Exatas + Prof.o Figueira MATEMÁTICA

Números Complexos

1. (ITA-93) Resolvendo a equação no conjunto dos números complexos, conclui-se sobre as suas soluções que: a) Nenhuma delas é um número inteiro. b) A soma delas é 2. c) Estas são em número de 2 e são distintas. d) Estas são em número de 4 e são 2 a 2 distintas. e) Uma delas é da forma z = bi com b real não nulo.

2. (EFOMM-12) A solução da equação z z 1 3i é um

número complexo de módulo:

a) 5

4 b) 5 c) 5 d)

5

2 e) 5

2

3. (ITA-11) A soma de todas as soluções da equação em C:

0122 izzz é igual a

A) 2 B) 2

i C) 0 D)

2

1 E) i2

4. (ITA-04) A soma das raízes da equação z3 + z

2 - |z|

2 + 2z =

0, z C, é igual a

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

5. (ITA-05) Seja z C com |z| = 1. Então, a expressão

assume valor: a) maior que 1, para todo w com |w| > 1. b) menor que 1, para todo w com |w| < 1.

c) maior que 1, para todo w com w z.

d) igual a 1, independente de w com w z.. e) crescente para |w| crescente, com |w| < |z|.

6. (ITA-06) Se para todos z C, |f(z)| = |z| e |f(z) - f(1)| = |z - 1|,

então, para todo z C, )z(f)1(f)z(f)1(f é igual a

a) 1 b) 2z c) 2Rez d) 2Imz e) 2|z|

2

7. (EN-09) Seja z um número complexo tal que

, onde é o conjugado de . A forma trigonométrica do

número complexo é

a) 5

24

cis

b) 2 24

cis

c) 2 3

2 4cis

d)

72

4cis

e)

32 2

4cis

8. (ITA – 01 adaptada) O número complexo

tem argumento . Neste caso, é igual a:

a)6

π b)

3

c)

4

π d)

5

π e)

8

9. (ITA-10) Os argumentos principais das soluções da equação

em z

pertencem a

(a) 3

,4 4

(b)

3 5,

4 4

(c)

5 3,

4 2

(d) 3 7

, ,4 2 2 4

(e)

70, ,2

4 4

10. (ITA-04) Considere a função f:RC, f(x)=2cosx+2isenx.

Então, x, y R, o valor do produto f(x)f(y) é igual a

a) f(x+y) b) 2 f(x+y) c) 4 f(x+y) d) f(xy) e) 2f(x)+2 i f(y)

11. Das afirmações abaixo sobre números complexos z1 e z2 :

I - | z 1 - z 2 | ≤ | | z 1 | - | z 2 | |

II - | . z 2| = | | | . | ||

I I I - Se z1 = I z 1 | (cos θ + i senθ) ≠ 0,

então = |z1|- 1

(cos θ - i senθ).

é(são) sempre verdadeira(s)

A ( ) apenas I

B ( ) apenas I I

C ( ) apenas I I I

D ( ) apenas I I e I I I

E ( ) todas.

11. (ITA-97) Seja S o conjunto dos números complexos que

satisfazem simultaneamente, às equações:

z - 3i = 3 e z + i = z - 2 -i O produto de todos os elementos de S é igual a:

a) -2 + i b) 2 + 3i

c) 3 - 2i d) - 3 + 3i e) -2 + 2i

12. (ITA-07) Assinale a opção que indica o módulo do número

complexo , kx , k .

a) )xcos( b) 2)x(sen1

3 2 3

3 3

)x(gcoti1

1

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c) )x(cos2 d) )xsec(cos e) )x(sen

13. (ITA – 01) Se z = 1 + i 3 , z. w = 1 e [0, 2] é um

argumento de z w, então é igual a:

a) 3

b) c)

3

2

d) 3

5 e)

2

3

14. (EN-11) A inequação 2 2x 6x x px c tem como solução o

intervalo [0, 2], onde p, c . Seja q a maior raiz da equação

x 1 x 14 16 2 64

. A representação trigonométrica do número

complexo p + iq é

a) 5 5

2 3 cos i sen3 3

b) 3 3

2 2 cos i sen4 4

c) 2 cos i sen6 6

d) 2 3 cos i sen3 3

e) 7 7

2 2 cos i sen4 4

15. (ITA-91) Se z = cos t + i sen t, onde 0 < t < 2 , então

podemos afirmar que w = z1

z1

é dado por:

a) i cotg2

t b) i tg

2

t

c) i cotg t d) i tg t e) n.d.a.

16. (ITA-09) Se a = cos5

e b = sen

5

, então, o número

complexo 54

5seni

5cos

é igual a:

a) a + bi b) –a + bi c) (1+2a²b²) + ab(1+b²) d) a - bi e) 1 – 4a

2b

2 + 2ab(1 –b

2)i

17. (ITA-94) Considere as afirmações:

I - (cos + i sen)10

= cos(10) + i.sen(10), para todo R.

II - (5i)/(2 + i) = 1 + 2i III - (1 - i)

4 = - 4

IV - Se z2 =( z )

2 então z é real ou imaginário puro.

V - O polinômio x4 + x

3 - x - 1 possui apenas raízes reais.

Podemos concluir: a) Todas são verdadeiras. b) Apenas quatro são verdadeiras. c) Apenas três são verdadeiras. d) Apenas duas são verdadeiras.

e) Apenas uma é verdadeira.

18. (ITA-97) Considere os números complexos

z = e w = 1 + i .

m = , então m vale

a) 34 b) 26 c) 16 d) 4 e) 1

19. (AFA-06) Considere o número complexo 2

3i

2

1z e

calcule nz . No conjunto formado pelos quatro menores valores

naturais de n para os quais nz é um número real,

a) existem números que estão em progressão aritmética de razão

igual a 4.

b) há elementos cuja soma é igual a 30.

c) existe um único número ímpar.

d) existe apenas um elemento que é número primo.

20. (IME-13) Seja o número complexo 2,

(1 )

azib ib

onde

a e b são números reais positivos e i 1 . Sabendo

que o módulo e o argumento de z valem, respectivamente, 1 e

(–) rd, o valor de a é

a)

1

4

b)

1

2

c) 1 d) 2 e) 4

21. (ITA – 01) A parte imaginária de

((1 + cos 2x) + i sen 2x)k, k inteiro positivo, x real é

a) 2 senk x. cos

k x b) sen

kx. cos

kx

c) 2ksen kx. cos

kx d) 2

k sen

kx. cos

kx

e) sen kx . coskx

22. (ITA-95) Seja z um número complexo satisfazendo Re(z) >

0 e ( + i)2 + + i

2 = 6. Se n é o menor natural para o qual

n é um número imaginário puro, então n é igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

23. (AFA-02) Os pontos A, B e C são afixos das raízes cúbicas do

número complexo z. Im

B

C

A

Re

OC = 2

30º

O

2i2 3

2

32

46

2i - 6 + w+ z

4i + 3z + w

zz

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Se n é o menor natural não nulo para o qual zn é um real positivo,

então n é igual a:

a) 8 b) 6 c) 4 d) 2

24.(AFA-00) Seja z o conjugado do número complexo

z = 2

i

2

1 . A seqüência de todos os valores de nN, tal que

n

z

seja um imaginário puro, é uma progressão:

a) aritmética com primeiro termo igual a 2 e razão 8. b) geométrica com primeiro termo igual a 2 e razão 2. c) aritmética com primeiro termo igual a 2 e razão 4. d) geométrica com primeiro termo igual a 2 e razão 1.

25. (ITA-93) Seja a o módulo de número complexo

(2-2 3 i)10

. Então o valor de x que verifica a igualdade

(4a)x = a é:

a) 11

10

b) –2 c) 8

5

d) 8

3

e) 5

1

26. (ITA-12) Seja 2z n cos45 isen 45 e

w n cos15 isen15 , em que n é o menor inteiro positivo tal

que n1 i é real. Então, z

w é igual a

a) 3 i . b) 2 3 i . c) 2 2 i .

d) 2 2 i . e) 2 3 i .

27. (ITA-92) Sabe-se que 2(cos /20 +i sen /20) é uma raiz

quíntupla de w. Seja S o conjunto de todas as raízes de z4 -

2z2 +

28

i216w = 0. Um subconjunto de S é:

a) {21/2

(cos 7/8 + i sen 7/8), 21/2

(cos /8 + i sen /8)}

b) {21/2

(cos 9/8 + i sen 9/8), 21/2

(cos 5/8 + i sen 5/8)}

c) {21/4

(cos 7/8 + i sen 7/8, 21/4

(cos /4 + i sen /4)}

d) {21/4

(cos 7/8 + i sen 7/8), 21/4

(cos /8 + i sen /8)}

e) n.d.a.

28. (ITA-04) Sendo 2

1 iz

, calcule

603260

1

... zzzzzn

n

.

29. (ITA-03) Seja z C. Das seguintes afirmações

independentes:

I. Se ||2||3231

5222

2

zzizz

iziz

, então

||2||3231

5222

2

zzziz

izzi

.

II. Se z 0 e zi

iiz

)21(

332

, então

||5

23||2||

z

z .

III. Se i

zi

434

)1( 2

, então 2 arg z +

12

é um argumento de .

é (são) verdadeira(s): a) todas. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) apenas I e III. e) apenas II. 30. (EN-13) Seja p a soma dos módulos das raízes da equação

e q o módulo do número complexo Z, tal que

é o conjugado de Z. Uma representação

trigonométrica do número complexo p + qi é

a) 12(cos isen )3 3

b)

c)

d)

e)

31.(ITA-97) Considere no plano complexo, um hexágono

regular centrado em z0 = i. Represente z1,z2, ... z6 seus

vértices, quando percorridos no sentido anti-horário. Se z1 = 1

então 2z3 é igual a:

a) 2 + 4i b) ( - 1)+( + 3)i

c) + ( +2)i d) (2 - 1)+( 2 + 3)i

e) + ( +2)i

32. (ITA-03) Das afirmações abaixo sobre a equação

z4 + z

3 + z

2 + z + 1 = 0 e suas soluções no plano

complexo: I. A equação possui pelo menos um par de raízes reais. II. A equação possui duas raízes de módulo 1, uma raiz de

módulo menor que 1 e uma raiz de módulo maior que 1.

III. Se n N* e r é uma raiz qualquer desta equação,

então

n

k

kr

12

1

3. É (São) verdadeiras(s):

a) nenhuma. b) apenas I. c) apenas II. d) apenas III. e) apenas I e III.

3 3

6 2 3 3

2 6

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33. (AFA-08) Considere no Plano de Argand-Gauss os

números complexos z1 = –x – 2i, z2 = –2i, z3 = –2 + 3i e z4 = x +

yi, onde x e y são números reais quaisquer e i2 = –1. Sobre o

conjunto desses números complexos que atendem

simultaneamente às condições

I) 1 2 1 2Re( ) Im( )z z z z

II) 3 4| | 2z z

é correto afirmar que

a) representa uma região plana cuja área é menor que 6

unidades de área.

b) possui vários elementos que são números imaginários puros.

c) possui vários elementos que são números reais.

d) seu elemento z de menor módulo possível possui afixo que pertence

à reta (r) 3x + 2y = 0

34. (AFA-02) Considere no campo complexo uma curva tal que

,kz

2Im

onde z é um complexo não nulo. Se k = 2, tem-se sua

representação gráfica dada pelo:

a)círculo de raio 4

1 e tangente ao eixo real;

b)Círculo de raio 2

1 e tangente ao eixo imaginário;

c)Conjunto de pontos do plano complexo exterior ao circulo de raio 2

1

e centro

0,

2

1;

d)Círculo de raio 2

1 e tangente ao eixo real.

35. Sejam r e s duas retas paralelas distando 10 cm entre si.

Seja P um ponto no plano definido por r e s e exterior à região

limitada por estas retas, distando 5 cm de r. As respectivas

medidas da área e do perímetro, em cm2 e cm, do triângulo

eqüilátero PQR cujos vértices Q e R estão, respectivamente,

sobre as retas r e s, são iguais a:

a) 215e3

3175 b) 2110e

3

3175

c) 2110e3175 d) 215e3175

e) 2110e700

Gabarito

1.C 2.B 3.E 4.A 5.D 6.C 7.D 8.E 9.C 10.B

11.D 12.E 13.C 14.B 15.A 16.B 17.B 18.A 19.D 20.D

21.C 22.B 23.C 24.C 25.A 26.B 27.C 28. 29.A

30.A 31.B 32.D 33.A 34.D 35.B