2012.2 - TRANSP19

SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

R E V I S Ã O


SOLUÇÃO HOMOGÊNEA

REVENDOExemplo 01: ache a solução geral da seguinte equação diferencial:

02 202

2

ydt

dy

dt

yd

Equação característica:

20

22,1

20

2 02 rrr



Exemplo 01 (continuação):

Se:

)cos()(

)()(

)(

20

2

21

)(2

)(1

20

2 20

220

2

tKty

tKKty

KKty

dt

H

tH

ttH

220 d



No caso de raízes complexas, vamos ver com mais detalhes:

)cos(

)]()cos([

)]()()cos()[(

))]()(cos())()(cos([

)(

5

43

2121

21

21

)(2

)(1

2120

2 21

tK

tsenKtK

tsenKKjtKK

tjsentKtjsentK

KK

KK

KK

t

t

t

t

tjtjt

tjtj

trtr



As duas últimas formas são as utilizadas:

)cos(

)]()cos([ 21

tK

tsenKtKt

t



Em ambos os casos temos duas constantes a determinar:

K1 e K2 na primeira equação e K e Ф na segunda. Estas últimas, na verdade, são funções das duas primeiras:

1

2122

21 tan

K

KeKKK

Estas constantes são determinadas pelas condições iniciais.


Solução exemplo 02:

032)(1)(

20

:0

000

1010

04321

0

eidt

diii

dt

iideVVVV

idesentidonoopercorrendMalha


As tensões poderiam ser definidas de qualquer forma. O único compromisso é que a corrente e a tensão, se ambas são POSITIVAS, têm as seguintes relação e orientação para os componentes R, C e L:


Solução exemplo 02:

Malha 0:

11

00

20

2

11

00

20

20

20

2

20

200

0

000

1010

000

1010

244

2322

1

03222

032)(1)(

2

idt

die

dt

de

dt

ed

idt

die

dt

de

dt

ed

dt

de

dt

ed

dt

ed

dt

di

dt

dei

eidt

diii

dt

di

dt

di

eidt

diii

dt

iid



Exemplo 03: ache a solução homogênea para a seguinte equação diferencial. As constantes devem ser avaliadas com as condições iniciais dadas:

0)0(,1)0(;22

2

dt

dyyt

dt

dy

dt

yd

Equação característica:

t

ttrtrH

KK

KKKKty

rrrrRaízes

rr

221

22

0121

21

2

21)(

2,00)2(:

;02

SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAISExemplo 03 (continuação): Solução particular:

4

1;

4

1;0)(24

;2222;2

;)(

2

2

2

BABAtBAAt

tBAtAAtd

ydBAt

dt

dy

BtAtty

PP

P

Solução completa:

);922(8

1)(

4

1

4

1

8

1

8

9)(;

8

9;

8

14

120)0(;1)0(

;4

1

2

12;

4

1

4

1)(

22

2212

221

22

2221

t

t

tt

ttty

tttyKK

Kdt

dyKKy

tKdt

dyttKKty


Exemplo 04: ache a solução completa para a seguinte equação diferencial. As constantes devem ser avaliadas com as condições iniciais dadas:

0)0()0();2cos(42

2

dt

dyyty

dt

yd


Exemplo 04 (continuação): Equação característica:

)2()2cos()(

)]2()2cos([)(

204

21

210

2,12

tsenKtKty

tsenKtKty

jrr

H

tH

Solução particular:

)2cos()2(4)2(4)2cos(4)2cos(4

)2cos()]2()2cos([4)2(4)2cos(4

)2(4)2cos(4

)2cos(2)2(2

)2()2cos()(

4433

4343

432

2

43

43

ttsenKtsenKtKtK

ttsenKtKtsenKtK

tsenKtKdt

yd

tKtsenKdt

dy

tsenKtKty

P

P

P

Não é possível achar K3 e K4 que satisfaçam esta equação!


Exemplo 04 (continuação): Isto acontece porque a Equação Forçante tem um termo do mesmo tipo que a solução homogênea, que é cos(2t). Nestes casos, devemos tentar:

Solução particular:

)2cos(2)2cos(2)2(4

)2(2)2(2)2cos(4

)]2()2cos(2[)]2cos()2(2[

)2()2cos()(

2

2

tBtBtBtsen

tAsentAsentAtdt

yd

tBsentBttAtAtsendt

dy

tBtsentAtty

P

P

P


Exemplo 04 (continuação):

)2cos()2(4)2cos(4

)2cos(2)2cos(2)2(4

)2(2)2(2)2cos(4

ttBtsentAt

tBtBtBtsen

tAsentAsentAt

Rearrumando esta equação:

)2cos()2cos(4)2(4 ttBtAsen

Como deve ser válida para todo t:

4

10 BeA

Que nos dá a solução completa:

)2(4

1)2()2cos()( 21 ttsentsenKtKty


Exemplo 04 (continuação): cálculo de K1 e K2:

0004

110

2

112002)0(

00001)0(

)2cos(2

1)2cos(

2

1)2()2(4)2cos(4

)2(4

1)2cos(

2

1)2cos(2)2(2

)2(4

1)2()2cos()(

22

121

212

2

21

21

KKdt

dy

KKKy

ttttsentsenKtKdt

yd

tsentttKtsenKdt

dy

ttsentsenKtKty


Exemplo 04 (continuação): Solução completa:

)2(4

1)( ttsenty


Exemplo 05: ache a solução completa para a seguinte equação diferencial. As constantes devem ser avaliadas com as condições iniciais dadas:

0)0()0(;22

2

dt

dyyty

dt

dy

dt

yd t


Exemplo 05 (continuação): Equação característica:

1012 212 rrrr

Solução homogênea:

tH tKKty )()( 21

Solução particular: como a Função Forçante tem a forma de um termo da solução homogênea, mas com raiz dupla, multiplicamos por tm, onde m é a ordem da raiz. No caso como temos duas raízes duplas, vamos multiplicar por t2, dando yP(t) = A.t3.e-t .


Exemplo 05 (continuação): Solução particular:

6

16

)2666(

)3(2)66(

)66(336

);3(3;)(

33232

322

23222

2

2323

AttA

tAtttttt

tAttAtttAt

ttAtAtAtAtAtdt

yd

tAtAtAtdt

dyAtty

tt

tt

tttt

tttttP

tttPtP

tP tty 3

6

1)(


Exemplo 05 (continuação): Solução completa:

t

tttt

tt

tty

KKKdt

dy

Ky

tttKKKdt

dy

ttKKty

3

212

1

32212

321

6

1)(

;00)0(

;0)0(

;6

1

2

1)(

;6

1)()(


Exemplo 06: ache a solução homogênea para a seguinte equação diferencial. As constantes devem ser avaliadas com as condições iniciais dadas:

0)0()0();2(442

2

dt

dyytseny

dt

dy

dt

yd

)]2cos()12[(8

1 2 tt t

Resposta:

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