211220100802 Calculo Diferencial e Integral 1 Engenharia Civil

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  ÁREA1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia Cursos de Engenharia Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Álvaro Fernandes Serafim Apostila de limites e derivadas “Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta” George Polya Última atualização: 26/10/2007 25  x a 1 lim ln ax  x =       + + . Qual o valor de a ?
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REA1 - Faculdade de Cincia e Tecnologia Cursos de Engenharia Clculo Diferencial e Integral I Professor: lvaro Fernandes Serafim Apostila de limites e derivadas Umagrandedescobertaenvolveasoluo de um grande problema,mas humasementededescobertanasoluodequalquerproblema. Seu problemapode ser modesto;porm,seeledesafiarasuacuriosidade e fizerfuncionarasuacapacidadeinventiva, e caso voc o resolva sozinho, ento voc poder experimentar a tenso e o prazer do triunfo da descoberta George Polya ltima atualizao: 26/10/2007 25xa1 lim lnaxx=(((

|.|

\| ++ . Qual o valor de a ? lvaro Fernandes2ndice Limite e continuidade.............................................................................................................3 Noo intuitiva de limite........................................................................................................... 3 Tabelas de aproximaes........................................................................................................... 4 Clculo de uma indeterminao do tipo 0/0.............................................................................. 6 Frmulas de simplificaes e propriedades dos limites............................................................ 8 Continuidade.............................................................................................................................10 Limites infinitos........................................................................................................................12 Limites no infinito..................................................................................................................... 13 Expresses indeterminadas.......................................................................................................15 Limite fundamental exponencial............................................................................................... 17 Limite fundamental trigonomtrico..........................................................................................19 Funes limitadas.....................................................................................................................21 Aplicao 1: Problema da rea sob o arco de uma parbola..................................................... 23Aplicao 2: Problema do circuito RLem srie......................................................................24 Derivada...................................................................................................................................25 A reta tangente..........................................................................................................................25 A reta normal............................................................................................................................28 A derivada de uma funo num ponto......................................................................................28 Derivadas laterais.....................................................................................................................29 Regras de derivao..................................................................................................................31 Derivada da funo composta (Regra da cadeia)...................................................................... 33 Derivada da funo inversa....................................................................................................... 35 Derivada das funes elementares............................................................................................36 Derivada da funo exponencial............................................................................................... 36 Derivada da funo logartmica................................................................................................. 37 Derivada das funes trigonomtricas......................................................................................37 Derivada das funes trigonomtricas inversas........................................................................ 40 Tabela de derivadas..................................................................................................................42 Derivadas sucessivas................................................................................................................43 Derivada na forma implcita.....................................................................................................45 Derivada de uma funo na forma paramtrica........................................................................50 Diferencial................................................................................................................................54 Aplicaes da derivada...........................................................................................................56 A regra de LHospital...............................................................................................................56 Interpretao cinemtica da derivada.......................................................................................58 Taxa de variao.......................................................................................................................61 Anlise grfica das funes......................................................................................................64 Mximos e mnimos...........................................................................................................64 Funes crescentes e decrescentes.....................................................................................67 Critrios para determinar os extremos de uma funo........................................................68 Concavidade e inflexo.......................................................................................................70 Assntotas horizontais e verticais........................................................................................72 Esboo grfico.....................................................................................................................75 Problemas de otimizao.........................................................................................................80 lvaro Fernandes3 Limite e continuidade Noo intuitiva de limite Considereafuno() f x x = 21.Estafunoestdefinidaparatodox ,isto, qualquer que seja o nmero real ox , o valor( )ox f est bem definido. Exemplo 1. Se2 xo =ento( ) ( ) 3 1 2 2 f x f2o= = = . Dizemos que a imagem de2 xo = o valor ( ) 3 2 f = . Graficamente: Considereagoraumaoutrafuno() gxxx=211.Estafunoestdefinida { } x 1 . Isto significa que no podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1. ( ) ???001 11 11 g2== Quando dividimos a por b procuramos um nmero c tal que o produto bc resulte em a. a bc cba= = . Por exemplo,6 2 3 236= = . Sefizermos0 x 0 x00= = ,paraqualquervalorde x ,isto,infinitosvaloresdex .Daa indeterminao no valor de x... 00simbolizaumaindeterminaomatemtica.Outrostiposdeindeterminaesmatemticas sero tratados mais adiante. lvaro Fernandes4Como a varivelx no pode assumir o valor 1 na funo g, vamos estudar o comportamento desta funoquandoxestmuitoprximode1,emoutraspalavras,queremosresponderaseguinte pergunta: Qual o comportamento da funo g quando x assume valores muito prximos (ou numa vizinhana) de 1, porm diferentes de 1? A princpio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma funonuma vizinhana de um ponto (que pode ou no pertencer ao seu domnio). No caso da funo f, qualquer valor atribudo axdetermina imagem nica, sem problema algum. Mas na funo g, existe o ponto 1 x =que gera a indeterminao. Estudemos os valores da funo() gxxx=211 quando x assume valores prximos de 1, mas diferente de 1. Para isto vamos utilizar as tabelas de aproximaes. Observao: Podemos nos aproximar do ponto 1: por valores de x pela direita: por valores de x pela esquerda: Tabelas de aproximaes Astabelasdeaproximaessoutilizadasparaaproximarovalordaimagemdeuma funo (se existir) quando a varivel x se aproxima de um determinado ponto. Atribuindo a x valores prximos de 1, porm menores (pela esquerda) do que 1: (tabela A) x00,50,750,90,990,9990,9999 g(x)11,51,751,91,991,9991,9999 Atribuindo a x valores prximos de 1, porm maiores (pela direita) do que 1:(tabela B) x21,51,251,11,011,0011,0001 g(x)32,52,252,12,012,0012,0001 Observequepodemostornarg(x)toprximode2quantodesejarmos,bastandopara isso tomarmos x suficientemente prximo de 1. De outra forma, convencionaremos: O limite da funo g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 igual a 2. Simbolicamente escrevemos:() limx gx=12oulimx xx=12112 . lvaro Fernandes5Observao: Os dois tipos de aproximaes que vemos nas tabelas A e B so chamados de limites laterais. Quandoxtendea1porvaloresmenoresdoque1(tabelaA),dizemosquextendea1pela esquerda, e denotamos simbolicamente porx 1 . Temos ento que: () limx gx =12oulimx xx =12112 Quandoxtendea1porvaloresmaioresdoque1(tabelaB),dizemosquextendea1pela direita, e denotamos simbolicamente porx +1 . Temos ento que: () limx gx +=12oulimx xx +=12112 Definio intuitiva de limite (para um caso geral) Sejafuma funo definida num intervaloI contendo a, exceto possivelmente no prprioa.Dizemosqueolimitedef(x)quandoxseaproximadeaL ,eescrevemos () limx a f x L= ,se,esomentese, oslimiteslateraisesquerdaedireitadeaso iguaisL,isto,() () lim limx a x af xf x L += = .Casocontrrio,dizemosqueolimitenoexiste,emsmbolo () limx a f x. Ainda com relao funo() gxxx=211 , podemos ento concluir, pela definio, que: 21 x1 xlim21 x=, porque os limites lateriais 1 x1 xlim21 x+e1 x1 xlim21 x so iguais a 2. De forma equivalente, () limx gx=12porque() () lim limx xgxgx += =1 12 . Ser necessrio sempre construir tabelas de aproximaes para determinar o limite de uma funo, caso ele exista? No! H uma forma bem mais simples, como veremos a seguir. Obs: O sinal negativo no expoente do no1simbolizaapenasquexse aproxima do nmero 1 pela esquerda. Obs:Osinalpositivonoexpoente dono1simbolizaapenasquexse aproxima do nmero 1 pela direita. lvaro Fernandes6Clculo de uma indeterminao do tipo 00 Semprequenosdepararmoscomumaindeterminaodotipo 00,deveremossimplificar*a expressodafunoenvolvida.Logoaps,calculamosolimitedafunosubstituindo,na expresso j simplificada, o valor de x. * Para simplificar a expresso voc deve utilizar fatorao, conjugado de radical, dispositivo prtico de Briot-Ruffini para dividir polinmios, etc... Vejamos os exemplos seguintes. Exemplo 2. Determine() limx gx1, onde() gxxx=211. Observequesubstituindoxpor1nafunogobtemos( )001 g = queumaindeterminao matemtica!Quando a varivelxest cada vez mais prxima de 1, a funo g est cada vez mais prximadequanto?Devemosentosimplificaraexpressodafunogedepoisfazera substituio direta. ( )( )( )( )( ) 1 x , 1 x1 x1 x 1 x1 x1 xx g2 + = + == Ento: ( )( )( )( ) 2 1 1 1 x lim1 x1 x 1 xlim1 x1 xlim x g lim1 x 1 x21 x 1 x= + = + = + == . Logo,limx xx=12112 . Chegamos mesma concluso da anlise feita pelas tabelas de aproximaes, porm de uma forma mais rpida e sistemtica. No mais utilizaremos as tabelas de aproximaes para casos semelhantes a este!! Vale lembrar que a expressolimx xx=12112significa que a funo() gxxx=211 est toprximade2assimcomoxestsuficientementeprximode1,pormdiferentede1. Graficamente podemos verificar isso: Grfico da funo() gxxxx = 2111 , . lvaro Fernandes7Exemplo 3. Determine 1 x1 xlim21 x (observe a indeterminao matemtica 00 no ponto1 x = ). ( )( )( )( ) ( )( )411 x 1 x1lim1 x 1 x 1 x1 xlim1 x1 x1 x1 xlim1 x1 xlim1 x 1 x21 x21 x=+ +=+ + =++= . Sevocconstruirastabelasdeaproximaes,constatarqueafuno 1 x1 xy2= estcadavez mais prximo de 1/4 a medida que x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita. Exemplo 4. Determine 12 x 38 xlim232 x (observe a indeterminao matemtica 00 no ponto2 x = ). ( )( )( )( )( )( )( )( )112122 x 34 x 2 xlim2 x 2 x 34 x 2 x 2 xlim4 x 32 xlim12 x 38 xlim22 x22 x23 32 x232 x= =+ + +=+ + + == Constate atravs das tabelas de aproximaes que se2 x ento112 x 38 xy23= . Exemplo 5. Determine 1 x 3 x 45 x 3 x 2lim231 x + (observe a indeterminao matemtica 00 no ponto1 x = ). Vamos resolver este limite usando o dispositivo prtico para dividir polinmios de Briot-Ruffini. Precisaremos antes do... Teorema de DAlembert: Um polinmio ( ) x f divisvel por( ) a x , a , se, e somente se, a uma raiz de( ) x f , isto ,( ) 0 a f = . ( ) x f ( ) a x ( ) x r ( ) x q Como o ponto1 x =anula os polinmios do numerador e denominador, ento ambos so divisveis por1 x . Assim, ( )( )( )( ) ( )( ) 591 1 45 1 2 1 21 x 45 x 2 x 2lim *1 x1 x 3 x 41 x5 x 3 x 2lim1 x 3 x 45 x 3 x 2lim2 21 x231 x231 x=++ +=+ + += = +=+ + . ( ) *Usamos ento o dispositivo de Briot- Ruffini para dividir estes polinmios... Obs.: Faa uma reviso deste dispositivo num livro de matemtica do ensino mdio. 1203-5 225 0 = resto 5 x 2 x 2 c bx ax2 2+ + = + +14-3-1 4 1 0 = resto 1 x 4 b ax + = +( ) ( ) ( ) ( ) x r x q a x x f + = . Assim,( ) ( ) 0 a r 0 a f = = . lvaro Fernandes8Algumas frmulas que auxiliam as simplificaes nos clculos dos limites. Produtos notveis: 1) Quadrado da soma:( )2 2 2b ab 2 a b a + + = + . 2) Quadrado da diferena:( )2 2 2b ab 2 a b a + = . 3) Produto da soma pela diferena:( )( )2 2b a b a b a = + . 4) Cubo da soma:( )3 2 2 3 3b ab 3 b a 3 a b a + + + = + . 5) Cubo da diferena:( )3 2 2 3 3b ab 3 b a 3 a b a + = . Fatoraes: 6) Fator comum:( ) y x a ay ax = . 7) Diferena de quadrados:( )( ) b a b a b a2 2 + = . 8)Trinmiodo2grau:( )( ) ' ' x x ' x x a c bx ax2 = + + ,onde' x e' ' x soasrazesobtidaspela frmula de Bhskara ||.|

\| = = ac 4 b ,a 2bx2onde . 9) Soma de cubos:( )( )2 2 3 3b ab a b a b a + + = + . 10) Diferena de cubos:( )( )2 2 3 3b ab a b a b a + + = . Conjugado de radicais: 11) Conjugado deb a b a + , pois( ) ( ) b a b a b a = + . 12) Conjugado de 3 3b a 3 2 3 3 2b ab a + + , pois( ) ( ) b a b ab a b a3 2 3 3 2 3 3 = + + . Proposio (unicidade do limite). Se( )1a xL x f lim =e( )2a xL x f lim =,ento 2 1L L = .Seolimitedeumafunonumpontoexiste, ento ele nico. Principais propriedades dos limites. Se( ) x f lima xe ( ) x g lima x existem, ekumnmero realqualquer,ento: a)( ) ( ) | | ( ) ( ) x g lim x f lim x g x f lima x a x a x = . b)( ) ( ) x f lim . k x f . k lima x a x = . c)( ) ( ) | | ( ) ( ) x g lim x f lim x g x f lima x a x a x = . d) ( )( )( )( )( ) 0 x g lim ,x g limx f limx gx flima xa xa xa x = . e)k k lima x=. lvaro Fernandes9Exemplo 6. Calcule4 x 27 xlim21 x+usando as propriedades. ( )( ) ( )1662 17 1212 lim x lim7 lim x lim212 x lim7 x lim212 x7 xlim212 x 27 xlim4 x 27 xlim21 x 1 x1 x21 x1 x21 x21 x21 x21 x ==+ + =+ + =+ =+ =+=+ Ufa,quantotrabalho!!!Bastariasubstituiroponto1 x = diretamentenaexpresso,obtendologo 166 =. Atividades (grupo 1). Calcule os limites abaixo: a) x 2x 4lim22 x+ b) 6 x x3 x 4 xlim223 x + c) 5 x 51 xlim31 x d) 232 xx 4x 8lim+ e) 342 xx 816 xlim f) 1 x1 xlim1 x g) x 2 xx 1lim21 x+ + h) 49 x3 x 2lim27 x i) x 5 1x 5 3lim4 x + Atividades (grupo 2). Calcule os limites indicados: a)() f xx xx x= + >21 01 0,, ,calcule:() () () lim , lim limx x xf xf xf x 1 2 0e . b)() gxx xx==223 2,, ,calcule:() limx gx2. c)() hxx xx x= >45 2 12,,< 1 ,calcule:() limx hx1. d)( ) < = .d)( )( )( ) 0 x0 x , x 2 b0 x , a 3 x 70 x , 1 x cos . a 2x go2=> = < + + = . Propriedades das funes contnuas. Se as funesfeg so contnuas em um ponto 0x , ento: i)fg contnua em 0x ; ii)f.g contnua em 0x ; iii)f/g contnua em 0xdesde que( ) 0 x g0 . lvaro Fernandes12Limites infinitos Quandoresolvemosumlimiteenoencontramoscomorespostavaloresnumricos,massim infinito ( + ou ), dizemos ento que o limite infinito. Exemplo 10. Calcule 1 x1 xlim21 x . Neste caso, quando fazemos a substituio de x por1na expresso xx211, encontramos020=. Esta no uma situao especial. Sempre que na substituio de x ocorrer 00kk , , o resultado do limite ser sempre zero, naturalmente. E se na substituio do valor de x ocorrer kk00 , ? Vamos analisar esta situao num caso particular e depois formalizar uma regra. Exemplo 11. Estude o seguinte limite:limxx01. Devemos analisar os limites laterais. Vamos recorrer s tabelas de aproximaes: Aproximao do zero pela direita (notaox +0 ) x10,10,010,0010,0001 f(x)=1/x110100100010.000 Cadavezquetomamosxsuficientementeprximodezero(peladireita),() f x x = 1 cresce indefinidamente. Simbolizamos esta situao assim: limx x += +01 Aproximao do zero pela esquerda (notaox 0 ) x-1-0,1-0,01-0,001-0,0001 f(x)=1/x-1-10-100-1000-10.000 Cadavezquetomamosxsuficientementeprximodezero(pelaesquerda),() f x x = 1 decresce indefinidamente. Simbolizamos esta situao assim: limx x = 01 Concluso: Como os limites laterais so distintos, ento limxx01. Veja ao lado o grfico da funo() f x x = 1 . lvaro Fernandes13Regra (generalizao) Senasubstituiodovalordexnoclculodeumlimiteocorrer kk00 , ,entodiremosquea resposta do limite : < + > < > + + +0 k ,0k, 0 k ,0k,0 k ,0k, 0 k ,0k,ocorre seeocorre seocorre seeocorre se . Desta regra podemos perceber que0k .Se o denominador tende ao infinito com o numerador constante, a razo se aproxima de zero. Como veremos agora. Limites no infinito Estamosinteressadosagoraemestabelecerocomportamentodeumafunoquandoavarivelx cresce indefinidamente ( + x ) ou quando ela decresce indefinidamente ( x ). Em algumas situaes,afunoseaproximadeumvalornumrico(figura1),noutrospodetambmcrescer indefinidamente (figura 2) ou decrecer indefinidamente (figura 3). Figura 1Figura 2Figura 3 Exemplo 12. Na figura 1:1 1 0 1x1limx= + = |.|

\|++ . Na figura 2:( ) + = ++ 1 x limx. Na figura 3:( ) = + 2xx 4 lim . lvaro Fernandes14As tabelas abaixo apresentam situaes de operaes com infinito que usaremos com freqencia. Produto: () ()() ( )( ) ()( ) ( ) = = = = Soma: () ()( ) ( )() ()= = + = + ? Produto por constante: ()( )()( )< = < = > = > = 0 k , k0 k , k0 k , k0 k , k Soma com constante: ( ) = + k , k Quociente: ? = Potncias: Sen um natural no nulo, ento: () ( ) = = mpar. separ. see n , n ,n n Atividades (grupo 5). Calcule os limites: a) 2 xxlim22 x. b) ( )23 x3 x4 x 2lim. c) ( )23 x3 x7 x 2lim. d)6 x 2x 35lim32x+ + . Atividades (grupo 6).Calcule os limites: a) 5 xx 3lim5 x+b) 6 x xx 3lim22 x + c) 10 x 210 xlim25 x+ d) 2 x x2 xlim21 x ++ indeterminao! indeterminao! lvaro Fernandes15Expresses indeterminadas Vimos que 00 uma expresso de indeterminao matemtica. Tambm so: 0 00 , 1 , 0 , , e . Vamos analisar os quatro primeiros casos. Os outros sero tratados em captulos posteriores. A indeterminao do tipo . Exemplo 13. Calcule os limites abaixo: a) 3 x 51 xlim23x+++ b) x x1 xlim42x+++ c) x x 31 x 6lim22x+++ Podemosobservarqueestasexpressesgeramindeterminaesdotipo ,poisquando+ x as expresses do numerador e denominador tambm tendem a + . No podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: a) ( )( )+ = +=++ +=|.|

\| +|.|

\| +=|.|

\| +|.|

\| +=|.|

\| +|.|

\| +=+++ + + + + 5 0 1 50 1x 531 5 limx11 x limx 531 5x11 xlimx 531 x 5x11 xlim3 x 51 xlim2x3x23x2233x23x b) ( )( )010 10 1x11 x limx11 limx11 xx11limx11 xx11 xlimx x1 xlim3x2x322x3422x42x= +=+ ++=|.|

\| +|.|

\| +=|.|

\| +|.|

\| +=|.|

\| +|.|

\| +=+++ + + + + 2 . c) ( )( )20 10 136x 311 limx 611 lim36x 311 3x 611 6limx 311 x 3x 611 x 6limx x 31 x 6limx2x2x222x22x=++ =|.|

\| +|.|

\| + =|.|

\| +|.|

\| +=|.|

\| +|.|

\| +=+++ + + + + . Observamos que nas trs situaes analisadas as indeterminaes do tipo produziram respostas distintas(comoeraesperado,porissoqueindeterminao!)Vocdeveternotadoquepara resolverindeterminaesdestetipoaidiacolocarotermodemaiorgrauemevidnciano numerador e no denominador. lvaro Fernandes16Atividades (grupo 7). 1. Calcule os limites abaixo: a) 1 x x 51 x 2lim33x+ ++ . b) 1 x 2x 3 xlim2 5x+++ . c) 43 2xx 3 x 5x 2 xlim ++ . d) 22xx 5 1xlim . A indeterminao do tipo - Exemplo 14. Calcule os limites abaixo: a) 3xx x lim + 2.b)x x 5 lim2x+ . Podemosobservarqueestasexpressesgeramindeterminaesdotipo-,masnopodemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: Usando a mesma tcnica da indeterminao anterior... a)( ) ( ) = = + = |.|

\|+ = + + 1 1 0 1x1x lim x x lim3x3x2. b)( ) ( ) + = + = + + + = |.|

\|+ + = + + 1 0 1 0x 571x 51x 5 lim 7 x 5 x lim22x2x. Atividades (grupo 8). 1. Calcule os limites abaixo: a)x 2 x x lim3x+ + 5. b)6 x 5 x limx + 4.c)x 2 x limx + . A indeterminao do tipo 0 Exemplo 15. Calcule os limites abaixo: a)( ) 1 xx2lim23x++ .b)( ) xx3limx + . lvaro Fernandes17Podemosobservarqueestasexpressesgeramindeterminaesdotipo0,masnopodemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: a)( ) =+= ++ + 32x23xx2 x 2lim 1 xx2lim ... Transformamos a indeterminao 0 em . Da voc j sabe! ... 0 ...x2 x 2lim32x= =+=+ . b)( ) = =+ + xx 3lim xx3limx x...Novamentetransformamosaindeterminaopara.Usandoa tcnica da racionalizao: ... ( ) + = + = = = = =+ + + + 3 x 3 limx x x 3limxxxx 3limxx 3limx x x x. Atividades (grupo 9). 1. Calcule os limites abaixo: a)( ) 3 xx1lim2x++ . b)( ) 25 x5 x-2lim25 x |.|

\|+. Limite fundamental exponencial (a indeterminao do tipo 1) O nmero e tem grande importncia em diversos ramos das cincias, pois est presente em vrios fenmenos naturais, por exemplo: Crescimento populacional, crescimento de populaes debactrias,desintegraoradioativa(dataoporcarbono),circuitoseltricos,etc.Nareade economia, aplicado no clculo de juros. Foi o Matemtico Ingls Jonh Napier (1550-1617) o responsvel pelo desenvolvimento da teoria logartmica utilizando o nmero e como base. O nmero e irracional, ou seja, no pode ser escrito sob forma de frao, e vale aproximadamente: e 2,7182818 Como o nmero e encontrado em diversos fenmenos naturais, a funo exponencial ( )xe x f = consideradaumadasfunesmaisimportantesdamatemtica,merecendoateno especial de cientistas de diferentes reas do conhecimento humano. Proposio:ex11 limxx=|.|

\| + . Aprovadestaproposioenvolvenoesdesries.Utilizaremosorecursodastabelasde aproximaes e grfico para visualizar este resultado. lvaro Fernandes18Tabela x ( )xx11 x f|.|

\| + =1002,7048.. 10002,7169.. 100.0002,7182.. # #x + f(x) e Faa uma tabela para x - . Grfico: Exemplo 16. Calcule os limites abaixo: a) x 5xx11 lim|.|

\| ++ .b) x 4xx31 lim|.|

\| . Nestes dois casos percebemos indeterminaes do tipo 1 .Vejamos as solues... a) 55xx5xxx 5xex11 limx11 limx11 lim =(((

|.|

\| + =(((

|.|

\| + = |.|

\| ++ + + . b) Neste caso, usaremos uma mudana de varivel... Faat 3 x = .Se xento+ t . Logo,( )1212ttt 12tt 3 4tx 4xet11 limt11 limt 331 limx31 lim+ + + =(((

|.|

\| + = |.|

\| + = |.|

\| = |.|

\| . Atividades (grupo 10). 1. Calcule os limites abaixo: a) x 2x x71 lim |.|

\| ++ .b) x 5xx21 lim |.|

\| .c) x 2x1 x1 xlim |.|

\|++ . lvaro Fernandes19Conseqncias importantes do limite fundamental exponencial: i)( ) e x 1 limx 10 x= +. ii)( ) 1 a 0 a , a lnx1 alimx0 x > = e . Atividades (grupo 11). Resolva os dois limites acima com as sugestes a seguir: No item (i) faa a mudana de varivel t1x =e use o limite fundamental exponencial. No item (ii) faa a mudana de varivelt 1 ax= e use o item (i). Atividades (grupo 12). 1. Resolva os limites abaixo: a)( )x 10 xx 2 1 lim +. b) x1 3limx0 x.c) x 41 elimx0 x.d) x2 elimx x0 x. Limite fundamental trigonomtrico O limite fundamental trigonomtrico trata de um limite cuja indeterminao do tipo 00 envolvendoafunotrigonomtrica( ) x sen y = .Estelimitemuitoimportante,poiscomele resolveremos outros problemas. Proposio: ( )1x x senlim0 x=. A funo ( )( )x x senx f = par, isto ,( ) ( ) x f x f = ,0 x ,pois ( )( ) ( ) ( )( ) x fx x senx x senx x senx f = === . Se +0 xou 0 x , ( ) x fapresenta o mesmo valor numrico. Vamos utilizar a tabela de aproximao para verificar este resultado. Tabela x ( )( )x x senx f = 0,10.9983341664683.. 0,010.9999833334167.. 0,0010,9999998333333.. 0,00010,9999999983333.. 0,000010,9999999999833.. 10-100,9999999999999.. # #0 x ( ) 1 x f lvaro Fernandes20Visualizando o grfico da funo( )( )x x senx f = , podemos perceber tambm este resultado... Exemplo 17. Calcule os limites abaixo: a) ( )xx 2 senlim0 x .b) ( )( ) x 3 senx 5 senlim0 x .c) ( )x1 x coslim0 x.d) ( )xx tglim0 x . Solues: a) ( ) ( ) ( ) = = = x 2x 2 senlim 2x 2x 2 senlimxx 2 senlim0 x 0 x 0 x2... Faat x 2 = . Se0 x ento0 t . Logo: ... ( )( ) 2 1 2tt senlim 20 t= = =. De uma forma geral, *k ,( )1kxkx senlim0 x=. Vamos usar este resultado agora: b) ( )( )( )( )( )( )351135x 3x 3 senlimx 5x 5 senlim35x 3x 3x 3 senx 5x 5x 5 senlimx 3 senx 5 senlim0 x0 x0 x 0 x= = == . c) ( ) ( ) ( )( )( )( ) | |( )( ) | | =+=+=++= 1 x cos xx senlim1 x cos x1 x coslim1 x cos1 x cosx1 x coslimx1 x coslim20 x20 x 0 x 0 x ( ) ( )( )01 1011 x cosx senx x senlim0 x= |.|

\|+=+ =. d) ( ) ( )( )( )( )( )( )1111x cos1limx x senlimx cos1x x senlimx cos xx senlimxx tglim0 x 0 x 0 x 0 x 0 x=|.|

\|= = = = . Atividades (grupo 13). 1. Resolva os limites abaixo usando o limite trigonomtrico fundamental: a) ( )x 3x 4 senlim0 x .b) ( )20 xxx cos 1lim. c) ( )x 32 x sen 6 e 2limx0 x +. d) ( )( ) x sen 3 x 2x sen x 6lim0 x+. lvaro Fernandes21Funes limitadas Definio:Umafuno( ) x f y = chamadalimitada,seexisteumaconstante *k ,talque ( ) () f D x , k x f ,isto,( ) () f D x , k x f k .Emoutraspalavras,( ) x f y = possuio conjunto imagem contido num intervalo de extremos reais. Obs.:() f Dsignifica o domnio da funo f. Exemplo 14.Algumas funes limitadas e seus grficos. f(x) = sen(x)eg(x) = cos(x)f(x) = kf(x) = sen(2x2+3x-1)

Proposio:Se( ) ( ) x g 0 x f limxa xe ou= uma funo limitada, ento( )( ) 0 x g . x f limxa x= ou. Exemplo 18. a) Calcule ( )x x senlimx + . Soluo: ( ) =+ x x senlimx( ) = + x senx1limx *0 = *Usandoaproposio:Se+ x ento0x1 .Comoafuno( ) x sen limitada,entoo resultado zero. Grfico da funo( )( )x x senx f = : Observequeasoscilaesvoreduzindoasuaamplitudequando+ x .Oresultadodolimite permanece o mesmo se x . lvaro Fernandes22b) Calcule ( )x x coslimx + . Soluo: de forma anloga... ( ) =+ x x coslimx( ) 0 x cosx1limx= + . Grfico da funo( )( )x x cosx f = : Observe que, da mesma forma que a funo anterior, as oscilaes vo reduzindo a sua amplitude quando+ x . O resultado do limite permanece o mesmo se x . c) Calcule( ) x cos1 x1 xlim2x |.|

\|+++ . 01 x1 xlim2x= |.|

\|+++ (Por qu?)e ( ) x cos uma funo limitada. Logo,( ) 0 x cos1 x1 xlim2x= |.|

\|+++ . Grfico da funo( ) ( ) x cos1 x1 xx f2|.|

\|++= : Atividades (grupo 14). 1. Resolva os limites abaixo usando o conceito de funo limitada: a)( ) x sen e limxx . b) ( )xxx22 x cos 3lim++ . lvaro Fernandes231. Problema da rea sob o arco da parbola2x y =no intervalo| | 1 , 0 (Figura 1). Mtodo dos retngulos. Figura 1. Dividindo o intervalo| | 1 , 0 emnsubintervalos, cada subintervalo ter comprimenton 1 : 1o subintervalo ((

n1, 0, 2o subintervalo ((

n2,n1 , 3o subintervalo ((

n3,n2 , ... ,no subintervalo ((

nn,n 1 n .Obs.: 1nn= . Vamosconstruirretngulos(Figura2)cujasbasessoaosubintervalosecujasalturassoas imagens dos extremos direito* de cada subintervalo pela funo2x y = : * a altura pode ser calculada sobre qualquer ponto do subintervalo, neste caso foi tomado o extremo direito. Figura 2.Figura 3. Calculando as rea desses retngulo ( h . b A = ), obtemos: 221n1n1A = , 222n2n1A = , 223n3n1A = ,... , 22nnnn1A = . Areatotaldessesretngulos(ntA )nosdumaaproximaodarea(Figura1)quequeremos calcular: =||.|

\| + + + +=||.|

\|+ + + + = ==22 2 2 222222222 n1 ii tnn 3 2 1n1nnn3n2n1n1A An""lvaro Fernandes24( )( ) ( )( )3 2n 61 n 2 1 n nn 61 n 2 1 n nn1 + += |.|

\| + += . Obs.: A soma 2 2 2 2n ... 3 2 1 + + + + conhecida pela frmula( )( ) | | 6 1 n 2 1 n n + + . Vejamos alguns resultados para alguns valores crescentes de n: n6 (Figura 3)101001.00010.000100.000 ntA0,4212960,3850000,3383500,3338340,3333830,333338 A rea exata que estamos procurando (Figura 1) calculada pelo limite: ( )( )3 , 031n 61 n 2 1 n nlim A lim3nTnn= =+ +=+ + . (Calcule este limite e mostre que igual a 1/3) 2. Problema do circuito RLem srie. No circuito da figura 4, temos uma associao em srie de um resistor (smbolo R) e um indutor(smboloL).DasegundaleideKirchhoff(leidasvoltagens)edoestudodasequaes diferenciais, pode-se mostrar que a correnteino circuito dada por ( )tLRe . cREt i|.|

\|+ =,(1) ondeE uma bateria de voltagem fixa, c uma constante real et o tempo. Figura 4. Unidade de resistncia: ohm. Unidade de indutncia: henry. Exerccio 1: Se uma bateria de 12 volts conectada a um circuito em srie (como na fig. 4) no qual o indutor de 1/2 henry e o resistor de 10 ohms, determine o valor da constantece acorrente ( ) t i . Considere a corrente inicial e o tempo inicial iguais a zero. Exerccio 2: Determine( ) t i limt

+ , sendo( ) t i da equao (1). Obs.:Quando+ t otermo tLRe . c|.|

\|daequao(1)seaproximadezero.Taltermo usualmente denominado de corrente transitria. A razoE/R chamada de corrente estacionria. Aps um longo perodo de tempo, a corrente no circuito governada praticamente pela lei de Ohm Ri E = . lvaro Fernandes25 Derivada A reta tangente. Suponha que a reta r da figura v se aproximando da circunferncia at toc-la num nico ponto. Na situao da figura 4, dizemos que a reta r tangente a circunferncia no ponto P. Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas: Fig. 5Fig. 6Fig. 7 Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como na figura 4. Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados. Exemplos de retas que no so tangentes (no ponto Q) a algumas curvas: Fig. 8Fig. 9. Estasretasnotocamsuavementeascurvasnospontosindicadoscomonoexemploda circunferncia (fig. 4). Elas cortam , penetram as curvas. lvaro Fernandes26Vamosdeterminaraequaodaretatangenteaumafuno(umacurva)numpontodoseu domnio. Seja( ) x f y =uma curva definida num intervalo aberto I. Considere( )o oy , x P , sendo( )o ox f y = , um ponto fixo e( ) y , x Qum ponto mvel, ambos sobre o grfico def. Seja s a reta que passa pelos pontos P e Qeconsidereo ngulo de inclinao de s. Seja t a reta tangente ao grfico defno ponto Peconsidere o ngulo de inclinao de t. xy t s y oy xox PQT f Considerando o tringulo retngulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da retascomo ()oox xy yxytg== . Suponha que o pontoQmova-se sobre o grfico defem direo ao pontoP. Desta forma, a retasse aproximar da reta t. O ngulose aproximar do ngulo, e ento, a() tgse aproximar da() tg . Usando a notao de limites, fcil perceber que () () tg tg limP Q=. Mas quandoP Q temos que ox x . Desta forma, o limite acima fica () ()( ) ( )() tgx xx f x flimx xy ylim tg tg limoox xoox x P Qo o== = . Assim ( ) ( )() tgx xx f x flimoox xo=. oox x xy y y = = PQToy y ox x lvaro Fernandes27Definio:Seja( ) x f y = umacurvae( )o oy , x P umpontosobreoseugrfico.Ocoeficiente angular m da reta tangente ao grfico defno ponto P dado pelo limite ( ) ( )oox xx xx f x flim mo =, quando este existir. Equao da reta tangente Podemosagoradeterminaraequaodaretatangentet,poisjconhecemososeucoeficiente angular e um ponto do seu grfico( )o oy , x P . A equao da reta tangente t: a)( ) ( )o ox x m y y = , se o limite que determina m existir; b) A reta vertical ox x = se ( ) ( )oox xx xx f x flimo for infinito. Exemplo 19. Determine a equao tangente a parbola( )2x x f =no ponto de abscissa1 xo = . Soluo:Temos que determinar dois termos oy em. ( ) ( ) 1 1 1 f y x f y2o o o= = = = . ( ) ( ) ( ) ( )21 x1 xlim1 x1 f x flimx xx f x flim m21 x 1 xoox xo= ==== " . Logo a equao da reta tangente ( ) ( ) 1 x 2 1 y = ou 1 x 2 y = . ( )( )o ox f ytg m= = lvaro Fernandes28Equao da reta normal Definio: Seja( ) x f y =uma curva e( )o oy , x Pum ponto sobre o seu grfico. A reta normal (n) ao grfico defno ponto P a reta perpendicular a reta tangente (t). A equao da reta normal ( ) ( )o ox xm1y y = , sendo que ( ) ( )0x xx f x flim moox xo=. Se0 m = , ento a equao da reta normal a reta vertical ox x = . Se ( ) ( )oox xx xx f x flimo for infinito, ento a reta normal horizontal e tem equao oy y = . Atividades (grupo 15). Determineaequaodaretatangenteedaretanormalaogrficodasfunesabaixonospontos indicados. Esboce os grficos das funes com as retas. a)( )3x x f =no ponto de abscissa1 xo = . b)( ) x x f =no ponto de abscissa4 xo = . A derivada de uma funo num ponto O limite ( ) ( )oox xx xx f x flimo muito importante, por isso receber uma denominao especial. Definio:Seja( ) x f y = umafunoe ox umpontodoseudomnio.Chama-sederivadada funofno ponto oxe denota-se( )ox ' f (l-seflinha de ox ), o limite ( )( ) ( )oox xox xx f x flim x ' fo =, quando este existir. Forma alternativa para derivada: Se fizermos ox x x = , obtemos a seguinte forma para( )ox ' f : ( )( ) ( )xx f x x flim x ' fo o0 xo += . lvaro Fernandes29Outras notaes para a derivada da funo( ) x f y =num ponto x qualquer: ( ) x ' y (l-se:y linha de xouderivada de y em relao a x); f Dx(l-se:derivada da funofem relao x); dxdy(l-se: derivada deyem relao x). Exemplo 20. Dada a funo( ) 1 x x x f2+ = , determine( ) 2 ' f . Use as duas formas da definio. Usando( )( ) ( )oox xox xx f x flim x ' fo =: ( )( ) ( ) ( )( )( ) 3 1 x lim2 x1 x 2 xlim2 x2 x xlim2 x3 1 x xlim2 x2 f x flim 2 ' f2 x 2 x22 x22 x 2 x= + = + = = + == . Usando( )( ) ( )xx f x x flim x ' fo o0 xo += : ( )( ) ( ) ( ) ( )= + += + + += += x2 x 2 x x 4 4limx3 1 x 2 x 2limx2 f x 2 flim 2 ' f20 x20 x 0 x ( )( ) 3 0 3 x 3 limxx 3 xlimxx x 3lim0 x 0 x20 x= + = + = + = + = . Teorema:Toda funo derivvel num ponto contnua neste ponto. Atividades (grupo 16). 1. Determine a equao da reta tangente curva 2x 5 y = , que seja perpendicular retax 3 y + = . 2. Determine a equao da reta normal curva 3x y = , que seja paralela reta0 x y 3 = + . Derivadas laterais Lembre-se que o limite de uma funo num ponto somente existe se os limites laterais existemesoiguais.Comoaderivadadeumafunonumpontoumlimite,estaderivada somente existir em condies anlogas. Definio: Seja( ) x f y =uma funo e oxum ponto do seu domnio. A derivada direita de f em ox , denotada por( )ox ' f+ definida por ( ) =+ ox ' f( ) ( )oox xx xx f x flimo +. lvaro Fernandes30Definio: Seja( ) x f y =uma funo e oxum ponto do seu domnio. A derivada esquerda de f em ox , denotada por( )ox ' f definida por ( ) = ox ' f( ) ( )oox xx xx f x flimo . Umafunoderivvelnumpontoquandoasderivadaslaterais(adireitaeaesquerda) existem e so iguais neste ponto. Exemplo21.Considereafuno( ) 1 x x f + = .Mostrequeestafunocontnuanoponto 1 x =mas no derivvel neste ponto. f contnua neste ponto pois( ) ( ) 1 f 0 0 1 1 1 x lim x f lim1 x 1 x = = = + = + = . Sabemos que( ) = < > += + =1 x , 01 x , 1 x1 x , 1 x1 x x f .Vamos calcular( ) 1 ' f : ( ) = +1 ' f( ) ( )( ) 1 1 lim1 x1 xlim1 x0 1 xlim1 x1 f x flim1 x 1 x 1 x 1 x= =++=+ +=+ + + + + . ( ) = 1 ' f( ) ( ) ( )( ) 1 1 lim1 x1 xlim1 x0 1 xlim1 x1 f x flim1 x 1 x 1 x 1 x = =++ =+ =+ . Como as derivadas laterais so distintas conclumos que no existe( ) 1 ' f . Veja o grfico da funo( ) 1 x x f + = . Obs.: Quando as derivadas laterais existem e so diferentes num ponto, dizemos que este um ponto anguloso do grfico da funo. Neste caso, no existe reta tangente num ponto anguloso. No exemplo acima a funo( ) 1 x x f + =tem um ponto anguloso em1 x = . Atividades(grupo17).Verifiqueseafunoabaixotemderivadanoponto ox .Esteponto anguloso?Esboce o grfico da funo e constate. a)( )> =0 x , e0 x , x 1x fx2

no ponto0 xo = . b)( )> + +=0 x , e0 x , 1 x xx gx2

no ponto0 xo = . No existe reta tangente ao grfico desta funo no ponto1 x0 = . lvaro Fernandes31Regras de derivao Vamos apresentar algumas regras que iro facilitar o clculo das derivadas das funes sem recorrer a definio. 1. Derivada de uma funo constante. Se( ) c x f = ,c uma constante real, ento( ) 0 x f'= . ( )( ) ( )0 0 limxc climxx f x x flim x f0 x 0 x 0 x'= == += . 2. Derivada da funo potncia. Se n um inteiro positivo e( )nx x f = , ento( )1 n 'nx x f= . Prova:( )( ) ( ) ( )xx x xlimxx f x x flim x fn n0 x 0 x' += += Usando o Binmio de Newton para expandir( )nx x + , obtemos ( ) = x f'( )( ) ( ) ( )=((

+ + + + + xx x x nx ... x x! 21 n nx nx xlimn n 1 n 2 2 n 1 n n0 x ( )( ) ( ) ( )=((

+ + + + = xx x nx ... x x! 21 n nnx xlim1 n 2 n 2 n 1 n0 x ( )( ) ( ) ( )1 n 1 n 2 n 2 n 1 n0 xnx x x nx ... x x! 21 n nnx lim =((

+ + + + = . Exemplo 22.Calcule as derivadas das funes abaixo: a)( ) x x f =b)( )2x x f = c)( )5x x f = a)( ) ( ) 1 x 1 x ' f x x f1 1 1= = =. Logo( ) 1 x ' f = . b)( ) ( ) x 2 x 2 x ' f x x f1 2 2= = =. Logo( ) x 2 x ' f = . c)( ) ( )4 1 5 5x 5 x 5 x ' f x x f = = =. Logo( )4x 5 x ' f = . Obs.: Se nfor um nmero inteiro negativo ou racional o resultado contnua vlido. Atividades (grupo 18). 1. Mostre, usando a regra e a definio, que a derivada da funo( )1x x f= ( )2x x ' f = . 2. Mostre, usando a regra e a definio, que a derivada da funo( ) x x f = ( )x 21x ' f = . lvaro Fernandes32 3. Derivada do produto de uma constante por uma funo. Se( ) x f umafunoderivvelecumaconstantereal,entoafuno( ) ( ) x cf x g = tem derivada dada por( ) ( ) x ' cf x ' g = . Prova:( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | = += += += xx f x x f climxx cf x x cflimxx g x x glim x g0 x 0 x 0 x ( ) ( )( ) x cfxx f x x flim c0 x= + = . Exemplo 23.Se( )3x 5 x f =ento( ) ( )2 2x 15 x 3 5 x ' f = = . 4. Derivada de uma soma de funes. Se( ) x f e( ) x g sofunoderivveis,entoafuno( ) ( ) ( ) x g x f x h + = temderivadadadapor ( ) ( ) ( ) x ' g x ' f x ' h + = . Pesquise a demonstrao deste resultado num livro de clculo. Exemplo 24.Se( ) 5 x x 3 x 4 x f2 3+ + =ento( ) 1 x 6 x 12 x ' f2 + = . 5. Derivada de um produto de funes. Se( ) x f e( ) x g sofunoderivveis,entoafuno( ) ( ) ( ) x g x f x h = temderivadadadapor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x ' g x f x g x ' f x ' h + = . Pesquise a demonstrao deste resultado num livro de clculo. Exemplo 25. Se( ) ( )( ) x 2 x x x f3 =ento( ) ( )( ) ( )( ) 2 x 2 x 6 x 4 1 0 x x x 2 1 x 3 x ' f2 3 3 2 + + = + = . 6. Derivada de um quociente de funes. Se( ) x f e( ) x g sofunoderivveis,entoafuno( )( )( ) x gx fx h = temderivadadadapor ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) | |2x gx ' g x f x g x ' fx ' h = . Pesquise a demonstrao deste resultado num livro de clculo. Exemplo 26.Se( )x 28 x 5x f2=ento( )( ) ( ) ( ) ( )2222x 28 x 5...x 42 8 x 5 x 2 x 10x ' f+= = = . lvaro Fernandes33Atividades (grupo 19). 1. Usando as regras de derivao, calcule as derivadas das funes abaixo: a)( ) 1 x 3 x x f2+ + =.b)( ) ( ) ( ) 3 x x x f8+ = .c)( ) ( )( ) x 6 x x 3 x f4 + = . d)( ) ( )3 2x 2 3 x x f = .e)( )3x23 x 5x f += .f)( ) ( ) x 2 x x f4 1 = . g)( ) 6 x1 xxx f2+ ++=. h)( )2x x 2x f= . i)( ) ( )2 4 3x 1 x x f = . 2.Determineosvaloresdasconstantesaebnaparbola( ) b ax x f2+ = demodoquearetade equao4 x 8 y + =sejatangente a parbola no ponto2 x = . Derivada da funo composta (Regra da cadeia) Atomomentosabemosderivarafuno( )3x x g = etambmafuno( ) 1 x 2 x f + = . Considereagoraafunocomposta( ) ( ) ( ) ( )31 x 2 x f g x gof + = = .Comopoderemosobteraderivada dafunocomposta( ) x gof semdesenvolveroBinmio?Aregraqueveremosagoraestabeleceuma forma de obter a derivada da funo composta em termos das funes elementaresfeg. Regra da cadeia Se( ) u g y = ,( ) x f u = easderivadas dudye dxduexistem,entoafunocomposta ( ) ( ) ( ) x f g x gof y = =tem derivada dada por dxdududydxdy =ou( ) ( ) ( ) x u u y x y = ou ( ) ( ) ( ) ( ) x f x f g x gof = . As trs formas acima so equivalentes, mudam apenas as notaes. Exemplo 27.Calcule a derivada das funes abaixo: a)( )31 x 2 y + = b)3 x 5 y + = c) 5x 3 1xy |.|

\|= Paracalcularaderivadadessasfunes,precisamosidentificarasfuneselementares( ) u g y = e ( ) x f u =(cujas derivadas conhecemos) que formam a funo composta e aplicar a regra. a)( )31 x 2 y + = + ==1 x 2 uu y3

Ento( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 x 2 6 2 1 x 2 3 2 u 3 x y x u u y x y + = + = = = . Logo( ) ( )21 x 2 6 x y + = . lvaro Fernandes34b)3 x 5 y + = + ==3 x 5 uu y

Ento( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 x 5 255u 21x y x u u y x y+= = = .Logo( )3 x 5 25x y+= . c) 5x 3 1xy |.|

\|= ==x 3 1xuu y5

Ento( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )=((

= =24x 3 13 x x 3 1 1u 5 x y x u u y x y ( )( ) ( )( )( ) ( )6424x 3 1x 5x 3 13 x x 3 1 1x 3 1x5=((

|.|

\|= . Logo( )( )64x 3 1x 5x y= . Proposio: Se( ) x f uma funo derivvel e n um nmero inteiro no nulo, ento ( ) | | ( ) | | ( ) x f . x f n x fdxd1 n n = Prova: Fazendo nu y = , onde( ) x f u =e aplicando a regra da cadeia, temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) x f x f n x y x f nu x y x u u y x y1 n 1 n = = = . A proposio continua vlida se n for um nmero racional no nulo. Exemplo 28.Calcule a derivada da funo 3 3x x 1 4 y + = . Podemos escrever( )3 13x x 1 4 y + =e calcular a derivada usando a proposio acima: ( ) ( ) ( )23 23x 3 1 x x 1314 x y + =. Obs:Comaregradaproposioacimapoderamoscalculartodososexercciosdoexemplo27. Masaregradacadeiamaiscompleta,elapossibilitararesoluodeoutrosproblemasmais complicados... lvaro Fernandes35Atividades (grupo 20). Calcule a derivada das funes abaixo: a)( )63x 2 y = .b)( )342 x y = . c)3 x 2 y = . d) ( )( ) x 5 1x 3 1y2+= .e) ( )( )34x 1x 2y= f) 1 xx 4 1y3++= Derivada da funo inversa Seumafuno( ) x f y = admiteumafunoinversa( ) y f x1 = ,entoafunoinversatem derivada dada por ( ) ( )( ) x f 1y f1=, ( ) 0 x f . Sabemos que( ) x x of f1=. Aplicando a regra da cadeia, obtemos que( ) ( ) ( ) ( ) 1 x f x f f1= , da ( ) ( )( ) x f 1y f1=, desde que( ) 0 x f . Exemplo 29.Seja( )3x 5 x f y = = . Calcule a derivada( ) ( ) 40 f1 invertendo a funo e usando a regra da derivada da inversa. Invertendo a funo: ( ) ( )3 131 35y5yy f x x 5 x f y |.|

\|= = = = =.Assim( ) ( )515y31y f3 21 |.|

\|= Logo( ) ( ) ( )( )6018 15 18151515403140 f3 23 23 21= = = |.|

\|=. Usando a regra da derivada da inversa: Se 40 y = e ( )3x 5 x f y = =, ento2 8540x33= = = .Como( )2x 15 x f = , obtemos ( ) ( )( )( ) ( )( )( )6012 1512 f 140 fx f 1y f21 1= = = = . lvaro Fernandes36Atividades (grupo 21). 1. Seja( ) 3 x 5 x f y = = . Calcule a derivada( ) ( ) 2 f1 usando a regra da derivada da inversa. 2. Seja( ) 0 x , x x f y2> = =. Calcule a derivada( ) ( ) 3 f1 usando a regra da derivada da inversa. Derivada das funes elementares. Vamosagoraapresentarasderivadasdasfuneselementaresdoclculo.Soelasasfunes exponenciais, logartmicas, trigonomtricas e trigonomtricas inversas. 1. Derivada da funo exponencial. Proposio: Se( ) ( ) 1ea 0 a , a x fx > =, ento( ) ( ) a ln a x fx= . Prova:( )( ) ( )( ) a ln ax 1 alim a limx1 a alimxa alim x fxx0 xx0 xx x0 xx x x0 x= = == + . Lembre-seque ( )( ) a lnx 1 alimx0 x= umaconseqnciaimportantedolimitefundamental exponencial (item ii pg. 14). Caso particular: Se( )xe x f = , ento( ) ( )x xe e ln e x f = = , ondee o nmero neperiano. Exemplo 30.Determine a deriva da funo xe 6 y = . Usando a regra da cadeia, obtemos: ( ) ( ) ( )xe 3x 21e 6 x u u y x yx ue 6 yxuu= = ===. Atividades (grupo 22). 1. Calcule a derivada das funes abaixo: a)( )1 x2 x f+= . b)( )x 2e x f = . c)( )1 x 5 2e x 3 x f+ = . d)( )2x2ex 1x f= . 2.Calculeareadotringuloretngulosombreadonafiguraabaixo,sabendo-sequenareta normal a( )xe x f = no ponto de abscissa1 =0x . Resp.:2 e3 lvaro Fernandes372. Derivada da funo logartmica. Proposio: Se( ) ( ) ( ) 1ea 0 a , x log x fa > =, ento( )( ) a ln x1x f = . Prova:Afunologartmica( ) ( ) x log x f ya= = ainversadafunoexponencial ( )y 1a y f x = =.Podemosentousaroresultadodaderivadadafunoinversaparadeterminar ( ) x f . Assim: ( )( ) ( ) ( ) ( ) a ln x1a ln a1y f1x fy 1= = = . Caso particular: Se( ) ( ) x ln x f = , ento( )( ) x1e ln x1x f = = . Exemplo 31.Determine a deriva da funo ( ) x lney1 x 4 += . Usandoaregradaderivadadoquociente 2g fg g fgf =||.|

\|earegradacadeianafuno exponencial, obtemos: ( ) ( ) | | ( )( ) | |21 x 4 1 x 4x lnx1e x ln 4 e y|.|

\| =+ + Atividades (grupo 23). 1. Calcule a derivada das funes abaixo: a)( ) ( ) x 5 log 4 x f2= .b)( ) ( ) 1 x 2 ln x f + = . c)( ) ( ) x ln e x fx 3 = . d)( )( )x 2ex 3 lnx f= . 3. Derivada das funes trigonomtricas. Proposio: a)( ) x sen y = ( ) x cos y = . b)( ) x cos y = ( ) x sen y = . c)( ) x tg y = ( ) x sec y2= . d)( ) x g cot y = ( ) x ec cos y2 = . e)( ) x sec y = ( ) ( ) x tg x sec y = . f)( ) x ec cos y = ( ) ( ) x g cot x ec cos y = . Prova:Vamosprovarositens(a),(c)e(e).Osoutrositenstmdemonstraesanlogaseficam como exerccio. lvaro Fernandes38a)( ) x sen y = .Aplicando a definio... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = += xx sen x cos x sen x cos x senlimxx sen x x senlim y0 x 0 x ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) | | = += + = x1 x cos x senlimxx cos x senlimx1 x cos x sen x cos x senlim0 x 0 x 0 x ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x cos 0 x sen 1 x cosx1 x coslim x senx x senlim x cos0 x 0 x= + = + = . Lembre-se que ( )1x x senlim0 x= o limite trigonomtrico fundamentale( )0x1 x coslim0 x= foi resolvido no exemplo 17 (c) da pg. 20. c)( ) x tg y = Como( )( )( ) x cos x senx tg = ejsabemosaderivadafuno( ) x sen ,podemosaplicaraderivadado quociente: ( ) ( ) ( ) ( ) | |( )( ) ( )( ) ( )( ) x secx cos1x cosx sen x cosx cosx sen x sen x cos x cos y22 22 22= =+= = . Lembre-se que( ) ( ) 1 x sen x cos2 2= + a relao trigonomtrica fundamental. e)( ) x sec y = Como( )( ) x cos1x sec =e sabendo-se que a derivada da funo( ) x cos ( ) x sen , podemos aplicar a derivada do quociente: ( ) ( ) ( ) ( ) | |( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ) x tg x secx cos x senx cos1x cosx sen 1x cosx sen 1 x cos 0 y2 2= = = = . Exemplo 32.Calcule a derivada das funes compostas abaixo: a)( )2x 3 sen y = . b)( ) x cos y3= . c)( )x 5e x tg y = .d) ( )( ) x sec1 x tgy= . Solues: a)( )2x 3 sen y = Usando a regra da cadeia, obtemos: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )22x 3 cos x 6 x 6 u cos x u u y x yx 3 uu sen y= = ===. lvaro Fernandes39b)( ) x cos y3= Usando a regra da cadeia, obtemos: ( )( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) x cos x sen 3 x sen u 3 x u u y x yx cos uu y2 23 = = ===. c)( )x 5e x tg y = Usando a regra da derivada do produto( ) fg g f g f + = e a regra da cadeia, obtemos: ( ) ( ) ( ) 5 e x tg ex 21x sec yx 5 x 5 2 +||.|

\|= . d) ( )( ) x sec1 x tgy= Usando a regra da derivada do quociente 2g fg g fgf =||.|

\| e a regra da cadeia, obtemos: ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( )( ) | |( ) x secx tg x sec 1 x tg x sec x sec y22 = . Mostre que esta expresso igual a ( )( ) x sec1 x tg y+= . Simplifique-a utilizando a relao trigonomtrica ( ) ( ) x sec x tg 12 2= +se necessrio. Atividades (grupo 24). 1. Calcule a derivada das funes abaixo: a)( ) ( )2x sec x 3 x f + = . d)( )( )( ) x g cot 1x senx f+= . b)( ) ( ) ( ) x 2 cos x sen x f = .e)( )|.|

\|+=1 x1 xec cos x f . c)( ) ( )3x tg x f = .f)( )||.|

\|=xecos x fx. lvaro Fernandes404. Derivada das funes trigonomtricas inversas Proposio: a)( ) x arcsen y = 2x 11 y= . b)( ) x arccos y = 2x 11 y= . c)( ) x arctg y = 2x 11 y+= . d)( ) x g cot arc y = 2x 11 y+= . e)( ) x sec arc y = 1 x ,1 x x1 y2>=. f)( ) x ec arccos y = 1 x ,1 x x1 y2>=. Prova:Vamosprovarositens(a),(c)e(e).Osoutrositenstmdemonstraesanlogaseficam como exerccio. a) Seja| | | | 2 , 2 1 , 1 : f definida por( ) ( ) x arcsen x f y = = . Esta funo tem como inversa afuno( ) ( ) y sen y f x1= =.Podemosentousaroresultadodaderivadadafunoinversapara determinar( ) x f . Assim: ( )( )( )( )2 21x 1 1y sen 11y cos1y f1x f== = =. Observeque| | 2 , 2 y .Nestecasoosinaldafuno( ) y cos positivo.Usandoarelao trigonomtrica fundamental( ) ( ) 1 y sen y cos2 2= + , obtemos( ) ( ) y sen 1 y cos2 = . c)Seja( ) 2 , 2 : f definidapor( ) ( ) x arctg x f y = = .Estafunotemcomoinversaa funo( ) ( ) y tg y f x1= =.Podemosentousaroresultadodaderivadadafunoinversapara determinar( ) x f . Assim: ( )( ) ( ) ( )2 2 2 1x 11y tg 11y sec1y f1x f+=+= = =. Lembre-se que( ) ( ) y tg 1 y sec2 2+ = . lvaro Fernandes41e) Seja( ) x sec arc y = . Podemos reescrever esta expresso como1 x ,x1arccos y > |.|

\|=. Usando o item (b) da proposioe a regra da cadeia, obtemos: 1 x x11 x xxx1 xx1x1 xx1x1 xx1x 1x111 y2 2 2 2222222222=====||.|

\| |.|

\|= . Obs.: lembre-se que 2x1x1 = |.|

\|. Exemplo 33.Calcule a derivada das funes abaixo: a)( ) 1 x 2 arcsen y = .b) ||.|

\|+=22x 1x 1arctg y . Soluo: a)( ) 1 x 2 arcsen y = . Usando a regra da cadeia, obtemos: ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 21 x 2 122u 11x u u y x y1 x 2 uu arcsen y = = = ==. b) ||.|

\|+=22x 1x 1arctg y . Novamente a regra da cadeia... ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )=(((

+ + |.|

\|+= =+==222 2222x 1x 2 x 1 x 1 x 2u 11x u u y x yx 1x 1uu arctg y ( ) (((

+((((((

||.|

\|++=22222x 1x 4x 1x 111 simplifique esta expresso e mostre que igual a 4x 1x 2+. Logo( )4x 1x 2x y+= . Atividades (grupo 25). Determine a derivada das funes: a)( ) 1 x arccos y2 = .b)( )xe arctg x 3 y = . lvaro Fernandes42Tabela de derivadas Vamosfazerumresumodasderivadasdasprincipaisfunesvistasataqui.Nesta tabelau uma funo derivvel na varivelx.So constantes reais c, n e a. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).u' u ec cos y' u g cot y 10.u' u sec y' u tg y 9.u' u sen y' u cos y 8.u' u cos y' u sen y 7uu'y' 0 u , u ln y 6a ln u. u'y' , u log y 5.u' a ln . a y' a y 4.u' n.u y' u y 3nx y' x y 20 y' c y 122au u1 n n1 n n = == = = == == > == == == == == = ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 u u' u' y 1 u , u arc y 181 u u' u' y 1 u , u s arc y 17u 1' u' y u c arc y 16u 1' u' y u t arc y 15u 1' u' y u c arc y 14u 1' u' y u sen arc y 13.u' u g cot u ec cos y' u ec cos y 12.u' u tg u sec y' u sec y 11222222 = > == > =+ = =+= = = == = = == =cosececotggos Regras operacionais Se uev so funes derivveis, ento: 2vv u v uyvuyv u v u y v u yv u y v u y = |.|

\|= + = = = =3)2)1)lvaro Fernandes43 Derivadas sucessivas Emalgumasaplicaesprecisamosderivarumafunomaisdeumavez.Seuma funo( ) x f y =for derivvel, isto , existe( ) x f , podemos pensar na derivada de( ) x fe assim sucessivamente. Definimosedenotamosasderivadassucessivasdeumafuno( ) x f y = deacordocomatabela abaixo: Como l-se:Notao: 1a derivada ou derivada de 1a ordem ( )dxdyou x f 2a derivada ou derivada de 2a ordem( )22dxy dou x f 3a derivada ou derivada de 3a ordem( )33dxy dou x f 4a derivada ou derivada de 4a ordem ( )( )444dxy dou x f# # na derivada ou derivada de na ordem ( )( )nnndxy dou x f Justificativa para as notaes: ( ) ( ) | | x f x f = ,( ) ( ) | | x f x f = , a partir da quarta derivada usamos o cardinal. |.|

\|=dxdydxddxy d22,||.|

\|=2233dxy ddxddxy d, e assim sucessivamente. Exemplo 34. a) Se( ) 1 x 2 x x f4 + = , ento: ( ) 2 x 4 x f3+ =( )2x 12 x f =( ) x 24 x f =( )( ) 24 x f4=( )( ) 0 x f5= ... ( )( ) 0 x fn= , para todo5 n . lvaro Fernandes44b) Se( )x 2e x f = , ento: ( )x 2e 2 x f =( )x 2e 4 x f =( )x 2e 8 x f =( )( )x 2 4e 16 x f = ... ( )( )x 2 n ne 2 x f = . c) Se( ) ( ) x sen x f = , ento: ( ) ( ) x cos x f =( ) ( ) x sen x f =( ) ( ) x cos x f =( )( ) ( ) x sen x f4= ... ( )( )( )( )( )( )== = ==,... 12 , 8 , 4 n , x sen,... 11 , 7 , 3 n , x cos,... 10 , 6 , 2 n , x sen,... 9 , 5 , 1 n , x cosx fn Atividades (grupo 26). 1. Calcule as derivadas sucessivas at a ordemnindicada. a)4 n 9 x 2 x 3 y4= = , . b)3 cx+d, n bx ax y2 3= + + = . c)3 nx 1 1y == , . d)( ) 5 n x 5 sen y = = , . e)( ) 3 n x 1 ln y2= = , . 2. Marqueaalternativacorreta.O valor de ( )( ) 970f , sendo( ) ( ) x 3 sen e x fx 3+ =: a) 973 2 b) 1943 c) 976 d) 1946 e) 972 3lvaro Fernandes45Derivada na forma implcita At agora sabemos derivar funes que so expressas na forma( ) x f y = . Agora iremos determinarumamaneiradederivarexpressesquenotenhamavarivel yisolada(explicitada) emumdosmembros.Soexemplosdessasexpresses1 y x2 2= + ,( ) 4 y ln xy2= + ,etc.Em algumassituaesinconvenienteouatmesmoimpossveldeexplicitaravarivelynessas expresses. O mtodo da derivao implcita permite encontrar a derivada de uma expresso desta forma, sem a necessidade de explicit-la. Uma funo na forma( ) x f y = , onde a varivelyaparece isolada no primeiro membro chamada de funo explcita. Entretanto, algumas vezes as funes esto definidas por equaes nas quais a varivelyno est isolada. Por exemplo x 1 y x y 22= + + no est na forma explcita( ) x f y = . Mesmo assim, esta equao ainda defineycomo uma funo dex, pois podemos escrev-la como 2 x1 xy2+= . Caso quisssemos calcular y , poderamos utilizar esta ltima expresso. Umaequaoemxeypodedefinirmaisdoqueumafuno.Porexemplo1 y x2 2= + que representa graficamente uma circunferncia de centro( ) 0 , 0e raio unitrio (figura 1). Explicitando a varivelyencontramos duas funes 2x 1 y = . Afuno 2x 1 y + = representaasemicircunfernciasuperior(figura2)e 2x 1 y =representa a semicircunferncia inferior (figura 3). figura 1figura 2figura 3 Caso quisssemos calcular y , poderamos utilizar uma das expresses 2x 1 y = . Ainda neste casopossvelexplicitaravarively,mesmosabendoquepartedogrficosuprimidoneste processo. lvaro Fernandes46 s vezes o processo para explicitar a varively bastante longo e trabalhoso, como o caso da expresso 0 xy 3 y x3 3= + e at mesmo impossvel por qualquer mtodo elementar, como neste caso ( ) 0 y xy sen = . O mtodo da derivao implcita permitir encontrar a derivada ysem a necessidade de explicitar a funo como( ) x f y = . Definio: Uma expresso na forma( ) 0 y , x F =define implicitamente uma funo( ) x f y =se o grfico de( ) x f y =coincide com alguma parte do grfico de( ) 0 y , x F = . Exemplo 35. Exemplos de funes definidas implicitamente: a)0 x 1 y x y 22= + + . b)0 1 y x2 2= + . c)0 xy 3 y x3 3= + . d)( ) 0 y xy sen = . Vamosagoramostrarcomoobteraderivada y ,noscasosdoexemplo35,semexplicitary. Usaremos a regra da cadeia para derivar os termos da expresso( ) 0 y , x F =que envolvem y. a)0 x 1 y x y 22= + + . Esta expresso define y como uma funo de x implicitamente, logo: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ).2 xxy 2 1 yxy 2 1 2 x y0 1 y x xy 2 y 20 1dxdyx xy 2dxdy20 x 1dxdy xdxdy 2dxd0dxdx 1 y x y 2dxd222222+= = += + += + + += + += + + Observe que usamos a derivada de um produto em( ) y xdxd2. Derivamos ambos os membros em relao ax. Derivada de uma soma de funes. Apenas mudamos os smbolos:( ) y x ydxdy= = . lvaro Fernandes47Poderamos obter a derivada y derivando diretamente 2 x1 xy2+= . Vejamos: ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )222222 22222 xx x 2 22 xx 2 x 2 2 x2 xx 2 1 x 2 x 1 y+ +=++ +=+ += ,logo( )2222 xx x 2 2 y+ += . Voc pode estar se perguntando: Obtivemos ( )2222 xx x 2 2 y+ += ,masanteriormentecalculamos 2 xxy 2 1 y2+= .Estasexpressesso distintas? Obviamenteno,poissefizermos 2 x1 xy2+= naexpresso 2 xxy 2 1 y2+= ,vamosobter ( )2222 xx x 2 2 y+ += : ( )222222 2222222 xx x 2 22 x2 xx 2 x 2 2 x2 x2 xx 2 x 212 x2 x1 xx 2 1 y+ +=+||.|

\|++ +=+||.|

\|+=+|.|

\|+= . Ateno:Nonecessrioverificarseasderivadascalculadasnasformasexplcitaeimplcita coincidem, mesmo porque em alguns casos no possvel mesmo isolar a varivel y. Casoqueiramoscalcularovalordaderivada y numponto,porexemplo 2 xo = ,basta encontrarmosovalordaimagem oy ,substituindo ox naexpresso0 x 1 y x y 22= + + .Depois calculamos y com estes dois valores, pois 2 xxy 2 1 y2+=depende de duas variveis. Vejamos: 61y 0 2 1 y 4 y 2 0 x 1 y x y 2o o o o o2o o= = + + = + + . ( )1812 2612 2 12 xy x 2 1 y2 2oo o=+|.|

\|=+= . Observe que encontramos este mesmo valor usando ( )2222 xx x 2 2 y+ +=no ponto2 xo = : ( )( )1813622 22 2 2 2 y222= =+ += . Mas lembre-se: nem sempre possvel isolar a varivelypara calcular y . lvaro Fernandes48b)0 1 y x2 2= + . ( ) ( ) ( ) .yx y 0 yy 2 x 2 0 0 ydxdx 2 0dxd1 y xdxd2 2 2 = = + = + + = + c)0 xy 3 y x3 3= + . ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + 0 xydxd3 ydxdx 3 0dxdxy 3 y xdxd3 2 3 3 ( ) | | ( ) .x yx y yx 3 y 3x 3 y 3 y x 3 y 3 x 3 y 3 y 0 xy y 1 3 y y 3 x 322222 2 2 2= = = = + + d)( ) 0 y xy sen = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | 0 y xy y 1 xy cos 0dxdydxdxy sendxd0dxdy xy sendxd= + = = ( ) ( )( )( ).1 xy cos xxy cos y y 0 y xy cos xy xy cos y = = + Vejamos alguns exemplos que ocorrem com maior freqncia em derivao implcita: ( ) y ny ydxd1 n n =. ( ) | | ( ) y y sec y tgdxd2 = . | | y e edxdy y = . ( ) | | yy1y lndxd = . ( ) | | yy 11y arctgdxd2 += . lvaro Fernandes49Atividades (grupo 27). 1. Determine a derivada' ydas curvas dadas implicitamente por: a)4 y x2 2= + b)y 2 x y 2 xy3 2 = + c)( ) 0 y sen x y x2 2= + d)3 y x exy + =e)0y xy xy3=+f)( ) 1 xy y tg = 2.Determineaequaodaretatangenteedaretanormalaogrficodecadafunoabaixo,nos pontos indicados. a)( )2y x y ln + =no ponto( ) 1 , 1 P . b) y 32 . y x= ,no ponto em que a normal vertical. c)19 y 13 x 62 2= +(elipse), nos pontos onde a normal paralela reta 0 7 y 12 x 26 = . 3. Seja C a circunferncia dada implicitamente por1 y x2 2= + eta reta tangente C no ponto de abscissa2 2 xo = , como mostra a figura abaixo. Calcule o valor da rea sombreada. 4. Determine a rea do tringulo AOB na figura abaixo sabendo-se que r a reta tangente a curva C, dada implicitamente por ( ) x 3 1 x cos 2 e2 xy= + ,no ponto( ) 0 , 1 A. lvaro Fernandes50Derivada de uma funo na forma paramtrica Funo na forma paramtrica Sejam ( )( )==t y yt x xfunes de uma mesma varivel t,| | b , a t . A cada valor de t no intervalo| | b , acorresponde um nico par( ) ( ) ( ) t y , t x Pno plano cartesiano. Se as funes( ) t x x = e ( ) t y y =forem contnuas, quando t variar deaatb, o ponto P descrever uma curva no plano. Asequaes ( )( )==t y yt x xsochamadasdeequaesparamtricasdacurvaetchamadode parmetro. Seafuno( ) t x x = admiteumainversa( ) x t t = ,podemosescrever( ) ( ) x t y y = ,eliminandoo parmetro t. Neste caso, temosy como uma funo dex, isto ,( ) x y y = . Mesmo quando a funo( ) t x x =no admite inversa, em alguns casos, podemos obter uma forma implcita da curva, eliminando o parmetro t de forma conveniente. Dizemos que as equaes ( )( )==t y yt x xdefinem a forma paramtrica de uma curva plana. Exemplo 36. a) As equaes = + =t ,t 2 y1 t x , definem a reta de equao2 x 2 y = . Para verificar isto basta isolar o parmetrotna equao1 t x + =e substituir emt 2 y = . b)Asequaes = =t ,1 t yt 1 x2 ,definemaparboladeequaox 2 x y2 = .Paraverificar isto basta isolar o parmetrotna equaot 1 x =e substituir em1 t y2 = . c) As equaes ( )( )| | ==2 , 0 t ,t sen 2 yt cos 2 x, definem a circunfernciade equao4 y x2 2= + . Poisasequaes( ) t cos 2 x = e ( ) t sen 2 y =satisfazem4 y x2 2= + , para todo t . lvaro Fernandes51( ) | | ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 t sen t cos 4 t sen 4 t cos 4 t sen 2 t cos 2 y x2 2 2 2 2 2 2 2= + = + = + = + . Observe neste caso que a funo( ) t cos 2 x =no admite inversa no intervalo| | 2 , 0 t e a forma encontrada para a curva foi implcita. Caso geral: ( )( )| | + =+ =2 , 0 t ,t sen a y yt cos a x xoo ,0 a > ,definemacircunfernciadeequao ( ) ( )2 2o2oa y y x x = + . Prove! d) Forma paramtrica da Elipse: ( )( )| | + =+ =2 , 0 t ,t sen b y yt cos a x xoo, b a eambospositivos,definemaelipsedeequao ( ) ( )1by yax x22o22o=+. Pois ( )( )ax xt coso= , ( )( )by yt seno= e( ) ( ) 1 t sen t cos2 2= + . Vamos ver agora como obter a derivada de uma funo na forma paramtrica. Seja ( )( )==t y yt x xa forma paramtrica que defineycomo uma funo de x. Suponha que as funes( ) t y y = , ( ) t x x = e a sua inversa( ) x t t =sejam derivveis. Podemos ento obter a composta( ) ( ) x t y y = e aplicar a regra da cadeia para calcular( ) x y : ( ) ( ) ( ) x t t y x y = . Vimos no estudo da derivada da funo inversa que( )( ) t x1x t = . Da, temos que ( ) ( )( )( )( ) t xt yt x1t y x y = = . ( )( )( ) t xt yx y = a derivada de uma funo na forma paramtrica. lvaro Fernandes52Exemplo 36. a)Calculeaderivada( ) x y dafuno( ) x y y = definidanaformaparamtricapor = =tt 6 1 y5 t 3 x, . ( )( )( )236t xt yx y == = . Poderamosobteresteresultadoeliminadooparmetrot,obtendoafuno( ) x y y = ecalculando diretamente( ) x y : 9 x 23 5 x6 1 y3 5 xt 5 t 3 x = |.|

\| + = += = .Da,( ) 2 x y = . b)Calculeaderivada( ) x y dafuno( ) x y y = definidanaformaparamtricapor + = =tt t yt 1 x2, . ( )( )( )1 t 211 t 2t xt yx y =+= = . Para obter a derivada em funo de x, basta substituirtporx 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 x 2 x y 3 x 2 1 x 1 2 x y 1 t 2 x y = = = = . Observe que novamente poderamos obter este resultado eliminado o parmetro t, obtendo a funo ( ) ( ) x 1 x 1 y2 + =e calculando( ) ( )( ) 3 x 2 1 1 x 1 2 x y = + = . c) Determine a equao da reta tangente a elipse ( )( )| | + =+ =2 , 0 t ,t sen 4 2 yt cos 2 1 x no ponto 4t= . A equao da reta tangente ( )o ox x y y y = . Clculo de ox :2 1222 14cos 2 1 xo+ = + = |.|

\| + = . Clculo de oy :( ) 2 1 2 2 2 2224 24sen 4 2 yo+ = + = + = |.|

\| + = . Clculo de yno ponto 4t= : ( )( )( )( )( ) ( ) 2 1 24g cot 2 y . t g cot 2t sen 2t cos 4t xt y y = = |.|

\| = == = . Logo, a reta tangente igual a( ) ( ) 2 1 x 2 2 1 2 y = + ou( ) 2 1 4 x 2 y + + = . lvaro Fernandes53Grfico: Atividades (grupo 28). 1. Calcule a derivada( ) x ydas funes definidas parametricamente nos pontos indicados. a) 3t ,t 3 cos yt 2 sen x===. b) 6t ,t sen yt cos x33===. 2.Determineaequaodaretatangenteedaretanormalaogrficodecadafunoabaixo,nos pontos indicados. a) ((

==2,2t ,t 2 sen yt sen x,no ponto 6t= . b)( )( )1 t 0 ,t 1 t 6 yt 1 t 6 x12 212 + =+ =,no ponto de abscissa 512. 3. Determine o valor da rea sombreada na figura abaixo. Sabe-se que r a reta tangente a elipse ( )( )| | ==2 , 0 t ,t sen yt cos 2 x: C ,no ponto 3t= . Obs.: A rea da elipse dada pela frmulaab A = , onde ae bso os comprimentos dos semi-eixos. Resp.: ( ) 6 3 3 8 lvaro Fernandes54Diferencial Atagora dxdytemsidovistoapenascomoumasimplesnotaoparaaderivadadeumafuno ( ) x f y =em relao a varivel x, isto ,( ) ( ) x f x ydxdy= = . O que faremos agora interpretar dxdy como um quociente entre dois acrscimos (diferenciais). Acrscimos e decrscimos Seapartirdeumdeterminadovalorxsomarmosousubtrairmosumdeterminadovalor *x , estaremos fazendo um acrscimo ou decrscimo na varivel x. Nesta figura temos que x > 0. Sem perda de generalidade, podemos supor0 x > para a nossa anlise. Seja( ) x f y =uma funo derivvel ex um acrscimo na varivel x. Definio: O diferencial de x, denotado por dx, o valor do acrscimox , isto ,x dx = . Considere t a reta tangente ao grfico de( ) x f y =no ponto x. Seja o ngulo de inclinao de t. Definio:Odiferencialdey,denotadopordy,oacrscimonaordenadadaretatangentet, correspondente ao acrscimodxem x. Deacordocomafigurapodemosobservarqueoquociente( ) = tgdxdy.Mas( ) ( ) x f tg = ,pois esta a interpretao geomtrica da derivada. Logo ( ) = x fdxdy( ) dx x f dy =O acrscimo dy pode ser visto como uma aproximao paray . Esta aproximao tanto melhor quanto menor for o valor de dx. Isto , se0 dx ,ento0 dy y . Da podemos dizer quedy y sedxfor bem pequeno. ( ) ( ) x f dx x f y + = lvaro Fernandes55Como( ) ( ) x f dx x f y + = e( ) dx x f dy =, obtemos que ( ) ( ) ( ) dx x f x f dx x f + , ou seja, ( ) ( ) ( ) x f dx x f dx x f + + . Exemplo 37. 1. Calcule o diferencial dy das funes abaixo: a)x 2 x y3+ = .b)( )2x sen y = . c)( ) ( ) x sec ln y = .

Solues: a)( )dx 2 x 3 dy2+ = .b)( )dx x cos x 2 dy2= . c)( )dx x tg dy = . 2. Calcule um valor aproximado para( )29 , 19usando diferenciais. Soluo: Podemos pensar na funo( )2x x f =onde queremos calcular um valor aproximado para( ) 9 , 19 f . Para isto vamos utilizar( ) ( ) ( ) x f dx x f dx x f + + , onde podemos fazer1 , 0 dx 20 x = =e . ( ) x 2 x f = . Da, ( ) ( ) ( ) x f dx x f dx x f + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20 f 1 , 0 20 f 1 , 0 20 f + + ( ) ( ) ( ) ( ) 396 400 4 400 1 , 0 40 20 1 , 0 20 2 9 , 19 f2= + = + = + .Logo( ) 396 9 , 19 f . O valor exato 396,01. Lembre-se: quanto menor o valor dedx, melhor a aproximao. Atividades (grupo 29). 1. Encontredy ye para os valores dados nas funes abaixo e compare os resultados( ) dy y : a). 0 x ; 02 , 0 x ; x 6 x 5 y2= = =b). 1 x ; 1 , 0 x ;1 x1 x 2y = = += 2. Usando diferencial, calcule um valor aproximado para:a) 25 , 12 .b) 31 , 4 .c)13 . lvaro Fernandes56 Aplicaes da derivada A regra de LHospital Estaregrapermitecalcularcertostiposdelimites(cujasindeterminaessodotipo ou00) aplicando as regras de derivao. Sejamfegfunes derivveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente, num pontoI a . Suponha que( ) a x I x , 0 x g e . a) Se( ) ( )( )( )Lx gx flim 0 x g lim x f lima x a x a x= = = e, ento ( )( )( )( )Lx gx flimx g x flima x a x= = ; b) Se( ) ( )( )( )Lx gx flim x g lim x f lima x a x a x= = = e, ento ( )( )( )( )Lx gx flimx g x flima x a x= = . Exemplo 38. Calcule os limites abaixo usando a regra de Lhospital. a) x1 - elimx0 x .b) 1 x2 x xlim241 x +. c) ( )2 e exx senlimx x0 x +. d) 2xxx elim + . e)( )x20 xx 2 x lim ++ Solues: a) x1 - elimx0 x . (verifique a indeterminao do tipo 00) 11elimx1 - elimx0 xx0 x= = . lvaro Fernandes57b) 1 x2 x xlim241 x +. (verifique a indeterminao do tipo 00) 25x 21 x 4lim1 x2 x xlim31 x241 x=+= + . c) ( )2 e exx senlimx x0 x +. (verifique a indeterminao do tipo 00) ( ) ( )x x0 xx x0 xe e1 x coslim2 e exx senlim = + Observe que ainda h uma indeterminao do tipo 00. Neste caso podemos continuar aplicando a regra... ( ) ( )020e ex senlime e1 x coslimx x0 xx x0 x= =+= .Logo, ( )02 e exx senlimx x0 x= +. d) 2xxx elim + . (verifique a indeterminao do tipo ) x 2 elimx elimxx2xx + + =Observe que ainda h uma indeterminao do tipo . Neste caso podemos continuar aplicando a regra... + = = + 2elimx 2 elimx0 xxx.Logo,+ =+ 2xxx elim. e)( )x20 xx 2 x lim ++.Verifiquequeaindeterminaoagoradotipo 00 .Nestecaso,precisamos transform-laem0 0 ou parapoderaplicararegradeLHospital.Vamosusarduas propriedades dos logartimos. So elas:( ) ( ) a ln x a lnx= e( )x ex ln= . ( )( ) ( )( )= = = = = = +++ +++++ + + + + + +x 2 xx 2 x 20 xx 1x 2 x2 x 20 xx 1x 2 x ln0 xx 2 x ln x0 xx 2 x ln0 xx20 x22 322 22x2e lim e lim e lim e lim e lim x 2 x lim 1 1 lim e lim e lim e lim0 x00 x200 x2 xx 2 x 20 x2= = = = =+ + + + ++. Podemos aplicar esta mesma tcnica para resolvermos indeterminaes do tipo 0 . Atividades (grupo 30). Calcule os seguintes limites usando a regra de Lhospital: a) x sen xx 2 e elimx x0 x .b) ( )x 2x senlim2 x. c)( ) ( ) x tg x sec lim2 x .d)( ) | |x 20 xx sen 1 lim ++. lvaro Fernandes58Interpretao cinemtica da derivada Vamosagorainterpretaraderivadadopontodevistadacinemtica,queestudaomovimentodos corpos. Veremos que a velocidade e a acelerao de um corpo podem ser determinadas atravs das derivadas de primeira e segunda ordem, respectivamente, quando conhecemos a funo horria do movimento do corpo. Velocidade.Considereumcorpoquesemoveemlinharetaeseja( ) t s s = asuafunohorria, isto,oespaopercorridoemfunodotempo.Odeslocamentodocorponointervalodetempo t t t + e definido por( ) ( ) t s t t s s + = . A velocidade mdia do corpo neste intervalo de tempo definida por ( ) ( )tt s t t stsvm +==. A velocidade mdia do corpo no d uma informao precisa sobre a velocidade em cada instante do movimento no intervalo de tempot t t + e . Para obtermos a velocidade instantnea do corpo noinstantet,precisamoscalcularavelocidademdiaemintervalosdetempocadavezmenores, isto , fazendo0 t . A velocidade instantnea do corpo no instante t definida por ( )( ) ( )( ) t stt s t t slimtslim v lim t v0 t 0 tm0 t= +== = .Assim,( ) ( ) t s t v =. A velocidade instantnea( ) t v a primeira derivada da funo horria( ) t s . Acelerao. De forma anloga ao conceito de velocidade vem o de acelerao: A acelerao mdia do corpo no intervalo de tempot t t + e definida por ( ) ( )tt v t t vtvam +==. A acelerao instantnea do corpo no instante t definida por ( )( ) ( )( ) t vtt v t t vlimtvlim a lim t a0 t 0 tm0 t= +== = .Assim,( ) ( ) t v t a = . Como( ) ( ) t s t v =podemos escrever a acelerao instantnea como a segunda derivada dos espao emrelao ao tempo. Assim ( ) ( ) t s t a = . Obs.: NoM.R.U.V.a funo horria do segundo grau( ) ( )2att v s t s20 o+ + = , sendo constantes os oespaoinicial, ov avelocidadeinicialea aaceleraodomovimento.Nestecaso,a velocidadeinstantneadadapor( ) ( ) at v t s t vo + = = eaaceleraoinstantneadadapor ( ) ( ) a t v t a = = . lvaro Fernandes59Exemplo 39. a) Suponha que um corpo em movimento retilneo tenha funo horria definida por ( )2t 2 t 12 t s =enoinstante0 t = eleiniciaomovimento.Considereoespaomedidoemmetroseotempoem segundos. Determine: i) a velocidade mdia do corpo no intervalo de tempo| | 3 , 1 ; ii) a velocidade do corpo no instante1 t = ; iii) a acelerao mdia do corpo no intervalo de tempo| | 3 , 1 ; iv) a acelerao do corpo no instante1 t = . Soluo: i) ( ) ( ) ( ) ( )s / m 4282 10 181 31 s 3 stt s t t stsvm= === +== . ii)( ) ( ) ( ) s / m 8 4 12 1 v t 4 12 t s t v = = = = . iii) ( ) ( ) ( ) ( )2ms / m 428 01 31 v 3 vtt v t t vtva === +== . iv)( ) ( ) ( )2s / m 4 3 a 4 t s t a = = = . b)Uma partcula em movimento retilneo tem a funo horria dada por( ) 3 t 60 t 21 t 2 t s2 3+ + = . Considere o espao medido em metros e o tempo em segundos. Determine: i) Em que instante a partcula pra, isto , tem velocidade nula? ii) Determine a acelerao da partcula no instantes 5 , 4 t = . Soluo: i)( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 5 t 2 t 6 10 7 t 6 t v 60 t 42 t 6 t s t v2 2 = + = + = = . ( ) ( )( ) s 2 t 0 5 t 2 t 6 0 t v = = = ous 5 t = .Assimapartculatemvelocidadenula nos instantess 2 t = e s 5 t = . ii)( ) ( ) ( ) ( )2s / m 12 42 5 , 4 12 5 , 4 a 42 t 12 t s t a = = = = . lvaro Fernandes60Atividades (grupo 31). 1.Dosoloumprojtildisparadoverticalmenteparacima.Suaaltura(emmetros)dadaem funo do tempo (em segundos) por( )2t 10 t 160 t h = . Determine: i) As funes velocidade e acelerao do projtil; ii) Em que instante0 t >o projtil pra? iii) Quantos segundos dura todo o trajeto do projtil? iv) Com que velocidade e acelerao o projtil atingir o solo? 2.Aequaodomovimentodeumapartcula( )32 t t s + = ,semmetrosetemsegundos. Determine: i) o instante em que a velocidade dem/s 12 1 ; ii) a distncia percorrida at este instante; iii) a acelerao da partcula quando t = 2s. 3.Aequaohorriadomovimentoretilneodeumapartcula( ) ( )235t6t4 t154t s + + = . Considere s em metros e t em segundos. Determine em que instante0 t >a acelerao da partcula nula. lvaro Fernandes61Taxa de variao Vimos na seo anterior que se( ) t s s = a funo horria do movimento retilneo de um corpo, a velocidademdiadadapor tsvm= eavelocidadeinstantneaadadapeladerivada ( ) ( )( ) ( )tt s t t slimtslim t s t v0 t 0 t +== = .Damesmaforma,aaceleraomdia tvam= ea acelerao instantnea dada pela derivada( ) ( )( ) ( )tt v t t vlimtvlim t v t a0 t 0 t +== = . Asrazes m ma v esoexemplosdetaxasmdiasdevariaonumintervaloeasrazes ( ) ( )tslim t s t v0 t= = e( ) ( )tvlim t v t a0 t= = soexemplosdetaxasinstantneasdevariao num ponto, ou simplesmente taxas de variao num ponto. Definio: De uma forma geral, se( ) x f y = uma funo, a razo xy chamada de taxa mdia devariaodafunofnointervalo| | x x , x + eaderivada ( )( ) ( )xx f x x flimxylim x f0 x 0 x +== chamada de taxa de variao da funofno ponto x. Toda taxa de variao pode ser interpretada como uma derivada. Interpretandoaderivadadestaforma,podemosresolverdiversosproblemasdascinciasque envolvem razes instantneas de variao. Exemplo 40. Suponha que um leo derramado atravs da ruptura do tanque de um navio se espalhe emformacircularcujoraiocresceaumataxade2m/h.Comquevelocidadeareado derramamento est crescendo no instante em que o raio atingir 60m? Soluo: A taxa com que o raio cresce de 2m/h. Podemos interpretar e denotar esta taxa de variao como h / m 2dtdr= . Queremos calcular a taxa com que a rea cresce em relao ao tempo. Podemos denotar esta taxa de variao comodtdA. A rea do derramamento circular, logo 2r A = . Queremoscalcular dtdAetemos dtdr.Aregradacadeiarelacionaestasrazesatravsde dtdrdrdAdtdA = .Assim,r 4 2 r 2dtdA = = .Quandooraioatingir60mareadoderramamento estar crescendo a uma taxa de( ) h / m 240 h / m 60 42 2 = . lvaro Fernandes62Diretrizes para resolver problemas de taxa de variao 1.Desenhe uma figura para auxiliar a interpretao do problema; 2.Identifique e denote as taxas que so conhecidas e a que ser calculada; 3.Ache uma equao que relacione a quantidade,cujataxaserencontrada, com as quantidades cujas taxas so conhecidas; 4.Derive esta equao em relao ao tempo, ouusearegradacadeia,ou a derivao implcita para determinar a taxa desconhecida; 5.Aps determinada a taxa desconhecida, calcule-a em um ponto apropriado. Exemplo 41. Um tanque de gua tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2m e altura igual a 4m. Se a gua est sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m3/min, encontre a taxa na qual o nvel da gua est elevando quando a gua est a 3m de profundidade. 2hr42hr= = . Assim, 32h12h2h31V= |.|

\| = . Derivando ambos os lados em relao ao tempo t, obtemos dtdVh4dtdhdtdhh 312 dtdVdtdhdhdVdtdV22= = = . Substituindomin m 2dtdV3= eh = 3m, temos min m 28 , 098234dtdh2= = . Dadomin m 2dtdV3= ,devemosencontrar dtdh quandoh=3m.AsgrandezasVehesto relacionadaspelaequaoh r31V2 = ,queo volume do cone. Para obter o volume V como funo da altura h,podemoseliminaravarivelrusando semelhana de tringulos: lvaro Fernandes63Atividades (grupo 32). 1)Umaboladeneveesfricaformadadetalmaneiraqueoseuvolumeaumentarazode8 cm3/min. Com que velocidade aumenta o raio no instante em que a bola tem 4 cm de dimetro? 2) Um automvel que viaja razo de 30 m/s, aproxima-se de um cruzamento. Quando o automvel est a 120 m do cruzamento, um caminho que viaja razo de 40 m/s atravessa o cruzamento. O automvel e o caminho esto em rodovias que formam um ngulo reto uma com a outra. Com que velocidade afastam-se o automvel e o caminho 2s depois do caminho passar pelo cruzamento? 3)Umaescadacom13mdecomprimentoestapoiadanumaparedeverticalealta.Num determinadoinstanteaextremidadeinferior,queseencontraa5mdaparede,estescorregando, afastando-sedaparedeaumavelocidadede2m/s.Comquevelocidadeotopodaescadaest deslizando neste momento? 4)Umbaloesta60macimadosoloeseelevaverticalmenterazode 5m/s.Umautomvel passaporbaixodobaloviajando12m/s.Comquevelocidadevaria,umsegundodepois,a distncia entre o balo e o automvel? 5)Despeja-seguanumrecipientedeformacnica,razode8cm3/min.Oconetem20cmde profundidadee10cmdedimetroemsuapartesuperior.Seexisteumfuronabase,eonvelda guaestsubindorazode1mm/min,comquevelocidadeaguaestarescoandoquandoesta estiver a 16cm do fundo? 6) Um lado de retngulo est crescendo a uma taxa de 17 cm/min e o outro lado est decrescendo a umataxade5cm/min.Numcertoinstante,oscomprimentosdessesladosso10cme7cm, respectivamente.Areadoretnguloestcrescendooudecrescendonesseinstante?Aque velocidade? 7)Doisresistoresvariveis 2 1R R esoligadosemparalelo.AresistnciatotalR calculada pelaequao( ) ( )2 1R 1 R 1 R 1 + = .Se 2 1R R eestoaumentandostaxasde s ohm 02 , 0 s ohm 01 , 0 e respectivamente,aquetaxavariaR noinstanteemque ohms 90R ohms 30 R2 1= = e? 8) Um tringulo issceles tem os lados iguais comcm 15 cada um. Se o ngulo entre eles varia razo derad 90 por minuto, determine a variao da rea do tringulo quando rad 6 = . lvaro Fernandes64Anlise grfica das funes Mximos e mnimos Definio:Umafuno( ) x f y = temumpontodemximorelativoem 0x x = ,seexisteum intervalo aberto A, contendo0x , tal que( ) ( ) x f x f0 , para todoA x . ( )0x f chamado de valor mximo relativo. Definio:Umafuno( ) x f y = temumpontodemnimorelativoem 1x x = ,seexisteum intervalo aberto B, contendo 1x , tal que( ) ( )1f x f x , para todoB x . ( )1x f chamado de valor mnimo relativo. Exemplo 42. A funo( )2 4x 4 x x f =tem um ponto de mximo relativo em0 x =e dois pontos demnimosrelativosem 2 x = .Ovalormximorelativo0 y = eovalormnimorelativo 4 y = . Aproposioseguintepermiteencontrarospossveispontosdeextremosrelativos(mximos relativos oumnimos relativos) de uma funo. lvaro Fernandes65Proposio:Seja( ) x f y = umafunodefinidanumintervaloaberto( ) b , a I = .Seftemum extremo relativo emI k e ( ) x fexiste para todoI x , ento( ) 0 k f = . Podemos interpretar geometricamente esta proposio da seguinte forma: A reta tangente ao grfico defno pontok x = horizontal, visto que ( ) 0 k f = . Definio:Umponto() f D c talque( ) 0 c f = ou( ) c f noexistechamadodeponto crtico def. Se houverem extremos relativos numa funo, estes ocorrem em ponto crticos. Exemplo 43. Algumas funes e seus pontos crticos. a) b) c) 3x y = 2 1 x y + =( ) 1 1 x y2+ = Observaes: No exemplo a)( ) 0 0 f = , mas0 x =no um ponto de extremo da funo. Noexemplob)noexiste( ) 1 f ,mas1 x = umpontodeextremo(mnimorelativo)da funo. No exemplo c)( ) 0 1 f =e1 x = um ponto de extremo (mnimo relativo) da funo. lvaro Fernandes66 Uma funo( ) x f y =pode admitir num intervalo( ) b , amais do que um ponto de extremo relativo. Omaiorvalordafunonumintervalochamadodevalormximoabsoluto.Analogamente,o menor valor chamado de valor mnimo absoluto. Algumasfunespodemnoapresentarextremosrelativosnumintervalo.Porexemplo ( ) 2 , 2 x , x y = . Funes crescentes e decrescentes Definio:Umafuno( ) x f y = ,definidanumintervaloI,crescentenesteintervalosepara quaisquerI , x x1 0 , 1 0x x < , temos que( ) ( )1 0x f x f < . (ver Fig. 1) Definio:Umafuno( ) x f y = ,definidanumintervaloI,decrescentenesteintervalosepara quaisquerI , x x1 0 , 1 0x x < , temos que( ) ( )1 0x f x f > . (ver Fig. 2) Fig. 1Fig. 2 Podemos identificar os intervalos onde uma funo crescente ou decrescente atravs do estudo do sinal da derivada da funo. Segue a proposio. ox o ponto de mximo absoluto def; ( )0x f o valormximo absoluto def; 1x o ponto de mnimo absoluto def; ( )1x f o valor mnimoabsoluto def. lvaro Fernandes67Proposio: Sejafuma funo contnua no intervalo| | b , ae derivvel no intervalo( ) b , a . a)Se( ) 0 x f >para todo( ) b , a x , entof crescente em| | b , a ; b)Se( ) 0 x f = . b) Se a funo derivada negativa para todo( ) b , a x ento, geometricamente, a reta tangente tem inclinao negativa para todo( ) b , a x . ( ) ( )o o180 90 0 tg x f < < < = . Exemplo 44. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da funo( )2 4x 4 x x f = . Soluo: Vamos analisar o sinal da derivada desta funo. ( ) ( ) 2 x x 4 x 8 x 4 x f2 3 = = . Logo: f crescente para todo| | | | + , 2 0 , 2 x , pois a derivada positivanestes intervalos. fdecrescenteparatodo| | | | 2 , 0 2 , x ,poisaderivadanegativanestes intervalos. Observe o grfico da funo( )2 4x 4 x x f =no exemplo 42. lvaro Fernandes68Critrios para determinar os extremos de uma funo Teorema: (Critrio da primeira derivada para determinao de extremos) Sejafumafunocontnuanumintervalofechado| | b , a quepossuiderivadaemtodopontodo intervalo( ) b , a , exceto possivelmente num ponto k: a) Se( ) 0 x f >para todo x < ke ( ) 0 x f k, entoftem um mximo relativo em k; b) Se( ) 0 x f para todo x > k, entoftem um mnimo relativo em k;

Interpretao geomtrica: a) A funof crescente para todo x < k , pois( ) 0 x f > edecrescente para todo x > k , pois ( ) 0 x f < . Desta forma,fassume um ponto de mximo relativo emk x = . b) A funof decrescente para todo x < k , pois( ) 0 x f < ecrescente para todo x > k , pois ( ) 0 x f > . Desta forma,fassume um ponto de mnimo relativo emk x = . Exemplo 45. Determine os extremos da funo( )2 4x 4 x x f = . Como vimos no exemplo anterior o sinal de( ) x f . Ento,deacordocomaproposio,2 x = sopontodemnimorelativoe0 x = pontode mximo relativo.Observe o grfico da funo( )2 4x 4 x x f =no exemplo 42. lvaro Fernandes69Oseguinteteorematambmutilizadoparadeterminaodeextremosdeumafuno.Ele aplicado quando a anlise do sinal da primeira derivada no imediata (simples). Teorema: (Critrio da segunda derivada para determinao de extremos) Sejafuma funo derivvel num intervalo( ) b , ae k um ponto crtico defneste intervalo, isto , ( ) 0 k f = . Ento: a)( ) < 0 k f ftem um mximo relativo em k; b)( ) > 0 k f ftem um mnimo relativo em k. Exemplo46.Determineosextremosdafuno( )2 4x 4 x x f = ,usandootestedasegunda derivada. ( ) ( ) 2 x x 4 x 8 x 4 x f2 3 = = . Os pontos crticos defso2 x 2 x 0 x2 1 o = = = e, . ( ) 8 x 12 x f2 = . ( ) 0 8 0 f < = , logo0 xo = ponto de mximo relativo. ( ) 0 16 2 f > = , logo2 x1 = ponto de mnimo relativo. ( ) 0 16 2 f > = , logo2 x2 = ponto de mnimo relativo. Este resultado est de acordo com o exemplo 45. Exemplo 47. Determine os extremos da funo( ) ( ) 0 x , x x ln x f2> =, usando o teste da segunda derivada. ( ) x 2x1x f = . ( )22x21x x 2x10 x 2x10 x f2 = = = = = . Como0 x > , temos que 22x = o ponto crtico def. Vamos agora determinar o sinal de ||.|

\|22 f : ( ) 2x1x f2 = . Assim0 422 f < =||.|

\| e ento 22x = ponto de mximo relativo de f. Veja o grfico da funo( ) ( ) 0 x , x x ln x f2> = ao lado. lvaro Fernandes70Concavidade e ponto de inflexo Sabemos que a parbola0 a c bx ax y2 + + =, , tem concavidade voltada para cima quando0 a >e concavidade voltada para baixo quando0 a < . No existe mudana de concavidade nos grficos destasfunes.Situaodiferenteaconteceem( ) x sen y = ou( ) x cos y = ,ondeverificamosessas mudanas. Os pontos de mudana de concavidade so chamados de pontos de inflexo. Atravs da derivada(segunda)podemosdeterminarosintervalosondeumafunotemconcavidadevoltada para cima ou para baixo e os pontos de inflexo. Estes conceitos so teis no esboo grfico de uma curva. Definio: Dizemos que uma funoftem concavidade voltada para cima (C.V.C) num intervalo ( ) b , ase f crescente neste intervalo. Em outras palavras, se o grfico da funo estiver acima de qualquer reta tangente. Figura 1 Definio: Dizemos que uma funoftem concavidade voltada para baixo (C.V.B) num intervalo ( ) b , ase f decrescente neste intervalo. Em outras palavras, se o grfico da funo estiver abaixo de qualquer reta tangente. Figura 2 Atravs do estudo do sinal da segunda derivada podemos determinar os intervalos onde uma funo tem concavidade voltada para cima ou para baixo. Vejamos a seguinte proposio. lvaro Fernandes71Proposio: Sejafuma funo contnua e derivvel at a segunda ordem no intervalo( ) b , a : a) Se( ) 0 x f >para todo( ) b , a x , entoftem concavidade voltada para cima em( ) b , a ; b) Se( ) 0 x f para todo( ) b , a x , ento( ) x f crescente em( ) b , a . Desta forma, o grfico deftem o aspecto do grfico da figura 1 anterior. De forma anloga prova-se o item b. Definio:Umponto( ) ( ) k f , k P dogrficodeumafunocontnuafchamadodepontode inflexo (P.I.) se ocorre uma mudana de concavidade na passagem por P. Figura 3 Figura 4 Paraverificaraexistnciadeumpontodeinflexo( ) ( ) k f , k P nogrficodeumafunof,basta verificar a mudana de sinal da segunda derivadana passagem por k. Observe simbolicamente como isto ocorre: Na figura 3 temos Na figura 4 temos Exemplo 48. Determineosintervalosondeafuno( )2 4x 4 x x f = temconcavidadevoltadaparacima,para baixo e os pontos de inflexo. lvaro Fernandes72Temos que( ) x 8 x 4 x f3 = e( ) 8 x 12 x f2 = . ( )32x32x32128x 0 8 x 12 0 x f2 2 < > = > > > ou . ( )32x3232128x 0 8 x 12 0 x f2 2< < = < < < . Assim,ftemC.V.C.nointervalo( ) ( ) + , 3 2 3 2 , etemC.V.B.em ( ) 3 2 , 3 2 . Os pontos de inflexo ocorrem nas abscissa 32x0 = e32x1 = . Assntotas horizontais e verticais Em algumas aplicaes prticas, encontramos grficos que se aproximam de uma reta. Estas retas so chamadas de assntotas. Vamos tratar mais detalhadamente das assntotas horizontais e verticais. lvaro Fernandes73Definio: A reta de equaok x = uma assntota vertical do grfico de uma funo( ) x f y = , se pelo menos uma das seguintes afirmaes for verdadeira: i)( ) + =+x f limk x ; ii)( ) + =x f limk x ; iii)( ) =+x f limk x ; iv)( ) =x f limk x . Exemplo 49 a) A reta de equao0 x = assntota vertical da funo( ) x ln y = , pois( ) =+x ln lim0 x. Observe o grfico da funo( ) x ln y = : b) A reta de equao1 x = assntota vertical da funo ( )21 xly= , pois ( )+ =21 x1 x1lim. Observe o grfico da funo ( )21 xly= : lvaro Fernandes74Definio:Aretadeequaok y = umaassntotahorizontaldogrficodeumafuno ( ) x f y = , se pelo menos uma das seguintes afirmaes for verdadeira: i)( ) k x f limx=+ ; ii)( ) k x f limx= . Exemplo 50 a) A reta de equao1 y = assntota horizontal da funo 22x 11 xy+= ,pois1x 11 xlim22xx=+ + ou. Observe o grfico da funo 22x 11 xy+= : b) A reta de equao0 y = assntota horizontal da funo ( )x x seny = ,pois ( )0x x senlimxx= + ou.Graficamentepodemosperceberqueasoscilaesvoreduzindoasuaamplitudeeogrficoda funo ( )x x seny =vai se aproximando da reta0 y = . Percebemos neste exemplo que a assintota horizontal toca o grfico da funo. lvaro Fernandes75Esboos de grficos Utilizandotodososresultadosdaanlisegrficadasfunes,podemosresumirnumatabelaos procedimentos para esboar o grfico de uma funo. PassosProcedimento 1oEncontrar o domnio da funo; 2oCalcular os pontos de interseo da funo com os eixos (quando no requer muito clculo); 3oCalcular os pontos crticos da funo; 4oDeterminar os intervalos de crescimento e decrescimento da funo; 5oEncontrar os pontos de mximos e mnimos relativos da funo; 6oDeterminar a concavidade e os pontos de inflexo; 7oDeterminar as assntotas horizontais e verticais (se existirem); 8oEsboar o grfico. Exemplo 51.Esboce o grfico da funo( )1 xxx f y2= =. 1o passo (Domnio): 1 x 1 x 1 x 0 1 x2 2 . Logo() { } 1 , 1 f D = . 2o passo (Pontos de interseo com os eixos): ( )( )= = == = =ponto mesmo O : ) (faa eixo o componto o temos Logo : ) (faa eixo o com. 0 , 0 . 0 y1 00y 0 x y. 0 , 0 . 0 x1 xx0 0 y x22 3o passo (Pontos crticos): ( )( ) ( )( ) ( )2222221 x1 x...1 xx 2 x 1 x 1x ' f = = = . ( )( )1 x 0 1 x 01 x1 x0 x ' f2 2222 = = = = .Noexistempontoscrticos, pois no existe xtal que1 x2 = . lvaro Fernandes764o passo (Intervalos de crescimento e decrescimento): ( )( )2221 x1 xx ' f = . Estudando o sinal da derivada... A funo decrescente{ } 1 , 1 x . 5o passo (Pontos de mximos e mnimos relativos): Como o sinal de( ) x ' fno muda ( sempre negativo), ento no existem extremos relativos paraf. 6o passo (Concavidade e pontos de inflexo): ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )322422 2221 x3 x x 2...1 xx 2 1 x 2 1 x 1 x x 2x ' ' f += = = . Estudando o sinal da segunda derivada... ftem C.V.C. ( ) ( ) + , 1 0 , 1 x . f tem C.V.B. ( ) ( ) 1 , 0 1 , x . Como1 x = e 1 x =no fazem parte do domnio da funof , ento o nico ponto de inflexo 0 x =pois' ' fmuda de sinal quando passa por ele. lvaro Fernandes777o passo (Assntotas horizontais e verticais): Vertical: ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

= = == +=+ = == +== = = = +=+ = = = += + + + + + + + +assntota. reta A assntota. reta A 1 x.012 011 x 1 xxlim1 xxlim.012 011 x 1 xxlim1 xxlim1 x.010 2 11 x 1 xxlim1 xxlim.010 2 11 x 1 xxlim1 xxlim1 x21 x1 x21 x1 x21 x1 x21 x Horizontal:assntota. reta A l) (LHospital) (LHospita0 y. 0x 21lim1 xxlim. 0x 21lim1 xxlimx2xx2x== = == = = + + 8o passo (Esboo do grfico): Reunindo todos o elementos calculados, podemos agora traar o grfico: lvaro Fernandes78Atividades (grupo 33) Pontos crticos. 1. Determinar os pontos crticos das seguintes funes, se existirem. a)() f x x = + 3 2. d)() f x e xx= . b)() f x x x = +23 8 .e)( ) ( ) 4 x x x f2 = . c) () f x x = 33. f)() f x x x = 4 123 2. Crescimento e decrescimento. 2. Determinar os intervalos nos quais as funes a seguir so crescentes ou decrescentes. a)() f x x = 2 1. e)() f x x ex=. . b)() f x x x = + + 3 6 72. f)() f x xx= + 1. c)() f x x x x = + +3 22 4 2 . g)() () ( ) | | f x x x x = + 2 2 0 2 cos sen , , . d)() f x ex=.h)( ) ( ) 1 x x x f2 = . Pontos de extremos relativos. 3. Encontrar os pontos de mximos e mnimos relativos das seguintes funes, se existirem. a)() f x x x = + +3 23 1. d)() f x x x = 5 255 3. b)() f x x x = 8 42 3. e)( ) ( ) ( ) 1 x 1 x x f + = . c)( ) ( ) ( ) 5 x 6 2 x 3 x x f2 3+ + = .f)() f x xex= . 4.Encontreospontosdemximosemnimosrelativosdafuno ( ) ( ) ( ), x 2 cos x sen 2 x f + = | | 2 , 0 x , usando o critrio da segunda derivada. lvaro Fernandes79Concavidade e ponto de inflexo. 5.Determinarosintervalosondeasfunestmconcavidadevoltadaparacima(C.V.C.)e concavidade voltada para baixo (C.V.B.). Determine tambm os pontos de inflexo (P.I.). a)() f x x x x = + +3 22 1. d)() ( ) f x x = 221 . b)() f x x x = + 3 4 64 3.e)() f x x = 51. c)() f x x x = 2 66