Sumrio

Lista de Figuras iv

1 Nmeros Reais (Em construo) 11.1 Consideraes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Conjuntos numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Nmeros interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 (Opcional) Dzimas peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Problemas Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Respostas dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Funes 172.1 Produto cartesiano, relaes e funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Funes e suas representaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Estudo da reta 213.1 Equao de reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 O que queremos dizer com equao de uma reta? . . . . . . . . . . 233.1.2 O coeficiente angular e o coeficiente linear . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Retas horizontais e retas verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Equao geral da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Retas paralelas e retas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Distncia de um ponto a uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6 Funes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6.1 Modelos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Funes quadrticas 324.1 Funes Quadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3 Problemas Tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Estudo do Sinal de uma Funo 355.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Estudo do sinal de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

i

5.2.1 Estudo do sinal de funes polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3 Funes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4 Funes Algbricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.5 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.6 Problemas Tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.7 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Funes Polinomiais 426.1 Definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.2 Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.4 Problemas Tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.5 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Exponenciais 477.1 Propriedades das potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2 Notao Cientfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.3 Funes Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.4 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.5 Problemas Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.6 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . 50

8 Logaritmos 528.1 Definio de logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.2 A funo logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548.3 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548.4 Problemas Suplmentares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.5 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . 58

9 Trigonometria 599.1 Conceitos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.2 Tringulo retngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

9.2.1 Teorema de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.2.2 Razes trigonomtricas no tringulo retngulo . . . . . . . . . . . . 62

9.3 Algumas identidades trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.4 Tringulos quaisquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.4.1 A Lei dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.4.2 A Lei dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.5 Crculo Trigonomtrico e Funes Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.5.1 As funes circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.6 Mais identidades trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.7 Reduo ao Primeiro Quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.8 Equaes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.9 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.10 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . 80

ii

Lista de Figuras

1.1 N Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 N Z Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Nmeros quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Nmeros oblongos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Subintervalos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Respostas do Problema 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Representao de uma relao por diagrama de Venn. . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Representao de uma funo por diagrama de Venn. . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Definindo a equao de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Coeficiente angular e coeficiente linear de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Reta horizontal e reta vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5 Paralelismo e perpendicularismo de retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6 Distncia de um ponto a uma reta paralela a um eixo . . . . . . . . . . . . . . 263.7 Distncia de um ponto a uma reta qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.1 Estudo de sinal da funo y = 2x 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2 Estudo de sinal da funo y = x2 3x 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3 Estudo de sinal da funo y = x2 3x 4 = (x+ 1)(x 4) . . . . . . . . . . . 365.4 Estudo de sinal da funo y = x3 x2 6x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.5 Estudo de sinal da funo y = x3x1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6 Determinando o domnio da funo f(x) =

21 18x 3x2 . . . . . . . . . . . 39

7.1 Grficos das funes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.1 Grficos das funes logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.1 ngulos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.2 Medidas de ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.3 Comprimento de arco e a converso grau-radiano . . . . . . . . . . . . . . . . 619.4 Tringulo retngulo e o Teorema de Pitgoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.5 As razes trigonomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.6 ngulos notveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.7 A Lei dos Cossenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.8 A demonstrao da Lei dos Cossenos para o ngulo . . . . . . . . . . . . . . . 659.9 A Lei dos Senos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

iv

9.10 O seno e o cosseno no crculo trigonomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.11 cos() = OQ = x e sen() = OR = y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.12 Senide sen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.13 Senide cos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.14 Simetrias do seno, cosseno e tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.15 ngulos deslocados (transladados). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.16 O cosseno da diferena: cos( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.17 Reduo ao primeiro quadrante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.18 ngulos redutveis aos notveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

v

Captulo 1

Nmeros Reais (Em construo)

1.1 Consideraes iniciaisNeste Captulo estudaremos, de modo bastante breve, o conjunto dos nmeros reais.

Nosso objetivo discutir seus subconjuntos (nmeros naturais, inteiros, racionais e irra-cionais), suas propriedades elementares (axiomas de lgebra e axiomas de ordem), algu-mas regras de operao (operaes com fraes, fatorao, lei do cancelamento, regras dossinais, etc.), conceitos recorrentemente necessrios no estudo da Matemtica e do Clculo(mdulo, desigualdades, etc.) e tambm alertar os leitores em relao erros comuns(diviso por zero, extrao de razes, etc).

Antes de prosseguirmos em nossa discusso, recordemos alguns conceitos essenciais. fundamental que o leitor tenha em mente a distino entre nmero e algarismo. Atual-mente a Matemtica utiliza quase que exclusivamente o sistema arbico de numerao1,composto de dez algarismos, 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, com os quais formamos todosos nmeros, assim como todas as palavras existentes na lingua portuguesa so formadasapenas pelas 26 letras de nosso alfabeto.

As quatro operaes elementares da Matemtica, adio, subtrao, multiplicao ediviso, utilizam a seguinte terminologia:

adio: os operandos so denominados parcelas e o resultado soma:parcelas a+ b =

somac

multiplicao: os operandos so denominados fatores e o resultado produto; amultiplicao pode ser indicada por um (a b); por um (a b); ou, desde quepelo menos um dos fatores seja literal, por justaposio (ab):

fatoresa b =

produtoc

fatores a b =

produtoc

fatoresab =

produtoc

subtrao: os operandos so denominados minuendo e subtraendo2, o resultado 1O leitor se recordar de outros sistemas de numerao, como o sistema romano, o sistema inca, etc.2Tambm usual nos referirmos aos operendos da subtrao como parcelas

1

denominado diferena:

minuendoa

subtraendob =

diferenac ou

parcelas a b =

diferenac

diviso: os operandos so denominados dividendo e divisor, o resultado denomi-nado quociente. Pode ainda haver um resto, caso a diviso no seja exata. A divisopode ser indicada por (a b), por / (a/b):

1.2 Conjuntos numricosNmeros naturais e nmeros inteiros

O conjunto dos nmeros naturais, representado pelo smbolo N, dado explicitamentepor

N = {0, 1, 2, 3, . . .}.Em algumas situaes torna-se necessrio excluir o zero desse conjunto. Tal excluso indicada atravs da notao N, isto ,

N = {1, 2, 3, . . .}.O conjunto dos nmeros inteiros, representado pelo smbolo Z, dado explicitamente

porZ = { . . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

Indicamos a seguir as notaes de alguns subconjuntos teis de Z.

Z = { . . . ,3,2,1, 1, 2, 3, . . .} conjunto dos nmeros inteiros no nulosZ+ = {0, 1, 2, 3, . . .} = N conjunto dos nmeros inteiros no negativosZ+ = {1, 2, 3, . . .} = N conjunto dos nmeros inteiros positivosZ = { . . . ,3,2,1, 0} conjunto dos nmeros inteiros no positivosZ = { . . . ,3,2,1} conjunto dos nmeros inteiros no negativosIndicamos que um nmero n natural atravs da notao n N (l-se: n pertence a

N). De modo anlogo, a notao n Z nos indica que n um nmero inteiro.Os conjuntos N e Z so infinitos. Alm disso, N um subconjunto de Z, uma vez que

todo nmero natural tambm um nmero inteiro3. Indicamos esse fato por uma dasnotaes equivalentes: N Z (l-se: N est contido em Z) ou Z N (l-se: Z contmN), ou ainda utilizando um diagrama de Venn, Figura 1.1.

N Z

Figura 1.1: N Z

3A recproca no verdadeira: nem todo inteiro natural.

2

Dados p Z e q Z, ou seja, p um inteiro qualquer e q um inteiro qualquer nonulo, dizemos que q divisor de p, ou, de modo equivalente, que p divisvel por q, se adiviso de p por q exata, isto , se o resto da diviso nulo.

Dentre os nmeros naturais, merecem destaque os nmeros primos4: um nmeronatural n > 1 dito primo se divisvel apenas por 1 e por si prprio. Alguns nmerosprimos so: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 . . .

O Teorema da Unicidade da Fatorao5, um dos mais importantes teoremas daTeoria dos Nmeros, afirma que todo nmero natural maior que 1 ou primo ou podeser fatorado de forma nica, a menos da ordem dos fatores, como um produto finito defatores primos. O exemplo a seguir ilustra como determinar a forma fatorada de umnmero natural.

Exemplo 1.1 Escreva o nmero 2100 na forma fatorada.

Dividimos sucessivamente pelo menor divisor primo at obtermos resto 1.2100 2 = 1050 2 o menor divisor primo de 21001050 2 = 525 2 o menor divisor primo de 1050525 3 = 175 3 o menor divisor primo de 525175 5 = 35 5 o menor divisor primo de 17535 5 = 7 5 o menor divisor primo de 357 7 = 1 7 o menor divisor primo de 7

Tal diviso sucessiva torna-se mais cmoda com a seguinte forma esquematica6:

2100 1050 525 175 35 7 12 2 3 5 5 7

A forma fatorada o produto de todos os divisores primos, tomados em qualquerordem. Assim:

2100 = 2 2 3 5 5 7 = 22 3 52 7

Ressaltamos que, como a forma fatorada nica, a menos da ordem dos fatores,qualquer forma fatorada de 2100 necessariamente apresentar dois fatores 2, um nicofator 3, dois fatores 5 e um nico fator 7. Alm disso no apresentar quaisquer outrosfatores primos seno 2, 3, 5 e 7.

Obviamente a fatorao tambm se aplica aos inteiros negativos menores que um. Porexemplo:

2100 = (1) 2100 = 1 2100 = 1 2 2 3 5 5 7 ,ou, simplesmente,

2100 = 2 2 3 5 5 7.4Outros nmeros naturais interessantes so discutidos na Seo 1.3.5Fatorar: transformar em um produto (de fatores).6Utilizamos aqui a forma esquematica horizontal por economia de espao. Em clculos manuais

geralmente empregamos uma forma esquematica vertical de divises sucessivas.

3

Um nmero inteiro dito par se divisvel por 2. Observe que todo nmero inteiro daforma 2n, n Z, par. Rigorosamente, dizemos que a Z par se e somente se existen Z tal que a = 2n.

Analogamente, um nmero inteiro dito mpar se no divisvel por 2. Observe quetodo nmero inteiro da forma 2n+ 1, n Z, mpar. Assim, dizemos que b Z mparse e somente se existe n Z tal que b = 2n+ 1.

Nmeros racionais

Um nmero dito racional se pode ser escrito como uma razo (frao) de inteiros,isto , um nmero q dito racional se existem a Z e b Z tais que:

q =a

b, b 6= 0.

Em uma razo a/b o nmero a chamado de numerador e o nmero b de denominador7.Enfatizamos que o denominador nunca pode ser nulo, uma vez que no existe diviso porzero8.

Dizemos que um nmero racional q = a/b, b 6= 0, est escrito na forma irredutvelquando a e b no possuem fatores comuns. A forma irredutvel obtida fatorando-se onumerador e o denominador e ento cancelando-se os fatores comuns.

Exemplo 1.2 Escreva 42/60 na forma irredutvel.

42

60=

2 3 72 2 3 5 =

6 2 6 3 76 2 2 6 3 5 =

7

10

O conjunto dos nmeros racionais representado pelo smbolo Q. Como todo nmerointeiro pode ser escrito como uma razo de inteiros9, isto , na forma racional, o conjuntoZ um subconjunto de Q. A Figura 1.2 ilustra esse fato.

N Z Q

Figura 1.2: N Z Q

Resumimos a seguir as regras para a multiplicao, diviso, adio e subtrao denmeros racionais (escritos na forma de razo).

7Segundo recomendao da AMS - American Mathematical Society, no corpo do texto as razes devemser preferencialmente escritas na forma a/b. Quando destacadas do corpo do texto as razes devem serpreferencialmente indicadas na forma

a

b.

8A no existncia da diviso por zero ficar rigorosamente estabelecida adiante, quando discutirmoso conceito de inverso de um nmero.

9Por exemplo: 2 = 21 =42 =

63 = . . ..

4

Multiplicao: multiplicam-se os respectivos numeradores e denominadores. Porexemplo:

a

b cd=ac

bd

Diviso: multiplica-se o numerador pelo inverso do denominador. Por exemplo:a/b

c/d=a

b dc=ad

bc

Adio e subtrao: somente podemos somar ou subtrair parcelas de mesmo denomi-nador. Caso as parcelas no possuam o mesmo denominador, antes de efetuara adio ou a subtrao, devemos reduzi-las ao mesmo denominador utilizando omnimo mltiplo comum dos denominadores. Eis alguns exemplos:

a

b+c

b=a+ c

bparcelas com o mesmo denominador

a

b cb=a cb

parcelas com o mesmo denominador

a

b+c

d=ad

bd+bc

bd=ad+ bc

bdparcelas com denominadores diferentes

a

b2d cbd3

=ad2

b2d3 bcb2d3

=ad2 bcb2d3

parcelas com denominadores diferentes

Finalizamos nossa discuso sobre os nmeros racionais com duas importantes obser-vaes:

(1) Todo nmero decimal com expanso decimal finita racional. Observe os exemplos:

(a) 0, 5 = 510= 1

2(b) 0, 25 = 25

100= 1

4(c) 0, 375 = 375

1000= 3

8

(2) Um nmero decimal, com expanso decimal infinita, que apresenta um algarismo ouuma seqncia de algarismos que se repete indefinidamente chamado de dzimaperidica. O algarismo ou a seqncia de algarismos que se repete chamado deperodo da dzima. As dzimas so ditas simples, quando apenas o perodo ocorrena parte decimal, ou compostas, quando na parte decimal ocorre um algarismo ouuma seqncia de algarismos (anti-perodo) antes da parte peridica.

Exemplo 1.3 Exemplos de dzimas perodicas.

(a) 0, 333 . . . = 0, 3 uma dzima perodica simples de perodo 3.

(b) 1, 333 . . . = 1, 3 uma dzima perodica simples de perodo 3.

(c) 0, 181818 . . . = 0, 18 uma dzima perodica simples de perodo 18.

(d) 0, 4131313 . . . = 0, 413 uma dzima perodica composta de perodo 13 e anti-perodo 4.

(e) 4, 27313131 . . . = 4, 2731 uma dzima perodica composta de perodo 31 eanti-perodo 27.

5

Toda dzima peridica simples pode ser escrita na forma racional do seguinte modo:no numerador colocamos o perodo da dzima e no denominador colocamos umalgarismo 9 para cada algarismo do perodo10, isto ,

0, aaa . . . =a

9; 0, ababab . . . =

ab

99; 0, abcabcabc . . . =

abc

999; etc.

Conclumos assim que, todo nmero decimal com expanso decimal infinita e peri-dica, isto , toda dzima peridica, simples ou composta, um nmero racional.Observe os exemplos:

(a) 0, 333 . . . = 0, 3 = 39= 1

3

(b) 0, 181818 . . . = 0, 18 = 1899= 2

11

(c) 0, 3222 . . . = 0, 32 = 0, 3 + 0, 02 = 0, 3 + 110 0, 2 = 3

10+ 1

10 29= 3

10+ 2

90= 29

90

1.3 Nmeros interessantesAlm dos nmeros primos, o conjunto dos nmeros naturais apresenta diversos outros

subconjuntos com propriedades peculiares e interessantes. Vejamos alguns.Os nmeros quadrados: 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , etc., conforme sugerido pela Figura 1.3,

podem ser obtidos pela adio dos nmeros naturais mpares sucessivos. Podemos aindainduzir que:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . .+ (2n 1) = n2 ,isto , a soma dos n primeiros nmeros naturais mpares vale n2.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 361 + 3 + 5 + 7 + 9 = 251 + 3 + 5 + 7 = 161 + 3 + 5 = 91 1 + 3 = 4

Figura 1.3: Nmeros quadrados

Os nmeros oblongos: 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , etc., so aqueles obtidos pela adio dosnmeros naturais pares sucessivos, Figura 1.4.

10Aos os leitores interessados, que tenham conhecimento de limites, apresentada uma prova dessaafirmao na Seo 1.4.

6

2 2 + 4 = 6 2 + 4 + 6 = 12 2 + 4 + 6 + 8 = 20 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Figura 1.4: Nmeros oblongos

Pela disposio retangular dos nmeros oblongos mostrada na Figura 1.4, podemosinduzir que:

2 + 4 + 6 + 8 + . . .+ 2n = n(n+ 1) ,

isto , a soma dos n primeiros nmeros naturais pares vale n(n + 1). Dividindo-se aequao anterior por 2, obtemos a importante frmula da soma dos n primeiros nmerosnaturais:

1 + 2 + 3 + 4 + . . .+ n =1

2n(n+ 1) .

H tambm os nmeros perfeitos: um nmero natural n dito perfeito se igual soma de seus divisores naturais diferentes de si prprio. Por exemplo11:

6 = 1 + 2 + 3 1, 2 e 3 so os divisores naturais de 6 menores que 6

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 1, 2, 4, 7 e 14 so os divisores naturais de 28 menores que 28

1.4 (Opcional) Dzimas peridicasNosso objetivo nesta seo mostrar que toda dzima peridica simples um nmero racional.

Mais especificamente, provaremos a veracidade da igualdade

0, aaaa . . . =a

9. (1.1)

Iniciamos relembrando que uma progresso geomtrica finita, com n termos, uma seqnciade nmeros da forma

, r , r2 , r3 , . . . , rn2 , rn1 . (1.2a)

O nmero denominado primeiro termo e o nmero r razo da progresso geomtrica.Observe que cada termo da progresso o termo antecessor multiplicado pela razo r, ou demodo equivalente, que a razo de cada termo pelo seu antecessor a razo r. Para evitarmos

11Para a escola pitagrica "... todas as coisas so nmeros. Assim, para compreendermos o mundoque nos cerca, precisamos descobrir o nmero que existe nas coisas. Uma vez descoberta a estruturanumrica, controlaremos o mundo" ([?] p. 27). Porm, alm desse carter interpretativo e explicativoda natureza, os pitagricos tambm atribuiam aos nmeros significados msticos. Por exemplo, o nmero1 o gerador de todos os nmeros (a unidade onipotente); 2 a diversidade, primeiro nmero feminino(os nmeros pares eram considerados femininos); 3 o primeiro nmero masculino (os nmeros mpares,exceto o 1, eram considerados masculinos), resultante da unio (soma) da unidade onipotente com adiversidade. Assim, 6 era considerado perfeito, uma vez que resulta da soma de seus divisores prprios,isto , da unio da unidade onipotente, com a diversidade e com o primeiro masculino ([?] p. 675).

7

seqncias estacionrias (termos repetidos), usual impormos as restries 6= 0, r 6= 0 e r 6= 1para as progresses geomtricas.

Denotemos por Sn a soma dos termos dessa progresso geomtrica, isto :

Sn = + r + r2 + r3 + . . . + rn2 + rn1 . (1.2b)

Multiplicando a soma Sn por r obtemos:

rSn = r + r2 + r3 + r4 + . . . + rn1 + rn . (1.2c)

Subtraindo (1.2c) de (1.2b) membro a membro, e observando que todas as parcelas dosmembros direitos se cancelam, exceto e rn, obtemos:

Sn rSn = rn Sn (1 r) = (1 rn) ,

e assim a soma Sn dos n termos da progresso geomtrica finita (1.2a) dada por:

Sn = 1 rn1 r , r 6= 1 . (1.2d)

Suponhamos agora uma progresso geomtrica infinita

, r , r2 , r3 , . . . (1.3a)

e denotemos por S a soma de seus termos, isto :

S = + r + r2 + r3 + . . . (1.3b)

O prximo passo o ponto crucial do raciocnio: como a progresso infinita dada em (1.3a) construda a partir da progresso finita dada em (1.2a) tomando-se n , a soma S dadaem (1.3b) obtida a partir da soma Sn dada em (1.2d) tomando-se n, isto :

S = limnSn = limn

1 rn1 r . (1.3c)

No limite (1.3c), restringindo-se a razo r ao intervalo 1 < r < 1, como n, a potnciarn se anula12. Assim, obtemos:

S =

1 r . (1.3d)

Podemos agora mostrar a veracidade da equao (1.1). Inicialmente observamos que:

0, aaaa . . . = 0, a+ 0, 0a+ 0, 00a+ 0, 000a+ . . .

=a

10+

a

100+

a

1.000+

a

10.000+ . . .

=a

10+

a

10 110

+a

10 1100

+a

10 11.000

+ . . .

=a

10+

a

10 110

+a

10(110

)2+

a

10(110

)3+ . . . (1.4)

12Em outras palavras, quando um nmero r, restrito ao intervalo 1 < r < 1, elevado a um expoenteinfinitamente grande, a potncia resultante um nmero infinitamente prximo de zero, isto , quando oexpoente tende ao infinito, a potncia tende a zero.

8

A equao (1.4) nos mostra que o nmero 0, aaaa . . . dado pela soma dos termos de umaprogresso geomtrica infinita, da forma (1.3b), cujo primeiro termo a/10 e cuja razo 1/10(positiva e < 1). Utilizando a equao (1.3d) podemos ento escrever:

0, aaaa . . . =a10

1 110=

a10910

=a

10 109=a

9.

Utilizando um raciocnio semelhante, o leitor pode mostrar que:

0, ababab . . . =ab

99; 0, abcabcabc . . . =

abc

999; etc.

Alm disso, as dzimas peridicas compostas tambm so nmeros racionais. A demonstraofica a cargo do leitor nos Problemas 1.27 e 1.28 .

1.5 Problemas Propostos1.1 Decida se o nmero dado primo. Caso no seja, reescreva-o na forma fatorada.

(a) 11

(b) 60

(c) 29

(d) 51

(e) 62

(f) 144

(g) 17

(h) 46

(i) 108

(j) 244

(k) 243

(l) 1024

1.2 Reescreva as razes na forma irredutvel.

(a) 4550

(b) 7028

(c) 10575

(d) 125075

(e) 30x2

35xy

(f) 14xy6x

(g) 2xy8x2

(h) 6x2y

9xy2

1.3 Avalie as expresses e escreva o resultado na forma irredutvel.

(a) 35+ 7

40

(b) 1312+ 7

30 3

40

(c)35

2+ 7

8+ 14

3

(d) 718 5

14+ 2

7 35

9

(e)12+ 13

14 15

(f)13 17

15 16

(g)85+ 23

2+ 37

(h) 234

3+ 18

(i) 12x+ 1

3x

(j) 76x+ 3

4x2

(k) 3y10x2

16x

(l) x 1x

(m) xy+ y

z z

x

(n) xp2+ y

pq

(o) 7x2x3

15y y3

(p)12x 13x

14y 15y

(q)2a3b 4b5+a

2b+ b15

1.4 Reescreva cada nmero a seguir como uma razo irredutvel.

9

(a) 0, 1

(b) 0, 45

(c) 0, 455

(d) 0, 1155

(e) 0, 666 . . . = 0, 6

(f) 0, 151515 . . . = 0, 15

(g) 0, 2444 . . . = 0, 24

(h) 0, 54333 . . . = 0, 543

(i) 0, 2515151 . . . = 0, 251

(j) 0, 54313131 . . . = 0, 5431

1.5 Reescreva cada expresso usando uma forma equivalente.

(a) a+bc

(b) aa+b

(c) ab cd

(d) a/bc/d

(e) a bc

(f) ab/c

(g) abc

(h) 1a/b

1.6 Complete as sentenas.

(a) O nmero 1/b existe se e somente se .

(b) Um nmero dito , se pode ser escrito na forma a/b, b 6= 0, ondea e b so inteiros.

(c) Se um nmero real no pode ser escrito na forma a/b, b 6= 0, onde a e b sointeiros, dizemos que este nmero .

(d) Se a representao decimal de um nmero peridica ou possui uma quantidadefinita de casas decimais, dizemos que o nmero .

(e) Se a representao decimal de um nmero possui uma quantidade infinita e noperidica de casas decimais, dizemos que o nmero .

(f) Os nmeros so nmeros racionais ou irracionais.

(g) A soma de dois nmeros racionais um nmero .

(h) O nmerox real somente se .

(i) O nmerox real somente se .

(j) O nmero 1/x existe e real somente se .

1.7 Reescreva cada expresso usando uma forma equivalente.

(a) 2x+ 5x

(b) 8x 3x(c) 3x 7x(d) 3x x

3

(e) 5(2x y)(f) 2(x 3y)

(g) (x+ 2y)(h) 3(2x+ y)

1.8 Simplifique as expresses.

10

(a) (x 3)(b) x(y 6)(c) 2(x y) + 4x(d) 3(y 2x) 2(2x 2y)(e) 4(8z 2t) 3(t 4z)(f) x(y)(2 3z)(g) 2(3x)(2y + 1) (y)(4 5x)

(h) x[3(x 2) 2x+ 1]

(i) 4x(x+ y) x2

(j) 4[x(2 5x) 2(1 2x)]

(k) 1x(x+ 2xy)

(l) 12x (3x 1)

(m) 1xy(2x 3y)

1.9 Represente na reta real cada subconjunto dos nmeros reais.

(a) {x R |x > 5}(b) {x R | 3 < x < 9}

(c) {x R | 0 < x 6}(d) {x R | 2 x 4}

1.10 Escreva cada subconjunto dos nmros reais utilizando a notao de desigualdades.

--2 3

(a)-2

(b)--4 7

(c)--1

(d)

Figura 1.5: Subintervalos reais

1.11 Dados os conjuntos A e B, determine e represente sobre o eixo real AB e AB.(a) A = {x R | 0 < x 6} e B = {x R | 2 x < 3}(b) A = {x N | 0 < x 6} e B = {x Z | 2 x < 3}(c) A = {x R |x < 5} e B = {x R | 0 x < 7}(d) A = {x R | 2 x < 3} e B = {x R | 4 x 9}(e) A = {x R |x < 3} e B = {x R | x > 4}(f) A = {x N |x < 5} e B = {x Z | 5 x < 7}

1.12 Resolva a desigualdade e ilustre o conjunto soluo sobre o eixo real.

(a) 2x+ 1 < 5x 8(b) 0 1 x 1(c) 4x < 2x+ 1 3x+ 2(d) (x 1)(x 2) > 0

(e) x2 + x+ 1 > 0

(f) x3 x2 0(g) 1

x< 4

(h) 2x 3 < x+ 4 < 3x 2

11

(i) x2 < 2x+ 8

(j) x2 4 0(k) (x+ 1)(x 2)(x+ 3) 0

(l) 1 < 1x 3

(m) x3 + 3x < 4x2

1.13 Resolva as equaes modulares.

(a) |2x| = 3(b) |x+ 3| = |3x+ 1|

(c) |2x1x+1

| = 3(d) |x2 + x 5| = |4x 1|

1.14 Resolva as desigualdades modulares.

(a) |x 4| < 1(b) |x+ 5| 2(c) 1 |x| 4

(d) 0 < |x 5| < 2(e) |x2 x 4| 2(f) |x2 3x 4| 6

(g) |x| x2

(h) |x+ 3| |x 1|(i) x |x| 4x

1.15 Sejam x e y nmeros reais positivos tais que x2 + y2 + 2xy + 2x + 2y 3 = 0,determine x+ y.

1.6 Problemas Suplementares1.16 A relao entre as escalas de temperatura Celsius e Fahrenheit dada por

C =5

9(F 32),

em que C a temperatura em graus Celsius e F a temperatura em graus Fahrenheit.Qual o intervalo sobre a escala Celsius corresponde ao intervalo 50 F 95?1.17 medida que sobe, o ar seco se expande, e ao fazer isso se resfria a uma taxa decerca de 1oC para cada 100m de subida, at cerca de 12Km.

(a) Se a temperatura do solo for de 20oC, escreva uma frmula para a temperaturaT do avio, em oC, a uma altura h, em m.

(b) Que variao de temperatura voc pode esperar se um avio decola e atinge aaltitude mxima de 5 km?

1.18 Se uma bola for atirada para cima do topo de um edifcio com 128 ft de altura comvelocidade inicial de 15 ft/s, ento sua altura h acima do solo t segundos mais tarde dada por (por qu?)

h(t) = 128 + 15t 16t2.Durante que intervalo de tempo a bola estar no mnimo a 32 ft acima do solo?

1.19 Sejam a e b dois nmeros reais tais que 0 < a < b < 1. O que podemos afirmarsobre:

12

(a) a soma a+ b?

(b) a diferena b a?(c) o produto ab?

(d) o quociente ba?

1.20 Resolva a equao13.

(a)x2 + 2x 3 = x1 (b) x2 + 2x+ 1 = x 1 (c) x2 2x+ 1 = x 1

1.21 Determine as solues reais da equao |5x 6| = x2.1.22 Determine as solues reais da equao ||x2 2| 4| = 2.1.23 Para quais valores de x a igualdade | x| = (x) verdadeira?1.24 Resolva a desigualdade x |x| > x.1.25 Durante um certo ano, uma empresa teve seu lucro dirio L, em R$, dado pelafuno

L(x) = 50(|x 100|+ |x 200|),

em que x = 1, 2, 3, . . . , 365 corresponde a cada dia do ano. Determine em quais dias doano o lucro foi de R$ 10.000, 0014.

1.26 Em determinado ms, verificou-se que o nmero n de pessoas que compravam nosupermercado Superbarato era dado por

n(x) = 20 |x 25|+ 300 ,em que x = 1, 2, 3, . . . 30 representa cada dia do ms.

(a) Em quais dias do ms 400 pessoas compraram produtos no supermercado Super-barato?

(b) Em qual dia do ms foi registrado o menor nmero de visitas ao supermercado?Qual foi esse nmero?

(c) Em que dias do ms mais de 350 pessoas efetuaram compras no supermercado?

1.27 Mostre que:

(a) 0, a b b b . . . = 0, a b = 9 a+ b90

(b) 0, a b c b c b c . . . = 0, a b c = 99 a+ b c990

(c) 0, a b c c c . . . = 0, a b c = 9 a b+ c900

(d) 0, a b c d c d c d . . . = 0, a b c d = 99 a b+ c d9900

1.28 Observando os resultados do Problema 1.27, enuncie uma regra geral para escreverqualquer dzima peridica, simples ou composta, na forma racional.

1.7 Respostas dos Problemas Problema 1.1

13Sugesto: antes de resolver a equao, determine sua condio de existncia.14Sugesto: analise os trs casos x < 100, 100 x < 200 e x 200.

13

(a) primo

(b) 22 3 5(c) primo

(d) 3 17(e) 2 31(f) 24 32

(g) primo

(h) 2 23(i) 22 33

(j) 22 61(k) 35

(l) 210

Problema 1.2

(a) 910(b) 52

(c) 75(d) 503

(e) 6x7y(f) 7y3

(g) y4x(h) 2x3y

Problema 1.3

(a) 3140(b) 149120(c) 7740(d) 115(e) 503

(f) 407(g) 1415(h) 25(i) 56x(j) 14x+9

12x2

(k) 9y5x30x2

(l) x21x

(m) x2z+xy2yz2

xyz

(n) qx+pyp2q

(o) 19x44y

(p) 10y3x(q) 23a31b

Problema 1.4

(a) 110(b) 920

(c) 91200(d) 231200

(e) 23(f) 533

(g) 1145(h) 163300

(i) 83330(j) 53779900

Problema 1.5

(a) ac +bc

(b) aa+b

(c) acbd(d) adbc

(e) abc(f) acb

(g) a bc(h) ba

Problema 1.6

(a) b 6= 0(b) racional

(c) irracional

(d) racional

(e) irracional

(f) reais

(g) racional

(h) x 0(i) x 0(j) x > 0

Problema 1.7

(a) 7x

(b) 5x

(c) 4x(d) 8x3

(e) 10x 5y(f) 2x+ 6y

(g) x 2y(h) 6x 3y

Problema 1.8

(a) x+ 3(b) xy + 6x(c) 6x 2y(d) 7y 10x(e) 44z 5t

(f) 2xy 3xyz(g) 6x+ 4y 17xy(h) x2 5x(i) 3x2 + 4xy(j) 24x 20x2 8

(k) 1 + 2y

(l) 12x 32(m) 3x 2y

14

Problema 1.9

--5

(a)--3 9

(b)-0 6

(c)--2 4

(d)

Figura 1.6: Respostas do Problema 1.9

Problema 1.10(a) {x R | 2 < x < 3}(b) {x R |x < 2}

(c) {x R | 4 < x < 7}(d) {x R |x > 1}

Problema 1.11(a) A B = {x R | 2 x 6} , A B = {x R | 0 < x < 3}(b) A B = {2,1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} , A B = {1, 2}(c) A B = {x R |x < 7} , A B = {x R | 0 x < 5}(d) A B = {x R | 2 x < 3 ou 4 x 9} , A B = (e) A B = {x R |x < 3 ou x > 4} , A B = (f) A B = {x Z |x < 7} , A B = {0, 1, 2, 3, 4}

Problema 1.12(a) {x R |x > 3}(b) {x R | 0 x 1}(c) {x R | 1 x < 12}(d) {x R |x < 1 ou x > 2}(e) {x R}(f) {x R |x 1}(g) {x R |x < 0 ou x > 14}

(h) {x R | 3 < x < 7}(i) {x R | 2 < x < 4}(j) {x R |x 2 ou x 2}(k) {x R | 3 x 1 ou x 2}(l) {x R | 13 x < 1}

(m) {x R |x < 0 ou 1 < x < 3}

Problema 1.13(a) = 32(b) x = 1

(c) x = 2 ou x = 0(d) x = 6, x = 1 ou x = 4

Problema 1.14(a) {x R | 3 < x < 5}(b) {x R |x 7 ou x 3}(c) {x R | 4 x 1 ou 1 x 4}(d) {x R | 3 < x < 7}(e) {x R |x 2 ou 1 x 2 ou x 3}(f) {x R | 2 x 1 ou 2 x 5}

15

(g) {x R | 1 x 1}(h) {x R |x 1}(i) {x R | 4 x 0 ou x 4}

Problema 1.16 10 C 35 Problema 1.17

(a) T = 20 + h100 , 0 h 1200 (b) 70oC

Problema 1.18 2, 96 Problema 1.19

(a) 0 < a+ b < 2

(b) a < b a < b(c) 0 < ab < a

(d) ba > 1

Problema 1.20

(a) x = 1(b) @

(c) x R

Problema 1.21 x = 6, x = 1, x = 2 ou x = 3 Problema 1.22 x = 0, x = 2 ou x = 22 Problema 1.23 x 0 Problema 1.24 {x R | 1 < x < 0 ou x > 1} Problema 1.25 x = 50 e x = 250 Problema 1.26

(a) x = 20 ou x = 30(b) x = 25

(c) do primeiro ao 22o dia

Problema 1.28(um algarismo 9 para cada algarismo do perodo) (anti-perodo) + perodo

(um algarismo 9 para cada algarismo do perodo) 10nmero de algarismos do anti-perodo

16

Captulo 2

Funes

O conceito de funo, apesar de bastante simples, de fundamental importncia para aMatemtica e em particular para o Clculo. Iniciamos com a abordagem abstrata: umafuno um subconjunto especial do produto cartesiano entre dois conjuntos. Em seguidailustramos diversos exemplos de como as funes ocorrem naturalmente em nosso dia adia.

2.1 Produto cartesiano, relaes e funesDefinio 1 (Produto cartesiano) Dados os conjuntos A e B, o produto cartesianode A por B, denotado A B (l-se: A cartesiano B), o conjunto formado por todosos pares ordenados (a, b), em que a A e b B, isto :

AB = {(a, b)| a A, b B}Na definio 1 observamos que o produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B

um novo conjunto, cujos elementos (pares ordenados) so obtidos relacionando cadaelemento de A a todos os elementos de B, conforme ilustrado no exemplo a seguir:

Exemplo 2.1 Dados os conjuntos A ={3, 5, 9

}e B =

{1, 2, 3, 4

}, temos:

AB = {(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (9, 1); (9, 2); (9, 3); (9, 4)}B A = {(1, 3); (1, 5); (1, 9); (2, 3); (2, 5); (2, 9); (3, 3); (3, 5); (3, 9); (4, 3); (4, 5); (4, 9)}

AA = A2 = {(3, 3); (3, 5); (3, 9); (5, 3); (5, 5); (5, 9); (9, 3); (9, 5); (9, 9)}Se A possui m elementos, e B possui n elementos, ento AB possui mn elementos,

e o mesmo ocorre para B A. Se A 6= B, ento A B 6= B A. Alm disso, oproduto cartesiano se estende para qualquer nmero finito de conjuntos, isto , dadosA1, A2, . . . , An, ento:

A1 A2 . . . An ={(a1, a2, . . . , an) | a1 A1, a2 A2, . . . , an An

}.

Definio 2 (Relao) Dados os conjuntos A e B, uma relao R de A em B, denotadaR : A B (l-se: R de A em B), qualquer subconjunto do produto cartesiano AB

17

Exemplo 2.2 Dados os conjuntos A ={1, 2, 3, 4

}e B =

{3, 5, 9, 11

}, a relao R : A

B, tal queR =

{(a, b) | b = 3a},

dada explicitamente pelos pares ordenados R ={(1, 3); (3, 9)

}. Uma outra maneira de

se representar uma relao atravs do diagrama de Venn (Figura 2.1).

A B

4321

11953-

-

Figura 2.1: Representao de uma relao por diagrama de Venn.

Domnio e Imagem de uma Relao

O domnio de uma relao R, denotado D(R), o conjunto formado pelos primeiroselementos de cada par ordenado da relao. No Exemplo 2.2 o domnio o conjuntoD(R) =

{1, 3}.

A imagem de uma relao R, denotada I(R), o conjunto formado pelos segundoselementos de cada par ordenado da relao. No Exemplo 2.2 a imagem o conjuntoD(R) =

{3, 9}.

Definio 3 (Funo) Dados os conjuntos A e B, uma funo f de A em B, denotadaf : A B (l-se: f de A em B), qualquer relao que associa a todo elemento de Aum nico elemento de B.

Domnio, Contra-Domnio e Imagem de uma funo

Em uma funo f : A B o domnio o conjunto A e o contra-domnio o conjunto B.A imagem de f o subconjunto de B cujos elementos esto associados a algum elementodo domnio. Genericamente denotamos os pares ordenados de f por (x, y), onde x A ey B, e escrevemos y = f(x) (l-se y igual a f de x). Dizemos que y a imagem dex sob a funo f . Dizemos tambm que x a varivel independente e que y a variveldependente. O Exemplo 2.3 ilustra tais conceitos.

Exemplo 2.3 Dados os conjuntos A ={1, 2, 3, 4

}e B =

{4, 5, 6, 7

}, a relao mostrada

na Figura 2.2 define uma funo f : A B.Nesta funo temos:

domnio: D(f) = {1, 2, 3, 4}; contra-domnio: CD(f) = {4, 5, 6, 7}; imagem: I(f) = {4, 5, 7};

18

fA B

4 - 7

3

:

6

2

j

5

1 - 4

Figura 2.2: Representao de uma funo por diagrama de Venn.

f(1) = 4 (l-se f de 1 igual a 4), ou seja, 4 a imagem de 1; f(2) = 7, f(3) = 5 e f(4) = 7.

2.2 Funes e suas representaes

2.3 Problemas Propostos2.1 Dados os conjuntos A =

{3, 5, 7

}e B =

{3, 9, 15, 35

}, determine:

(a) AB (b) B A (c) A2 = AA

(d) B2 = BB

2.2 Dados os conjuntos A ={2,1, 0, 1} e B = {0, 1, 2, 3}

(a) determine a relao R1 ={(a, b) AB|b = a2 1};

(b) determine a relao R2 ={(a, b) A2|b = a2};

(c) determine a relao R3 ={(a, b) B A|b = a2};

(d) determine o domnio e a imagem de cada relao.

2.3 Dados os conjuntos A ={3, 5, 7

}e B =

{3, 9, 15, 35

}(a) determine a relao R : A B, tal que R = {(a, b)|a divisor de b};(b) determine o domnio e a imagem de R.

2.4 Dados os conjuntos A ={1, 2, 7, 10

}e B =

{2, 5, 33, 50, 101

}(a) determine a relao R1 : A B, tal que R1 =

{(a, b)|a e b so primos};

(b) determine a relao R2 : A B, tal que R2 ={(a, b)|b = a2 + 1};

(c) A relao R1 uma funo? Explique. Caso seja determine sua imagem.

(d) A relao R2 uma funo? Explique. Caso seja determine sua imagem.

19

2.5 Dados os conjuntos A ={3, 8, 15, 24

}e B =

{2, 3, 4, 5

}(a) determine a relao R1 : A B, tal que R1 =

{(a, b)|b = a+ 1};

(b) determine a relao R2 : B A, tal que R2 ={(b, a)|a = b 1};

(c) A relao R1 uma funo? Explique. Caso seja determine sua imagem.

(d) A relao R2 uma funo? Explique. Caso seja determine sua imagem.

20

Captulo 3

Estudo da reta

3.1 Equao de retaIntuitivamente fcil perceber que dois pontos distintos definem uma nica reta. Nageometria analtica podemos determinar a equao de uma reta que passa por dois pontosdistintos do plano cartesiano. Consideremos a reta definida pelos pontos A(x0, y0) eB(x1, y1) da Figura 3.1(a). Um ponto qualquer P (x, y) tambm estar sobre esta retadesde que A, B e P sejam colineares, conforme ilustrado na Figura 3.1(b).

-

6

x0

y0

x1

y1

A

B

(a) Reta pelos pontos A e B

-

6

x0

y0

x1

y1

x

y

A

B

P

M N

(b) Reta pelos pontos A, B e P

Figura 3.1: Definindo a equao de uma reta

Tal condio de alinhamento satisfeita se os tringulos ABM e APN forem semel-hantes; neste caso podemos escrever

PN

AN=BM

AM y y0

x x0 =y1 y0x1 x0 . (3.1)

Simplificamos a equao (3.1) notando que a razo

y1 y0x1 x0

constante, uma vez que (x0, y0) e (x1, y1) so as cordenadas de dois pontos conhecidosda reta, assim x0, y0, x1 e y1 so nmeros conhecidos. Por outro lado a razo yy0xx0

21

no constante, uma vez que x e y so as coordenadas de um ponto qualquer do planocartesiano, logo x e y so valores incgnitos. Tal constante chamada de coeficienteangular da reta e doravante vamos denot-la pela letra a. til observar que o coeficienteangular de uma reta pode ser prontamente encontrado dividindo-se a variao y dasordenadas dos pontos pela variao x de suas abscissas; assim

a =y

x=

y1 y0x1 x0 =

y0 y1x0 x1 . (3.2)

Substituindo o valor do coeficiente angular dado em (3.2) na equao (3.1) obtemos

y y0x x0 = a (3.3)

ou, mais apropriadamente,y y0 = a(x x0) (3.4)

chamada equao da reta na forma ponto-coeficiente angular. Isolando y nestaequao obtemos

y = ax ax0 + y0,onde notamos que ax0 + y0 uma constante, denominada coeficiente linear da reta ea qual denotaremos pela letra b. Podemos ento reescrever a equao (3.4) como

y = ax+ b (3.5)

chamada equao da reta na forma reduzida.

Exemplo 3.1 Determine a equao da reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5), mostrada naFigura 3.2.

Inicialmente calculamos seu coeficiente angular: a = yx

= 5321 =

3512 = 2.

A seguir, usando o ponto (1, 3), obtemos a equao na forma ponto-coeficiente:y 3 = 2(x 1).

Finalmente isolamos a varivel y para obter sua forma reduzida: y = 2x+1. Salien-tamos que esta reta tem coeficiente angular a = 2 e coeficiente linear b = 1.

No Exemplo 3.1 poderamos obter a equao da reta usando o ponto (2, 5), ao invsdo ponto (1, 3). Neste caso a equao da reta na forma ponto-coeficiente seria

y 5 = 2(x 2),

e a forma reduziday = 2x+ 1.

Observamos que a equao da reta na forma ponto-coeficiente no nica: mudando-se oponto usado muda-se a equao; por outro lado a forma reduzida nica, independentede qual ponto usado para escrever sua equao.

22

-6

x

y

1

3

2

5

3

7

3

9

Figura 3.2: Reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5).

3.1.1 O que queremos dizer com equao de uma reta?

Dizer que y = 2x + 1 a equao de uma dada reta significa que todo ponto da reta dado por um par ordenado que satisfaz sua equao; reciprocamente, todo par ordenadoque satisfaz sua equao um ponto da reta.

Exemplo 3.2 Considerando a reta y = 2x+1 e a Figura 3.2 do Exemplo 3.1, conclumosque

o ponto (3, 7) pertence a esta reta, pois suas coordenadas verificam a equao y =2x+ 1;

o ponto (3, 9) no pertence a esta reta, pois suas coordenadas no verificam aequao y = 2x+ 1.

3.1.2 O coeficiente angular e o coeficiente linear

Para entendermos os significados geomtricos dos coeficientes angular e linear vamos ob-servar a Figura 3.3, que ilustra novamente a reta pelos pontos A(x0, y0) e B(x1, y1).

-

6

x

y

x0

y0

x1

y1

A

B

x

y

a = yx = tg()(0, b)

Figura 3.3: Coeficiente angular e coeficiente linear de uma reta

23

O ngulo que a reta forma com o eixo das abscissas no sentido positivo denomina-seinclinao da reta; o leitor que tem conhecimentos de trigonometria pode observar queo coeficiente angular da reta o valor da tangente desta inclinao.

Para entendermos o significado do coeficiente linear fazemos x = 0 na equao (3.5) eobtemos y = b; isto significa que a reta passa pelo ponto (0, b). Assim o coeficiente linear a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo-y.

3.2 Retas horizontais e retas verticaisSe uma reta for horizontal - Figura 3.4(a) - ento sua inclinao nula; conseqentementeseu coeficiente angular zero, pois tg(0) = 0. Neste caso a equao (3.5) se reduz a y = b.Genericamente falando, toda equao da forma y = constante equao de uma retahorizontal.

Se uma reta for vertical - Figura 3.4(b) - ento sua inclinao de 90o; conseqente-mente seu coeficiente angular no existe, pois tg(90) @. Neste caso sua equao da formax = constante.

-

6

x

y

y = k(0, k)

(a) Reta horizontal a = 0

-

6

x

y x = k

(k, 0)(b) Reta vertical a@

Figura 3.4: Reta horizontal e reta vertical

3.3 Equao geral da retaToda equao da forma

Ax+By + C = 0 (3.6)

onde A, B e C so constantes reais e A e B no so simultaneamente nulas, representaum reta. Para verificar esta afirmao consideramos as seguintes possibilidades:

se B 6= 0, ento podemos isolar y na equao (3.6), obtendo

y = ABx C

B,

que uma equao da forma (3.5); logo a equao de uma reta. Neste caso, seA = 0, a equao anterior se reduz a

y = CB,

que a equao de uma reta horizontal.

24

se B = 0, ento podemos isolar x na equao (3.6), obtendo

x = CA,

que a equao de uma reta vertical.

3.4 Retas paralelas e retas perpendicularesA condio de paralelismo entre duas retas facilmente estabelecida: duas retas paralelasformam o mesmo ngulo com o eixo das abscissas, logo seus coeficientes angulares soiguais - Figura 3.5(a).

-

6

x

y

y = a1x+ b1 y = a2x+ b2

a1 = a2 = tg()

(a) Retas paralelas

-

6

x

yr1 : y = a1x+ b1

r2 : y = a2x+ b2

P

Q

S

R

x0 x0 + 1

y0

y0 + a1

y0 + a2

(b) Retas perpendiculares

Figura 3.5: Paralelismo e perpendicularismo de retas

A condio de perpendicularismo um pouco mais sutil. Para estabelec-la vamosrecorrer Figura 3.5(b), que nos mostra as retas perpendiculares

r1 : y = a1x+ b1 e r2 : y = a2x+ b2

concorrentes no ponto P (x0, y0). Como P pertence a ambas as retas, suas coordenadassatisfazem tanto a equao de r1 como a de r2, isto

y0 = a1x0 + b1 e y0 = a2x0 + b2.

Na reta r1, um incremento de uma unidade na abscissa resulta

a1(x0 + 1) + b1 = a1x0 + a1 + b1 = a1x0 + b1 + a1 = y0 + a1;

isto , a ordenada incrementada de a1 unidades. Logo o segmento RQ da Figura 3.5(b)mede a1 unidades. De modo anlogo, na reta r2, um incremento de uma unidade naabscissa resulta

a2(x0 + 1) + b2 = a2x0 + a2 + b2 = a2x0 + b2 + a2 = y0 + a2;

25

isto , a ordenada decrementada de a2 unidades1. Logo o segmento SR da Figura3.5(b) mede a2 unidades. Finalmente, observando que os tringulos PRQ e PRS sosemelhantes (ngulo-ngulo-ngulo), podemos escrever

RQ

RP=RP

SR a1

1=

1

a2 a1 a2 = 1

que a condio de perpendicularismo entre duas retas. Assim, duas retas so perpen-diculares quando o produto de seus coeficientes angulares vale 1.

3.5 Distncia de um ponto a uma retaEm muitos problemas tratados pela Geometria Analtica surge a necessidade de determi-narmos a distncia de um ponto a uma reta. Vamos considerar duas possibilidades:

(i) a reta paralela a um dos eixos coordenados: se a reta horizontal a distncia simplesmente o valor absoluto de uma diferena de ordenadas, se a reta vertical adistncia simplesmente o valor absoluto de uma diferena de abscissas, conformeilustrado nas Figuras 3.6(a) e 3.6(b) respectivamente.

-

6

x

y

x0

y0 P0 = (x0, y0)

r : y = k

d(P0, r) = |y0 k|

(a) Distncia ponto a reta horizontal

-

6

x

y

x0

y0 P0 = (x0, y0)

r : x = k

d(P0, r) = |x0 k|

(b) Distncia ponto a reta vertical

Figura 3.6: Distncia de um ponto a uma reta paralela a um eixo

(ii) se a reta no paralela a nenhum dos eixos coordenados, a construo da Figura3.7 nos permite determinar a distncia do ponto P (x0, y0) reta y = ax+ b.

A distncia procurada a medida do segmento PQ, denotada por D. Observandoque os tringulos APQ e ABC so semelhantes podemos escrever

D

1=|AP ||AC| =

|y0 ax0 b|1 + a2

. (3.7)

Considerando a equao geral desta reta, Ax+By + C = 0, isolando y obtemos

y = ABx C

B1Decrementada por que o valor numrico de a2 negativo.

26

-6

x

y

x0

y0P (x0, y0) y = ax+ b

1

a

A B

C

Q

D = PQ

Figura 3.7: Distncia de um ponto a uma reta qualquer

e comparando com a forma reduzinda y = ax+ b temos

a = AB

e b = CB.

Substituindo estes valores na equao (3.7) obtemos

D =

y0 + ABx0 + CB 1 +

(AB

)2 =By0+Ax0+C

B

B2+A2

B2

=

1|B|Ax0 +By0 + C1|B|A2 +B2

e finalmente

D =

Ax0 +By0 + CA2 +B2

(3.8)

Exemplo 3.3 Determine a distncia do ponto P (1, 5) reta y = 3x+ 11.

Basta observar que (x0, y0) = (1, 5) e que a equao geral da reta 3x + y 11 = 0,logo A = 3, B = 1 e C = 11. A substituio na equao (3.8) resulta

D =

3 1 + 1 5 11|9 + 1

=310

3.6 Funes linearesFunes lineares (ou funes polinomiais do 1o grau) so funes2 f : R R da forma

y = f(x) = ax+ b; (3.9)2Lembre-se que o smbolo R denota o conjunto de todos os nmeros reais. Assim f : R R indica

que a funo f tem como domnio (o R antes da flecha) e contra-domnio (o R depois da flecha) todos osnmeros reais.

27

onde a e b so constantes reais. Comparando as equaes (3.5) e (3.9) conclumos imedi-atamente que o grfico de uma funo linear uma reta no plano cartesiano. A raiz3 dada por x = b/a.

3.6.1 Modelos lineares

A despeito de sua simplicidade, vrias situaes importantes so modeladas por funeslineares. Por modelo linear queremos dizer que existem duas quantidades que se rela-cionam algebricamente atravs de uma equao (ou funo) linear. Os prximos exemplosilustram alguns modelos lineares.

Exemplo 3.4 (A presso em um ponto submerso) Determine a relao entre a pressop (medida em atm) e a profundidade h (medida em m) em um ponto submerso na guado mar, considerando que a presso aumenta linearmente com a profundidade e que esteaumento de 1 atm a cada 10 m de descida.

Inicialmente observamos que quando h = 0 m (na superfcie) a presso p = 1 atm;assim nossa reta passa pelo ponto (h, p) = (0, 1). Quando h = 10 m de profundidadea presso aumenta para p = 2 atm; assim nossa reta tambm passa pelo ponto(h, p) = (10, 2).

De posse de dois pontos da reta determinamos seu coeficiente angular

a =p

h=

2 110 0 =

1

10.

Finalmente, usando o ponto (h, p) = (0, 1), obtemos a equao da reta

p 1 = 110

(h 0) p = 110

h+ 1;

que o modelo linear que relaciona a presso p e a pronfundidade h da situaodescrita.

Exemplo 3.5 (Escalas de temperaturas) Emmuitos pases, incluindo o Brasil, a tempe-ratura medida na escala Celsius. Nos pases que adotam o arcaico sistema ingls demedidas, como Inglaterra e Estados Unidos, a temperatura medida na escala Faren-heit. A escala Celsius adota as seguintes convenes: a gua congela a 0 oC e ferve a100 oC. A escala Farenheit adota as seguintes convenes: a gua congela a 32F e fervea 212F . Determine uma equao de converso Celsius-Farenheit, sabendo que trata-sede um modelo linear.

Denotando por c a temperatura em Celsius e por f a temperatura em Farenheitobservamos que a reta procurada passa pelos pontos (c1, f1) = (0, 32) (congelamentoda gua) e (c2, f2) = (100, 212) (ebulio da gua).

3As razes, ou zeros, de uma funo so todos os valores do domnio que anulam sua imagem, ou seja,so todos os elementos do domnio que possuem imagem zero. Determinamos as razes de uma funo fresolvendo a equao f(x) = 0.

28

De posse de dois pontos da reta determinamos seu coeficiente angular

a =f

c=

212 32100 0 =

180

100=

9

5.

Finalmente, usando o ponto (c1, f1) = (0, 32), obtemos a equao da reta

f 32 = 95(c 0) f = 9

5c+ 32;

que o modelo linear que relaciona a temperatura Farenheit f e a temperaturaCelsius c.

3.7 Problemas Propostos3.1 Marque cada par de pontos no plano cartesiano; trace a reta que passa por eles edetermine a equao reduzida desta reta.

(a) (5, 0) e (1, 4)

(b) (3, 0) e (1, 4)(c) (2, 3) e (1, 9)(d) (1, 1) e (1, 5)(e) (2,4) e(1, 1)

(f) (2,4) e (1, 5)(g) (2, 4) e (1,5)(h) (2, 4) e (1,5)(i) (2, 4) e (1,5)(j) (2,4) e(1,5)

(k) (0, 3) e (4, 3)

(l) (1, 1) e (3, 1)

(m) (1, 1) e (1, 4)

(n) (3,2) e (3, 5)

Analisando os resultados obtidos o que voc pode inferir sobre a posio da reta quandoseu coeficiente angular positivo? e quando negativo? e quando nulo? e quando noexiste?

3.2 Esboce o grfico e determine a equao da reta que satisfaz as seguintes propriedades:

(a) inclinao de 45o e passa pelo ponto P (2, 4);

(b) inclinao de 60o e passa pelo ponto P (2, 4);

(c) inclinao de 135o e passa pelo ponto A(3, 5);

(d) inclinao de 45o e passa pelo ponto mdio dos pontos (3,5) e (1,1);(e) paralela reta y = 3x 4 e passa pelo ponto P (1, 2);(f) perpendicular reta y = 3x 4 e passa pelo ponto P (1, 2);

3.3 Determine se os trs pontos dados so colineares (resolva este problema de doismodos: usando o coeficiente angular e a frmula da distncia).

29

(a) (1,4); (2,13) e (5, 8);(b) (1,7); (4, 2) e (2, 1);

(c) (12,3

2); (1

4,13

8) e (1

2,2);

3.4 Determine se os trs pontos dados formam um tringulo retngulo (resolva este pro-blema de dois modos: usando o coeficiente angular e o Teorema de Pitgoras).

(a) (1,3); (2, 7) e (2, 5);(b) (1, 2); (0, 1) e (1, 2);

(c) (0, 0); (3, 6) e (4, 2);

3.5 Esboce cada par de retas no plano cartesiano e determine o ponto de interseo.

(a) y = x 2 e y = 2x+ 4;(b) y = 2x 7 e y = 2x+ 1;

(c) y = 3x 1 e y = 5x+ 2;(d) y = 2x 5 e y = 2x+ 5;

3.6 Determine o(s) valor(es) de k para que a reta (k + 4)x+ (9 k2)y + (k 6)2 = 0(a) seja paralela ao eixo-x;

(b) seja paralela ao eixo-y;

(c) passe pela origem.

3.7 O conjunto de todos os pontos eqidistantes de dois pontos A e B dados chamadoreta mediatriz do segmento AB. Esboce e determine a equao reduzida da mediatriz dosegmento AB de dois modos:

(i) igualando a distncia do ponto P (x, y) a A e B e simplificando a equao obtida;

(ii) usando o ponto mdio do segmento AB e um coeficiente angular adequado.

(a) A(1,3) e B(5,1)(b) A(2, 4) e B(6,2)

(c) A(3,2) e B(3, 5)(d) A(3,2) e B(3, 7)

3.8 Determine a distncia do ponto P0 reta r nos casos:

(a) P0(2, 5) e r : y = 1

(b) P0(3, 4) e r : x+ 2 = 0(c) P0(1,3) e r : 4x y2 + 2 = 0(d) P0(3, 5) e r : y = 5x 3

3.9 Mostre que a distncia da origem (0, 0) reta Ax+By + C = 0 vale

D =|C|

A2 +B2.

3.10 Mostre que a distncia entre as retas paralelas Ax+By+C1 = 0 e Ax+By+C2 = 0vale

D =|C1 C2|A2 +B2

.

3.11 Determine a distncia entre as retas r e s

30

(a){

r : 2x+ 3y = 15s : 2x+ 3y 10 = 0

(b){

r : 3x y + 7 = 0s : 3x+ y + 7 = 0

(c){

r : x+ y 1 = 0s : 3x+ 3y 7 = 0

(d){

r : y = 5x 7s : y = 5x+ 3

3.12 Determine a equao da reta paralela reta 3x+4y+15 = 0 e que dista da mesma3 unidades.

3.13 Determine a equao da reta equidistante de 3x+ y 10 = 0 e 3x+ y 4 = 0.

3.14 Dada a funo f : R R, tal que y = f(x) = 2x 10,(a) determine as coordenadas do ponto onde seu grfico corta o eixo-x;

(b) determine as coordenadas do ponto onde seu grfico corta o eixo-y;

(c) utilize as informaes obtidas para esboar seu grfico.

3.15 Voltando ao Exemplo 3.4

(a) qual a unidade do coeficiente angular da reta obtida? qual o seu significado?

(b) qual a unidade do coeficiente linear da reta obtida? qual o seu significado?

3.16 Voltando ao Exemplo 3.5

(a) qual o significado do coeficiente angular da reta obtida?

(b) qual o significado do coeficiente linear da reta obtida?

3.17 Dada a funo f : R R, tal que f(x) = 3x 4, determine as constantes a e bsabendo-se que f(a) = 2b e f(b) = 9a 28.

3.18 Uma funo linear tal que f(3) = 2 e f(4) = 2f(2). Determine f .

3.19 Uma funo linear tal que f(0) = 1+ f(1) e f(1) = 2 f(0). Determine f(3).

3.20 Um avio parte de um ponto P no instante t = 0 e viaja para o oeste a umavelocidade constante de 450Km/h.

(a) Escreva uma expresso para a distncia d (em Km) percorrida pelo avio emfuno do tempo t (em horas).

(b) Trace o grfico d t.(c) qual o significado do coeficiente angular da reta obtida?

3.21 A equao da reta na forma (3.3) tem a vantagem da conexo direta com o raciocniogeomtrico utilizado para obt-la, ilustrado na Figura 3.1(b). Porm, rigorosamente fa-lando, a equao de uma reta no pode ser deixada nesta forma. Por qu?

31

Captulo 4

Funes quadrticas

4.1 Funes QuadrticasFunes quadrticas (ou funes polinomiais do 2o grau) so funes f : R R da forma

y = f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0.Sua representao no plano cartesiano uma parbola. As duas razes so dadas pelaFrmula de Bskara

x =b

2a; (4.1)

onde o discriminante (ou delta) dado por = b2 4ac. Temos que: se > 0 : duas razes reais distintas; se = 0 : duas razes reais iguais (raiz dupla); se < 0 : duas razes complexas1Para o traado do grfico de funes quadrticas til lembrar que as coordenadas do

vrtice da parbola so dadas por (b2a

,4a

). (4.2)

Forma fatorada de uma funo quadrtica

Se os nmeros r1 e r2 so as razes de uma funo quadrtica y = f(x) = ax2 + bx + cento podemos reescrev-la na forma fatorada

y = f(x) = ax2 + bx+ c = a(x r1)(x r2).Exemplo 4.1 Dada a funo y = 4x2 + 2x+ 6 temos

razes: = 22 4(4)6 = 100; logo x = 2108 donde x = 1 e x = 32 ; vrtice: (28 , 10016 ) = (14 , 254 ); forma fatorada: f(x) = 4(x 3

2

)(x+ 1

).

1Neste caso as razes so conjugadas, pois estamos tratando de funes quadrticas de coeficientesreais.

32

4.2 Problemas Propostos4.1 Dadas as funes f : R R e g : R R, tais que f(x) = x+1 e g(x) = x25x+6,

(a) determine as razes de f ;

(b) determine as razes de g e reescreva-a na forma fatorada;

(c) resolva a equao g(2)f(x)g(1)f(2)

= g(4)f(2)

(d) resolva a equao g(x)f(x)g(0)f(0)

= g(2)f(1)

4.2 Dada a funo f : R R, tal que y = f(x) = x2 10x+ 9,(a) determine as coordenadas do ponto onde seu grfico corta o eixo-x;

(b) determine as coordenadas do ponto onde seu grfico corta o eixo-y;

(c) determine as coordenadas do vrtice da parbola;

(d) utilize as informaes obtidas para esboar seu grfico.

4.3 Dada a funo quadrtica f(x) = 4x2 11x 3 determine o valor de k sabendo-seque f(k) = f(k + 1).

4.4 Sabe-se que a funo quadrtica y = 3x2 + bx+ c tem como razes os nmeros 2 e6. Determine as coordenadas do vrtice de seu grfico e esboce-o.

4.5 Sabe-se que a funo quadrtica y = x2+bx+c tem como razes os nmeros complexos2 i. Determine as coordenadas do vrtice de seu grfico e esboce-o.

4.6 (UFPI) Uma fbrica produz p(t) = t2 2t pares de sapatos t horas aps o incio desuas atividades dirias. Se a fbrica comea a funcionar as 8 : 00 horas, quantos paresde sapatos sero produzidos entre 10 : 00 e 11 : 00.

4.7 (UFGO) Se f(x) = x 3, determine os valores de x que satisfazem a equaof(x2) = f(x).

4.8 (UFAL-AL) So dadas as funes f, g : R R definidas por f(x) = x2 2x 3 eg(x) = 3

2x+m. Se f(0) + g(0) = 5, determine o valor da expresso f(m) 2g(m).

4.9 (PUC-SP) Qual a funo quadrtica cuja nica raiz 3 e cujo grfico passapelo ponto (2, 5)?

4.10 De uma funo quadrtica sabe-se que uma das razes 3 e que as coordenadas dovrtice de seu grfico so (1,16). Determine a outra raiz e esboce seu grfico.

4.11 De uma funo quadrtica sabe-se que f(m+ 3) = 2m2 2m+ 1.

33

(a) Determine f(1) e f(2); (b) Determine f(x).

4.12 (Cesgranrio-RJ) Para quais valores de b a parbola y = x2 + bx tem um nicoponto em comum com a reta y = x 1?

4.3 Problemas Tericos4.1 Prove 4.1. (Sugesto: a partir da equao ax2 + bx + c = 0 complete os quadradosno membro esquerdo. Como surge o na frmula de Bskara?)

4.2 Prove 4.2. (Sugesto: a partir da equao y = ax2 + bx + c complete os quadradosno membro direito e reescreva-a na forma padro da equao de uma parbola (y k) =4p(x h)2, onde (h, k) so as coordenadas do vrtice)

4.4 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 4

4.1 (pgina 33)

(a) x = 2 e x = 3

(b) x = 1(c) x = 11

(d) x = 5 ou x = 11

4.2 (pgina 33)

(a) (1, 0) e (9, 0);

(b) (0, 9);

(c) (5,16)

4.3 (pgina 33) k = 78 . 4.4 (pgina 33) (2,48).

4.5 (pgina 33) (12 , 1). 4.6 (pgina 33) p(3) p(2) = 7 pares de

sapatos.

4.7 (pgina 33) x = 0 ou x = 1. 4.8 (pgina 33) 15. 4.9 (pgina 33) f(x) = 5(x+ 3)2. 4.10 (pgina 33) x = 5. 4.11 (pgina 33)

(a) f(1) = 13 e f(2) = 61;(b) f(x) = 2x2 14x+ 25.

4.12 (pgina 34) b = 1 ou b = 3.

34

Captulo 5

Estudo do Sinal de uma Funo

5.1 IntroduoNeste Captulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma funo, assunto muitasvezes tratado de forma rpida e superficial nos ensinos bsico e mdio. Daremos aqui umamaior cobertura a este tpico uma vez que se trata de um pr-requisito fundamental parase aprender o Clculo Diferencial e Integral. Tambm introduzimos dois novos tipos defunes: as funes racionais e as funes algbricas.

5.2 Estudo do sinal de uma funoEstudar o sinal de uma funo consiste em determinar os intervalos nos quais a funotem imagem negativa e os intervalos nos quais a funo tem imagem positiva.

5.2.1 Estudo do sinal de funes polinomiais

Como toda funo polinomial tem como domnio todo o conjunto R e sempre contnua1,suas imagens s podem mudar de sinal em suas razes reais.

Estudo do sinal de funes lineares

Neste caso o estudo de sinal bastante simples, pois a funo apresenta uma nica raiz(obviamente real) e portanto muda de sinal uma nica vez.

Exemplo 5.1 A nica raiz da funo polinomial y = 2x6 x = 3. Assim (Figura 5.1) a funo positiva em {x R|x > 3} (isto significa que qualquer valor de x maiorque 3 resulta em uma imagem positiva);

a funo negativa em {x R|x < 3} (isto significa que qualquer valor de x menorque 3 resulta em uma imagem negativa).

1Uma discusso detalhada de continuidade depende do conhecimento da teoria de limites (Veja Seo2.5 e Apndices B.2 e B.3 de George F. Simmons, Clculo com Geometria Analtica - Volume 1, McGraw-Hill, So Paulo, 1987. Grosseiramente falando, uma funo contnua quando seu grfico no apresentafalhas ou saltos.

35

-x

3+

Figura 5.1: Estudo de sinal da funo y = 2x 6

Estudo do sinal de uma funo quadrtica

Inicialmente determinamos as razes reais (se existirem) do polinmio quadrtico. A seguirpodemos estudar o sinal utilizando o grfico da funo ou o quadro de sinais (com a funona forma fatorada). O Exemplo a seguir ilustra tais possibilidades.

Exemplo 5.2 As razes da funo polinomial y = x2 3x 4 so x = 1 e x = 4.(i) Forma grfica: como o coeficiente do termo quadrtico positivo, o grfico dafuno uma parbola com concavidade voltada para cima (Figura 5.2).

-x1 4

+

+

Figura 5.2: Estudo de sinal da funo y = x2 3x 4

(ii) Quadro de sinais: escrevemos a funo na forma fatorada

y = (x+ 1)(x 4)

e analisamos os sinais dos fatores nos subintervalos formados pelas razes de cadafator (Figura 5.3).

1 4x+ 1x 4y

+ + ++ +

Figura 5.3: Estudo de sinal da funo y = x2 3x 4 = (x+ 1)(x 4)

Temos:

a funo positiva em {x R|x < 1 ou x > 4}; a funo negativa em {x R| 1 < x < 4}.

36

Estudo do sinal de uma funo polinomial qualquer

Neste caso devemos ser capazes de determinar as razes do polinmio (no se frustre:para polinmios de grau maior que 2 isto nem sempre fcil). Se pudermos determinaras razes reais da funo, podemos reescrev-la na forma fatorada e ento estudarmos seusinal com o auxlio do quadro de sinais.

Exemplo 5.3 As razes da funo polinomial y = x3 x2 6x so x = 2, x = 0 ex = 3 (verifique); logo sua forma fatorada

y = x(x+ 2)(x 3).Analisamos ento os sinais dos fatores nos subintervalos formados pelas razes de cadafator (Figura 5.4).

2 0 3x

x+ 2x 3y

+ + + + + + + +

Figura 5.4: Estudo de sinal da funo y = x3 x2 6x

Temos:

a funo negativa em {x R|x < 2 ou 0 < x < 3}; a funo positiva em {x R| 2 < x < 0 ou x > 3}.

5.3 Funes RacionaisFunes racionais so dadas por razes de polinmios, ou seja, so funes da forma

f(x) =P (x)

Q(x)

onde P e Q so polinmios quaisquer. Evidentemente, como no existe diviso porzero, o domnio de uma funo racional so todos os nmeros reais para os quais Q(x) 6= 0.As razes de uma funo racional so as prprias razes de P (caso no anulem Q).

Exemplo 5.4 Dada a funo y = x3x1 , temos:

domnio: x 1 6= 0, assim D(f) = {x R|x 6= 1}; raiz: x 3 = 0, assim a funo possui uma nica raiz x = 3; estudo de sinal: utilizamos o quadro de sinais e analisamos os sinais dos fatores nossubintervalos formados pelas razes de cada fator (Figura 5.5):

Temos:

37

1 3

x 1x 3y

+ + ++ +

Figura 5.5: Estudo de sinal da funo y = x3x1

a funo positiva em{x R|x < 1 ou x > 3};

a funo negativa em{x R| 1 < x < 3}.

Exemplo 5.5 Dada a funo y = x3x29 , temos:

domnio: x2 9 6= 0, assim D(f) = {x R|x 6= 3}; raiz: x 3 = 0 e neste caso x = 3 seria a provvel raiz. Como 3 no est nodomnio, esta funo no possui raiz2

estudo de sinal: como x = 3 raiz do numerador e do denominador o fator linearx 3 poder ser cancelado

y =x 3x2 9 =

x 3(x 3)(x+ 3) =

1

x+ 3, x 6= 3.

Temos:

a funo positiva em{x R|x > 3};

a funo negativa em{x R|x < 3}.

Uma funo racional f(x) = P (x)Q(x)

se diz prpria se o grau do polinmio P menor queo grau do polinmio Q; caso contrrio a funo racional se diz imprpria. Em particular,toda funo racional imprpria pode ser reescrita na forma

f(x) =P (x)

Q(x)= q(x) +

r(x)

Q(x); (5.1)

onde o polinmio q o quociente e o polinmio r o resto da diviso de P por Q.

Exemplo 5.6 Na diviso do polinmio x3 3x2 por x 1 o quociente x2 2x 2 e oresto 2. Assim a funo racional f(x) = x33x2

x1 pode ser reescrita como

f(x) =x3 3x2x 1 = x

2 2x 2 + 2x 1 .

2Cuidado: conforme podemos observar neste Exemplo a primeira providncia quando analisamos umafuno determinar seu domnio. Se voc comeasse tentando encontrar as razes poderia cometer um(grave) erro.

38

5.4 Funes AlgbricasFunes algbricas so aquelas obtidas por qualquer manipulao algbrica de polinmios.Muitas vezes tais funes envolvem a extrao de razes e/ou divises de polinmios. Nocaso de funes algbricas determinamos o seu domnio observando dois fatos:

(i) no existe diviso por zero;

(ii) no existe raiz par de nmero negativo.

Exemplo 5.7 Determine o domnio e as razes da funo f(x) =21 18x 3x2.

Soluo: uma vez que s podemos extrair a raiz quadrada de nmeros no negativos,devemos ter

21 18x 3x2 0.A Figura 5.6 ilustra graficamente a soluo desta inequao. Observamos ento que odomnio da funo D(f) =

{x R| 7 x < 1}. As razes so x = 7 e x = 1,

uma vez que f(7) = f(1) = 0 = 0.

-x7 1

+

Figura 5.6: Determinando o domnio da funo f(x) =21 18x 3x2

5.5 Problemas Propostos5.1 Determine as razes e estude o sinal da funo f(x) = x2 5x+ 6.

5.2 Determine as razes e estude o sinal da funo f(x) = x2 + 4x.

5.3 Determine as razes e estude o sinal da funo f(x) = x2 4x+ 4.

5.4 Determine as razes e estude o sinal da funo f(x) = x2 + 4x 13.

5.5 Determine as razes e estude o sinal da funo f(x) = x36x227x+140, sabendo-seque uma de suas razes 7.

5.6 Determine as razes e estude o sinal da funo f(x) = x4 13x2 + 36.

5.7 Dada a funof(x) = x23x4x2

(a) determine seu domnio;

(b) determine suas razes (se exis-

tirem);

(c) faa o estudo de seu sinal.

39

5.8 Classifique as funes racionais como prpria ou imprpria. Para as imprprias,reescreva-a na forma (5.1).

(a) x+1x2+x7

(b) x43x+1x2x

(c) x3+5x2+2x+7

x3+x

(d) x3+8

x4+2x2+4

(e) x6+5x5+11x4+7x3+x21

x21

5.9 Faa o estudo de sinal das funes do Problema 5.8

5.10 Dada a funo f(x) =x3+x22xx1 , determine

(a) seu domnio; (b) suas razes (se ex-istirem);

(c) seu estudo desinal.

5.11 Dada a funo f(x) =

x+3x5 , determine

(a) seu domnio; (b) suas razes (se ex-istirem);

(c) seu estudo desinal.

5.12 Dada a funo f(x) =

x2+x6x2x6 , determine

(a) seu domnio; (b) suas razes (se ex-istirem);

(c) seu estudo desinal.

5.13 Determine as constantes A e B que sastifazem a igualdade

7x+ 14

x2 + x 12 =A

x 3 +B

x+ 4

5.14 Determine as constantes A, B e C que sastifazem a igualdade

19

x3 + x2 14x+ 6 =A

x 3 +Bx+ C

x2 + 4x 2

5.6 Problemas Tericos5.1 O estudo de sinal de uma funo quadrtica pode ser imediatamente determinado apartir do valor de seu discriminante e do sinal do coeficiente do termo quadrtico. Faaum quadro resumo ilustrando as seis possibilidades de estudo de sinal para tais funes.

5.2 Podemos afirmar que x2+2x3x1 = x+ 3? Explique.

5.7 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 5

40

5.1 (pgina 39) razes: x = 1 e x = 6; estudo de sinal

a funo positiva em {x R|x < 1 ou x > 6};

a funo negativa em {x R| 1 < x < 6}.

5.2 (pgina 39) razes: x = 0 e x = 4;

estudo de sinal

a funo positiva em {x R|0 < x < 4};

a funo negativa em {x R|x < 0 ou x > 4}.

5.3 (pgina 39) razes: x = 2 (dupla);

estudo de sinal

a funo positiva em {x R|x 6= 2};

a funo nunca negativa. 5.4 (pgina 39)

razes: no existe raiz real (asrazes so x = 2 3i);

estudo de sinal: a funo nunca negativa x R.

5.5 (pgina 39) razes: x = 5, x = 4 e x = 7; estudo de sinal

a funo positiva em {x R| 5 < x < 4 ou x > 7};

a funo negativa em {x R|x < 5 ou 4 < x < 7}.

5.6 (pgina 39) razes: x = 3, x = 2, x = 2 ex = 3;

estudo de sinal

a funo positiva em {x R|x < 3 ou 2 < x 3

};

a funo negativa em {x R| 3 < x < 2 ou 2 < x 4}; a funo negativa em

{x

R|x < 1 ou 2 < x < 4}. 5.8 (pgina 40)

(a) prpria

(b) imprpria x43x+1x2x = x

2+x+1+2x+1x2x

(c) imprpria x3+5x2+2x+7

x3+x= 1 +

5x2+x+7x3+x

(d) prpria

(e) imprpria x6+5x5+11x4+7x3+x21

x21 =x4+5x3+12x2+12x+13+ 12x+12

x21

5.10 (pgina 40)

(a) domnio: D(f) ={x R| 2

x 0 ou x > 1};(b) raz: x = 2 e x = 0.

5.11 (pgina 40)

(a) domnio: D(f) ={x R|x

3 ou x > 5};(b) raz: x = 3.

5.12 (pgina 40)

(a) domnio: D(f) ={x R|x

3 ou 2 < x 2 ou x > 3};(b) raz: x = 3 e x = 2.

5.13 (pgina 40) A = 5 e B = 2 5.14 (pgina 40) A = 1, B = 1 eC = 7

41

Captulo 6

Funes Polinomiais

6.1 DefinioUma funo polinomial f : R R uma funo da forma

y = f(x) = anxn + . . .+ a3x

3 + a2x2 + a1x+ a0;

onde:

n o grau do polinmio; an, . . . , a3, a2, a1, a0, chamados coeficientes do polinmio, so constantes (an 6= 0); x a varivel independente. O domnio de toda funo polinomial R; y = f(x) a varivel dependente.

Exemplo 6.1 y = 4x3 2x2 + 1 um polinmio de grau 3; seus coeficientes so 4, 2,0 e 1.

6.2 Resultados Importantes

Identidade de Polinmios

Dois polinmios so ditos idnticos se os coeficientes das parcelas de mesma potncia soiguais.

Exemplo 6.2 Determine os valores de m, n e p para que os polinmios

P (x) = (m+ n)x2 + 3nx 4 e Q(x) = 2mx2 6x+ 4psejam idnticos.

Soluo: comparando-se as parcelas de mesma potncia temos o sistemam+ n = 2m3n = 64p = 4

cuja soluo m = 2, n = 2 e p = 1 (verifique!).

42

Polinmio Identicamente Nulo

O polinmio identicamente nulo aquele no qual todos os coeficientes so nulos, ou seja,

y = f(x) = 0xn + 0xn1 + . . .+ 0x3 + 0x2 + 0x+ 0 = 0, x R.Qual o grau de um polinmio identicamente nulo? o que voc quiser (sinistro no?).

Teorema do Resto

A diviso do polinmio P pelo fator linear (x r) igual a P (r).Exemplo 6.3 Determine o valor de m de modo que a diviso do polinmio f(x) = (m4)x3 mx2 3 por g(x) = x 2 d resto 5.

Soluo: pelo Teorema do Resto devemos ter f(2) = 5; logo

f(2) = 8(m 4) 4m 3 = 54m = 40

m = 10.

Pelo Teorema do Resto observamos que se r uma raiz de um polinmio P , isto , seP (r) = 0, ento P divisvel por (x r) (este resultado conhecido como Teorema deDAlembert). Generalizando este resultado, se P divisvel pelos fatores lineares (xr1),(x r2),. . ., (x rn), ento P tambm divisvel pelo produto

(x r1)(x r2) . . . (x rn);onde os nmeros r1, r2, . . . , rn so todos razes de P .

Teorema Fundamental da lgebra - TFA

Todo polinmio de grau n possui n razes. No TFA devemos considerar:

a existncia de razes complexas; a existncia de razes mltiplas (repetidas).

Forma Fatorada de um Polinmio

A importncia do TFA que ele garante que todo polinmio P (x) = anxn + . . .+ a3x3 +a2x

2 + a1x+ a0, de grau n, pode ser escrito na forma fatorada

P (x) = an(x r1)(x r2)(x r3) . . . (x rn)onde os nmeros r1, r2, r3, . . . , rn so suas razes (mais uma vez: podem existir razescomplexas e/ou mltiplas). Evidentemente que para escrevermos um polinmio na formafatorada devemos inicialmente determinar suas razes; para polinmios de grau maior que2 isto nem sempre uma tarefa simples1.

1Visite o site www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Quadratic_etc_equations.htmlpra uma discusso sobre a determinao exata das razes de polinmios cbicos (Mtodo de Tartaglia) equrticos (Mtodo de Ferrari) por mtodos algbricos (mtodos que envolvem apenas adio, subtraomultiplicao, diviso e razes de expresses nos coeficientes do polinmio).

43

Exemplo 6.4 As razes do polinmio P (x) = x3 3x2 + 2x so x = 0, x = 1 e x = 2(verifique). Logo sua forma fatorada

P (x) = (x 0)(x 1)(x 2) = x(x 1)(x 2).

Exemplo 6.5 As razes do polinmio P (x) = x4 + 3x3 25x2 39x+ 180 so x = 5,x = 4, x = 3 e x = 3 (verifique). Logo sua forma fatorada (observe que 3 uma raizdupla)

P (x) = (x+ 5)(x+ 4)(x 3)(x 3) = (x+ 5)(x+ 4)(x 3)2.

6.3 Problemas Propostos6.1 Determine todos os valores de k para que o polinmio

P (x) = (k2 k 6)x3 (k 3)x2 + kx 2

(a) seja de grau 1; (b) seja de grau 2.

6.2 (Mack-SP) Para quais valores de m o polinmio P (x) = (m4)x3+(m216)x2+(m+ 4)x+ 4 de grau 2?

6.3 Dados A(x) = x2 + 3x+ 1, B(x) = 2x2 + x 1 e C(x) = x3 x+ 1, determine:

(a) P (x) = (2A+B)2 4C; (b) Q(x) = (B A)2 2(B + C).

6.4 (FGV-SP) Sabe-se que em um polinmio P do 3o grau o coeficiente de x3 1, duasde suas razes so 1 e 2 e que P (3) = 30. Determine P (1).

6.5 (Fuvest-SP) Sabe-se que um polinmio P (x) = x3 + ax2 + bx+ c tem as seguintespropriedades: P (1) = 0 e P (x) + P (x) = 0, x R. Determine P (2).

6.6 Determine as constantes A, B e C na identidade

A(x2 x+ 1) + (Bx+ C)(x+ 1)) = 1.

6.7 Determine as constantes , , e para que os polinmios P (x) = (x + )3 +(x+ ) e Q(x) = x3 + 6x2 + 15x+ 14 sejam idnticos.

6.8 (PUC-SP) Determine as constantes m, n e p para que os polinmios P (x) = (m+n+ p)x4 (p+1)x3+mx2+(n p)x+n e Q(x) = 2mx3+(2p+7)x2+5mx+2m sejamidnticos.

6.9 Determine m e n para que o polinmio f(x) = x3 + 12x2 + mx + n seja um cuboperfeito2.

6.10 Determine o quociente Q e o resto R da diviso do polinmio f(x) = x37x2x+8pelo polinmio g(x) = x2 4.

2Isto , para que f seja da forma f(x) = (ax+ b)3

44

6.11 Em uma diviso de polinmios, o divisor Q(x) = x3 x2 + 3, o quociente q(x) = x+ 2 e o resto R(x) = x2 9. Determine o dividendo.

6.12 Em uma diviso de polinmios, o dividendo P (x) = x4 2x2+x 7, o quociente q(x) = x2 + x 1 e o resto R(x) = 7. Determine o divisor.

6.13 Determine as constantes e para que o polinmio P (x) = x4 + x3 + x2 + 2xseja divisvel pelo polinmio Q(x) = x2 + 1.

6.14 Determine o valor de m para que o polinmio P (x) = (m2 1)x2 + 2mx 1 sejadivisvel pelo polinmio Q(x) = 2x 1.

6.15 (ITA-SP) Um polinmio P divido por x 1 d resto 3. O quociente desta diviso ento dividido por x 2, obtendo-se resto 2. Determine o resto da diviso de P por(x 1)(x 2).

6.16 Sabe-se que o polinmio P (x) = x3 + 2x2 9x 18 divisvel pelo fator linearx+ 2. Determine todas as razes de P e reescreva-o na forma fatorada.

6.17 Dado a funo polinomial P (x) = x4 8x2 9 determine suas razes e reescreva-ana forma fatorada.

6.18 Sabendo-se que 2 uma raiz dupla da funo polinomial P (x) = x5 2x4 3x3 +4x2 + 4x, determine suas outras 3 razes e reescreva-a na forma fatorada.

6.19 (ESAN-SP) Seja P (x) = Q(x) + x2 + x+ 1. Sabendo-se que 2 raiz de P e 1 raiz de Q determine P (1)Q(2).

6.20 (UFMG) Os polinmios P (x) = px2+ q(x) 4 e Q(x) = x2+ px+ q so tais queP (x+ 1) = Q(2x), x R. Determine p e q.

6.21 (UFES) Seja f um polinmio tal que a soma de seus coeficientes zero. Deter-mine f(1).

6.22 (ITA-SP) Sejam a, b e c nmeros reais que nesta ordem formam uma progressoaritmtica de soma 12. Sabendo-se que os restos das divises de P (x) = x10+8x8+ax5+bx3 + cx por x 2 e x+ 2 so iguais, determine a razo da progesso aritmtica.

6.4 Problemas Tericos6.1 Para todo n N a expresso (x+4)n+(x+3)2n1 define formalmente um polinmioem x. Mostre que qualquer polinmio assim obtido divisvel pelo produto (x+3)(x+4).

6.5 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 6

45

6.1 (pgina 44)

(a) k = 3;

(b) k = 2.

6.2 (pgina 44) para nenhum m. 6.3 (pgina 44)

(a) P (x) = 4x3 + 49x2 + 18x 3;(b) Q(x) = 9x4 + 10x3 + 20x2 + 8x+ 4.

6.4 (pgina 44) P (1) = 66. 6.5 (pgina 44) P (2) = 6. 6.6 (pgina 44) A = 13 , B = 13 , C = 23 . 6.7 (pgina 44) = 1, = 3, = = 2. 6.8 (pgina 44) m = 1, n = 2 e p = 3. 6.9 (pgina 44) m = 48 e n = 64. 6.10 (pgina 44) Q(x) = x 7 e R(x) =3x 20.

6.11 (pgina 45) P (x) = x4+x3x2+3x3 6.12 (pgina 45) Q(x) = x2 x. 6.13 (pgina 45) = 2 e = 1. 6.14 (pgina 45) m = 5 ou m = 1 6.15 (pgina 45) 2x+ 1 6.16 (pgina 45) x = 3, x = 2, x = 3;P (x) = (x+ 3)(x+ 2)(x 3).

6.17 (pgina 45) x = 3 e x = i; P (x) =(x+ 3)(x 3)(x+ i)(x i).

6.18 (pgina 45) x = 0 (raiz simples), x =1 (raiz dupla); P (x) = x(x+1)2(x 2)2.

6.19 (pgina 45) P (1)Q(2) = 10 6.20 (pgina 45) p = 4 e q = 0. 6.21 (pgina 45) f(1) = 0. 6.22 (pgina 45) 285

46

Captulo 7

Exponenciais

7.1 Propriedades das potnciasDados b R e n N, denota-se por bn o produto de b por si mesmo n vezes, isto :

bn = b b b b (n fatores). (7.1)Em (7.1) a constante b denominada base da potncia e n seu expoente. Como conse-

qncias imediatas de (7.1) temos as seguintes propriedades para as potncias (m,n N):(i) bmbn = bm+n

(ii) bmbn

= bmn

(iii) (bm)n = bmn

(iv) bn = 1bn

(v) b0 = 1, se b 6= 0

(vi) 0n = 0, se n 6= 0

(vii) 00 @

Alm disto, definimos expoentes racionais (fracionrios) como

bm/n =nbm,

onde fica subententido que m/n uma frao irredutvel e que a raiz n-sima de bm exista.A validade de (7.1) quando n um nmero irracional bem mais difcil de se estabelecer.Por exemplo, qual o significado de 3

2? Apesar desse incoveniente, admitiremos, sem

provas, que tanto (7.1) como as propriedades listadas continuam vlidas para expoentesreais quaisquer.

Para a desigualdade bx > by observamos que:

(i) se b > 1 ento x > y;

(ii) se 0 < b < 1 ento x < y.

7.2 Notao CientficaNa notao cientfica, qualquer nmero racional pode ser escrito como o produto de

um nmero x, 1 x < 10, multiplicado por uma potncia de 10 adequada. Por exemplo:

47

0, 02 = 2 102

5.300 = 5, 3 103 10.000 = 1 104

0, 00083 = 8, 3 104

7.3 Funes ExponenciaisUma funo exponencial uma funo da forma

f(x) = A bkx , (7.2)

em que A e k so constantes reais quaisquer e a base b qualquer real positivo diferentede 1 (b R+ e b 6= 1). O leitor deve ficar atento para distinguir funo potncia, daforma xa (a varivel est na base), de funo exponencial, da forma bx (a varivel est noexpoente).

Em (7.2), quando A > 0 e k > 0, se b > 1 ento a funo exponencial crescente -Figura 7.1(a); se 0 < b < 1 a funo exponencial decrescente - Figura 7.1(b).

-x

6bx

(0, 1)

(a) Base b > 1

-x

6bx

(0, 1)

(b) Base 0 < b < 1

Figura 7.1: Grficos das funes exponenciais

Juros compostos

Se uma quantia de capital C capitalizada periodicamente a uma taxa de juros j, pode-se mostrar1 que o montante de capital M aps t perodos dado pela funo exponencial

M(t) = C

(1 +

j

100

)t. (7.3)

7.4 Problemas Propostos7.1 Escreva a expresso

x3x4

5x3x7

na forma de expoente fracionrio.

7.2 Sabendo-se que A = 3x+3x2

e B = 3x3x2

, determine A2 +B2.

1Veja o Problema 7.14.

48

7.3 Determine o valor da expresso 2x0 + x13 + 24x

12 para x = 64.

7.4 Simplifique a expresso2n+4 + 2n+2 + 2n1

2n2 + 2n1.

7.5 Resolva as equaes exponenciais

(a) 3x2+1 = 243;

(b) 27x =3;

(c) (0.5)x2+x12 = 1;

(d) 8x2 = 82;

(e) 2x3x = 216;

(f) 4x+2 + 4x1 4x+1 + 4x = 212;(g) 16x4x+3 8x+2 = 0;(h) 28x 4 24x 32 = 0;

7.6 [ITA-SP] Resolva a equao 4x2 5 2x2 + 4 = 0.

7.7 Resolva as inequaes exponenciais

(a) 2x+2 + 2x1 > 3x1 + 3x;

(b)(

12

)x1x2 8x1x ;

(c) 2x 3 > 221;

7.8 Para cada produto indicado, escreva os fatores em notao cientfica, determine ovalor do produto e expresse-o em notao cientfica

(a) 0, 00002 12300(b) 102400 0, 0005

(c) 0, 00025 1200000 1300(d) 0, 004 0, 000001 240000

7.9 Em uma colnia de bactrias, o nmero N de indivduos em funo do tempo t (emdias) dado pela funo exponencial N(t) =M2kt, onde M e k so constantes.

(a) Determine M e k sabendo-se que a populao inicial (no tempo t = 0) de 100bactrias e que esta populao se quadruplicou aps um dia.

(b) Determine o nmero de bactrias presentes na colnia aps dois dias.

(c) Determine o nmero de bactrias presentes na colnia aps cinco dias.

(d) Esboce o grfico N t no intervalo 0 t 5.

7.10 [Unicamp-SP] Suponha que o nmero P de indivduos de uma dada populao emfuno do tempo t, em anos, seja dado pela funo exponencial P (t) = Po 2bt, em quePo e b so constantes.

(a) Determine Po e b sabendo-se que a populao inicial (no tempo t = 0) de 1024indivduos e que se reduziu metade aps 10 anos.

(b) Qual o tempo mnimo para que a populao se reduza 25% da populao inicial?

49

(c) Qual o tempo mnimo para que a populao se reduza 12, 5% da populaoinicial?

(d) Esboce o grfico P t no intervalo 0 t 40.7.11 Em uma cultura de bactrias, estima-se que aps t dias a populao P seja dadapor

P (t) = A (1 + 2 t4 ) ,em que A uma constante positiva. Sabendo-se que a populao inicial da cultura de20.000 indivduos, determine em quantos dias a populao de bactrias atingir 90.000habitantes.

7.12 Na ausncia de predadores, restries de espao e restries de alimentos, as popu-laes de topos os tipos de seres vivos, de bactrias a mamferos de grande porte, tendem acrescer exponencialmente. Como exemplo, considere uma populao de microorganismos,inicialmente com 1.000 indivduos, e que triplica a cada 20 minutos.

(a) Qual o tamanho desta populao aps 1 hora? e aps 2 horas?

(b) Determine uma funo que determine o tamanho da populao de microorganis-mos aps t horas.

7.13 Se um raio de luz de intensidade k, em lux/m2, projetado verticalmente parabaixo na gua, ento a intensidade luminosa I a uma profundidade de h metros dadapor

I(h) = k3t [=] lux/m2,

onde k e so constantes.

(a) Determine k e sabendo-se que a intensidade luminosa de 12 lux/m2 nasuperfcie e de 4 lux/m2 a um metro de profundidade;

(b) determine a intensidade luminosa a 3 metros de profundidade.

7.5 Problemas Suplementares7.14 Suponha que uma quantia de capital C capitalizada periodicamente a uma taxade juros j. Use induo matemtica para mostrar que o montante de capital M aps nperodos dado pela funo exponencial

M(n) = C

(1 +

j

100

)n.

7.6 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 7 7.1 (pgina 48) x15/46

7.2 (pgina 48) 32x+32x2 7.4 (pgina 49) 82/3 7.5 (pgina 49)

50

(a) x = 2(b) x = 5/3(c) x = 4 ou x = 3

(d) x = 19/6(e) x = 3(f) x = 2

(g) x = 0

(h) x = 3/4

7.7 (pgina 49)

(a) x < 3(b) 0 < x 1 ou 12/7 x2

(c) x > 0

7.9 (pgina 49)

(a) M = 100 e k = 2 (b) N(5) = 102.400

Problema 7.13 (pgina 50)

(a) K = 12 e = 1 (b) I(3) = 12/27

51

Captulo 8

Logaritmos

8.1 Definio de logaritmoDefinimos aqui o logaritmo como o inverso da exponencial, no seguinte sentido:

logb(a) = c bc = a (8.1)Em (8.1) utilizamos a seguinte nomenclatura

b a base do logaritmo; a o logaritmando; c o logaritmo.

Condio de existncia de logb(a)

Como na exponencial bx = a a base satisfaz a condio b > 0 e b 6= 1, temos quea > 0 x R. Assim, para logb(a) tambm devemos ter:

b > 0 e b 6= 1; a > 0, isto , s existe logaritmo de nmeros positivos.

Conseqncias da definio

Como conseqncias da definio (8.1), dados a, b, c R+ , b 6= 1 e n R, temos osseguintes resultados imediatos:

(i) logb(1) = 0, pois b0 = 1;

(ii) logb(b) = 1, pois b1 = b;

(iii) logb(bn) = n, pois bn = bn;

(iv) logb(a) = logb(c) a = c(v) se b > 1, logb(a) > logb(c) a > c(vi) se 0 < b < 1, logb(a) > logb(c) a < c

52

Propriedades dos logaritmos

Tambm como conseqncia da definio (8.1), dados a, b, c R+ , b 6= 1 e n R,temos as seguintes propriedades para os logaritmos:

(i) o logaritmo do produto a soma dos logaritmos:

logb(ac) = logb(