22 Vibra Livre Probl Autovalor
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1
22 - Sistemas com N GDL
Vibração livre
O problema de autovalor e autovetor
Ortogonalidade dos modos normais
LT.: 6.9 a 6.10
Problemas: 6.44 a 6.63
2
Vibração livreO modelo matemático de um sistema mecânico, em sua forma mais geral, em vibração livre sem amortecimento, é obtido fazendo a matriz amortecimento e
o vetor forçamento nulos na eq. (6.3):
)t(
Fx[k]x[c]x[m]
...
(6.3)
(6.55)
1 x n vetores são e , e n x n matrizes são e onde
..0xx[k][m]
A solução da eq. (6.55) pode ser obtida supondo soluções harmônicas
0x[k]x[m]
..
)tcos( Xx
onde é o vetor amplitude de dimensões n x 1 (vetor modal), é a freqüência natural e é o ângulo de fase inicial
X
3
Derivando duas vezes a equação acima e substituindo no modelo matemático, chegamos, após alguma manipulação algébrica, a
0X[m][k] 2 (6.61)
Não é qualquer valor de 2 que permite encontrar uma solução não trivial
para a eq. (6.61), mas apenas um conjunto seleto de n valores de 2, chamados autovalores
0X
A determinação desses autovalores é conhecida, em Álgebra Linear, como um Problema de Autovalor
Conforme já vimos, é uma freqüência natural e os vetores são os vetores modais, os quais representam fisicamente os modos naturais de
vibração
X
XA cada autovalor corresponde um vetor, denominado autovetor
O problema de achar, para cada autovalor, o autovetor correspondente, constitui, em Álgebra Linear, um Problema de Autovetor
4
Para obter soluções não triviais (soluções em que o vetor das amplitudes seja não-nulo), é necessário que o determinante da matriz da eq. (6.61) seja nulo:
02 [m][k] (6.63)
Conclusão: as freqüências naturais são as raízes quadradas dos autovalores, enquanto que os modos de vibração são os autovetores
Pré-multiplicando a eq. (6.63) pela inversa da matriz massa:
021 [I][k][m]
[k][mD 1]][
Definindo a matriz dinâmica [D] como
02 [I][D]
Portanto, determinar freqüências naturais e modos de vibração de um sistema mecânico corresponde a achar os autovalores e os autovetores da equação
matricial correspondente
5
A expansão do determinante acima conduz a um polinômio de grau n em 2
Se o GDL do sistema for grande, a solução desse polinômio torna-se inviável. Devemos, então, recorrer a um método
numérico computacional para achar as raízes desse polinômio, os quais estão disponíveis calculadoras científicas (HP 48 e 49) e
em vários softwares comerciais, tais como o MatLab, Maple, etc.
Após obtermos os valores de 2, podemos substituí-los na eq. (6.61) para encontrar os autovetores, os quais constituem os
modos naturais de vibração
Vamos ilustrar o método para um sistema com 3 GDL
6
Exemplo 6.10Achar as freqüências naturais e os modos de vibração do sistema da figura
Solução
Matriz massa:
100
010
001
m
m00
0m0
00m
m
Matriz rigidez:
110
121
012
k
kk0
kk2k
0kk2
k
Primeiro, vamos obter a matriz dinâmica para depois achar seus autovalores:
[k][mD 1]][
7
>> m=[1 0 0;0 1 0;0 0 1];>> inv(m)
ans =
1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000
Para inverter a matriz [m], vamos usar o MatLab:
Logo:
100
010
001
m
11m
110
121
012
100
010
001
m
k][][ 1 kmD
Podemos, novamente, usar o MatLab para efetuar a multiplicação matricial acima e obter a matriz dinâmica:
8
A seguir, usamos o determinante
0
100
010
001
110
121
012
m
k 2
0
m
k
m
k0
m
k
m
k2
m
k
0m
k
m
k2
2
2
2
0[I][D] 2
>> k=[2 -1 0;-1 2 -1;0 -1 1];>> inv(m)*k
ans =
2 -1 0 -1 2 -1 0 -1 1
110
121
012
m
k][DLogo:
9
Resolvendo o determinante, chegamos a uma equação cúbica em 2, a qual fornece os seguintes autovalores:
m
k2490,3
m
k5553,1
m
k19806,0
23
22
21
cujas raízes quadradas são as freqüências naturais:
m
k8025,1
m
k2471,1
m
k44504,0
3
2
1
10
Após obtermos as freqüências naturais, podemos substituí-las na eq. (6.61) para encontrar os autovetores, os quais são os modos naturais de vibração
0
0
0
X
X
X
mkk0
kmk2k
0kmk2
3
2
1
2
2
2
Substituindo inicialmente [k] e [m], obtemos
0X[m][k] 2 (6.61)
Substituindo 2 pelos autovalores obtidos, temos:
:m
k19806,0 Para 2
1
0
0
0
X
X
X
)m
k19806,0(mkk0
k)m
k19806,0(mk2k
0k)m
k19806,0(mk2
)1(3
)1(2
)1(1
1o modo
11
0
0
0
X
X
X
k19806,0kk0
kk19806,0k2k
0kk19806,0k2
)1(3
)1(2
)1(1
0X)k19806,0k(kX
0kXX)k19806,0k2(kX
0kXX)k19806,0k2(
)1(3
)1(2
)1(3
)1(2
)1(1
)1(2
)1(1
Podemos colocar as amplitudes das massas 2 e 3 em função da amplitude da massa 1 a partir da primeira e da terceira equação; a segunda equação ficará
automaticamente satisfeita:
0X80194,0X
0XX80194,1X
0XX80194,1
)1(3
)1(2
)1(3
)1(2
)1(1
)1(2
)1(1
Dividindo as 3 equações por k e simplificando:
12
)1(1
)1(1
)1(2)1(
3
)1(1
)1(2
X2470,280194,0
X80194,1
80194,0
XX
X80194,1X
Assim, o primeiro modo de vibração é dado por:
2470,2
8019,1
0,1
XX )1(1
)1(
Analogamente, podemos encontrar os segundo e terceiro modos de vibração:
8020,0
4450,0
0,1
XX )2(1
)2(
5544,0
2468,1
0,1
XX )3(1
)3(
Em geral, os valores das amplitudes da massa 1 nos 3 modos é arbitrada como unitária, de modo que podemos construir os diagramas dos modos:
13
14
Obs.: uma maneira muito mais rápida e eficaz de obter os autovalores e os autovetores pode ser feita através do MatLab, mediante o comando abaixo,
onde [D] é a matriz dinâmica:
>> [F,M]=eig(D)
F =
-0.3280 0.7370 -0.5910 -0.5910 0.3280 0.7370 -0.7370 -0.5910 -0.3280
M =
0.1981 0 0 0 1.5550 0 0 0 3.2470
A matriz [M] mostra os autovalores na diagonal
principal; extraindo as raízes quadradas, obtem-se as
freqüências naturais
A matriz [F] mostra os autovetores nas colunas; para
obtermos os modos de vibração normalizados, dividimos cada
coluna pelo valor da respectiva primeira linha
15
Ortogonalidade dos Modos NormaisConsideremos a i-ésima freqüência natural, i, e o seu correspondente
vetor modal,)i(
X
Evidentemente, a eq. (6.61) deve ser satisfeita, logo:
0X[m][k] 2
(6.61)
0X[m][k]
)i(2i
)i()i(2i
X[k]X[m] (6.69)
Considerando, agora, a j-ésima freqüência natural, j, e o seu correspondente
vetor modal, , podemos igualmente escrever)j(
X
)j(ij(2j
X[k]X[m] (6.70)
Pré-multiplicando as eqs. (6.69) e (6.70), respectivamente, por e , e levando em conta a simetria das matrizes [k] e [m]:
T)j(X
T)i(X
16
)j(T)i()i(T)j()i(T)j(2i
X[k]XX[k]XX[m]X (6.71)
)j(T)i()i(T)j(2j
)j(T)i(2j
X[k]XX[m]XX[m]X (6.72)
Simetria de [k]
Simetria de [m]
Subtraindo a eq. (6.72) da eq. (6.71): 0)()i(T)j(
2j
2i
X[m]X (6.73)
Como, em geral, i j, podemos escrever
ji ,0)i(T)j(
X[m]X (6.74)
Levando em conta as eqs. (6.74) e (6.71):
ji ,0)i(T)j(
X[k]X (6.75)
Conclusão: os vetores modais são ortogonais com relação às matrizes massa e rigidez
17
Quando i = j, os membros esquerdos das eqs. (6.74) e (6.75) não são nulos, mas fornecem os elementos das matrizes massa e rigidez generalizadas,
correspondentes ao i-ésimo modo:
n1,2,...,i ,M)i(T)i(
ii X[m]X (6.76)
n1,2,...,i ,K)i(T)i(
ii X[k]X (6.77)
Eqs. (6.76) e (6.77) na forma matricial:
XmXM T
nn
22
11
M0
...
M
0M
(6.78)
(6.79) XKXK T
nn
22
11
K0
...
K
0K
18
onde [X] é a chamada matriz modal, na qual a i-ésima coluna corresponde ao i-ésimo vetor modal:
)n()2()1(
... XXXX (6.80)
Em muitos casos, normalizamos os vetores modais de tal modo que a matriz [M] seja igual à matriz identidade [I], ou seja:
n1,2,...,i ,1)i(T)j(
X[m]X (6.81)
Nesses casos, a matriz [K] reduz-se a:
XKXK T
2n
22
21
0
...
0
(6.82)
19
Ortonormalização dos AutovetoresDiz-se que um autovetor é ortonormal em relação à matriz massa [m] quando a
seguinte relação é satisfeita:
Exemplo 6.11
1)i(T)i(
X[m]X
Ortonormalizar os autovetores do Exemplo 6.10 em relação à matriz massa
Solução
Do Exemplo 6.10:
Matriz massa:
100
010
001
mm
20
2470,2
8019,1
0,1
XX )1(1
)1(
8020,0
4450,0
0,1
XX )2(1
)2(
5544,0
2468,1
0,1
XX )3(1
)3(
Autovetores:
1)i(T)i(
X[m]X
i = 1 1
2470,2
8019,1
0,1
100
010
001
m2470,28019,10,1X )1(1
1)2470,28019,10,1()X(m 2222)1(1
m
3280,0X )1(
1
Analogamente, encontraremos:
i = 2m
7370,0X )2(
1 i = 3m
5911,0X )2(
1