1 Aluno de Graduao, Universidade Federal do Cariri, Juazeiro do Norte, Cear, lucas_daniel_rda@hotmail.com 2 Aluno de Graduao, Universidade Federal do Cariri, Juazeiro do Norte, Cear, newtonmaciel@cariri.ufc.br 3 Professor, Universidade Federal do Cariri, Juazeiro do Norte, Cear, fjpalmeida@yahoo.com.br

FLEP: FLAMBAGEM LINEAR ELSTICA DE PRTICOS

PLANOS - UMA FERRAMENTA DIDTICA PARA AS

DISCIPLINAS DE ESTRUTURAS

Lucas Daniel Rodrigues de Araujo

1 Newton de Castro Lopes Maciel2 Francisco Jos Pereira de Almeida

3

RESUMO: Devido evoluo da engenharia, torna-se necessrio o uso de ferramentas

computacionais que auxiliem nas suas diversas atividades. Atualmente j se encontram

vrios softwares comerciais que promovem grande agilidade na resoluo de diversos

problemas. O programa demonstrativo Flambagem Linear Elstica de Prticos Planos

(FLEP), calcula os deslocamentos nodais, as reaes de apoio, os esforos de

extremidade de elemento e a carga de flambagem linear elstica de prticos planos

submetidos a vrios tipos de aes externas, sendo estes, clculos fundamentais para a

anlise de uma estrutura. Admite ainda a possibilidade de insero de elementos

submetidos protenso, cujas geometrias podem ser lineares ou parablicas. O software

apresenta como um de seus diferenciais ter sido elaborado como ferramenta didtica

para as disciplinas de Estruturas do curso de Engenharia Civil da Universidade Federal

do Cariri, feito pelo professor Francisco Jos Pereira de Almeida. Espera-se que o programa possa ser utilizado para entender o comportamento de estruturas diante dos

diversos tipos de solicitaes (cargas externas, variaes de temperaturas, cargas de

protenso).

Palavraschave: flambagem; matriz de rigidez; mecnica computacional; prticos

INTRODUO

O programa utiliza o Mtodo da Rigidez que consiste essencialmente na

montagem e resoluo de um sistema de equaes lineares de equilbrio, onde as

incgnitas primrias do problema so os deslocamentos generalizados (ou rotaes angulares) nas direes dos graus de liberdade adotados para a estrutura. Nesse sistema

de equaes, a matriz dos coeficientes formada pelos coeficientes de rigidez da

estrutura nas direes dos graus de liberdade, e o vetor dos termos independentes

formado pelo carregamento nodal combinado (cargas nodais aplicadas diretamente nas

direes dos graus de liberdade, somadas ao carregamento nodal equivalente); assim a

matriz dos coeficientes do sistema de equaes a prpria matriz de rigidez da

estrutura. Esta por sua vez composta, adequadamente, pelas somas dos coeficientes de

rigidez dos elementos estruturais. Obtidos os deslocamentos calculam-se os esforos de extremidade de cada elemento estrutural mediante a superposio de efeitos

devidos a e s aes de engastamento perfeito.

PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

Para a comprovao do real potencial do software FLEP, analisaremos atravs

de um estudo de caso uma estrutura de dois pilares com aes nodais e sem considerar o

peso prprio da estrutura, com diferentes situaes de apoio e implantando 4, 6, 8, 10 e

12 ns; comparando seus resultados das cargas de flambagem com os valores obtidos

atravs da teoria clssica. Escolhemos a situao de 4 ns para representar a rotina de

insero de dados que o programa exige. Os passos seguidos para o primeiro exemplo

servem de modelo para o segundo alterando-se as condies de apoio.

Como procedimento padro para o uso desta ferramenta, devemos informar

alguns dados relativos a geometria da estrutura, cargas aplicadas e apoios escolhidos,

assim como a insero das caractersticas dos materiais e das sees da estrutura.

Inicialmente, clicando no menu MATERIAIS, define-se o nmero de materiais a

serem utilizados na estrutura. Posteriormente inserem-se os dados referentes aos

materiais; Modulo de Young (E), coeficiente de dilatao trmica (ALFA), peso

especfico(GAMA) e tenso de escoamento (FIGURA 1a) . No referido caso foi

utilizado apenas um tipo de material, sendo este o Ao. Como no ser considerado o

peso prprio, assim como a dilatao trmica da estrutura utilizaremos GAMA e ALFA

iguais zero.

Depois de introduzidos os dados dos materiais, no menu SEES, deve-se

informar o nmero, tipo e dimenses das sees presentes na estrutura. Para efeitos de

simplificao escolheu-se a seo retangular, e com mesmas dimenses, para todos os

elementos. A partir destes, calcula-se todos os dados geomtricos das sees necessrios

ao estudo mecnico do pilar, como rea, Segundo Momento de Inrcia, e a Distncia do

centroide da seo at a Superfcie da pea (FIGURA 1b).

Figura 1 - Janelas da configurao das barras

a) Propriedades dos Materiais

b) Sees Transversais

Para se definir a geometria da estrutura, deve-se informar a quantidade e

localizao dos ns em coordenadas cartesianas, no boto COORDENADAS. Para o

exemplo, enumerou-se os ns de 1 a 4 (FIGURA 2a).

Com a concluso do procedimento anterior, deve-se identificar os elementos da

estrutura, nomeando-os e definindo seus respectivos incio e fim, assim como as

rtulas, se existirem. Para esta etapa utiliza-se a opo CONECTIVIDADE. No caso,

foram implementados trs elementos, sem nenhuma rtula (FIGURA 2b).

Figura 2 - Janelas de configurao dos elementos e dos ns

a) Coordenadas

b) Conectividade

Com a estrutura definida, definem-se, no item APOIO, as condies de apoio da

estrutura. Para o caso, foram postos no primeiro exemplo um engaste no n 1 e um

apoio de primeiro gnero no n 4; no segundo exemplo colocou-se um apoio do

segundo gnero no n 1 e um apoio tambm de primeiro gnero no n 4 (FIGURA 3a).

Definidos os apoios, colocam-se os carregamentos nos ns e elementos,

lembrando que para cada tipo de carga existir um submenu, no menu CARGAS. Em

ambos os exemplos utilizou-se uma carga nodal vertical unitria para baixo sobre o n 4

(FIGURA 3b).

Figura 3 - Janelas de escolha dos apoios e insero das foras

a) Apoios b) Carregamentos

Finalmente, ativa-se a anlise pelo boto CALCULAR e ento ser gerado um

relatrio e os diagramas, de esforos normais, de esforos cortantes, momentos fletores

e a configurao deformada da estrutura. Para ativar a visualizao do modo de

flambagem, deve-se previamente calcular a Carga Critica (Carga de Colapso) no boto

Pcr. Ao final de todo o processo, chegamos aos resultados mostrados na FIGURA 4.

Figura 4 - Modo de Flambagem (Exemplo 1 e 2 Respectivamente)

RESULTADOS E DISCUSSES

Como se pode verificar pelos modos de flambagem, as estruturas se comportam

de maneiras diferentes, dependendo das condies de apoio. Segundo o estudo de

flambagem de Colunas, a Carga Critica representada pela formulao matemtica

seguinte:

( ) (1) onde:

E = o Modulo de Young do material;

I = o menor momento de inercia para

rea da seo transversal da coluna;

L = o comprimento da coluna;

K = o fator de comprimento efetivo

Atravs de estudos tericos, sabe-se que K varia de acordo com as condies de

apoios. No caso estudado sabe-se da teoria clssica que no exemplo 1, K igual a 0.7;

no segundo, K igual a 1. Pela manipulao da frmula, o Pcr do exemplo 2 deve ser

aproximadamente igual a duas vezes o valor do Pcr do exemplo 1. Utilizando-se ainda

da teoria clssica temos os seguintes resultados:

Tabela 1 - Cargas de Flambagem tericas

Pcr 1 [Terico] (MN) 14.92003

Pcr 2 [Terico] (MN) 7.29254

Utilizando os valores obtidos pelo software temos:

Tabela 2 - Cargas de Flambagem e Erros Percentuais prticos

N de Ns 4 6 8 10 12

Pcr 1[Prtico] (MN) 15.04418 14.96536 14.95587 14.95373 14.95302

Erro (%) 0.83210 0.30381 0.24021 0.22587 0.22111

Pcr 2 [Prtico] (MN) 7.32060 7.31105 7.30943 7.30918 7.30906

Erro (%) 0.38477 0.25382 0.23160 0.22817 0.22653

Grfico 1 - Erro Percentual em funo do nmero de ns

Pode-se perceber pelo Grfico 1 que a diferena entre os resultados tericos e os

obtidos pelo programa diminuem medida que aumenta-se o nmero de elementos para

discretizao da estrutura. As diferenas observadas devem-se ao fato da utilizao de

um mtodo numrico para a resoluo do problema.

CONSIDERAES FINAIS

Esse trabalho demonstra a forma de utilizao de um programa para anlise de

instabilidade elstica de estruturas de prticos planos, servindo como ferramenta

didtica para visualizar os modos de flambagem elsticas de estruturas. Serve tambm

para entender o funcionamento de estruturas submetidas a diversos tipos de solicitaes

e seus modos de colapso.

Atravs deste trabalho, pode-se verificar que o programa FLEP pode contribuir

com velocidade e preciso na verificao e analise de estruturas de prticos planos. O

programa deve ser utilizado como ferramenta didtica para auxiliar os estudos.

AGRADECIMENTOS

Agradecemos Universidade Federal do Cariri, e ao professor Francisco Jos

Pereira de Almeida pela oportunidade de representar um de seus trabalhos, que nos veio

a acrescentar muito conhecimento.

REFERNCIAS

HIBBELER, Russel Charles. Resistncia dos Materiais. 7 ed. So Paulo: Pearson

Prentice Hall , 2010 . 627 p.

SORIANO, Humberto Lima e LIMA, Silvio de Souza. Anlise de Estruturas Mtodos das Foras e Mtodo dos Deslocamentos. 2 ed. Rio de Janeiro: Editora

Cincia Moderna Ltda., 2006.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 2 4 6 8 10 12 14

Erro

(%

)

Nmero de Ns

Exemplo 1

Exemplo 2