Exatas + Prof.o Ponce MATEMÁTICA

Geometria Analítica 1. (EN-12) Sejam:

i) r uma reta que passa pelo ponto 3, 1 .

ii) A e B respectivamente os pontos em que r corta os eixos x e y .

iii) C o ponto simétrico de B em relação à origem.

Se o triângulo ABC é equilátero, a equação da circunferência

de centro A e raio igual à distância entre A e C é

a) 2

2x 3 y 12 b) 2

2x 2 3 y 16

c) 2

2x 3 y 16 d) 2

2x 2 3 y 12

e) 2

2x 3 3 y 12

2. (EN-12) A área da região interior à curva

2 2x y 6y 25 0 e exterior à região definida pelo sistema

de inequações 3x 5y 15 0

2x 5y 10 0

x 0

vale

a) 72 5

2

b) 68 15

2

c) 68 d) 72 3

2

e) 68 5

2

3. (AFA-13) Sejam a e b dois números reais positivos. As retas

r e s se interceptam no ponto (a , b) Se (a/2, 0) r e (0, b/2) s, então uma equação para a reta t, que passa por (0 , 0) e tem a tangente do ângulo agudo formado entre r e s como coeficiente angular, é a) 3abx + (2a

2 – b

2)y = 0 b) 3bx – b(a

2+ b

2)y = 0

c) 3ax – a(a2 + b

2)y = 0 d) 3abx – 2(a

2 + b

2)y = 0

4. (AFA-13) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de equação x

2 + 9y

2 – 8x – 54y + 88 =0 é

correto afirmar que a) tem raio igual a 1 b) tangencia o eixo das abscissas. c) é secante ao eixo das ordenadas. d) intercepta a reta de equação 4x – y = 0

5. (AFA-14) A circunferência é tangente à reta 3

r : y x4

e

também é tangente ao eixo das abscissas no ponto de abscissas 6. Dentre as equações abaixo, a que representa uma parábola que contém a origem do plano cartesiano e o centro

de é a) 12(y – x) + x

2 = 0 b) 3y

2 – 12y + 2x = 0

c) 2y2 – 3x = 0 d) 12y – x

2 = 0

6. (EFOMM-04) Determine o ângulo agudo entre as retas r: 2x + y – 5 = 0 e s: 3x – y + 5 = 0. a) 0º b) 30º c) 45º d) 60º e) 135º

7. (EFOMM-05) Determine o coeficiente angular da reta cujas equações são dadas por x = 2t – 1 e y = t + 2,

sendo tIR.

a) – 1 b) – 2

1 c)

5

2 d)

2

1 e) 1

8. (EFOMM-05) Determine m para que a equação x2 + y2– 2x + 6y + m = 0represente uma circunferência. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) m < 10 9. (EFOMM-06) O valor de b para que a reta y = x + b não intercepte os ramos da hipérbole x

2 – y

2 = 1 é:

a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 2

10. (EFOMM-09) Sabendo-se que duas circunferências secantes são ortogonais quando as respectivas retas tangentes nos seus pontos de intersecção são perpendiculares, qual é a equação da circunferência centrada em (3, 5) que é ortogonal à

circunferência x2

+ y2

6x – 7 = 0?

(A) x2

+ y2

6x 10y + 20 = 0

(B) x2

+ y2

6x 10y + 24 = 0

(C) x2

+ y2

6x 10y + 25 = 0

(D) x2

+ y2

6x 10y + 28 = 0

(E) x2

+ y2

6x 10y + 30 = 0 11. (EFOMM-09) Dois dos lados de um hexágono regular estão contidos nas retas definidas pelas equações 4x + 3y + 28 = 0 e 8x + 6y + 15 = 0, respectivamente. A área desse hexágono é um número entre (A)13 e 14 (B) 14 e 15 (C) 15 e 16 (D) 16 e 17 (E) 17 e 18 12. (EFOMM-11) A circunferência de equação

2 2

x 4 2 2 y 1 2 4 2 2 intercepta o eixo das

abscissas em dois pontos A e B. Sabendo que o segmento AB é lado de um polígono regular convexo que possui centro coincidente com o centro da circunferência, calcule o perímetro desse polígono.

a) 24 b) 16 c) 15 d) 6 ( 2 1) e) 6 ( 2 2)

13. (EFOMM-12) Se é o menor ângulo formado pelas retas

tangentes à circunferência x2 + y

2 = 9 nos pontos

–3 2 –3 2 3 3 –3P , e Q ,

2 2 2 2

então o valor de , em

radianos é

a) 12

b) 6

c) 4

d) 5

12

e)7

12

14. (EFOMM-12) A área entre o gráfico de y = ||3x+2|-3| e a reta y=3, em unidades de área vale: a) 6 b) 3 c) 1,5 d) 2 e) 0,5 15. (ITA-02) Num sistema de coordenadas cartesianas, duas retas r e s, com coeficientes angulares 2 e 1/2 ,

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respectivamente, se interceptam na origem O. Se B r e C s são dois pontos no primeiro quadrante tais que o segmento

BC é perpendicular a r e a área do triângulo OBC é igual

a 12 x 10-1

, então a distância de B ao eixo das ordenadas vale

a) 5

8 b)

5

4 c)

5

2 d)

5

1 e) 1

16. (ITA-02) Seja k > 0 tal que a equação (x

2 – x) + k(y

2 – y) = 0

define uma elipse com distância focal igual a 2. Se (p, q) são as

coordenadas de um ponto da elipse, com q2 – q 0, então

qq

pp

2

2

é igual a

a) 2 + 5 b) 2 – 5 c) 2 + 3 d) 2 – 3 e) 2

17. (ITA-02) Considere a região do plano cartesiano xy definida

pela desigualdade: x2 + 4x + y

2 – 4y – 8 0. Quando esta

região rodar um ângulo de 6

radianos em torno da reta x + y =

0, ela irá gerar um sólido de superfície externa total com área igual a

a) 3

128 b)

4

128 c)

5

128 d)

6

128 e)

7

128

18. (ITA-03) Considere a família de circunferências com centros no segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy. Cada uma destas circunferências corta o eixo Ox em dois pontos, distantes entre si de 4 cm. Então, o lugar geométrico dos centros destas circunferências é parte: a) de uma elipse. b) de uma parábola. c) de uma hipérbole. d) de duas retas concorrentes. e) da reta y = - x. 19. (ITA-03) Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si 5 cm. Seja P um ponto na região interior a estas retas, distando 4 cm de r. A área do triângulo equilátero PQR, cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, é igual, em cm

2, a :

a) 153 b) 37 c) 65 d) 32

15 e) 15

2

7

20. (ITA-03) A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto {(x,

y) IR2 : 3x

2 + 2y

2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, é igual a:

a) 6 b) 5/2 c) 2 2 d) 3 e) 10/3

21. (ITA-04) Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equação

288

13534

1024

16240

1

det

22

yxyx.

a) Uma elipse. b) Uma parábola. c) Uma circunferência. d) Uma hipérbole. e) Uma reta.

22. (ITA-04) Sejam r e s duas retas que se interceptam segundo um ângulo de 60º. Seja C1 uma circunferência de 3 cm de raio, cujo centro O se situa em s, a 5 cm de r. Determine o raio da menor circunferência tangente à C1 e à reta r, cujo centro também se situa na reta s. 23. (ITA-05) Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, três vértices de um tetraedro regular são

dados por A = (0, 0), B = (2, 2) e C = )31 ,31( . O volume

do tetraedro é

a) .3

8 b) 3. c) .

2

33 d) .

2

35 e) 8.

24. (ITA-07) Sejam A(a,0), B(0,a) e C(a,a); pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P(x,y) cuja distância à reta que passa por A e B, é igual à distância de P ao ponto C. a) x

2 +y

2 -2xy – 2ax – 2ay+ 3a

2 =0

b) x2 +y

2 +2xy + 2ax + 2ay+ 3a

2 =0

c) x2 +y

2 - 2xy + 2ax + 2ay+ 3a

2 =0

d) x2 +y

2 - 2xy - 2ax - 2ay - 3a

2 =0

e) x2+y

2+2xy-2ax-2ay- 3a

2 =0

25. (ITA-07) Considere, no plano cartesiano xy, duas

circunferências 1C e 2C , que se tangenciam exteriormente em

10;5:P . O ponto 12;10:Q é o centro de 1C . Determine o raio

da circunferência 2C , sabendo que ela tangencia a reta

definida pela equação yx .

26. (ITA-08) Sejam r e s duas retas paralelas distando 10 cm entre si. Seja P um ponto no plano definido por r e s e exterior à região limitada por estas retas, distando 5 cm de r. As respectivas medidas da área e do perímetro, em cm

2 e cm, do

triângulo eqüilátero PQR cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, são iguais a:

a) 215e3

3175 b) 2110e

3

3175 c) 2110e3175

d) 215e3175 e) 2110e700

27. (ITA-09) No plano, considere S o lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distâncias à reta t : x = 1 e ao ponto A = (3,2) é igual a 4. Então, S é

a) uma circunferência de raio 2 e centro (2,1).

b) uma circunferência de raio 1 e centro (1,2). c) uma hipérbole.

d) uma elipse de eixos de comprimento 2 2 e 2.

e) uma elipse de eixos de comprimento 2 e 1. 28. (ITA-09) A distância entre o vértice e o foco da parábola de equação 2x

2 - 4x - 4y + 3 = 0 é igual a:

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a) 2 b) 2

3 c) 1 d)

4

3 e)

2

1

29. (ITA-09) Sejam C uma circunferência de raio 4R e

centro 0,0 e AB uma corda de C . Sabendo que 1,3 é ponto

médio de AB , então uma equação da reta que contém AB é a) 3 6 0y x b) 3 10 0y x

c) 2 7 0y x d) 4 0y x e) 2 3 9 0y x

30. (ITA-09) Dadas a circunferência C: (x - 3)

2 + (y - 1)

2 = 20 e

a reta r : 3x – y + 5 =0, considere a reta t que tangencia C, forma um

ângulo de 45º com r e cuja distância à origem é 5

53.

Determine uma equação da reta t. 31. (ITA-09) Considere as n retas : 10i ir y m x , 1,2,..., ; 5i n n

, em que os coeficientes im , em ordem crescente de i , formam

uma progressão aritmética de razão 0q . Se 1 0m e a reta

5r

tangencia a circunferência de equação 2 2 25x y , determine o

valor de q .

32. (ITA-10) Considere as circunferências

434:22

1 yxC e 91110:22

2 yxC .

Seja r uma reta tangente interna a 1C e 2C , isto é, r

tangencia 1C e 2C e intercepta o segmento de reta 21OO

definido pelos centros 1O de 1C e 2O de 2C . Os pontos de

tangência definem um segmento sobre r que mede

(A) 35 . (B) 34 . (C) 63 . (D) 3

25. (E) 9.

33. (ITA-13) Determine a área da figura plana situada no primeiro quadrante e delimitada pelas curvas

2 2 02

xy x y

e 2 22 8 0x x y

. 34. (IME-07) Considere uma circunferência C fixa de raio R. A partir de dois pontos A e B pertencentes a C, traçam-se retas tangentes a C que se interceptam num ponto P, tal que

PA PB k . Sendo k um valor constante, o lugar geométrico de

P é uma: a) reta b) circunferência c) parábola d) hipérbole e) elipse 35. (IME-07) O quadrilátero BRAS, de coordenadas A(1,0), B(–

2,0), R(x1,y1) e S(x2,y2) é construído tal que ˆ ˆRAS RBS 90 .

Sabendo que o ponto R pertence à reta t de equação y = x + 1,

determine a equação algébrica do lugar geométrico descrito pelo ponto S ao se deslocar R sobre t. 36. (IME-08) Assinale a opção correspondente ao número de possíveis valores de [0;2 ) tais que o lugar geométrico

representado pela equação 2 23 4 16 12 27 0x y y x tg seja

um único ponto. a) nenhum valor b) apenas 1 valor c) 2 valores d) 4 valores e) um número infinito de valores 37. (IME-08) Sendo o ponto A (8, -2) um vértice de um losango ABCD e 2x + y + 1 = 0 a reta que contem os vértices B e D, assinale a opção correspondente ao vértice C. a) (-2, -8) b) (0, -4) c) (4,3) d) (-4, -8) e) (-1, 7) 38. (IME-08) Considere todos os pontos de coordenadas (x,y) que pertençam à circunferência de equação x

2 + y

2 - 6x - 6y +

14 = 0. Determine o maior valor possível de x

y.

Gabarito 1. B. 2.E 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.B 9.B 10.C 11.B 12. B. 13.D 14.A 15.B 16.A 17.A 18.C 19.B 20.B

21.C 22. . 23.A 24.A

25:

3 2 5 293 3 29 58 106

58 29 58 3

5 29 2.29 3 145 2 15 29

4958 3 58 3

rr r r

r

r r

26.B 27.D 28.E 29.B 30. 032 xy

31. 4

3q 32.A 33.

33 2

4S 34.B

35. Hipérbole 36. C 37.D 38. 5

1429

x

y

cmR 31629