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RACIOCÍNIO LÓGICO Muitas pessoas gostam de falar ou julgar que possuem e sabem usar o raciocínio lógico, porém, quando questionadas direta ou indiretamente, perdem, esta linha de raciocínio, pois este depende de inúmeros fatores para completá-lo, tais como: §calma, §conhecimento, §vivência, §versatilidade, §experiência, §criatividade, §ponderação, §responsabilidade, entre outros. Ao nosso ver, para se usar a lógica é necessário ter domínio sobre o pensamento, bem como, saber pensar, ou seja, possuir a "Arte de Pensar". Alguns dizem que é a seqüência coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas ou fatos, ou até mesmo, que é a maneira de raciocínio particular que cabe a um indivíduo ou a um grupo. Existem outras definições que expressam o verdadeiro raciocínio lógico aos profissionais de processamento de dados, tais como: um esquema sistemático que define as interações de sinais no equipamento automático do processamento de dados, ou o computador científico com o critério e princípios formais de raciocínio e pensamento. Para concluir todas estas definições, podemos dizer que lógica é a ciência que estuda as leis e critérios de validade que regem o pensamento e a demonstração, ou seja, ciência dos princípios formais do raciocínio. Usar a lógica é um fator a ser considerado por todos, principalmente pelos profissionais de informática (programadores, analistas de sistemas e suporte), têm como responsabilidade dentro das organizações, solucionar problemas e atingir os objetivos apresentados por seus usuários com eficiência e eficácia, utilizando recursos computacionais e/ou automatizados. Saber lidar com problemas de ordem administrativa, de controle, de planejamento e de raciocínio. Porém, devemos lembrá-los que não ensinamos ninguém a pensar, pois todas as pessoas, normais possuem este "Dom", onde o nosso interesse é mostrar como desenvolver e aperfeiçoar melhor esta técnica, lembrando que para isto, você deverá ser persistente e praticá-la constantemente, chegando à exaustão sempre que julgar necessário. Ao procurarmos a solução de um problema quando dispomos de dados como um ponto de partida e temos um objetivo a estimularmos, mas não sabemos como chegar a esse objetivo temos um problema. Se soubéssemos não haveria problema. É necessário, portanto, que comece por explorar as possibilidades, por experimentar hipóteses, voltar atrás num caminho e tentar outro. É preciso buscar idéias que se conformem à natureza do problema, rejeitar aqueles que não se ajustam a estrutura total da questão e organizar-se. Mesmo assim, é impossível ter certeza de que escolheu o melhor caminho. O pensamento tende a ir e vir quando se trata de resolver problemas difíceis. Mas se depois de examinarmos os dados chegamos a uma conclusão que aceitamos como certa concluímos que estivemos raciocinando. Se a conclusão decorre dos dados, o raciocínio é dito lógico. Página: 1 de 196

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Muitas pessoas gostam de falar ou julgar que possuem e sabem usar o raciocínio lógico, porém,quando questionadas direta ou indiretamente, perdem, esta linha de raciocínio, pois este depende deinúmeros fatores para completá-lo, tais como: §calma, §conhecimento, §vivência, §versatilidade, §experiência, §criatividade, §ponderação, §responsabilidade, entre outros.

Ao nosso ver, para se usar a lógica é necessário ter domínio sobre o pensamento, bem como, saberpensar, ou seja, possuir a "Arte de Pensar". Alguns dizem que é a seqüência coerente, regular enecessária de acontecimentos, de coisas ou fatos, ou até mesmo, que é a maneira de raciocínioparticular que cabe a um indivíduo ou a um grupo. Existem outras definições que expressam o verdadeiroraciocínio lógico aos profissionais de processamento de dados, tais como: um esquema sistemático quedefine as interações de sinais no equipamento automático do processamento de dados, ou o computadorcientífico com o critério e princípios formais de raciocínio e pensamento.

Para concluir todas estas definições, podemos dizer que lógica é a ciência que estuda as leis e critériosde validade que regem o pensamento e a demonstração, ou seja, ciência dos princípios formais doraciocínio.

Usar a lógica é um fator a ser considerado por todos, principalmente pelos profissionais de informática(programadores, analistas de sistemas e suporte), têm como responsabilidade dentro das organizações,solucionar problemas e atingir os objetivos apresentados por seus usuários com eficiência e eficácia,utilizando recursos computacionais e/ou automatizados. Saber lidar com problemas de ordemadministrativa, de controle, de planejamento e de raciocínio. Porém, devemos lembrá-los que nãoensinamos ninguém a pensar, pois todas as pessoas, normais possuem este "Dom", onde o nossointeresse é mostrar como desenvolver e aperfeiçoar melhor esta técnica, lembrando que para isto, vocêdeverá ser persistente e praticá-la constantemente, chegando à exaustão sempre que julgar necessário.

Ao procurarmos a solução de um problema quando dispomos de dados como um ponto de partida etemos um objetivo a estimularmos, mas não sabemos como chegar a esse objetivo temos um problema.Se soubéssemos não haveria problema.

É necessário, portanto, que comece por explorar as possibilidades, por experimentar hipóteses, voltaratrás num caminho e tentar outro. É preciso buscar idéias que se conformem à natureza do problema,rejeitar aqueles que não se ajustam a estrutura total da questão e organizar-se.

Mesmo assim, é impossível ter certeza de que escolheu o melhor caminho. O pensamento tende a ir e virquando se trata de resolver problemas difíceis.

Mas se depois de examinarmos os dados chegamos a uma conclusão que aceitamos como certaconcluímos que estivemos raciocinando.

Se a conclusão decorre dos dados, o raciocínio é dito lógico.

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Importante!

A prova deverá auferir do candidato, se o mesmo entende a estrutura lógica de relações arbitrárias entrepessoas, lugares, coisas, ou eventos fictícios.

Entende-se por estruturas lógicas as que são formadas pela presença de proposições ou sentençaslógicas (são aquelas frases que apresentam sentido completo, como por exemplo: Madalena é culpada).

Observe que a estrutura lógica vai ligar relações arbitrárias e, neste caso, nada deverá ser levado para aprova a não ser os conhecimentos de Lógica propriamente dita, os concursandos muitas vezes caem emerros como:

Se Luiza foi à praia então Rui foi pescar, ora eu sou muito amigo de uma Luiza e de um Rui e ambosdetestam ir à praia ou mesmo pescar, auto induzindo respostas absurdas.

Dessa forma, as relações são arbitrárias, ou seja, não importa se você conhece Luiza, Madalena ou Rui.Não importa o seu conhecimento sobre as proposições que formam a frase, na realidade poucoimportam se as proposições são verdadeiras ou falsas. Quero dizer que o seu conhecimento sobre afrase deverá ser arbitrário, vamos ver através de outro exemplo:

Todo cavalo é um animal azulTodo animal azul é árvoreLogo Todo cavalo é árvore

Observe que podemos dizer que tem-se acima um argumento lógico, formado por três proposiçõescategóricas (estas têm a presença das palavras Todo, Algum e Nenhum), as duas primeiras serãodenominadas premissas e a terceira é a conclusão.

Observe que as três proposições são totalmente falsas, mas é possível comprovar que a conclusão éuma conseqüência lógica das premissas, ou seja, que se considerar as premissas como verdadeiras, aconclusão será, por conseqüência, verdadeira, e este argumento será considerado válido logicamente.

A arbitrariedade é tanta que na hora da prova pode ser interessante substituir as proposições por letras,veja:

Todo A é BTodo B é CLogo Todo A é C

A arbitrariedade ainda se relaciona a pessoas, lugares, coisas, ou eventos fictícios.Cobra-se nesse tipo de prova o ato de deduzir novas informações das relações fornecidas, ou seja, oaspecto da Dedução Lógica poderá ser cobrado de forma a resolver as questões.

Sucesso e bons estudos.

Apostilas Cds Objetiva

Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos oueventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e

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avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelasrelações.

INTRODUÇÃO AO RACIOCÍNIO LÓGICO

Lógica é a ciência que trata dos princípios válidos do raciocínio e da argumentação. Seu estudo trata dasformas do pensamento em geral e das operações intelectuais que visam à determinação do que éverdadeiro ou não, ou seja, um encadeamento coerente de alguma coisa que obedece a certasconvenções ou regras. Assim, o estudo da lógica é um esforço no sentido de determinar as condiçõesque permitem tirar de determinadas proposições (ponto ou idéia de que se parte para estruturar um

raciocínio), também chamadas de premissas, uma conclusão delas derivada.

Conceitos Básicos sobre as Estruturas Lógicas

PROPOSIÇÕES

Chamaremos de proposição ou sentença, a todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem umpensamento de sentido completo.Sendo assim, vejamos os exemplos:a) O Instituto do Coração fica em São Paulo.b) O Brasil é um País da América do Sul.c) A Polícia Federal pertence ao poder judiciário.

Evidente que você já percebeu que as proposições podem assumir os valores falsos ou verdadeiros,pois elas expressam a descrição de uma realidade, e também observamos que uma proposiçãorepresenta uma informação enunciada por uma oração, e, portanto, pode ser expressa por distintasorações, tais como:“Pedro é maior que Carlos”, ou podemos expressar também por “Carlos é menor que Pedro”.

Temos vários tipos de sentenças: · Declarativas · Interrogativas · Exclamativas · Imperativas

Leis do Pensamento

Vejamos algumas leis do pensamento para que possamos desenvolver corretamente o nosso pensar.

· Princípio da Identidade. Se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira. · Princípio de Não-Contradição. Uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

· Princípio do Terceiro Excluído. Uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa , não havendooutra alternativa.

· Sentenças Abertas. Quando substituímos numa proposição alguns componentes por variáveis,teremos uma sentença aberta.

VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES

Valor lógico é a classificação da proposição em verdadeiro (V) ou falso (F), pelos princípios danão-contradição e do terceiro excluído. Sendo assim, a classificação é única, ou seja, a proposição sópode ser verdadeira ou falsa.

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Exemplos de valores lógicos: r: O número 2 é primo. (Verdadeiro) s: Marte é o planeta vermelho. (Verdadeiro) t: No Brasil, fala-se espanhol. (Falso) u: Toda ave voa. (Falso) v: O número 3 é par. (Falso) x: O número 7 é primo. (Verdadeiro) z: O número 7 é ímpar. (Verdadeiro)

Somente às sentenças declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorrequando a sentença é, respectivamente, confirmada ou negada. De fato, não se pode atribuir um valor deverdadeiro ou falso às demais formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e outras,embora elas também expressem juízos.

São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas:O número 6 é par.O número 15 não é primo.Todos os homens são mortais.Nenhum porco espinho sabe ler.Alguns canários não sabem cantar.Se você estudar bastante, então aprenderá tudo.Eu falo inglês e francês.Marlene quer um sapatinho novo ou uma boneca.

Não são proposições:Qual é o seu nome?Preste atenção ao sinal.Caramba!

Proposição Simples

Uma proposição é dita proposição simples ou proposição atômica quando não contém qualquer outraproposição como sua componente. Isso significa que não é possível encontrar como parte de umaproposição simples alguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-la em partes menorestais que alguma delas seja uma nova proposição.

Exemplo:A sentença “Carla é irmã de Marcelo” é uma proposição simples, pois não é possível identificar comoparte dela qualquer outra proposição diferente. Se tentarmos separá-la em duas ou mais partes menoresnenhuma delas será uma proposição nova.

Proposição Composta

Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita proposição compostaou proposição molecular. Isso quer dizer que uma proposição é composta quando se pode extrair comoparte dela, uma nova proposição.

SENTENÇAS ABERTAS

Sentenças matemáticas abertas ou simplesmente sentenças abertas são expressões que não podemosidentificar como verdadeiras ou falsas. Por exemplo: x + 2 = 9

Essa expressão pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor da letra x.

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Se x for igual a 7, a sentença é verdadeira, pois 7+2=9 Se x for igual a 3, a sentença é falsa, pois 3 + 2 não é igual a 9 (3 + 2 ≠ 9)

Em sentenças abertas sempre temos algum valor desconhecido, que é representado por uma letra doalfabeto. Pode-se colocar qualquer letra, mas as mais usadas pelos matemáticos são: x, y e z.

Veja outros exemplos de sentenças abertas: x + 3 ≠ 6 2y -1 < - 7

Pode-se, também, ter uma sentença aberta como proposição, porém nesse caso não é possível atribuirum valor lógico. x é um y brasileiro.

Nessa proposição b, o valor lógico só pode ser encontrado se soubermos quem é x e y (variáveis livres).No caso de x igual a Roberto Carlos e y igual a cantor, a proposição será verdadeira.

Já no caso de x igual a Frank Sinatra e y igual a cantor, a proposição será falsa.

Portanto, é muito comum na resolução de problemas matemáticos, trocar-se alguns nomes por variáveis.

Estude os valores lógicos da sentença aberta: "Se 10x - 3 = 27 então x2 + 10x = 39"

Resolução: Equação do primeiro grau: As equações do primeiro grau possuem uma única solução:10x - 3 = 27 10x = 27 + 3 10x = 30 x = 30 10 x = 3

CONECTIVOS LÓGICOS

Chama-se conectivo a algumas palavras ou frases que em lógica são usadas para formarem proposiçõescompostas. Veja alguns conectivos:

· A negação não cujo símbolo é ~.

· A disjunção ou cujo símbolo é v.

· A conjunção e cujo símbolo é ̂

· O condicional se,....., então, cujo símbolo é -- >.

· O bicondicional se, e somente se, cujo símbolo é < - >.

Exemplo:A sentença “Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y” é uma proposiçãocomposta na qual se pode observar alguns conectivos lógicos (“não”, “se ... então” e “ou”) que estãoagindo sobre as proposições simples “x é maior que y”, “x é igual a y” e “x é menor que y”.

Uma propriedade fundamental das proposições compostas que usam conectivos lógicos é que o seuvalor lógico (verdadeiro ou falso) fica completamente determinado pelo valor lógico de cada proposiçãocomponente e pela forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados.

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As proposições compostas podem receber denominações especiais, conforme o conectivo lógico usadopara ligar as proposições componentes.

Conjunção: A e B

Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejamligadas pelo conectivo “e”.A conjunção A e B pode ser representada simbolicamente como: A ^ B

Exemplo:Dadas as proposições simples:A: Alberto fala espanhol.B: Alberto é universitário.

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a conjunção ”A^ B” corresponderá à interseção do conjunto A com o conjunto B. A ∩ B.

Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem forem verdadeiras,Ou seja, a conjunção ”A ^B” é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é verdadeira também. Por isso dizemos que aconjunção exige a simultaneidade de condições.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da conjunção “A e B” paracada um dos valores que A e B podem assumir.

Disjunção: A ou B

Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejamligadas pelo conectivo “ou”.A disjunção A ou B pode ser representada simbolicamente como: A v B

Exemplo:Dadas as proposições simples:A: Alberto fala espanhol.B: Alberto é universitário.

A disjunção “A ou B” pode ser escrita como:A v B: Alberto fala espanhol ou é universitário.

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a disjunção “A vB” corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B.

Uma disjunção é falsa somente quando as duas proposições que a compõem forem falsas. Ou seja, adisjunção “A ou B” é falsa somente quando A é falsa e B é falsa também. Mas se A for verdadeira ou se

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B for verdadeira ou mesmo se ambas, A e B, forem verdadeiras, então a disjunção será verdadeira. Porisso dizemos que, ao contrário da conjunção, a disjunção não necessita da simultaneidade de condiçõespara ser verdadeira, bastando que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjunção “A ou B” paracada um dos valores que A e B podem assumir.

Condicional: Se A então B

Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejamligadas pelo conectivo “Se ... então” ou por uma de suas formas equivalentes.

A proposição condicional “Se A, então B” pode ser representada simbolicamente como:

Exemplo:Dadas as proposições simples:A: José é alagoano.B: José é brasileiro.

A condicional “Se A, então B” pode ser escrita como:A → B: Se José é alagoano, então José é brasileiro.

Na proposição condicional “Se A, então B” a proposição A, que é anunciada pelo uso da conjunção “se”,é denominada condição ou antecedente enquanto a proposição B, apontada pelo advérbio “então” édenominada conclusão ou conseqüente.As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de “Se A, então B”:

Se A, B.B, se A.

Todo A é B.A implica B.

A somente se B.A é suficiente para B.B é necessário para A.

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposiçãocondicional "Se A então B" corresponderá à inclusão do conjunto A no conjunto B (A está contido emB):

Uma condicional “Se A então B” é falsa somente quando a condição A é verdadeira e a conclusão B éfalsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa proposição condicional, aúnica situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa.

Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição condicional “SeA então B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

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Bicondicional: A se e somente se B

Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer queestejam ligadas pelo conectivo “se e somente se”.A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser representada simbolicamente

como:

Exemplo:Dadas as proposições simples:A: Adalberto é meu tio.B: Adalberto é irmão de um de meus pais.

A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser escrita como:A ↔B: Adalberto é meu tio se e somente se Adalberto é irmão de um de meus pais.Como o próprio nome e símbolo sugerem, uma proposição bicondicional “A se e somente se B” equivaleà proposição composta “se A então B”.

Podem-se empregar também como equivalentes de “A se e somente se B” as seguintes expressões:A se e só se B.

Todo A é B e todo B é A.Todo A é B e reciprocamente.

Se A então B e reciprocamente.A somente se B e B somente se A.A é necessário e suficiente para B.

A é suficiente para B e B é suficiente para A.B é necessário para A e A é necessário para B.

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposiçãobicondicional “A se e somente se B” corresponderá à igualdade dos conjuntos A e B.

A proposição bicondicional “A se e somente se B” é verdadeira somente quando A e B têm o mesmovalor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando A e B têm valoreslógicos contrários.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposição bicondicional“A se e somente se B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

Negação: Não A

Dada uma proposição qualquer A denominamos negação de A à proposição composta que se obtém apartir da proposição A acrescida do conectivo lógico “não” ou de outro equivalente.

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A negação “não A” pode ser representada simbolicamente como: ~A

Podem-se empregar, também, como equivalentes de “não A” as seguintes expressões:Não é verdade que A.

É falso que A.

Se a proposição A for representada como conjunto através de um diagrama, a negação “não A”corresponderá ao conjunto complementar de A.

Uma proposição A e sua negação “não A” terão sempre valores lógicos opostos.Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da negação “não A” paracada um dos valores que A pode assumir.

A TABELA-VERDADE

Da mesma forma que as proposições simples podem ser verdadeiras ou falsas, as proposiçõescompostas podem também ser verdadeiras ou falsas. O valor-verdade de uma expressão que representauma proposição composta depende dos valores-verdade das subexpressões que a compõem e tambéma forma pela qual elas foram compostas.

As tabelas-verdade explicitam a relação entre os valores-verdade de uma expressão composta emtermos dos valores-verdade das subexpressões e variáveis que a compõem.

Na tabela abaixo, encontra-se todos os valores lógicos possíveis de uma proposição compostacorrespondente das proposições simples abaixo: p: Claudio é estudioso. q: Ele passará no concurso.

TEOREMA DO NÚMERO DE LINHA DA TABELA-VERDADE

A tabela-verdade lista todas as possíveis combinações de valores-verdade V e F para as variáveisenvolvidas na expressão cujo valor lógico deseja-se deduzir. A tabela-verdade de uma proposiçãocomposta com n proposições simples componentes contém linhas. Ou seja, cada proposição simplestem dois valores V ou F, que se excluem. Para n proposição simples (atômicas) distintas, há tantaspossibilidades quantos são os arranjos com repetição de (V e F) elementos n a n. Segue-se que onúmero de linhas da tabela-verdade é . Assim para duas proposições são 4 linhas; para três proposiçõessão 8; etc.

Então, para se construir uma tabela-verdade procede-se da seguinte maneira:1) Determina-se o número de linhas da tabela-verdade que se quer construir;

2} Observa-se a procedência entre os conectivos, isto é, determina-se a forma das proposições queocorrem no problema.

3) Aplicam-se as definições das proposições lógicas que o problema exigir.

OPERAÇÕES SOBRE AS PROPOSIÇÕES E SUA TABELA-VERDADE

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Uma série de operações é realizada quando so analisam as proposições e seus respectivos conectivos.

a) Negação ( ~)

A negação de uma proposição p, indicada por ~p (Iê--se: "não p) é, por definição, a proposição que éverdadeira ou falsa conforme p é falsa ou verdadeira, de maneira que se p é verdade então ~p é falso,e vice-versa. Os possíveis valores lógicos para a negação são dados pela tabela-verdade abaixo:

p: Antonio é estudioso. ~p: Antonio não é estudioso.

b) Conjunção ( ^ ) A conjunção de duas proposições p e q, indicada por p /\ q (lê-se: "p e q") é, por definição, a proposiçãoque é verdadeira só quando o forem as proposições componentes. A tabela-verdade para a conjunção deduas proposições é dada a seguir:

c) Disjunção ( v ) A disjunção de duas proposições p e q, indicada por p v q (lê-se: "p ou q"), é, por definição, a proposiçãoque é verdadeira sempre que pelo menos uma das proposições componentes o for.A tabela-verdade para a disjunção de duas proposições é dada a seguir:

p v q: Antonio é estudioso ou ele passará no concurso.

d) Disjunção exclusiva ( v )

A disjunção de duas proposições p e q, indicada por p v q (lê-se: "ou p ou q", mas não ambos), é, pordefinição, a proposição que é verdadeira sempre que a outra for falsa. A tabela verdade para a disjunção exclusiva de duas proposições é dada a seguir.

p v q ; ou Antonio é estudioso ou ele passará no concurso (mas não ambos).

e) Condicional ( → )

A proposição condicional, indicada por p → q (lê-se: "Se p então q") é, por definição, a proposição que éfalsa quando p é verdadeira e q falsa, mas ela é verdadeira nos demais casos. A tabela-verdade para aproposição condicional é dada a seguir:

p → q: Se Antonio é estudioso, então ele passará no concurso.

f) Bicondicional (p ↔q )

A proposição bicondicional, indicada por p ↔q (lê-se: "p se e somente se q") é, por definição, aproposição que é verdadeira somente quando p e q têm o mesmo valor lógico. A tabela-verdade para aproposição bicondicional é dada a seguir:

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p ↔q: Antonio é estudioso se e somente se ele passar no concurso.Ou seja, p é condição necessária e suficiente para q.

TAUTOLOGIA

A palavra Tautologia é formada por 2 radicais gregos: taut (o) – o que significa “o mesmo” e -logia quesignifica “o que diz a mesma coisa já dita”. Para a lógica, a Tautologia é uma proposição analítica quepermanece sempre verdadeira, uma vez que o atributo é uma repetição do sujeito, ou seja, o uso depalavras diferentes para expressar uma mesma idéia; redundância, pleonasmo.

Exemplo: O sal é salgado

Uma proposição composta formada pelas proposições A, B, C, ... é uma tautologia se ela for sempreverdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C, ... que a compõem.

Exemplo:A proposição “Se (A e B) então (A ou B)” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira,independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

CONTRADIÇÃO

A contradição é uma relação de incompatibilidade entre duas proposições que não podem sersimultaneamente verdadeiras nem simultaneamente falsas, por apresentarem o mesmo sujeito e omesmo predicado, mas diferirem ao mesmo tempo em quantidade e qualidade.

Exemplo: Todos os homens são mortais e alguns homens não são mortais.

Há uma relação de incompatibilidade entre dois termos em que a afirmação de um implica a negação dooutro e reciprocamente.

Uma proposição composta P (p, q, r, ...) é uma contradição se P (p, q, r, ... ) tem valor lógico F quaisquerque os valores lógicos das proposições componentes p, q, r, ..., , ou seja, uma contradição conteráapenas F na última coluna da sua tabela-verdade.

Exemplo: A proposição "p e não p", isto é, p ̂ (~p) é uma contradição. De fato, a tabela-verdade de p ̂(~p) é:

O exemplo acima mostra que uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão sersimultaneamente verdadeiros ou simultaneamente falsos.

Como uma tautologia é sempre verdadeira e uma contradição sempre falsa, tem-se que:a negação de uma tautologia é sempre uma contradição

enquanto

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a negação de uma contradição é sempre uma tautologia

CONTINGÊNCIA

Chama-se Contingência toda a proposição composta em cuja última coluna de sua tabela-verdadefiguram as letras V e F cada uma pelo menos vez. Em outros termos, contingência é toda proposiçãocomposta que não é tautologia nem contradição.As Contingências são também denominadas proposições indeterminadas.

A proposição "se p então ~p", isto é, p → ( ~p) é uma contingência. De fato, a tabela-verdade de p →( ~p) é:

Resumidamente temos:· Tautologia contendo apenas V na última coluna da sua tabela-verdade;· Contradição contendo apenas F na última coluna da sua tabela-verdade;· Contingência contendo apenas V e F na última coluna da sua tabela-verdade.

Proposições Logicamente Equivalentes

Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes quando sãocompostas pelas mesmas proposições simples e suas tabelas-verdade são idênticas. Uma conseqüênciaprática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe sejaequivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la.

Da definição de equivalência lógica pode-se demonstrar as seguintes equivalências:

Leis associativas:

Leis distributivas:

Lei da dupla negação:

Equivalências da Condicional

Negação de Proposições Compostas

Um problema de grande importância para a lógica é o da identificação de proposições equivalentes ànegação de uma proposição dada. Negar uma proposição simples é uma tarefa que não oferece grandesobstáculos. Entretanto, podem surgir algumas dificuldades quando procuramos identificar a negação deuma proposição composta.

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Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao daproposição dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for verdadeira, a sua negação não A deveser falsa e sempre que A for falsa, não A deve ser verdadeira.Em outras palavras, a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada.

A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposiçõescompostas:

Proposição Negação Direta Equivalente da Negação

Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínioverbal; raciocínio seqüencial; orientação espacial e temporal; formação de

conceitos; discriminação de elementos.

As funções intelectuais são constituídas por alguns raciocínios como: verbal, numérico, abstrato eespacial. Essas relações contribuem para a compreensão e elabora ção do processo lógico de umasituação, através da formação de conceitos e discriminação de elementos.

Raciocínio Verbal

Definição: Trata-se da capacidade que possuímos para expressar as idéias utilizando símbolos verbaispara organizar o pensamento e estabelecer relações abstratas entre conceitos verbais.As questões relativas ao raciocínio verbal são apresentadas sob a forma de analogias. Após a percepçãoda relação entre um primeiro par de palavras, deve-se encontrar uma quarta palavra que mantenharelação com uma terceira palavra apresentada.

Exemplos:

1) Quarto está para Casa, como Capítulo está para:a) Dicionário b) Leitura c) Livro d) Jornal e) Revista

Resposta é a C: Livro.

2) Homem está para Menino, como Mulher está para :a) Senhora b) Menina c) Jovem

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A resposta é Menina. Os homens na infância são chamados de meninos e as mulheres de meninas.

3) Presidente está para o país assim como o Papa está para: a) Igreja b) Templo c) Mundod) Missa e) Europa

A resposta é Igreja. O presidente é o representante do país assim como o Papa é o representante da Igreja.

4) Pelé está para o futebol assim como Michael Jordan está para: a) Handball b) Vôlei c) Gold) Basquete e) Automobilismo

A resposta é Basquete.Pe!é foi o maior jogador de futebol de todos os tempos e assim como Michael Jordan foi o de basquete.

Raciocínio Numérico (Matemático e Sequencial)

Definição: É a capacidade de compreender proble mas que utilizam operações que envolvam números,bem como o domínio das operações aritméticas básicas.As questões relativas a raciocínio numérico são apresentadas sob a, forma de sequência de números.Deve-se, encontrar a lei de formação da sequência para dar continuidade a mesma. Exemplos: 1) Escreva o próximo termo da seqüência:1 2 3 4 5 6 ?

A resposta é 7. Essa é a seqüência dos números naturais.

2) Escreva o próximo termo da seqüência: 2 4 6 8 10 12 14 ?

A resposta é 16. Essa é a seqüência dos números pares.

3) Escreva o próximo termo da seqüência: 1 2 4 8 16 32 ?

A resposta é 64. A lei de formação da seqüência é dada pelo dobro do número anterior, perceba que osegundo número é o dobro do primeiro e o terceiro o dobro do segundo e assim por diante, então opróximo número será o dobro de 32, ou seja, 64.

4) Escreva o próximo termo da seqüência: 0 1 4 9 25 36 ?

A resposta é 49. A lei de formação dessa sequência é a multiplicação do número por ele mesmo,perceba:0 x 0 = 0 1 x 1 = 12 x 2 = 4

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3 x 3 = 94 x 4 = 165 x 5 = 256 x 6 = 367 x 7 = 49

Pode-se dizer também que a lei de formação é elevar o número ao quadrado, alias elevar o número aoquadrado é o mesmo que multiplica ele por ele mesmo.

Raciocínio Abstrato

Definição: É a capacidade de compreender e estabelecer relações entre objetos e similares, comparandosímbolos, idéias e conceitos.

As questões relativas a raciocínio abstrato exigem a análise de certa relação de figuras, objetos, etc.

Exemplos:

1) Qual das cinco representa a melhor comparação ?

está para assim como está para:

a) b) c) d) e)

A resposta é C. Inicialmente temos um círculo dividido em duas partes, então o quadrado também deve ser dividido emduas partes.

2) Qual das cinco se parece menos com as outras quatro?

a) b) c) d) e)

A resposta é D. Todas as figuras são compostas por segmentos retos, exceto o círculo.

Raciocínio Espacial

Definição: É a aptidão para visualizar relações de espaço, de dimensão, de posição e de direção, bemcomo julgar visualmente formas geométricas.

Exemplos:

1) Os quadrados abaixo têm todos o mesmo tamanho.

I II III IV V Em qual deles a região sombreada tem a maior área?a) I b) II c) III d) IV e) V

A resposta é E.Na opção I o quadrado está dividido em quatro triângulos iguais, de modo que a área da região

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sombreada é a metade da área do quadrado, Na opção II, a diagonal divide o quadrado em doistriângulos iguais, e outra vez a área da região som breada é metade da área do quadrado. Na opção III otriângulo sombreado tem área menor do que o triângulo sombreado da Opção II, ou seja, menor quemetade da área do quadrado. Na opção IV, observa mos na figura ao lado que a perpendicular MN aosegmento AB divide o quadrado nos pares de triângulos iguais AMN, ADN e BMN, BCN; segue mais umavez que a área da região sombreada é metade da área do quadrado. Finalmente, a área do triângulosombreado na opção V é maior do que a área do triângulo sombreado da opção II, ou seja, é maior doque metade da área do quadrado.

Comentário: observamos que na opção IV o ponto N não precisa ser o ponto médio do lado CD. De fato,o argumento usado acima para analisar essa opção não depende da posição de N ao longo de CD.

.

2) Cinco discos de papelão foram colocados um a um sobre uma mesa, conforme mostra a figura.Em que ordem os discos foram colocados na mesa?

a) V,R,S,U,Tb) U,R,V,S,Tc) R,S,U,V,Td) T,U,R,V,Se) V,R,U,S,T

A resposta é a A .Na figura vê-se que V está abaixo de R, que está abaixo de S, que está abaixo de U, que está abaixo deT. Logo a ordem em que os discos foram colocados sobre a mesa é V, R, S, U, T.

Formação de Conceitos

O conceito, é uma idéia (só existe no plano mental) que identifica uma classe de objetos singulares. Talidentificação se dá através da criação do “objeto generalizado” da respectiva classe, o qual é definidopelo conjunto dos atributos essenciais dessa classe e corresponde a cada um dos objetos singulares nelaincluídos, não se identificando, contudo, com qualquer um deles especificamente. O objeto generalizadopreserva, apenas, os atributos essenciais para a inclusão dos objetos singulares no conceito.

Em muitos casos, os conceitos são associados a palavras ou expressões especiais que os designam.

ExemploPalavras e expressões associadas a conceitos: “caderno”; “livro”; “escola”; “céu”; “amor”; “felicidade”;“política”; “família”; “linha poligonal”; “equação”; “equação do terceiro grau” ...

Notemos que em alguns conceitos são mais evidentes as mediações de fatores alheios aos mesmos quealteram seus significados originais, interferindo mesmo em sua essência. Assim, “amor” e “política”, porexemplo, embora sejam valores sociais de grande relevância adquiriram sentidos bem diferentes dosoriginais, sofrendo, de certa forma, uma “desvalorização” ao longo de um processo de deterioração

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marcado pela sua vulgarização ou pela sua prostituição.

Notemos, também, que as expressões que designam os conceitos referem-se ao respectivo objetogeneralizado. Quando alguém diz: “vou comprar um caderno”, não está se referindo a um objeto singular,isto é, a um caderno específico, mas ao objeto generalizado. Na verdade, o objeto singular – o cadernoque efetivamente será comprado – ainda será escolhido. Da mesma forma, quando alguém diz “vou àpraia”, tanto pode ir à praia de Copacabana, como à de Ipanema ou da Barra da Tijuca, que são, essessim, objetos singulares.

Exemplo Outras palavras e expressões que designam conceitos:1) lápis2) relógio3) cadeira4) avião5) livro6) função quadrática7) figura geométrica8) integral

Notemos que os três últimos não fazem parte do cotidiano da maioria das pessoas, sendo construídosatravés do processo científico que ocorre, em geral, na escolaridade formal. Os demais estãoassimilados pela cultura geral e sua compreensão se dá a nível social e através do conhecimentoespontâneo.O conceito apresenta em sua estrutura o “volume” e o “conteúdo”, estando associado a uma expressãogestual, gráfica ou idiomática que o designa.

O volume do conceito é o conjunto de todos os objetos singulares nele incluídos e o conteúdo doconceito é sua expressão no plano material e se apresenta numa linguagem idiomática, gráfica ougestual, articulando de modo conjugado todos os atributos essenciais do respectivo objeto generalizado.O conteúdo do conceito se apresenta na forma de uma expressão que articula de modo conjugado todosos atributos essenciais da respectiva classe; manifesta seu volume e seu conteúdo e identifica orespectivo objeto generalizado.

Exemploa) O volume do conceito “caderno” é o conjunto de todos os cadernosb) O volume do conceito “tigre” é o conjunto de todos os tigres

Exemploa) A expressão “substância cuja molécula é constituída por um átomo de oxigênio e dois átomos dehidrogênio” corresponde ao conteúdo de um conceito comumente designado pela palavra “água”.b) A expressão “número real inteiro não negativo” é o conteúdo de um conceito muito usado na aritméticae conhecido por “número natural”.c) A expressão: “Homem que “forneceu” o espermatozóide que fecundou o óvulo que deu origem aojovem José Pedro Guimarães” é o conteúdo do conceito “pai do jovem José Pedro Guimarães. ExemploSão exemplos de objetos singulares:a) Caneta que meu pai utilizou para assinar o contrato de seu primeiro casamentob) Sapato que estou calçando agora no pé esquerdoc) Número inteiro maior do que 5 e menor do que 7

Um conceito pode ser formado em distintos graus de generalização, desde o conceito singular quecorresponde a um objeto específico - concreto ou abstrato - até o conceito generalizado (no grau demáxima generalização), passando por graus intermediários de generalização, correspondentes asubclasses do respectivo gênero, nas quais se incluem alguns e se excluem outros objetos. Os atributos

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essenciais são definidos para cada grau de generalização e o volume de um conceito está contido novolume de outro conceito de maior grau de generalização.

Exemplo Conceito singular: “o cachorro do Jorge que mordeu o vizinho ontem”Conceito generalizado: “Alberto não gosta de cachorro”.Conceito com grau intermediário de generalização: “ Pedro gosta de cachorro marrom”

No caso do conceito singular apresentado, os atributos presentes (relativos ao conceito ‘cachorro’) são:1) ser do Jorge; 2) ter mordido o vizinho ontem. Ambos os atributos são qualidades, pois não fazemparte dp cachorro (objeto singular).

A presença do atributo “ter mordido o vizinho ontem”, indica que: a) Jorge tem mais de um cachorro; b) Algum outro cachorro de Jorge mordeu o vizinho em algum dia distinto de ‘ontem’; c) Somente um cachorro de Jorge mordeu o vizinho ‘ontem’.

Exemplo

Classificação (isto é, a separação em subclasses) do conceito “ser vivo”:

Notemos que em cada grau de generalização as subclasses correspondem a conceitos contraditórios emrelação à classe anterior e que no sétimo grau de generalização ainda não se chegou ao conceitosingular.

Notemos, também, que na passagem de um grau de generalização para outro menor é escolhido umcritério e dentro dele um atributo. Na passagem do segundo para o terceiro grau de generalização, ocritério foi a “natureza do intelecto” e o atributo escolhido foi “ser racional”. Poderia ter sido escolhido ocritério “natureza do corpo do animal” e o atributo poderia ter sido “ser vertebrado”.

Nesse exemplo, os critérios e os atributos correspondentes, foram:

(1) a palavra “ser” é substantivo e não verbo(2) a palavra “ser” é verbo e não substantivo

Quando tratamos de um conceito singular, consideramos todos os atributos que identificam o objeto bemdeterminado e que o separam de todos os demais da classe a que pertence. Quando se trata de conceitogeneralizado em grau intermediário – correspondente a uma subclasse do gênero - são descartados osatributos peculiares dos objetos individualizados e aqueles específicos a qualquer outra subclasse, sendoconsiderados apenas os atributos essenciais à identificação da classe respectiva. Quando se trata deconceito generalizado em grau máximo, são preservados apenas os atributos essenciais a todos osobjetos que se incluem no conceito, abstraindo os atributos específicos a qualquer subclasse e aquelesque identificam um único objeto ou um grupo de objetos singulares, isto é, permanecem apenas aspropriedades do objeto generalizado.

ExemploApresentamos abaixo uma seqüência de conceitos em ordem decrescente de graus de generalização:a) cadernob) caderno verticalc) caderno vertical com pautad) caderno vertical com espiral com pautae) caderno vertical com espiral com pauta e capa dura

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Notemos que “caderno horizontal“ é um conceito com mesmo grau de generalização do que “cadernovertical”, o mesmo acontecendo com os conceitos “caderno vertical com pauta” e “caderno vertical sempauta”.

Notemos, ainda, que a relação entre o grau de generalização e o número de atributos essenciais doconceito é inversa, isto é, quanto mais atributos essenciais, menor é o grau de generalização.

O conteúdo de um conceito, exceto para aquele de grau de generalização máximo, é expresso a partir doconceito de grau de generalização imediatamente superior.

Existe uma estreita relação entre a elaboração teórica (no plano mental) de uma idéia e sua expressãoconcreta (no plano material), a qual se dá através de uma linguagem apropriada (escrita, falada, gestualou gráfica), de tal modo que uma coisa não se concretiza plenamente sem a outra. Em conseqüênciadisso, o conhecimento somente está construído quando elaborado no plano mental e expressoadequadamente no plano material.

No caso do conhecimento científico, isto é, aquele construído através do processo científico, se usacomumente a linguagem idiomática conjugada com uma linguagem específica ao contexto: (linguagemjurídica, linguagem policial. Linguagem matemática), havendo, também, o uso da linguagem gráfica(desenho, esboço, gráfico, tabela). Como existe uma correspondência intrínseca entre a idéia (planomental) e a linguagem (sua expressão no plano material), esta deve ser adequada àquela, sob pena decomprometer o conhecimento construído.

Exemploa) A mala do Alberto está tão pesada que parece que vai estourarb) Todo dia viajo com a “mala” do Alberto.

A formação do conceito generalizado

Em geral, a construção de um conceito – Isto é, a aprendizagem – começa no plano material com aobservação de objetos singulares incluídos no conceito, os quais são conhecidos através de seusatributos sensorialmente percebidos. Em seguida, tal conhecimento passa ao plano mental sob amediação de um signo, que pode ser uma palavra, uma expressão ou algum outro elemento material queassume a função de “nome” do objeto e depois se confunde com o próprio. O conhecimento de umnúmero adequado de objetos singulares incluídos num mesmo conceito possibilita que a separação dosatributos comuns e depois dos essenciais, o que ocorre no plano mental e, muitas vezes, de modoinconsciente. Esse processo possibilita a construção do conceito num primeiro grau de generalização e osigno que antes correspondia particularmente a um dos objetos singulares observados, passa aidentificar qualquer um deles e, numa fase seguinte, passa a corresponder ao conjunto de tais objetos,isto é, designa o objeto generalizado correspondente ao tal conjunto.

Quando o número de objetos da “família” conhecidos é suficientemente grande para a identificação detodos os atributos essenciais, torna-se possível alcançar o maior grau de generalização, descartando-seos atributos não essenciais. Nesse ponto, a “família” passa a ser o “gênero” e o signo que a identificapassa a corresponder ao objeto generalizado, abstrato, que só existe no plano mental e não maiscorresponde a qualquer um dos objetos singulares, ainda que tal signo continue a ser utilizado comoreferência a cada um deles em particular.

O conceito não apenas identifica o objeto generalizado ao qual se refere mas se identifica com ele ecorresponde à internalização mental do conjunto dos objetos singulares ao qual se refere. Os objetossingulares que inicialmente são conhecidos sensorialmente e depois através da mediação simbólica,pouco a pouco vão se fundindo num único objeto abstrato, generalizado, que se transforma numaimagem mental que substitui sua forma material ou materializada.

Relações entre conceitos

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As relações existentes entre os objetos singulares se apresentam igualmente entre os conceitos que osincluem, variando desde muito remotas a muito próximas. Essas relações podem existir em função decircunstâncias (factuais, temporais, espaciais, funcionais, etc...) e podem existir em função de nexoslógicos entre os objetos. No primeiro caso estão: lápis e caderno; automóvel e rua; ar e avião. Nosegundo caso estão: retângulo e quadrado; homem e mulher; cachorro e gato. As relaçõescircunstanciais sempre podem existir, quaisquer que sejam os objetos, enquanto que as relações lógicassó existem, em geral, entre objetos que se incluem em algum conceito comum a ambos.

Exemplo Relações não lógicas (circunstanciais, factuais, temporais, etc.)1) Estar na mesma sala (um azulejo e um livro)2) Apresentar a letra x (a palavra “xícara” e a expressão “ax+b”3) Ser usado para alcançar um objeto no alto (uma pedra e uma escada)4) Terem sido comprados no mesmo dia (um martelo e um revolver)5) Apresentar o numeral 2 (a equação “2x+3=0” e a quantia “R$27,00”)

Exemplo Relações lógicas1) Ser “ser humano” (duas pessoas distintas)2) Ser talher (garfo e faca)3) Ser equação do primeiro grau (2x + 3 = 0 e 5x – 7 = 0)4) Ser grandeza vetorial (velocidade e força)

Conceitos comparáveis e incomparáveis

Em função dos nexos lógicos entre os objetos que incluem, os conceitos podem ser classificados comocomparáveis ou incomparáveis, conforme existam ou não existam tais nexos, respectivamente. Devido ànatureza relativa, quanto à intensidade, dos nexos lógicos eventualmente existentes entre os objetosincluídos em conceitos distintos, a classificação dos conceitos como comparáveis ou incomparáveis nãopode ser considerada de modo absoluto. Assim, pode-se considerar que quanto mais fortes forem taisnexos, mais os conceitos são comparáveis e quanto mais fracos o forem, mais eles são incomparáveis.Regra geral, os conceitos comparáveis identificam subclasses de uma classe identificada por umconceito de maior grau de generalização, o que não ocorre com os conceitos incomparáveis.

Exemplo “Homem” e “mulher”, são conceitos comparáveis: apresentam nexos lógicos fortes revelados pelo fato deque identificam subclasses da classe identificada pelo conceito “ser humano”. Da mesma forma, “ouro” e“ferro” são conceitos comparáveis: correspondem a subclasses do conceito “metal”.

Exemplo “Planta” e “raiva” são conceitos não comparáveis: não existem nexos lógicos entre eles, o que seexpressa pelo fato de não corresponderem a subclasses de um mesmo conceito.

Observação: a) As sentenças “os conceitos A e B identificam subclasses de uma mesma classe identificada peloconceito X”, “os conceitos A e B são subordinados ao conceito X” e “os volumes dos conceitos A e Bestão contidos no volume do conceito X”, são equivalentes. b) Na linguagem corrente, o conceito é “confundido” com a classe que ele identifica. Isso é aceitável,sendo a distinção assegurada pelo contexto ou explicitada no texto.

Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto dehipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas.

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PROCESSO LÓGICO - HIPÓTESES E CONCLUSÃO

Lógica e Argumentação

Na estrutura do raciocínio lógico se distingue como elemento central o argumento, que consiste naarticulação do conjunto de premissas de modo a justificar a conclusão.

As proposições somente podem ser designadas como premissa ou como conclusão no contexto de umargumento e as designações em um argumento podem ser diferentes em outro. Assim, uma proposiçãopode ser conclusão num argumento e premissa em outro.

Sabe-se que o objetivo da lógica consiste no estudo das formas de argumentação válidas, pois elaestuda e sistematiza a validade ou invalidade da argumentação.

Dessa maneira, o objeto de estudo da lógica é determinar se a conclusão de um argumento é ou nãouma conseqüência lógica das proposições. Lembre-se que uma proposição (declaração/afirmação) éuma sentença que pode ser verdadeira ou falsa.

Argumento

Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, ... Pn ,chamadas premissas do argumento, a uma proposição C a qual chamamos de conclusão do argumento.

No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser usados os correspondentes hipótese e tese,respectivamente.

Os argumentos que têm somente duas premissas são denominados silogismos.

Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos:

I - P1: Todos os artistas são apaixonados. P2: Todos os apaixonados gostam de flores. C: Todos os artistas gostam de flores.

II - P1: Todos os apaixonados gostam de flores. P2: Miriam gosta de flores. C: Miriam é uma apaixonada.

Outro exemplo de um argumento (forma típica):

Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira. Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros.

Roberto tem nacionalidade brasileira.

Exemplos de diferentes maneiras de expressar o mesmo argumento (na cor verde, indicadoresde premissa ou de conclusão):

Roberto tem nacionalidade brasileira, pois Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros,e quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira.

Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira. Portanto, Roberto

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tem nacionalidade brasileira, uma vez que Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros.

Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros. Ora, quem nasce no Brasil e tem paisbrasileiros possui nacionalidade brasileira. Logo, Roberto tem nacionalidade brasileira.

Roberto é brasileiro, porque nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros. [Pressupostos: (a) Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira; (b) "brasileiro" significa "ter nacionalidade brasileira".]

Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira. Por isso, Roberto ébrasileiro. [Pressupostos:

(a) Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros; (b) "brasileiro" significa "ter nacionalidade brasileira".]

Não são argumentos (embora possam parecer):

Condicionais, isto é, hipóteses. Nesse caso, o que se está propriamente afirmando é apenas ocondicional como um todo - a proposição composta que estabelece o nexo entre duas proposiçõescomponentes, o antecedente e o conseqüente. Quando digo que se fizer sol neste fim de semana, eu ireià praia, não estou fazendo previsão do tempo, afirmando que fará sol neste fim de semana, nem estoupura e simplesmente me comprometendo a ir à praia. A única coisa que estou fazendo é afirmar aconexão entre duas proposições, dizendo que a eventual verdade da primeira acarreta a verdade dasegunda. Sendo assim, apenas uma proposição é afirmada; logo, não temos um argumento.

Ligações não-proposicionais, isto é, conexões de frases em que pelo menos uma delas não é umaproposição. Se pelo menos uma das frases ligadas não for uma proposição (for, por exemplo, umimperativo ou um pedido), não caberá a afirmação da verdade de algo com base na verdade de outracoisa. Não se terá, conseqüentemente, um argumento.

PROPOSIÇÕES E FRASES

Um argumento é um conjunto de proposições. Quer as premissas quer a conclusão de um argumentosão proposições. Mas o que é mesmo uma proposição?

Uma proposição é o pensamento que uma frase declarativa exprime literalmente.

Não confunda proposições com frases. Uma frase é uma entidade lingüística, é a unidade gramaticalmínima de sentido. Por exemplo, o conjunto de palavras "O Brasil é um" não é uma frase. Mas o conjuntode palavras "O Brasil é um país" é uma frase, pois já se apresenta com sentido gramatical. Há váriostipos de frases: declarativas, interrogativas, imperativas e exclamativas. Mas só as frases declarativasexprimem proposições. Uma frase só exprime uma proposição quando o que ela afirma tem valor deverdade.

Por exemplo, as seguintes frases não exprimem proposições, porque não têm valor de verdade, isto é,não são verdadeiras nem falsas:. 1) Que horas são? 2) Traz a apostila. 3) Prometo ir ao shopping. 4) Quem me dera gostar de Matemática.

Mas as frases seguintes exprimem proposições, porque têm valor de verdade, isto é, são verdadeiras oufalsas, ainda que, acerca de algumas, não saibamos, neste momento, se são verdadeiras ou falsas:

1) O Brasil fica na América do Norte.

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2) Brasília é a capital do Brasil. 3) A neve é branca. 4) Há seres extra-terrestres inteligentes.

A frase 1 é falsa, a 2 e a 3 são verdadeiras. E a 4?

Bem, não sabemos qual é o seu valor de verdade, não sabemos se é verdadeira ou falsa, massabemos que tem de ser verdadeira ou falsa. Por isso, também exprime uma proposição.

Uma proposição é uma entidade abstrata, é o pensamento que uma frase declarativa exprimeliteralmente. Ora, um mesmo pensamento pode ser expresso por diferentes frases. Por isso, a mesmaproposição pode ser expressa por diferentes frases. Por exemplo, as frases "O governo demitiu opresidente da TAP" e "O presidente da TAP foi demitido pelo governo" exprimem a mesma proposição.As frases seguintes também exprimem a mesma proposição: "A neve é branca" e "Snow is white".

Argumento Válido

Dizemos que um argumento é válido ou ainda que ele é legítimo ou bem construído quando a suaconclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. Posto de outra forma: quandoum argumento é válido, a verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusão do argumento.Isto significa que jamais poderemos chegar a uma conclusão falsa quando as premissas foremverdadeiras e o argumento for válido.

É importante observar que ao discutir a validade de um argumento é irrelevante o valor de verdade decada uma das premissas. Em Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade oufalsidade das proposições que compõem os argumentos, mas tão-somente a validade destes.

Exemplo:O silogismo:“Todos os pardais adoram jogar xadrez.Nenhum enxadrista gosta de óperas.Portanto, nenhum pardal gosta de óperas.”

está perfeitamente bem construído (veja o diagrama abaixo), sendo, portanto, um argumento válido,muito embora a verdade das premissas seja questionável.

Op = Conjunto dos que gostam de óperasX = Conjunto dos que adoram jogar xadrezP = Conjunto dos pardais

Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento do conjunto P (pardais) pode pertencer aoconjunto Op (os que gostam de óperas).

Validade Lógica (Exemplos)

Argumento (I):

Todas as aranhas são seres que têm seis patas

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Todos os seres que têm seis patas são seres que têm asas :. Todas as aranhas são seres que têm asas

Argumento (II):

Todas as baleias são mamíferos Todos os mamíferos são pulmonares :. Todas as baleias são pulmonares

A estrutura comum (válida) dos argumentos (I) e (II) é:

Todo A é B Todo B é C :. Todo A é C

Argumento (III):

Alguns mamíferos são cetáceos Alguns cetáceos são dentados :. Alguns mamíferos são dentados

Argumento (IV):

Alguns presentes nesta sala são moradores de Porto Alegre Alguns moradores de Porto Alegre são octagenários :. Alguns presentes nesta sala são octagenários

A estrutura comum (inválida) dos argumentos (III) e (IV) é:

Alguns A são B Alguns B são C

:. Alguns A são C

Argumento Inválido

Dizemos que um argumento é inválido, também denominado ilegítimo, mal construído ou falacioso,quando a verdade das premisssas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão.

Exemplo:O silogismo:“Todos os alunos do curso passaram.Maria não é aluna do curso.Portanto, Maria não passou.”

é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) averdade da conclusão (veja o diagrama abaixo). Maria pode Ter passado mesmo sem ser aluna docurso, pois a primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso haviam passado.

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P = Conjunto das pessoas que passaram.C = Conjunto dos alunos do curso.

Na tabela abaixo, podemos ver um resumo das situações possíveis para um argumento:

Premissas

Argumentos dedutivos sempre requerem um certo número de "assunções-base". São as chamadaspremissas; é a partir delas que os argumentos são construídos; ou, dizendo de outro modo, são asrazões para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que é uma premissa no contexto de um argumentoem particular, pode ser a conclusão de outro, por exemplo.

As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas, esse é o princípio do audiatur et alterapars*. A omissão das premissas é comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduziráas chances de aceitação do argumento.

A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras "Admitindoque...", "Já que...", "Obviamente se..." e "Porque...". É imprescindível que seu oponente concordecom suas premissas antes de proceder com a argumentação.

Usar a palavra "obviamente" pode gerar desconfiança. Ela ocasionalmente faz algumas pessoasaceitarem afirmações falsas em vez de admitir que não entendem por que algo é "óbvio". Não hesite emquestionar afirmações supostamente "óbvias".

Expressão latina que significa "a parte contrária deve ser ouvida".

Inferência

Umas vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede passo a passo através doprocesso chamado inferência.

Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Sea inferência for válida, a nova proposição também deve ser aceita. Posteriormente essa proposiçãopoderá ser empregada em novas inferências.

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Assim, inicialmente, apenas podemos inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo daargumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta.

Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns inválidos, os quais serão analisados nestedocumento. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases "conseqüentemente..." ou"isso implica que...".

Conclusão

Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no que se está tentandoprovar. Ela é o resultado final do processo de inferência, e só pode ser classificada como conclusão nocontexto de um argumento em particular.

A conclusão se respalda nas premissas e é inferida a partir delas. Esse é um processo sutil que mereceexplicação mais aprofundada.

Tabela Verdade para Implicação

• Se as premissas são falsas e a inferência é válida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa. (Linhas 1e 2.)• Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a inferência deve ser inválida. (Linha 3.)• Se as premissas são verdadeiras e a inferência é válida, a conclusão deve ser verdadeira. (Linha 4.)

Então o fato que um argumento é válido não necessariamente significa que sua conclusão suporta - podeter começado de premissas falsas.Se um argumento é válido, e além disso começou de premissas verdadeiras, então é chamado de umargumento sensato. Um argumento sensato deve chegar à uma conclusão verdadeira.

Exemplo de argumento

A seguir exemplificamos um argumento válido, mas que pode ou não ser "consistente".1 - Premissa: Todo evento tem uma causa.2 - Premissa: O Universo teve um começo.3 - Premissa: Começar envolve um evento.4 - Inferência: Isso implica que o começo do Universo envolveu um evento.5 - Inferência: Logo, o começo do Universo teve uma causa.6 - Conclusão: O Universo teve uma causa.

A proposição da linha 4 foi inferida das linhas 2 e 3. A linha 1, então, é usada em conjunto com proposição 4, para inferir uma nova proposição (linha 5). O resultado dessa inferência é reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo aconclusão.

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Reconhecendo Argumentos

O reconhecimento de argumentos é mais difícil que das premissas ou conclusão. Muitas pessoasabarrotam textos de asserções sem sequer produzir algo que possa ser chamado argumento.

Algumas vezes os argumentos não seguem os padrões descritos acima. Por exemplo, alguém pode dizerquais são suas conclusões e depois justificá-las. Isso é válido, mas pode ser um pouco confuso.

Para piorar a situação, algumas afirmações parecem argumentos, mas não são. Por exemplo: "Se aBíblia é verdadeira, Jesus ou foi um louco, um mentiroso, ou o Filho de Deus".

Isso não é um argumento; é uma afirmação condicional. Não explicita as premissas necessárias paraembasar as conclusões, sem mencionar que possui outras falhas.

Um argumento não equivale a uma explicação. Suponha que, tentando provar que Albert Einsteinacreditava em Deus, disséssemos: "Einstein afirmou que 'Deus não joga dados' porque cria emDeus".

Isso pode parecer um argumento relevante, mas não é; trata-se de uma explicação da afirmação deEinstein. Para perceber isso, lembre-se que uma afirmação da forma "X porque Y" pode ser reescrita naforma "Y logo X". O que resultaria em: "Einstein cria em Deus, por isso afirmou que 'Deus não jogadados'".

Agora fica claro que a afirmação, que parecia um argumento, está admitindo a conclusão que deveriaestar provando.

Ademais, Einstein não cria num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos .

Falácias

Há um certo número de "armadilhas" a serem evitadas quando se está construindo um argumentodedutivo; elas são conhecidas como falácias. Na linguagem do dia-a-dia, nós denominamos muitascrenças equivocadas como falácias, mas, na lógica, o termo possui significado mais específico: falácia éuma falha técnica que torna o argumento inconsistente ou inválido.

(Além da consistência do argumento, também se podem criticar as intenções por detrás daargumentação.)

Argumentos contentores de falácias são denominados falaciosos. Freqüentemente parecem válidos econvincentes; às vezes, apenas uma análise pormenorizada é capaz de revelar a falha lógica.

A seguir está uma lista de algumas das falácias mais comuns e determinadas técnicas retóricas bastanteutilizadas em debates. A intenção não foi criar uma lista exaustivamente grande, mas apenas ajudá-lo areconhecer algumas das falácias mais comuns, evitando, assim, ser enganado por elas.

Acentuação / Ênfase

A Acentuação funciona através de uma mudança no significado. Neste caso, o significado é alteradoenfatizando diferentes partes da afirmação.

Por exemplo:"Não devemos falar mal de nossos amigos""Não devemos falar mal de nossos amigos"

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Ad Hoc

Como mencionado acima, argumentar e explicar são coisas diferentes. Se estivermos interessados emdemonstrar A, e B é oferecido como evidência, a afirmação "A porque B" é um argumento. Se estivermostentando demonstrar a veracidade de B, então "A porque B" não é um argumento, mas uma explicação.

A falácia Ad Hoc é explicar um fato após ter ocorrido, mas sem que essa explicação seja aplicável aoutras situações. Freqüentemente a falácia Ad Hoc vem mascarada de argumento. Por exemplo, seadmitirmos que Deus trata as pessoas igualmente, então esta seria uma explicação Ad Hoc:

"Eu fui curado de câncer""Agradeça a Deus, pois ele lhe curou""Então ele vai curar todas pessoas que têm câncer?""Hmm... talvez... os desígnios de Deus são misteriosos."

Afirmação do Conseqüente

Essa falácia é um argumento na forma "A implica B, B é verdade, logo A é verdade". Para entender porque isso é uma falácia, examine a tabela (acima) com as Regras de Implicação.

Aqui está um exemplo:"Se o universo tivesse sido criado por um ser sobrenatural, haveria ordem e organização em todo lugar. Enós vemos ordem, e não esporadicidade; então é óbvio que o universo teve um criador."

Esse argumento é o contrario da Negação do Antecedente.

Anfibolia

A Anfibolia ocorre quando as premissas usadas num argumento são ambíguas devido a negligência ouimprecisão gramatical.

Por exemplo:"Premissa: A crença em Deus preenche um vazio muito necessário."

Evidência Anedótica

Uma das falácias mais simples é dar crédito a uma Evidência Anedótica.

Por exemplo:"Há abundantes provas da existência de Deus; ele ainda faz milagres. Semana passada eu li sobre umagarota que estava morrendo de câncer, então sua família inteira foi para uma igreja e rezou, e ela foicurada."

É bastante válido usar experiências pessoais como ilustração; contudo, essas anedotas não provamnada a ninguém. Um amigo seu pode dizer que encontrou Elvis Presley no supermercado, mas aquelesque não tiveram a mesma experiência exigirão mais do que o testemunho de seu amigo para seremconvencidos.

Evidências Anedóticas podem parecer muito convincentes, especialmente queremos acreditar nelas.

Argumentum ad Antiquitatem

Essa é a falácia de afirmar que algo é verdadeiro ou bom só porque é antigo ou "sempre foi assim". A

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falácia oposta é a Argumentum ad Novitatem.

"Cristãos acreditam em Jesus há milhares de anos. Se o Cristianismo não fosse verdadeiro, não teriaperdurado tanto tempo"

Argumentum ad Baculum / Apelo à Força

Acontece quando alguém recorre à força (ou à ameaça) para tentar induzir outros a aceitarem umaconclusão. Essa falácia é freqüentemente utilizada por políticos, e pode ser sumarizada na expressão "opoder define os direitos". A ameaça não precisa vir diretamente da pessoa que argumenta.

Por exemplo::"...assim, há amplas provas da veracidade da Bíblia, e todos que não aceitarem essa verdade queimarãono Inferno."

"...em todo caso, sei seu telefone e endereço; já mencionei que possuo licença para portar armas?"

Argumentum ad Crumenam

É a falácia de acreditar que dinheiro é o critério da verdade; que indivíduos ricos têm mais chances deestarem certos. Trata-se do oposto ao Argumentum ad Lazarum.

Exemplo:"A Microsoft é indubitavelmente superior; por que outro motivo Bill Gates seria tão rico?"

Argumentum ad Hominen

Argumentum ad Hominem literalmente significa "argumento direcionado ao homem"; há duasvariedades.

A primeira é a falácia Argumentum ad Hominemabusiva: consiste em rejeitar uma afirmação e justificara recusa criticando a pessoa que fez a afirmação.

Por exemplo:"Você diz que os ateus podem ser morais, mas descobri que você abandonou sua mulher e filhos."

Isso é uma falácia porque a veracidade de uma asserção não depende das virtudes da pessoa que apropugna. Uma versão mais sutil do Argumentum ad Hominen é rejeitar uma proposição baseando-seno fato de ela também ser defendida por pessoas de caráter muito questionável.

Por exemplo:"Por isso nós deveríamos fechar a igreja? Hitler e Stálin concordariam com você."

A segunda forma é tentar persuadir alguém a aceitar uma afirmação utilizando como referência ascircunstâncias particulares da pessoa.

Por exemplo:"É perfeitamente aceitável matar animais para usar como alimento. Esperto que você não contrarie o queeu disse, pois parece bastante feliz em vestir seus sapatos de couro."

Esta falácia é conhecida como Argumenutm ad Hominem circunstancial e também pode ser usadacomo uma desculpa para rejeitar uma conclusão.

Por exemplo:"É claro que a seu ver discriminação racial é absurda. Você é negro"

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Essa forma em particular do Argumenutm ad Hominem, no qual você alega que alguém estádefendendo uma conclusão por motivos egoístas, também é conhecida como "envenenar o poço".

Não é sempre inválido referir-se às circunstâncias de quem que faz uma afirmação. Um indivíduocertamente perde credibilidade como testemunha se tiver fama de mentiroso ou traidor; entretanto, issonão prova a falsidade de seu testemunho, nem altera a consistência de quaisquer de seus argumentoslógicos.

Argumentum ad Ignorantiam

Argumentum ad Ignorantiam significa "argumento da ignorância". A falácia consiste em afirmar quealgo é verdade simplesmente porque não provaram o contrário; ou, de modo equivalente, quando for ditoque algo é falso porque não provaram sua veracidade.

(Nota: admitir que algo é falso até provarem o contrário não é a mesma coisa que afirmar. Nas leis, porexemplo, os indivíduos são considerados inocentes até que se prove o contrário.)

Abaixo estão dois exemplos:

"Obviamente a Bíblia é verdadeira. Ninguém pode provar o contrário."

"Certamente a telepatia e os outros fenômenos psíquicos não existem. Ninguém jamais foi capaz deprová-los."

Na investigação científica, sabe-se que um evento pode produzir certas evidências de sua ocorrência, eque a ausência dessas evidências pode ser validamente utilizada para inferir que o evento não ocorreu.No entanto, não prova com certeza.

Por exemplo:"Para que ocorresse um dilúvio como o descrito pela Bíblia seria necessário um enorme volume de água.A Terra não possui nem um décimo da quantidade necessária, mesmo levando em conta a que estácongelada nos pólos. Logo, o dilúvio não ocorreu."

Certamente é possível que algum processo desconhecido tenha removido a água. A ciência, entretanto,exigiria teorias plausíveis e passíveis de experimentação para aceitar que o fato tenha ocorrido.

Infelizmente, a história da ciência é cheia de predições lógicas que se mostraram equivocadas. Em 1893,a Real Academia de Ciências da Inglaterra foi persuadida por Sir Robert Ball de que a comunicação como planeta Marte era fisicamente impossível, pois necessitaria de uma antena do tamanho da Irlanda, eseria impossível fazê-la funcionar.

Argumentum ad Lazarum

É a falácia de assumir que alguém pobre é mais íntegro ou virtuoso que alguém rico. Essa falácia éapõe-se à Argumentum ad Crumenam.

Por exemplo:"É mais provável que os monges descubram o significado da vida, pois abdicaram das distrações que odinheiro possibilita."

Argumentum ad Logicam

Essa é uma "falácia da falácia". Consiste em argumentar que uma proposição é falsa porque foiapresentada como a conclusão de um argumento falacioso. Lembre-se que um argumento falacioso

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pode chegar a conclusões verdadeiras.

"Pegue a fração 16/64. Agora, cancelando-se o seis de cima e o seis debaixo, chegamos a 1/4.""Espere um segundo! Você não pode cancelar o seis!""Ah, então você quer dizer que 16/64 não é 1/4?"

Argumentum ad Misericordiam

É o apelo à piedade, também conhecida como Súplica Especial. A falácia é cometida quando alguémapela à compaixão a fim de que aceitem sua conclusão.

Por exemplo:"Eu não assassinei meus pais com um machado! Por favor, não me acuse; você não vê que já estousofrendo o bastante por ter me tornado um órfão?"

Argumentum ad Nauseam

Consistem em crer, equivocadamente, que algo é tanto mais verdade, ou tem mais chances de ser,quanto mais for repetido. Um Argumentum ad Nauseamé aquele que afirma algo repetitivamente até aexaustão.

Argumentum ad Novitatem

Esse é o oposto do Argumentum ad Antiquitatem; é a falácia de afirmar que algo é melhor ou maisverdadeiro simplesmente porque é novo ou mais recente que alguma outra coisa.

"BeOS é, de longe, um sistema operacional superior ao OpenStep, pois possui um design muito maisatual."

Argumentum ad Numerum

Falácia relacionada ao Argumentum ad Populum. Consiste em afirmar que quanto mais pessoasconcordam ou acreditam numa certa proposição, mais provavelmente ela estará correta.

Por exemplo:"A grande maioria dos habitantes deste país acredita que a punição capital é bastante eficiente nadiminuição dos delitos. Negar isso em face de tantas evidências é ridículo."

"Milhares de pessoas acreditam nos poderes das pirâmides; ela deve ter algo de especial."

Argumentum ad Populum

Também conhecida como apelo ao povo. Comete-se essa falácia ao tentar conquistar a aceitação deuma proposição apelando a um grande número de pessoas. Esse tipo de falácia é comumentecaracterizado por uma linguagem emotiva.

Por exemplo:"A pornografia deve ser banida. É uma violência contra as mulheres."

"Por milhares de anos pessoas têm acreditado na Bíblia e Jesus, e essa crença teve um enorme impactosobre suas vida. De que outra evidência você precisa para se convencer de que Jesus é o filho de Deus?Você está dizendo que todas elas são apenas estúpidas pessoas enganadas?"

Argumentum ad Verecundiam

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O Apelo à Autoridade usa a admiração a uma pessoa famosa para tentar sustentar uma afirmação. Porexemplo:

"Isaac Newton foi um gênio e acreditava em Deus."

Esse tipo de argumento não é sempre inválido; por exemplo, pode ser relevante fazer referência a umindivíduo famoso de um campo específico. Por exemplo, podemos distinguir facilmente entre:

"Hawking concluiu que os buracos negros geram radiação.""Penrose conclui que é impossível construir um computador inteligente."Hawking é um físico, então é razoável admitir que suas opiniões sobre os buracos negros são

fundamentadas. Penrose é um matemático, então sua qualificação para falar sobre o assunto é bastantequestionável.

Audiatur et Altera Pars

Freqüentemente pessoas argumentam partir de assunções omitidas. O princípio do Audiatur et AlteraPars diz que todas premissas de um argumento devem ser explicitadas. Estritamente, a omissão daspremissas não é uma falácia; entretanto, é comumente vista como algo suspeito.

Bifurcação

"Preto e Branco" é outro nome dado a essa falácia. A Bifurcação ocorre se alguém apresenta umasituação com apenas duas alternativas, quando na verdade existem ou podem existir outras.

Por exemplo:"Ou o homem foi criado, como diz a Bíblia, ou evoluiu casualmente de substâncias químicas

inanimadas, como os cientistas dizem. Já que a segunda hipótese é incrivelmente improvável, então..."

Circulus in Demonstrando

Consiste em adotar como premissa uma conclusão à qual você está tentando chegar. Não raro, aproposição é reescrita para fazer com que tenha a aparência de um argumento válido.

Por exemplo:"Homossexuais não devem exercer cargos públicos. Ou seja, qualquer funcionário público que se

revele um homossexual deve ser despedido. Por isso, eles farão qualquer coisa para esconder seusegredo, e assim ficarão totalmente sujeitos a chantagens. Conseqüentemente, não se deve permitirhomossexuais em cargos públicos."

Esse é um argumento completamente circular; a premissa e a conclusão são a mesma coisa. Umargumento como o acima foi realmente utilizado como um motivo para que todos os empregadoshomossexuais do Serviço Secreto Britânico fossem despedidos.

Infelizmente, argumentos circulares são surpreendentemente comuns. Após chegarmos a umaconclusão, é fácil que, acidentalmente, façamos asserções ao tentarmos explicar o raciocínio a alguém.

Questão Complexa / Falácia de Interrogação / Falácia da Pressuposição

É a forma interrogativa de pressupor uma resposta. Um exemplo clássico é a pergunta capciosa:"Você parou de bater em sua esposa?"

A questão pressupõe uma resposta definida a outra questão que não chegou a ser feita. Esse truque ébastante usado por advogados durante o interrogatório, quando fazem perguntas do tipo:

"Onde você escondeu o dinheiro que roubou?"Similarmente, políticos também usam perguntas capciosas como:

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"Até quando será permitida a intromissão dos EUA em nossos assuntos?""O Chanceller planeja continuar essa privatização ruinosa por dois anos ou mais?"

Outra forma dessa falácia é pedir a explicação de algo falso ou que ainda não foi discutido.

Falácias de Composição

A Falácia de Composição é concluir que uma propriedade compartilhada por um número de elementosem particular, também é compartilhada por um conjunto desses elementos; ou que as propriedades deuma parte do objeto devem ser as mesmas nele inteiro.

Exemplos:"Essa bicicleta é feita inteiramente de componentes de baixa densidade, logo é muito leve.""Um carro utiliza menos petroquímicos e causa menos poluição que um ônibus. Logo, os carros

causam menos dano ambiental que os ônibus."

Acidente Invertido / Generalização Grosseira

Essa é o inverso da Falácia do Acidente. Ela ocorre quando se cria uma regra geral examinandoapenas poucos casos específicos que não representam todos os possíveis casos.

Por exemplo:"Jim Bakker foi um Cristão pérfido; logo, todos os cristãos também são."

Convertendo uma Condicional

A falácia é um argumento na forma "Se A então B, logo se B então A"."Se os padrões educacionais forem abaixados, a qualidade dos argumentos vistos na internet

diminui. Então, se vermos o nível dos debates na internet piorar, saberemos que os padrõeseducacionais estão caindo."

Essa falácia é similar à Afirmação do Conseqüente, mas escrita como uma afirmação condicional.

Cum Hoc Ergo Propter Hoc

Essa falácia é similar à Post Hoc Ergo Propter Hoc. Consiste em afirmar que devido a dois eventos teremocorrido concomitantemente, eles possuem uma relação de causalidade. Isso é uma falácia porqueignora outro(s) fator(es) que pode(m) ser a(s) causa(s) do(s) evento(s).

"Os índices de analfabetismo têm aumentado constantemente desde o advento da televisão.Obviamente ela compromete o aprendizado"

Essa falácia é um caso especial da Non Causa Pro Causa.

Negação do Antecedente

Trata-se de um argumento na forma "A implica B, A é falso, logo B é falso". A tabela com as Regras deImplicação explica por que isso é uma falácia.

(Nota: A Non Causa Pro Causa é diferente dessa falácia. A Negação do Antecedente possui aforma "A implica B, A é falso, logo B é falso", onde A não implica B em absoluto. O problema não é quea implicação seja inválida, mas que a falsidade de A não nos permite deduzir qualquer coisa sobre B.)

"Se o Deus bíblico aparecesse para mim pessoalmente, isso certamente provaria que ocristianismo é verdade. Mas ele não o fez, ou seja, a Bíblia não passa de ficção."

Esse é oposto da falácia Afirmação do Conseqüente.

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Falácia do Acidente / Generalização Absoluta / Dicto Simpliciter

Uma Generalização Absoluta ocorre quando uma regra geral é aplicada a uma situação em particular,mas as características da situação tornam regra inaplicável. O erro ocorre quando se vai do geral doespecífico.

Por exemplo:"Cristãos não gostam de ateus. Você é um Cristão, logo não gosta de ateus."

Essa falácia é muito comum entre pessoas que tentam decidir questões legais e morais aplicando regrasgerais mecanicamente.

Falácia da Divisão

Oposta à Falácia de Composição, consiste em assumir que a propriedade de um elemento deveaplicar-se às suas partes; ou que uma propriedade de um conjunto de elementos é compartilhada portodos.

"Você estuda num colégio rico. Logo, você é rico.""Formigas podem destruir uma árvore. Logo, essa formiga também pode."

Equivocação / Falácia de Quatro Termos

A Equivocação ocorre quando uma palavra-chave é utilizada com dois um ou mais significados nomesmo argumento.

Por exemplo:"João é destro jogando futebol. Logo, também deve ser destro em outros esportes, apesar de ser

canhoto."

Uma forma de evitar essa falácia é escolher cuidadosamente a terminologia antes de formular oargumento, isso evita que palavras como "destro" possam ter vários significados (como "que usapreferencialmente a mão direita" ou "hábil, rápido").

Analogia Estendida

A falácia da Analogia Estendida ocorre, geralmente, quando alguma regra geral está sendo discutida.Um caso típico é assumir que a menção de duas situações diferentes, num argumento sobre uma regrageral, significa que tais afirmações são análogas.

A seguir está um exemplo retirado de um debate sobre a legislação anticriptográfica."Eu acredito que é errado opor-se à lei violando-a.""Essa posição é execrável: implica que você não apoiaria Martin Luther King.""Você está dizendo que a legislação sobre criptografia é tão importante quando a luta pela

igualdade dos homens? Como ousa!"

Ignorantio Elenchi / Conclusão Irrelevante

A Ignorantio Elenchi consiste em afirmar que um argumento suporta uma conclusão em particular,quando na verdade não possuem qualquer relação lógica.

Por exemplo: Um Cristão pode começar alegando que os ensinamentos do Cristianismo são indubitavelmenteverdadeiros. Se após isso ele tentar justificar suas afirmações dizendo que tais ensinamentos são muitobenéficos às pessoas que os seguem, não importa quão eloqüente ou coerente seja sua argumentação,

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ela nunca vai provar a veracidade desses escritos.

Lamentavelmente, esse tipo de argumentação é quase sempre bem-sucedido, pois faz as pessoasenxergarem a suposta conclusão numa perspectiva mais benevolente.

Falácia da Lei Natural / Apelo à Natureza

O Apelo à Natureza é uma falácia comum em argumentos políticos. Uma versão consiste emestabelecer uma analogia entre uma conclusão em particular e algum aspecto do mundo natural, e entãoafirmar que tal conclusão é inevitável porque o mundo natural é similar:

"O mundo natural é caracterizado pela competição; animais lutam uns contra os outros pelaposse de recursos naturais limitados. O capitalismo - luta pela posse de capital - é simplesmente umaspecto inevitável da natureza humana. É como o mundo funciona."

Outra forma de Apelo à Natureza é argumentar que devido ao homem ser produto da natureza, deve secomportar como se ainda estivesse nela, pois do contrário estaria indo contra sua própria essência.

"Claro que o homossexualismo é inatural. Qual foi a última vez em que você viu animais domesmo sexo copulando?"

Falácia "Nenhum Escocês de Verdade..."

Suponha que eu afirme "Nenhum escocês coloca açúcar em seu mingau". Você contra-argumentadizendo que seu amigo Angus gosta de açúcar no mingau. Então eu digo "Ah, sim, mas nenhumescocês de verdade coloca".

Esse é o exemplo de uma mudança Ad Hoc sendo feita para defender uma afirmação, combinada comuma tentativa de mudar o significado original das palavras; essa pode ser chamada uma combinação defalácias.

Non Causa Pro Causa

A falácia Non Causa Pro Causa ocorre quando algo é tomado como causa de um evento, mas sem quea relação causal seja demonstrada.

Por exemplo:"Eu tomei uma aspirina e rezei para que Deus a fizesse funcionar; então minha dor de cabeça

desapareceu. Certamente Deus foi quem a curou."

Essa é conhecida como a falácia da Causalidade Fictícia. Duas variações da Non Causa Pro Causasão as falácias Cum Hoc Ergo Propter Hoc e Post Hoc Ergo Propter Hoc.

Non Sequitur

Non Sequitur é um argumento onde a conclusão deriva das premissas sem qualquer conexão lógica.

Por exemplo:"Já que os egípcios fizeram muitas escavações durante a construção das pirâmides, então

certamente eram peritos em paleontologia."

Pretitio Principii / Implorando a Pergunta

Ocorre quando as premissas são pelo menos tão questionáveis quanto as conclusões atingidas.

Por exemplo:

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"A Bíblia é a palavra de Deus. A palavra de Deus não pode ser questionada; a Bíblia diz que elamesma é verdadeira. Logo, sua veracidade é uma certeza absoluta."

Pretitio Principii é similar ao Circulus in Demonstrando, onde a conclusão é a própria premissa.

Plurium Interrogationum / Muitas Questões

Essa falácia ocorre quando alguém exige uma resposta simplista a uma questão complexa."Altos impostos impedem os negócios ou não? Sim ou não?"

Post Hoc Ergo Proter Hoc

A falácia Post Hoc Ergo Propter Hoc ocorre quando algo é admitido como causa de um eventomeramente porque o antecedeu. Por exemplo:

"A União Soviética entrou em colapso após a instituição do ateísmo estatal; logo, o ateísmo deveser evitado."

Essa é outra versão da Falácia da Causalidade Fictícia.

Falácia "Olha o Avião"

Comete-se essa falácia quando alguém introduz material irrelevante à questão sendo discutida, fugindodo assunto e comprometendo a objetividade da conclusão.

"Você pode até dizer que a pena de morte é ineficiente no combate à criminalidade, mas e asvítimas? Como você acha que os pais se sentirão quando virem o assassino de seu filho vivendo àscustas dos impostos que eles pagam? É justo que paguem pela comida do assassino de seu filho?"

Reificação

A Reificação ocorre quando um conceito abstrato é tratado como algo concreto.

"Você descreveu aquela pessoa como 'maldosa'. Mas onde fica essa 'maldade'? Dentro docérebro? Cadê? Você não pode nem demonstrar o que diz, suas afirmações são infundadas."

Mudando o Ônus da Prova

O ônus da prova sempre cabe à pessoa que afirma. Análoga ao Argumentum ad Ignorantiam, é a faláciade colocar o ônus da prova no indivíduo que nega ou questiona uma afirmação. O erro, obviamente,consiste em admitir que algo é verdade até que provem o contrário.

"Dizer que os alienígenas não estão controlando o mundo é fácil... eu quero que você prove."

Declive Escorregadio

Consiste em dizer que a ocorrência de um evento acarretará conseqüências daninhas, mas semapresentar provas para sustentar tal afirmação.

Por exemplo:"Se legalizarmos a maconha, então mais pessoas começarão a usar crack e heroína, e teríamos

de legalizá-las também. Não levará muito tempo até que este país se transforme numa nação deviciados. Logo, não se deve legalizar a maconha."

Espantalho

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A falácia do Espantalho consiste em distorcer a posição de alguém para que possa ser atacada maisfacilmente. O erro está no fato dela não lidar com os verdadeiros argumentos.

"Para ser ateu você precisa crer piamente na inexistência de Deus. Para convencer-se disso, épreciso vasculhar todo o Universo e todos os lugares onde Deus poderia estar. Já que obviamente vocênão fez isso, sua posição é indefensável."

Tu Quoque

Essa é a famosa falácia "você também". Ocorre quando se argumenta que uma ação é aceitávelapenas porque seu oponente a fez.

Por exemplo:"Você está sendo agressivo em suas afirmações.""E daí? Você também."

Isso é um ataque pessoal, sendo uma variante do caso Argumentum ad Hominem.

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Conteúdo

Sucessões: Progressão Aritmética (PA) e Geométrica (PG)

Máximo Divisor Comum (MDC) e Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Teoria dos Conjuntos Análise Combinatória

Noções de Estatística Noções de Probabilidade

SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado denúmeros reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9,11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceirotermo é 7 e assim sucessivamente.

Uma seqüência pode ser finita ou infinita.

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O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.

Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.

Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:

(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak éo k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo.

(Neste caso, k < n).

Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.

São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei deformação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles.

Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo éigual ao anterior multiplicado por 3.

A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos daseqüência, é denominada termo geral.

Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde né um número natural não nulo.

Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo)correspondente.

Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termodessa seqüência (a20) é igual a 65.

Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria:

S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la. Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo.

Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como: (15, 22, 31, 42, 55, 70,... ).

Por exemplo:

a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)Chama-se Progressão Aritmética - PA - à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo,são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Observe as seqüências numéricas abaixo:

I. (2, 4, 6, 8, ...)

II. (11, 31, 51, 71, ...)

III. (9, 6, 3, 0, ...)

IV. (3, 3, 3, 3, ...)

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V. (4, , 5, , ...)2

9211

Note que de um número para outro está sendo somada uma constante, podendo ser:

Um número positivo Þ Seqüências I e II2 + 2 = 44 + 2 = 6

ou

11 + 20 = 3131 + 20 = 51

Um número negativo Þ Seqüência III9 + (-3) = 66 + (-3) = 3

O número Zero (elemento neutro da adição) Þ Seqüência IV

3 + 0 = 33 + 0 = 3

Uma fração Þ Seqüência V

As cinco seqüências numéricas são exemplos de Progressões Aritméticas (P.A.) e a constante

que em cada caso foi adicionada a um termo, é chamada de razão (r) da progressão.

CLASSIFICAÇÕES

De acordo com a razão de uma P.A. podemos classificá-la da seguinte forma:

a) se r > 0 (razão positiva) Þ P.A. crescente Casos: I, II e V

b) se r < 0 (razão negativa) Þ P.A. decrescente Caso: III

c) se r = 0 (razão nula) Þ P.A. constante Casos: IV

TERMO GERAL

Seja a P.A. representada na forma matemática:

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P.A.: (a1, a2, a3, a4, ..., an)

Encontraremos uma relação que nos auxiliará a obter um termo qualquer da P.A. conhecendo-seapenas, o primeiro termo (a1) e a razão (r).

Da P.A. acima de razão "r" temos:

a2 = a1 + r a3 = a2 + r Þ a3 = a1 + 2r a4 = a3 + r Þ a4 = a1 + 3r a5 = a4 + r Þa5 = a1 + 4r . . . . . . an = an-1 + r Þ an = a1 + (n - 1) ´ r

PROPRIEDADES IMPORTANTES

Seja a P.A.:

TERMOS EQÜIDISTANTES

A soma dos termos eqüidistantes de uma P.A. é sempre constante:

TERMOS CONSECUTIVOS

Um termo é sempre obtido pela média aritmética dos "vizinhos", ou dos eqüidistantes.

Exercícios Resolvidos

1) Encontre o 21º termo da P.A. (22, 27, 32, ...).

Resolução:

Sabemos que a1 = 22 e r = 27 - 22 = 5

Utilizando a relação do termo geral escrevemos:

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a21 = a1 + (21 - 1) r Þ a21 = 22 + 20 . 5a21 = 122

2) Numa P.A. de razão 4, o quinto termo é 97. Qual a ordem do termo que é igual a 141?

Resolução:

Sabemos que a5 = 97 e r = 4

a5= a1 + (5 - 1)r Þ 97 = a1 + 4 . 4 Û a1 = 81Þ

an = a1 + (n - 1)r Þ 141 = 81 + (n - 1) . 4 n = 16

3) Sabendo que a seqüência (3y, y + 1, 5, ...) é uma P.A. Encontre a sua razão e o primeiro termo dessaprogressão.

Resolução:

Utilizando a propriedade de três termos consecutivos obtemos a seguinte relação:

y + 1 = 2

53 +yÞ 2(y+1) = 3y + 5

Resolvendo a equação do primeiro grau obtemos y = -3

Logo a P.A. fica escrita (-9, -2, 5, ...)e portanto a1 = -9 e r = -2 - (-9) = 7

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.

Imagine se quiséssemos somar os cem primeiros números naturais, ou seja, obteríamos a seguintesoma:

S= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 10

Seria a soma dos 100 primeiros termos da seguinte P.A.:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 95, 96, 97, 98, 99, 100)

e portanto se somarmos seus termos eqüidistantes obteremos somas constantes, fazendo uso destapropriedade poderemos escrever a soma dos 100 primeiros termos da seguinte forma:

S= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 S=100 + 99 + 98 + 97 + ... + 4 + 3 + 2 + 1 2S= 101 +101 +101 +101 +.... 101 + 101

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Observando que para somar todos esses termos foi necessário somar o primeiro termo com oúltimo, multiplicar pelo número de termos e dividir por dois. Chegamos, portanto na relação da soma dos"n" primeiros termos de progressão aritmética:

Exercícios Resolvidos

1) Determine a soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética (2, 5, 8, ...).

Resolução:

Temos a1 = 2 e r = 3

precisamos obter o a20 Þ a20 = a1 + (20 - 1) . r

a20 = 2 + 19 . 3 Þ a20 = 59

Portanto

S20 = 2

20).592( + Þ S20 = 61 . 10

S20 = 610

2) Um torneio de futebol é disputado em nove semanas. Na 1ª semana, há dois jogos; na 2ª semana,cinco; na 3ª oito; e assim por diante. Quantos jogos, ao todo, são disputados nesse torneio?

Resolução:

Observando a seqüência de jogos disputados durante as nove semanas encontramos a seguinte P.A. denove termos:

(2, 5, 8, ..., a9)e portanto para sabermos quantos jogos serão realizados, no total, devemos somar todos os termos, ouseja, todos os jogos disputados em cada semana:

a9 = a1 + 8.r Þ a9 = 2 + 8 . 3 Þ a9 = 26

S9 = ( )

29.91 aa +

Þ S9 = ( )

2

9.262 + Þ S9 = 14 . 9

S9 = 126

Contudo serão realizados 126 jogos, nestas nove semanas de jogo.

EXERCÍCIOS - P.A.

1) O trigésimo primeiro termo de uma P.A. de 1º termo igual a 2 e razão 3 é:a) 63 b) 65 c) 92 d) 95 e) 102

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2) Sendo 47 o 17º termo de uma P.A. e 2,75 a razão, o valor do primeiro termo é:a) -1 b) 1 c) 2 d) 0 e) 3

3) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritméticacujo quinto termo vale:a) 45 b) 52 c) 54 d) 55 e)57

4) Se os ângulos internos de um triângulo estão em P.A. e o menor deles é a metade do maior, então omaior mede:a) 60º b) 80º c) 70º d) 50º e) 40º

5) Uma montadora de automóveis produz uma quantidade fixa de 5000 carros ao mês e outra, no mesmotempo, produz 600, para atender ao mercado interno. Em janeiro de 1995 ambas as montadoras farãoum contrato de exportação. Mensalmente, a primeira e a segunda montadoras deverão aumentar ,respectivamente, em 100 e 200 unidades. O número de meses necessários para que as montadorasproduzam a mesma quantidade de carros é:a) 44 b) 45 c) 48 d) 50 e) 54

6) Sabendo que a seqüência (1 - 3x, x - 2, 2x + 1, ...) é uma P.A., então o décimo termo da P.A. (5 - 3x, x+ 7, ...) é:a) 2 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

7) A soma dos vinte primeiros termos da P.A. (-13, -7, -1, ...) é:a) 400 b) 480 c) 880 d) 800 e) 580

8) O oitavo termo de uma P.A. é 89 e a sua razão vale 11. Determine a soma:a) de seus oito primeiros termos;b) de seus quinze primeiros termos.

9) Um cinema possui 20 poltronas na primeira fila, 24 poltronas na segunda fila, 28 na terceira fila, 32 naquarta fila e as demais se compõem na mesma seqüência. Quantas filas são necessárias para a casa ter

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800 lugares?

10) Um agricultor colhe laranjas durante doze dias da seguinte maneira: no 1º dia, são colhidas dezdúzias; no 2º, 16 dúzias; no 3º, 22 dúzias; e assim por diante. Quantas laranjas ele colherá ao final dosdoze dias?

11) Verificou-se que o número de pessoas que comparecia a determinado evento aumentava,diariamente, segundo uma P.A. de razão 15. Sabe-se que no 1º dia compareceram 56 pessoas e que oespetáculo foi visto, ao todo, por 707 pessoas. Durante quantos dias o espetáculo ficou em cartas?

(Dado: = 307.)94249

12) Um estacionamento adota a seguinte regra de pagamento: 1ª hora: R$ 4,002ª hora: R$ 3,50A partir daí, o preço das horas varia segundo uma P.A. de razão igual a -R$ 0,30

a) Qual o valor a ser cobrado na 8ª hora de permanência de um carro neste estacionamento?b) Quanto pagará um proprietário de um veículo estacionado por oito horas?

13) A soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200 é:a) 5000 b) 3950 c) 4000 d) 4950 e) 4500

GABARITO - P.A.

1) C 2) E 3) C 4) B 5) A 6) D7) C 8) a) 404 b) 13359) 16 filas 10) 6192 laranjas11) 7 dias 12) a) R$ 1,40 b) R$ 21,1513) D

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA(P.G.)

Observe as seqüências numéricas abaixo:

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I. (2 , 4 , 8 , 16 , ...) II. (11 , 33 , 99 , 297, ...)

III. (9 , 3 , 1 , 31

, ...) IV . (3 , 3 , 3 , 3 , ...)

V . (4 , -8 , 16 , -32 , ...)

Note que de um número para outro está sendo multiplicada uma constante, podendo ser:

Um número positivo Þ Seqüências I e II2 ́ 2 = 44 ́ 2 = 8ou11 ´ 3 = 3333 ́ 3 = 99

Uma fração Þ Seqüência III

O número 1 (elemento neutro da multiplicação) Þ Seqüência IV3 x 1 = 33 x 1 = 3

Um número negativo Þ Seqüência V4 x (-2) = - 8 (-8) x (-2) = 16

As cinco seqüências numéricas são exemplos de Progressões Geométricas (P.G.) e a constante que emcada caso foi multiplicada a um termo, é chamada de razão (q) da progressão.

Definição: "Progressão Geométrica (P.G.) é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir dosegundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo, chamado razão da progressão. "

CLASSIFICAÇÕES

De acordo com a razão de uma P.A. podemos classifica-la da seguinte forma:a) se a

1 > 0 e q > 1 (primeiro termo e razão positiva) Þ P.G. crescente

Casos: I e II b) se a

1 > 0 e 0 < q < 1 (primeiro termo positivo e razão entre 0 e 1) Þ P.G. decrescente

Caso: IIIc) se q = 1 (razão igual a 1) Þ P.G. constante Casos: IV d) se a

1 ¹ 0 e q < 0 Þ P.G. alternante

Caso: V

TERMO GERAL

Seja a P.G. representada na forma matemática:

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P .G .: (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , . . . , a n )

Encontraremos uma relação que nos auxiliará a obter um termo qualquer da P.G. conhecendo-seapenas, o primeiro termo (a1) e a razão (q).

Da P.G. acima de razão "q" temos:

a2 = a 1 ´ q a3 = a 2 ´ q Þ a 3 = a 1 ´ q 2

a4 = a 3 ´ q Þ a 4 = a 1 ´ q 3

a5 = a 4 ´ q Þ a 5 = a 1 ´ q 4 . . . . . . an = an-1 ´ q Þ an = a 1 ´ q (n - 1)

PROPRIEDADES IMPORTANTES

Seja a P.G.:

(1 , 3 , 9 , 27 , 81 , 24 3 , 72 9 )

TERMOS EQÜIDISTANTES

A produto dos termos eqüidistantes de uma P.G. é sempre constante:

1 ´ 7 2 9 = 3 ´ 2 4 3 = 9 ´ 8 1 = 2 7 ´ 2 7 = 2 7 2

TERMOS CONSECUTIVOS

Um termo é sempre obtido pela média geométrica dos "vizinhos", ou dos eqüidistantes.

3 2 = 1 ´ 9 ; 2 7 2 = 9 ´ 8 1 ; 9 2 = 3 ´ 2 7

Exercícios Resolvidos

1) Calcule o quinto termo da P.G. (2, 6, 18, ...).

Resolução:

Sabemos que a1 = 2 e q = 6 ¸ 2 = 3

Utilizando a relação do termo geral escrevemos:

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a5 = a

1 ́ q (5 - 1) Þ a

5 = 2 ́ 34

a5 = 162

2) Sabendo que a seqüência (3, y + 2, 5y - 2, ...) é uma P.G. Encontre a sua razão e o primeiro termodessa progressão.

Resolução:

Utilizando a propriedade de três termos consecutivos obtemos a seguinte relação:(y + 2)2 = 3 . (5y - 2)y2 + 4y + 4 = 15y - 6 y2 - 11y + 10 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:

y = 1 0

P .G .: (3 , 1 2 , 4 8 , .. .) îíì

==

4q

3a 1

o u y = 1

P .G .: (3 , 3 , 3 , . ..) îíì

==

1q

3a 1

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G.

Para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, usa-se a fórmula abaixo:

S n = q1

)q(1a n1

--× o u S n =

1-q1)-(qa n

1 ×

Exercícios Resolvidos

1) Determine a soma dos 8 primeiros termos da progressão geométrica (1, 3, 9, ...).

Resolução:

Temos a1 = 1 e q = 3

Portanto

S8 = )13(

)13(1 8

--× Þ S8 =

216561 -

S8 = 3 280

2) Determine a soma dos oito primeiros termos da P.G. (-1, 2, -4, 8, ...)

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Resolução:

Da P.G. acima temos: a1 = -1 e q = 2 ¸ (-1) = -2

Utilizando a fórmula para o cálculo dos cem primeiros termos da P.G.:

S8 = ( ))12(

]12[1 8

----×- Þ S8 =

3

255

--

S8 = 85

EXERCÍCIOS - P.G.

1) Qual é o quinto termo da P.G. ( , , 8, ...)?92

34

2) O 4º. termo de uma P.G. é e o 1º. termo é igual a 4. Qual é a razão dessa P.G.?2501

3) O 9º. termo de uma P.G. é e a sua razão é . Determine:82

22

a) O primeiro termo;b) o quarto termo.

4) Qual é o décimo termo da P.G.: (20, 10, 5, ...)?

5) Numa pequena cidade, um boato é espalhado da seguinte maneira: no 1º. dia, 5 pessoas ficamsabendo; no 2º., 15; no 3º., 45; e assim por diante. Quantas pessoas ficam sabendo do boato no 10º.dia?

6) Num cassino, são disputadas dez rodadas em uma noite. Na 1ª. rodada, o valor do prêmio éR$2000,00. Caso os valores dos prêmios aumentem segundo uma P.G., qual é o valor do prêmio naúltima rodada, se na 5ª. rodada ele for de R$10 125,00?

7) Calcule o valor de x, de modo que a seqüência (x - 4, 2x - 4, 4x + 4) seja uma P.G.

8) Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G. (4, -12, 36, ...).

9) Numa P.G. de termos positivos, o 1º. termo é igual a 5 e o 7º. é 320. Calcule a soma dos dez primeirostermos dessa P.G. 10) Um indivíduo contraiu uma dívida e precisou pagá-la em oito prestações assim determinadas: 1º.R$60,00; 2ª. R$90,00; 3ª. R$135,00; e assim por diante. Qual o valor total da dívida?

11) Numa cidade, 3100 jovens alistaram-se para o serviço militar. A junta militar da cidade convocou,para exame médico, 3 jovens no primeiro dia, 6 no 2º. dia, 12 no 3º., e assim por diante. Quantos jovensainda devem ser convocados para o exame após o 10º. dia de convocações?

GABARITO - P.G.

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1) 288

2) q = 101

3) a) b) 122

4) 1285

5) 98 415

6) R$ 76 886,72

7) 8

8) 2 188

9) 5 115

10) R$ 2 956,00, aproximadamente

11) 31

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)

Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos, ao maiornúmero natural que divide a todos simultaneamente.

Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide ao mesmo tempo o 6,o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números dados.

MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida escolhe-se os fatores primos comunscom os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes.

Exemplo: 1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280

Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com os menoresexpoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus menoresexpoentes são :

22 ́ 5 = 4 ́ 5 = 20

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Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma: MDC (60, 280) = 20

2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188

O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser escolhido aquele que tiver o menorexpoente, então temos 22 = 4mdc (480, 188) = 4

MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS (MÉTODO DE EUCLIDES)

Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280.

1o. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior número na primeira lacuna (do meio) e o menorna segunda lacuna (do meio):

2o. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de cima do 60 e o resto na lacuna abaixodo 280:

3o. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado direito de 60 e repete-se os passos 1, 2e 3 até encontrarmos resto zero.

4o. Passo: O último divisor encontrado será o mdc.

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mdc (60, 280) = 20

Nota: "Números Primos entre Si"Dois ou mais números são considerados primos entre si se e somente o Máximo Divisor Comum entreesses números for igual a 1.

Exemplo: 21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1

Exercícios Resolvidos

1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos dividir 144 e 160, a fim de obtermosquocientes iguais.

Resolução:Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160

mdc (144, 160) = 24 = 16

Então:144 ̧ 16 = 9O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente 9,Vem que 160 ¸ 16 = 10 onde 16 é também o maior divisor de 160 e 10 o menor quociente. Logo osnúmeros procurados são 9 e 10 pois 144 ̧ 9 = 16 e 160 ̧ 10 = 16.

2) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 24 metros de frente e 56 metros defundo. Qual deve ser o comprimento de um cordel que sirva para medir exatamente as duas dimensões?

Resolução:

Então: mdc ( 56, 24) = 8

Resposta:

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O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para medir as dimensões do terreno deve ser de 8metros de comprimento, pois, 8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 24.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)

"Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos é o menor dos múltiplos,não nulo, comum a esses números."

Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 6 e outro constituído pelos múltiplos de9.

v M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}v M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...}

Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, verificamos que existem números queaparecem em ambos, isto é, são comuns aos dois conjuntos, como os números 18 e 36, isto é:

M(6) Ç M(9) = {0, 18, 36, ...}

Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, isto é, estes números são divisíveis aomesmo tempo por 6 e por 9.Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o número 18, isto é:

mmc (6, 9) = 18

MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, obtém-se decompondo simultaneamenteeste números e efetuando-se o produto dos fatores primos comuns e não comuns escolhidos com seusmaiores expoentes.

Exemplo:Determinar o M.M.C. dos números 70, 140, 180.Fatorando os números:

70 2 140 2 180 2 35 5 70 2 90 2 7 7 35 5 45 3 1 7 7 15 3 1 5 5 1

Então temos: 70 = 2 x 5 x 7140 = 22 x 5 x 7 180 = 22 x 32 x 5

Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três fatorações são 2 e 5. O número 7 não éfator primo comum porque só aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número 3 também não éfator primo comum porque só aparece na fatoração do número 180. Logo:

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v fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 22 e 5.

v Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 32 e 7.

mmc (70, 140,180) = 22 x 5 x 32 x 7 = 1260

MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Então:

mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260

RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC

O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números.

mmc (a, b) ́ mdc (a, b) = a x b

Exemplo:

Sejam os números 18 e 80Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) ́ mdc (18, 80)O produto é 18 ́ 80 = 1440.

Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números.

80, 18 2 40, 9 2 20, 9 2 10, 9 2 5, 9 3 5, 3 3 5, 1 5 1, 1

mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720

Logo: mdc(80, 18) = 1440 ̧ mmc(18, 80) = 1440 ̧ 720 = 2

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EXERCÍCIO RESOLVIDO

Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos algumasindicações importantes.I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são múltiplos;II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns;III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C.

Exemplo:

Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias. Sabendo-se quehoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro?

Resolução:vExiste a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando ocorrerá o novo

encontro?" Þ Múltiplo

v"Encontrar-se-ão num determinado dia"Þ Comum

v"Quando acontecerá o novo encontro"Þ Mínimo

Portanto

15, 20, 25 2 15, 10, 25 2 15, 5, 25 3 5, 5, 25 5 1, 1, 5 5 1, 1 1 300

Resposta: O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias.

Exercícios para resolver

01) Obter o Máximo Divisor Comum entre os números 1545, 125 e 825.a) 25b) 15c) 10d) 5e) 1

02) Obter o Máximo Divisor Comum entre os números 21 e 49.a) 21b) 49c) 147d) 7e) 14

03) Obter o Máximo Divisor Comum entre os números 31 e 153.

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a) 1b) 13c) 3d) 4e) 51

04) Obter o Máximo Divisor Comum entre os números 13 e 49.a) 13b) 39c) 26d) 7e) 1

05) Obter o Máximo Divisor Comum entre os números 250 e 450.a) 10b) 20c) 30d) 40e) 50

06) Obter o Máximo Divisor Comum entre os números 1250 e 4568.a) 12b) 10c) 5d) 2e) 3

07) Obter o Mínimo Múltiplo Comum entre os números 1250 e 4568.a) 2.855.000b) 1.250.000c) 5d) 2e) 3

08) Obter o Mínimo Múltiplo Comum entre os números 250 e 450.a) 2.000b) 2.150c) 2.250d) 2.500e) 4.500

09) Obter o Mínimo Múltiplo Comum entre os números 13 e 49.a) 637b) 497c) 351d) 139e) 491

10) Obter o Mínimo Múltiplo Comum entre os números 21 e 49.a) 21b) 49c) 147d) 7e) 14

Gabarito

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01) D 02) D 03) A 04) E 05) E 06) D 07) A 08) C 09) A 10) C

Noções Básicas da Teoria dos Conjuntos

Introdução

Como em qualquer assunto a ser estudado, a Matemática também exige uma linguagem adequada parao seu desenvolvimento.

A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos daMatemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e humanas.

Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitos primitivos (noções que adotamos semdefinição) e que estabelecem a linguagem do estudo da teoria dos Conjuntos.

Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento, conjunto e pertinência. Assim épreciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto de moradores desta cidade, oumelhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao conjunto de habitantes da cidade, mesmo quenão tenhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que é pertinência.

Notação e Representação

A notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do nosso alfabeto e arepresentação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir. 1) Listagem dos Elementos

Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos oselementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista por um par de chaves. Oselementos de um conjunto, quando apresentados na forma de listagem, devem ser separados por vírgulaou por ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de números decimais.Exemplos

1o) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então:

A = {verde, amarelo, azul, branco} 2o) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:

B = {a, e, i, o, u}

3o) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 2) Uma Propriedade de Seus Elementos A apresentação de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o inconveniente de não seruma notação prática para os casos em que o conjunto apresenta uma infinidade de elementos. Paraestas situações, podemos fazer a apresentação do conjunto por meio de uma propriedade que sirva atodos os elementos do conjunto e somente a estes elementos.

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A = {x / x possui uma determinada propriedade P}Exemplos

1o) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:B = {x / x é vogal do nosso alfabeto}

2o) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração} 3) Diagrama de Euler-Venn A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Euler-Venn é gráfica e, portanto, muito prática.Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Dessaforma, os pontos exteriores à linha representam elementos que não pertencem ao conjunto considerado.Exemplo

Relação de Pertinência

Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que oelemento x pertence ao conjunto A e indicamos:

em que o símbolo é uma versão da letra grega epsílon e está consagrado em toda matemática comosímbolo indicativo de pertinência. Para indicarmos que um elemento x não pertence ao conjunto A,indicamos:

Exemplo

Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}

O algarismo 2 pertence ao conjunto A:

O algarismo 7 não pertence ao conjunto A:

Relação de Inclusão Subconjuntos

Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, pertencertambém a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte símbologia:

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Obs. – Podemos encontrar em algumas publicações uma outra notação para a relação de inclusão:

O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B.Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira:

Se o conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B. Como todoelemento do conjunto A pertence ao conjunto A, dizemos que A é subconjunto de A e, por extensão, todoconjunto é subconjunto dele mesmo.

Importante – A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusãorefere-se, sempre, a dois conjuntos.

Podemos notar que existe uma diferença entre 2 e {2}. O primeiro é o elemento 2, e o segundo é oconjunto formado pelo elemento 2. Um par de sapatos e uma caixa com um par de sapatos são coisasdiferentes e como tal devem ser tratadas.

Podemos notar, também, que, dentro de um conjunto, um outro conjunto pode ser tratado como um deseus elementos. Vejamos o exemplo a seguir:

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{1, 2} é um conjunto, porém no conjuntoA = {1, 3, {1, 2}, 4} ele será considerado um elemento, ou seja, {1, 2} A.

Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da cidade, porém uma cidade éum elemento do conjunto de cidades que formam um Estado.

Conjuntos Especiais

Embora conjunto nos ofereça a idéia de “reunião” de elementos, podemos considerar como conjuntoagrupamentos formados por um só elemento ou agrupamentos sem elemento algum.

Chamamos de conjunto unitário aquele formado por um só elemento.Exemplos

1o) Conjunto dos números primos, pares e positivos:{2}

2o) Conjunto dos satélites naturais da Terra:

{Lua}

3o) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11:

{6}

Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um conjunto vazioconsiderando um conjunto formado por elementos que admitem uma propriedade impossível.Exemplos

1o) Conjunto das raízes reais da equação:

x2 + 1 = 0

2o) Conjunto:

O conjunto vazio pode ser apresentado de duas formas: Ø ou { } Ø ( é uma letra de origem norueguesa). Não podemos confundir as duas notações representando o conjunto vazio por { Ø }, pois estaríamosapresentando um conjunto unitário cujo elemento é o Ø.

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado subconjunto de qualquerconjunto, inclusive dele mesmo.

Demonstração

Vamos admitir que o conjunto vazio não esteja contido num dado conjunto A. Neste caso, existe umelemento x que pertence ao conjunto vazio e que não pertence ao conjunto A, o que é um absurdo, poiso conjunto vazio não tem elemento algum. Conclusão: o conjunto vazio está contido no conjunto A,

qualquer que seja A.

Conjunto Universo

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Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemática, precisamos admitir um conjuntoao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este conjunto é chamado de conjunto universoe é representado pela letra maiúscula U.

Uma determinada equação pode ter diversos conjuntos solução de acordo com o conjunto universo quefor estabelecido.Exemplos

1o) A equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0 apresenta:

2o) O conjunto dos pontos eqüidistantes de um ponto dado pode ser formado:

– por apenas dois pontos, se o conjunto universo for uma reta que passa pelo ponto dado;

– pelos infinitos pontos de uma circunferência, se o conjunto universo for um plano que passa pelo pontodado;

– pelos infinitos pontos de uma superfície esférica, se o conjunto universo for o espaço a que o pontodado pertence.

Para iniciarmos qualquer procedimento matemático, é importante sabermos em qual conjunto universovamos atuar.

Conjunto de Partes

Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P (A), é o conjunto

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formado por todos os subconjuntos do conjunto A. 1) Determinação do Conjunto de Partes Vamos observar, com o exemplo a seguir, o procedimento que se deve adotar para a determinação doconjunto de partes de um dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o conjunto departes do conjunto A, basta escrevermos todos os seus subconjuntos:

1o) Subconjunto vazio:Ø , pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

2o) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}.

3o) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}.

4o) Subconjuntos com três elementos:A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo.Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma: P(A) = { Ø,{2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} 2) Número de Elementos do Conjunto de Partes

Podemos determinar o número de elementos do conjunto de partes de um conjunto A dado, ou seja, onúmero de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja necessidade de escrevermos todos oselementos do conjunto P (A). Para isso, basta partirmos da idéia de que cada elemento do conjunto Atem duas opções na formação dos subconjuntos: ou o elemento pertence ao subconjunto ou ele nãopertence ao subconjunto e, pelo uso do princípio multiplicativo das regras de contagem, se cadaelemento apresenta duas opções, teremos:

Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = {2, 3, 5} apresenta três elementos e, portanto, é de sesupor, pelo uso da relação apresentada, que n [P (A)] = 23 = 8, o que de fato ocorreu.

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmos elementos, em qualquer ordeme independentemente do número de vezes que cada elemento se apresenta. Vejamos os exemplos:

{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}

Observação

Se o conjunto A está contido em B (A B) e B está contido em A (B A), podemos afirmar que A = B.

Resumo

a) Conceito de conjunto: “reunião” de elementos que constituem um conjunto e a ele pertencem.

b) Notação e representação: por meio da listagem dos elementos; por meio de uma propriedade comuma seus elementos; graficamente, pelo uso do diagrama de Euler-Venn.

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c) Pertinência: indica quando um elemento ( pertence) ou (não pertence) a um determinadoconjunto.

d) Inclusão: indica quando um conjunto está (contido) ou (não contido) em outro conjunto. Um

conjunto estará contido em outro se todos os elementos do 1o conjunto pertencerem também ao 2oconjunto. O primeiro será chamado de subconjunto do segundo.

e) Conjuntos especiais: unitário – um único elemento; vazio – nenhum elemento. O conjunto vazio érepresentado, geralmente, pela letra norueguesa Ø.

f) Conjunto de partes de A: conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. Não podemos nosesquecer do conjunto vazio e do próprio conjunto A.

g) Igualdade de conjuntos:

Exercícios Resolvidos

01. Dado o conjunto M = {1, 3, 5, 7}, pede-se:

a) Quantos elementos possui P(M)?

b) Escreva os elementos de P(M).

Resolução

a) M = {1, 3, 5, 7}, então n(M) = 4, portanto n(M) = 24 = 16.

b) P(M)= { {1}, {3}, {5}, {7}, {1,3}, {1,5}, {1,7}, {3,5}, {3,7}, {5,7}, {1,3,5}, {1, 3, 7}, {1, 5, 7}, {3, 5, 7}, {1, 3, 5,7} ,Ø }

02. Se o conjunto P(R) tem 1 024 elementos, quantos são os elementos de R?

Resolução

Decompondo 1 024 em fatores primos, obteremos:1 024 = 210, então n(R) = 10

03. Considerando U = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} como conjunto universo, determinar o conjunto solução de:

Resolução

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04. Os elementos dos conjuntos abaixo são números naturais. Escreva esses conjuntos por meio de umapropriedade que os caracterize:

a) D = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}

b) A = {0, 3, 6, 9 ...60}

Resolução

a) é número ímpar}

b) é múltiplo de 3, maior ou igual a zero e menor ou igual a 60}

ANÁLISE COMBINATÓRIAContagem - Arranjo - Permutação - Combinação

Nesta parte da matemática estudaremos as diversas possibilidades da ocorrência de um evento, comopor exemplo, de quantas maneiras distintas pode uma pessoa subir até o último andar de um prédiohavendo três portas de entrada e mais quatro elevadores? Ou mesmo, quantos números de trêsalgarismos distintos há em nosso sistema de numeração decimal?

Para responder a essas duas perguntas estudaremos o primeiro assunto da Análise Combinatória:

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Vamos descobrir de quantas maneiras distintas pode um homem (H), subir até o apartamento de suamulher (M) que mora no último andar de um prédio. Sabe-se este prédio possui três portas de entrada eapós, quatro elevadores para subir até o andar desejado. Observe todas as possibilidades relacionadas:

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H

Porta1

Porta2

Porta3

M

Elevador1

Elevador2

Elevador3

Elevador4

Observamos que para cada porta de entrada há quatro elevadores de acesso ao andar destinado, eportanto se temos três portas de entrada obteremos então 4 + 4 + 4 = 12 formas distintas de subir até M,o que seria mais fácil efetuar 3 x 4 = 12 possibilidades.

O Princípio Fundamental da Contagem nos diz exatamente isso:

Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que:

p1 é o número de possibilidades da 1ª etapap2 é o número de possibilidades da 2ª etapap3 é o número de possibilidades da 3ª etapa...pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa, então: p1.p2.p3 ... .pk é o número de possibilidadesde o acontecimento ocorrer.

No nosso caso tínhamos duas etapas, a entrada por uma das portas e a subida por um dos quatroelevadores e, portanto 12 maneiras distintas de H chegar até M.

Exercícios Resolvidos 1) Quatro carros (c1, c2, c3 e c4) disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada paraos três primeiros lugares?

Resolução:

Para separarmos as etapas possíveis utilizaremos os três retângulos abaixo:

1º Lugar 2º Lugar 3º Lugar

O primeiro retângulo para o primeiro lugar, o segundo para o segundo lugar e o terceiro para o terceirolugar. Temos, portanto, 4 possibilidades para o primeiro lugar, 3 possibilidades para o segundo lugar e 2possibilidades para o terceiro lugar, logo o número de possibilidades de chegada para os três primeiroslugares é 4 x 3 x 2 = 24.

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2) Calcule quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar usando os algarismos:

a) 1, 2, 3, 4, 5 e 6

b) 0, 1, 2, 3, 4 e 5

Resolução:

a) Aplicando o princípio fundamental da contagem temos o esquema abaixo e, portanto podemos formar360 números.

6 5 4 3 = 360

b) Temos o mesmo esquema, com a ressalva de que para o algarismo da unidade de milhar temos 5possibilidades e não 6, como no item anterior, uma vez que o zero no início não é contado comoalgarismo, para a centena temos 5 possibilidades também, pois o zero poderá ocupar esta "casa".

5 5 4 3 = 300

3) Calcule quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar usando os algarismos1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Resolução:

Para sabermos se um número é ímpar ou não, devemos olhar para o último algarismo onde devemos terum algarismo ímpar, então constatamos que há 5 terminações possíveis (1, 3, 5, 7 e 9):

8 7 5 = 280

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Logo, podemos formar 280 números ímpares.

4) Para pintarmos uma bandeira com 5 listras verticais dispomos de 4 cores diferentes de tinta. Dequantas formas distintas podemos pintar a bandeira de modo que duas listras vizinhas nunca sejampintadas com a mesma cor?

Resolução:

Observe o desenho da bandeira com 5 listras verticais e aplicando o P.F.C., obtemos:

4 3 3 3 3 = 972

Exercícios Característicos de Contagem

Ocupação de Lugares Definidos De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em um banco de cinco lugares?1a Resolução

· Consideremos como etapas sucessivas e independentes as escolhas dos lugares que as trêspessoas vão ocupar.

Total = 5 · 4 · 3 = 60

2a Resolução· Consideremos como etapas sucessivas e independentes as escolhas das pessoas por quem os

cinco lugares serão ocupados, considerando, porém, dois fantasmas para simbolizar os lugaresvagos.

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Total = = 60

Note que o total foi dividido por 2! para desprezar a mudança de ordem dos fantasmas. Resposta: Podem sentar-se de 60 modos diferentes.

Distribuição em Grupos Oito escoteiros devem ser distribuídos em duas patrulhas que terão missões diferentes. De quantosmodos isto pode acontecer?

Resolução· Imaginemos a distribuição sendo feita colocando-se os escoteiros em fila e consideremos os

quatro primeiros da fila em uma patrulha e os quatro últimos na outra.

Total = = 70 Resposta: Pode acontecer de 70 modos.

Figuras Geométricas Considere 8 pontos distintos em uma circunferência. Quantos são os triângulos que podem ser formadoscom vértices nesses pontos?

Resolução· Consideremos as etapas sucessivas das escolhas dos vértices dos triângulos:

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· Total = = 56 Resposta: Podem ser formados 56 triângulos.

Exercícios Resolvidos

Ocupação de Lugares Definidos 01. De quantas maneiras podemos sentar 4 moças e 4 rapazes numa fila de 8 assentos, de modoque nunca haja nem dois rapazes vizinhos nem duas moças sentadas uma ao lado da outra? a) 5 040 d) 576b) 40 320 e) 1 152c) 2 880

Resolução Podemos ter:

Logo: 576 + 576 = 1 152 Resposta: E

Distribuição em Grupos 02. Oito livros devem ser distribuídos em dois grupos de quatro livros cada um. De quantosmodos isto pode ser feito?Resolução

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Total = = 35

Resposta: Pode acontecer de 35 modos.

Figuras Geométricas 03. Sejam 15 pontos distintos, pertencentes a uma circunferência. O número de retas distintasdeterminadas por esses pontos é: a) 14 d) 210b) 91 e) 225c) 105

Resolução

15 pontos distintos de uma circunferência nunca serão alinhados 3 a 3 e sabemos que = ;portanto:

Total = = 105 Resposta: C

04. Nas condições do problema anterior, qual o número de semi-retas determinadas pelos 15pontos?

Resolução

Sabemos que ; portanto:

Total = 15 · 14 = 210 Resposta: 210 semi-retas

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ARRANJOS SIMPLES

Todo problema de contagem pode, pelo menos ser resolvido pelo Princípio Fundamental da Contagem e,no entanto podemos ainda utilizar a técnica dos agrupamentos para a resolução dos mesmos.

Obs.: Consideramos os agrupamentos (arranjos, permutações e combinações) simples, isto é, formadosapenas por elementos distintos.

FÓRMULA: p)!(nn!

A pn, -=

Exercícios Resolvidos

1) Obtenha o valor de A5,2 (Arranjo de 5 elementos tomados 2 a 2).

Resolução:

2)!(55!

A 5,2 -= =

3!5!

= 3!

3!45 ×× = 20

2) Quantos números com 2 algarismos distintos podemos formar utilizando os elementos do conjunto {1,2 ,3 , 4, 5}?

Resolução:

Utilizando o P.F.C. obtemos:

5 4 = 20

Podemos ainda utilizar o Arranjo para a resolução deste problema:

2)!(55!

A5,2 -= =

3!5!

= 3!

3!45 ×× = 20

3) A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas escolhidas de um alfabeto com26 letras, seguidas de uma seqüência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam serconfeccionadas, nestas condições?

Resolução:

Por Arranjo:

Escolhendo duas letras de um total de 26 letras e como importa a ordem dos elementos da escolhafaremos A26,2. Analogamente para a escolha dos três algarismos temos A10,3 :

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A26,2 A10,3 ´ = 468 000

Pelo P.F.C.:

26 25 10 9 = 468 000 8

Letras Distintas

Algarismos Distintos

PERMUTAÇÃO

Permutar significa mudar, toda vez que você se deparar com um exercício onde apenas trocando (oumudando) os elementos de posição sem mesmo acrescentar ou retirá-los, você obterá novas respostasentão você poderá usar a permutação para a resolução do exercício em questão.

Exemplo: Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar utilizando os elementos doconjunto {2, 5, 6, 9}?

Um número que podemos formar seria o 2569 (dois mil quinhentos e sessenta e nove), trocando o 5(cinco) com o 6 (seis), obteremos o 2659 (dois mil seiscentos e cinqüenta e nove), são dois númerosdiferentes e utilizamos para a formação dos mesmos todos os algarismos do conjunto, não tendo queacrescentar, retirar ou mesmo repetir.

Vamos, então, descobrir quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar utilizando oselementos do conjunto, e para tanto faremos uso do princípio fundamental da contagem:

4 3 2 1 = 24

Observe que "4 . 3 . 2 . 1" é o mesmo que 4!, e, portanto para chegarmos na resposta, bastava contar aquantidade de elementos e utilizar a permutação simples, que no caso seria a P4 = 4!

Definição: "Seja A um conjunto com n elementos. Os arranjos simples dos n tomados n a n doselementos de A, são chamados permutações simples de n elementos."

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Pn = n!

Exercícios Resolvidos

1) Quantos são os anagramas da palavra BRASIL?

Resolução:

Um possível anagrama da palavra BRASIL seria BRLSIA, onde trocamos as posições da letra L e letraA. Portanto nos deparamos com um problema de troca de elementos, ou seja, um problema dePermutação.

Observe que não há repetições de letras e temos 6 letras para serem permutadas, logo:

P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Temos portanto, 720 anagramas da palavra BRASIL.

2) Quantos são os anagramas da palavra BRASIL que começam com a letra B?

Resolução:Como devemos descobrir quantos anagramas começam com a letra B, fixaremos a letra B no início epermutaremos o restante das letras, logo:

B ___ ___ ___ ___ ___

P5 = 5! = 120

3) Cinco pessoas, entre elas Fred e Fabiano, vão posar para uma fotografia. De quantas maneiras elaspodem ser dispostas se Fred e Fabiano recusam-se a ficar lado a lado?

Resolução:Sem levar em conta a restrição, o número total de possibilidades é P5 = 5! = 120.

Determinaremos agora, o número de possibilidades que Fred e Fabiano aparecem juntos, considerandoque os dois sejam uma só pessoa que irá permutar com as três restantes, num total de P4 = 4! = 24. Porém, em cada uma das possibilidades acima Fred e Fabiano podem trocar de lugar entre si, num totalde P2 = 2 maneiras.

Dessa forma, 2 ́ 24 = 48 é o número de maneiras que eles aparecem juntos.

Logo, a diferença 120 - 48 = 72 nos dá o número de situações em que Fred e Fabiano não aparecemlado a lado.

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÕES

Exemplo: Qual o número de anagramas da palavra PANTERA?

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Resolução:Um possível anagrama da palavra PANTERA é PANTERA...

Como temos dois "A(s)" ao permutarmos os dois temos um mesmo anagrama, portanto devemos levarisso em consideração.

Cálculo da Permutação com Elementos Repetidos:

...c!b!a!n!c,...b,a,

nP×××

=

onde:a, b, c, ... Þ são os números de repetições dos elementos.n Þ a quantidade de elementos que serão permutados.

No caso da palavra PANTERA teremos:

!2!7

P27 = =

2!2!7.6.5.4.3.

= 2 520

Exercício Resolvido

Qual o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA?

Resolução:

A palavra MATEMÁTICA possui dois "M(s)", dois "T(s)" e três "A(s)", então:

!3!2!2!10

P 3,2,210 ××

= = 3!22

3!45678910××

×××××××= 151 200

COMBINAÇÃO SIMPLES

Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, com os elementos desse conjunto podemos formas númerosde três algarismos distintos ou mesmo subconjuntos de três elementos.

Exemplos:

Números Subconjuntos123 456 {1,2,3} {4,5,6}321 654 {3,2,1} {6,5,4}213 546 {2,1,3} {5,4,6}

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Observe que temos 6 números formados de três algarismos distintos, e no entanto, não teremos 6subconjuntos formados e sim, apenas 2 subconjuntos, uma vez que a ordem dos elementos de umconjunto não importará, assim:

{1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {2, 1, 3}por outro lado teremos

123 ¹ 321 ¹ 213Portanto,

Para encontrarmos a quantidade de números formados de três algarismos distintos com os elementosdo conjunto A, basta aplicarmos o P.F.C. Þ 6 ́ 5 ́ 4 = 120 números.

Por outro lado, para encontrarmos a quantidade de subconjuntos formados com três elementosutilizaremos a Combinação Simples, uma vez que neste caso a ordem dos elementos não importará.

FÓRMULA

p)!(np!n!

C pn, -×=

"Combinação de n elementos tomados p a p"

No exemplo acima teremos:

)!36(!3!6

C 3,6 -×= =

!3!3!6

× =

!3123!3456

××××××

= 20

serão, portanto, 20 subconjuntos formados.

COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO

Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.

Fórmula: C,(m,p) = C (m+p-1,p)

Cálculo para o exemplo: C,( 4,2) =C ( 4+2-1 ,2) = C(5,2) = 5!/[2!3!]=10

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendoaparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentoscom 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:

C,= {AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinaçõescom repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:

Cr ={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}

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Exercícios Resolvidos

1) Numa classe há 40 alunos. Desejamos formar comissões de 3 alunos.

a) De quantas formas distintas podemos eleger uma comissão?b) De quantas formas distintas podemos eleger uma comissão sendo que ela deve ter 3 cargosdiferenciados: um presidente, um secretário e um tesoureiro?

Resolução:

a) Como não há cargos diferenciados para cada membro da comissão, a ordem dos elementos não iráimportar, ou seja, uma comissão com Gregório, Leandro e Alexandre é a mesma que uma outra formadapor Leandro, Alexandre e Gregório. Trata-se, portanto, do cálculo de C40,3:

)!340(!3!40

C 3,40 -×= =

!37123!37383940

××××××

= 9 880

Logo, esta comissão pode ser formada de 9 880 formas distintas.

b) Neste caso, há cargos diferenciados e a ordem dos elementos importará, uma vez que se Gregório foro presidente, Alexandre o secretário e Leandro o tesoureiro, será diferente se trocado Gregório eLeandro, por exemplo. Trata-se, então, do cálculo de A40,3, ou mesmo, da aplicação do P.F.C.:

40 39 38 = 59 280

P res. Secr . T es.

Logo, podemos formar 59280 comissões distintas.

2) Numa classe de 30 alunos, 18 são moças e 12 são rapazes. Quantas comissões de 5 alunospodemos formar sabendo que na comissão deve haver 3 moças e 2 rapazes?

Resolução:

Para formar a ala feminina: C18,3 = 816

Para formar a ala masculina: C12,2 = 66

Aplicando o P.F.C., o número total de comissões será: 816 ́ 66 = 53 856.

EXERCÍCIOS

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1) Sabendo que números de telefone não começam com 0 e nem com 1, calcule quantos diferentesnúmeros de telefone podem ser formados com 7 algarismos?

2) Para ir ao clube, Neuci deseja usar uma camiseta, uma saia e um par de tênis. Sabendo que eladispõe de seis camisetas, quatro saias e três pares de tênis, de quantas maneiras distintas poderávestir-se?

3) Uma agência de turismo oferece bilhetes aéreos para o trecho São Paulo - Miami através de duascompanhias: Varig ou Vasp. O passageiro pode escolher também entre primeira classe, classe executivae classe econômica. De quantas maneiras um passageiro pode fazer tal escolha?

4) Um jantar constará de três partes: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas maneirasdistintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos principais e quatrosobremesas?

5) Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 8 e 9:

a) quantos números de quatro algarismos podemos formar?b) quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar?

6) Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7:

a) quantos números de quatro algarismos distintos começam por 3?b) quantos números pares de quatro algarismos distintos podemos formar?

7) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números ímpares de quatro algarismos podemosformar?

8) Calcule: a) A 9, 3 b) A 8, 4

9) Resolva a equação A x, 2 = 20.

10) Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos números de dois algarismos distintos é possívelformar com os elementos do conjunto A, de modo que:

a) a soma dos algarismos seja ímpar?b) a soma dos algarismos seja par?

11) Determine n sabendo que Pn = 120.

12) Considere os anagramas formados com as letras C, A, S, T, E, L, O:

a) Quantos são?b) Quantos começam por C?c) Quantos começam por CAS?d) Quantos começam e terminam por vogal?e) Quantos começam por vogal e terminam por consoante?

13) Uma estante tem 10 livros distintos, sendo cinco de Álgebra, três de Geometria e dois deTrigonometria. De quantos modos podemos arrumar esses livros na estante, se desejamos que os livrosde um mesmo assunto permaneçam juntos?

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14) Uma classe de 10 alunos, entre eles Mariana e Gabriel, será submetida a uma prova oral em quetodos os alunos serão avaliados. De quantas maneiras o professor pode escolher a seqüência dosalunos:

a) se Mariana deve ser sempre a primeira a ser chamada e Gabriel sempre o último a ser chamado?b) se Mariana deve ser, no máximo, a 2ª pessoa a ser chamada? (Há dois casos a serem considerados.)

15) Quantos são os anagramas da palavra MACACA?

16) Quantos são, ao todo, os anagramas da palavra MATEMÁTICA que começam com vogal? (Não levarem consideração o acento).

17) Um torneio de futebol será disputados em duas sedes a serem escolhidas entre seis cidades. Dequantas maneiras poderá ser feita a escolha das duas cidades?

18) Quinze alunos de uma classe participam de uma prova classificatória parta a Olimpíada deMatemática. Se há três vagas para a Olimpíada, de quantas formas o professor poderá escolher osalunos?

19) De um baralho de 52 cartas, sorteamos sucessivamente, e sem reposição, cinco cartas. O sorteiosucessivo e sem reposição garante que as cartas sorteadas sejam distintas.

a) Quantas são as possibilidades de sorteio das cartas?b) De quantas formas essas cartas podem ser sorteadas de modo que o ás de copas possa ser sempreincluído?

20) Uma junta médica deverá ser formada por quatro médicos e dois enfermeiros. De quantas maneirasela poderá ser formada se estão disponíveis dez médicos e seis enfermeiros?

21) Uma classe tem 10 meninos e 12 meninas. De quantas maneiras poderá ser escolhida umacomissão de três meninos e quatro meninas, incluindo, obrigatoriamente, o melhor aluno e a melhoraluna?

22) Considere duas retas paralelas. Marque 7 pontos distintos numa delas e 4 pontos distintos na outra.Determine, em seguida, o número total de:

a) Retas determinadas por estes pontos.b) Triângulos com vértices nestes pontos.c) Quadriláteros com vértices nestes pontos.

23) Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formaruma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?

GABARITO

1) 8 000 000

2) 72

3) 6

4) 160

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5) a) 1296 b) 360

5) a) 60 b) 180

7) 882

8) a) 504 b) 1 680

9) S = {5}

10) a) 12 b) 8

11) 5

12) a) 5 040 b) 720 c) 24 d) 720 e) 1 440

13) 8 640

14) a) 8! = 40320 b) 2 . 9! = 725760

15) 60

16) 75 600

17) 15

18) 455

19) a) C52, 5 b) C51, 4

20) 3 150

21) 5 940

22) a) 30 b) 126 c) 126

23) 120

ESTATÍSTICA

INTRODUÇÃO

Em anos de eleições é inevitável nos depararmos com pesquisas eleitorais, como por exemplo, quemestá em primeiro lugar nas pesquisas, ou em segundo, mas será que todos os eleitores foramconsultados? Com certeza não, pois há métodos mais convenientes, como por exemplo, considera-seuma amostra dos eleitores e a partir desta amostra se conclui para o restante dos eleitores. Em março de 1983, o deputado federal Dante de Oliveira, atendendo a uma forte pressão do povo

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brasileiro, apresentou uma proposta de emenda à Constituição, que pretendia restabelecer as eleiçõesdiretas para a Presidência da República. A expectativa em torno dessa votação deu origem à maiormanifestação popular já conhecida neste país, que ficou conhecida como "Diretas já". Em abril de 1984, cerca de 500 mil pessoas estavam na Praça da Candelária, no Rio de Janeiro e mais1 milhão no Vale do Anhangabaú em São Paulo. A relação desse acontecimento com a Matemática, é aforma como foram contadas as pessoas nestes lugares. Conta-se a quantidade de pessoas em um certolocal, e divide-se pela área ocupada por essas pessoas, em seguida, multiplica-se pela área totalocupada, obtendo assim o valor estimado que é bem próximo do total.

ROLAs notas de 20 alunos de uma turma de oitava série estão abaixo relacionadas:

* 5,9 - 5,8 - 3,4 - 7,4 - 4,0 - 7,3 - 7,1 - 8,1 - 3,7 - 7,9 - 7,6 - 7,7 - 5,6 - 3,2 - 6,7 - 7,4 - 8,7 - 2,1 - 9,6 - 1,3

Para encontrarmos o Rol desta distribuição de valores basta colocarmos os valores em ordem crescenteou decrescente:

* 1,3 - 2,1 - 3,2 - 3,4 - 3,7 - 4,0 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 6,7 - 7,1 - 7,3 - 7,4 - 7,4 - 7,6 - 7,7 - 7,7 - 8,1 - 8,7 - 9,6

* 9,6 - 8,7 - 8,1 - 7,7 - 7,7 - 7,6 - 7,4 - 7,4 - 7,3 - 7,1 - 6,7 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 4,0 - 3,7 - 3,4 - 3,2 - 2,1 - 1,3

CLASSESQualquer intervalo real que contenha um rol é chamado de classe. Considerando a relação de notasespecificadas acima podemos estabelecer as seguintes classes de intervalos:

vo intervalo [1, 2[ contém a nota 1,3

vo intervalo [2, 1[ contém a nota 2,1

vo intervalo [2, 3[ contém as notas 3,2; 3,4; 3,7

E assim sucessivamente.

Observação: A amplitude é a diferença entre o maior e o menor elemento de uma distribuição, intervalo ou classe.

Exemplos:

v 9,6 - 1,3 = 8,5 é amplitude da distribuição das notas.

v A amplitude da classe [7, 8[ é 7,7 - 7,1 = 0,6.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

FREQÜÊNCIA ABSOLUTA (fi)

É a quantidade de vezes que um determinado valor aparece numa classe. Observe a tabelaabaixo, referente à distribuição das notas:

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CLASSES Freqüência Absoluta(fi)

[1, 2[ 1 [2, 3[ 1 [3, 4[ 3 [4, 5[ 1 [5, 6[ 3 [6, 7[ 1 [7, 8[ 7 [8, 9[ 2 [9, 10[ 1 TOTAL 20

Da tabela podemos concluir que, por exemplo, 7 alunos tiraram notas entre 7,0 e 8,0.

FREQÜÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA (fa)

A distribuição de freqüências absolutas pode ser completada com mais uma coluna, chamadafreqüências absolutas acumuladas (fa), cujos valores são obtidos adicionando a cada freqüênciaabsoluta os valores das freqüências anteriores.

CLASSES Freqüência Absoluta (fi) Freqüência Absoluta Acumulada (fa)

[1, 2[ 1 1 [2, 3[ 1 2 [3, 4[ 3 5 [4, 5[ 1 6 [5, 6[ 3 9 [6, 7[ 1 10 [7, 8[ 7 17 [8, 9[ 2 19 [9, 10[ 1 20 TOTAL(n) 20 ÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀ

FREQÜÊNCIA RELATIVA (f%)

FREQÜÊNCIA RELATIVA ACUMULADA (fa%)

A freqüência relativa é obtida através do quociente:

onde fi representa a freqüência absoluta de um dado valor ou classe, e n representa a soma de todos as

freqüências absolutas. A freqüência relativa acumulada é obtida de modo análogo à freqüência absoluta acumulada, mas agorautilizando a freqüência relativa.Acrescentando mais duas colunas na tabela:

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CLASSES F.A. (fi) F.A.Al. (fa) F. R. (f%) F. R. A. (fa%)

[1, 2[ 1 1 5% 5% [2, 3[ 1 2 5% 10% [3, 4[ 3 5 15% 25% [4, 5[ 1 6 5% 30% [5, 6[ 3 9 15% 45% [6, 7[ 1 10 5% 50% [7, 8[ 7 17 35% 85% [8, 9[ 2 19 10% 95% [9, 10[ 1 20 5% 100% TOTAL(n) 20 ÀÀÀÀÀ 100% ÀÀÀÀÀ

· F.A. (fi) = Freqüência Absoluta

· F.A.A. (fa)= Freqüência Absoluta Acumulada· F. R. (f%) = Freqüência Relativa

· F. R. A. (fa%) = Freqüência RelativaAcumulada

Nota: Esta tabela é chamada de Tabela de Distribuição de Freqüência.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

A tabela de distribuição de freqüência do exemplo anterior pode ser representada graficamente:

GRÁFICO DE LINHA

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[1,2] [2,3] [3,4] [4,5] [5,6] [6,7] [7,8] [8,9] [9,10]

CLASSES NOTAS

FREQÜÊNCIA Número de

Alunos

Para a construção deste gráfico, marcam-se os pontos determinados pelas classes e ascorrespondentes freqüências, ligando-os, a seguir, por seguimentos de reta.

GRÁFICO DE BARRAS

Vamos agora construir um diagrama de barras verticais, e paratanto, basta dispor as freqüências numeixo vertical:

FREQÜÊNCIA Número de

Alunos

[1,2] [2,3] [3,4] [4,5] [5,6] [6,7] [7,8] [8,9] [9,10]

CLASSES NOTAS

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GRÁFICO DE SETORES

Para a construção deste gráfico vamos dividir um círculo em setores com ângulos proporcionaisàs freqüências. No nosso caso já temos a freqüência relativa:

[1, 2[ Þ 5% de 360o = 0,05 ́ 360o = 18o [2, 3[ Þ5% de 360o = 0,05 ́ 360o = 18o

[3, 4[ Þ 15% de 360o = 0,15 ́ 360o = 54o

[4, 5[ Þ 5% de 360o = 0,05 ́ 360o = 18o

[5, 6[ Þ 15% de 360o = 0,15 ́ 360o = 54o

[6, 7[ Þ 5% de 360o = 0,05 ́ 360o = 18o

[7, 8[ Þ 35% de 360o = 0,35 ́ 360o = 126o

[8, 9[ Þ 10% de 360o = 0,10 ́ 360o = 36o

[9, 10[ Þ 5% de 360o = 0,05 ́ 360o = 18o

5% 5%

5%

5%

5%

10%

15% 15%

35%

HISTOGRAMA

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Freqüência (Número de alunos)

Classes Notas

MEDIDAS DE POSIÇÃOMÉDIA ARITMÉTICA ( )x

Para encontrar a média aritmética entre valores, basta somar todos eles e dividir pela quantidadeque aparecem. Matematicamente:

ou usando símbolos:

MODA (Mo)

Considere a distribuição abaixo referente às idades de 11 pessoas integrantes de um movimento popular:

16 - 19 - 18 - 14 - 19 - 16 - 14 - 14 - 15 - 20 - 14 Repare que a idade de maior freqüência é 18 anos, portanto dizemos que a moda desta amostra é 14anos.Mo = 14 anos

Exemplos:

v3 - 7 - 4 - 6 - 9 - 6 - 4 - 2 - 1 - 4 ÞMo = 4

v5 - 3 - 2 - 8 - 8 - 9 - 5 - 1 - 5 - 8 Þ Mo = 8 Mo' = 5

Esta amostra é considerada bimodal por apresentar duas modas.

v1 - 9 - 8 - 6 - 4 - 3 - 2 - 7 - 5 Þ Esta amostra não apresenta moda, repare que todos os elementos

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apresentam a mesma freqüência.

MEDIANA (Md)

Considerando ainda, o mesmo exemplo anterior e dispondo as idades em rol temos:14 - 14 - 14 - 14 -15 - 16 - 16 - 18 - 19 - 19 - 20 O termo central desse rol é chamado mediana da amostra:Md = 16 anos

Exemplo:

vDispondo em rol as estaturas de seis atletas de um colégio temos:1,68 - 1,68 - 1,70 - 1,72 - 1,72 - 1,74

Agora temos dois termos centrais, pois é uma distribuição com um número par de elementos, toda vezque isso ocorrer, a mediana será a média aritmética dos dois termos:

Md = 1,71m

Observação:

O rol pode ser disposto na sua forma crescente ou decrescente, pois o(s) termo(s) central(is) será(ão)o(s) mesmo(s) nos dois casos.

MEDIDAS DE DISPERSÃO

Observe as notas de três turmas de um curso de espanhol e suas respectivas médias:

vTurma A: 5 - 5 - 5 - 5 - 5 Þ A = 5x

vTurma B: 4 - 6 - 5 - 6 - 4 Þ B = 5x

vTurma C: 1 - 2 - 5 - 9 - 8 Þ C = 5x

Se fôssemos nos basear apenas nas médias aritméticas de todas as turmas, diríamos que todasapresentam desempenho igual, no entanto observamos pelas notas dos integrantes que isso não éverdade, daí vem a necessidade de se definir uma nova medida que avalie o grau de variabilidade daturma, de tal forma que a análise dos dados não fique comprometida.

DESVIO ABSOLUTO MÉDIO (Dam)

Nas notas acima podemos encontrar qual o desvio de cada turma, paratanto basta efetuar a diferençaentre uma nota e a média, nessa ordem. O módulo dessa diferença é chamado desvio absoluto.Logo, a média aritmética desses desvios absolutos é chamada Desvio Absoluto Médio:

O desvio absoluto médio mede o afastamento médio de cada turma com relação a média. Assim, temos

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que a turma C apresenta uma variação muito grande da média, a turma B um afastamento moderado e Anão apresenta afastamento. Matematicamente:

VARIÂNCIA (S2)

A variância também pode apresentar esse grau de variabilidade entre os elementos de umadistribuição. Define-se essa medida como a média aritmética entre os quadrados dos desviosdos elementos da amostra:

Em símbolos:

DESVIO PADRÃO (S)

Muitas vezes as amostras estão relacionadas com unidades de medidas que ao sereminterpretadas, poderá causar algumas dificuldades, como por exemplo se os elementos da amostrarepresentam as estaturas em metros, a variância representará um valor em m2 (unidade de área); eportanto como a unidade não tem a ver com as medidas dos elementos da amostra, não seráconveniente utilizar a variância. Por dificuldades como essa é que foi definido o desvio padrão que nadamais é que a raiz quadrada da variância.

A Þ s = = 00

B Þ s = @ 0,890,8

C Þ s = @ 3,1610

Observação:

Apresentamos três formas distintas de se analisar as dispersões entre as amostras, em cada casoanalisaremos da forma que mais convir.

EXERCÍCIOS 1) São dados os conjuntos A = { 2,4,6,8,10} e B = { 3,5,7,9,11}. Para cada conjunto, calcule:a) a amplitude b) a média aritmética c) o desvio médio d) a variância e) o desvio padrão

2) Três conjuntos A, B e C têm os seguintes elementos: A = { 8,8,9,7,10, 9,12},

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B = {13, 10, 11, 9, 10, 13} C = {8, 6, 7,8, 6, 7, 7}.a) Determine a média aritmética e o desvio padrão de cada um deles.b) Qual desses conjuntos tem a maior dispersão? Justifique.

3) Uma fábrica de iogurtes opera com duas máquinas e está colocando o produto dentro de embalagens,cujo peso nominal é de 100 ml. No entanto, um teste estatístico da produção apontou os seguintesnúmeros:Máquina 1: média por embalagem = 100,34 ml desvio padrão = 0,4 mlMáquina 2: média por embalagem = 100,41ml desvio padrão = 0,7 ml Qual das duas máquinas está trabalhando melhor? Justifique.

4) Numa prova de Matemática, duas classes obtiveram as seguintes médias e desvios: Turma A: média = 5,5 desvio = 2,5Turma B: média = 5,5 desvio = 3,0 Se for sorteado um aluno de cada classe, em qual delas é mais provável sair um aluno com nota entre4,5 e 6,0? Justifique.

5) Numa amostra de soldados do exército foram constadas as seguintes estaturas, em metros: 1,80;1,78; 1,69; 1,92; 1,93; 1,81; 1,90; 1,76; 1,74; 1,83; 1,88; 1,79; 1,85; 1,92; 1,86; 1,74. Construa uma tabelade distribuição de freqüência e de freqüência relativa dessa amostra, com quatro classes.

6) A tabela seguinte corresponde à distribuição de freqüência das camisas vendidas por uma confecçãono mês de maio, segundo a numeração (1, 2, 3, 4 e 5) das camisas.

Classe (numeração) Freqüência (número de unidades vendidas)

1 50 2 150 3 250 4 450 5 100

Construa os seguintes gráficos dessa distribuição: de linha, barras verticais e de setores.

7) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais detelevisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão representados nográfico de barras a seguir:

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I-) O número de residências atingidas nessa pesquisa foi, aproximadamente, de:a) 100 b) 135 c) 150 d) 200 e) 220

II-) A percentagem de entrevistados que declararam estar assistindo à TvB é aproximadamente igual a:a) 15% b) 20% c) 22% d) 27% e) 30%

8) O gráfico de setores representado abaixo mostra a distribuição de uma amostra de alunos e suasrespectivas notas na prova de português.

NOTA 8 8%

NOTA 2 8%

NOTA 3 12%

NOTA 4 13%

NOTA 5 34%

NOTA 6 25%

Sabendo que a amostra é composta de sessenta alunos, responda:a) Quantos alunos tiveram nota 3?b) Quantos alunos tiveram nota 5?c) Qual a freqüência relativa da classe "nota 6"?

9) O gráfico mostra a distribuição de uma amostra de garrafas de refrigerantes e seus respectivosvolumes em mililitros:

a) Quantas garrafas compõem essa amostra?

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b) Qual a freqüência relativa da classe "300ml"?

10) O número de indivíduos de certa população é representado pelo gráfico abaixo:

Em 1980, a população era aproximadamente igual à de:a) 1950 b) 1953 c) 1957 d) 1960 e) 1963

11) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão daoferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, a seguir representado. A CompanhiaVilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento naoferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhastelefônicas.

Analisando os gráficos podemos concluir que:a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I.b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto.c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o I incorreto.d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas.

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e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes.

12) As idades dos jogadores de um time de basquetebol são 18, 23, 19, 20 e 21 anos. Qual é a média deidade desses jogadores?

13) Entre sessenta números, vinte são iguais a 5, dez são iguais a 6, quinze são iguais a 8, dez sãoiguais a 12, e cindo são iguais a 16. Determine a média aritmética desses números.

14) O gráfico, em forma de pizza, representa as notas obtidas em uma questão pelos 32.000 candidatospresentes à primeira fase de uma prova de vestibular. Ele mostra, por exemplo, que 32% dessescandidatos tiveram nota 2 nessa questão.Pergunta-se:a) Quantos candidatos tiveram nota 3?b) É possível afirmar que a nota média, nessa questão, foi menor ou igual a 2? Justifique sua resposta.

15) Observando o gráfico do exercício anterior, responda:a) Qual é a moda do conjunto das notas de todos os alunos?b) Qual é a mediana do conjunto das notas de todos os alunos?

16) A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é 40 anos. Se a média aritmética dasidades das mulheres é 35 anos e a dos homens é 50 anos, qual o número de pessoas de cada sexo, nogrupo?

17) O gráfico abaixo mostra a distribuição de freqüência das notas obtidas pelos alunos da segunda série

do ensino médio numa prova de educação física.

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Determinar:a) a nota média desses alunos;b) a mediana dessa distribuição;c) a moda dessa distribuição.

18) Às vésperas de um jogo decisivo, o técnico de uma equipe de basquetebol deve optar pela escalaçãode um dentre dois jogadores A e B. As duas tabelas seguintes mostram o desempenho de cada jogadornos últimos cinco jogos dos quais participou: Jogador A Jogo Número de pontos 1 20 2 22 3 18 4 20 5 20

Jogador B Jogo Número de pontos 1 30 2 14 3 20 4 12 5 24

a) Calcular a média de cada um por jogo.b) Calcular o desvio padrão de cada um nesses cinco jogos.c) Você, como técnico desse time, se tivesse que escalar um desses jogadores, num jogo onde a simplesvitória lhe daria o título de campeão, qual deles escalaria?

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19) Sejam os números, 7,8,3, 5, 9 e 5 seis números de uma lista de nove números inteiros. O maiorvalor possível para a mediana dos nove números da lista e:

a) 5b) 6 c) 7d) 8e) 9

GABARITO - ESTATÍSTICA

1) Conjunto A - a) 8 b) 6 c) 2,4 d) 8 e) 2,8 aprox.Conjunto B - a) 8 b) 7 c) 2,4 d) 8 e) 2,8 aprox.

2)a) Conjunto A X = 9 DP » 1,51 Conjunto B X = 11 DP » 1,53 Conjunto C X = 7 DP » 0,75b) O Conjunto B tem a maior dispersão porque tem o maior desvio padrão

3) Máquina 1, pois tem a melhor média e o menor desvio

4) Turma A. Desvio menor significa que, de modo geral, as notas estão mais próximas da média.

5) Uma distribuição possível é:

Classe (m) fi f%

[1,69; 1,76[ 3 18,75% [1,76; 1,83[ 5 31,25% [1,83; 1,92[ 5 31,25% [1,92; 1,93[ 3 18,75%

6)Gráfico de Barras Verticais

450

250

150 100 50

Freqüência

Numeração 1 2 3 4 5

Gráfico de Linha

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450

250

150 100 50

Freqüência

Numeração 1 2 3 4 5

Gráfico de Setores

15% 2

15%

325%

445%

510%

7) I-) D II-) A

8) a) 7 alunos b) 20 alunos c) 25%

9) a) 700 garrafas b) aproximadamente 57,14%

10) C

11) D

12) 20,2 anos

13) 8

14) a) 1 520 candidatos b) não, pois a nota média, nessa questão, é:

= 2,30 e portanto, > 2.x x

15) a) Mo = 2 b) Md = 2

16) 180 mulheres e 40 homens.

17) a) = 6,6 b) Md = 7 c) Mo = 7x

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18) a) Jogador A: =20, jogador B: = 20;Ax Bx

b) jogador A: sA = 1,2, jogador B: sB = 6,5

c) Você decide! Observe, porém, que, apesar de os jogadores possuírem a mesma média depontos por jogo, o desvio-padrão do jogador A é menor do que o do jogador B. Isso quer dizer que, emmuito mais jogos, o jogador A esteve mais próximo da média do que o jogador B, isto é, A foi maisregular do que B.

19) D

PROBABILIDADE

Em um jogo, dois dados são lançados simultaneamente, somando-se, em seguida, os pontos obtidos naface superior de cada um deles. Ganha quem acertar a soma desses pontos. Antes de apostar, vamos analisar todos os possíveis resultados que podem ocorrer em cada soma.Indicando os números da face superior dos dados pelo par ordenado (a, b), onde a é o número doprimeiro dado e b o número do segundo, temos as seguintes situações possíveis:

a + b = 2, no caso (1, 1);a + b = 3, nos casos (1, 2) e (2, 1);a + b = 4, nos casos (1, 3), (2, 2) e (3,1);a + b = 5, nos casos (1,4), (2,3), (3, 2) e (4, 1)a + b = 6, nos casos (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2) e (5, 1);a + b = 7, nos casos (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4,3), (5, 2) e (6, 1);a + b = 8, nos casos (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) e (6, 2);a + b = 9, nos casos (3, 6), (4, 5), (5, 4) e (6,3);a + b = 10, nos casos (4, 6), (5, 5) e (6, 4);a + b = 11, nos casos (5, 6) e (6,5);a + b = 12, no caso (6, 6).

É evidente que, antes de lançar os dois dados, não podemos prever o resultado "soma dospontos obtidos"; porém, nossa chance de vencer será maior se apostarmos em a + b = 7, pois essasoma pode ocorre de seis maneiras diferentes.

Situações como essa, onde podemos estimar as chances de ocorrer um determinado evento,são estudas pela teoria das probabilidades. Essa teoria, criada a partir dos "jogos de azar", é hoje uminstrumento muito valioso e utilizado por profissionais de diversas áreas, tais como economistas,administradores e biólogos.

ESPAÇO AMOSTRAL

Um experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nas mesmas condições, échamado experimento aleatório. Chamamos Espaço Amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

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Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance deocorrer. No exemplo acima temos, como espaço amostral 36 possibilidades, para a ocorrência de quaisquereventos.

No exemplo de uma moeda lançando-se para cima, a leitura da face superior pode apresentar oresultado "cara" (K) ou "coroa" (C). Trata-se de um experimento aleatório, tendo cada resultado amesma chance de ocorrer. Neste caso, indicando o espaço amostral por S1 e por n(S1) o número de seus elementos, temos:

S1 = {K, C} e n(S1) = 2

Se a moeda fosse lançada duas vezes, teríamos os seguintes resultados: (K, K), (K, C), (C, K), (C, C).

Neste caso, indicando o espaço amostral por S2 e por n(S2) o número de seus elementos, temos:

S2 = {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)} e n(S2) = 4

EVENTOS

Chama-se evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Considerando o lançamento de umdado e a leitura dos pontos da face superior, temos o espaço amostral:

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6

Um exemplo que podemos elucidar de evento é "ocorrência de número par". Indicando esse evento porA, temos:

A = {2, 4, 6} e n(A) = 3

PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO

Ainda levando-se em consideração o exemplo acima, "ocorrência de número par", no lançamento deum dado, teremos:

21

63

)S(n)A(n

)A(P ===

Concluí-se que a probabilidade de o evento "ocorrência de número par" ocorrer é 50% ou ½. Isto querdizer que ao lançarmos um dado ao acaso teremos 50% de chance de obter um número par, na face dodado.

Voltando ao nosso primeiro exemplo, onde num jogo, ganha quem conseguir a soma das faces. Vimosque a probabilidade de ocorrer o número 7 era maior, pois tínhamos diversas maneiras de ocorrer.Chamaremos o evento "ocorrência da soma 7" entre os dois dados, de E:

n(E) = 6;n(S) = 36.

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portanto: 61

366

)S(n)E(n

)E(P === , temos então que 16,7% é a probabilidade do evento ocorrer.

Exercícios Resolvidos

1) Qual a probabilidade do número da placa de um carro ser um número par?

Resolução:Para o número da placa de uma carro ser um número par, devemos ter um número par no algarismo dasunidades, logo o espaço amostral (S) e o evento (E) serão:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Þ n(S) = 10E = {2, 4, 6, 8, 0} Þ n(E) = 5

Portanto a Probabilidade de ocorrer o referido evento será:

21

105

)S(n)E(n

)E(P ===

Resposta: 50% ou ½

2) O número da chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é:

a ) 101

b ) 21

c ) 94

d ) 95

e ) 51

Resolução:Se a placa de um carro é um número par, então, independente do numero de algarismos que tenha aplaca o algarismo das unidades será, necessariamente, um número par.O espaço amostral, neste caso:

S = {2, 4, 6, 8, 0} Þ n(S) = 5

O evento é "ocorrência do zero", logo só podemos ter ocupando o último algarismo o número zero:

E = {0} Þ n(E) = 1

51

)S(n)E(n

)E(P ==

Resposta: 20% ou 51

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS

Consideremos dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral S.

Da teoria dos conjuntos temos:

n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B)

Dividindo os dois membros dessa igualdade por n(S), temos:

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P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)

A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidades desses eventos,menos a probabilidade da intersecção de A com B."

Observação: se A e B forem disjuntos, isto é:

se A Ç B = Æ, então P(A È B) = P(A) + P(B).

Neste caso, ainda, os eventos são ditos Eventos Independentes.Exercício Resolvido

No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar?

Resolução:

Espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6

evento "número 3" é: A = {3}e n(A) = 1

evento "número ímpar" é: B = {1,3,5} e n(B) = 3

A Ç B = {3} Ç {1,3,5} = {3}, então n(AÇB) = 1

Logo:

P(A È B) = 1/6 + 3/6 - 1/6 = ½

Resposta: 50% ou ½

Observação:

A soma da probabilidade de ocorrer um evento A com a probabilidade de não ocorrer o evento A é igual a1:

p(A) + p( ) = 1A

Assim, se a probabilidade de ocorrer um evento A for 0,25 (41

), a probabilidade de não ocorrer o

evento A é 0,75 (43

).

EXERCÍCIOS

01) Joga-se um dado "honesto" de seis faces, numeradas de 1 a 6, lê-se o número da face voltada paracima. Calcular a probabilidade de se obter:a) o número 2 b) o número 6c) um número par d) um número ímpar

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e) um número primo

02) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos através dos algarismos 4, 5, 6, 7 e8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, qual a probabilidade de ele ser um número ímpar?

03) Qual a probabilidade de uma bola branca aparecer ao retirar-se uma única bola de uma urnacontendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis?

04) Considere todos os anagramas da palavra LONDRINA que começam e terminam pela letra N. Qual aprobabilidade de se escolher ao acaso um desses anagramas e ele ter as vogais juntas?

05) A probabilidade de ocorrerem duas caras ou duas coroas no lançamento de duas moedas é:

a) 41

b)43

c) 1 d) 2 e) 21

06) Em uma indústria com 4.000 operários, 2.100 têm mais de 20 anos, 1.200 são especializados e 800têm mais de 20 anos e são especializados. Se um dos operários é escolhido aleatoriamente, aprobabilidade de ele ter no máximo 20 anos e ser especializado é:

a ) 10

1 b )

52

c ) 83

d ) 8527

e )187

07) Um prêmio vai ser sorteado entre as 50 pessoas presentes em uma sala. Se 40% delas usam óculos,12 mulheres não usam óculos e 12 homens os usam, a probabilidade de ser premiado um homem quenão usa óculos é:

a ) 254

b )256

c ) 258

d ) 259

e ) 52

08) Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se a soma dos números dosdados for 5, A ganha, e se essa soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que Anão ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho?

a )

3610

b ) 32

4 c )

365

d )35

5

e) não se pode calcular sem saber os números sorteados.

09) Se dois prêmios iguais forem sorteados entre 5 pessoas, sendo duas brasileiras e três argentinas,qual será a probabilidade de:

a) serem premiadas as duas brasileiras?b) ser premiada pelo menos uma argentina?c) serem premiadas duas argentinas?

10) Numa caixa existem 5 balas de hortelã e 3 balas de mel. Retirando-se sucessivamente e semreposição duas dessas balas, qual a probabilidade de que as duas sejam de hortelã?

11) Em um lote de 500 lanternas para automóvel, existem 20 peças com defeito. Se retirarmos umalanterna, qual a probabilidade de estar defeituosa ?

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12) Em uma urna, tem 1o bolas brancas, 5 pretas e 5 azuis. Se retirar uma bola, pergunta-se:a) Qual a probabilidade de que a bola seja azul?b) Qual a probabilidade de que a bola seja branca?c) Qual a probabilidade de que a bola seja preta?d) Qual a probabilidade de que a bola seja amarela?e) Qual a probabilidade de que a bola seja azul ou amarela?f) Qual a probabilidade de que a bola seja azul, amarela ou branca?

13) No lançamento de um dado, qual será a probabilidade de se obter face superior com número par?

14) Em um lote de 500 peças para automóveis, existem 15 peças com defeito. Se retirarmos uma peça,qual a probabilidade de a peça não Ter defeito?

15) Num conjunto numérico de 1 a 100, um número é escolhido ao acaso. Pergunta-se:a) Qual a probabilidade de esse número ser 3 ?b) Qual a probabilidade de esse número ser múltiplo de 10 ?c) Qual a probabilidade de esse número ser ímpar ?d) Qual a probabilidade de esse número ser 15 ou 30?

16) Num lançamento de um dado qual a probabilidade de se obter um número múltiplo de 5?

17) Uma moeda é lançada duas vezes. Pergunta-se:a) Qual a probabilidade de se obter Cara e Coroa?b) Qual a probabilidade de se obter Coroa e Coroa?

18) Numa loja, existem, para a venda, dez televisores e dois videocassetes. Se retirarmos um aparelhoao acaso, pergunta-se:a) Qual a probabilidade de ser um televisor?b) Qual a probabilidade de ser um videocassete?c) Qual a probabilidade de ser um televisor ou um videocassete?

19) Um comprador foi a uma loja e comprou um automóvel. Sabendo-se que existiam quinze veículos eapenas um com defeito, pergunta-se, qual a probabilidade de o comprador Ter levado o automóveldefeituoso?

GABARITO

01) a) 1/6 b) 1/6 c) 1/2 d) 1/2 e) 1/2 02) 2/503) 1/3 04) 1/5 05) E06) A07) D08) B09) a) 1/10 b) 9/10 c) 3/10 10) 9/1611) 1/25 12) a) 1/4 b) 1/4 c) 1/2 d) 0 e) 1/4 f) 3/413) 1/214) 97/100 15) a) 3/100 b) 1/10 c) 1/2 d) 1/50 16) 1/6

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17) a) 1/4 b) 1/4 18) a) 5/6 b) 1/6 c) 1 19) 1/15

EXERCÍCIOS

Coletânea I

Bateria 1

01. A figura indica três símbolos, dispostos em um quadrado de 3 linhas e 3 colunas, sendo quecada símbolo representa um número inteiro.Ao lado das linhas e colunas do quadrado, sãoindicadas as somas dos correspondentes números de cada linha ou coluna, algumas delasrepresentadas pelas letras X, Y e Z.

Nas condições dadas. X+ Y + Z é igual a: (A) 17(B) 18(C) 19(D) 20(E) 21

02. A figura mostra a localização dos apartamentos de um edifício de três pavimentos que temapenas alguns deles ocupados:

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