2016.Nov .17NO.

一、前 言

　　103 學年度開始實施 12 年國民基本教育，首屆入學的學生程度落差

相當大，數學成績更是兩極化，使用傳統教學方式卻難以得到以前的成

效，使出十八般武藝卻難以拉拔成績落後的學生，可說是始無前例的挫折

啊 ! 正好遇到當今最火熱的教學議題「翻轉教室 (Flipped classroom)」，

搜尋了一些資料參考，也觀賞中山女高國文科張輝誠老師的 YouTube 演

講影片，但畢竟文科與理科是不同領域，做法上必須調整，又該怎麼調整?

學生不可能有能力自學數學，如果數學能自學，學生就不會那麼痛恨數學

了，因此張輝誠老師的演講裡提及理科必須先錄好教學影片，請學生在家

先自己觀看影片自學，但這樣的工程實在太浩大，換不同版本就得要重錄

一次，也可能未必得到期待的效果，多數學生更可能懶於觀看平淡且無真

人互動的教學影片。

高職學生的學習動機與動力比起普通高中生更薄弱，該如何引起學生

的學習動機呢 ? 又該如何拯救數學程度落後的那群學生呢 ? 於是筆者絞盡

腦汁設計出「APP 玩數學翻轉」的教學方法，讓學生覺得數學課變得更

有趣，成績優異的學生也開始教導數學程度落後的學生，全班學習數學的

氛圍因此產生巨大轉變，也有學生原本對數學興趣缺缺變得充滿鬥志，甚

至有學生原本數學都不及格也漸漸進步到及格成績了。接下來就分享我的

「APP 玩數學翻轉」。

二、課前準備

1. 依成績排序，並以 S 型分組：由每一組成績優異的學生教導程度較弱的

　學生，數學程度較弱的學生對於數學問題有了組長、副組長可以詢問，

　不再束手無策 !

2. 發給學生練習題目：該如何引起動機讓學生願意主動學習是翻轉教學的

　主要精神，然而我採取的策略是先發試題給學生回家練習，學生有了準

　備方向，就會願意試著努力，否則程度較弱的學生總是不會為了考試而

　準備。並將學生的練習題目修改數字成 Kahoot 測驗的題目，也因此老師

　更有立場要求學生的學習態度。

3. 註冊 APP 帳號：在 Google 輸入「Kahoot」搜尋或直接輸入網址

　「https://getkahoot.com/」，再點選「Sign up for free!」進行註冊帳號。

4. 上傳試題：因為 Kahoot 的輸入題目欄位無法編輯數學方程式，因此建

　議存為圖片檔上傳，另外亦可上傳影片題目喔 ! 將發給學生的練習題

　目修改數字成 Kahoot 測驗題目再上傳題目圖片檔。

1. 活數學　　 水源

步驟一：點選 Sign up for free! 步驟二：註冊帳號

步驟三：點選 Quiz 步驟四：輸入測驗單元名稱

步驟五：上傳試題 (or影片 ) 步驟六：I’m done 完成囉 !

APP玩數學翻轉　　　　　　　　　　林義承

新北高工

三、課堂進行

1. 公佈練習題目的答案：公佈答案後，再給學生各組討論約 20~30 分鐘，

　會發現各組學生討論相當熱烈，老師的內心也充滿了感動，而討論的

　時間長短可視各組學生的討論狀況而定。

2. 進行 Kahoot 測驗：老師的電腦開啟 Kahoot 後，進入測驗單元時，系統

　會給一組 Game PIN，學生端只要下載 APP 輸入 Game PIN 及名稱後，

　即可連線測驗，這是相當方便的 APP。學生手機的畫面很單純，就只有

　四個格子可點選 (A) 紅色 (B) 藍色 (C) 黃色 (D) 綠色。

3. 成績下載：測驗完畢後，Kahoot 可以下載成績 Excel 檔或是將成績

　Excel 檔上傳至 Google 雲端硬碟，成績 Excel 檔亦會保留在 Kahoot，

　所以即使忘記下載也不用擔心。

4. 立即檢討：每一題測驗完畢時，會顯示每一個選項的作答人數，如果發

　現某一題答錯人數偏高時，可以立即講解，這個過程會得到相當棒的回

　應，因為會有許多學生同時嘴巴張大說「喔∼原來如此」，這樣的畫

　面，會讓老師的內心無比的興奮。

5. 狀況處理：

　(1) 沒有智慧型手機：設計紙本表格給學生填寫答案及剩餘秒數，課後再

　　 計算成績。

　(2) 沒有網路：請同一組的同學開啟 Wi-Fi 分享，建議至多分享二人，以

　　 免速度太慢當機。

　(3) 測驗中斷線：先前的作答，Kahoot 都有立即儲存，不用擔心。請學

　　 生盡快重新登入，如果無法登入，則必須變更名稱才能重新登入。

四、成績分析

1.Kahoot 成績：每一題的分數都是 500 至 1000 分，依速度不同給分，速度

越快分數越高，因此學生覺得 Kahoot 分組競賽相當剌激好玩。下圖是以

120 秒的答題時間為例，某生剩餘 50 秒答對，所得分數是以「內分點公

式」計算得到 708 分。

2. Excel 成績：成績檔有相當詳細的資料分析，包括有每一位學生的答題狀

況，每一題的剩餘秒數、得分及答對率，還有全班的平均分數及平均答對

率等。

3.分組成績：同一組的每位學生成績加總排名，第一名的組別給予小獎勵，

　可以增加學生參與的興致，最後一名的組別給予一點小懲罰，可以增加

　下課前的娛樂。各種不同的評分方式與玩法，由各位教師各自的教學風

　 格開創新玩法。

五、結語

「APP 玩數學翻轉」最大的問題應該是偏鄉地區的學生可能擁有智慧

型手機人數不多，此時教師可以使用分組方式進行，每一組只要有一支智

慧型手機即可，因此各位教師可以依自己教學風格設計屬於自己的翻轉模

式。還有另一個問題是分組玩翻轉教學突破傳統評分方式，對於成績優異

的各組組長容易產生分數被組員拖累而扣分的不滿心情，因此在分組競賽

前必須得先說明清楚遊戲規則及給予各組組長、副組長的心理建設與安撫

或是給予加分機制等，讓組長、副組長更樂意帶動整組的學習動力，翻轉

教學是否能成功這是很重要的關鍵。

翻轉教學並非每堂課皆需分組討論，亦無法全面採用 APP 上課，大約

每週安排一堂的 APP 互動課即可，學生對於使用 APP 測驗方式感到相當

新鮮，個個都覺得充滿樂趣與期待，每星期都迫不及待下一週的 APP 測驗

趕快到來，從興致低落轉變成非常有活力的數學課，平時上課的隨堂練習

題，也都能看到各組的熱烈討論氣氛；曾辦理過研習的學校，各校亦有數

名教師開始試用 Kahoot 來玩數學翻轉，各校學生的反應都是覺得相當新

鮮有趣，充滿剌激感的測驗，也因此提高了班級的數學讀書風氣，增加學

生的學習意願與建立信心。

投影畫面：Game PIN 94340學生手機：輸入 Game PIN及名稱

投影畫面 學生手機：顏色是對應投影畫面的選項

APP 測驗實境顯示題目立即檢討，效果加倍 !

學生分組討論實境

公共藝2. 「數」

彭良禎 師大附中

十二部曲∼ 正十二面體

一、五邊形

　　回想一下，生活周遭何處可見五邊形的設計或應用？每當在營隊課程提及此問，學生除了課堂上的經驗之外，多半是啞口無言，或是言之無物，

偶見經典回答：足球。若再繼續追問：足球上有幾個黑色的「正五邊形」？有幾個白色的「正六邊形」？面對這樣的冷問題，學生臉上大概會浮現出

櫻桃小丸子的三條線。不過，若是真心誠意地利用心智圖引導學生從食、衣、住、行、育樂等面向去發想，雖無源源不絕的答案，但在相關的提示之下，

仍能展現出全班集思廣益的成果，讀者不妨先利用下圖自問自答試試。

二、邂　逅

　　由心智圖的發想結果可知，五邊形在大家生活週遭的有感經驗實在是屈指可數，好在正五邊形對角線切割出的黃金比例，是中學數學不

可或缺的餘興節目。至於全由正五邊形所組成的正十二面體，雖無這般福份現身在課本裡，卻有幸被 19 世紀愛爾蘭的數學家哈密頓 （W. R.

Hamilton,1805-1865）相中，成為一筆畫環遊世界遊戲的研發舞臺，而其獨特的大面積球狀結構，也早已化身成植栽的花盆（圖一）、桌遊的骰子、

綁馬尾的髮飾、寵物的小皮球、手作水晶珠串（圖二）與彷古銅錢集結而成的發財球，其他還有結合月曆、星座、生肖或圖鑑設計的存錢筒與花燈，

以及魔方達人收藏的魔術方塊與數獨球（圖三），至於鑿刻玉石成 12 洞 n 層的龍珠球（圖四），勘稱是鬼斧神工的民俗藝術。

　　嚴格說來，真正貼近大小朋友日常生活的正十二面體，首選應是利用三十片零件拼組而成的美術燈，該燈款早期只見於燈光美、氣氛佳的下午茶

咖啡區，近幾年因添加了多彩色片的搭配，頗有五味並全之意，如今已廣被裝潢在熱炒店或牛排店（圖五）。相較之下，花蓮文藝旅店迎賓大廳內設

置的十來顆鋼板椅凳，若能悠活坐踏其上，套句廣告臺詞，那種 Fu 還真是一種「奢華的幸福」。（圖六）

圖一、材質古樸的植栽花盆 圖二、晶瑩剔透的珠串吊飾 圖三、造型獨特的益智玩具

圖四、一體成形的石雕藝品 圖五、熱鬧活潑的餐飲氣氛 圖六、幸福奢華的立體踏凳

【五邊形發想之參考解答】：

(1) 食：楊桃 ( 五角星 )、五爪蘋果。

(2) 衣：超人服裝上的紅色 Logo( 代表著無堅不摧的鑽石，參見〈九部曲〉)。

(3) 住：美國國防部的五角大廈；新店國小創校百年的紀念碑；五峰旗瀑布景

　　　 點的涼亭；路旁消防栓的開關 ( 內含數學學理 )。

(4) 行：車商 ( 克萊斯勒 ) 的標誌；五等分的輪胎鋼圈。

(5) 育樂：足球；本壘板；摺紙條的許願星 ( 內含數學學理 )；新泰國小的校徽。

五邊形

心智圖

食的聯想

衣的聯想

住的聯想 行的聯想

育樂聯想

徵稿啟事

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希望能分享給全國高中職教師教學使用者，歡迎投稿。

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企劃‧編輯 \ 徐偉嘉　　美術設計 \ 吳柔語

三、公共藝「數」

　　由於古希臘智者將黃金比例封為神聖的比例，因緣際會之下，便將正十二面體與宇宙畫上等號，完結柏拉圖立體與四元素對應的劇本 (參見〈十一

部曲〉)。到了 17 世紀，德國天文學家克卜勒(J. Kepler,1571-1630)還曾認真鑽研五種正多面體內外相接的各種比例，試圖以此模擬太陽系的行星模型。

時至今日，該立體的星際魔力依舊未減，在 1997 年相繼出品的科幻電影《第五元素 (The Fifth Element)》與《接觸未來 (Contact)》中，正十二面體分

別化身成女主角的身軀 ( 生命小宇宙 ) 與穿越時空的太空船。

　　當藝術家們面對正十二面體時，博學多聞的達文西 (L. da Vinci,1452-1519) 幫忙好友帕西奧利 (L. Pacioli,1445-1517) 繪製凹凸變化的插圖；理論與

實務兼具的杜勒 (A. Dürer,1471-1528) 則將自畫像同步融入帕西奧利鑽研歐氏幾何學的畫面 (1495)；愛搞怪的達利（S. Dalí, 1904-1989) 特地選用骨架

當作〈最後的晚餐 (Last Supper,1955)〉的教堂窗櫺，藉此影射上帝創造的世界；刻工精細的艾雪 (M. C. Escher,1898-1972) 雖只是單純地將石膏模型入

鏡〈爬蟲(Reptiles, 1943)〉，但卻又刻意與正六邊形鑲嵌地磚一搭一唱，想必是別有居心的編排，至於後來在〈群星練習曲(Study of Stars, 1948)〉及〈群

星 (Stars,1948)〉的點綴，以及〈四個正多面體 (Four Regular Solids,1961)〉對偶鑲組的構圖，立體幾何之美盡在不言中。

　　關於大型的正十二面體造景藝術，筆者至今所見有二，一是出現在 2000 年雪梨奧運閉幕晚會上，三、

四層樓高的超大地球儀舞臺（圖七），正五邊形恰如其分地象徵五大洲運動選手們專屬的榮耀盛會；二是

兩年前才搭建在臺中國美館後方停車場草坪上的環境藝術〈綠晶典〉（圖八），三大顆半露半顯的正十二

面體鋼骨交織在一起，額外搭配植栽綠化且有步道穿梭其下，雖無森林芬多精之醒腦，但已充分發揮親近

自然與接觸藝術所附加的身心舒展與心靈療癒機能。

　　「公共藝數」專欄期引領讀者透過數學的放大鏡，察覺並欣賞存在於生活週遭的數學元素。本文介紹

多款正十二面體造型的生活設計與裝置藝術，若有機會上手把玩或佇足其下，記得多方品味其蘊含黃金比

例的自然美感，靜心體驗其串接大小宇宙的生命悸動。

藝術補給站

【作品名稱】綠晶典 Green Splendid

【創作發想】賴純純／義春實業有限公司

【材質年代】不鏽鋼、植栽。2014

【尺寸規格】長 1755×寬 1434×高 482 cm

【設置地點】臺中國美館後方戶外園區綠地

【原創理念】〈綠晶典〉以五邊形建構的正十二面結晶體為元素，柏拉圖

　　　　　　在《蒂邁歐篇 (Timaeus)》裡形容正十二面體是用以界定宇宙

　　　　　　及萬物的輪廓，如同藝術家心靈的晶體。三座晶體互為交錯

　　　　　　穿透並向外延伸，寓意美術館藝術典藏能量豐沛傳衍。〈綠

　　　　　　晶典〉連結都市綠帶景觀，以藝術穿越體驗為主題，讓民眾

　　　　　　行走、穿梭其中，以植物自然輪替共生的概念，誘蝶、誘鳥

　　　　　　成為心靈芬多精的生態小花園。

資料來源：展版資訊

圖七、報章頭版的奧運場景

圖八、臺中國美館的「綠能」藝術