2 pontos

Escrever a equação reduzida da reta pedida .......................................................... 3 pontos

6.1. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Referir que o perímetro do trapézio [ABCD] é igual a AB BC CD AD+ + +(ou equivalente) .................................................................................................... 1 pontosEscrever 1AB AD= + 1 , sendo D1 a projeção ortogonal de D sobre AB (ou equivalente) .................................................................................................... 2 pontos

Determinar AD1 .................................................................................................. 5 pontos

Escrever tgAD2r a= - +1 ` j .................................................... 2 pontos

Obter sencosADaa=-1 (ou equivalente) ........................................ 3 pontos

Determinar AD .................................................................................................... 4 pontos

Escrever cos

AD

2

1r a

=- +` j

.................................................. 2 pontos

Obter sen

AD 1a

= ....................................................................... 2 pontos

Concluir o pretendido ............................................................................................... 3 pontos

6.2. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Determinar Pl .......................................................................................................... 7 pontos

Escrever sencos3 1aa+ - lc m ........................................................ 1 pontos

Escrever1 1

sencos

sen

cos sen cos sen3 1

2aa

a

a a a a+ - =

- - -l l lc

^ ^ ^m

h h h 2 pontos

Determinar cos1 a- l^ h .............................................................. 1 pontos

Determinar sen a l^ h ..................................................................... 1 pontos

Substituir 1sen cos por2 2a a+ .............................................. 1 pontos

Obter P al^ h ................................................................................. 1 pontos

Determinar P il^ h ..................................................................................................... 8 pontos

Determinar cos i ......................................................................... 3 pontos

Determinar sen i ......................................................................... 3 pontos

Calcular o valor exato de P il^ h .................................................. 2 pontos

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