repositorio.unicamp.brrepositorio.unicamp.br/jspui/bitstream/REPOSIP/306670/1/... · 2019. 9....

Universidade Estadual de Campinas Instituto de Matemática Estatística e Computação

Científica

FUnções Complexas de uma Variável Complexa - Uma Abordagem Via Software Mathematica

Laudo Claumir Santos

1998

-V~!!~.\> -~-·--·-N.' i;> ... ·. -~.:

I

Cf•f-·-00 il7b0b .. -:~

Funções Complexas de uma Variável Complexa - Uma Abordagem Via Software

Mathematica

Este exemplar corresponde à redação final da dissertação devidamente corrigida e defendida por Laudo Claumir Santos e aprovada pela comissão julgadora.

Campinas, 2 de Setembro de 1998

Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, UNICAMP, como requisito parcial para obtenção do Título de MESTRE em MATEMÁTICA.

Sa59f

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PIELA BIBLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP

Santos, Laudo Claumir

Funções complexas de uma variável complexa- uma abordagem

via software mathematica I Laudo Claumir Santos-- Campinas. [S.P.

:s.n.], 1998.

Orientador: V era Lúcia Xavier Figueiredo

Dissertação {mestrado) - Universidade Estadual de Campinas,

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

1. Funções de variáveis complexas. 2. Funções analíticas. I.

Figueiredo, Vera Lúcia Xavier. !L Universidade Estadual de

Campinas. Instituto de Matemática. Estatística e Computação

Científica. li L Título.

Dissertação de Mestrado defendida e aprovada em 02 setembro de 1998

Pela Banca Examinadora, colllposta pelos Profs. Drs.

Prof (a). CIA XAVIER FIGUEIREDO

Dedicatória

à minha esposa e ao meu filho

Agradecimentos

Agradeço à Professora Vera pela paciência, dedicação e amizade prestada em sua orientação.

Aos professores com os quais tive contato em cursos: aos funcionários da biblioteca e da pós-graduação pela boa vontade com que me serviram quando precisei.

Ao CNPq pelo auxílio financeiro sem o qual este trabalho não teria sido realizado e a CAPES, através do Programa de Apoio à Integração Graduaçào/Pós-Graduaçã.o/PROIN, pelo suporte computacional do labo-ratório rnultinúdia EMU /IMECC.

A todos os amigos da pós-graduação do IMECC em especial ao Edson, Giuliano, Ryuichi, Osmar e Cláudio.

Agradeço, também, â minha fann1ia, pela união, incentivo e credibilidade que sempre me pre.-.;taram, em especial a minha mãe :~daria. a minha irrnâ LeiJa. a meus sogros Ovandir e Dorca. a minha cunhada Viviane e à

minha esposa Liliane que e.sta lindamente no quinto mês de gestação do nosso primeiro filho.

In memorian a meu pai Antônio, pelo exemplo de vida, amor e carinho que o faz eterno entre nós.

A Deus) nosso pai criador, cujo amor por nós é inígualável. E ao Flávio, pela paciência e pelo excelente trabalho de digitação.

Conteúdo

Introdução ............................................. .

Capítulo 1: Funções Complexas de uma Variável Complexa ... 1

1.1 Estrutura Algébrica dos Números Complexos - Imple-mentação . . . . . . .......................................... 2

1.2 Funções Complexas Vistas como 'Iransformações no Plano -Visualizações ............................................ 4

1.3 Interpretação Geométrica para o Teorema Fundamental da Álgebra ................................................. 7

1.4 Programas do Capítulo .................................. 12

Capítulo 2: Abordagem Geométrica dos Gráficos das Partes Real, Imaginária e do Módulo de Algumas Funções Com-plexas . . . . .......................................... 2ó

2.1 Funções Polinomiais da Forma f,(z) = az" ...... b; a,b·E (['e nE2Z ............................... 26

2.2 F\mções Exponenciais da Fbrma f(z) ~ E.~piaz + b);

a,bE a: .................. . ......... 34

2.3 Transformações de Moebius . . . . . . . . . . . . . ............ 39

2.4 Programas do Capítulo .................................. 47

Capítulo 3: Transformações Conformes - Projeção Estereográ-fica - Transformações de Moebius ................... 65

3.1 Equações de Cauchy-Riemann ........... . . .......... 65

3.2 Funções Analíticas - Funções Harmônicas ............ 67

3.3 'Il:-ansformações Conformes .............................. 70

3.4 Projeção Estereográfica com polo em N ~ (0. O, 1)- Cons-trução - Propriedades . . . . . . . . . . ............ 73

3.5 Visualização da Pré-hnagem de Alguns Subconjuntos do Plano Via Projeção Estereográfica . . . . . . . . . . . ... 78

3.6 Transformações de Moebius ........... . . . 85

3. 7 Rotações na Esfera Vistas con1o Transformações no Plano Complexo Via Projeção Estereográfica ......... , , , .. , . , 87

3,8 Programas do Capítulo , , , , , , , , , " ...... , .... " " .. , , 88

Capítulo 4: Homotopia e Integração ............................... no

Bibilografia . . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . .. .. .. . . . . . .............. 124

Introdução.

Esta dissertação de mestrado foi produzida para ser um texto complementar para um curso de graduação de variáveis complexas, tendo corno inspiração a introdução do artigo The Geometry of Harrnonic Functions onde o autor narra a seguinte parábola:

Imagine urna sociedade onde seus cidadãos são estimulados, na verdade obrigados, a partir de urna certa idade, a lerem (e algumas vezes a escreverem) partituras musicais todas muito admiráveis. Entretanto esta sociedade tinha uma lei muito curiosa e perturbadora (pouco..'> sabiam como isto começou); Música nunca deve ser ouvida ou executada.

Apr...sar da música ser universalmente reconhecida, por alguma razão ela não podia ser inteiramente apreciada nesta sociedade. Faltava aos estudantao;- de múska a intuição sonora. Lei análoga a esta aplicada na área de matemática seria: Matemáüca não deve ser msualizada.

Neste trabalho optamos então por desobedecer esta lei perturbadora que nos proíbe de intuir, experimentar, de buscar os apelos geornétricos para elaborar um texto onde tudo isto foi possível, na busca de obter novas manen·a.s para e:-:;:plorar velhos temas.

Tendo como referências bá')icas livros tradicionais de variável complexa, utilizamos, como ferramenta para visualização dos conceitos e resultados abordados, o pacote simbólico e gráfico Mathematíca por ter uma interface ínteressante além de ser amigável para programação.

O software Mathematica foi utilizado no texto de várias maneiras. No capítulo I: Funçàes Complexas de uma Van:ável Complexa são intro

duzidos os conceitos básicos de númerm complexos e funções complexas. Utilizando comandos básícos do Mathematica pudemos implementar a estrutura dos números compl0.xos e visualizar as fw1ções complexas vistas como tra.nsformaç:ões no plano, Alnda neste capítulo exploramos o Teon~ma F\mdamental da Álgebra. visualizando os zeros de um polinômio complexo de maneira convincente, utilizando o Teorema do Valor Intermediário para funçôt~s reais contínuas de uma variável real.

No capítulo II: Abordagem Geométrica dos Gráficos da Part,e Real, Ima ginária e do Módulo de algumas Punções Complexas) a intuição e o auxilío do pacote Mathematica para experimentaçõe.'.l permitiram elaborar uma interP..ssante teoria a. respeito da relação, em termos de movimentos rígidos) entre os gráficos da.."i partes real, imaginária e do módulo de algumas funções

complexas. No capítulo III: Transforrnações Conformes - Projeção Estereográfica -

Transformações de Moebius exploramos a definiçâo de derivada de uma função complexa do ponto de vista analíti<;o e geométrico, trabalhando em particu lar com transformações conformes. Co:r:h ~ma programação mais elaborada foi possível a visualizaçào da construção da projeção estereográfica, a implementação de suas principais propríedade..."i geométricas e um pequeno estudo sobre as transformações de l\·1oebius visando relacioná - la'3 com rotaç:õe,s na esfera S2•

Finalmente. no capítulo IV: Homotopi.a e Integração ímplementamos os conceitos de integral de linha e de homotopia entre cmvas que permitiram a resolução de integrais e a visualízação de curvas homotópicas, além de ilustrarmos o Teorema de Cauchy com relação a integração de funções analíticas sobre curvas homotópicas.

Acreditamos que o donúnio dos conceitos envolvidos, a capacidade de sistematização e a aprendizagem de programação d€',:;;envolvidos durante a elaboração deste trabalho foram fatores decisivos para podermo.'> alterar a lei anterior para: Matemática pode ser visualizada!

Gostaríamos de ressaltar que existem muitos temas que podem ser abordados e explorados a partir deste texto, em vi"lta do caráter geral de muitas das programaç.Õf'.S aqui desenvolvidas e muito existe ainda para ser investigado em vista da riqueza do ass1mto abordado.

Para uma maior comodidade dos leitores, este trabalho acompanha um disquete contendo todos os programas desenvolvidos no mesmo.

Capítulo 1

Funções Complexas de uma Variável Complexa

Um número complexo z é uma expressão da forma a+ ib, sendo a e b números reais

(a, b E IR) e i um número imaginário que satisfaz a relação í 2 = -1. Denotamos por

([' o conjunto dos números complexos. Munindo o plano de um sistema ortogonal de

coordenadas cartesiana..s) geometricamente podemos pensar em um número complexo

z = a + ib eomo o ponto P, de coordenadas (a, b), deste plano ou como o vetor

OP onde O = (0,0). Dado z = a+ ib E <17, definimos R(z) = a (parte real de

z) e J(z) = b (parte imagináría de z). O conjugado de um número complexo z

é definido por z = R( z) - il ( z) enquanto seu módulo ou norma é definido por

lzl = jR(z)' + J(z)'.

Dado um número complexo não nulo z = a+ íb, existe um único O E [0, 271)

tal que a= i::'i cosB e b = lzl sene. Geometricamente este B representa a medida.

em radianos. do ângulo de inclinação do vetor z. Desta forma podemos reprE",sentar

o número z por z = lzj(cosiJ + isenB), chamada de forma polar.

Uma equação polinomial de grau dois az 2+ bz +c= O, a,b,c E IR. a f. O possui soluç:áo real se b2 ~ 4ac 2: O. Caso b2 - 4ac < O este polinômio não possui

soluçào reaL Entretanto, se f'..stamos trabalhando com os números complexos con

seguimos uma decomposição do polinômio de grau 2 acima como o produto de dois

polinômios de grau 1:

1

-b + i/4ac- b2

(I) az 2 + bz +c= u(z- zl)(.::- z2 ) onde ZJ = e · 2o

·-b- 1J4ac -[;2

2a Para verificarmos que a identidade (I) é verdadeira necessitamos definir as

operações. de soma e produto nos números complexos. Definimos as operações de

soma e produto de números complexos como operações que estendem para IL' estas

mesma13 operações em IR. Se z = a+ ib e w =c+ íd são números complexo.':\1 definimos sua soma por:

z+w = (a+c)+i(b+d) e seu produto por: zw = (ac-bd)+i(bc+ad). Estas operaçõc~ tornam o conjunto dos números complexos um corpo [9,Cap I]. Esta f'...strutura será

implementada na seção L L Observe que as definições acima permítem mostrar a

identidade (!). Surge então a pergunta: É sempre possível decompor um polin6mio de grau

n num produto de fatores complexos de grau um? A resposta para esta pergunta é

baseada no Teorema Fundamental da Álgebra., devido a Gauss, que afirma que todo

polinômio com coeficiente_s reais ou complexos possui ao menos uma raiz complexa.

Uma demonstraçã.o geométrica d€'Bte teorema será dada na seção 1.3.

Na seção 1.2 utilizamos o programa 1v1athematka para a visualização de

funções complexas vistas como transformações planas.

1.1 Estrutura Algébrica dos Números Complexos - Implementação.

A estrutma algébrica dos números complexos está implementada no Programa 1 que St! compõe de duas partes:

• A primeira parte deste programa tem por dado::: de entrada dois núJneros

complexos z1 e z2 . Como rf'.sposta. ele fornecerá a seguinte li.;.;ta de seis posições

z = {z1, zz, z1 +zz, Zl-zz.zl *Zz, zdzz}, podendo o usuário teia representação

geométrica de qualquer um destes ítens da lista na forma de ponto ou de v-etor.

2

• Na segunda parte o usuário fornece ao programa um número complexo w1 e

dois números inteiros m) n, n i O obtendo a lista w = { w1, w1 , lwd, R(w1), J(w1 )},

uma lista, raiz, contendo os números w{t e a representação geométrica destes

objetos.

Estrutura Algébrica dos Números Complexos - Programa 1 - Fig 1.1 e

1.2.

-1 5 -l_

Figura 1.1: Visualização dos números zl, z2, zl+z2, zl-z2 e zl*z2 onde zl = 1 + í e z2 = 0.5 + 2 i.

Figura 1.2: Raizes sexta._<; da unidade.

3

1.2 Funções Complexas Vistas como Transformações no Plano - Visualizações

Sejam !1 C <V e f : !1 - <V. Então existem funções u, v : !1 ~ IR tais que, se

z = x + 'lY E fl então f(z) = u(x, y) + iv(x:y); e reciprocarnente, duas funções a

valores reais u, v : 0: c (f' ......., lR determinam uma única função complexa f tal que

u = R.(f) e v= I (f). Olhando pa1·a uma função f : n c a: ........, <17 como uma transformação do

plano no plano, é interessante investigar a imagem de alguns subconjuntos do plano

segundo estas funções. Nos programa<;) que se seguem, o mmário tem a opçào de

entrar com uma função complexa qualquer f = f ( z), ou com suas partes real e

imaginária, u e v, respectivamf'.nte para estudar a imagem de circulas, discos, curvas

poligonais e polígonos através da função f.

Imagem de Círculos - Programa 2 - Fig L3.

Figura 1.3: Círculo de céntro na origem e raio 3 e sua imagem pela função f(z) = Senh z.

4

Imagem de Discos - Programa 3 - Fig 1.4.

Figura 1.4: Disco de centro (1,0) e raio 1 e sua imagem pela funçàD f(z) = z2

Imagem de Poligonais - Programa 4 - Fig 1.5.

Este programa tem por dados de entrada uma poligonal de vértlce_s { x1 , y1 } _

{x 1),y •• } pondo:

n = número de vértice.;;

5

i 2\

10 o

i

-4 _,

Figura 1.5: Poligonal de n = 3 vértices (2,-1), (3,0), (0,1) e sua imagem pela função f(z) = Exp z.

Imagem de Triângulos - Programa 5 - Fig 1.6 e 1. 7.

o.

Aqui o usuário fornece ao programa os vértices do triângulo { x1, y,), { x2 , y2},

{ x3 , y3} onde x, S x, S x,, pondo x = {x1 , Xz, xs} e y = {y, y,, Ya},

Figura 1.6: Triângulo de vértices (0,1), (2,-1) e (3,0).

6

Figura 1.7: Imagem do triângulo pela funçiiD f(z) ~ Exp z.

Imagem de Retângulos - Programa 6 - Fig 1.8.

., ' -2 c 2

Figura 1.8: Retângulo de vértices (-1r,l), (-n,2), (1r,2), (1r,l) e sua imagem pela funçiiD f(z) ~ Sen z.

1.3 Interpretação Geométrica para o Teorema Fun-, damental da Algebra

Por que polinômios tem raízes? Ver \5].

O Teorema F\mdamental da Álgebra diz que um polinômio de grau n, com

coeficientes em <r) possui exatamente n raizes, contadas com suas multiplicidadei!.

Nesta seção daremos uma demo!lBtração geométrica para este teorema fazendo uso

7

preliminar de um Lema de geometria e recorrendo ao Teorema do Valor Intermediário

de uma função real de uma variável reaL

Lema. Suponhamos que 2n pontos de um círculo estejam marcados alternada

mente com os sinais de mais e menos. Se este~'> vértice.."l são unidos em pare.s, de

alguma maneira, por n arcos disjuntos no interior do círculo, então cada arco deve

tmir pontos com sínaís opostos.

Dem: Suponha que um dos arcos una dois pontos com o mesmo sinaL Entào este

arco divide o interior do círculo em duas regiões A e B, cada tuna com um número

ímpar de pont-os. Cada um dos n-1 arcos restantes devem estar inteiramente em A ou em B poís os arcos são disjuntos, o que é impossível.

Seja um polinômio mônico f(z) = zn + Un-1zn-l + · · · + a1z +ao com eo-

eficientes complexos. Em coordenadas polares, z = reiOJ(z)

n n

L air' cosjB +i L a,r'senjB = R(T, 8) + il(r, 0), ;=0 j=O

" L a,(re")' j-=0

Por outro lado, R( r, 8) · cos n8 = 'rn cos2 n8+ termos de grau menor que n em T, donde, para r» 1, isto é, para r suficientemente grande, o sinal de R,(T,8)

concorda com o sinal de cosnfJ, para todo ângulo polar onde c:osnO =I O. visto

que) neste caso, a parcela positiva r 11 cos2 n() é dominante no polinômio do segundo

membro da igualdade. Da. meBma forma, os sinais de I(r, 8) e sennB coincidem para

T » 1 e senne =I= O.

Notando que cos ne muda de sinal em múltiplos ímpares de 1r /2n, segue que

R( r, O) é positivo sobre n arcos abertos e negativo para n arcos abertos do círculo 11" /zl = T, T 4'> 1, sendo que os 2n raios fJ = (Zk + 1)- onde cosnfJ =O, são assíntota..r.;

2n das curvas de nível R( r, 8) =O, podendo haver possíveis intersecções.

Porém, o sinal de senne muda nos pontos médios de cada intervalo onde

cos rdJ = O, assim para r ~ 1, sennB possui sinais alternados nos pontos onde os

vários ramos das curvas de nível R(r,(}) =O cortam o círculo /zl = r, pois cada

8

extremidade das componentes conexas destas curvas são ramos assintóticos aos raios

onde c:os nB = O.

Então, segue do Lema que J{r, B) possui sinais diferentes em pontos opostos de

cada componente conexa de R(T, fJ); daí, usa.ndo o Teorema do Valor Intermediário

para funções reais contínuas de uma variável real, I(r, fJ) tem um zero em algum

lugar sobre cada componente.

Teorema Fundamental da Álgebra- Programa 7 - Fig 1.9 a 1.11.

Neste programa o usuário fornece os coeficientes do polinômio f(z} = a,.zn + · · · + a1 z + a0 em a = { a0 , a1, • •• , an} e o número de coeficiente-s em n, visualizando

os gráficos e as curvas de nível, nível zero, das funções R(f) e 1(!), e obtendo os

zeros do polinômio geometricamente e algebricamente.

Figura 1.9: Visualização dos gráfico...:; das partes real e imaginária do polinômio p(z) - z2 '1 - T,

9

o.!~---- -~c·~---~----'

.j . . -J I I L_ ____ • ______ j

-4 -2 o 2 4

Figura 1.10: Visualização das curvas de nivel1 nivel zero, das funções acima.

Figura 1.11: Visualização dos zeros do polinômio.

10

Fi!,rtrra 1.12: Gráficos das parte.c; real e imaginária, respectivamente do polinômio p(z) = z0 + (l-5i) z5 - (8+17i) z4 - (82+44i) z3 - (170+40i) z2 + (-300+400i) z.

-4 -2 o 2 4 -4 -2 o 2 4

Figura Ll3: VISualização das curvas de nível das funçõe.s acima, nive1 zero.

ll

-4 -2 o 2 4

Figura 1.14: Visualízação dos zeros do polinômio.

Zeros de funções complexas é um tema bastante rico a ser abordado. Em

particular: trataremos deste assunto no Capítulo 3, onde abordaremos os zeros de

funç'ões m1alíticas.

1.4 Programas do Capítulo

Programa 1 - Estrutura Algébrica dos Números Complexos .

(* Primeira Parte

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

zl =;

z2 =;

*)

(********** CORPO DO PROGMMA **********)

z := { zl,z2,zl+z2,zl-z2,zl *z2,zl/z2} / /Simplify

g[a_,b_] := {t*a,t*b}

12

repz[k _] := ParametricPlot[g[Re[z[[kllJ,Im[z[[klllJ//Evaluate, { t,O, 1} ,DisplayFunction-> ldentity,PlotStyle-> Thickness [0,0 1], AspectRatio-> Automatic,PlotPoints->50] repzp[k _] := Graphics[ { PointSize[0,05],Point[ {Re[z[[k]]] ,Irn[z[[klll}]), Axes->'Irue]

(********** DADOS DE SAIDA **********)

(*Lista contendo zl,z2,z1+z2,zl-z2,zl*z2,zl/z2, respectivamente. *)

z

(* Representação geométrica do item p da lista na forma de vetor. *)

Show[repz[p],Display Function->$DisplayFunction]

(* Reptf'Bentaçã.o geométrica do item p da lista na forma de ponto. *)

Show[repzp[p] ,DisplayFunction->$Dk'PlayFunction]

(* Representaçã-O geométrica dos itens p e q da lista, em figuras diferentes, na forma de veton"B. *)

Show[GraphicsArray[ { repz[p] ,repz[q]} ]]

(* Representação geométrica dos itens p e q da lista, em figuras diferentes1

na forma de pontos. *)

Show[GraphicsArray[{repzp[p],repzp[q]}]]

(* Representação geométrica dos ítens p e q da lista, em uma mesma figura,

13

na forma de vetores . *)

Show[repz[p) ,repz[q) .Display Function->$DisplayFUnction)

(* Representaçào geométrica dos itens p e q da lista, em urna mesma figura 1

na forma de pontos. *)

Show[repzp[p),repzp[q],DisplayFunction->$DisplayFunction]

(* Representação geométrica de todos os itens da lista, em uma mesma figura, na forma de vetores. *)

A ~ Graphics[Text["zl", {R.e[zl )+O.l,lm[zl )+0.1 }));

B = Graphics[Text["z2" ,{Re[z2]+0.l,Im[z2]+0.1})];

c ~ Graphics[Text["zl+z2" ,{R.e[zl+z2)+0.l,Im[zl+z2)+0.1 }));

d = Graphics[Text[''zl-z2" ,{Re[zl-z2]+0.l,lm[zl-z2]+0.1}));

e = Graphics[Text[''zl *z2" ,{Refzl *z2)+0.l,Im[zl *z2)+0.1} )]; f = Graphics[Text['zl/z2", {Re[zl/z2]+0.l,Im[zl/z2]+0.1} ]];

Show[repz[l],repz[2],repz[3],repz[4),repz[5],re.Pz[6],A,B,c,d,e,f, DisplayFunction->$DisplayFunction]

(* Seg1mda Parte *)

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

wl::::::;

m=; n -. -'

(********** CORPO DO PROGRAMA **********)

14

w2 := Conjugate[·wl]

norma := Sqrt[w 1 *w2]

w := { wLw2,norma,Re[w1],lm[w1]) / /Simplify

xl := (m/n)*(Arg[w1]+k*2*Pi)

raiz :~ Table[norma' (m/n)* (Cos[x1]+I*Sin[xl ]), { k,O,n-1} ]/ /Simplify

g[a_,b_J := {t*a,t*b}

repw[k _] := ParametricPlot[g[Re[w[[k]])Jm[w[[k]]J]/ /Evaluare,

{ t ,0, l} ,Plot Style-> Thickness [O. O 1] ,Display Function-> Jdentity,

Aspect Ra tiü->A utomatic ,PJot Point s->50}

repwp [k _] : = Gr ap hics I {PointSize[(), 05], Point [ {Re[w[[k ]]] Jm[w[[k]] í}]}, Axes- >'11-ue]

repraiz := Table[ParametricPlot[g[Re[raiz[[k]]],

lrn[raiz [lk]]]J j /Evaluate, { t, O, 1} ,AspectRatío-> Automatic,PlotPoints- >50, PlotStyle-> Thickne.ss[O. 01] ,Display Function-> ldentity], {k 1 ,n}] circulo:= PararuetricPlot[{normcr'' (m/n) Cos[tLnorma"' (m/n) Sin[tj},

{ t, 0,2 Pi}, Aspect Ratio-> Autornatíc,Display Function-> Jdentity]

repraizp: =Table[ Graphics[ {PoíntSize[O .05] ,Point [ {Re[raiz[[k]]] ,Im[raiz[[k]]] } ] } ,

Axes-> True], {k, I ,n) J

(********** DADOS DE SAlDA *********-*)

(*Lista contendo wl.wl,jwli,R(wl),I(wl), respectivamente. *)

(* Representaçilü geomNrica do.s ítem:. 1 e 2 da lista •v na fornH:~. de vf~tore.;;:. *)

A = Gra.phics[Text [··wl'" ,{Relwl]+0.2Jrn[wl]+O.l }]];

B = Graphícs[Te,a:·wJ" .{RefWIJ+0.2.!rn[w1]HJ.l )]]:

15

Shm,·[repw[ lj.repw[2j,A,B,Display Function-> $DisplayFtmctionj

(* Lista contendo os números w 1 7.: . *)

nuz

(* Reprf'..sentação geométrica dos números w 1 ~ na forma de vetores . *)

Show[repraiz,DisplayFunction->$DisplayFunction]

(*Representação geométrica dos números wl~ na forma de pontos. *)

Sh ow [circulo :repraizp ,Displa y Fuuction- > $Display Funct i on]

Programa 2 - Imagem de Círculos.

(********** DADOS DE EI\TRADA **********)

xO =;

r=· ,

(* (*

centro do círculo

raio do círculo

*) *)

(*** CORPO DO PROGRA,!A MAIS ALGUNS DADOS DE ENTRADA ***)

!' Caso em que é dada f(z)

~: ·- x(J ' r· ('o-it' ' --- -,.- -- "'l j

v := vO + r Sin[tl . . ' z::::::.x+yi

f:iz .... J :"""-

paramf : c• { Re[f[zj]Jm/f[zj])

*)

l6

(* Caso em que são dadas u(x,y) e v(x,y)

x := xO + r Cos[t]

y := yO +r Sin[t]

ujx ~- ,y _] :=·

' ' V[X __ ,.)'_j :=

paramf := {u[x,y],v[x,yj)

círc := ParametrieP!ot[{x,y),{t,0,2 Pí},

*)

Aspect Ratio- >A utomatic ,Displa,vFunction-> Identity]

fcirc:=ParametricPlot [paramf//Evaluate.{ t ,0,2 Pi} ,PlotPoints- >50,

Asp<"..-et Ratio-> AutomaticlDisplayFunction-> Ident ity]

(********** DADOS DE SAlDA **********)

{* Círculo dr centro (xO,;vO) e raio r e sua imagem segundo f *)

Show[GraphicsArray[ { circ,fcirc) ])

Programa 3 - Imagem de Discos.

(******-"'*** DADOS DE ENTEADA **********)

xO ~

yO = :

R=;

(*

(*

centro do disco

ralo do disco

*)

*)

(*** CORPO DO PROGRAMA MAIS ALGUNS DADOS DE ENTRADA *'*)

Ca:,;o em que f' dada f(z) *)

x :- xO + r Cos(t]

17

v := v() + r Sinlt I •' ' ','

Z :=X+ y 1 f[z__] :=

panrmf - {Re[f[z]j.Im[f[z]j.O}

(* Caso em que 5âo dada" u(x,y) e v(x,.v)

x := xO +r Cos[tj

y := yü + r Sin[tj

u[x_,y _.1 :=

v[x_,y _] :=

paramf := {u[x,y],v[x,y],O}

disc := ParametricP!ot3D[{x,y,O),{t,0.2 Pi},{LO,R}.

Vicw Point->{O .000 .O .000 .7 .150} .DisplayFunction->I dent ity'

fdisc :=' ParametricPlot3D[Evalu8te[paramf], { t J\2 Pí} 1

{r .O.R}, ViewPoint- > {O. 000,0. 000.7 .150) .PlotPoints->50. Display Functíon~ > Identity]

(********** DADOS DE SAlDA *'"'*""******)

(* Disco de centro (xO,yO) e raio R f' sua imagem segundo f *)

Shmr[ Graphics:Array i { chsc Jdisc}]]

Programa 4 - Imagem de Poligonais.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

n -"""-:

x:= {)

y := {}

18

*)

(*** CORPO DO PROGRA~lA MAIS ALGUNS DADOS DE EXTRADA ***)

g[a_,b_,c_,d_J[t _]:=a+! (c-a)+ I (b+t (d-b)) w = Table[g[x[[k]Lvllk]],xi[k+l]}s[[k+ 1]]][tL{k,Ln-1 }] zl := g[x[[n]],y[[n]].x[[!Jh:i1J]Jit] ll := Table[ParametricPloti{Re[w[[k]]]Jm[w[[k]]]},

{ t,O,l) ,Disp1ayFunction-> ldentity], { k, 1 ,n-1} J

12 := ParametricP1ot[ {Re;z1 j.Irn[zl]}, { t ,0.1},

Dí:-:pJay Function-> Identity:

(* Caso em que é dada f(z)

f[z_] =:

* )

13 = Ta b1e[ParametricP1ot '{Re[f[w[[k]]]) ,Im[f[w[[k]]]]} I IEvalnate. { LÜ.l} ,DisplayFunction->IdentityY1otPoints->50,

AspectRatio-> Autornatic] ,{k,l ,n-1 }] 14 := ParametricP1ot[{Re[f[z1 ]],Im[f[z1]]} I /Eva1uate, { t,O,l }, DisplayFunction- > Identity,Plot Points->50,A<>pectRatio- >A utomatic]

(* Caso em que são dadas u(x,y) e v(x,y)

u[x ___ .y _j :=

vlx .v 1 :~ ' ~·' _J

13 : = Tablc[ParametricPlot ~

{ u[Re[w[[kJJI ,Im[w[[k]J]], v[Re[w[[klll ,Im[w[[k]]]]} //Eva1uate, { t ,0.1} ,DisplayFunct.ion-> Idemíry,Plot Points->50,

AspectRatio-> A utomatic; .{kJ .n-1}]

14 := Pararnet.ricP1ot[{ u[Re;z1 jJm[zl j],v[Re[zl ],Jm[zl]]} I /Emluate,

{ t ,0. J} ,DísplayFunction->1dentity,PlotPoints- >50.

A:o;pectRabo-> Automatie~

19

*)

(**********DADOS DE SAlDA**********)

(* Poligonal fechada. *)

Sllow[ll,l2,Display Functíon-> $Display Funct ion]

(* Imagem da poligonal fechada. *)

Show[t~.l4 .Dísplayhmction-.>$DísplayFunction]

Programa 5 ~ Imagem de Triângulos.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

X= { }:

y = {}:

(*** CORPO DO PROGRAMA MAIS ALGUNS DADOS DE ENTRADA ***)

g[a _,b _,c_,d_] := a+t*(c-a) + I*(b+t*(d-b))

m = vlll)] + (xlf2]]-x[[l]])*(y[l3]]-y[[l]J)/(xf13]]-xfll]]) lado[k _] := ParametricPlot3D[{Re[g[x[[k]J,yflk]],x[[2]].s]]. Ill.l[glxllkll ,.'•'k'! x[[21] oi] O} {t () 1} {s v!f?l'l n1} ,. tt JJ,, a i!: J '"J · ' ., ' ' l.llL-J' :

V iewPoint->{ 0.000,0.000,7 .150} ,DisplayFunction-> Identity]

(* Caso ern que é dada f(z)

fiz -. '

fiado[k _] = ParametricPlot3D[{Re[f[g[x[[k]] ,y[[k]],x[[2]] .sJl!. Im!f[g[x!_[kj] .}· ::kJ1.x[[2]].s]]j.O} / /Evaluate. { t .0.1}.

*)

{ s,y[[2]J' ,m} .\.iewPoínt- .> {0. 000.0. 000. 7.1.50} .Display:F\mction-> Identity)

{* Caso crn que sào dada.s u(x,y) e v(x,y) *)

20

u[x_y_] =;

vfx .v ] = : I -·.- .

ftado[k _] := ParametricPlot3D[{ u[Re[g[x[lk]J,y[lk]],x[[2]] ,s]], lm[g[x [[k]] ,y[[k]] ,x[[2]] ,s j]], v[Re[g[xffkl] ,y[[k]] ,x[[2]] ,s]], lrnfg[x[[k]] ,yf[k]] ,xf[2J],slJI ,0} / /Evaluate, {t,O,l }, { s,y[[2]],rn), ViewPoint- > { 0.000, 0.000, 7.150} ,Display Function-> ldentityj

(********** DADOS DE SAlDA **********)

('Triângulo de vértice,, {xLvl}, {x2.y2}, {x:J,y:l}. *)

Show]lado]l] ,lado]3] ,Display Functiou->$Disp!ay Function]

(* Imagem do triângulo. *)

Show[fiad o[l] ,flado[3] ,Display Func:tíon- >$Disp!ay Frmct íon]

Programa 6 - Imagem de Retângulos.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

xü =:

vO =: , .

xl :::.: ..

v] ,--· .

x2 =: y') = . '- . x:l = : y3 =: (* Vértice$ do retângulo *)

(*** CORPO DO PROGRAMA ~!AIS ALGUNS DADOS DE E:\T!L~DA ***)

21

(*

z :=X+ y I f['z I:=

-·-'

Caso em é dada f(z)

param[ = {Re[f[z]]Jm[f[z]],O}

*)

(* Caso em que são dadas u(x.y) e v(x.y)

u[x v ] := ~),._

\'ÍX_.y_] :=

param[:= { u[x,y]s[x,y].O}

retan :o: ParametricPlot3D[{xy,O}, { x,x0,x2}, {y,y0,y2},

ViewPoint->{O. 000,0.000, 7.150} ,DisplayFUnction-> ldentity'

fretan := ParametricP1ot8D[E\~aJua.te[paramf], { x~x0.x2},

(y,yO.y2} ,ViewPoint ->{0.000.0.000. 7.150},

DisplayFunction- > Identity J

(********** DADOS DE SAlDA **********)

*)

(*Retângulo de vértice,, {xO.yO},{xl,yl},{x2,y2}.{x3,y3} e sua imagem

segundo L *)

Programa 7 - Teorema Fundamental da Álgebra.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

n::::;

a:={}

(********** CORPO DO PROGRA'\!A **********)

22

z1x .y ·1 := x + I y I -" -· ,

f[x_,y_j := Sum[al[ijj*z[x,yJA (i-l),{i,l,n}j

fl[x_,y _] := Re[f[x,yjj

f2[x __ ,y _] := Im[f[x,yll

gfl [b .. ,c_ ,d _,e __ ] = Plot3D[fl [x,y], { x.b,c }, (y,d,e},

DisplayFunction-> Identity]

gf2[b_,c_,d _,e_] := Plot3D[f2[x,y], {x b,c }, {y,d,e),

Display Function-> Identity]

cl[k J[b _ .c_,d_ ,e_] := ContomP!ot[fl[x,y],{x,b.c},{y,d,e}.

Cont-ours-> {k}, DísplayFunction-> Identity,PlotPoints->50,

ContourShading-> False,AspectRatío- >A ut omatic)

c2[k_][b _.c ... d_ ,e_] := ContourPlot[f2[x,y],{x,b,c),{y.d.e}.

Contours-> {k} .DisplayFunction- > Identity,PlotPoints->50,

ContourSha ding-> False, A"ipect Ratio-->A utomaticj

g[w_] := Sum[a[[i]]*w'(i-l),{i,l,n}]

raíz:= NSolve[g[wj = = 0]//Símplify

zeros •= Table[w /.raiz[[k]J, {k,l,n-1} ]//Simplify

repraiz := Table[Graphics[{PointSíze[0.05],

Poin[ {Re[w (.raiz[[k]Jí.Im[w /.raiz[[k]J] }] }.Axes-> True], {k,l ,n-1)]

(********** DADOS DE SAlDA ***"'*'!<****)

(*Gráfico:-, da..s parte~ reol P imaginária de- f uos domínios [à.b;X[cd] e

[t:'J]X(gV. re:-;pectivarnente. *)

("" Reprt\"ientação das cmvas de nível das partes real(' imaginária de f, nível O. *.)

Show[GraphlcsArray[ { cl [O] [-5,5, -5,5] .c2 [O] [-5)5) -5.5]} ]]

23

(* Visualização dos ZPIOS do polinômio. *)

Show[ c 1 [0][-5,5, -5,5] ,c2 [O] [-5,5,-5,5] ,repraiz, DisplayFunction-> $DisplayFuuction]

(* Lista contendo os zeros do polinômio. *)

zeros

24

Capítulo 2

Abordagem Geométrica dos Gráficos das Partes Real, Imaginária e do Módulo de Algumas Funções Complexas.

Dada u:rna função complexa f : G c a: --+ a::, podemos obter trl?s funções de

duas variáveís reais a valores reais) a ela a...:;sociadas\ a saber: parte real R (f). pm·t€'

imaginária I (f) e módulo IJI, cujos gráficos sãD superfícies em JR'-Surge, então, a seguinte pergunta:

·~Existe alguma relação, em termos de movi.mt:>nt~ rígidos, entre os gráficos

das funções R(f) e I (f)?"

Neste capítulo analisaremos esta questão para alg'lllHt.'l funç'Ões particulare0

e, como será visto\ obteremos resultados intcre.ssantes. S:.:ientamos que os: progra-·

ma.r.; aqui presenteB serviram de inspiração para a teoria obtída. pois, com eles. foi

possível \·isualizar os gráficos e as curv~ de nível das hu,\·3es R(f) c f (f) para <.:8-

da fuw;;ão analisada f- Além disso fizemos um estudo a t<:::-:.peit o da intersec<,:ão do:::

gráficos das funções R(J) e lfl·

25

2.1 Funções Polinomiais da Forma

fn(z) = az11 + b1 onde

a = a1 + ia2 1 b = b1 + 'ib2 e n E ::Z".

Programa 8- Fig 2.1 a 2.7.

Análise da função f3(z) = z3

Figura 2.1: Gráfico e nrrvas de níYel da função R1f3).

-6-4-20246

Figura 2.2: Gràflco e curYa.s de nivel da funç:ão I (1).

26

Fígura 2.3: Gráfico da função R((,)-I(f3) rotadonada de ângulo r. /6 ao redor do eizo Oz.

FiF:,rtn·a 2.4: Gráfico e curvas de nível da função lf3 !.

27

Figura 2.5: Gráficos das funções R(f:1) e lf:d em urna meBma figura.

É interessante observar~ através da figura acima que existe intersecção entre

R(f3) e if31· Surge então a perguntac Como se dá tal intersecção?

28

I I

Figura 2.6: Visualização da intersecção dos gr~cm; da<5 flmçõe.;; R(f3) e lfal-

Para compreendermos melhor esta intersecção é int-eressante observarmos o

que> ocorre eom a projeção da intersPrção no phmo Oxy.

29

Figma 2.7: Visualização da projeção no plano Oxy da intersecção dos gráficos das funções H(f,) e lf:Ji·

Conclusão: A curva intersecção destas superfícies é tal que sua projeção no

plano Ox,v c~ formada por trés semi - reta~. Veremos que o número de semi - rei as

coincide com o grau do polinómio.

Teorema 1. Os gráficos de R(fn) e I(Jn) não são alterados quando girados de

ângulo 2n/n ao redor do eixo Oz.

Dem:

Como a rotHçâo. Ptn torno da origem, de ângulo e equh'"'dlP a multiplicação

pelo mimero complexo eill. prffi~amos mostrar que R{fn)(z) = R(f11 ){eí'2;,""' _,)e

I(f,.)(z) = I(f,)(e''; z).

Pondo zn = R(zv)+ I(zn)í, temos que fn(z) = az11 +Ó = (a 1R(zn)- a:;J(z'1 )+

+ hi) + i(aJ(::n) + a2R(2n)- b2), dondP:

R{j~d\z) = a1R(::n)- azl(zn) + b1 e

I(f,,)(z) = a.1!(z") + azR(z") + bz.

De (tA;)" = 1, seguem-se üS igualdades.

30

Teorema 2. O grâfico de l(fn) é obtido pela rotação de 1i/2n, em relação ao eixo

Oz, seguido de uma t.ran.<;lação de (0, O. b2- b1) do gráfico de R(f71 ).

Dem;

Precisamos mostrar que R(f,.)(z) = l(f,.)(e',:·z) + b1 - b,.

Com as notações do Teorema 1 temos: I {j11 )( e1. 2~, z) = alI ( ( e1 ;:, z )11 )+a2R(( f:'~~. z Y') +

b2 = a1 I( ü")+a2R( iz") +b2 = a1 R(z" )-a,I (z" )+b1 +(bz -b1) = R(fn )( z )+(b2-bJ).

Uma observaçiiD evidente é que a.s funçií€s R(fn),l(j~) e lfnl satisfazem:

R(fn)(x,y) S: lfnl(x,y) e

I(fn)(x,y) S: lf,,l(x,y), \i(x,y) E IR2

Teorema 3. D. d ( ) IR' IJ I( ) - R(f )( ) { I(fn)(x, y) =O a o x,y E , n x,y - n x,y '* R(fn)(x,y) ;:> 0

Dem:

BaBta observar que lfnl = (R(f,,)' + I(fn)2)112, \l(x, y) E IR2

Pondo z = )z)ei0 , onde() é o argumento principal dez, temos que fn(z) =

= ia11zl" cos ne- o2izlnsennfl + b1) + i(a1)zjnsennB + a2izl" cos ne + b2).

Assim. R(fn)(x, y) = lfnl(x, y) se, e somente se,

{ arlzlncosn&- a,lzlnsenn8 + br ;:>O arlzl"senn8 + axlzl" cosn8 + b, =O

A seguir vamos explorar o caso a = 1 e b = O.

Afirmação 1.

a) I(f,l(.r,O)=O

b) R(fn)(x,O) = x".

3]

Dem:

Seni feita por indução nos dois casos.

Para n = 1 temos R(f,)(x, y) = x e I(f,)(x, y) = y, donde R(f,)(x, O) = ,. e

I(f,)(:r, O) =O.

Suponhamos, que para k > 1, tenhamos R(/k)(x, O) = xk e I(/k)(x, O) =O.

Então fk+r(z) = z'+' = zk · z = (xR(!k)(x,y)- y!(Jk)(x.y)) + i(yR(J,)(x,y)+

+xl(fk}(I.'. y)) = R(fk+r)(x, y) +il(fk+J)(x, y). Assim R(f;~r)(x, O) = x · x' = xk+l

e J(f,H)(x, O)= O.

Da mesma forma, para n = -1, tem-se R(f,)(x,y) = , x 2

e I(f,.)(x,y) = x- +y

-y -

2 2, donde R(f,.)(x,O) = x·1 e I(f,.)(x,O) =O.

:r + y Supondo que, para k < -1, se terura R(ft)(x,O) = x' e !(!,)(:r, O) =O,

segue que J;.1 (z) = z'- 1 = z' · , .. J = ( 2

x 2R(f,)(x, y) +

2 y

2.I(f,)(x, y)) +

X +y X +y

+; ( '-y ,R(fk)(x, y) + 2 X ,I(f,)(x, vl)' = R(/k .. J)(J.'. y) + i!(JH)(IC. y). Oll :r+y :r +y

seja, R(/;.1 )(x, O)= x-1 .xk =,;-r e I(J,_1)(x, O)= O.

Afirmação 2. Para todo n E !Z' temos R(f,.)(x, O) = lf,l(x. O) para x 2: O. Além

disso, lf,!(x.O) = R(f,)(x.O) para todo x se, e somente se. n for par.

R(J,.)(x,O) = IJ,I(a,O) -? x" = v'X"' -? x•" = (x", -? x" 2: O. Temos que essa última desigualdade é sempre verdadeira para x ~ O; porém ela se verifica

para todo :r se. e somente se, r1 é par.

Afirmação 3. l.fn!(O.y) = R(fn)(O. y) para todo y Re. e somente se. existe k E !Z

tal que n = 4J.·

Dem:

(...;::;::) Será feita por indução.

32

Paril n = 4 temos que R(fn)(.r.y) = JA- 6:r 2y'l + Il'· donde R(f11 )(0.y) =

v'= ff,,fiO. y). Suponhamos que, para n = 4k,k > 1, se tenha ff,[(O,y) = R(f,)(O,y).

De J,,4 (z) = z"+4 = z" · z4 = [(x4 - 6x2y2 + y4) • R(f,)(x, y)- (4x3y- 4xy3 ) ·

I(f,)(x, y)] +i[( 4x3y- 4x:y3)- R(f,)(x, y) + (x4 - 6x2 y2 + y4 ) ·I (f,)(x, y )], segue que

R(f,H)(O,y) = y' · R(f,)(O, y) = y4- y" = y"+4 = ffn+4f(O, y).

x4 _ 6x2y2 + y4 Por outro lado, se n = -4 temos R(f,)(x, y) = ( 2 ')' , donde

X + y R(f,)(O,y) = 1;-4

; e, supondo para n = 4k, k < -L[f,f(O,y) = R(f,)(O,y), de fn-·4(z) = zn-4 = zn. z-4 =

(x4 - 6x2y2 + y4 4xy3- 4x3y )

= (x' + y')' R(f,)(x, y)- (x' + y')' I(f,)(x, y) +

( 4xy3 - 4x3y x4 - 6x2y2 + y4 )

+i 1· 2 2 , R(f,)(x, y) + ( , '')' I(f,)(x. y) . x + y )' x.·· + y-

segue que R(f,.4)(0. y) = y"-4 = IJ,_,f(O, y)[.

(~) Dado z =:r+ iy, segue que :r= J1:2 + y'lcosB e y = Jx2 + y2seu().

onde O :Se< 21t. Se :r= O então eosO =o, donde B = 1rj2 ou B = 37tj2. - { 1(!,)(0, y) =o Por outro lado. de [/,[(0, y)- R(f,)(O, y), temos que R(f,)(O, y)

2 0

=? { senne =o eos nf:J 2: O sermB =O =;- nB = b:. mskn 2 O =;- (-1)' 2 O=:. k = 2k', k' E JZ.

. { {) = n/2 e B = k'2n/rt ou Assuntemos () = 37f/2 e e= k'2~/n

logo. exi:z;te p E Z: tal que n = 4p.

Afirmação 4. lfnl(:r, y) = R(fn)(x, y).x #O se, e somente se, y = tgk 2"' J:. onde

n À2í./n é o o.rgulllento de ,r+I;tJ e k = O)L ... 1 n-1 se n >O ou h·= n·+ l,n+2 .... ,O

para n < O.

Dem:

(:::?) Com as notações da afirmação anteríor temos que()= k2nfn. Como~

33

ne.ste caso, temos x # O. segue que y = igk2w j n x, onde k varia como acima. pois

o :c: e < 2r,. ( .ç:::) Imediata.

Assim, vemos que o gráfico da funç:âo lfnl fica por sobre o gráfico de R(fn),

tangencíando--o ao longo de alguns semi - planos . Temos, também que o número de

semi - planos coincide com o grau do polinômio.

2.2 Funções Exponenciais da Forma

f(z) = EJcp(az + b) onde

a = a 1 + ia2 e b = b1 +i~ são números complexos.

Programa 9 - Fig 2.8 a 2.13.

Análise da função f(z) = Exp(z)

-4 -2 o 2 4

Figma 2.8: Gráfico e curvas de nível da funçâo R( f).

34

Figura 2.9: Gráfico e curvas de nível da função I(f).

Figura 2.10: Gráfico da função R(f)-I(f) transladada do vetor (O.?T/2.0).

35

-4 -2 o 2 4

Figura 2.11: Gráfico e curvas de nível da função I fi.

Figura 2.12: Gráficos das funções R( f) e lfl em uma mesma figura.

36

' i I I

i i i

Figma 2.13: Visualização da intersecção dos gráficos da.s funções R(f) e jfj.

i

't I

1

-------,----------

figura 2.1-1. Visualízação da projeção no plano Oxy da intersecção dos gráficos das funções R( f) e ifl

37

Afirmação 5. Srjn g : lf- (['dada por g(z) ~ Exp(z). Então R(g)(x. y) =

= I(g)(x. y+JC/2), isto é, o gráfico de J(g) é obtido pela translação de (O, nf2. O) do

gráfico de R(g).

Dem: Ba.ota observar que R(g)(x,y) = e'cosy,I(g)(x,y) = c'scny c que sen(y +

rr/2) = cosy.

Teorema 4. Sejam J,g,h: lf- lf e Ç E 1R tais que R(!)(z) = I(f)(h(z))+

+Ç.h(z) = cz + d, lei = l e g(z) = az +h, a f O. Então, se t =f o g, existem

J: lf- (]7 e~ E IR tais que R(t)(z) = I(t)(.i(z)) +~-

Dem: R(t)(z) = R(f)(g(z)) = I(f)(h(g(z))) + Ç = = I(J)(g(g~ 1 (h(g(z))))) + Ç =

I íf)(g(J(z))) + 'I = I (t) (j( z)! + '1· onde j = g ~ 1 o h o g e 'I = Ç.

Pondo g(z) = Exp(z ), h(z) = az + b, a f O, t(z) = z +in /2 e f= goh. ternos

que R(g)(z) = I(g)(t(z)), donde R(f)(z) = I(J)(j(z)), onde j(z) = z + i7r/2a Neste caso temos queR(f)(x, y) = e""-a,y+br cos(a1y+a2x+b2) e I(f)(x, y) =

= ea1x-azy+b1sen(a1y + a2:r + b2) onde a= a1 + ia2 e b = b1 + ib2.

Afirmação 6. R(!)(x, y) = !fl(x, y) ç; a1 y + a,.x + b; ~ k2;r, k E !Z, isto é, a

pro jeçào da curv'd intersecçã.o no plano Oxy são retas paralelas.

Dem:

Segue do Teorema 3 que R.(f)(x.y) = lfl(x y) ç; { R(f)(x, y) 2: 0 ç;

· ' I(f)(.xy)=O {:;;} cos(a1y+azx+b2) ~O e sen{aly+azx+bz) =O # a1y+a2x+bz = k2n, J.· E z;.

Como as funçõe.:; .seno(' coseno são 27r-periôdica<;, podemos tomax b2 E [0. 2n}

38

2.3 Transformações de Moebius - -

Dados a, b, cedE <L' satisfazendo ad- bc i O e c i O, seja f' ([? ~ if dada por

az+b d

cz;td z f--

c f(z) = Z=X

c 00 z = -d/c

onde a = al + úl2_ b = bl + ib2. c= c1 + 'ic2 t d = dl - id2.

Programa 10- Fig 2.14 a 2.19 .

. . (1-i)z+l Análise da funçao f(z) = ( .) '

1 + z z

Figura 2.15: Gráfico e curva..s de rúvel da função R( f).

39

Figura 2.16: Gráfico e curvas de nível da função !(f).

40

Figura 2.17: Gráfico da função R( f)- I( f) rotacionada de ângulo -1f/2 ao redor do eixo Oz e transladada do vetor (0,0,-1).

Figura 2.18: Gráfico e curvas d-e nível da função lfl.

41

Figura 2.19: Gráficos das funções R( f) e lfl em uma mesma figura.

-6 -4

r~ i

-7.5

/

ll·f

o.$ _________________ ---.; ____ _ "1.5-1 -0.5: 0.5 1

-0.~ !

-i i

-d

Figuxa 2,20: Visualização das regiões R.{ f) 2 O e I( f) = (L respectivamente.

42

-3 -2

-4

-4

-6 '

-8

Figura 2.21: Visualização da intersecção das. regiões acima.

43

Afirmação 7. Obtemos o gráfico de !(f) aplicando ao gráfico dt~ R (f) a seguinte

srquéncia de movirnent os rígidos: translação de (R( d/ c)+ I (di c), I (d/ c}-- R( d /c), O)_ rotação de -n/2 ao redor do eixo Oz e translação de (O, Q_ I(ajc)- R( a/c))-

Dem:

Basta observar que R(f)(z) =I( -i[z+R(d/c)+I(d/c)+í(I(d/c)-R( d/ c))]+

R( a/c)- I( a/c)-

Afirmação 8. Os gráficos dP. R(f) e lfl se interseptam ao longo de curvas cuja

projeção no plano Oxy são retas, semi- retas, círculos ou partes dE'.stes.

Dem:

Pondo a = a1 + ia2- b = b1 + 'ib2. c= c1 + íc2 e d = d1 + íd2 temos:

J(f) ( x, y) = [ ( a,c, -a, c,)x2 + (azc1 - a,c,)y2 + ( a,d1 - a, dz + b2c1 -h c2 )-x + (a1d1 + u2d'2 - b2c2 - b1c1 )y + b2d1 - b1d2]/lcz + di2 e

R (f) (x- y) = [(a1c1 + a,c,)x2 + (azcz +ar Cr )y2 + ( a1 d1 + a,d, + b1 c1 + b2c2 )x + (a1d2 - a2d1 + b2 c1 - b1 c2 )y + b1d1 + b2d2]/icz + d[2

Assim, fazendo

e1 = a1c1 + a2c2

h= a1d1 + a2d2 + b1c1 + b2c2

91 = -a2d1 + a1 d2 - b1 c2 + b2c1

h, = b\dl + b,d, " 2 ir = fí + 9t - -ktfr

e2 = azc1- a1c2

fz = azdi- a1d2 + bzcr- b1c2

92 = a1d1 + azdz- b1c1- bzCz

44

h,= b,d,- b,d, . 2 2 zz = ! 2 + g2 - 4ezhz

segue do Teorema 3 que R(f)(x, y) = 1/l(x,y) <9

S. { e1x

2 + e1y2 + hx + 9tY + h1 ~O

. ' ' f I ezx + ezy + zX + 9zY + lz =O

Análist' da.':i equaçõe;:; do si~tema S:

{ h, :: o

fr = g, = O h, < O

x:O-hr/h X :'Õ -h r/ f1

e, i O

ez =O

Seja c1 o círculo de centro (x1, y1) e rB.io T1 ,

onde ::r1 =-h/2e1,yt = -gtf2e1 e r:=~

Íj >o { e1 >O exteríor de c1

e1 <O interior de c1

Í1 <o rP

h= 92 =o { h, =0 IR' h,# o rP

g, f o => y =(-h,- fzx)jg,

9z =O => X=-h,jf,

45

Conclusão:

Seja c2 o círculo de centro {:r2 , y2) e raio r2,

onde ;r2 =· - h/2e2, Y2 = -g2/2e.2 e r2 = JT2

iz<O 1>

Segue da..<; três categorias de funçõe."l até aqui estudadas que, se f é uma tal

flmção,

R(f)(z) = I(fl(e"z + b) +f,. onde f, E JR b E 11' e e E iO, 27f).

Para o caso das funções trigonométricas, f(z) = senz e g(z) = cos z, onde:

R(f)(x, y) = coshy senx

I(f)(x, y) = cosx senhy

R(g)(x,y) = cosx coshy

I(g)(x,y) = -senx senhy

o cornportamento das funções hiperbólicas reais impede que a relação acima citada se verifique para essas funções.

Programa 11 - Fig 2.20 a 2.25.

Análise da função f(z) = sen z:

46

Figura 2.22: Gráfico e curvas de nível da fnnção R( f).

-4 -2 o 2 4

Figura 2.23: Gráfico e curvas de. nfvel da fnnção I( f).


Programa 8.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

al =;

a2 =;

bl =;

b2 =·;

n =;


47

a :~ al + a2 I

b := bl + b2 I

fi:= Pi/(2*n) rü ;:::;::- 2*Pi/n

Rot [x _ ,y _,][c_] = { { Cos[c],-Siu[c]}, {Sin[c] ,Cos[c]J} { { x },{y}} f[x_,yJ :~ a*(x + y W n + b

fl[x_,y _] ~ Re[f[x,y]] f2[x_,y _] :~ Im[f[x,y]] Rotfl [x _ ,y _ _] := f! [Rot[x,y] [ni][[LJ]] ,Rot[x.y] [ni] [[2, 1]]] Rotf2[x _ ,Y _] :~ f2[Rot[xsi[ni][[l,1Jl .Rot[x.yJiniJ[[2, llll f2rn[x_,y _j := f2[Rot[x,yj[fiJI[l,l]j,Rot[x,yJifiJí[2,l]]J+ (bl- b2)

gfl [d __ ,e_ ,f_ ,g_] := Plot3D[fl [x,y], { x,d,e} ,{yJ,g},

DisplayFunction-> ldentity J

cnfl[d_ ,e_ ,f_,g_] := ContourPlot[fl[x,y[,{x,d,e},{y,f,g}. DisplayFnnctíon- > Idcntity]

gt2[d _,e_ ,f_ ,g_] := Plot3D[f2[x,y], { x,d,e}, {y,f,g}, Display Fundion-> ldentity]

cnf2[d_ ,e_ ,f _,g_] :~ ContomPlot[f2(x,y],{ x,d,e },{y,f,g}, DisplayFunction-> Identi(v]

grnf(d_ ,e_ ,i_ ,g_] := P!ot3D(Abs(flx,y]],{x,d,e },{y,i,g), Display I<linction- > ldentityj

cnmf[d _,e_ ,i __ ,g_] := ContourPlot(Abs[f(x,y]], { x,d,e}, {y,i,g}, DispbyF unct ion-> ldentity;

cl[k_]!d .e ___ J __ .g __ j :=-~ ContomPlot(fl[x.y].{x,d,c},{yJ.g}.

Contours-> {k J, ContourShading-> False,PlotPoints- >50, Aspect Rm i o-> A ut owa ti c .Dü;;playFunction-> Identity]

c2[k __ j[d _,e_J _,g_] :~ ContourPlot[f2[x,y].{x,d,e),{y,f.g}.

Contours~ > { k}, ContourShading-> False,PlotPoints->50:

Aspect.Ra tio-> Automa tíc,DisplayFunct.ion-> Identíty]

c3[k_][d_ .e_ j _ ,KJ := ContourPlot[Abs[f[x,y]],{x,d,e ).{y.i,g),

48

Gont our.s-> {k}, GontomSlwdíng->F abe. Plot Points->50.

Aspect Ratio-- >A utomatic,Display Function-> Ident ity]

h[d_.e_] := {t d.t e} hl[d __ ,e_] := {t d,t e.Abs[f[t d,t e]]} xl := (k 2 Pi)/n l[d_j := Tablc[ParametricPlot[h[d Cos[xl],d Sin[xl[]//EYaluatc.

{ t ,OJ} .Plot Points->50.AspectRatio- > Automatic. Display Function- > !dentity], {k,O,n-1}]

11 [d _] := Table[ParametrícP!ot3D[h1[d Gos[xl],d Sin[x1]]//Evaluate,

{ t,O,l} ,PlotPoínts- >50,AspectRatio->Automatic,

DisplayFlmctíon-> !dentity], {k.O.n-1}]

(********** DADOS DE SAlDA **********)

(* Gráfico da função R(fn). *)

Show[gfl [-6,6,-6,6] ,DisplayFunction-> $Display Functiou]

(* Visualizaçào das curvas de nível da função R(fn). *)

Show[cnfl [-6,6,-6,6], DisplayFuuction->$DisplayFuuction]

(* Gráfico da fuução diferença entre as funções R(fn) e R(fn) girada de àngulo

2 Pi/n ao redc:>r do ei'(o z. *)

Plot3D[fl[x,y]- Rotfl[x,y],{x,-6,6},{y,-6,6}]

(* Gráfico da função !(fn). *)

Shuw [ gf2! -6. ú. -G, (i; . D ís play F uuct i on- > S Display F unct i on:

49

(* Visua.liza<,.·ão da.s curva.s de nível da função I(fn), *)

Show[cnf2[-6,6,-6,6], DisplayFunction->$DisplayFunction]

(* Gráfico da função diferen<,.ca entre as funções I(fn) e I(fn) girada de ângulo 2 Pi/n

ao r(~dor do eixo z. *)

Plot3D[f2[x,y]- Rotf2[x,y],{x,-6,6},{y,-6,6}]

(*Gráfico da função diferença entrf' a.~ funç6es I(fn) e R(fn) depois do movimento

rígido de_scrito no texto. *)

Plot3D[fl [x,y]-f2rn(x,y], ( x,-6,6}, {y,-6,6}]

(*Gráfico da função lfni. *)

Show[gmf[-6,6,-6,6] ,Disp!ay Function->$Display Function]

(* Visualização das curvas de nivel da função [fui, *)

Show[cnmf[-6,6,-6,6] ,DísplayFunction->$DisplayFunction]

(* Visualização da curva de rúvel da fw1ção R(fn), rúvel p. *)

Show [c 1 [p 1 [-(.1.6 .-6 .ü: .DispJayF uncho11- >SDbplo.y Fuuct ion}

(* Visualizaç:üo da curyu de nível da funçâo I(fu) nível p. *)

Shmv[c2[pj [-6,6,-6 ,6] ,DisplayFunction- >$Display Function]

(* Visualização da cun>d de rúvel da função ifnl , nfve] p. *)

50

Show[c3~>] [-6,6,-6,6] ,Display Function-> $DisplayFunction]

(* Gráficos das funções R(fn) e jfnl em uma mesma figura. *)

Show;gfl [ -4,4. -4A ].giHf[-4, 4,-4 ,4] ,DísplayFtmction-> SDisplay funct ion]

(* Visualização da projeção no plano Oxy da intersecção dos gráficos das funções

R(fn) e lfnl. *)

Shmv[l[4] .DisplayFunction->$DisplayFunction]

(*Visualização da intersecção dos gráficos das funções R(fn) e lfnl. *)

Shm~·[ll [4J.Displa~'Function-> $DisplayFunction,Axes-> None. Boxed-> False]

Programa 9.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

al =:

a2 =:

bl =:

b2 =:

(*** CORPO DO PROGRAMA. PRlMEIRA PARTE ***)

a := al + I a2

b := bl +I b2 z := x _..__ I r f[zJ := Exp[a z + b] f . . R '1 .... l[z _J := el [Zjj

51

F2[z _) :~ Im[qz)J f2m[zJ :~ f2[z +I Pi/(2*a)]

gfl[c _ ,d -·,e_ ,gJ := Plot3D[fl[z],{x,c,d },{y,e,g),DisplayFunction->ldentity]

cnfl [c_ ,d _,e_ ,g_] :~ ContourPlot[fl[z], { x,c,d},{y,e,g) ,Disp!ayFunction-> ldcntity]

gf2[c _ ,d -·,e_ ,g_] := Plot3D[f2[z] ,{ x,c,d},{y,e,g) ,DisplayFunction-> ldentity]

cnf2[c _ ,d _,e __ ,g_] := ContourPlot[f2[z] ,{ x,c,d}, {y,e,g} ,Disp!ayFunction-> ldentity]

gmf[c _ ,d _.e __ ,g_] :~ Plot3D[Abs[f[z]J,{x,c,d} ,{y,e,g),DisplayFunction- >ldentity]

cnmf[ c_, d _,e_ ,g_] : ~ Contour Plot[Abs[f[zJ], { x, c, d}, {y,e,g}, Display Fm1ction-> ldentity]

cl[k_J[c_,d_,e_,gJ := ContourPlot[fl[z],{x,c,d},{y, e, g},Contours->{k).

ContourShading~ > Fa.lse .Plot Points->50.AspectRatio-> A ut oma.tic.

Dü;play Function-> Identity]

c2[k_][c_,d_,e_,g_] := ContomPlot[f2[zJ,{x,c,d),{y, e, g),Contours->{k},

Cont.ourShading-> False ,PlotPoints-> 50.Aspect.R.atio->A utomatic\

DisplayFunction->ldentity]

c3[k _][c_,d_.e _ ,g_] := ContourPlot[Abs[f[z]],{x,c,d),{y.e.g).Contours->{k),

ContourShading-> Falsc1PlotPoints- > 50,AspectRatio->A ut omatic,


(********** DADOS DE SAlDA **********)

(* Gráfico da fnncâo R(f). *)

S how [gfl [-6, 6.-6. 6] , Displ a y Funct.ion-> $DiDp lay Function]

Show[cllfll-li.ü.-6 J}~ J)isplay Function->$Display Funct íon:

(* Gráfico da função l(f). *)

Show [gf2 !.-G. (j . -6 . 6] . D is p la~· Function-> $Dis pla.y Funct ion ~

52

(* R.epn?.sPntação da.;; curva-; de nínd da função I(f). *)

Show[cnf2 [-6.6A.i.6] .DisplH.y Funct ion- > $Disp]ay Puuction]

(* Gráfico da função diferença emre as funçôes I(f) e R(f) depois do movimento

rígido df',.s.críto no texto. *)

Plot3D[fl[z]-f2ru[z], { x,-6,6}, {y,-6,6}]

(* Gráfico da função 1~- *)

Show[gmf[-6.6 ,-6. 6] .DlsplayFunct.ion-> $DisplayFunction]

(* Representação das curva..'.; de nível da função lf). *)

Shm'-'[ cnmf[-6. 6 .-6,6] .DisplayFunct ion->$DisplayFunct íon]

(* Representação da curv-a de rúvel da função R(f), nível p, *)

Show[cl [p) [-6,6,-6,6] ,DisplayFunction->$Display Function]

(*Representação da curva de rúvel da ftmção I(f), nível p, *)

S!1ow[c2 [p ][-6,6 .-G.Gj .Dísp]ayFunct ion-> $Display Functíou]

("' Representação da curva de nível ela função I fi. níwJ p. *)

Show[ cJ[pJ H5, G. -6. 6}. Display.Function-> $Displa.vFunct ion}

(>f Gráficos da~ fuuc:Oe;:; R(f) e I fi em urna mesma figma. *)

53

Show[gfl H ,4 ,-4.4] ,gmf[-4,4,-4 ,4], DisplayF unction- > $DisplayFunctíon]

(***CORPO DO PROGRAMA- SEGUl'iDA PARTE***)

(* Caso ali O *)

gl[cJ = {t,(c 2 Pi-a2 t-b2)/al)

ll[d _ ,g_l := Table[PaxametricPlot[gl[k]/ /Evaluate,{t,d,g},

Displayfunction- > Identity,AspectRatlo->A utornatíc,

PlotStylc-> Thickness[0,02]] ,{k,-2,2 }]

g2[c_] ={t,(c 2 Pi-a2 t-b2)/aLAbs[f[t+l (c 2 Pi-a2 t-b2)/al]]}

l2[d _ ,g_J := Table[Pa:rametricPlot3D[g2[k]//Evaluate, { t,d,g},

Displayf unction-> Identity1Aspect Ratio-> Automatic], {_k,-2. 2}]

(* Casoal =O *)

g3[c_]:= {(c 2 Pi-b2)/a2,t}

ll[d __ ,g_j := Table[ParametricPlot[g3[kJ//Evaluate,{ t,d,g),

DisplayFunction-> Identity1AspectRatio-> Automatic,

PlotStyk-> Thickness[O 02j],{k,-2,2}]

g4[c_] :={(c 2 Pi-b2)/a2,t,Abs[f[(c 2 Pi-b2)/a2+l t]]} 12[J _ ,g __ : :co~ Tah1c[ParametricPlot 3D[g4fk]/ /EYaluate,{ t .<Lg}.

Display F unrt ion- > ldent íty_Aspect Ratio- > Automatic]. {k.-2.2} j

(* Representaç-ão da projeção no plano Oxy da intersecção do."

gráficos das hmçôes R( f) e I fi- *)

54

Shmr[ll ( -4. 4j :DisplayFunction->$Display Function]

(* Reprr_senta\·ão da intersecção dos gráficos das funçÕe.'i R( f e lfi- *)

Show[l2 [~4A] .DisplayFunction->$Display Function,Axe,s-- > :\ Lt:. '':.Boxed- >F alsc]

Programa 10.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

al =;

a2 =;

bl =:

b2 =;

c!= :

c2 =• :

dl =:

d2 =: a = a.l + a2 l; b = bl + b2 I;

c= c1 + c21; d = dl + rl2 I:

a d- b c!= O

(***CORPO DO PROGRA~IA- PRülEIRA PARTE*"

fi P. ··-:= - lj L

z[x_,y_] :=x+yl

f[x __ ,_y_J :"'"'-(a zl:-<1:]-+- b)/(r zj-x,y] i" d) fHx .v 1 ·:::- Rt>Wx.vJl

l ·-··· _] c' ',)

f2[x_,~- _] := Im:f[x,:v]] zl[x _,y J := z[x,y]+(&[d/c]+Im[d/c])+(lm[d/c)-Re[d/cj) 1

55

Rot[x_ ,y _] :={ { Cm[fi],-Sin[fi]}, { Sin[fi], Cos[fi]} H { Re[zl [x . .V: j. {lm[zl [x,y]]})

f'2rn[x_,yj := f2[Rot[x,yJií1,1Jl,Rot[x,y][[2,lliJ + (Re[a/c] -lm[a/c])

gfl [g_ ,h_ ,i_ ,j _] := Plot3D[fl [x,y],{x,g,h}, {y,íJ} ,Dísplayl'Unction-> ldentity] c:nfl[g_ .h_)_ j_] := ContourPlot[fl[x,y].{x,g.h),{y,i,j). DisplayFundion-> Identity]

gf2[g_ ,h_ ,i_ ,j_] := Plot3D[f'2[x,y] ,{ x,g,h) ,{y,ij },DisplayFunn íon-> Idc:ntity] cnf2[g_ ,h_ j _,L] := ContourPlot[f2[x,y],{x,g,h},{y,i,j),

DísplayFunction- > ldenti ty] gmf[g_,h_,i _,j_j := Plot3D[Abs[f[x,y]],{x,g,h},{y,ij},


cnmf[g ... h_ .i_ ,j_] := ContourPlot[Abs[f[x.y]], {x,g,h },{y.i.j).

DisplayF\mction-> ldentity]

Cl[k_][g_,h_,i_ j_] := ContourPlot[fl[x,y],{x,g,h),{y,ij}.

Cont ours-> {k} ,Plot Points->50, ContourShading-> False, Aspect Ratio- >A utomatic, Display Function-> Identíty]

C2[k _][g_ ,h_ j_ ,j_j ;cc ContourPlot[f2[x,y], { x,g,h}, {y,i,j}.

Contours-> {k} ,Plot.Points- >50:ContourShading-> False,

AspectRatio-> Automatic,DisplayFunction-> Identity]

C3[k_J[g_ ,h_ ,i_ j_] := ContourP!ot[Abs[fjx,y]],{x,g,h},{yjj),

Contours- > {k} .Plot Poínts->50, ContourShading-> False, AspeetRatio->Automatic,DisplayFunction->IdentityJ

(********** DADOS DE SAIDA **********)

("' Gráfico da fun(,'ão R( f). *)

Shov,·[gfl [ -6,6_.-6.6] ,Díspla~-Funct íon->$Display Funct ion}

("' Representação das curvas: de nível da função R( f). *)

Show[cufl [-6, 6Ai.6J ,Displa:vFunction- >$Displa~·Punction]

(* Gráfico da fum;ão !(f). *)

Show[gf2[ ~6 .6A>.6], Display Function-> $Dit>playFunct ion]

(* ReprrBentação das curvas de nível da função !(f). *)

Show[cnf2[-6,6,-6,6],DisplayFunction->$DisplayFunction]

(* Gráfico da função diferença entre ru; funções !(f) e R(f) depois do

movimento rígido descrito no texto.*)

Plot3D[fl [x,y]-f2m[x,y], { x,-6,6}. { y. -6,6}]

(*Gráfico ela função [fj. *)

Show[gmf(-6,6,-6.6] ,Display Function-> $Display Func:tion]

(* Represe . .ntação das curvas de nível da função [f[. *)

Show[crunf[-6,6.-6,6], DisplayFunction->$DisplayFunction]

(* Representaçâo da curva de nivel da funçãcJ R(f) 1 nível p. *)

Shmv[ C 1 [r>] [-6,6 .-6,6j.DisplayFuncr ion-> $Display Function]

(* Representaçc'io da curva de nín'l ds função I(f). níYe] p. "'

Shm\·fC'2/p] i-G. 6. -6, 6], DisplayFuncriou- > SDisplayFunctiou]

(*Representação da curva de nível da função I fi, nível p. :!<)

57

Show [ C3[ 1] [-6.6 ,-6 ,G].Díspl"yFnnction- > $DísplayFunct íon]

(* Gráficos da_-; funções R(f) e lfl em uma mesma figura. *)

Show[gfl [-4, 4,-4,4] ,gmf[-4,4, -4,4], Dísplay Funetíon- >$DísplayFunct íon]

(*** CORPO DO PROGRAMA- SEGUNDA PARTE***)

c! :~ a! cl+a2 c2

fl :~ al dH-a2 d2+bl cl+b2 c2

gl :~ -a2 dl+al d2-bl c2-rb2 cl

h! := bl dl+b2 d2 ÍJ :=fiA 2+gJA 2-4 e) hJ

e2 :"" a2 cl-al c2

f2 := a2 dl-a! d2-cb2 cl-bl c2

g2 := al dl+a2 d2-bl cl-b2 c2

h2 := b2 dl-bl d2

i2 :~ !2' 2+g2A 2-4 e2 h2

pl :~{eLfl,gLhLil}

p2 :={e2,f2,g2,h2,i2}

(* Duas listas contendo {el,fl,gl,hl,il} e {e2,f2,g2,h2,i2}, respectivamente. *)

pl

p2

(* Caso (el =O) e (gl i' O) *)

rgl[h_.U := ParametricPlot[{t,(-hl-fl t)/gl},{t.b.i}, Aspcct R.a tio--> A utomat ic.Plot.Style-> Thickness[O. 02].

58

Di~play Funct ion- > Identity]

g[m~ .nJ[eJ:= {m,nH*e} ![h~ j _] :=Table[ParametricP!ot[g[k,(-hl-fl *k)/ gl][5*gl/ Abs[gl]J / /Evaluate,

{ t ,O, 1) ,Display Function-> ldentity], {k,h,i} J

(* Casu (el =O) e (gl =·O) *)

rgl[h _,i_] := ParametricP!ot[ { -hl/fl,t },{ t,h,i},

AspectRatio- >A ut omat.ic,PlotStyle->Thickncss [0.02],

DísplayFunn ion- > ldentity]

g[m_,n_J[e_]:= {m+t*e,n)

l[h _,i_] :=Tab!e[ParametricPlot[g[-hl/fl,k][5*fl/ Abs[fl]]/ /Evaluate,

{ t ,0, 1) ,DisplayFunction-> ldentity], {k,h,i}]

(* Caso (el >O) e (il >O)

xl = -fl/(2 cl)

yl := -gl/(2 el)

r] := Sqrt[il]

g[m_.n_l:= {t*m.t*n}

*)

circulo:= ParametricPlot[{xl+rl Cos[t],yl+rl Sin[t]},{t,0,2 Pi},

PlotStyle- > Tlückne..s.s[O.O I] ,Aspect Rat i o-> A ut oma1 i c,

Ditsplay Funct i ou-> Identity]

ri] :::c.- Tabk[ParametriC'Plot[g[xl+rl Cos:[k],yl+rl Sín[k]J/ /EYaluate,

{ t ,1,4} ,AspectRati()-> Automatlc,DisplayFunct.ion- > Identityj,

{k,0,6,0.5}]

I* I Cam (el <O) e (il >O)

xl := -fl/(2 el)

yl := -gl/(2 el)

*)

59

rl := Sqrt[í1J g[m_,n_] := {t*ru.t*n}

circulo:= PararnetricPlot[{xl+rl Cos[tj,yl+rl Sin/ti}.{t.0.2 Pi}.

Plot Style~ > Thickness[O.Ol],Aspect Ratio-> Automat i c.

DisplayFunction- > Identit.y]

ri!:= Table[ParametrícPlot[g[xl+rl Cos[k],yl+rl Sin[k]]/ Evaluatc. { t,O,l} ,Aspect Ratio-> Automatic,Display FUnction-> ldentityj,

{k,0,6,0.5}]

(* Caso (e2 =O) e (g2 f O) *)

rg2[g_,h_] := ParametricPlot[{t,(-h2-f2 t)/g2},{t,g,h}.

Aspect Rat i o-> A utomatic,Plot Style-> RG BColor[l.O .0], DisplayFunction-> IdentítyJ

(* Caso (e2 =O) e (g2 = O) ')

rg2[g __ ,h_] := ParametricP!ot[{-h2/f2,t},{t,g,h), AspectRatit>-> Automatic,PlotStyle-> RGBColor[l,O,O], DisplayFunctlon-> Identit:Y]

(* Caso (e2 f O) e (i2 > O)

x2 := -f2/(2 e2)

;·2 = -g2/(2 e2)

r2 := Sqrt[i2]

*)

ri2 :~ ParametricPlot [{ x2+r2 Cosft] .y2+r2 Sin[t]}. { t-0.2 Pt}.

Af>pect H a tio- >Automatíc .PlotSt~·lp.. > RGBColor[J.O.O]. Di.'-playFunction-> 1derrtit:.·'

{****"'"'***~·DADOS DE SAlDA **********)

60

(*Visualização da região R( f) 2: O, caso el = O. *)

Show[rgl [-6,6] ,l[-6,6] ,DisplayFunction- >$Display Function]

(* Visualíz:v;iio da região R( f) 2: O, ca.so el i' O, *)

ShO\v(circulo,ril,DisplayFunction~>$DisplayFunction]

(* Vísualizasào da região I(f) :::- O. caso e2 = O. *)

Show[rg2[-6,6] ,Display Function-> $Display Functíon]

(* Visualização da região l(f) = O, caso e2 I O. *)

Show[rí2.Display:F"unction-> $DisplayFunction]

Programa 11.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

al =; a?.::::: .

bl =: b2 :.c-. ,

(*** CORPO DO PROGRAMA **')

a:= a1 +I a2 b ::::: bl +I b2

z :=X + y I

f[z.J := Siu[a z + bj ' ' c ' b] glZ_j := ·OS[a Z -t-

61

fl[z. _ _] := Rc:[f[zj]

f2[z '1 :~~ Imt'flzi! ~ "j,

I · n.· r]' gl zJ := ne[gtz 1

g2[z _ ] := Im[g[z]] gfl[c_ ,d _,e_ ,h_] :~~ Plot3D[fl[z],{x,c:,d},{y,e,h},

Display Funct i ou-> Identity]

cnfl[c:_,d_ ,e_,h _] := ContourPlot[fl[z],{x,c:,d},{y,e,h},

DisplayF\mctíon-> ldentíty]

gf2[c _ ,d _,e_ ,h_] := Plot3D[f2[z],{ x,c,d} ,{y,e,h},

DisplayFunction- > Identit.y]

cnf2[c_,d_ ,e_ ,h_J r= ContourP!ot[fl[z],{x,e,d},{y,e,h},

DisplayFlmction-> Identity]

ggl[c __ ,d_,e _,h_] := Plot3D[gl[z],{x,c,d}.{y,e,h},

DísplayFunctíon-> ldentíty]

cngl[c_.d_ .e_ .h_] := ContowPiot [gl[z].{x.c,d},{y,e.h}.

Display Funct ion- > Identíty]

gg2[c_,d_,e_,h_] := Plot3D[g2[z].{x,c,d},{y,e,h},

Display Ftmction- > Identity]

cng2[c_,d_,e_,h _] := ContourP!ot[g2[z],{x,c,d},{y,e,h},

DisplayFunction-> Id.:mtity]

gmf[c_,d ,e_,h] := Plot3D[Ahs[f[z]J,{x,c,d},{y,e,h),

DlsplayF'unction-> Identity]

cnmf[c _ ,d _,e_ ,h_] := ContourPlot[Abs[f[z]], {x,c,d), {y,e,h}, Display F unction- > Identity]

gmg[c_ .d_ .e_ .h_] :=. Plot3D[Abs[g[z]],{ x.c.d}. (y.e.h}.

DisplayFunction->Identity]

cmng[c~. ,d _,E'_ ,h _I := ContourPlot [Abslg[z]]: { x,c,d}. { y.cJ: (


cl(k_]ic _ .d _ .e_ .h. j c= ContourPlot [fl[z), { x,c,d }. {y,e.h ).

Contours->{ k} .PlotPoint::.->50.ContourShading-> False,

Aspect R{ttio->A utornat.ic.Diflpla~·Fünction-> ldcmtity]

62

e2[k J [c~· ,d ·~,e_ ,h J :~ ContomP!ot[f2[z],{x,c.d} ,{y,e,h }, Contours-> { k} ,Plot Points->50, ContourShading-> False,

AspectRatio-> Automatic 1Disp1ayFunction-> IdentityJ c3[k _][c_ ,d_,<• _,h J :~ ContourP!ot[gl[z],{x,c.d},{y,e,h},

Contours-> { k} .PlotPoints->50, ContomShadíng-> False, AspectRatio-> Automatk,DisplayFunction-> Identity]

c4[k_Jic _,d_,e_,h_] :~ ContourPlot[g2[z],{x.c,d},{y,e,h},

Contam&> { k} 1PlotPoints- >50, ContourShading-> False, Aspect Ra.tio-> Automatic,Display F unction-> ldentity]

c5[k~Jic_ ,d_ .e_,h J :~ ContourPlot[Abs[f[z]].{x.c,d),{y,e.h }. Cont 011I'Fi- > {k} ,Plot Points->50,DisplayFunction-> Identity,

ContourShading-> Fa1se,AspectHatio-> Automa-tic]

c6[k J [c_ ,d _,e_ ,h J :~ ContourPlot[Abs[g[z]], { x,c,d}, {y,e.h J. ContDurS· > {k} ,PlotPoiuts· >50,DisplayFunction· > ldentity,

Cont ourShading-> False,Aspect.Ratio->A utoma ti c]

{********** DADOS DE SAIDA **********)

(* Gráfico da função R( f). *)

Show[gfl[-6,6,-6,6J,DisplayF'unction->$DisplayFunction]

(* Representação da..<:; curvas de nível da função R( f). *)

Shm\·[ cnfl !-G:G.-6J)j. DisplayF\metion- >SDisplay Functíon]

(*Gráfico da fU11çào !(f). *)

Show[gf2[-6,6,-6.6J.DisplayFunrtion->SDisplayFunctíon]

(* Rt~presentaçào das curvas de nível da função I( f). *)

63

S how [ cnf2 [-6, 6,-6, 6] ,Dis p lay Fun ct i on-> S D is p la y Ftm ct ion]

(*Gráfico da função lfl. *)

Show[gmf[-6,6,-6,6] ,DisplayF unction->8DisplayFw1ct ion]

(* Representação das curvas de nível da função lf[, *)

Show[cnmf[-6,6,-6,6] ,Displa0,Function->$DisplayFunction]

(* Representação da cmva de nível da função R(f), nível p, *)

Show[c 1 [p] [-6 ,6,-6,6] ,DisplayFunction-> $DisplayFunction]

(* R.epre:-;pnt<tçào da curva de nín~l da fum;ào I (f). níYel p. *)

Shmv[ c2 [P j [-6, G.-6, G] ,DisplayFunction->SDisplay Fm1ction]

(* Representaç·ão da curva de nível da função lfl, nível p. *)

Shmr [ c5[p] [-6,6, -6,6] ,DisplayFunction-> $DisplayFunction]

C* Gráfico::; da_,._.;; funç·ões R(f) e I fi em uma mesma figura. *)

Show[gfl [-4,4,-4, 4] ,gmf[-4,4.-4,4] ,DisplayFunction->$DisplayFunction]

(* Trocando f por g naE linhaE acima. visualizamos os mesmos dados para a função

Co,;; *\ ·-· l

54

Capítulo 3

Thansformações Conformes -Projeção Estereográfica -Thansformações de Moebius

Neste capitulo introduzimos o conceito de função analftica e exploramos, visual e geo

metricamente~ a propriedade conforme (de preservar ângulof') que tais f1mções, com

derivada não nula, satisfazem. Corno exemplo deA':'ta importante cla._.;;Se de funções

implementamos a construção da projeção a':ltexeográfíca e da..s transformações de

~JoebitL'>, visualizamos suas prínripais propriedades e relacionamos as rotaçôe:: na

esfera com as tra.nsfonnações de ).loebius.

3.1 Equações de Cauchy - Riemann

Definição 1. S0jmu n c <1\ f = u~n· : n-;. <f. ::u = To+iy_ E fi f' L = a+ib E lf. Dizemos que lim f (z) = L se:

z__.zo

{ V c > O, 3 ô >O tal que 0 < lz- zo! < ér, z E rl ~ if(z) --L! <E

Definição 2. Sejam f : n c (f.......-)- <T\r2 abeliO e zo = .1;; + iyo E n. Dizemos

r , l , , l l' , f'( ) , , d I'( . l' f(zl- f(z,,) que. e c ETIYI;rv-e em z0 se o mute zo eXJshr. on ·e . z0 1 = 1m ' · = Z·-·ZQ z- Z[j

65

1. f(zo + L'>z)- f(zo) Uli .

Az--.0 Llz

Dizemos que f ó derivável se o for em cada ponto de seu domínio. Sr f existe

para todo z E ti', dízemos que f é uma função inteira.

Teorema 1. Sejam f : n C (f~ (f, f = u + i1•, n aberto e zo ="'o+ 1y0 E O. Se f'(z0 ) =a+ ib existir, ~mtã.o u e 1• são diferenciáveis em z0 e. além disso. tem-se:

au 8v ,-(xo, Yo) = ,-(xo, Yo) =a vx uy

âu av -,-(xo,Yo) = ,-(xo.Yo) = b

uy uX

que são chamadas as condições de Cauchy-Riemann.

Dem: " [6 'l31 ,er ' p. ' I

Teorema 2. Sejam f e z0 como no teorema anterior. Seu e r forem diferenciáveis

em (x0 , '!lo) e satisfizerem as condições de Cauchy-Riemann neste ponto, então f será iiu ou iir O?' .

derívável em zoe f'(zo) = -8

(xo,Yo)- i,-(JiJ,Yo) = -8

(xo.Yo) +i,-(xo.1/o). X- uy y ux

De1n:

Ver [6, p. 34].

hnplementação dos teoremas 1 e 2 - Programa 12.

EniTando com <1-" partes real e imaginária diferenciáYd:' v(' r. refipectinnnent1'

dE' uma função complexa f ~ ·u + ir em coordenadas cartesianas. este progr::tma

verifica se v e ~- satisfazem as condições de Cauchy - Riernann e. no caso afinnaüvo.

calcula H derivada de j.

66

Teorema 3. Com as hipóh'5;e;.) do teorema 2. ternos que, em coordcn<1das polare.:-;, av av éJl' {)-u - 1 ~· -~ e ~~~existem e sarisfaz('Hl as condiçôes de Cauchy~Riernanu nn cuord('-· EhuD 1 ui nadas po are$:

ôu 1 àr• àr r ae e -=--

. (au av) aliem disso. f'(z) = e•I-O) íJr + í Dr ·

Dem:

Ver [6, p. 36].

1 au a,, :;ae =-àr

Implementação do teorema 3 - Programa 13.

e.

Este programa tem a me;;ma finalidade do pwgrama anterior só quf' traba

lhando em coordenadas polare~.

3.2 Funções Analíticas- Funções Harmônicas

Uma função f : (a, b) C IR _, IR é dita analitica em xo E (a, b) se existir r > O

tal que f é de clasS"e c= em I= (a, b) n (xo- r~ Xo +r) el além dísso. para cada

I f( ) "Jl•l(xo). )" I f - f d .. :r E .• .T = L..J t l.r- :ro . OlL em outras pa avras. se a unçao a nntiT n?:O n.

uma repre1:1ent-ação em série de potência numa vizinhança de x0 .

I\ o caso complexo a comece algo surpreendente. Da mera existência da dcriYa

da de primeira ordem de uma funçào f = -u + zv na vizinhança dE~ um ponto z0 .

tira-se u 1 .t) E C00 nesta vizinhança além de f, como no caso reaL admitir uma repre~entnçclo em série de potência nesta Yizínhaw:;a. Baseados neste$ f<no:-: drunos <t

scguintf' definiçào:

Definição 3. Sejam n c ([' aberto, f : fl - <r e zo E n. Dizewo7 que f ê

analftíca Ctll Zo SC existe T > Ü tal que r existe em B.r(zo) nn.

67

Uma fum;ão é dita analítica, se o for em cada ponto dr: seu dominio.

Definição 4. Uma função f : fl c JR2 -r IR, fl aberto, é díta harmônica se satisfaz a equação de Laplace em f/::

IJ'f IJ'f a 2 + iJ 2 = O.

X y

Teoreina 4. Seja f= u + ú·: n C (f'-+ ([' a.nalítíca, n aL2rto. Entào v c 'I' são

ftmç·()es hannónicas. denominadas harmônicas c.onjugada.s.

Dem:

Ver [6, p. 39].

Teorema 5. Se f = u +i v : O c ([' -+ <L' é analft.ica, então a famt1ia de curvas u

= k1 E' 't' = k2 :;âo ortogonais onde a derivada dr f nâo se arL.:.a.

Dem:

Ver [6, p. 41]

Teorema 6. Seja u : n c IR2 -:;. IR harmônica, onde n = B(O, r), o < T s; oc.

Então existe 1' : 0. -r IR tal que f = u + Í1' é analítica.

De In:

\ ' [" 43'J. 'er 1, p

Implementação dos teoremas 5 e 6 - Programa 14 ~ Fig 3.1 e 3. 2.

Este progTama Yt~rifica se urna dada função f é harmé-:_Lca e calcula sun har

mônica conjugacb g no ca":lo afirmativo. além de visualizar as curva"! de nível das

funções f e g.

68

1

o

-2 -1 o 1

Figura 3.1: Vísualização das curvas de nfve] da~ funções f(x~y) harmônica conjugada g(x:y) ::::: 2 x y, respectivamente.

2

Figurd 3.2: Vi;;ualizaç8o dü intersecçii.() das curvas de uivP1 acima_

59

Teorema 7. Os zeros de uma função analítica não nula são pontos isolados.

Dem: Ver [7. p. 79].

Implementação do teore1na 7- Programa 15 - Fig

Neste programa o usuário fornece uma função a.nalitka f= f(z) e obtém o~

gráficos e curvas de illvel, illvel zero, da..c:; funções R( f) e I( f) e vizualiza os zeros de

f geornetrieamente.

Figura 3.3: Visualização das curvas de nível. nível zero. das funções R(f) e I(f). onde /(z) = (z5 + 2z3

- z)í(z2 + !).

70

-4 -2 o '

Figura 3.4: Visualização dos zeros de f. Note que cada raiz e.stá na intersecção das curvas de nfvel acima,

3.3 Transformações Conformes

Definição 5. Uma transformação linear T : ([' ......... (['é conforme se para quaisquer

vetores u,v E([' o ângulo formado por T(u.) e T(r) é o mesmo formado por v e r.

Dizemos que uma aplícação de cla..'>se C 1 , f: Sl ....--t(f'. D aberto detT, é conforme se

para todo z E f2, a derívada de f em z é conforme.

Teorema 8. Uma função analítica com derívada nâo nula é conforme.

Dem: A derivada de f : O _,<L', n aberto de <L', num ponto zo de seu domínio é

a transformw;ão linear de <L' dada por w _, f'(z0 ) * w, ver [9,p. 58]. Se f'(zo) f O,

podemos escrever f'(zo) = p (cos8 +isen8), onde p = lf'(zo)l > O e 8 E [0, 21f). Gecr

metricamente, esta transformação linear corresponde a gírar o vetor w de um 8.ngulo

{}, em torno da origem, e então multiplicar o resultado por p > O (uma rotação de um

ângulo B seguido por mna homotetia). Como corlSt.>quéncia desta afirmação temos

que se f{z) =f O ~para todo ponto z de seu domínio. f é uma aplicação conforme.

Para a visualização dr,sta propriedade ü eonYeníente trabalharmos com vetore~

do plano que são tangentes a. uma curva dada.

71

Definição 6. Um caminho em (['é uma função contínua 1: [a. b] c IR__, a:. Se

para todo tE [a, b], "Y'(t) existir diremo."::i que 1 é um caminho diferenciáveL

Sejam 1 : ]a, b] ~ <17 urn caminho e to E (a, b). Se 1' (to) existir e for diferente

de zero, dizemos que 1' (to) é um vetor tangente a 1 em to, pois geometricamente,

1'(to) tangencia o traço de 1 em J(to)- Com ísto em mente, se 1 1 e fz são dois

caminhos tais que ) 1 (lo) ~ 12 (to) e ,; (to) # O # ,; (to), definimQs o ângulo entre ')1

e lz em to como sendo arg')2(to)- arg-y'(to).

Dados um caminho 1 : [a, b] ~ !l C <17 e uma função analítica f : n ~ d"

tais que ·!'(to) f O, to E (a, b) e f'(z0 ) f O onde z0 = /(10), definindo "(t) = f(l(t)), temos que rr é um caminho tal que r.r'(t0 ) = f'(z.o) · ')'1(t0 ).

Implementação do teorema 8- Programa 16 - Fig 3.5 e 3.6.

Neste programa o usuário fornece duas curvas fl(t) = {xl(t). yl(t)}, f2(t) =

{ x2(t), y2(t)}, um ponto tO onde fl(tO) = f2(t0) e uma função complexa f =v +i1•,

podendo visualizar os traços das curvas fJ, f2, fofl e fof2.

\ I /

, \ I . \\I I '" \/ /

"''--.,___./'·,.._,,_.--/

Figura 3.(>: Traço da., curva.' fl(t) = { 1.,!2 - 2t + 2} e f2(t) = { t, t2 - 4t + 5} q1w se interceptam em t = 1.5.

72

Figura 3.6: Traço das curV3ll fof1 e fof2 onde f(z) = z2 .

Vamos a seguir examinar alguma.~ transformações cmúonnes especiais estudando e

·visualizando suas importantes propriedades.

3.4 Projeção Estereográfica com Polo em N (0, O, 1) - Construção - Propriedades

Considere 5'2 = { (:r1, x2, x3) E JR3; xf + x~ + x~ = 1} e identifique o plano complexo

a; com o plano x3 =O.

Dado P = (o:,y,z) E S'- {!I'}, seja 1r(P) o ponto em que a reta r que passa

por P e lV intercepta o plano :r3 = O. Isto fornece uma aplicação rr : 52 ~ { N} -+ CL',

denominada Projeção Estereográfica, dada por:

r: P(t) = N + t(P- S) = (0, 0.1) + t(x, 1hz- 1) = (tx, ty.1 + t(z- 1)).

1 P(t) E a:=:. 1 + t(z- 1) =o=:. t = --

1- z

AssJmrr(x,y,z)= --,--,0. • (. X y ) l-z 1-z

Obtenção de 1r-1

73

Dado z E lf, z :::::: :r+ iy. seja n- 1 (z) o ponto ern que a reta s que passa por z e ]\l intercepta a esfera S2:

s:P(t)~z+t(N-z)~((l-t)x,(l-tkt; *

P(t) E 52 "* (1- t) 2x2 +(I- t) 2y2 + 12 ~I"* (I- t; 2(x 2 + y2) ~I- 12 "* 2 2

( 2 ') - ..L - X + y - I (I - t) X + y - I+ t, t T I "* t- 2 ' .

X +y + 1 Substituindo em * obtemos

_ 1 ( 2x 2y x2 +y'-l) " (x,y,O) ~ x 2 +y2 + 1' x'+ y2 + 1' x2 +y2 + 1

_ 1 __ (z+z i(z-z)lzl'-1) oun (•)- lz! 2 +1'lzl 2 +1'izl'+l ·

Visualização da Projeção Estereográfica- Programa 17- Fig 3.7.

Figura 3.7: Visualização da projeção Estereográfica.

74

Nota. Dado A E 8 2 , podemos considerar a Projeção Estereográfica r. A com polo

no ponto A) pondo 1r A = n- 1 o r. o R onde R é uma rotação de 5'2 que leva A em N.

Um plano tT : ax + by + cz = d intercepta a esfera S 2 em mais de tun ponto

se. e somente se, existir um ponto Q = (x, y, z) E O' tal que x2 + y2 + z2 < L No

caso afirmativo podemos considerar Q como sendo o ponto de u mais próximo da

origem. Para. obtermos Q usaremos o Método dos Multiplicadores de Lagrange.

O que se deseja, então: é o ponto de mínimo da função f ( x, y, z) = x2 + y2 + z 2

sujeito à restrição g(:r, y, z) = a.x + by + cz ~ d.

{ \lf(x,y,z)=Wg(x,y,z)

g(x,y,z) =O

Assim, o ponto procurado é Q =

De d(Q, O)< 1, tira-se d2 < a 2 + b2 +c'.

{

2x = Àa

2y = Àb

"* 2z = Àc

ax+by+cz=d

Lema. A equação az · z + Sz + fJz + -, =O, onde n. r E IR e$= $1 + iB2 E (!"

representa urna reta se a = O ou um circulo se a o? O.

Dem: (i) a= O

Seja r a reta que passa pelo ponto (xo. Yo) na direção do vetor (a', bl Então

,. é dada por 7': a'(y- yo) = b'(x- Xo)-

Tomando /31 = ~U /2, {32 = ~a' /2 e 1 = -a'yo+b'xo 1 tem-se r : Bz+Pz+~r =

~O.

Reciprocamente, dada a equação {3z + 73z + !' = ol {3 = /31 + if3z, as relações

3 1 = -b1/2 e (32 = ~a'/2 nQ'l dizem que esta equação representa uma reta paralela

75

ao vetor (a', l!) passando pelo ponto (:ro, yo) onde b'xo- a'y0 = ~1 .

(ii)<>fO

Seja C um círculo de centro em z0 = .To+ iyo e raio r. Fixando n E JR.• e

tomando 1 E IR e (3 = (31 + ·i/32 E ([' taLo; que

{

!J1 = -IH(J

/32 = nyo 'Y = n(lzol' - r2

)

segue que a equação de C pode ser dada por: az · Z + f3z + 7fz + 1 = O.

Reciprocamente) dada a equação az · Z + f3z + /3z + 1 = Ü1 ü 1 1 E lR e

j3 j3 .13 ~ d { /31 = -axo e zo = Xo + iyo, I I' / = 1 + 1. 2 E u", toman o j3 se z0 - 1 o 2:: O. 2 =ayo

então a mesma representa um círculo de centro zoe raio r, onde r 2 = lzol2 - "(ja.

Propriedade 1. Considerando retas como círculos de raio infirúto. temos que a

Projeção Estereográfica transforma círculos em círculos.

Dem: Seja 8' um círculo em 5 2. Então existe um plano P : a:T + try + cz = d, com

a2 + b2 + c2 > d2 tal que S' = S 2 n P. Se z' = x' + iif pertence à projeção de S' em

<1\ então existe Q = (x 1 ,x2,x3) E S1 tal que n(Q) = z1. Assim temos:

z'+? x, = lz'J' + 1

i(?- z') Xz = lz'\' + 1

lz'l'- 1 x, = lz'l' + 1 ax1 + b:.r..·2 + cx3 = d

Donde (c- d)z' · z' +(a- ib)z +(a+ ib)z' +(-c- d) =O.

Se N E 81, ternos c= d, logo, do lema. vemos que 1r(S1

) é urna reta paralela ao

vetor (2b, -2o) passando pelo ponto (xo, y0 ) onde 2ax0 +2byo = c+d. Caso contrário,

( a b ) va'+b2 +c'-d'

-rr(S') é um círculo com centro em d _c, d _c e raio = !d _ cl

76

Implementação da propriedade 1 - Programa 18 - Fig 3.8.

Neste programa, o usuário entrando com quatro números reais a, b, c e d sat

isfazendo a?+ b2 + c2 > d?, tem como resposta. os seguintes objetos: esfera S 2, plano

de equaç.ão ax + b-y + cz = d, o círculoS = P n S2 e a projeção de S',n(S'}, que

estão associados aos seguinte_<; nomes: esf, plan [a0 , a1 , a2 , a3], circ e Pcirc, respec

tivamente, onde ao, a1 , az e a3 servem para controlar as dimen<0es do plano na tela.

Devido a dificuldade de parametlizaç ões do plano, neste, e em outr0cs: programas, o

usuário deve selecionar, no torpo do programa, a célula que lhe convier.

Figura 3.8: Projeção Estereográfica lev,mdo circulo em círculo.

Propriedade 2. A Projeção Estereográfica é uma aplicaçào corúorme.

Dem:

Ver [10, p. 118].

Implementação do propriedade 2- Programa 19 - Fig 3.9.

77

NeBte programa o lNlário fornece duas curvas fl(t) = {xl(t), yl(t)), f2(t) =

{x2(t), y2(t)) e um ponto tO onde jl(tO) = f2(t0), visualizando os traços da..s

curvas fl, /2, 1rojl e 1roj2"

Figura 3.9: Visualizaçào da propriedade conforme da Projeção Estereográfica. ' .

3.5 Visualização da Pré-Imagem de Alguns Subconjuntos do Plano Via Projeção Estereográfica.

Pré-Imagem de Círculos - Programa 20 - Fig 3.10 e 3.11.

Aqui o usuário fornece ao programa três números reais :r:0 , y0 e r com T > O,

podendo Yisualizar a t'$fera 5 2, esf: o círculo -c de centro (xo, Yo) e raio r, circ: a

imagem inwrsa 8 1 = n-1(c) deste círculo, Icirc e o plano p tal que S' = p n S 2,

78

p]an [ao,al,a2,a3]-

Figura 3.10: Esfera S2 , pré- imagem do círculo c de centro {-1,0) e raio 2, plano P tal que PnS2 = c e círculo c.

Figura 3.11: Todos os objetos anterimes em uma mesma figura.

79

Pré-Imagem de Discos- Programa 21 - Fig 3.12 e 3.13.

Com os mesmos dados de entrada do programa anterior visualiza-se a esfera S2 , esf: o disco com centro (xo,JJo) e raio T, disc e a imag{-'õrn inversa deste disco,

Idisc_

o.

o. o

-o.

o o.

1 1.

1 2

Figura 3.12: Esfera S2, pré- imagem do disco d de centro (1,1) e raio 1 e disco d.

80

Figura 3.13: Todos os objetos anteriores em uma mesma figura.

Pré-Imagem de Poligonais - Programa 22 - Fig 3.14.

O programa que se segue tem por objetivo visualizar a imagem inversa, se

gundo, 1r, de um polígono dt~ n lados. Para tanto1 basta que o usuário forneça o número de vértices, nl; e os vértices

P1 = (x1,Y1),P2 = (x2,Y2), ... ,Pn1 = (XnpYn,) pondo x = {xi,X2)···:Xn1} e y =

{YJ, Y2, ... , YnJ, visua.lizando a poligonal P1P2 . .. Pn,-l,fl; o segmento Pn,-1Pn 1 , l2: a poligonal projetada n- 1(Cl).f3 e o segmento l2 projetado t4.

81

Figura 3.14: Pré- imagem da poligonal de n = 3 vértices (2,-1), (1,1) e (3,0).

Pré-Imagem de Triângulos - Programa 23 - Fig 3.15 e 3.16.

Neste programa visualiza - SE' a imagem inversa de um triângulo de vér

tices (xPyJ, (x2 ,y2 ), (x:nY3 ), onde x1 ::S Xz ::; XJn pondo x = {z·1,x2 ,x3 } e y = {y,,y,,y,).

82

o.

-0.

Figura 3.15: Esfera S2, pré- imagem do triângulo T de vértices (1,-1), (1,1), (2,1) e triângulo T.


83

Pré-Imagem de Retângulos - Programa 24 - Fig 3.17 e 3.18.

Neste programa vísualiza-se a imagem _inversa de um retângulo de vértice._c:;

(x1 ,yl), (x,,y2), (x,,y,) e (x,,y,).

Figura 3.17: Esfera S2, pré- imagem do retângulo R de vértices (1,-1), (1,1), (2,1),

(2,-1) e retângulo R.


84

3.6 Transformações de Moebius

Uma importante classe de funções analftica..s é a formada por funções racionais,

quociente de dois polinômios de uma variável complexa1 sem raizes comuns. Como,

até o momento, a divísão por zero não está definida, surge a necessidade de se

tratar tal conceito de tal forma que fill1çÕes racionais possam ser definidas sempre,

preservando continuidade; ver [9, pg 248j.

Considerando o símbolo oo tf- <r, definimos o plano estendido ir por if =

a:'U{oo}.

Operações algébricas em ([:

(i) adição: a+ ex;= oo +a= oo, 'ia E a:';

(ii) Multiplicação: a· oc; = oo ·a= oo, 'ia E tf- {O}; a - { a (iü) divisão: Õ = oo, 'ia E a:'- O} e;;:;= O, 'ia E a:'.

(i) X+ oo:

(ii) O· oo e oo ·O; o 00

(iii) - e-. o 00

Indeterminações

Vimos que, geometricamente, o conjunto a:' pode ser olhado como o plano

usual

De posse da projeção estereográfica n, geometricamente podemos pe.nsar em

â: como a esfera SZ. _Neste caço estamos identificando cada ponto z E a': com sua

imagem r.- 1(z). Um caso particular importante de funções racionais são chamadas Transfor

mações de Moebius M, cuja construção se segue:.

Definição 7. Dados a. b, cedE <V, com ad- bc f O, definimos S: if• ~ tf, pondo:

85

{

a'±b . z ~ _<j cz+d 1 c

S(z)= ~ ; z=oo ex : z =-d/ c

A condição a.d - bc f= O é para assegurar que a função S não seja constante.

De fato. ' az + b a

se c~ O,f(z) = afc <* d =- <* a(cz + d) = c(az + b) # acz + ad = cz+ c

d d b d bc C . O f(z) = _db ~ azd+ b acz + c # a = c <* a - = O. aso seJa c = , -- - ~

~ # ~z =O \fz # a= O # ad- bc =O, pois d ~O. ad-bc dz-b

Temos que S'(z) = ( d)' e s-'(z) = ,z ~ a/c,s-'(oo) = -d/c cz+ -cz +a

e s-'(a/c) = 00.

Sendo S analítica com S'(z) ~O \fz E <V, segue que Sé uma aplicação con-

forme.

Teorerna 9. Dados três pontos distintos z2, Z3 e Z4 E <r e w2, w3 e w4 E d' tam~ bérn distintos, existe uma única transformação TE A1 tal que T(zi) = wi, i = 2, 3, 4.

Dem:

Ver [7, pg 48].

Implementação do teorema 9 - Programa 25.

Teorema 10. Toda T E M leva círculo em círculo.

Dem: Ver [7, p. 49].

A visualízação deste teorema pode ser obtída utilizando-se o Programa 2.

86

3. 7 Rotações na Esfera Vistas como Transformações no Plano Complexo Via Projeção Estereográfica

Teorema 11. Sejam 1r: S2 -t <f' a projeção estereográfica com polo em (0,0 1 1) e

R : 5 2 -t S2 urna rotação. Então T = no R o 'lf- 1 : ir --+ <f' é uma transformação

az+b - . de Moebius da forma T( z) = - ; aã + bb =f. O. Rectprocamente, uma transfor-

-bz+a mação de Moebius como acima induz uma rotação R= 1!'-l o To 7T em S 2 .

Dem: Ver [8, Cap I]

Problema. Dados uma reta r pela origem e um ângulo e E [0, 2n), qual a trans

formação de Moebius que induz a rotação de 82, de ângulo B, ao redor de r?

Sejam R uma rotação de S2 e P1 , P21 P3 E S 2, distintos. Segue da teoria das

transformações de Moebius que a transformação T tal que w-1 o To 7f = R é a única

que satisfaz:

n(Pr)-'.:... 7r(R(Pr))

n(P,) __, n(R(P2))

7r(Px) __, 1r(R(P,))

Teorema 12. Transformação de Moebius que induz a rotação de; ' et2z

i) B ao redor do eixo z: Tr(z) ~ -.-,: e-~2

ii) n/2 ao redor do eixo x: Tz(z) ~ ." + '1.;

lZ + cos0/2 z- senB/2

iii)Baoredordoeixoy:Tx(z)~T,-1 oT,oT,(z)~ B/2

B/2

; sen z + cos

87

. ) n d d . CC ( ) T 1 T ( ) cose /2 z + isene /2 IV v ao re or o eiXo x : 14 z = ~ o 1 o T z = . n; / ;

~senu 2 z +cosO 2 onde T é a transformação que induz a rotação de -n /2 ao redor do eixo y.

Dem:

p, = (1,0,0)

p, = (-1,0,0)

P, = (0,-1,0)

R(P,) = P,

então R(P,) = P2

1r(PJ) = (1, O)

1r(P,) = (-1,0)

rr(F1) = (0, -1)

R(P,) = (0,0,-1)

rr(R(P,)) = (1,0)

e rr(R(P,)) = (-1,0)

rr(R(Ps)) = (0,0)

Assim 12 é a transformação que satisfaz: 1 '3. 1

-1 ~ -1 z+i

-i~ O donde T,(z) = .::_:.___:_::_ tz+ 1

Implementação do problema proposto - Programa 26.


Programa 12,

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

(* As funções u e v ainda não são conhecida..-; *)

88

z =X+ I y;

f=;

Expand[f]

(* As funções u e v já são conhecidas

u =;

*)


ux- D[ux]· - ' ' uy = D[u,y];

vx = D[v,x];

vy = D[v,y];

(********** DADOS DE SAlDA **********)

(* Verifica seu e v satisfazem as condições de Cauchy-Riemann. *)

(ux- vy) == O li Símplify

(uy + vx) == o I I Símplify

(* Calcula a derivada de f. *)

ux + I vx /I Simplify

Programa 13.

(**********DADOS DE ENTRADA**********)

(* As funções u e v ainda não são conhecidas

89

*)

z =r Cos[tJ +I r Sin[t]:

f ---' Expand[f]

(* As fuuções u e v já são conhecidas *)

u =: ~· -- . ~-'


ur = D[u,r]; ut = D[u,t]; vr = D[v,r]: vt = D[v,t]:

(********** DADOS DE SAlDA ******"'***)

{* Verifica se as funções u e v satisfazem as condições de Cauchy~Rjemann. *)

(m- 1/r >i)== O /! Símplify

(1/r ut + n) ==O f f Simplify

(* Calcula a derivada de L *)

(Cos[tj- I Sin[t]) (ur+ I w) // Simplífy

Programal4.

(********** DADO DE ENTRADA **********)

90

flx , v I "' : ' ~-· _,


dfx[x_,y _.] = D[f[x,y],x]; dfy[x_,y _] = D[f[x,y],y]; dfxx[x_,y _] = D[f[x,y],{x,2}]: dfyy[x_,y _] = D[f[x,y],{y,2}]; cl[b _,c_,d_,e_] := ContomP!ot[f[x,y],{x,b,c },{y,d,e}, Display :Functíon-> ldent-ity,PlotPoints->50,

ContourShading-> False,Asped R.atio--> AutomaticJ

(********** DADOS DE SAlDA *****"'****)

(* Verifica se a função f é harmônica. *)

dfxx[x,y]+dfyy[x,y]==O//Simp!ify

(* Calcula a harmônica conjugada de f. *)

g[x_, y _] = !ntegrate[dfx[x, t], {t, O, y}]Integrate[dfy[L 0], {t, O, x}]// Simplify c2[b _,c_,d_,e_] := ContomP!ot[g[x,y],{x,b,c},{y,d,e }, DisplayFunction-> Ident ity.Plot Points->50.

ContourShading-> Fa1se.Aspect Rat i o--> A ut orna ti c]

("' Vlsualiza a intersecção dab curva.-; de nível das funções f e g na região (b.c)X(d.e ).

*)

Show[c 1 [blc~d.ej ,c2 [b,c,d,eJ. DisplayFunction-> $DisplayFuuction]

91

Programa 15.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

z ;o;;; X+ I y;

f[x_,y_] :=


fl[x_,y _] := Re[f[x,y]]

f2[x_,y _] := Im[f[x,y]J

gfl [b _,c_ ,d _,e_] := Plot3D[fl[x,y],{x,b,c),{y,d,e},

Display Functíon-> Identíty]

gf2[b_,c_,d_,e_] := Plot3D[f2[xy),{x,b,c),{y,d,e),


cl[k_J[b _,c_ ,d_,e _] := ContourPlot[fl[x,y],{x,b,c),{y,d,e},

Contours-> { k} ,DisplayFunction-> Identity,PlotPoints- >50,

ContourShading-> False,AspectRatio-> Automatic]

c2[k _Jlh _ .c_ .d_ ,e_] := ContourPlot [f2[x,y] ,{ x,b,c},{y,d,e},

Contours-> { k} ,DisplayFunction-> Identity,PlotPoínts->50,

ContourShading-> False,A">pectRati(r >A utomaticJ

(********** DADOS DE SAIDA **********)

(* Gráficos da..s partes real e imaginária de f. *)

Show [ GraphicsArray[ {gfl [-5,5 ,-5,b] ,gf2[-5 ,5, -5,5]} ]]

(* Repra"lentação das curvas de nível das partes real e imaginária de f , nfve1 O. *)

Show[ G raphicsArray[ { cl [OJ [-5.5.-5 ,5] .c2f0] f-5,5 ,- 5,5]}]]

92

(* Visualização do~ zero::; da funç,ão L *)

Show(cl [O] [-5.5,-5,5] ,c2 [0[[-5,5,-5,5], Di~-playJ:.\mction-> $DisplayFunct íon]

Programa 16.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

xl[t_] =;

yl[t_] =;

x2[t_] =; y?it 1 .~ >

"~L -J '

tO=:

(*** CORPO DO PROGRA\!A '.!AIS ALGUNS DADOS DE ENTRADA **')

fl[t_] = {xl[t].yl[t]} f2[t_j := {x2[t],y2[t]} curval[a_,b_] :=

ParametricPlot[fl [t,]/ /Evaluate,{ t,a,b },AspectRatio->Automatic, Plot Style-> RG BColor[L O, O],DísplayFunction- > Identity]

curva2[a_,b_] :=

ParametricPlot [f2(t]/ /Evaluate.{ t .a. h} ,Aspf'ct Ratio- > Automatic,

PlotStylP-> RGBColor[O, 1 ,O].Displayflmction-> Identity]

d:xl[t _] = D[xl[t],t]:

dyl!t = D(sl!t].t]: dx2[t _] = D[x2[t],t]: dy2[t_] = D[y2[t),t]:

thetal = Arg[d:x2[t0] +I dy2[tOlJ- Arg[dxl(tO] +I dyl[tO]];

93

(*Caso em que é dada f(z) *)

f[z_J =;

ffl[t_] = {Re[f[xl[t]+yl[t]I]],Irn[f[xl[t]+yl[t]IIJ)

fl2[t _] = {Re[qx2[t]+y2[t]!J],Irn[f[x2[t]+y2[t]l]]}

fcurval[a_,b_j :=

PararnetricPJot[ff1 [t]/ /Evaluate, { t.a,b} .AspectRatio-> Automatíc,

PlotSty Je- > RGBColor [ 1, O, O] ,Display Function- > ldentity]

kurva2[a_,b J :=

ParametricPJot [fl2[t] / /Evaluate, { t ,a,b) ,AspectRatio->A ut omatic,

PlotStyle-> RGBColor[O, 1 ,0] ,DisplayFunction-> ldentity]

dfl[t_] = D[f[x1[t] +I y1[t]J,t];

df2[t_] = D[f[x2[t] + J y2[t]],t];

theta2 = Arg[df2[tü]]- Arg[dfl[tO]];

(* Caso em que são dadas u(x,y) e v(x,y) *)

u[x_,Y.J =;

v[x_,y_] =;

f!l[t_j := {u[xl[t],y!ít]ix[xl[t].yl[tJI}

fl2[t_j := {u[x2[t],y2[t]],v[x2[t],y2[t]])

fcurva1[a_.b_] :=

ParametrícPlot[ff1 [ti/ /Evaluate, { t,a,b} ,AspectRatio-> Automatic,

PlotStyle-> RGBColor[l ,0,0) ,DisplayFunct ion- > ldentity]

fcurva2[a_.bj :=

ParametricPlot [ff'J[t] f /Evaluate, { t,a, b} ,AspectR.atio->A utornatic,

Plot Style-> RGBC-olor [O. 1 ,O] ,Display Function- > Identity] dfl[t_] = D[u[xl[t],yl[t]J +I v[xl[t],yl[t]J.t]:

df2[t_j = D[u[x2[t),y2[t]J +I v[x2[t],y2/t]].t): theta2 = Arg[df2[t0]]- Arg[dfl[tOj];

94

(********** DADOS DE SAIDA **********)

(* Visualiza o traço das curvàS f1 e f2 com a < t :S b. *)

a:= tO- 2

b :~-tO+ 2

Show[curval[ a, b] ,curva2[ a, b] ,reta 1 [a, b] ,reta2[a, b],

Display Function-> $Display Functiou]

(* VisuaJiza o traço das curvas fofl e fof2. *)

Show[fcurva 1 [a, b] ,fcurva2[ a, b] ,Display Function-> $Display Funct íon]

(* Calcula o ângulo entre as curvas fl {~ f2 em tO. *)

thetal

(* Calcula o ângulo entre as curvas fofl e fof2 em tO, *)

theta2

Programa 17.

S2[theta _fi_] = {Sin]fi] Coo[thcta],Sin[hj Sín[theta],Cos[fij}:

esf = ParametrícPlot3D[Evaluate[S2[theta,fi]], { fi,O,Pi},

{ tbPt a.0.2 Pi} ,Shadhtg-> F<.:tbe .DisplayFunction-> Identity]:

Po = {Pif6,Pi/3}; pontesf = ParametricPlot3D[Evuluate[S2[theta,fi]],

{ theta,Po[[1]]-(l,05,Pofil]]+0-05}, { fi,Po[[2]]-0,05,Po[[2]] +0-05} ,Disp!ayFunction-> ldentity];

xo = S2[Pofll]J,Po[[2íJ][[l]]:

95

yo c S2[Po[[!Jl.Po!I21JJI[2]]; zo ~ S2[Po[[!Jl,Po[l2]]][[3]]; reta[t_] = {xo t,yo t,!+(zo-1) t};

reta! = ParametricPlot3D[retaft]/ /Evaluate,{ t,-1,4},

Aspect Ratio-> Automa.tic,Display Function->I dent ity];

plano = ParametricPlot3D[ { u.v,O}, { u.-2,2}, {v ,-3,3}, Aspect Rat i o-> A utornatic,DisplayF\mction-> ldentity];

to= -1/(zo-1); pontpla = ParametricPlot3D[{u,v,O}, { u,reta[t o] [[1 ]]-0 05,reta [to] [[1]J+0.05}, { v,reta \to] [l2]]-0.05,reta[to] [[2]] +0.05},

Display Function-> ldentity];

Show[esf,pontesf,reta l,plano)pontpla,Axes-> N one,

Boxed-> False,DisplayFunction->$DisplayFunction,

View Point-> { 4. 000,0.030, 1. 660) J

Programa 18.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

a='

b -. -- ' c=;

d =;

ai'' 2+b' 2+cf, 2 > d"' 2

(***'*'"'* CORPO DO PROGRA~'lA ********'*)

ll = x-' 2--t--/' 2+1;

Proj[x _ ,y _] = {2x/n,2y /n,(n-2)/n,Thickness[O.Olí}; S2[t he1 a __ .fi j = { Sin[fi] Cos[theta) ,Sin[fi) Sin[theta],Cos[fiJ;

esf = ParametricP!ot3D[S2[theta,fi]//Evaluat.c, {fi,O,Pi},

9fi

{ t hf'ta.0.2 Fi} ,Shadíng- > Fabe,DifiplayFtnlct íon-> Identity];

(*

f[x_,y _] :=(d-a x-b y)/c

xo := a/(d-c)

yo := b/(d-c)

Caso (c I O) e (c f d)

raio:= Sqrt[(a'' 2+b' 2+c' 2-d'' 2)/(d-c)A 2] X := xo+raio Cos[t]

Y := yo+raio Sin[t]

plan[e _ ,g_ ,h __ ,i_] := ParametricPlot3D[{x,y,f[x,y]}, { x,e,g},

{y,h,i} ,Shading- > False,DisplayFunction-> Identity]

Pcirc := ParamNricPlot:lD[ {X,Y,O, Thickness[O_()l]}, { t ,0,2 Pi),

AspectRatio->A utomatíc,DisplayFunction-> ldentity]

circ := ParametricPlot3D[Proj[X,Y]/ /Evaluate,{t,0,2 Pi),

AspectRatio->A utomaticDisplayFunction-> Ident.ity]

(*

xo := a/d

yo := b/d

Caso (c= O) , (c -1- d) e (b -1- O)

nuo := Sqrt[(a'' 2+b' 2-cl"' 2)/d' 2]

X := xo+raio Cos[t]

Y := yz)+raio Sin[(;

*)

plan[e _,g_ ,h_j _] := ParametricPlot3D[{x,(d-a*x)/b,z),{x,e,gj,

{ z,h,i) ,Shading-> FaLoe,DisplayFunction-> ldentity]

PeiTe := ParamctricPJot:lD[{XY,O,Thickness[0-01]},{ 1,0,2 Pi) _

AspectRatio->A ut omaticDisplay Function-> Identity]

circ := ParametrícPJot3D[Proj[X,Y]/ /Evaluate,{t,0,2 Pi},

AspectRatio-> Aut.ornatíc,DisplayFunction-> Identit.y]

97

*)

(* Caso (c = O) , (c f d) e (b = O)

xo := a/d yo ::::;: O

raio:= Sqrt[(a' 2-cl' 2)/cl" 2]

X :·"c;; xo+raio Cos[t] Y := yo+raio Sin[t]

plan[e _,L,h_ ,i_) := ParametricPlot3D[{ d/ a,y,z),{y,e,g),

{z,h,i} ,Shading-> False,DisplayFunction-> ldentityj

Pcirc := ParametricPlot3D[{X,Y,O,Thickness[O.Ol]},{t,0,2 Pi},

AspectRatio-> Automatic,DisplayFunction-> ldentity]

circ := Para.ruetricPlot3D[Proj[X,Y]/ jEvaluate,{ t,0,2 Pi},

AspectRatio-> Aut-Omatic:DisplayFunction-> IdentityJ

(* Caso (c f O) e (c= d) e (b =O)

f[x_,L] := (d-a x)/c xo := (c+d)/(2 a)

yo :=O

X:= xo

Y := -2 a t plan(r _,L ,h_ j _] := ParametricPlot3D[{x,yJ[x.yJ),{u\g), {y,h,i} ,Shading-> False,DisplayFunction-> ldentity]

PcilT := PararnetrícPlot3D[{X,Y,O,Thickness[O,Ol ]},{ t,-6,6},

DisplayFunction-> Identíty]

circ := ParametricPlot3D[Proj[X,Y]/ /Evaluate,{ t ,-5,5},


(* Caso (c i O) e (1: = d) c (b i O)

f'x ,v I := (d-a x-b v);'c l- -·· .

98

*)

*)

*)

xo :=--- o yo ;oo (c+d)/(2 b) X:= 2 b t

Y := yo -2 a t

plan[e _,g_,h _,i_] := ParametricPlot3D[{x,y,qx,y]},{x,e,g},

{y,h,i} ,Shadíng-> False,Display Function-> ldentity]

Pcirc := ParametricPlot3D[{X,Y,O,Thickness[O,Ol]}, { t,-6,6},

DisplayFunction->ldentity]

circ := ParametricPlot3D[Proj[X,Y]//Evaluate,{t,-6,6}, Display Function~ > ldentity]

(*

X:= 2 b t

Y := -2 a t

Caso (c= O) , (c= d) e (b #O)

plan[e _ ,g_,h_,i_] := ParametricPJot3D[{x,(d-a*x)/b,z},{x,e,g},

{ z,h, i}, Shading-> False,DisplayFunction-> ldentity] Pcirc := PararnetricPJot:lD[ {X,Y,O,Thickness[O,Ol]}, { t,-6,6},

DlsplayFunction-> ldentity] circ := Parametri<:Plot3D[Proj[)):,Yj//Evaluate, { t,-2,2},

Dlsplay Function-> Identity]

(* Caso (c= O), (c= d) e (b =O)

X:= O Y := ~2 a t

plan[e __ ,g_,h_ ,i_] := ParametricP!ot3D[{d/a,y,z },{y,e,g},

{ z, h,i}, Shacting-> Falsc,DisplayFunction-> Identity]

Pcirc := ParametricP!ot3D[ {X,Y,O,Thlckne$s[O,O!]}, { t ,-6,6}, DisplayFunction-> Identity]

circ := ParametricPlot3D[Proj[X,YJ//Evaluate,{t,-2,2},

99

*)

*)

DisplayFunction- > Identity]

(********** DADOS DE SAlDA **********)

Show[esf,DisplayFunction-> $Display Function,

AxeB-> None,Boxed-> False]

Show[plan[-1 ,1 ,-1, 1] ,DisplayFunction-> $Display Function,

Axes-> None,Boxed-> False]

Show[circ1DisplayFunction->$DísplayFunction,

Axes-> None 1Boxed-> False]

Show[Pcirc,Disp1ayFunction-> $DisplayFunction,

Axes-> None,Boxed->False]

Show[esf,circ,Pcírc,plan[-1, 1,-1, 1], Display Function->$DisplayFlmctíon,Axes-> None,Boxe,d->F alse]

Programa 19.

(********** DADOS DE ENTR.>\.DA **********)

x11t 1 = -• l ~i '

y1[t_] =;

x2[t_] =;

y2[t __ ] = :

tO=:

(**********CORPO DO PROGRAMA**********)

100

Proj[x_ ,yJ = {2x/n.2y /n.(n-2)/n, Thickness[O.Ol]}; S2[t hera_ .fi_] = { Sin[fi]*Cos[theta] ,Sin[fi]*Sin[thet a ].Cos[fi]}:

esf = ParametrícPlot:JD[S2[theta,fi]/ /Evaluate,{ theta,0,2*Pi},

{ fi,O ,Fi} ,Shading-> False,DisplayFunction-> Identity];

fl[t _] := {xl[t],yl[t],O,Thickness[O,Ol]}

f2[t _] := { x2[t],y2[t],O,Thiclmess[O.Ol]}

curval[a_,b_] :=

ParametricPlot3D[fl[t]/ /Evaluate, { t,a, b }, DisplayFunction-> ldentity]

cmva2[a_,b_] :=

PararnetricPlot[f2[t]/ /Evaluate, { t,a,b },

Display Ftmction-> Identity]

Pcurval[a _ ,b _] :=

PararnetricP!ot [Proj [xl[t] ,yl [t]]/ /Evaluate, { t,a,b),

DisplayFund ion- > lden ti tyJ

Pcurva2[a_,b_] :=

ParametricPlot[Proj [x2[t] ,y2[t ]] / /Evaluate, { t,a, b}, DisplayF\mction-> Identity]

(********** DADOS DE SAIDA **********)

(* Visualiza o traço das curva.'5 f1 e f2 1TOfl e 1Tof2. *)

a:=t0-2

b •= tO+ 2

Show[ curvai [a. bJ .curva2 [a. b J .Pcurval [a. b] 1P cm·va2[a. hj.Axes-> :\mw .Boxed-> False, Display:f<lmction- > $DisplayFmlctionJ

Prograxna 20.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

101

xO ~: yO ~:

r=;

(********** CORPO DO PROGRAt.'lA **********)

n = xl\ 2+y" 2+1;

Proj[x_,y_] = {2xfn,2yjn,(n-2)/n,Thíckness[O.Ol]};

S2[theta_,fi_] ~ {Sín[fi] Cos[theta],Sin[fi] Sin[theta],Cos[fi]}: esf ~ ParametricPlot3D[S2[theta,fi]/ /Evaluate,

{ theta,0,2 Pí}, { fi,O,Pi},Shadíng-> False,

DísplayHmctíon-> ldentíty];

X := xO+r*Cos[t] Y := yO+r*Sin[t]

Icirc :~ ParametricPlot3D[Proj[X,Y]/ /Evaluate,{t,0,2 Fi},

DisplayFunction- > Identity]

circ := PararnetrícPlot3D[{X,Y,O,Thickness[O.Ol]},{t,0,2 Pí).

DLsplay F\mction-> IdentityJ

sol=Solve[{a/(d-c)==xO,b/(d-c)==yO,(a" 2+b" 2+c" 2-d" 2)/(d-c)' 2==-r" 2,

aA 2+V' 2+cA 2+dA 2==l},{a,b,c,d}]

(* Caso (c<> O) *)

f[x_,yj = (d-a*x-b*y)/cf.soll[l]j

plan[e _ ,g_,h_ ,i_] :~ ParametricPlot3D[{x,yJ[x,y]},{x,e,g}. {y,h,i} ,Shadíng-> False,DisplayFunction-> Identíty]

(* Caso (c= O) e (b f O)

102

*)

fix~,z~] = (d-a*x)/b(,sol[IJ]j plan[e _ ,g~ ,h~ ,i~] := ParametricPlot3D[{x,f[x,z],z} ,{ x,e,g), { z,h,i} ,Shading- > False, Display Function-> Identity]

(* Caso (c= O) e (b = O)

f[y ~,z_] = (d/a)(,sol[[l]j

plan[e~ ,g_,h~,i~] := Pa:rarnetricPlot3D[{f[y,z],y,z },{y,e,g),

{ z,h ,i} ,Shading-> False, Display Function-> ldent ity]

(********** DADOS DE SAlDA **********)

Show[esfjDisplay Function-> $Disp1ay Function,

Axes-> None,Boxed-> FalseJ

Show[circ,Display Function->$DisplayFunction, Axe.'3-> None,Boxed-> Fahe}

Shmv[Icirc.Disp lay Function- >$DisplayFunction,

Axes-> None,Boxed-> False)

Show[plan[-1 ,1 ,-1 ,1] ,Display Function- >$DisplayFunction,

A,xes-> None-,Boxed- > FalseJ

Show[esf,lcirc,plan[-1, 1, -1,1 J,ci:rc,

*)

Displa,\· Function-> $DbplayFunctlon,Axes-> None,Boxed- > False]

Programa 21.

(********** DADOS DE ENTRADA**********)

103

xo =;

yo =;

rato = ;


n = xA 2+yA 2+1:

Proj[x_,y _I= {2x/n,2y/n,(n-2)/n}:

S2[theta _,fi J = {Sin[fi] Cos[theta],Sin[fi] Sin[theta],Cos[fi]}:

esf = ParametricPlot3D[S2[theta,fi]/ /Evaluate,

{ theta,0,2 Pi}, {fi,O,Pi},Shading-> False,

Display Functíon-> Identity]:

X := xo+r Cos[t]

Y := yo+r Sin[t]

disc := ParametricPlot3D[{X,Y,O }, { t,0,2 Pi},{ r,O,raio),


Idisc := ParametricP!ot3D[Proj[X,YJ//Evaluate,{t,0,2 Pi),

{ r,O,raio} ,DísplayFmrction-> ldentity]

(********** DADOS DE SAlDA **********)

Show[esf,DisplayFunction->$DisplayFunction,

Axes->None,Boxed-> False]

Show[disc,DisplayFunction->$DispleyFunction,

k\.es-> None,Boxed-> False]

Show[Idísc ,Display FU.nction->$Display Function,

Axes-> None)Boxed- > FaL-:>e]

104

Show[esf,disc,ldisc.DisplayFunction->$DisplayFunction, Axes-> Nonc.Boxed-> Falst']

Programa 22.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

nl :::::o ;

X:={}

y={)

(********** CORPO DO PROGR.I>,..MA **********)

n = xJA 2+yJA 2+1;

Proj[xl_ ,y1_] = {2xl/n,2yl/n,(n-2)/n,Thickness[O.Ol]};

S2[theta_ .fi_]= {Sin[fi] Cos[theta].Sin[fi] Sin[theta],Cos[fi]};

'"f= ParametricPlot3D[S2[theta,fi]//Evaluate,

{ theta,0,2 Pi},{fi,O,Pi },Sha<ling-> False,

Display Function-> Identity];

g[a_,,b_,c_,d_][t_] ::- {a+t*(c-a),b+t*(d-b)}

z := Table[g[x[[k]],y[[k]],x[[k+l]],y[[k+llll[t],{k,1,nl-1 }]

z1 = g[x[[n1]],y[[n11l,x[[l]],y[[1Jll[t]

ll:=Table[ParametricPlot3D[ { z[[k]][[l]] ,z[[k]][[2]] ,O} //Evaluate,

{ t,O,l} ,DisplayFunction-> ldentity], {k,l,n1-1}]

12 : =ParametricPlot3D[{ zl[[l]],zl [[2]] ,0) / jEvaluate,{ t,0,1).

DlsplayFunction-> Identity]

13: =Table[ParametricPlot3D[Proj[z[[k]][[1Jl,z[lk!JI[2]jj/ fEva1uate.

{ t ,0.1 },Disp1ayFunction-> ldentity],{k,l,nl-1}]

14 : =ParametricPlot3D[Proj[z1[í1]],z1[[2]]]/ /Evaluate. { t.O. 1}.

DisplayFunetion-> Identity]

(********** DADOS DE SAlDA **********)

105

Show[ll J2, DisplayFunction-> $DisplayFuuction,Axes-> None,

Boxed->False]

Show[l3,14,Display Function- >$DisplayFunctionlAxf>...s-> None,

Boxed-> False]

Show[esf,ll ,12,13,14 ,DisplayFunction->$Display Function,Axes-> None,

Boxed-> False] Programa 23.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

X={);

y = {);


n = x1'2+y1'2+1; Proj[xl_,yl _ _] = {2x!/n,2yl/n,(n-2)/n}; S2[theta_,fi_] = {Sin[fi] Cos[theta],Sin[fi] Sin[theta], Cos[fi]}; esf = PararnetrícPlot3D[S2[thetaJi]/ jEvaluate,

{ theta,0,2 Pi) ,{ fi,O,Pi) ,Shading->FaLse, DisplayFunction-> Identity]; m = y[[l]]+(x[[2]]-x[[liJ)*(y[[3]]-y[[l]Jl/ (x[[3]]-x[[l]]) lado[k_] ;=

ParametricPlot3D[ { x[[k]J +t* ( x[[2JJ-xllk]J) ,y[[k]] + t * (s-y[[k]J) ,O),

{ t,O,l },{ s,y[[2]] ,m} ,DisplayFunction->ldentity]

Plado[k _] := ParametricPlot3D[

Proj [x[[k]] H* (x[[2]]-x [[k]]) ,y[[k]] + t * (s-y[ [k]])] //Evaluate, { t ,0,1 }, { s,y[[2]],m} ,DisplayFunction- >ldentity]

106

(********** DADOS DE SAlDA **********)

Show[lado[l] ,lado[3J ,Plado[lj ,Plado[3] ,esf,Display Function->$DisplayFunction.

Axes-> None,Boxed-> False]

Programa 24.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

xl =: yl =;

x2 =;

v2 = · ' ' x3 =;

y3 =;

x4 =:

y4 =;


ll = XA 2+yA 2+1;

Pro.Hx ~·Y ~! = {2x/n,2y /n,(n-2)/n,Thickness[O.l]}:

S2[theta ~ ,fU = {Sin[fij Coo[theta],Sin[fi] Sin[theta],Cos[fi]}; e.sf = ParametricPJot3D[S2[theta,fi)/ /Evaluate,

{ theta,0,2 Pi}, { fi,O,Pi) ,Shading->False,

DisplayF1mction-> ldentityJ;

retan := ParametricPlot3D[{ x,y,O},{x,xl,x3) .{y,yl,y3),

Display Funct ion- > IdentityJ

Pretan := ParametricPlot3D[Proj[x,y]/ /Evaluate, { x,xLx3}.

{y,y 1 ,y3) .DisplayFunction-> ldentity]

107

(********** DADOS DE SAlDA **********)

Show[esf,DisplayFunction-> $Display Function,Axes-> None,

Boxed-> False]

Show[retanlDisplayFunction- >$Display Ftmction ,Axes- > None,

Boxed-> False]

Show[Preta.n,Display Function-> $Display F unction,Axes- > None,

Boxed-> False]

Show[retan,Pretan,esf)Boxed-> False,Axes-> None,Shading- > False,

DisplayFunction->$DisplayFunction]

Programa 25.

(********** DADOS DE ENTRADA**********)

z2 ~;

z3 ~:

z4::::::;

\V2::::::: ;

w3 =;

v.:4 = :

(********** CORPO DO PROGRA~ **"'***"'***)

S1[z _] := ( (z2-z4)*z-z3*(z2-z4)) /( (z2-z3)*z-z4*(z2-z3))

S2[z _] :~ (w4*( w3-w2)*z+w3*(w2-w4) )/( (w.3-w2)*z+(w2-w4)) Tlz ] :~ S2'Sl[z]!

< ~ l )

(********** DADO DE SAlDA **********)

108

T[z]/ /Simplif'v

Programa 26.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

alfa ~ ; (*

beta = ; (* gama c:;;;: ;(*

Ângulo de rotação ao redor da reta r *)

Ângulo da reta com o eixo z *) Ângulo da projeção da reta no plano Oxy com o eixo x

(********** CORPO DO PROGHAMA **********)

Ml[a_]:~ {{Exp[I aj2],0},{0,Exp[-I a/2]}}

M3[b_ ]:~ { { Cos[b/2] ,-Sin[b/2]} ,{Sin[b/2] ,Cos[b/2]}} M :~ Ml[gama].M3[beta] 'dl[alfa].M3[-beta].Ml[-gama]

(********** DADO DE SAlDA **********)

MatrixFormll'vn:

(* Ttansformação de Moebius na forma de matriz *)

lv!atrixForm[%/M[[l,l]]/ /Simplify

109

*)

Capítulo 4

Homotopia e Integração

A teoria de Integração de variáveis complexas é muito rica em resultados e

aplicações, entretanto nosso objetivo neste capítulo é mostrar somente como

se pode implementar, de maneira simples, os conceitos de integral de linha e

de homotopia e ilw;;trar o Teorema de Cauchy.

Definição 1. Sejam 'Y: [a, b]---..(L' diferenciável por partes e f uma função definida e contínua sobre o traço de T Então a integral de f sobre í ê

índícada por .f, f= J, f(z)dz e definida por J; f(z)dz = 1; fh(f)J.--r'(t)dt. Os programas 27 e 28 calculam a int-egral de uma -função comple.xa f =

= ·u + iv sobrr uma curva ')'.

No programa 27 a curva 1 é parametrizada por {x1 y} no intervalo [a, bJ e

no programa 28 a curva 'T é uma poligonal de n vértices { x 1 , y1}; ... , { xn 1 Yn} .

pondo n =número de vértíces. :ro = {:r1, ... ,xn} e Yc = {Yl· ... ,y.J.

Integral sobre uma curv-d · Programa 27.

Exernplo.

x = Cos[t]: y = Sin[t]:

110

a= O;

b = 2 Pi;

f[z1_] = 1/zL

Resultado;

2 Pí I

Integral sobre uma poligonal - Programa 28.

Exemplo.

n:::: 3; xO = {0,1,0};

yO = {OJ,1}

f f 1 • 1 ~2 [Z _j = Z ;

Resultado;

-I/3

Defimção 2. Sejam "f o, 'Y! : [O, 1] ~ G C cl7 curvas retificáveis tais que

o0 (0) = ') 1 (0) =a e ')o(1) = 1 1(1) = b. Então "'o e 11 são homotópicas

'Yo "-' ''1'1 se existe uma fm1ção contínua r: ! 2 ~ G, onde 12 = ~0, 1] x [0.1].

tal que

f(s, O)= 'io(s).

f(O,t.) =a e

r(s, 1) = 1 1(s);

f(Lt.) = b

O:Ss:S1

O:St:SL

Definindo -1, : [0. 1] ~ G poq,(s) = r(s, t.). O :S t :S 1, o traço da família

de curva-<:: '""f r mostra como o traço de 'Yo é deformado no traço dE' "'1 1 .

lll

Homotopia entre curvas - Programa 29 - Fig 4.1 e 4.2.

Dadas duas curvas 'Yo(s) ~ {xo(s),yo(s)} e ; 1(s) ~ {x,(s),y,(s)} para

met.rizadas nos intervalos [a, b] e [c, d]. respectivamente, é possível visualizar

os traços de:;ta"i curvas bem como os traços da famil.ia de curva"> lt· Neste

caso, a funçào r é dada por r(s,t) ~ l')l(s) + (1- t)'y0 (sJ.

Nota. Aqui o programa reparametriza as curvas em questão no intervalo

[0, l]

112

1

. 1'!..._ 1.5 2 2.5 3

Figura 4.1: VisuaJiza as curvas homotópicas '/o(s) = {s,sen s)}, 'YJ(s) -{s,O}, O::; s s; 7r1 e algumas curvas intermediárias desta homotopia.

Note que nesta homotopia os pontos (0,0) e (Jr,O) ficam fixos.

/ .

Figura 4.2: Visualiza as curvas fechadas homotópicas "fo(s) = {7 cos s,4sen s} e í 1(s) = {cos s.scn sL O.:; s :S 21r, e algumas curvas intermediária._<; desta homotopia.

113

Para demonstrar o principal result-ado dE\'ite seçào, o Teorema de Cauchy.

vamos prccísar do seguinte lema:

Lema. Seja f analítica no disco B(a.;R) e suponha que r é uma curva

fechada retiíicável contida no disco B(a; R). Então]~ f~ O.

De1n:

Ver [7, p. 73].

Teorema de Cauchy. Sejam fo e "1'1 dua..'1 curvas fechadas retificáveis em

G tal que lo "'"'h· Entào ]70 f= ]11 f para toda função f analítica em G.

Dem:

Se r é a função que define a homotopia, sendo r contínua e I 2 com

pacto. segue que r é uniformemente contínua e r(J2) é compacto. donde

r·~ d(f(J,).Il'- G) >O e existe um inteiro n tal que se [(s, t)- (s', I') I< 2/n

então JI'(s. I) - f(s'. t') I < r. Tmnando J,, = {;. ~], z,, = f(*,~) e Pik

a poligonal fechada [Zjk•ZHJk,Zj+lk'""1.Zjk-"·l·Zjk].O -:s; j.k -:s; n temos que

[(Jjk) C B(Zjk; r) e Pjk C B(Z,,; r). donde. pelo lema, IJ,, f= O.

Se Qk ê a poligonal fechada [Zok,Zlk···-,Znk], mostremos que j10

f =

foc f ~ fo, f ~ -.. = fq" f ~ .{0 , f. Com efeito, se aj(t) ~ 1o(t) para * ~ t ::; ~ entãD o traço da curva aj reunido com o segmento [ZJ+10 , Z10]

é uma curva fechada retificável contida no disco B(Z]'oi r), donde f11

. f = '

~ }:z z f "'c J+lÜ• <jOj

Somando lado a lado cada igualdade para O :S j :S n concluirnos que

f,., f= Jq, f. Da mesma forma J;, f= fq, f. Por outro lado, notando que 7'--1

t / f= O, que as integrais sobre os segmentos [Zj+Jk, Zj+lk+d, r.:oD • FJt

O :'S j :'S n ~ 1 se cancelam e que [Zok+J·Zok] = -[Zrk,Zlk+I] segue que-

{q, f~ fq,, f. o

Implementação do Thorema de Cauchy - Programa 30 - Fig 4,3 a

114

4.7.

Figura 4.3: Visualiz"':ão da região G e do traço das curv-as -y0 e 'l'J.

/ \ ', """

·--·----•

Figura 4.4: Visualização da poligona Poo e do disco B(Z00,r).

!15

Figura 4.5: Visualização das poligonais Qo 1 QT1, e uma poligonal intermediária.

Figma 4.6: Visualização da. curva ~r0 , poligonais Poo e Qo e disco B(Zoo; r).

!16

1 4 Z21

1 4

1,~ Z20

o 8 '

o. 5

o ~ d

-+--o~-u-·

.-, , Zll

~~--"-· 0.6 0.8 1 Z001.2 1.4

Figura 4. 7: Visualização das poligonais Poo e Pw.

117

Programas do Capítulo

Programa 27.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

a::::;

b =;

z =X+ I y:

dz = D[z,t];

(** CORPO DO PROGRAMA MAIS ALGUNS DADOS DE ENTRADA**)

(*Caso em que é dada f(zl) *)

f[zl_] = ;

final = f[z]*dz;

(*Caso em são dadas u(xLyl) e Y(xl,yl) *)

u[xl_,yl_]=; vfxl ,yl 1= : ' -·-' _, final= (u[x,y]+l v[x,y])*dz;

(**********DADO DE SAlDA **********)

Integrate[final,{ t,a,b }]//Sirnplify

Programa 28.

118

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

n =;

xO = {}:

yO = {):

(**CORPO DO PROGRAMA MAIS ALGUNS DADOS DE ENTRADA**)

(*Caso em que é dada f(z1) *)

g[a_,b_,c_,d_][t_] = a+t (c-a)+! (b+t (d-b)); z := Table[g[xO[[kJJ,yü[[k]],xü[[k+l]],yO[[k+l]]][t],{k, 1,n-1 }j dz = D[z,tj; f[z1_j =;

final := f[z].dz

(* Caso em que são dadas u(x,y) e v(x,y) *)

u[x_,y_] =:

vfx .v 11 = :

l ~·~- .

g[a_,b_,c_,d_][t_] = {a+t (c·a),b+t (d-b)}; z1 := Table[g[xü[[k]],yü[[k]],xü[[k+ 1J],yO[[k+ l]]][t] [[lJJ ,{k,l,n-1) J z2 := Table[g[xO[[k)],yO[[k]],xO[[k+l]J,yO[[k+ l]]][t][[2]], {k.l,n· 1 }] z := zl + I z2

clz = D[z,t]; finall := u[zl,z2]+ I v[z1,z2]

final := fiuall.clz

(********** DADO DE SAlDA **********)

lntegrate[finaL { t .0.1}]

119

Programa 29.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

xO[s_] :=

yO[s_] :=

a -· -'

b =;

xl[s_j :=

yl[s_] :=

c=;

d=;


g[al_,bl_][s_] := (bl-al)*s+al

f:= {{xO[g[a,b][s]],yO[g[a,b][s]]}, { xl[g[c,dJis]],yl [g[c,d][s]]}}

F[k_] •= ParametricPlot[k*f[[2]]+(1-k)*mlJJ/ /Evaluate,

{ s,O,l }~PlotPoints->50,AspectRatio-- > Automatic,

DisplayFunction->Identity]

curvas[n_] := Table[F[k].{k,O,l,l/n}]

(********** DADOS DE SAIDA **********)

(* Visualiza o tra~o da curva de índice p da farrúlia (O S p S 1 ). *)

Show[F[p] ,DisplayFunction->$Display Function]

(* Visuliza as curvas fo, f1 e as p-1 curva.':l intermediárias. *)

120

Show[c:urvas[p] ,Display Function->$Display Func:tion]

Programa 30

(********** DADOS DE ENTRADA**********)

x[sJ ~;

y]s_] =;

xO[s_] = ;

yO]s_] = ;

b-· -' xl[s_] = ;

yl]s_] = ;

c---,

d -· -'

Il = ;

r -· -, f!s_] =;

(********** CORPO DO PROGRA~IA **********)

G := PararnetricPlot[ {x[s],y[s]} ,{s,0,2 Pi} ,AspectRa.tio-> Automatic,

Plot Sty !0 > RGBColor[l,O, O],

DisplayFunction-> ldentity]

g[al_,b!_]]s_] := (bl-al)*s+al

fl[s_i := { {xü]g]a,b][s]],yO[g[a,b][s]]}}, xl [g[c,d]]s ]j ,y l]g]c,d][s j]}) F[s_,t_] := t*fl[sll[2]]+(1-t)*fl[sJI[l]] tracoF]t _] := ParametricP!ot[F]s,t]//Evaluate,{s,O,l },PlotPoints->50, A . ._spectRatio-· > Automatic,

DisplayF\tnction-> Identit:y]

121

Z[j_,k_j := FO/n,k/nl tracoPij_,kJ :=Grap!Jic,[

RGBColor[l ,O,OI ,Linr[{Z[i k] Z[i+ 1 .k] ,Z[i+ 1 k+ l] Z[i,k+ 11 ,Z[i.k]}]} I circulo[j__ 1k_] :=

ParametricPlot[Z[i,kl+r* { Cos]t I ,Sin[t]} / /Evaluate,{ t,0,2*Pi },

PlotStyle-> RGBColor]O, l,OI ,AspectRatio-> Automatic,PlotPoints->50, DisplayF\mction->ldentity]

Q[k _] := Graphics[ {RGBColor]O,O,l],Line[Table]Z[j,k],{j,O,n }]]}] zO = xO]s] + I yü]s]; dzO = D[zO,sl: intefO = f]zO]*dzO;

z1 = x1[sl + I yl[s]; dz1 = D[z1,s];

intefl = qzl] * dzl:

gl[{a1_,b1_},{c1_,d1_}Jit_í = al+t (cl-a1)+l (b1+t (dl-b1)):

zQ[k _] = Table[gl[Z[i,k],Z[i+ Lklilt], {j,O,n-1 }]:

dzQ[k_] = D[zQ[k],t]: intezQ[k_] = f[zQ[k]].dzQ[k]:

z2 = gl]Z[i,k],Z[i+ l,k]Jit]:

z3 = gl[Z[i+l,kj,Z[i+l,k+llJit]; z4 = gl[Z[j+l,k+l],Zli,k+l]Jit]: z5= gl[Z[i,k+ l],Z[i,klJ[t]; dz2 = D[z2,t];

dz3 = D[z3,t]:

dz4= D[z4,t]: dz5= D[z5,t]; intePb_,k_] = f[z2] .dz2+f[z3] .dz3+f[z4] .dz4+f[z5] .dz5;

(********** DADOS DE SAlDA **********)

(* Visualiza a região G. *)

122

Show[ G ,DisplayFunction-> $DisplayFunction]

(* Visualiza o traço da curva de índice p da famr1ia (OS p S 1), *)

Show [tra<:oF[p] ,DisplayFunction-> $Display Function]

(* Visualiza a poligonal fechada Pjk. *)

Show[tracoP[j,k] ,DisplayFnnction->$DisplayFnnction]

("' Visualiza o circulo de centro em Zjk e raio r. *)

Show[circulo[j ,k] ,DisplayF\mction->$Display Fnnction]

(* Visualiza a poligonal fechada Qk. *)

Show[ Q [k] ,DisplayFunction->$DisplayF\mction]

(* Calcula a integral de f ao longo da curv<d fO. *)

Integrate[inteffi,{ s,a,b }]//Simplify

(* Calcula a integral de f an longo da curva fl. *)

lntegrate[intefl, { s,c,d}]//Simplify

(* Calcula a integral de f ao longo da poligonal Qk. *)

lntegrate[inte2Q[k], { t,O,l }]//Simplify

123

Bibliografia

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