2844752 Calculo Diferencial e Integral I

UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia

1

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS � � � 0, 1, 2, 3, 4, … � �� ú�� . � � � �… � 3, �2, �1, 0, 1, 2, 3, … � �� ú�� .

� ! " # "⁄ � % & �, ' # � , ' ( 0 ) �� ú�� .

*� � + " , "⁄ � √2, √3 , √5 / , … 0, �, … � �� ú�� . A diferença entre um número racional e um número irracional: Número Racional é todo número cuja representação decimal é sempre finita ou infinita e periódica (possui dízima). Exemplo de números racionais:

a) 1 23 � 0,3 é um decimal finito.

b) 2 4 � 0.1666 … é um decimal infinito e periódico com dízima 6.

c) 6 7 � 2 é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional.

Número Irracional é todo número cuja a representação decimal é sempre infinita sem ser periódica. Exemplo: a) 0 � 3,1415927 … representa a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro.

0 � :;<=>?<@AB; C% :?>:DAE@>êA:?%C?â<@B>; C% :?>:DAE@>êA:?% � 3,1415927 … é ��

� � 2,7182818 … , é �� J�� K�L��.

√2 � 1,4142135 … é um número infinito sem dízima. Definimos o conjunto dos números Reais sendo a união dos conjuntos dos números racionais e dos irracionais.

M � N � �� ú�� . M * Exercícios: Dados os números abaixo, identifique os números racionais e os números irracionais: a) 3,12 e) 0 i) - 9 b) 0,3333... f) - 6,8 j) 17,323232...

c) 1,73205... g) √4 l) 0,5

d) 25 h) - 1,4142... m) 7 1


2

RETA REAL: Na reta real podemos representar todos os números reais, o número zero representa a origem da reta. Os números da reta real são simétricos e opostos.

-6 -5 -4 -3,14 -3 -2 -√2 -1 0 1 √2 2 3 3,14... . . . I I I I I I I I I I I I I I I I.... r reta real * Os números da reta que estão a esquerda de um número em questão sempre serão menores que esse número. Exemplo: 1 ��á � ��P�� 2 logo 1 Q 2 R�6S ��á � ��P�� R�5S L�T� R�6S Q R�5S R�2,3S ��á � ��P�� R�1,5S L�T� R�2,3S Q R�1,5S Em geral ...�4 Q �3 Q �2 Q �1 Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 … *Os números da reta que estão a direita de um número em questão, sempre serão maiores que esse número. Exemplo: R� 1S��á � �� R�4S L�T� R� 1S U R�4S

V� √2 W��á � �� R�3,1415 … S L�T� R � √2 S U R�3,1415 … S

OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS ADIÇÃO: A soma de números reais resulta em um número real. Sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal. Exemplos: RXS X RXS � RXS �� R�S X R�S � R�S a) 2 X 9 � 11 c) (�2 S X R� 9S � �11 b) 15 X 10 � 25 d) (�15 S X R�10S � �25 YZ[\Z] ^Z_`a`[b`]: subtraem � se os números e dá � se o ]Z[\o ^p q\Zpa em módulo R maior algarismoS. Exemplos: a) R�3S X 5 � 2 v�� 5 é � �� LT�� é v��w�. b) R�15S X 10 � � 5 v�� 15 é � �� LT�� é ��T��w�. S 7 X R�3S � 4 �S 4 X R�10S � � 6 SUBTRAÇÃO: é a operação INVERSA da adição. A subtração de números reais resulta em um número real. Toda subtração é uma adição. O sinal positivo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o mesmo sinal. Exemplo: a) �8 X R 9 S � �8 X 9 � 1 b) �8 X R�9S � �8 � 9 � �17c) 12 X R�15S � 12 � 15 � �3 O sinal negativo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o sinal trocado. Exemplos: a) ( �4S � RX 6S � R�4S � 6 � �10 b) � 16 � R�20S � �16 X 20 � 4 c) 9 � R�10S � 9 X 10 � 19


3

MULTIPLICAÇÃO : ou produto de números reais sempre será um número real. Sinais iguais multiplicam-se os números e dá-se o sinal ( + ) positivo. Exemplo: a) RX 5S . RX4S � X 20 b) R�3 S . R�6S � X18

YZ[\Z] ^Z_`a`[b`] multiplicam � se os números e ^á � ]` p ]Z[\o V– W [`{\bZ|p. Exemplo: a) RX8S . R�5S � �40 b) R�1,5S. RX10S � �15 DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação, a regra de sinal é a mesma da multiplicação.

Exemplo: X1}~} � X 7

R�6SR��S � X 6

� 72

R ��S � � 3

R�2�S

1 � � 6 QUADRO DE SINAIS

. :

X �

X

X �

�

� X

Exercícios: Resolver as operações indicadas abaixo: a) 27 X 20 � e) R�15S � R�15S � b) 65 � 30 � f) 23 X R�45S � c) R�41S X 39 � TS R�90S � R90S � d) 87 � R�7S � h) R�1S � R�1S �

X � Adição Somar Subtrair X ��L X Sinal do maior em módulo Subtrair Somar � Sinal do maior ��L � em módulo

Respostas a) 47 b) 35 c) �2 d) 94 e) 0 f) �22 g) �180 h) 0


4

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM AS QUATRO OPERAÇÕES: Para resolver expressões seguiremos alguns passos: 1º ) Resolver primeiro o que estiver entre os parênteses, colchetes e chaves. 2º ) Efetuarmos primeiro a multiplicação ou divisão, seguindo ordem em que aparecem na expressão. 3º ) Efetuarmos a adição ou subtração na ordem em que aparecem na expressão. Exemplo Resolvido: Resolver as expressões numérica:

a ) �5 X �4 � 6R�1 X 3S X 237 ( 2 �4 S�� X 1 � b ) �� 6 X 4 .3 � � 5 � R1 � 9S��

{5 X �4 � 6R 2S X 5R�2 S�� X 1 � ��6 X 12 � � 5 � R�8S�� 5 X �4 � 12 � 10�� X 1 � ��6 X 12 � � 5 X 8�� 5 X ��8 � 10�� X 1 � ��6 X 12 � � 13�� 5 X ��18�� X 1 � ��6 X 12 � 13� � �5 � 18� X 1 � ��7 � � 7 �13 X 1 � �12 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as expressões numéricas abaixo:

a ) 20 X R�9 X 12S � R�15 X 20S � b ) 2 � ��11 X � R17— 12S X 10W � 3 � � �

c ) 55 X R�10S. R�4S � ��2 � V6 � R�3SW X 2� � d ) 31 X R�40S: 2 � � R�9 X 9S � 7 � �

e) �� 9 X �2� + 4 R�4S X R�19 � 1S� � f) 10 � � 6 � R9 � 4S � . � R�2S 5 � �

g) 60 � R�5S � V�1 R�1SW X 13 � h) } ~ 4R�6S � �R�7S

�7 �

i) R� �S

26 � � . 7 ~ 6 � j) 7 � 4 . 1 � 7R�7S

6 ~ 1R�7S �

Respostas:

a) 18 b) 1 c) 93 d) 18 e) 18 f) 20 g) 0 h)

27 i) �4 j) 6


5

FRAÇÃO: Dois números naturais a e b, com b( 0, quando escritos na forma % & representam uma fração.

% & = �D<@>%C;>

�@A;<?A%C;> R( 3S � �� P�� R �� M�� ã� �"�� w��ã� v�� S. O denominador representa o número de partes que o INTEIRO foi dividido e o numerador representa o número de partes que queremos considerar, ou seja, tomemos 1 inteiro e dividimos em 5 partes iguais (denominador) e

consideramos 3 partes (numerador). A fração será:

Exemplo de frações: 27 ; � 7

1 ; �2} ; 2

233 ; � 4 } ; 6

6 ; � 2 ; 3

6 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES: Mesmo denominador: conserva o denominador e fazemos a soma algébrica do denominador.

Exemplo: 7 1 X 23

1 � 4 1 � 7 ~ 23 �4

1 � 4 1 � 2

2 } � �

} X 6 } � 2 – � ~ 6

} � �6 } � � 6

}

Denominadores diferentes: Devemos achar o m.m.c. (menor múltiplo comum dos denominadores). m.m.c.(3- 5- 2) 2

Exemplo: 7 1 � 1

} X 2 7 � 73�2�~2}

13 � 73�2�~2} 13 � 2�

13 3- 5- 1 3 1- 5- 1 5 1-1-1 2.3.5 = 30

1 6 X }

� X 2 7 � 4 ~ } ~ 6

� � 2} �

m.m.c.(4-8-2) 2 2-4-1 2 1- 2- 1 2 1- 1- 1 2.2.2 = 8 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES: Multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente.

Exemplo: } � . 7

1 � } . 7� . 1 � 23

76 � } 27 � 0,42

7 } . 1

6 . R� 2 4 ) = 7 . 1 R�2S

} . 6 . 4 � R�4S 273 � � 2

73

35


6

NÚMEROS INVERSOS: dois números são inversos quando a multiplicação entre eles dá 1. Na prática, para achar o inverso de um número, basta inverter o numerador com o denominador.

O Inverso de } � é

� } O Inverso de 1

2 é 7 2 � 2

O Inverso de 7 1 é

1 7 O Inverso de �

7 é 7�

*O número zero não admite inverso: o inverso de 3 2 é

2 3 nos M�� não existe divisão por zero.

DIVISÃO DE FRAÇÕES: conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda. Exemplo: Calcular a divisão das frações abaixo:

a) 7 } :

1 � � 7

} . � 1 � 7 . �

} . 1 � 26 2}

b) � �

�/ � 4 � . 1

7 � 4 . 1� . 7 � 2�

26 � � �

c) 2} �/ � 15 .

1 7 � 2} . 1

7 � 6} 7

Exercício resolvido: Resolver as operações aritméticas:

a) 7 1 . 6

� X } 7 : 2

6 � 7.61.� X }

7 . 6 2 � �

72 X 737 � �

72 X 23 2 � �

72 X 72.23 72 � �~723

72 � 72� 72

b) 1 2 X4

1� 3 2 � 12 X 82 22 � 32

� 92 � 1 2

� 9 2 . �� 7 2 � � � 2�

7 � � 9

c)

/� ~ ��

� . ��

�� /

� ~ �� . �� . �

�� /

� ~ � . / � . �

��

� / � ~ ��

� ��

�� /

� ~ ��

��

� � ��

� ��

��

� . 6 �� . 6

� . �� 2 . 2 7 . 2 � 2

7


7

EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Resolver as operações abaixo:

a) 2� �

/ ~ � �

� ��

�

b) 9 10 . 5 3 X 8 3 � 2 1 5 �

c) � 1 6 X 7

1 � � 7 � : R� }

27 S �

d) �

� � ~ �

� �

e) 7 (� 6 � X 7 ) �

f) R� 7 � � 7 . 6

1 S 18 �

Respostas: aS � 1 bS � 0,033 … cS 5 dS 10 e) 45 f) �52


8

POTENCIAÇÃO: Potência de um Número Natural: Seja � # M, chama-se Potência de base � e expoente �, � # �, � � �, o número

� �� que é o produto de � �� iguais a �.

�A � �. �. �. � … � � ' onde � � '�� "v�� ' � v��ê� �� Exemplos: a) 47 � 4 . 4 � 16 b) R�2S1 � R�2S . R�2S . R�2S � �8 c) 07 � 0 . 0 ¡ R 3,14S. R 3,14S ¡ 9,87 d) R�3S1 � R�3S. R�3S. R�3S � �27 Base negativa com expoente ímpar tem-se potência negativa. e) R�3S6 � R�3S. R�3S. R�3S. R�3S � 81 Base negativa com expoente par tem-se potência positiva. *ATENÇÃO: R�6S7 ( � 67, pois R�6S . R�6S ( � 6 . 6 36 ( �36 Potência de expoente nulo (zero): Por definição, qualquer número, exceto o número 0 R��S,elevado a potência zero é igual a 1. Exemplos:

53 � 1 R�1S3 � 1 03 � ? R��çã� ) R�3S3 � 1 13 � 1

�7}�3

� 1 R�0,25S3 = 1

Qualquer número elevado ao expoente 1 R��á��S é igual ao próprio número. Exemplos:

32 � 3 R�9S2 � � 9 02 � 0 12 � 1 �1��2 � 1

�

Exercícios: Resolver as potências dos números abaixo: a) 103 � 'S 123 � c) 102 � d) R�3S1 �

e) R�2S6 � f) R�8S2 � g) R�1S3 �


9

Inverso da Potência: Sejam � # M¤, R� ( 0S, o inverso de �A representado por

��A � 2%¥

Exemplos:

a) 5�7 � 2

}� � 27} d) R�3S�7 �

2R�1S� � 2

�

b) 2�2 � 2

7� � 27 e) R�3S�1 �

2R�1S/ � 2

�7� � � 127

c) 1�2 � 22� � 1 f ) 2�6 �

27� � 2

24

PROPRIDADES da potência de mesma base: Sejam �, ' # M � � , � # � , tem-se: # O produto de potência de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes.

�< . �A � �<~A a) 37 . 31 � 37~1 � 3} � 243 b) 21 . 27 . 2 � 21~7~2 � 24 � 64 c) 107 . 10�1. 106 � 107 � 1 ~ 6 � 101 d) R�5S7. R�5S}. R�5S�4 � R�5S7~}�4 � R�5S2 � �5 # O quociente de potência de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

�< � �A � �<�A

a) 61 � 66 � 61�6 � 6�2 � 2

4� � 2 4

b) 6�6/ = 4}�1 � 47 � 16

c) �� = 76 � 4 � 7�7 � 1

72 � 1 49

e) 7�7¦/ = 27 –R� 1S � 27~1 � 2} � 32


10

# A potência do produto é igual ao produto das potências.

R � . ' SA � �A . 'A a) R 7 . " S7 � 77 . "7 � 49 "7 b) R�2 . �S1 � � 21 . �1 � � 8 . �1 # A potência do quociente é igual ao quociente das potências.

� % & �A � %¥

&¥

a) � }4 �1 � }/4/ � 27}

724 ¡ 0,58

b) � 1 6 ��1 � 1¦/

6¦/ ��

//�

�/� 2

7� . 462 � 46

7�

c) �� § } �7 � X §�

}� � §� 7}

# A potência de uma potência é igual ao produto das potências.

R�<SA � �< . A a) R"7S1 � "7.1 � "4 b) R 27 . ��2S7 � R27S7. R��2S7 � 26 . � 16 . ��7

Propriedades de potência de expoente racional: Sejam os números �, ' # M, R�, ' U 0S, =

¨ , >© # .

P1 ) � ª « . � ¬ � � ª « ~ ¬

P2 ) � ª « � � ¬ � � ª « � ¬

P3 ) R� . 'S ª « � � ª « . ' ª «

P4 ) R� � 'S ª « � � ª « � ' ª « ou �%&�

ª« � %

ª« &

ª« P5 ) R� ª « S¬

� � ª « . ¬


11

EXERCÍCIOS PROPOSTOS: resolver as potências abaixo, utilizando as propriedades de potência:

a) 9} . 9�} � b) 106 . 10�4 �

c) 123. 122. 12�1 �

d) �2��7

X 8�7 �

e) �� 21 �

7 � �� 1 2 �3 �

f) �R�3" S1 X R�3S7"1� � R�2S"1 � g) R�'S6 � R�'S�6 � h) R27S�2 � R4�2S7 � i) 106 . 10�7 . 10�1 �

j) 104: �106 . 10�2� �

l) 23¦/. 23�

R23�S/ �

m) 23¦�: 23/

R23�S¦/ �

Respostas:

a) 1 b) 0,01 c) 1 d) 1 32® e) 17 72® f) 9 g) R�'S8 h)

124

i) 0,1 j) 101 l) 0,01 m) 10


12

RADICIAÇÃO: É a operação inversa da potenciação. Definição: Dado um número real não negativo � e um número natural �, � � 1, chama-se �� é�� é�� ú�� L � �ã� ��T��w� (b� ¯S tal que 'A � �, ��

√� � � ° � � � onde √ ± �� L � ± radicando , � � ¯ ' ± raiz , � ¯ � ± í�� L, � � ³ ´ � # �

√� � √�� Lê � �� P��

√�3 Lê � �� ú'� � ��

√�4 Lê � �� P�� Exemplos:

a) √16 � ? ° R ? S7 � 16 , qual é o número positivo que elevado ao quadrado resulta no número 16?

Resposta: O número é 4, pois 47 � 16, logo, raiz quadrada de 16 é 4, isto é, √16 � 4

b) √8 / � ? ° R ? S1 � 8 µ √8/ � 2 ¶ 21 � 8, portanto 2 é � �� ú'� � �� 8.

c) √1 � � ? ° R ? S} � 1 µ √1� � 1 ¶ 1} � 1 , portanto 1 é � �� ú'� � �� 1.

d) √16� � 2 ¶ 26 � 16 portanto 2 é � �� P�� 16.

Índice Par : Quando � í�� ·¸¹ a restrição é que � � 0 , pois não existe no conjunto dos números reais raiz quadrada de número negativo, ou seja , não existe um número que elevado ao quadrado resulte em número negativo.

√�16 � º R �ã� �"��S�� M �� º P�� L�w�� P�� L�� R�16S.

Índice Ímpar: Quando o índice for ímpar não há restrição, por exemplo, existe número que elevado ao cubo resulte em um número negativo.

a) √� 8 3 � ? ° R ? S1 � �8 µ √�83 � �2 ¶ R�2S1 � �8, portanto �2 é � �� ú'� � �� 8.

b) √�243� � �3 ¶ R�3S} � �243, portanto �3 é � �� P�� 243. Exercícios: Calcular, caso exista, as raízes dos números abaixo:

a) √0 �

b) √1 �

c) √ 81 4 �

d) √� 27 3 �

e) √�4 �

f) √�16 4 �


13

Propriedades da radiciação: a, b # M~ +, � , ' � 0, � # � , R�, v � 2S # �.

P1 ) √�<¥ � √�<.=¥.ª

Ex.: √"73 � √"7.}3.5 � √"2315

P2 ) √�. '¥ � √� ¥ . √' ¥ Ex.: ¼". ½ � √" . ¼½

P3 ) ¾ % &

¥ � √%¥√&¥ R' ( 0S Ex.: ¾ �

7� / � √�/

√7�/ � 71

P4 ) V √�¥ W< � √�<¥ Ex.: V √�3 W1 � √�13 � �

P5 ) ¼ √� ¥ª � √� ª.¥ Ex.: ¼√5 �3 � √5 3.2 � √56

Potência de expoente racional: Sejam os números � # M~, R� U 0S, v # � , P # � , P � 1, J��

·��ê� �� '�� "v�� ¿À � �� P��é�� é�� =.

� ª« � √�=«

Exemplos:

a) 251 2 � √252� � √25 � 5

b) 81 3 � √823 � 2

c) 23 2 � √21� � √8

√�=« � � ª

« quando o índice do radical e o expoente da base forem múltiplos entre si, podemos simplificar.

Exemplos:

a) √57� � 5�� 52 � 5

b) √77� � 7

c) √413 � 4

d) √576 � √523 � √53

e) √576 � √523 � √53

f) √9267 � √971 � 97 � 81 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as operações com radicais:

a) √�273 X √83 �

b) ¼3126 � ¼533 �

c) √0 X √1 X √413 – � √24 �6 �

Respostas a) �1 b) 4 c) 3


14

POTÊNCIA DE 10: É a potência onde a base é o número 10. Valem todas as propriedades de potência.

10A � ' 102� � 1 000 000 000 000 000 000 R �"� S K 102} � 1 000 000 000 000 000 R v�� S · 1027 � 1 000 000 000 000 R �� S Á 10� � 1 000 000 000 R T�T� S Â 104 � 1 000 000 R ��T� S Ã 101 � 1 000 R P��L� S Ä 107 � 100 R J� �� S J 102 � 10 R �� S �� 10�2 � 0,1 R �� S � 10�7 � 0,01 R �� S 10�1 � 0,001 R ��L� S � 10�4 � 0,000 001 R �� S Å 10�� 0,000 000 001 R �� S � 10�27 � 0,000 000 000 001 R v� � S v 10�2} � 0,000 000 000 000 001 R �� S � 10�2� � 0,000 000 000 000 000 001 R �� S � Transformando um número decimal em potência de 10: Exemplos:

a) 0,5 � 510 � 5

101 � 5. 10�2 b) 0,05 � 5

100 � 5102 � 5. 10�7

c) 0,005 � 51000 � 5

103 � 5. 10�1 Deslocando-se a vírgula de um decimal para a direita, esse número fica multiplicado por 10, 100, 1 000 ..., o

expoente da potência de 10 diminui ³¯�³, ³¯��, ³¯�Æ, … na mesma ordem do deslocamento da vírgula.

Resumindo, o número aumenta o expoente diminui. Çº . 10A Exemplos: a) 1,7 � 1,7. 103 � 17 . 103�2 � 17 . 10�2 deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita, logo, o expoente na base 10 diminui 1 unidade. b) 2,45 � 2,45. 103 � 245 . 103�7 � 245 . 10�7 deslocar a vírgula 2 casas decimais à direita, logo, o expoente na base 10 diminui 2 unidades. c) 84,052 � 84052 . 10�1 Exercícios : Dado o número 0,01234 escreva-o deslocando a vírgula para a direita: a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais c) Três casas decimais f) Seis casas decimais


15

Deslocando-se a vírgula de um número para a esquerda, esse número fica dividido por 10, 100, 1 000, ..., o

expoente da potência de 10 aumenta ³¯³, ³¯�, ³¯Æ, … na mesma ordem do deslocamento da vírgula.

Resumindo, o número diminui o expoente aumenta. Çº . 10A Exemplos: a) 17 � 17 . 103 � 1,7 . 103~2 � 1,7 . 102 deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda, logo, o expoente na base 10 aumenta 1 unidade. b) 245 � 2,45 . 107 deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita, o expoente na base 10 aumenta 2 unidades. Exercícios : Dado o número 1234 escreva-o deslocando a vírgula para a esquerda: a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais c) Três casas decimais f) Seis casas decimais Adição e Subtração de potência de base 10: É necessário que os expoentes da base 10 sejam iguais.Exemplos: a) 5 . 107 X 4 . 107 � R 5 X 4 S107 � 9 . 107 expoentes iguais b) 29. 10�1 � 1. 10�1 � R29 � 1S10�1 � 28. 10�1 c) 1 .10�7 X 3 . 10�7 � 7 . 10�7 � R1 X 3 � 7 S. 10�7 � � 3 . 10�7

d) 106 + 106 X 106 � 1. 106 X 1. 106 X 1. 106 � R1 X 1 X 1S106 � 3 . 106

Na adição ou subtração, quando os expoentes da base 10 não forem iguais temos que transformá-los para o mesmo expoente. Exemplos: a) 6 . 101 X 4 . 107 � 60 . 107 X 4 . 107 � R 60 X 4 S107 � 64 . 107 transformar o expoente de uma das parcelas, igualando a outra, 6 . 101 � 60. 107 b) 0, 29 . 10�2 � 147. 10�1 � 29 . 10�2�7 � 147. 10�1 � 29. 10�1 � 147. 10�1 � �118 . 10�1 expoentes diferentes expoentes iguais c) 0,09 .10�2 X 10�7 � 3 . 10�1 � 9 .10�2�7 X 10 .10�7�2 � 3 . 10�1 � 9 .10�1 X 10.10�1 � 3 . 10�1 � 16. 10�1 expoentes diferentes expoentes iguais


16

Exercícios Propostos: a) 15 . 101 X 13 . 101 � b) 21 . 107 � 107 � c) 44 . 106 X 4 . 106 � 8 . 106 �

d) 666 . 104 X 2220 . 10} � e) �5,9 . 10�7 X 9 . 10�1 � f) 6 . 101 � 101 X 40 . 107 �

Respostas a) 28 . 101 b) 20 . 107 c) 40 . 106 d) 888 . 104 e) �50 . 10�1 f) 9 . 101 Multiplicação de Potência de base 10: Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da base 10. Exemplos:

a) 4. 10} . 2. 10�7 � 4 . 2 .10}�7 � 8 . 101 b) 8. 10�4 . R� 3. 106S � 8 . (-3) .10�4~6 � �24 . 10�7

c) 7. 10} . 10�7. 2. 10�1 � 7.1.2 .10}�7�1 � 14. 103 � 14.1 Divisão de Potência de base 10: Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes da base 10. Exemplos:

a) 6 . 23� 7 . 23¦� �

6 7 .10}�R�7S � 2 . 10�

b) 76 . 23¦�

6 .23/ � 76 6 . 10�4�1 � 6 . 10��

c) } . 23/ � .23¦� �

} � . 101�R�2S � 0,56 . 106

d) 7}.23�~23�

3,2.23¦� . 7.23¦/ � R7}~2S.23�R3,2S.7 .23¦�¦/ � 74.23�

3,7.23¦� � 743,7 . 107~� � 130 . 10�


17

Exercícios Propostos: Resolver as operações de potência de base 10:

a) 23. 10�} X 0,023. 10�7 � b) 99 . 101 � 89. 101 X 90 . 107 �

c) 7 .23�~ 1,1 .23/

�22 .23¦� ~ 72. 23¦� �

d) 48 .107X2 .107,106X 4 .106 �

e) 2 7 . 10� X

7 1 . 10� �

f) 2 R 2.104 � 4. 104 S X 5 R 2 . 10} X 10}S �

g) 1 } . 106 � 2

7 . 101 �

h) � 1 4 . 10�7 X 7

1 . 10�1 X 10�1 �

Respostas:

a) 46. 10�} b) 19. 101 c) 35. 10} d) 107 e) 1,17.10� fS � 25. 10} g) 5,5. 101 h) �0,83. ..


18

POLINÔMIOS:

Monômio: Na variável " é uma expressão do tipo � È� onde � � �� ô��, � # Ê. � � T�� ô��, � # �. Grau do monômio: É o expoente da variável. Exemplo:

a) 4 "7 é um monômio na variável " de 4 � �� ô�� 2 � T�� ô�� µ ��ô�� é �� 2º T�� b) 6 ½ é um monômio na variável ½ de coeficiente 6 e grau 1.

c) } 7 � é um monômio na variável � de coeficiente 5

2 e grau 1. d) 9 é um monômio de coeficiente 9 e grau 0. e) 0 é um monômio de coeficiente 0 e sem definição de grau.

f) 8"�7 não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e �� # �.

g) 3"2 7⁄ não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e ³� # �.

POLINÔMIO: Representa a soma algébrica de monômios na mesma variável.

PRxS � �A"A X �A�2"A�2 X �A�7"A�7 X Í X �7"7 X �2"2 X �3 Os números complexos ( �A, �A�2, �A�7, … , �7, �2, �3S �ã� �� v�L��ô�� de variável " e � # �. Grau do Polinômio: É o expoente de maior grau entre os monômios de mesma variável. Exemplo: a) 3"7 X 2" � 1 é um polinômio de 2º grau de variável " e coeficiente 3. b) 12� � 5 é um polinômio de 1º grau de variável � e coeficiente 12. c) 9"1 X 2"7 � 3" X 7 é um polinômio de 3º grau de variável " e coeficiente9. Exercícios Propostos: Para cada polinômio abaixo, identificar o grau e o seu respectivo coeficiente e variável: a) 2"6 X 3"1 � 3"7 X 8" � 1 b) �4�7 X � � 1 c) �'"7 X �" � '


19

Adição e Subtração de polinômios: Somam-se os coeficientes dos monômios de mesmo grau. Exemplo

a) 3"7 X 2" � 1 X 9"1 X 2"7 � 3" X 7 � 9"1 X R3 X 2S"7 X R2 � 3S" � 1 X 7 � ÎÈÆ X ÏÈ� � È X Ð b) 7"1 � 5"7 X 2" X 1 � R �"1 X 2"7 � 4" X 3S � trocar o sinal de cada monômio dentro do parênteses. 7"1 � 5"7 X 2" X 1 X "1 � 2"7 X 4" � 3 � somar os coeficientes dos monômios de mesmo grau. 8"1 � 7"7 X 6" � 2 Produto de Polinômios: aplicamos a propriedade distributiva. Multiplicamos cada monômio do primeiro fator com todos os monômios do segundo fator, não se esquecendo de aplicar as propriedades de potenciação. Propriedade Distributiva: R� X 'S. R X �S � � . X � . � X '. X '. � Exemplo: a) R2" X 5S . R" � 1S � 2". " � 2". 1 X 5. " � 5.1 � 2"7 � 2" X 5" � 5 � 2"7 X 3" � 5 b) " . R" � 1S � ". " � ". 1 � "7 � " c) 2"7R " � 3S � 2"7. " � 2.3"7 � 2"1 � 6"7 d) ( 3"7 X 2" � 1) . (8"1 � 7"7 X 6" � 2S � 3.8"7~1 � 3.7"7~7 X 3.6"7~2 � 3.2"7 X 2.8"2~1 � 2.7"2~7 X 2.6"2~2 � 2.2" � 1.8"1 X 1.7"7 � 1.6" X 1.2 � 24"} � 21"6 X 18"1 � 6"7 X 16"6 � 14"1 X 12"7 � 4" � 8"1 X 7"7 � 6" X 2 � 24"} X R�21 X 16S"6 X R18 � 14 � 8S"1 X R�6 X 12 X 7S"7 X R�4 � 6S" X 2 � 24"} � 5"6 � 4"1 X 13"7 � 10" X 2

Divisão de Polinômios: O divisor é um polinômio não nulo (( 0S. (8"1 � 4"7 X 6" � 2) : ( 2"7 X 3" � 5 S � 8"1 � 4"7 X 6" � 2 2"7 X 3" � 5 R( 0S �8"1 � 12"7 X 20" 4" � 8 0 �16"7 X 26" � 2 16"7 X 24" � 40 0 50" � 42 (Resto) Exercícios propostos: Calcular as operações com os polinômios abaixo: a) �5"7 X " X 2 � "R6" � 2S � b) R3"7 � 7" X 1S" �


20

Produtos notáveis:

1) Trinômio do Quadrado Perfeito: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. R" X ½S7 � "7 X 2. ". ½ X ½7 Demonstração: R" X ½S7 � R" X ½S. R" X ½S � �vL� �� v��v�� '��w� �� R" X ½S7 � "7 X 2. ". ½ X ½7 Exemplo: R" X 5S7 � "7 X 2. " .5 X 57 � "7 X 10" X 25 2) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. R" � ½S7 � "7 � 2. ". ½ X ½7 Demonstração: R" � ½S7 � R" � ½S. R" � ½S � �vL� �� v��v�� '��w� �� R" � ½S7 � "7 � 2. ". ½ X ½7 Exemplo: R2 � �S7 � 27 � 2.2. � X �7 � 2 � 4� X �7 3) O Produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. R " X ½ S . R " � ½ S � "7 � ½7 Exemplos:

a) R " X 3 S. R " � 3 S � "7 � 37 � È� � Î

b) R � � 4 S. R � X 4 S � �� ³Ð

c) R 2" X 5 S. R 2" � 5 S � R 2" S7 � 57 � ÑÈ� � �Ï

d) V 6È� � 1W. V 6È� X 1W � R 6È� S7 � 17 � ÆÐÈÑ � ³


21

Exercícios propostos: Calcular os produtos abaixo: a) R 2� X 3 S. R 2� � 3 S � b) 5"R 4 � � S � c) R �7 � 7 S. R�7 X 7 S � d) R" X 1S7 � " X 1 � Fatoração de polinômios: É escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios. Exemplos:

a) Fatorar o polinômio 2�2"5 X 4�3"3 Podemos escrever o polinômio desta maneira:

��"7. ÈÆ X 2. ��. �. ÈÆ � ��ÈÆ. R"7 X 2 �S Foi colocado em evidência : o maior divisor comum dos números � �. �. . R4 , 2S � � e as potências repetidas de menor expoente: ��ÈÆ b) Fatorar o polinômio 6"2 � 3" 6"7 � 3" � ÆÈ R 2" � 1 S , �. �. . R6 , 3S � Æ menor expoente: È c) Fatorar o polinômio 6 "4 X 4"3 � 12"2 6 "6 X 4"1 � 12"7 � 2 "7 R3 "7 X 2" � 6 S �. �. . R6, 4 , 12S � � menor expoente: È�

d) Fatorar o polinômio 8�6'} X 20�1'7

8�6'} X 20�1'7 � 2. Ñ. ��. �7. �. '1 X 5. Ñ. �. ��. � �. �. . R8, 20S � Ñ � 4�7'7R 2�7'1 X 5� S menor expoente: ��


22

Frações algébricas: O quociente de dois polinômios, indicado na forma fracionária, na qual duas ou mais variáveis aparecem no denominador, tendo o denominador não nulo ( ( 0S. Exemplos de frações algébricas:

§ 2"2X3"�5 ,

} §~} ,

§§�2

Adição e Subtração de frações algébricas:

a) §

7§� X 71§ � 1.§

4§� X 7.7§4§� � 1§~6§

4§� � �§4§� � �

4§ m.m.c (2 , "7, 3 , "S 2

1, "7, 3 , " 3 1, "7, 1 , " " 1, " , 1, 1 " 1, 1 , 1, 1 6"7

b) §

§�Ó X 2§~Ó X Ó�§

§��Ó� � §.R§~ÓSR§�ÓS.R§~ÓS X 2.R§�ÓS

R§�ÓS.R§~ÓS X Ó�§R§�ÓS.R§~ÓS �

� "2X".½X"�½X½�"V"�½W.R"X½S � "2X".½

V"�½W.R"X½S � "R"X½SV"�½W.R"X½S � "

V"�½W Multiplicação e Divisão de frações algébricas:

a) §

R§�ÓS . §/

R§~ÓS � §.§/

R§�ÓS.R§~ÓS � §�§��Ó�

b) R§�ÓS/R§~ÓS : R§~ÓS

R§�ÓS� � R§�ÓS/R§~ÓS . R§�ÓS�

R§~ÓS � R§�ÓS�R§~ÓS2

Atenção: Só podemos simplificar frações algébricas quando tiver produto no numerador, denominador ou em ambos. É errado: simplificar frações algébricas onde tem adição ou subtração no numerador,denominador ou em ambos.

§

§ ~ 2 errado § � 2

§ errado § ~ 2§ � 2 errado


23

Exercícios: Resolver as frações algébricas abaixo:

a) 1 " �1 " X 1 �

b) 6§~1

1§ X 4§� � 2

§ �

c) 2

§/ X 27§� � 1

§ �

d)

"X1 " ~ §

§ �

e) 7

1§/ X 2§� � 6§

1 �

f) 6 §1 � 2

4§ X 1 �

Respostas:

a) §

7§�2 b) 6§�~2�

1§� c) 2~27§�1§�

§/ d) §�~ § ~2

§� e) 7~1§�6§�

1§� f) �§�~4§�2

4§


24

EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA 1) Resolver as expressões algébricas:

a) { 7" � � 3"R " � 1S � 6"� X 3"3" � � b) 3"7 . 7"1 X 13"} X 3"7. " . R�2"7S �

2) Resolver as operações de potências de base 10: a) 5 . 10� X 8 . 10� � 3. 10� �

b) 24 .23¦�~ 7.23¦�

7.23/ . 23/ �

c) 23�~ 23�

23¦� . 23¦� �

d) 27,1 .23¦/ � �,1 . 23¦/

7.23/ . 23¦/ �

e) 6 .23�� . � .23¦�77 .23�~23 .23� �

3) Resolver as equações :

a) 7�%1§ X &

7§ � � 1 b) 4

}§ � 27§� � 22

6 � � }}73

c) �2" X 15 � �R 5 � 8" S d) }§

� X 7R§~2S 1 � � §

�

e) �§~�

� � 7§~2 1 f)

1�§ � �7� � 4" X 5

Respostas:

1a) 16"

1b) 28"}

2a) 1023

2b) 9. 10�8

2c) 2. 1027 2d) 2. 10�1

2e)10}

3a) 2��3'�46

3b) }

27 3c) 2

3d) � 1 2

3e) �1,4

3f) �4


25

FUNÇÕES: Função é uma relação que existe entre duas grandezas, tal que uma depende da outra. Exemplo: a) A área do quadrado depende do lado do quadrado, então dizemos que a área está em função do lado e escrevemos ¸ � �R ℓ S. Se ℓ varia então ¸ varia. b) Õ � �R � S, ��v�� ê� �� çã� �� . cS Ö � �R � S , w�L� �� çã� �� v�. Notação de Função: ×: M ± M ØÙÚí�ÛÙ RMS ± contra-domínio ( MS È ± Ü � ×RÈS � é uma função dos Reais nos Reais, onde para todo elemento È # ØÙÚí�ÛÙ RMS existe em correpondência um único elemento Ü � ×RÈS # contra-domínio(MS que é a sua imagem. Definição de função: Sejam È � Ü variáveis, tais que para cada valor atribuído a È existe em correspondência um único valor Þ . Dizemos que Ü é uma função de " e representamos por Ü � ×RÈS È � w��áw�L L�w�� v�� Ü � w��áw�L ��v�� PLANO CARTESIANO:

O plano cartesiano M �é representado pelos eixos das abscissas, ��"� " � ØÙÚ�R"S # M ordenadas, ��"� ½ � ßÚ�R"S # M . à��:1º. 2º , 3º � 4º Os eixos se cruzam na origem do sistema, no ponto ·R0,0S, formando quatro regiões chamadas de quadrantes. ½ ( contra-domínio) �º áâ�ãä��å´ ³º áâ�ãä��å´ RÈ Q 0, ½ U 0S RÈ U 0, ½ U 0S

0 È ( domínio da função ) Æº áâ�ãä��å´ Ñº áâ�ãä��å´ RÈ Q 0, ½ Q 0S RÈ U 0, ½ Q 0S


26

Representando no plano cartesiano o ponto P de coordenadas ·R", ½S. ½ �R"S - - - - - -æ R abscissa, ordenada S 0 " " Exercícios: Representar no plano cartesiano os pontos abaixo: ·R 2 , 2 S ½ àR�1 , 2S 4 ¹R 3 , �2S 3

ç � 2 7 , 3� 2

ÁR�3 , 0S 1 èR 0 , 1S ... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... " ÖR�4 , �3S - 1 - 2 - 3 Construindo Gráficos de Funções: Seja a função Ü � �È com domínio nos reais 1º Passo: Atribuímos valores para a variável independente È, encontramos as imagens que são os valores de Ü 2º Passo: As coordenadas R", ½S colocamos no plano cartesiano 3º Passo: Traçamos a função que passa pelos pontos encontrados. " Ü � �È ·R", ½S �2 ½ � 2. R�2S � �4 R� 2 , �4S ½ �1 ½ � 2. R�1S � �2 R�1 , �2S 4 . 0 ½ � 2 . 0 � 0 R 0 , 0S 3 1 ½ � 2 . 1 � 2 R 1 , 2S 2 . 2 ½ � 2 . 2 � 4 R2 , 4S 1 ... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4... " - 1 . - 2 - 3 . – 4 Exercícios: Construir os gráficos das funções: a) ½ � 2" X 1 'S ½ � 2" � 1 c) ½ � �2" X 1 d) ½ � �2" � 1 e) ½ � " f) ½ � �"

" , ½


27

Função Crescente: Seja a função Ü � ×RÈS e sejam È³ e È� elementos do domínio da função com È� U "³ , dizemos que a função é Crescente se as imagens �R"7S U �R "2 ) Função Decrescente: Seja a função Ü � ×RÈS e sejam È³ e È� elementos do domínio da função com È� U "³, dizemos que a função é Decrescente se as imagens �R"7S Q �R "2 ) Função Constante: Seja a função Ü � ×RÈS e sejam È³ e È� elementos do domínio da função com È� U "³, dizemos que a função é Constante se as imagens �R"2S � �R "7 ). Exemplo: A função é crescente nos intervalos: ½ Õ ê " ê ë e ì ê " ê í D E Ü � ×RÈS A B C F G H I J 0 " A função é decrescente nos intervalos: ¸ ê " ê î � K ê " ê Â A função é constante nos intervalos: î ê " ê Õ, ë ê " ê K , Â ê " ê ì Exercícios: Observando o esboço das funções nos gráficos, indique os intervalos do domínio onde a função for crescente, decrescente ou constante. ½ ½ ½ ½ 4 8 1 1 0 2 4 6 8 10 " 0 5 10 15 " 0 " 0 "


28

Função Linear: Ü � �È X

� � Coeficiente Angular da reta: � � �T ï � Ó§ � ( ¯

É o valor da reta tangente à função com o eixo das abscissas. Se a função é crescente o coeficiente angular � é positivo, � U 0. Se a função é decrescente o coeficiente angular � é negativo, � Q 0. Se a função é constante o coeficiente angular � � �T 90° , º �T 90°, logo � não está definido. � Coeficiente Linear da reta: É o valor da ordenada quando a função corta o eixo das ordenadas no ponto ·R 0 , ½S. Exemplos: Sejam as funções, 1 ½ � 2" X 1 Coeòiciente Angular � � 2 µ 2 U 0 ± � �� Coeficiente Linear ' � 1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 1S. ½ � 2" � 1 Coeòiciente Angular � � 2 µ 2 U 0 ± � �� Coeficiente Linear ' � �1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , �1S. -1 ½ � �2" X 1 Coeòiciente Angular � � �2 µ 2 Q 0 ± � �� 1 Coeficiente Linear ' � 1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 1S. ½ � �2" � 1 Coeòiciente Angular � � �2 µ 2 Q 0 ± � �� Coeficiente Linear ' � �1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , �1S. -1 ½ � " Coeòiciente Angular � � 1 µ 1 U 0 ± � �� Coeficiente Linear ' � 0 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 0S. 0 ½ � �" Coeòiciente Angular � � 2 � 1 µ �1 Q 0 ± � �� Coeficiente Linear ' � 0 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 0S. 0 ½ � 3 Coeòiciente Angular � � �ã� ��á �� ± � �� 3 Coeficiente Linear ' � 3 µ corta o eixo y no ponto ·R " , 3S. ½ � �3 Coeòiciente Angular � � �ã� ��á �� ± � �� Coeficiente Linear ' � �3 µ corta o eixo y no ponto ·R " , �3S. -3


29

�2

Exercícios: Determine os valores do coeficiente angular � e coeficiente linear das funções �2 e �7 ,nos gráficos abaixo: a) b) ½ ½ 4 �2 �2 �7 5 0 3 6 9 " 0 0,1 0,2 0,3 0,4 " -5 c) ½ d) ½ 6 �2 �7 35 �2 �7 0 2 4 6 8 " 0 7 14 21 28 " Funções Lineares Periódicas do tipo: Onda Quadrada. Triangular, Dente de Serra e Trapezóide. Período ( T ) : São intervalo , ou ciclos, quando a função volta a se repetir novamente, da mesma maneira. A : é o pico máximo da onda. 1) Ondas Quadrada: É formada por funções constante. a) b) ½ ½ 9 3 4 0 1 �7 2 3 " 0 0,1 0,2 0,3 0,4 " Á � 2 Á � 0,2 ¸ � 3 ¸ � 9 �2 � ½2 � 3 �� 0 ê " ê 1

�2 � ½2 � 9 �� 0 ê " ê 0,1

�7 � ½7 � 0 �� 1 ê " ê 2 �7 � ½7 � 4 �� 0,1 ê " ê 0,2


30

2) Ondas Triangulares: Utilizaremos a fórmula

½ � ½3 � � R " � "3 S , � � Ó § , · R "3 , ½3 S

a) b) ½ ½ 6 �2 �7 35 �2 �7 0 2 4 6 8 " 0 7 14 21 28 " Á � 4 Á � 14 ¸ � 6 ¸ � 35

�2 é �� , � ê 0 ô � � � Ó § �2 é �� , � � 0 ô � � X Ó

§ substituindo ·R 2, 0S # �2 na fórmula substituindo ·R 0, 0S # �2 na fórmula ½ � ½3 � � R " � "3 S ½ � ½3 � � R " � "3 S �2 � ½ � 0 � � 4

7 R" � 2S �2 � ½2 � 0 � 1}

� R" � 0S

�2 � ½2 � �3" X 6 �� 0 ê " ê 2

�2 � ½2 � 5" �� 0 ê " ê 7

�7 é �� , � � 0 , � � X Ó § �7 é �� , � ê 0 ô � � � Ó

§ substituindo ·R 2, 0 S # �7 na fórmula substituindo ·R 14, 0 S # �7 na fórmula ½ � ½3 � � R " � "3 S ½ � ½3 � � R " � "3 S �7 � ½ � 0 � 4

7 R" � 2S

�7 � ½ � 0 � � 1} � R" � 14S

�7 � ½7 � 3" � 6 �� 2 ê " ê 4

�7 � ½7 � �5" X 70 �� 7 ê " ê 14

P


31

c) ½ 10 �2 �7 0 5 10 15 20 " -10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Á � 20 ¸ � 10

�2 é �� , � ê 0 ô � � � Ó § �7 é �� , � � 0 ô � � Ó

§ substituindo ·R 5, 0S # �2 na fórmula substituindo ·R 15, 0S # �7 na fórmula ½ � ½3 � � R " � "3 S �2 � ½ � 0 � � 23

} R" � 5S �7 �7 � ½ � 0 � 23

} R" � 15S

�2 � ½2 � �2" X 10 �� 0 ê " ê 10

�7 � ½7 � 2" � 30 �� 10 ê " ê 20

3) Ondas Dentes de Serra: a) b) ½ ½ 4 �2 �2 �7 5 0 3 6 9 " 0 0,1 0,2 0,3 0,4 " -5 Á � 3 Á � 0,2 ¸ � 4 ¸ � 5

�2 é �� , � ê 0 , � � � Ó § �2 é �� , � � 0 , � � X Ó

§ ·R 3, 0S # �2substituindo na fórmula ·R 0, 0S # �2 substituindo na fórmula ½ � ½3 � � R " � "3 S ½ � ½3 � � R " � "3 S �2 � ½ � 0 � � 6

1 R" � 3 S �2 � ½2 � 0 � }

3,2 R" � 0S

�2 � ½2 � � 6

1 " X 4 �� 0 ê " ê 3

�2 � ½2 � 50" �� 0 ê " ê 0,1

�7 é �� , � � 0 , � � X Ó § , ·3R0,2 , 0S # �7

�7 � ½7 � 0 � }

3,2 R" � 0,2S

�7 � ½7 � 50" � 10 �� 0,1 ê " ê 0,3


32

4) Ondas trapezóides ½ õ � Æ ö � ÷ ×³ � ÷È ø´ ¯ ê È ê ³ ×� � ÷ ø´ ³ ê È ê � 7 ×Æ � �÷È X �³ ø´ � ê È ê Æ 0 1 2 3 4 5 " Exercícios Propostos: Determine as funções para um período dos gráficos abaixo: a) b) ½ ½ 7 10 3 0 3 6 9 12 " 0 2 4 6 8 " c) d) ½ ½ 18 �2 6 �2 �7 0 3 6 9 " 0 2 4 6 8 " -6 e) f) ½ ½ 20 �2 35 �2 �7 0 5 10 15 20 25 " 0 7 14 21 28 "

P


33

Função Exponencial: Chama-se função exponencial qualquer função �: M ± M dada por uma lei da forma:

×RÈS � �È base � # M , � U 0 � ( 1 Função Exponencial na base ´ � �, ÷³ù … RúÙ�øå��å´ ã´ ûâü´äS. Ü ö � ordenada do ·R0, ¸S

1. �R " S � ö . ´�È A �R"S é Õ�� . 0 "

Para ¸ � 1 , � � 1 ⇒ �R " S � 1. �1." ½ ³ � a ordenada do ·R0,1S

1.1 �R " S � ´È 1 0 " ½ 2. �R " S � ö . ´��È A �R"S é ë� �� . 0 "

Para ¸ � 1 , � � �1 ⇒⇒⇒⇒ �R " S � 1 . ��1." ½

2.1 �R " S � ´�È

1 �R"S é ë� �� . 0 "


34

Equação Exponencial na base ´ � �, ÷³ù …: são equações onde a incógnita está no expoente. Para isolar a incógnita devemos utilizar as propriedades de potência , afim de deixar na mesma base e poder fazer as simplificações necessárias. Exemplos:

a) �7§�7 � 1 sabemos que �3 � 1 , então podemos escrever

�7§�7 � �3 encontrada a mesma base e podemos simplificá-las, restando os expoentes

2" � 2 � 0 isolamos a incógnita " encontramos valor que satisfaz a equação. " � 1

b) 3 . �" + 2 . �§ � 5 . ��§~�

R3 X 2S�" � 5 . ��"X8 colocamos em evidência o termo comum �§

5. �" � 5 . ��"X8 simplificamos as bases iguais restando os expoentes

" � �" X 8 " X " � 8

2" � 8 µ " � � 7 µ " � 4

c) ��7§ � 2 @� tomemos o inverso da potência no 2º membro da equação

��7§ � ��4 simplificamos as bases iguais restando os expoentes

�2 " � �6

" � �4 �7 µ " � 3

Exercícios Propostos: Resolver as equações exponenciais abaixo: a) ��1 � �6�§

b) ��§ � 2 �2

c) 1 � �§�2 d) �7§ � 1 Respostas: a) 7 b) 0,25 c) 1 d) 0


35

Função Exponencial do tipo: Ü � ö R ³ � ´��ÈS , " � 0 Muito utilizada em circuitos elétricos. Ü

Quanto maior o È mais a curva se aproxima de A A . . . . . . . . . . . . . . . . . . A função tende a A quando È tende ao infinito. 0 "

Tabela de valores de ´È

Exemplo: Esboçar o gráfico da função ½ � 2 R 1 � ��§ ) Solução: A = 2 " � � ½ � ¸R1 � ��"S Ü 0 2R1 � �3S � 2.0 � 0

2 . . . . . . . . . . . . 1 2R1 � ��2S � 2R1 � 2 � ) ¡ 1,26

2 2R1 � ��7S � 2R1 � 2 �2) ¡ 1,73

3 2R1 � ��3S � 2R1 � 2 �3) ¡ 1,9

Quanto maior o valor de x a função mais se aproxima de 2. ý ý ý ý Exercícios: Esboçar o gráfico das funções abaixo:

a) ½ � 3 R 1 � ��§S b) ½ � 2 R 1 � ��7§S c) ½ � 1 R 1 � ��§S d) ½ � 7 R 1 � ��7§S

" �3 �2 �1 0 1 2 3

�§ 0,05 0,14 0,37 1 2,72 7,39 20,09

0 1 2 3 4 " x


36

Logaritmo: É a operação inversa da potência ( cálculo do expoente n ) . Definição : Logaritmo de um número b real positivo, na base � real positiva e diferente de 1 é o número � ao qual se deve elevar a base � para se obter a potência b.

log% ' � � ¶ �A � ' ' � üÙþ�äÛåÚ��ãÙ ' U 0 µb # M~¤ . � � �ø´, � U 0 � � ( 1 � � üÙþ�äÛåÚÙ Exemplos: log7 16 � � ¶ 2A � 16 � � � Ñ é o logaritmo de 16 na base 2

log} 5 � � ¶ 5A � 5 � � � 1 log% 1 � � ¶ �A � 1 � � � ¯ é o logaritmo de 1 em qualquer base R� U 0 � � ( 1S

¤ º �ãÙ ´ÈÛøå´ logaritmo de número negativo o[R �ÆS.

Logaritmo Neperiano:

Chamado de logaritmo Natural é o logaritmo que usa como base o número e ( constante de Euler).

log@ ' � � ¶ �A � ' ou o[ � � ¶ ´� � ln � � 1 ¶ �2 � � ln 1 � 0 ¶ �3 � 1 Propriedades dos logaritmos: ·2: o[R ö .�S � o[ ö X o[� Logaritmo do produto é a soma dos logaritmos.

·7: o[ � ö � � � o[ ö � o[� Logaritmo do quociente é a diferença dos logaritmos.

¸��ç�õ! �� ( ln � �

� �

·1: o[ ´Ú � q . o[ ´ � Ú . ³ � Ú Logaritmo da potência é o expoente da potência multiplicado pelo logaritmo da base dessa potência. ·6: o[ ö � o[ � ¶ ö � � Se dois logaritmos são iguais então seus logaritmandos também são.


37

Função Logarítmica na base ´ � 2,718 …

½ � L�"

" ½ � ln " 1 ln 1 = 0 e ln e = 1 ½ e2 ln e2 = 2.lne = 2.1 = 2 ½ � L�" e3 ln e3 = 3.lne = 3.1 = 3 e4 lne4 = 4.ln e = 4.1 = 4

ý Í Í Í Í Í Í Í ý 0 P(1,0) " � lne� � �. ln � � � ý Í Í Í Í Í Í � ý Conjunto dos números Naturais Equação Logarítmica na base ´ : Temos que isolar a incógnita da equação utilizando as propriedades de logaritmo. Exemplos: a) lnR " X 5S � 1 Restrição: " X 5 U 0 µ " U �5

lnR " X 5S � L� � sabemos que 1 � ln �

" X 5 � � simplificamos os ln

" � � � 5 isolamos a incógnita "

" � 2,72 � 5 " ¡ � 2,28 satisfaz a restrição: � 2,28 U �5

Podemos resolver a mesma equação utilizando a definição de logaritmo:

lnR " X 5S � 1 ¶ �2 � " X 5 " � 2,72 � 5 µ " ¡ � 2,28 bS ln 7" X ln 3" � ln 5 Restrição: " U 0 lnR 7" . 3" S � ln 5 7.3 ". " � 5 21 "7 � 5 " � √0,24 µ " � X 0,5 " � � 0,5 não convém pois, " U 0


38

c) lnR 8 xX1 x S � 0 Restrição:

� ~2 �3 > 0 µ " U � 2

�

lnR 8" X 1S � ln " � 0 lnR8" X 1S � ln " 8" X 1 � " 8" � " � �1

7" � �1 µ " � � 2 � satisfaz a restrição � 1

7 U � 1 8

d) ln ��~1§ � 2 Restrição: ��~1§ U 0 , �§ U 0 �7 X 3" � 2 3" � 2 X 7

3 " � 9 µ " � 3 satisfaz a restrição �1 U 0 Exercícios: 1 Resolver as equações logarítmicas abaixo: a) lnR 2" � 4S � 0 Restrição:R 2" � 4S U 0 " U 2 b) 1 � lnR" � 24S Restrição:R " � 24S U 0 " U 24 c) 1 � ln "7 � 24 Restrição: "7 U 0 " U 0 d) 1 X ln 2 � ln " Restrição: " U 0 Respostas:

a) 5 2® b) 5,2 c) 26,8. 106 e) 2


39

Trigonometria no Triângulo Retângulo: é todo triângulo que possui um â�T�L� �� 90°.

ì�v�� é o lado oposto ao ângulo reto : îÕ � �

' � Õ�� são os lados opostos a cada ângulo agudo: ¸î � � ¸Õ � '

Teorema de Pitágoras: �7 � '7 X 7 A c B

Razões Trigonométricas:

�´�Ù

Seno de um ângulo agudo é o quociente , entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.

b a ø´� � :%B@B; ;=;©B; %; âA�D�; ��?=;B@AD©% � &

% c

� � �äú ø´� & %

Exemplo: Calcular o valor do arco no triângulo retângulo:

3 6 �� 1

4 � 2 7

� � �äú ø´� 2 7 � 30°

�Ùøø´�Ù

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.

b �� :%B@B; %C�%:@AB@ %; âA�D�; ��?=;B@AD©% � :

% c õ��þ´�å´

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo.

�T � � �� v��

& : ô �T � � ©@A�

:;©�

�

�

C

�

�

a

�


40

Exemplos:

a) �� 0,7071067 � � �äú ø´� 0,7071067 � � � 45°

b) �� 0,8660254 � � �äú úÙø 0,8660254 � � � 30°

c) �Tï � 1,7320508 ï � �äú åþ1,7320508 � ï � 60°

Exercícios propostos:

Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo:

a) ��ï � 0,8660254 d) �Tï � 1

b) �� 0,7071067 e) �T� � 2,7474774

c) �T� � 1,7320508 fS �Tï � �1,7321

g) �T� � �0,5773 h) �T� � �1

Relações Fundamentais :

1) sen2α + cos2α = 1

2) åþ � ø´� úÙø

Ângulos Notáveis:

ÂNGULOS 30° 45° 60°

ç�� 12 √2

2 √32

�� √32

√22

12

�T √33

1 √3


41

Exercícios propostos:

1) Calcule o que se pede nos triângulos retângulos abaixo:

4 6 9

8 2 9 √2

ï � ï � ï � �� ï � ��ï � ��ï � �� ï � ��ï � ��ï � �T ï � �T ï � �T ï �

2) Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo:

a) ��ï � 0,8660254 d) �Tï � 1

b) �� 0,7071067 e) �T� � 2,7474774

c) �T� � 1,7320508 fS �Tï � �1,7321

g) �T� � �0,5773 h) �T� � �1


42

TRIGONOMETRIA Arco : de uma circunferência é qualquer segmento da circunferência limitado por dois pontos distintos

B AB = arco menor e AÔB = ângulo central = " ��R ¸î S � �� R ¸Ôî S � "

Unidades de medidas : Graus e radianos

Grau ( ° ) 1 ° = 2

143 da circunferência, então

90° � 2 6 da circunferência

180° � 2 7

270° � 1 6

360° � 1 circunferência

Radiano R ä�ã S 1 �� raio da circunferência

Õ � 20 � comprimento de uma circunferência

� � 1 ��

Õ � 20 ��

Conclusão: Õ � 360° � 20 ��, logo 90° � � 7

180° � 0 ��

90° � �7 �� 180° � 0 0° � 360° � 20

ý ý 270° � 1�

7

Transformar graus para radianos e vice-versa: Regra de três simples

180° 0 ��

30° " " � 30° . 0 ��180° � 06 ��

Graus 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

Radianos 06

04

03

02 π 30

2 2π

O � A


43

�â�çãÙ �´�Ù : ½ � �� "

Sobre os eixos cartesianos traçamos uma circunferência de raio unitário ä � ³ com o centro coincidindo com a

origem do sistema.

Tomemos um arco ·¹ ou o ângulo ".

Seno do arco ·¹ ou do ângulo È é a ordenada do ponto P, projeção do segmento OP sobre o ´ÛÈÙÜ. ½

1

Arco ·¹ � "

�� " � �Ã

Â�á�� : �´�óÛã´

½ . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

�20 � 1�7 � 0 � �7 0 �7 0 1�

7 20 "

A ×â�çãÙ ø´�Ù é Í�æö� pois é simétrica a origem do sistema ( 0 , 0 ).

ø´� R�È S � � ø´� R È S , �� 7 � � � ��

7

Período ( Á � 20S � é o período de tempo quando a função se repete.

Amplitude R ¸ U 0 S : é a metade da distância entre o ponto máximo e mínimo da onda.

ö � �á§?<; – <íA?<;7

" � 0 � 0 2 0 0

2 π 302

2π

�� " 0 � 1 0 1 0 � 1 0

Ã......... P " 1 -1 0 R "

-1

. . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . .

1 v��í�� Á � 20


44

�â�çãÙ �Ùøø´�Ù : ½ � cos "

Seja o arco AP = ângulo x ,denominamos

Cosseno do ângulo " , a abscissa do ponto P , projeção do segmento OP sobre o eixo È , eixo das abscissas.

½

1

Arco ·¹ � "

��" � �Ç

-1

Â�á�� : �Ùøø´�óÛã´

Á � 20 ½

¸ � 1 . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

�20 � 1�7 � 0 � �7 0 �7 0 1�

7 20 "

A função �� é ·¸¹ pois é simétrica ao eixo ½

�� R�" S � ��R " S cos R � �6 S � �� R �

6 S

Função Tangente: Ü � åþ È

�T" � ��" ��" , ��" ( 0 ��ã� " ( �7 X Ä0

A ��çã� ��T�� não está definida nos arcos � " � � 7 X Ä0 � � 90° , 270°, …

A ��çã� ��T�� é ÍÃ·¸¹: é simétrica a origem do sistema ( 0 , 0 ). �TR�"S � � �TR"S �T ��

6 � � � �T � 6

"

�0

��

7

0

� 7

π

1� 7

2π

�� " �1 0 1 0 �1 0 1

. . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . .

Á � 20

P " 1 -1 0 N R "


45

Função do tipo: Ü � � X ö ø´� È

� � deslocamento do ��"� " µ � � v��. Ãá"�� ¸

ö � ��vL�� ¸ U 0 , é � v�� é�� ö � �á§?<; – <íA?<;

7

� v��í�� õ � 7�&

·��. Ãá"�� X ¸

·��. �í�� ¸

Exemplo 1: Faça um esboço do gráfico da função Ü � � X Æ ø´��È

Solução: ¸ ��çã� é ø´�Ù. ½ Á � 0

� � 2 ��"� " ��L� �� 2 �� A ¸ � 3

' � 2 µ õ � 7�& �

7�7 � 0 �

·��. Ãá"�� X ¸ � 2 X 3 � 5 0 �7 0 1�7 20 "

·��. �í�� ¸ � 2 � 3 � �1

Exemplo 2: Faça um esboço do gráfico da função Ü � � X Æ úÙø�È Solução: ¸ ��çã� é úÙøø´�Ù. ½ Á � 0

� � 2

¸ � 3

' � 2 µ õ � 7�& �

7�7 � 0

·��. Ãá"�� X ¸ � 2 X 3 � 5 0 �6 �7 1�6 0 }�

6 "

·��. �í�� ¸ � 2 � 3 � �1

Exemplo 3: Faça um esboço do gráfico da função Ü � Ð ø´� ÑÈ

Solução: ¸ ��çã� é ��. ½ Á � 0 2®

� � 0 ¸ � 6

' � 4 � õ � 7�& �

7�6 �

�7 0

�� 6 1�

� �7 0 1�7 "

·��. Ãá"�� X ¸ � 0 X 6 � 6 ·��. �í�� ¸ � 0 � 6 � �6

�1 . . . . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . .

2 . ......................................

�1 . . . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . .

......... 2......................................

�6 . . . . . . . . . . . . . .

6 . . . . . .


46

Exercícios:

1) Esboçar o gráfico das funções abaixo:

a) ½ � 1 X ��"

b) ½ � 1 X ��"

c) ½ � 3 X 2��2"

d) ½ � 2 X 3 ��2"

e) ½ � �� 4"

f) ½ � ��4"

2) Determine a função , para um período , de cada um dos gráficos abaixo:

a)

� T�á�� é �� çã� … … … … … … … … ½ Á �

·��. Ãá"�� ·��. �í��

� � ¸ � 0 �7 0 1�

7 20 "

' �

Resposta: ½ �

b)

� T�á�� é �� çã� … … … … … … … … ½ Á �

·��. Ãá"�� ·��. �í��

õ � 7�& � ' � ... 0 �7 0 1�

7 20 "

� � ¸ �

Resposta: ½ �

�1 . . . . . . . . . . . .

7 . . . . . . . . . . . . . . .

3 . . . . . . . . . . . . . . .

�4 . . . . . . . . . . . .

4 . . . . . . . . . . . . . . .


47

��çã� �� : ½ � �� R " X ïS

A função ½ � �� R " X ïS ��á �� em relação a função �� .

A função ½ � �� R " � ïS ��á �� em relação � ��çã� ��.

Exemplo 1: Esboçar o gráfico da função : Ü � ø´� R È X �Ð S

Solução: A função seno está defasada em 30°em relação a função seno.

ï � 06 � 30° ��çã� ��

Á � 20 ½ � �� 30°

¸ � 1 . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

�23�4

��1

��4

��4

�4�4 �}�

4�6�

4 ��7

��1

��4 0 �

4�1 � 7 6�

4}�4 0 ��

4��4

1�7

23�4

22�4 20 "

O ponto máximo : 90° � 30° � 60° � �1

O ponto mínimo: 270° � 30° � 240° � ��4

Corta o ��"� " nos pontos : ��Ð , 180° � 30° � 150° � Ï�Ð e 360° � 30° � 330° � ³³�

Ð

Exemplo 2: Esboçar o gráfico da função : Ü � ø´� R È X �Æ S

O ponto máximo : 90° � 60° � 30° � �4

O ponto mínimo: 270° � 60° � 210° � 706

Corta o ��"� " nos pontos : ��Æ , 180° � 60° � 120° � ��Æ e 360° � 60° � 300° � Ï�

Æ

ï � 03 � 60° ��çã� ��

Á � 20 ½ � �� 60°

¸ � 1 . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

�23�4

��1

��4

��4

�4�4 �}�

4�6�

4 ��7

��1

��4 0 �

4�1

� 7

6�4

}�4 0 ��

4��4

1�7

23�4

22�4 20 "

. . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . .

1 Á � 20

30°

. . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . .

1 Á � 20

60°


48

Exercícios: Esboçar o gráfico das funções defasadas : a) ½ � �� R " X 0

4 S

b) ½ � �� R " X 02 S

c) ½ � ��R " � 03 S

d) ½ � ��R " X 04 S

e) ½ � ��R " � 02 S


49

Arcos Simétricos : 180° � " " X

- Sentido anti- horário = sentido positivo ( X ). 180° X " �

1º Quadrante R 0° � 90°S: As funções : seno, cosseno e tangente são positivas ( + ).

2º Quadrante ( 90° � 180°): Quanto falta para 180° ?

�� X �� T��

��120° � X �� R180° � 120°S � X��60° � 0,866 ��120° � � ��R180° � 120°S � � ��60° � � 0,5 �T120° � � �TR180° � 120°S � ��T60° � � 1,732

3º Quadrante R180° � 270°S: Quanto passou de 180° ?

" �� 180° X " �� T�� X

��210° � � �� R180° X 30°S � � ��30° � � 0,5

��210° � � ��R180° X 30°S � � ��30° � � 0,866 �T210° � X �TR180° X 30°S � X �T30° � 0,577

4º Quadrante R270°� 360°S: Quanto falta para 360° ?

" �� 360° � " �� X ��T��

��315° � � �� R360° � 315°S � � ��45° � � 0,707

��315° � X ��R360° � 315°S � X ��45° � X 0,707 �T315° � � �TR360° � 315°S � � �T45° � �1

360° � "

180° � "................. "

ý ý


50

- Sentido horário ou sentido negativo ( � ). 4º Quadrante 0° � R�90°S: �� " �� X � ��T��

��R�30°S � � �� 30° � � 0,5 µ �� é ��çã� Í�v��, ��R�"S � ��"

cosR�30°S � ��30° � 0,866 µ �� é ��çã� ·��, ��R�"S � ��"

�TR�30°S � � �T30° � � 0,577 µ ��T�� é ��çã� Í�v��, �TR�"S � ��T"

3º Quadrante R� 90°S � R�180°S:

" �� T�� X

��R�120°S � ��120° � �� R180° � 60°S � ��60° � � 0,866 cosR�120°S � ��120° � � ��R180° � 60°S � � ��60° � � 0,5 �TR�120°S � ��T120° � �V��TR180° � 120°SW � X�T60° � X 1,732

2º Quadrante R�180° S � R�270°S:

�� X �� T��

��R�210°S � ��210° � �V� �� R180° X 30°SW � X ��30° � X 0,5

cos R�210°S � ��210° � � ��R180° X 30°S � � ��30° � � 0,866 �TR�210°S � ��T210° � �VX �TR180° X 30°SW � � �T30° � � 0,577

1º Quadrante R�270°S � R�360°S: �� X ��R�315°S � ��45° � X 0,707

�� X cos R�315°S � ��45° � X0 ,707

��T�� X �TR�315°S � �T45° � X1

�"


51

LIMITES DE FUNÇÕES

� � ³

Idéia Intuitiva de Limite: Seja a figura de forma quadrada e de área igual a 1.

A soma de todas as áreas hachuradas vai se aproximar de 1, dizemos que essa �� 1,

matematicamente nunca será igual a 1, sempre haverá uma divisão da figura.

+ ³ Ñ® + ³ Ñ® + ³ Ñ® ... + ... ³

³ �® ³ �® ³ �® ³ �®

Quando as divisões tendem ao infinito a área da figura tende a 1.

Definição:

Dizemos que o limite da função ½ � � R " S, quando " tende a � é o número real � se e

somente se, os números reais da imagem �R " S permanecem bem próximo s de � para os infinitos

valores de " próximos de �. y

�R " S lim � R " S§±% � �

0 � " lê-se: limite da função � R " S quando " tende a � é �.

�R " S ± � P�� " ± �

Limites Laterais: Para que exista limite é necessário que exista limite pela esquerda e pela direita do ponto e

que esses limites sejam iguais.

Lim§±% � R " S � lim§±%¦ � R " S � lim§±%! � R " S � �

� �

³ ù®

1⁄16

³ ù®


52

Y

Unicidade do limite: O limite quando existe é único. 4

Lim§±7¦�R"S � 4 0 1 2 3 x

lim§±7!�R"S � �3 -3 . . . . .

Exemplo1: Qual o limite da função �R"S � �" X 2 quando " ± 0 , " ± 2 . Y

2

0 1 2 3 4 "

-2. . . . . . . . . . . �R"S � �" X 2

lim§±3R�" X 2S � lim§±3R�0 X 2S � 2 lim§±7R�" X 2S � lim§±7R�2 X 2S � 0

lim§±3¦R�" X 2S � lim§±3¦

R�0 X 2S � 2 lim§±7¦R�" X 2S � lim§±7¦R�2 X 2S � 0

lim§±3!R�" X 2S � lim§±3!R�0 X 2S � 2 lim§±7!R�" X 2S � lim§±7!R�2 X 2S � 0

Exemplo 2: Calcular o lim"±1�√" � 1 lim§±2!√" � 1 e lim§±}√" � 1

Solução: A condição de existência desse limite é: O radicando

" � 1 � 0 µ " � 1 , existe a função para valores maiores ou igual 1, portanto

lim§±2¦√" � 1 � � ��çã� �ã� ��á �� , L�T� º L��,. y " ½

lim§±2√" � 1 � lim"±1√1 � 1 � lim"±1√0 � 0 1 0

lim§±2!√" � 1 � lim§±2!√1 � 1 � lim§±2!√0 � 0 0 1 x 5 2

lim§±}√" � 1 � lim§±}√5 � 1 � lim§±}√4 � 2 10 3

Não existe limite da função ½ � √" � 1 quando " ± 1�

Supondo que a função ½ � √" � 1 for contínua para todo " � 1 então o limite vai existir para quaisquer valores

do domínio. Por exemplo: " ± 2 , " ± 3 ... " ± ∞ .

( �� º lim�R"S"±2


53

Símbolos X ∞ e � ∞ em limites

X ∞ lê – se mais infinito, representa um valor muito alto. Não é número.

� ∞ lê – se menos infinito, representa um valor muito pequeno.

Exemplos 1: Seja Ü � ´�È , função exponencial decrescente y

a) lim§±~#��§ � lim§±~#2

@$ � lim§±~#2

@% � lim§±~#2# � 0 1

- ∞ 0 +∞

b) lim§±�#��§ � lim§±�#��R�#S � lim§±�#�# � X∞

c) lim§±3��§ � lim§±3�3 � lim§±31 � 1

Exemplos 2: + ∞

Seja ½ � 2§ , " ( 0, O gráfico da função é uma hipérbole.

lim§±�# 2§ � lim§±�#

2�# � 0

- ∞ 0 + ∞

lim§±~# 2§ � lim§±~#

2# � 0

lim§±3¦ 2

§ � �∞ ( lim§±3! 2 3 � X∞ ô º lim§±3 2

§ - ∞


54

LIMITES FUNDAMENTAIS:

1) lim§±3 ��" " � 1

2) lim§±#R1 X 2§ S§ � � ¡ 2,72

Exemplos : Calcular os limites

a) lim§±3 ��4"

" � lim§±3 4 ��4" 4" � lim§±34 . lim§±3 ��4"

4" � 4 . 1 � 4

b) lim§±~#R1 X 21§ S1§ � � ¡ 2,72

c) lim§±~#R1 X 2§ S7§ � lim§±~# &R1 X 2

§ S§'7 � �7 ¡ 7,4

Exercícios: Calcular o limite das funções abaixo, caso exista:

a) lim§±23" X 4 �

b) lim§±7"2 � 7" X 10 �

c) lim§±�3°��" �

d) lim§±� ��" �

e) lim§±�3° ��" �

f) lim§±�√" � 4 �

g) lim§±3! 2§ �

Respostas:

a) 7 b) 0 c) 1 d) �1 e) 0 f) √3 g) X∞ h) �∞


55

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO :

A função primitiva passa por um processo de derivação, derivando uma nova função chamada de função derivada .

Seja a função ½ � � R " S

contínua ( existe o limite da função no ponto e este limite é finito)

" � " X ∆" dois pontos de seu domínio.

Acréscimo da variável independente È

∆" � é a diferença entre o valor com o acréscimo e o primeiro valor.

Ex: " � 4 � R " X ∆" S � 9 então ∆" � 5 é o acréscimo.

Acréscimo da variável dependente Ü

∆½ � é a diferença entre o valor que a função toma em " X ∆" e o valor da função em ". ∆½ � � R " X ∆" S – � R " S.

RAZÃO INCREMENTAL � ∆Ü ∆È é a razão entre o acréscimo da variável dependente ½ em relação ao

acréscimo da variável independente " . ½

Quando ∆" tende a zero ( ∆" ± 0 ) a razão

∆Ü∆È vai chegar no limite, e esse limite é a função derivada em È.

lim∆§±3∆Ó∆§ � lim∆§±3 ER§~∆§S � ER§S

∆§ � ��çã� ��w��

Definição : A derivada de uma função é o limite da razão entre o acréscimo da variável dependente em relação ao

acréscimo da variável independente, quando esta última tende a zero. Representamos esta nova função pelos

Símbolos da função derivada: ãÜãÈ = Ü´ � ×´RÈS � ã

ãÈ Ü

Lê-se : ã´äÛ*�ã� ã´ Ü ´Ú ä´ü�çãÙ � È

�R" X ∆"S . . . . . . . . . . . . . . . . . . ½ � �R"S �R") ...... 0 " ∆" R" X ∆"S "


56

PROCESSO DE DERIVAÇÃO ou Regra Geral de Derivação : Regra dos 4 Passos.

Seja + � � R " S função e x um ponto fixo , pré-estabelecido

1º Passo: ½ X ∆½ � � R " X ∆" S Damos um ∆x à variável independente, implicando

acréscimo ∆y na função (x coloca-se " X ∆" ) 2º Passo ∆½ � � R " X ∆"S � ½ Fazemos a subtração da função,sabemos que y =f(x)

∆½ � � R " X ∆" S � � R " S Dividimos ∆" em ambos os membros da equação

3º Passo ∆Ó∆§ � E R §~ ∆§ S– E R § S

∆§ Fazendo ∆x→0 a razão∆Ó

∆§ chega ao limite

4º Passo oZq∆È→¯∆Ü

∆È = oZq∆È→¯

×RÈ~∆ÈS� ×RÈS

∆È =

ãÜ

ãÈ Esse limite é a derivada da função inicial

Exemplos :

Utilizando o processo definição de derivada calcule a derivada das funções abaixo:

a) ½ = ÏÈ X Æ

1º Passo: 5" X 3 X ∆½ = 5R" X ∆"S X 3

2º Passo ∆½ = 5" X 5 ∆" X 3 � 5" � 3

∆½ = 5 ∆"

3º Passo ∆Ó

∆§ =

} ∆§

∆§

4º Passo lim∆§→3∆Ó

∆§ = lim∆§→3 5 = 5

¹��v��: ã

ãÈÏÈ X Æ = Ï


57

b) ½ � ��"

1º Passo ½ X ∆½ � ��R" X ∆"S

2º Passo ∆½ � ��". �� ∆" X �� ∆". ��" � ��"

3º Passo 0Ó0§ � ©@A§.:;© ∆§~©@A ∆§.:;©§�©@A§

∆§

4º Passo lim∆§±3∆Ó∆§ � lim∆§±3

©@A§.:;© ∆§~©@A ∆§.:;©§�©@A§∆§ �

lim∆§±3©@A§.:;© ∆§

∆§ X lim∆§±3©@A ∆§.:;©§

∆§ � lim∆§±3©@A§∆§ �

L��∆§±3��".∆" . lim∆§±3 cos∆" X lim∆§±3

�� ∆"∆" . lim∆§±3 ��" � lim∆§±3��"∆" �

L��∆§±3©@A§.∆§ . lim∆§±3 cos 0° X 1 . lim∆§±3 ��" � lim∆§±3

©@A§∆§ �

L��∆"±0��".∆" X lim∆"±0 ��" � lim∆"±0

��"∆" � lim∆§±3 ��" � ��"

Resposta: ããÈ ø´�È � úÙøÈ


58

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

Determinar CÓC§ das funções abaixo, utilizando a definição de derivada .

a) ½ � "

b) ½ � 10" � 4

c) ½ � "7 X 3"

Respostas: a) CÓC§ � 1 b)

CÓC§ � 10 c)

CÓC§ � 2" X 3

Para encontrar a derivada de uma função usando a Regra geral de derivação é um trabalho exaustivo e

demorado.

Assim faremos o uso de um formulário de derivadas.


59

FÓRMULA DE DERIVAÇÃO: Sejam â, * ��çõ�� wáw�� " � ½ � � R " S.

FUNÇÃO DERIVADA 1 ½ � Ä cte. ½ � 0 2 ½ � " ½ � 1 3 ½ � � ½ � � 4 ½ � � . � ½ � � . � � � �� 5 ½ � D

% ½´� D´%

6 ½ � �A ½´� � . �A�2 . � 7 ½ � � X w ½ � � X w 8 ½ � � . w ½´� � w X � w 9 ½ � D

1 ½´� D 1 � D 1 1�

10 ½ � �� ½ � � . �� 11 ½ � �� ½´� � �. �� 12 ½ � �D ½´� � . �D 13 ½ � L� � ½ ´� D´

D 14 ½ � �T � ½´� � . R�� S7 15 ½ � �D ½´� �D. L� � . R � S 16 ½ � L�T% � ½´� D´

D .�A % 17 ½ � �1 ½´� w �1�2. � X �1. L� � . w´

REGRA DA CADEIA : ( derivada da função composta S: Sejam as funções � � T

½ � � R � S � � � T R " S ��ã� ½ � � � T R"S� � R ��T SR"S

��çã� ��v�� : CÓC§ � CÓ

CD . CDC§

DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR : são derivadas sucessivas da função

½ � � R " S ½ � � R " S é � 1ª ��w��

½´ � �´R " S é � 2ª ��w�� ½´ � � R� R"S S

Exemplo : Calcular a 3ª derivada da função ½ � 2 "1 X 5 "7 – 3 " X 5 ½ � 6 "7 X 10" � 3 ½´ � 12 " X 10

½´´� 12


60

Exemplos de cálculo de derivadas usando a tabela:

1) Ü � 3 ôôôô Ü ´ � ¯ 3 � úÙ�øå��å´

a) ½ � 8 ô ½ ´ � 0

b) ½ � 1 ô ½ ´ � 0

c) ½ � �3 ô ½ ´ � 0

d) ½ � 0 ô ½ ´ � 0

e) ½ � � ô ½ ´ � 0

2) Ü � È Ü � �. È � � úÙ�øå��å´ : número ou letra

a) Ü � È ôôôô Ü ´ � ³

b) ½ � �" ô ½ ´ � �1

c) ½ � 2" ô ½ ´ � 2 d) ½ � � "

3 " ô ½ ´ � � "3

e) ½ � �" ô ½´ � �

3) Ü � â� ô ô ô ô Ü ´ � �. â��³. â´ a) ½ � "2 ô ½ ´ � 2 . "2�1. 1 � 2"

b) ½ � 2"3 ô ½ ´ � 2 .3. "3�1. 1 � 6"7

c) ½ � �"4 ô ½ ´ � �4 . "4�1. 1 � � 4"

d) ½ � R3"S1 ô ½ ´ � 3 R3"S1�2. 3 � 3.3. R3"S7 � 9.9"7 � 81"7

e) ½ � ��7" ô ½ ´ � 2. ��7�2" . ��" ½ ´ � 2. ��" . ��"


61

4) Ü � * X â ô Ü ´ � â ´ X * ´

a) ½ � 5"7 X 3" � 4 ô ½ ´ � 5.2" X 3 � 0 � 10" X 3

�§

b) ½ � �"1 X ��3" X 7" X ô ½ ´ � �3 "7 � 3. ��3" X 7

c) ½ � "6 � ��2" X �" ô ½ ´ � 4 "6�2 � 2. ��2" X � � 4"1 � 2��" X �

5) Ü � â .* ô Ü ´ � â ´.* X u. v

a) ½ � " . ��" ô ½ ´ � � ´. w X u. v

� � " ô �´ � 1 ½ ´ � 1. ��" X ". ��" w � ��" ô w ´ � ��" ½ ´ � ��" X ". ��"

b) ½ � "7 . ��5" ô ½ ´ � � ´. w X � . w ´ � � "7 ô �´ � 2" ½ ´ � 2". ��5" X "7. R�5��5"S

w � ��5" ô w ´ � �5 ��5" ½ ´ � 2". ��5" � 5"7. ��5"

6) Ü � â* ô Ü ´ � â ´. * � â .* ´ *�

a) ½ � ��8"4" ô ½ ´ � � ´. w � � .w ´ w2

� � ��8" ô �´ � 8. ��8" ½ ´ � 8. ��8" .V4"W � ��8" .R4SR4"S2

w � 4" ô w ´ � 4 ½ ´ � 64". ��8" � 8 ��8" 16"2

b) ½ � ��"��" ô ½ ´ � � ´. w � � .w ´ w2

� � ��" ô �´ � ��" ½ ´ � R��"S. ��" � ��" .cosx R��"S2

w � ��" ô w ´ � ��" ½ ´ � �©@A�§ � 456� ©@A�§


62

7) Ü � ü�â ô Ü ´ � â ´â

a) ½ � L�2" ô ½ ´ � � ´�

� � 2" ô �´ � 2 ½ ´ � 2 2" � 2 §

b) ½ � L� ��" ��" ô ½´ � D ´

D

� � ��" ô �´ � ��" ½ ´ � ��" ��" ½ ´ � ��T"

c) ½ � L� R"7 � 3xS ô ½´ � � ´�

� � "2 � 3x ô �´ � 2" � 3 ½ ´ � 2"�3 "2�3x

8) ½ � �� ô ½ ´ � � ´. ��

a) ½ � �9" ô ½ ´ � � ´. ��

� � 9" ô � ´ � 9 ½ ´ � 9. �9"

b) ½ � ��" ô ½ ´ � �´. ��

� � ��" ô � ´ � ��" ½ ´ � ��" . ��"

c) ½ � � ��2" ô ½ ´ � �´. ��

� � ��2" ô � ´ � �2. ��2" ½ ´ � �2. ��2". � ��2"


63

Interpretação Geométrica da Derivada:

Consideramos a curva de função contínua ½ � � R " ).

Tomemos dois pontos de seu domínio: " � " X ∆" com suas respectivas imagens �R"S � �R" X ∆"S. ç�� · V" , �R"SW � à R " X ∆" , �R " X ∆S S

Pontos da ä´å� ø secante a curva a qual determina uma inclinação com o eixo das abscissas de â�T�L� �.

A ��T�� â�T�L� � determina o �� T�L�� ø. ¸ �� å �T à curva �� v�� · determina uma inclinação de â�T�L� ï com o ��"� �� '� �� , ".

�T� � ∆Ó∆§ = coeficiente angular da reta s

Se ∆" ± 0 � v�� à ± ·, � �� ø ± å � � ± ï,assim

�T� ± �Tï , �� , �T� � ∆Ó∆§ chega ao limite.

Esse limite é a derivada da função .

Esta derivada é coeficiente angular da reta tangente à curva de equação ½ � �R"S no ponto P.

�Tï � lim∆§±3 ∆Ó∆§ � �Tï � �´R"S

Conclusão: O valor da derivada na abscissa de um ponto de uma curva é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva nesse ponto.

Exemplo: Achar o coeficiente angular da reta tangente à curva de equação Ü � È� X �È no seu ponto " � 2 .

Solução: O coeficiente angular é �´R2S, que é a derivada da função dada.

�´R2S =lim∆§±3ER7~∆§S� ER7S

∆§

�´R2S � lim∆"±0� 72X∆"S2X2 R2X∆"S8� �22 X2.2�

∆" � lim∆"±0 4X4∆"XR∆"S2X4X2∆"�8∆"

�´R 2 S = lim∆§±3∆§R∆§~4S

∆§ = lim∆§±3 ∆" X 6 � 0 X 6 � 6 µ ×´R�S � Ð

�R"S . . . . . . . . . .• ·

½ ½ � �R") curva �R" X ∆"S … … … … … … … • . à ∆½

∆" 0 " " X ∆" " ï �


64

Exercícios de derivadas: 1) Dadas as funções encontre sua derivada: respostas

a) ½ � 3"7 X 4" � 5 CÓC§ � 6" X 4

b) � � 2� X �7 C©CB � 2 X 2�

c) ½ � 1

§�~7 CÓ C§ � �4§

R§�~7S�

dS ½ � §3~�§

4 CÓC§ � 3"2X7

6

e) � � lnR2"7 � 3" X 4S C>C§ � 4"�3

2"2�3"X4

f) ½ � "7. L�"7 �½�" � 2"R 1 X 2L�"S

g) ½ � 27§ CÓC§ � 27§~2. L�2

h) ½ � �5"} CÓC§ � �256

i) ½ � L�"" CÓ

C§ � 1�L�""2

j) ½ � �7§~@ CÓC§ � 2�7§~@


65

k) � � �B CÓCB � �B

l) ½ � ". ��5" CÓC§ � �5"��5" X ��5

m) ½ � ��2"" CÓ

C§ � 2" ��2"��2""2

n) ½ � �§. ��" CÓC§ � �§R ��" � ��"S

o) ½ � ��§. ��" CÓC§ � ��§R ��" � ��"S

p) : � ��1��X1 C;

CB � 7@<R@<~2S�

q) ½ � L��" CÓC§ � ��T"

r) ½ � √�§ CÓC§ � √@$

7

s) ½ � √"73

CÓC§ � 7

1 √§/


66

Exercícios de derivada ( 2ª lista ):

1) Calcule as derivadas das funções abaixo: Respostas

a) ½ � ��2" ½´ � 2. ��2"

b) ½ � ��6" ½´ � �6"��6"

c) ½ � �§. ��3" ½´ � �§R��3" X 3 ��3"S

d) ½ � ��§. ��" ½´ � ��§R��" X ��"S

e) ½ � ln ��" ½´ � ��T"

f) ½ � ��7" ½´ � ��2"

g) ½ � ��7" ½´ � ��2"

h) ½ � @$

©@A§ y´ � >?R6>��456S

6>��


67

i) y � �A§§� ½´ �

2�6�A§§�

j) ½ � 7�§~� ½´ � 7�§~�. L�7

l) ½ � √5" ½´ � }

7√}§

m) ½ � �:;©§ ½´ � ��". �:;©§

n) ½ � 7". L�7" ½´ � 7R1 X L�7"S

o) ½ � lnRL�"S ½´ � 2

§.�A§

p) ½ � 2§ ½´ � � 2

§�


68

2) Calcule a 2ª derivada das funções abaixo : respostas

a) ½ � � ��4"4 ½´´ � 4 ��4"

b) ½ � ��§ ½´´ � 81 ��§

c) ½ � L��4§ ½´´ � 0

d) ½ � 2"1 X 6"7 � 4" � 7 ½´´ � 12R" X 1S


69

DIFERENCIAL:

Seja a função ½ � �R"S

A diferencial de uma função é igual a sua derivada multiplicada pela diferencial da variável independente; indica-se

por ��R"S �� ½ e lê –se : diferencial da função ou diferencial de y , sua equação é dada por :

��R"S � �´R"S . �" ou:

Para achar a diferencial de uma função basta achar a derivada da função e multiplicá-la por ãÈ.

Exemplo: Ache a diferencial das funções abaixo:

a) ½ � 2"7 X 3

�½ � ½´ . �"

½´ � 4" ãÜ � ÑÈ . ãÈ

b) ½ � ��6" X L�5"

�½ � �´R"S . �"

�´R"S � 6 cos 6" X 55"

�½ � R 6 �� 6" X 55" S�"

ãÜ � Ð úÙø ÐÈ. ãÈ X ÏÏÈ . ãÈ

Exercícios:

Calcular as diferenciais das funções abaixo:

a) ½ � 3"7 � 7

b) ½ � 4"1 X 7" � 5

c) ½ � ��3"

�½ � ½´. �"

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia

70

Interpretação Geométrica da Diferencial:

tg

0 " " X ∆" "

�´R"S � �½�" � �Tï � �

m é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto de abscissa ".

Assim temos; �Tï � CÓC§ razão entre as diferenciais ãÜ � ãÈ.

@Ü@È se diferencia de

ãÜãÈ por quantidade muito pequena que denominamos de q.

0Ó0§ � CÓ

C§ X P multiplicando por ∆È , ambos os membros da igualdade temos,

0Ó0§ .∆" � �½

�" . ∆" X P.∆" quando ∆" ± 0 � R P .∆ "S ± 0 ∆½ � �½

�" .∆" X P.∆"

∆½ � �½�" .∆" mas ,

CÓC§ � �´R"S e ∆" � �"

∆½ � �´R"S . �" ∆½ ± �½ �� ½ � ��R"S. �" temos então;

ã×RÈS � ×´RÈS . ãÈ , ãÜ � Ü´. ãÈ ãÛ×´ä´�úÛ�ü ã´ Ü.

∆½ q

�½

0

½ �

ï α ∆" � �"

�R"S … … … ·

�R" X ∆"S … . … … … … Q


71

1) Cálculo Aproximado por diferenciais: Quando ãÈ for muito pequeno ( B" ± 0 S temos ∆Ü ¡ ãÜ , o acréscimo da função se aproxima da diferencial da função;

∆Ü ¡ ãÜ

�R" X ∆"S � �R"S ¡ �´R"S .∆" temos que ×RÈ X ∆ÈS ¡ ×RÈS X ×´RÈS .∆È Exemplo:

Calcular por diferenciais o valor aproximada de �7,1, dado �7 ¡ 7,29.

Fazendo �2,3} � �2~3,3} � �§~∆§ " � 1 B" � 0, 05

�R"S � �" �´R"S � �" Substituindo na equação ×RÈ X ∆ÈS ¡ ×RÈS X ×´RÈS .∆È

�2~3,3} ¡ �2 X �2. 0,1

¡ �2R1 X 0,05S �2,3} ¡ 2,858 2) Erros Pequenos: Quando se quer computar pequenos erros nos cálculos usamos a fórmula da diferencial Exemplo: Quais os erros aproximados no volume e na área de um cubo de aresta igual a 6 polegadas se um erro de 0,02 polegadas foi feito ao medir a aresta? Solução: Da fórmula da diferencial temos, ãÜ � ×´RÈS. ãÈ " � �� '� �" � �� v��"�� Ö´ � "1 � ç � 6. "7 Ö´ � 3"7 � ç´ � 12. " �� R " � 6 � �" � 0,02S

�Ö � Ö´. �" �ç � ç´. �"

�Ö � 3"7. �" �ç � 12". �" �Ö � 3. 67. 0,02 �ç � 12.6.0,02 �Ö � 2,16 v�L.1 �ç � 1,44 v�L.7


72

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL:

Seja a função Ü � ×RÈS

• Derivadas: Símbolos de derivação ×´ RÈS Ùâ ãÜãÈ Ùâ Ü´

• Diferencial: Símbolos de diferenciação ��R"S �� ½ �� ãÜ � Ü´ . ãÈ

• Integral: Símbolo de integração C��R"S � C�´R"S. �" � CÜ´ . ãÈ

INTEGRAÇÃO:

É o processo de achar a Função Primitiva = Integral � ×RÈS , a operação inversa da função diferencial .

A operação de integração é indicada pelo sinal de integração ∫ posto antes da diferencial ;

C ãÜ � C Ü´. ãÈ � Ü ��çã� ·��w� � ß�å´þä�ü

Lê-se: ��T��L �� ´R"S. �" é �T��L � �R"S. ¸ �� L ãÈ �� P�� È é � w��áw�L �� T��çã�. A derivação e a integração são operações inversas d CÜ´. ãÈ � Ü´. ãÈ

¤ ë�� ì��ó�� P�� øÛ��ü C v��w�� çã� �� ç, v�� L�� v�L�w�� øÙÚ�.

EXEMPLO: Calcular a integral das funções abaixo:

a) CúÙøÈ. ãÈ � ��çã� v��w�

�½ � ��" . �" P��L � ��çã� P�� T�� w�� " ?

½ � ��"

C ��". �" � ��"

b) C�" �

�½ � 1. �"

C1. �" a função que originou a derivada ½´ � 1 tem como função primitiva ½ � "

C�" � "

c) C ". �" � ½´ � " função primitiva é ½ �

§�7

C". �" � "22


73

INTEGRAL INDEFINIDA : C½´. �" � ½ X Õ

� � úÙ�øå��å´ ã´ Û�å´þä�çãÙ

Integral indefinida porque não podemos definir com exatidão a função primitiva que foi diferenciada.

A constante integração � poderá assumir infinitos valores .

Exemplos:

a) ½ � "7 X 2 quando derivamos a função primitiva, a constante se anula.

½´ � 2" X 0

ãÜ � �È . ãÈ

½ � "7 � 6 ½´ � 2" � 0

ãÜ � �È . ãÈ

C �È. ãÈ � "7 X � o valor da constante Õ é arbitrário, podendo ser qualquer valor.

b) C�7". �" � �7"7 X �

c) C ��" �" � � ��" X �

d) C ��" �" � ��" X �

INTEGRAIS IMEDIATAS:

No cálculo diferencial tem-se uma Regra Geral de Derivação, mas no cálculo integral não existe tal regra ( existe a

integral mas muitas vezes não se consegue achar a função primitiva).

Utilizaremos a TABELA DE INTEGRAÇÃO.

Caso não tenha na tabela a expressão diferencial, teremos que usar artifícios para chegarmos a um resultado.

Exemplo: C R2x � 4S dx � v��v�� '��w�

C2" �" – 4 �" � ��T��L �� ç� é � ��ç� �� T��.

C2" �" � C4 �" � = "7 � 4 " X Õ


74

TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS: Sejam â, *,D ��çõ�� wáw�� " � ½ � � R " S. C� R"S. �" � �R"S X

C Ü . ãÈ � Ü X ú 1) C �" � " X 2) C 1. �� X

3) C �. �� . C �� . � X � � ��

4) C �� C 2

% . �� 2 % . � X

5) C �A . �� X1�X1 X R � ( �1 S

6) C �� C �� D¦¥!�

�A~2 X

7) C �� L�� X

8) C �D. �� D X � � 2,718 … constante de Euler

9) C �%.D. �� .�� X

10) C ��. �� X

11) C ��R �. �S. �� cos R�.�S � X � � ��

12) C ��. �� X

13) C ��R �. �S. �� senR�.�S � X

14) C ��7 �. �� CR 2 7 � 2

7 ��2�S�� X

15) C ��2 �. �� CR 1 2 X 1

2 ��2�S�� X

16) C L��. �� . L�� X 17) C lnR�. �S . �� . ln R�. �S � � X


75

Exemplos: Calcularemos integrais com expressões diferenciais iguais a da tabela de integração:

1) C�" � " X

2) C1. �" � " X

3) C 4. �" � 4 .C �" � 4 . " X

4) C C§6 � C 2

6 �" � 2 6 " X

5) C "1 . �" � §/!�1~2 X � §�

6 X

6) C C§§� �" � C"�7 � "�2X1

�2X1 � "�1�1 � � 1

" X

7) C CDD � C :;©§ C§

©@A§ � L�� X � L��" X , � � ��" ô �� ". �"

8) C �§. �" � �§ X

9) C ��7.§. �� @¦�.$�7 � � @¦�.$

7 X

10) C ��". �" � � ��" X

11) C ��R 3. "S. �" X � � 456 R1.§S 1 � � ��

12) C ��". �" � ��" X

13) C ��R 4. "S. �" � se�R4"S 4 X =

15) C ��7 ". �" � CR 2 7 X 2

7 ��2"S�" X � 2 7 " X ©@A7§

6 X c

16) C L�". �" � " . L�" � " X

17) C lnR7. "S . �" � " . ln R7. "S � " X


76

Exercícios Resolvido: Calcular as integrais abaixo:

a) CR��2" X �3"S�" � C ��2". �" X C �3". �" �

� � 456 R7.§S 7 X @/.$

1 � �1 456R7§S~7.@/$4 X

b) CR9" � 2"7S�" �C9". �" � 2"7. �"

� C9". �" � C 2"7. �"

� 9. "22 � 2. "3

3 X

� 7�§�4 � 6§/

4 X

c) CR1 X "S�" �C 1. �" X "�"

� C�" X C ". �"

� " X "22 X

d) C �©@A§ . ��". �" �

� � ��" �� ". ��". �" é a função diferencial que será integrada

C �©@A§. ��". �" � C��

� �©@A§ + c

e) C ��7". �" �

��7" � 2 7 � 2

7 ��2"

C � 1 2 � 1

2 . ��2"� . dx � C 27 dx � C 1 2 ��2". dx

� 2 7 " � 2

7 . ©@A7§7 �

2 7 " � ©@A7§

6 X C


77

f) C ��7". �" �

��7" � 2 7 X 2

7 ��2"

C � 1 2 X 1

2 . ��2"� . dx � C 27 dx X C 1 2 ��2". dx

� 2 7 " X 2

7 . ©@A7§7 �

2 7 " X ©@A7§

6 X c

g) C 2§� �" �

C x--2 dx � "�2X1�2X1 � "�1

�1 � � 1 " X Õ

h) C√" . �" �

√" � "��

C "��" � §��!�

��~2 � § / �

/�

� √§//�

� 7√§.§�1 � 7§√§

1 X

i ) C ��2" X ��2" �

Sabemos que ��7" X ��7" � 1 C 1�" � " X


78

INTEGRAÇÃO POR PARTES:

Sejam u e v funções de uma única variável . A diferencial do produto dessas funções é:

½ � � . w µ �½ � � . �w X w . �� µ �R� . wS � � . �w X w . �� isolando â. ã* na equação

� . �w � �R� . wS � w . �� aplicando a C ��T��L em ambos os membros da igualdade

C�. �w � C�R� . wS � C w ��

FÓRMULA DE INTEGRAÇÃO POR PARTES Câ. ã* � â .* – C* ãâ

OBSERVAÇÃO: Para aplicar a fórmula, a expressão sob o sinal Cde integração deve ser separada em dois fatores :

( â � * S. Çã� Já ��T�� v�� LJ� �� , v�� v�� P�� • ãÈ é ø´Ú¿ä´ ¿�äå´ ã´ ã*

• ¸ ��T��çã� �� ã* ��w� �� v��íw�L • ç� � �"v��ã� � �� T�� é � v�� çõ�� , é ��LJ�� LJ�� vL� ��

v�� T�� v�� ã* .

Exemplos: a) CÈ. úÙøÈ. ãÈ � C�. �w � �. w � C w. �� " µ �� CD

C§ . �" µ �� 1. �" µ �� " �w � ��". �" µ C�w � C ��". �" w � ��"+c CÈ. úÙøÈ. ãÈ � " . ��" � C ��". �" � " . ��" � R� ��") + CÈ. úÙøÈ. ãÈ � È . ø´�È + úÙøÈ + ú b) C È. ´È . ãÈ � C �. �w � �. w � C w. �� " µ ��

�" �" � 1 �" � �" �w � �§�" µ C�w � C �§ �" µ w � �§ + C ". �§ . �" � " . �§ � C �§ . �" � " . �§ � �§ + CÈ. ´È . ãÈ � ´ÈRÈ � ³) + ú


79

EEEExercícios:xercícios:xercícios:xercícios: Calcular as integrais por partes:

¹��v��

a) C " . ��" �" � �". ��" X ��" X

') C lnR ¸" ) �" � "RL�¸" � 1)

c) C " . ��§ �" � ��§R" X 1)

�) C 4" . �7§ �" � �7§R2" � 1)

e) C L�" �" � "RL�" � 1)

�) C lnR 4" ) �" � "RL�4" � 1)


80

INTEGRAL DEFINIDA: É a integral definida por um intervalo [a,b] onde a e b são valores definidos e finitos

a é o limite inferior e b é o limite superior . A representação da integral definida é

G �R"). �" &

%

Lê-se: integral de � a de �R")�". A operação é chamada de integração entre o limite superior b e o limite inferior a. A integral definida C �R"). �" &

% será �âÚ´äÛú�Ú´�å´ Ûþâ�ü � áä´� �. y

S ½ � R") ç � C �R"). �"&%

" S é a área sob a curva de função ½ � �R")

PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA:

P1) C ¸. �R"). �" � ¸.C �R"). �"&%

&% ¸ é ��

P2) C ��R") + TR")�. �" � C �R"). �" + C TR"). �"&%

&%

&%

P3) C �R"). �" � �C �R"). �"%&

%& os limites inferior e superior foram trocados , a integral troca de sinal.

P4) C �R"). �" � C �R"). �" + C �R"). �" # ��, '�&:

:%

&%

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO:

Se �R") é �� çã� v��w� �� çã� �R")é wáL�� ó��L�.

C �R"). �" �&% �R") � �R') � �R�)

Se a integração for por partes: C �. �w � ��. w� � C w. ��&%

&%

Exemplos:

1) C "762 . �" � §/

1 26

= 21 � "1� � 2

1 �41 � 11� � 13 �63� � 63

3 � �³ w�L�� áä´� ��' � ��w�.

½ ½ � �R") � "7

S 0 1 4 "

4

1

0 a c b

b a

b

a


81

2) C ��". �" � � ��". �" � � �3 ��0 � ��0° � �R�1 � 1) � � w�L�� áä´� ��' � ��w�.

½

S

0 �7 0 "

3) C 3 ��§. �" � 3C ��§ � 3��§�377

37

3 � �3[��7 � �3� � �3��7 � 1� ¡ �, Ð

½

0 1 2 "

Exercícios resolvido:

Dado o gráfico, determine a área da função para um período, utilizando integral definida.

½

a) 6

0 5 10 15 "

Solução : C �R")}3 . �" + C TR")23

} . �" �

� C 6. �" + C 0. �"23}

}3

� 6C �" + 0 � 6�"�3}}

3 � 6�5 � 0� � 6�5� � Æ¯

A área do retângulo � � �ø´ . �üåâä� � � Ï . Ð � Æ¯

0

0

ç y


82

b) ½

10

0 10 20 25 30 "

Solução : A área de um triângulo ç � '��.�L��2 � 20.10

2 � 100

C ". �" + C R�" + 20). �"7323

233 �

� �§�7 �323 + C �". �" + C 20. �"73

2373

23

� 27 �"7�323 � C ". �" + 20C �"73

2373

23 � 2

7 �107 � 0� � &§�7 '23

73 + 20�"�2373 �

� 2337 � 2

7 �"7�2373 + 20�20 � 10�

� 50 � 27 �207 � 107� + 20�10� �

� 50 � 27 �400 � 100� + 200

� 50 � 1337 + 200

� 50 � 150 + 200 � ³¯¯

c) y Solução 1: C ". �" + C 2. �" + C R�" + 6)�" � �§�7 �37

46

67

73 + 2C �" � C ". �" + C 6. �"4

6 �46

67

2 � 27 �"7�37 + 2�"�76 � �§�

7 �64 + 6�"�64 � 27 �27 � 07� + 2�4 � 2� � 2

7 �"7�64 + 6�6 � 4� �

0 2 4 6 8 x � 67 + 2.2 � 2

7 �67 � 47� + 6.2 � 2 + 4 � 27 �36 � 16� + 12 � 18 � 73

7 �

= 18 � 10 �8

Solução 2 : A área do trapézio S = R�%©@ �%?;>~&%©@ <@A;>).%�BD>%7

ç � R4~7).77 � ù

d) y Solução: C ��". �" � �� "�37� � �� 20 � ��0°� � ��1 � 1� �7�3 � 0 � 0

¸ á�� ×â�çõ´ø øÛÚéåäÛú�ø �� ´ÛÈÙ È é IJKö , v�� . �³ � �� ô

�³ + �� ¯

S S

7 S

0 �7 0

�7 20 "

-7


83

APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA:

Utilizada em circuitos elétricos, para o cálculos de Valor Médio e Valor Eficaz de funções periódicas.

1) VALOR MÉDIO: É a média aritmética de todos os valores instantâneos num período.

+<@C � 1�~1�~Í~1¥A como são infinitos valores, a soma de infinitos valores é a integral, logo

+<@C � 1Á .G �R"). �"

L3

1) Para funções formadas por Retas, pode-se calcular o Valor Médio como área da figura geométrica.

ç � á�� T�� +<@C � M

L Á � v��í�� çã�

½ +<@C � á>@% C; B>?âA�D�;L R=@>í;C;S �

�NOP.OQ<R¬O

�L �S. T

�L � L. �7L � �

7

0 1Á 2Á "

+<@C � � 7 As ��çõ�� L�� ( ��) possuem valor médio

2) Se �R"S é �� çã� ÍÃ·¸¹ � �R"S � ��R"S � w�L�� é�� é Çè�� R +<@C � 0 S

A soma das áreas será nula, já que as áreas são iguais ( ç2 � �ç7S e a função é simétrica ao eixo x.

Para calcular o valor médio usaremos somente a metade do período L 7 , ou seja, o valor médio de

27 � L�.

Exemplo:

Calcular o valor médio da função ×RÈS � ö. ø´�È �� 27 ciclo ou seja

L7 � 7�

7 � 0

+<@C � 2S�

.C ¸. ��". �" � ��

S�3 . �� "�3�

� � �� 0 � ��0°�

� � �� 1 � 1� � �.ö

�

+<@C � 7 . �� As funções seno e cosseno: de período 20, o valor médio para

27 ciclo

¸ S


84

2) VALOR EFICAZ: É a média quadrática de todos os valores instantâneos da função num período.

+@E?:%U � ¾1��~1��~Í1¥�A Como são infinitos valores a soma de infinitos valores é a integral , logo

+@E � ¾2L .C ��R")�7. �"L

3 tirando o radical facilitará os cálculos, teremos

½@E7 � 1ÁG ��R")�7. �"

L3

Exemplo: Determine o valor eficaz da função Ü � ö. ø´�È para um período Á � 20.

+@E7 � 2L C ��R")�7L

3 . �"

� 27� C �¸��"�7. �"7�

3

� 27� C ¸7. ��"�77�

3 . �"

� ��7� C �2

77�

3 � 27 ��2"�. �" �

� ��7� C 2

77�

3 . �" � C 27 ��2". �" �7�

3 � ��

7� 27C �" � 2

77�

3 C ��2". �"7�7

� ��7� 2

7 �"�37� � 2 7 ©@A7§

7 37� �

� ��7� 2

7 �20 � 0� � 26 sen2(20) � ��2R0°)

� ��7� 7�

7

+@E7 � ��7

+@E � √��√7 � �

√7

V´× � ö√� Funções seno , cosseno e funções constantes no período õ � �� .

V´× � ö√Æ Funções triangulares e dente de serra para um período Á .


85

EXERCÍCIOS:

Calcular o valor médio e o valor eficaz das funções nos gráficos abaixo:

Y y y

0 3 6 " 0 9 18 27 " 0 6 12 18 "

Respostas:

a) b) c) d) e) f) g)

Ö< 2 4,5 4 0,64 4,5 0,64 2 Ö@E 2,84 5,2 4,6 0,71 4,96 0,71 2,84

a) b) c)

½ ½ ½ ½ d) e) f) g)

1 7 1 4

0 0 0 3 6 "

-1 - 7 - 4

4 9 8


86

VETORES:

O conceito de vetor surgiu na Mecânica onde envolviam problemas com soma de forças atuando no mesmo ponto

( regra do paralelogramo).

GRANDEZAS ESCALARES E GRANDEZAS VETORIAIS:

GRANDEZAS ESCALARES: São grandezas que ficam determinadas por um número real acompanhado pela unidade

correspondente. Ex: 5 kg de massa, 2 m2de área, 15 cm de comprimento etc.

GRANDEZAS VETORIAIS: São grandezas que necessitam além de um número real ,também de uma direção e de

um sentido. Ex: Velocidade, aceleração, peso, campo magnético , força e outras.

DEFINIÇÃO DE VETOR: É o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção, de mesmo sentido,e de

mesmo comprimento.

IMAGEM GEOMÉTRICA DE UM VETOR: Na figura abaixo, tem-se um conjunto de segmentos orientados de um único

vetor, esses 4 segmentos orientados ou 4 imagens geométricas de um mesmo vetor.

Um vetor possui infinitos segmentos orientados.

Representa um único vetor

NOTAÇÃO DE UM VETOR: Letra minúscula encimada por uma seta.

Exemplo: � WWWWX , ' WWWWX , WWWX , � WWWWX , w WWWWX , Y WWWWWX , …

B (extremidade do vetor)

VETOR significa levado, transportado. O ponto A é levado até o ponto B. A (origem do vetor)

MÓDULO:

|�WWX| � COMPRIMENTO é o número não negativo que indica o do vetor.

|�X| � 4

�X �X

�X�X

I I I I I�X


87

VETOR NULO: 0 WWWWX �� [ ¯ WWWWX[ � ¯ , sua representação gráfica é a origem do sistema de coordenadas.

VETOR UNITÁRIO: | � WWWWX | � 1 é � w�� ó��L� �T��L � 1.

\ûõ]� ]æ]�õ]: R� � WWWWX ) possui o sentido contrário do vetor � WWWWX . � WWWWX – � WWWWX

ADIÇÃO DE VETORES:

� WWWWX X WWWWX � � WWWWX Sejam � WWWX � ' WWWX vetores a Soma � WWWX X ' WWWX será o vetor Resultante ¹ WWWWX. A soma de n vetores é feita de modo que a extremidade de cada vetor coincide com a origem do vetor seguinte,

o vetor resultante é o vetor que fecha a poligonal, tendo por origem , a origem do 1º vetor e por extremidade , a

extremidade do último vetor.

Exemplo:

� WWWX WWX � WWWX X ' WWWX � ¹ WWWX ' WWWX � WWWX ¹ WWWX

WWX X � WWWX � ¹ WWWX � WWWX WWX ¹ WWWX � WWWX X ' WWWX X WWX � ¹ WWWX ¹ WWWX WWX ' WWWX � WWWX � WWWX X ' WWWX � ' WWWX X � WWWWX propriedade comutativa.

� WWWX X R�� WWWXS � 0 WWWX oposto.


88

SUBTRAÇÃO DE VETORES: Sejam � WWWX � 'WX vetores , a subtração � WWWX � 'WX será o vetor Resultante ¹WX. A subtração ou diferença de dois vetores é obtida fazendo com que os vetores � WWWX ´ WWX tenham a mesma origem.

O vetor diferença é o vetor que fecha a poligonal, tendo por origem, a extremidade do 2º vetor e por extremidade

a extremidade do 1º vetor

Exemplo:

� WWWX – ' WWWX � ¹ WWWX 'WX �X X �WWWX 'WX ¹ WWWX

'WX � �X � ¹WX 'WX • �� T�� WWWX ¹WX � WWWX � 'WX ( 'WWX � �X não comutativa

REGRA DO PARALELOGRAMO:

'WX �WWWX � WWWWX � WWWWX � � WWWWX

Exercícios:

Dados os vetores �X 'WX X obter graficamente:

a) �X X 'WX

b) 'WX � �X

c) �X X X

d) X� 'WX

• �� T��

� WWWX X WWWWX � � WWWWX


89

ÂNGULO DE DOIS VETORES:

O ângulo ï , ¯ ê _ ê ³ù¯° , �� dois vetores é o ângulo formado entre sua direções, levando em conta os

sentidos dos vetores �WWWWX � 'WX.

ï �T�� ï �'�� ï ��T��L 'WX 0 ê ï ê 90° ' WWWX 90° ê ï ê 180° 'WX ï � 90

ï ï ï

ï � 180° R�X � 'WX ��w��) ï � 0° R �X � 'WX �P��w��)

�WWWX 'WX � WWWX 'WX

Multiplicação Interna ou Escalar:

O produto interno ou escalar de dois vetores é o número ( escalar ) tal que

�WWX . WWX � |�WWX| . [ WWX[ . `p]_ �X . 'WX U 0 ô cos ï U 0 R ï a 1º �� 4º P��S, ï é �T��. se �X . 'WX Q 0 ô cos ï Q 0 R ï a 2º �� 3º P��S, ï é �'��. �X . 'WX � 0 ô ��ï � 0 µ ï � 90°

Módulo de um Vetor:

� WWWX. �WWWX � |� WWWX | . |� WWWX | . ��0° ��0° � 1

� WWWX. �WWWX � |� WWWX|7. 1 extraindo a raiz quadrada,

|� WWWX| � ¼� WWWX. �WWWX

Lei dos Cossenos:

bWX X � �X � 'WX multiplicando por X ï X � �X � 'WX X. X � V�X � 'WXW. R �X � 'SWWWWX �X | X|7 � � WWWX. �WWWX � 2. �X. 'WX X 'WX . 'WX | X|7 � |�X|7 X ['WX[7 � 2|�X| . ['WX[ . cos ï

ú� � �� X � � �. �. . úÙø_

�X �X �X �XCVVV


90

Co-Senos Diretores:

Sejam os vetores � WWWX � b WWWX ortogonais , ï � 90°, � respectivamente paralelos aos eixos " � ½ no plano cartesiano.

v��3§WWWWWX¹WX � ½ é a medida algébrica da projeção do vetor ¹ WWWX sobre a direção do vetor � WWWX v��3bWWWWWX ¹ WWWX � " é a medida algébrica da projeção do vetor ¹WX sobre a direção do vetor bWX . ï = argumento

��ï � v��0yWWWWWWX ¹WWWXc¹WWWXc � "

¹ ô " � ¹ . �� ï

��ï � v��0"WWWWWWWX¹WWWXc¹WWWXc � ½¹ ô ½ � ¹ . �� ï

¹ WWWX � ¼"7 X ½7

½//bWX v��;§WWWWWX¹WX � ¹WX. �� ï µ v��3§WWWWWX¹WX � " " � ¹WWX. �� ï proj3bWWWWWX¹WX ¹WX 0 v��3§WWWWWX¹WX "//�X v��3bWWWWWX ¹WX � ¹WX. �� ï v��3bWWWWWX ¹WX � ½ ½ � ¹WX. �� ï

θ � arc tg Ó§

Exemplos:

Calcule o módulo e o argumento do vetor resultante abaixo:

a) ½

5

R ï

0 5 "

½

b) 0 ï 3 "

ï

-1.. . .R . . . .


91

NÚMEROS COMPLEXOS

Introdução: Por volta de 1500 dc, a impressão é que, com a criação dos números Reais não seria mais

necessária a ampliação de nenhum campo numérico. O conjunto dos Nºs Reais é formado pela união dos conjuntos

Racionais e Irracionais, os quais fazem parte da reta real. Já os radicais de números negativos √�" não pertencem

ao conjunto do nºs Reais, pois não existe raiz quadrada de um número negativo , ou , não existe um número que

elevado ao quadrado resulte em um número negativo.

Porém quando o matemático Cardano descobriu a fórmula para a equação de 3º grau, que fornecia raízes reais

mediante expressões onde apareciam raízes quadradas de números negativos , fez –se a necessidade de criar um

novo número , que denominaram de Unidade Imaginária Û devido a desconfiança deste novo número.

Obs.:Para os estudos de circuitos utilizaremos o símbolo j como unidade imaginária para não confundir com o

símbolo i de corrente elétrica .

UNIDADE IMAGINÁRIA ( f ):

f � √�³ â�Ûã�ã´ ÛÚ�þÛ�áäÛ�

f� , � # � O expoente � é um número múltiplo de 4 .

f¯ � ³ fÑ � ³ fù � ³ f³� � ³ ...

f³ � f fÏ � f fÎ � f f³Æ � f ...

f� � �³ fÐ � �³ f³¯ � �³ f³Ñ � �³ ...

fÆ � �f f÷ � �f f³³ � �f f³Ï � �f ...

Exemplos:

�) �72} � ? Dividimos 215 4 o resto da divisão , no caso 3, será o novo expoente

3 53

�72} � �1 � ��

b) �64 � ? 46 4 então �64 � �7 � �1

2 11

Exercícios:

a) �233 � b) �}32 � c) �1� � d) �67 �


92

CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ( � )

Podem ser representados em um eixo imaginário ... - j3 - j2 - j1 0 j1 j2 j3 ... j (eixo imaginário)

Pode ser escrito de várias formas : Retangular, polar, trigonométrica e exponencial.

A forma Polar e a Retangular são as mais utilizadas em circuitos elétricos.

È ´ Ü �ã� �ú��

FORMA RETANGULAR: ( ou algébrica ) g � È + fÜ f � √�³ â�Ûã�ã´ ÛÚ�þÛ�áäÛ�

�´Rg) � È Parte Real de Z ßÚRg) � fÜ Parte imaginária de Z

Se " � 0 ô ¹�Rh) � 0 ô h � 0 + �½ ô g � fÜ R �º ÛÚ�þÛ�áäÛÙ ¿âäÙ, Ü ( ¯)

Se ½ � 0 ô ImRZS � 0 ô h � " X �. 0 ô h � " R�º ��LS

Exercícios:

Identifique a parte real e a imaginária dos nºs complexos:

a) h � 2 X �3 b) h � �4 X �6 S h � �7 � �

d) h � � 1 X � e) h � 6 � �2,7 �S h � �2 � �2

g) h � � 15 h) h � � �6,2 i) h � � �10


93

REPRESENTAÇÃO CARTESIANA ( PLANO ARGAND – GAUSS):

Utilizaram o plano cartesiano para representar o número complexo. Se cada ponto de uma reta corresponde a um

número real , assim cada ponto do plano podia ser associado a um número complexo . Convencionou-se associar o

nº complexo h � " + �½ ao ponto ·R", ½), J�� "� .

·R", ½) � h � " + �½

Quadrantes: Posições do ponto P RÈ, Ü).

Seja o número complexo h � " + �½ associado ao ponto P R", ½).

½ U 0 ô P R", ½S # 1º P��.

" U 0 ½ Q 0 ô P R", ½S # 4º P��. ½ � 0 ô P R", ½S # ��"� �� '� �� T�� .

½ U 0 ô P R", ½S # 2º P��.

" Q 0 ½ Q 0 ô P R", ½S # 3º P�� . ½ � 0 ô P R", ½S # ��"� �� '� �� P�� T�� .

½ U 0 ô P R", ½S # ��"� �� T�� .

" � 0 ½ Q 0 ô P R", ½S # ��"� �� '��"� �� T�� . ½ � 0 ô P R", ½S # � ��T�� .

Exemplos:

a) h � 2 � �3

È � 2 U 0 ô P R2, �3S # 4º P��. Ü � �Æ Q 0

�½ � �<RhS ��"� ��T��á��

...-2 -1 0 1 2 ... " � ¹@RhS ��"� ��L

��1

��3

�3- •·R1,3S

�2-

�1-

��2


94

Exercícios:

Representar os números complexos no plano cartesiano e identificar o quadrante ao qual pertence:

a) h2 � 3 + �4

b) h7 � �2 + �2

c) h1 � �3

d) h6 � 4

e)h} � �1 � �

f) h4 � 2 � �2

g) h� � ��4

h) h� � �2


95

FORMA POLAR:

Esta forma é a mais utilizada em cálculo de circuitos elétricos.

ï U 0 P R", ½S # 1º �� 2ºP��

g � � _ ï �� T�� ï Q 0 P R", ½S # 3º �� 4ºP��

�180° Q ï Q 180° �½ h h � " X �½

R ¹ � ¼"7 X ½7 Ãó��L� �� h

_ ï � ��T�� h

0 "

��ï � ½ ¹ µ ½ � ¹. ��ï , �Tï � ½

"

��ï � " ¹ µ " � ¹. ��" , ï � �� T ½

"

Forma trigonométrica: g � �R úÙø_ X fø´�_ S, ï é �� T�� . A fórmula de Euler ´f_ � úÙø_ X fø´�_ , possibilita a

Forma exponencial : g � �. ´f_

TRANSFORMAÇÃO DO Nº COMPLEXO

Retangular para as outras formas é preciso calcular a resultante R e o argumento _. g � Ñ X fÆ

" � 4 � ½ � 3 ô ¹ � √47 X 37 ô ¹ � 5 ï � �� T 34 ô ï � 36,9°

Forma Polar: h � 5 36,9°

Forma Exponencial: h � 5. ��3,72�

Forma Trigonométrica: h � 5. R ��36,9° X ��36,9°S

Polar para Retangular: é preciso calcular os valores de È � Ü e as demais formas é só substituir R e ï.

h � 2√2 45°

A Resultante ¹ � 2√2

O Argumento ï � 45° ou ï � �6

" � 2√2 ��45° µ " � 2√2 . √77 � R√2S7 � 2 µ " � 2

½ � 2√2 ��45° µ ½ � 2√2 . √77 � R√2S7 � 2 µ ½ � 2 Forma Retangular: h � 2 X �2


96

Exercícios:

1) Transforme os números complexos da forma Retangular para a forma Polar, após , represente-os no plano

cartesiano a forma ·�L�� R w�� ).

a) h � 3 + �3 e) h � �2 + �2

b) h � 3 � �4 f) h � �1 � �

c) h � 4 g) h � 2,6 � �1,5

d) h � ��5 h) h � 2 � �3


97

Conjugado de um Nº Complexo ( g¤):

Seja o nº complexo h � " + �½ , o seu conjugado é g¤ � È � fÜ

onde a parte real de h � h¤ são iguais e a parte imaginária são simétricas.

a) h � " + �½ ô h¤ � " � �½ forma Retangular

b) h � ¹ ï ô g¤ � ¹ � ï forma Polar

c) h � ¹. ��k ô g¤ � ¹. ��k forma Exponencial

d) h � ¹R ��ï + ��ï) ô g¤ � ¹R ��ï � ��ï) forma Trigonométrica

Exemplos: Dado os nºs complexos abaixo, determine o seu conjugado. jy

a) h � 3 + �2 ô h¤ � 3 � �2 j5,7 h � 8 45°

b) h � �4 � �6 ô h¤ � �4 + �6

c) h � 8 45° ô h¤ � 8 � 45° 0 � ï 5,7 " d) h � 6. �� ô h¤ � 6. �� 5,7 h¤ � 8 � 45°

e) h � 2√2 � �� 6 + ��

6� ô h¤ � 2√2 � �� 6 – ��

6�

OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS COMPLEXOS:

Adição e Subtração:

Sejam os números complexos g³ ´ g�

h2 � "2 + �½2 h7 � "7 + �½7

g³ + g� � RÈ³ + È�) + fRÜ³ + Ü�)

g³ � g� � RÈ³ � È�) + fRÜ³ � Ü�)

*A adição só é feita na forma Retangular o que se faz necessário a transformação do nº complexo para mesma.

Exemplo:

h2 � 3 + �2 h2 + h7 � R3 + 1) + �R2 � 3) � 4 � �

h7 � 1 � �3 h2 � h7 � R3 � 1) + �R2 � R�3)) � 2 + �5

h7 + h2 � R1 + 3) + �R�3 + 2) � 4 � �

h7 � h2 � R1 � 3) + �R�3 � 2) � �2 � �5

ï � 45°


98

Exercícios: Sejam os números complexos: g³, g�, gÆ, gÑ , abaixo, resolver as operações :

g³ � � + f� g� � �³ + fÆ gÆ � �� fÑ

gÑ � Ð 90°

a) h2 + h7 �

b) h2 � h7 �

c) h2 + h6 �

d) h6 � h2 �

e) h6 � h7 �

f) h2 � h2¤ �

g) h1 + h6 �

h) h6 � h1 �

Respostas: a) 1 + �5 b) 3 � � c) 2 + �8 d) �2 + �4

e) 1 + �3 f) �4 g) �2 + �2 h) 2 + �10


99

Multiplicação ou Produto de Números Complexos nas Formas:

1) Retangular: g³ . g� � R"2 + �½2) . R"7 + �½7) propriedade distributiva

� R È³ . È� � Ü³ . Ü�) + fR È³ . Ü� + È� . Ü³)

2) Polar: g³ . g� � ¹2 ï2 . ¹7 ï7

g³ . g� � �³. �� _³ + _�

3) Exponencial: h2 . h7 � ¹2��k� . ¹7��k� g³ . g� � �³. �� . ´ fR_³~_�)

4) Trigonométrica: h2 . h7 � ¹2 R �� ï2 + ��ï2) . ¹7(cosï7 + ��ï7)

g³ . g� � �³. ��úÙøR_³ + _�) + fø´�R_³ + _�)�

Exemplos: Resolver o produto dos números complexos abaixo:

h2 � 6 45°

h7 � 4 30°

h1 � 2 + �2

a) g³ . g� � �³. �� _³ + _�

h2 . h7 � 6 . 4 45° + 30°

� 24 75°

b) Temos que transformar o número complexo h1 para a forma Polar:

h1 � 2 + �2

¹1 � √27 + 27 � 2,83

ï � �� T Ó§ � �� T 7

7 � �� T1 ô ï � 45°

h1 � 2,83 45°

g³ . gÆ � �³. �Æ _³ + _Æ

h2 . h1 � 6 . 2,83 45° + 45°

� 17 90°


100

Exercícios: Resolver o produto de números complexos abaixo:

h2 � 2,83 � 45°

h7 � 2 60°

h1 � 6 � �2

a) h2 . h7 �

b) h1 . h7 �

c) h2 . h1 �

Respostas: a) 5,7 20° b) 12,6 41,6° c) 17,9 � 63,4


101

Divisão ou Quociente de Números Complexos nas Formas:

1) Retangular: g³ g� � §�~�Ó�

§�~�Ó� � §�~�Ó� §�~�Ó� . §��Ó�

§��Ó� � RÈ³ . È��Ü³ . Ü�) ~ fR È³. Ü� ~ È� . Ü³)RÈ�)�~ RÜ�)�

2) Polar: g³ g�

� l� k�

l� k�� ³ ��

_³ � _� ** Mais utilizada **

3) Exponencial: g³g�

� l�@mn� l�@mn� � �³��

. ´ fR_³�_�)

4) Trigonométrica: g³ g�

� l� R:;© k�~�©@Ak�) l�R456k�~�©@Ak�) � �³

�� úÙøR_³ � _�) + fø´�R _³ � _�) �

Exemplos: Resolver a divisão de números complexos:

h2 � 2,83 � 45°

h7 � 2 60°

h1 � 6 � �2 � 6,32 � 18,43°

a) o�

o�� l� l�

ï2 � ï7

� 7,�17 �45° � 60°

� 1,42 �105°

b) o�

o/� l� l/

ï2 � ï7

� 7 4,17 60° � R�18,43°)

� 0,32 �78,43°


102

Exercícios: Resolver a divisão de números complexos:

h2 � 6 45°

h7 � 4 30°

h1 � 2 + �2

a) o�

o��

b) o�

o/�

c) o�

o/�

Respostas: a) 1,5 15° b) 2,12 0° c) 1,41 �15


103

Logaritmo de um Número Complexo :

1) Retangular: L�h � L�R" + �½)

2) Polar: L�h � L�¹ ï

Æ) pqrp[`[`Z\o: ü�g � o[ R�. ´f_S é a mais usada para o cálculo de logaritmo de Z.

4S Trigonométrica: L�h � L�¹ (cosï X ��ïS

Exemplo: Calcular o logaritmo dos números complexos:

ü�g � o[ R�. ´f_S

h � 3 . ��02

L�h � ln �3. ��02� Aplicando a propriedade de logaritmo do produto

� L�3 X L��02

� 1,1 X � 02 . L��

� 1,1 + j 1,267 . 1

ü�g � ³, ³ X f³, Ï÷

Exercícios: Calcular o logaritmo dos números complexos:

a) h � 6 45°

'S h � 4 30°

Respostas: a) L�h � 1,8 X �0,8 b) L�h � 1,4 X �0,5


104

Raízes de Números Complexos:

√t� � √�� _ ~ 3 . ÆÐ¯°� As n raízes distintas do nº complexo faz-se k = 0,1,2,3...(n-1)

Se � � 2 ô 2 ��í�� ô ��'�� w�L�� Ä � 0,1. Se � � 3 ô 3 ��í�� ô ��'�� w�L�� Ä � 0,1,2.

Exemplo: Calcular as raízes do número complexo abaixo:

h � 8 60° �½

a) √h � ? � � 2 ⇒ 2 raízes ⇒ substituir os valores kkkk =0,1 =0,1 =0,1 =0,1 h7 h2

Ä = 0 ⇒ √8 43°~ 3 . 143°

7 ⇒ 2,8

43°

7 ⇒ 2,8 30° 0 "

Ä = 1 ⇒ √8 60° X 1 .360°

7 ⇒ 2,8

673°

7 ⇒ 2,8 120°

As raízes são: g³ = �, ù 30303030° e e e e g� = �, ù 120120120120°

Exercícios: Calcular as raízes dos números complexos abaixo:

a) √6 � �8 =

b) √6 30° =

Respostas: a) h2 = 3,2 26,6° b) h2 = 2,45 15°

h7 = 3,2 � 153,5° h7 = 2,45 � 157,5°


105

TRANSFORMAÇÃO DOS NÚMEROS COMPLEXOS UTILIZANDO A CALCULADORA

* Calculadora “Antiga” *

1) Forma Retangular Para Forma Polar: h � " X �½

Aperte È ± Û�* ± � � æ ± Ü ± � ± o número que aparece é o Módulo R ± È v Ü ± �v�� ï

2) Forma Polar Para Forma Retangular: h � ¹ ï°

Aperte � ± Û�* ± æ � � ± _ ± � ± �v�� º P�� é " ± È v Ü ± �v�� º P�� é ½

Exemplo: Transforme h � 3 X �4 na forma Polar e depois da Polar para Retangular.

Æ ± Û�* ± � � æ ± Ñ ± � �v�� º 5 P�� é � ¹ ± " v ½ �v�� 53,1 P�� é ï

Forma Polar : g � Ï ÏÆ, ³° Ï ± Û�* ± æ � � ± ÏÆ, ³ ± � �v�� º 3 ± " v ½ �v�� º 3,998 … ¡ 4

* CALCULADORA “ MODERNA” *

1) Forma Retangular Para Forma Polar: h � " X �½

POL ± È ± , ± Ü ± � �v�� º P�� é � �ó��L� ¹ ± ��K ± F aparece o ângulo ï

2) FORMA POLAR PARA A FORMA RETANGULAR : h � ¹ ï°

�wß�õ ± �û� ± � ± , ± _ ± � �v�� º P�� é � È ± ��K ± � �v�� º Ü


106

Exercícios:

Utilizando a calculadora, transforme os números complexos para a forma Retangular

a) h � 8. ��x�

b) h � 4 60°

c) h � 6 30°

d) h � 18R ��45° + ��45°)

e) h � 9 0°

f) h � 5 90°

g) h � 10R ��53,1° + ��53,1°)

Respostas: a) h � �8 b) h � 2 + �3,5 c) h � 5,2 + �3 d) h � 12,7 + �12,7

e) h � 9 f) h � �5 g) h � 6 + �8


107

MATRIZES E DETERMINANTES:

MATRIZ: É um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas dentro de colchetes ou parênteses.

ORDEM DA MATRIZ ( Ú x � ) : é o “produto” que informa o número de linhas e de colunas de uma matriz.

Ú � �º �� L��J��

� � �º �� L�� Lê-se matriz m por n

ELEMENTOS DA MATRIZ: Seja uma matriz M de ordem m x n e �Ûf representa o lugar definidos dos elementos

na matriz, onde � � L��J� � � � �L��, ou seja,

MATRIZ Ã � ��?��<yA

�22 �27 �21 …�72 �77 �71 …�12 �17 �11 …

�2A �7A �1A

ý ý ý ý �<2 �<7 �<1 … �<A � y �

Exemplo: Os elementos da matriz:

¸ � & 1 7 3 2'7y7 ô �22 � 1 �27 � 7 �72 � 3 �77 � 2

Exercícios: Determine os elementos das matrizes abaixo:

Ã � z 2 �3 7�1 0 4 6 5 1

{1y1

ô �22 � �72 � �12 ��72 � �77 � �71 ��12 � �17 � �11 �

î � � 4 2 9 � 2y1 ô �22 � �27 � �21 � R Ã�� J� )

Õ ��1 5

7 1y2 ô �22 � �72 � �12 � R Ã�� Õ�L�� )

ë � � 5 � 2y2 ô �22 �

Ã �


108

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES: As matrizes devem ter a mesma ordem.

¸ � 1 5�4 0 ¸ + î � 1 + 9 5 + 15

�4 + 10 0 � 6 � 10 206 �6

î � 9 1510 �6 ¸ � î � 1 � 9 5 � 15

�4 � 10 0 � R�6) � �8 �10�14 6

DETERMINANTES:

Seja a matriz Ã � �22 �27�72 �77 7y7

Determinante é o número associado a uma matriz quadrada de ordem n , nº linhas = nº colunas representado

por duas barras verticais .

O determinante da matriz Ã é o produto dos elementos da diagonal Principal menos o produto dos elementos da

diagonal Secundária.

det Ã � �22 �27�72 �77 � �22 . �77 � �27 . �72

Exemplo: Calcular o determinante das matrizes abaixo:

Diagonal |aZ[`Zr\o � Diagonal Y``}[^áaZ\ ¸ � 2 �5

1 3 ô det ¸ � 2 �51 3 � R 2 . 3 ) � V 1 . R�5 )W � 6 X 5 � 11

î � �1 00 7 ô det î �

�1 00 7 � VR�1S. 7 W � R0 .0 S � �7

Õ � ��5 � ô det Õ � |�5 | � �5 Exercícios: Calcular o determinante das matrizes abaixo: Resposta:

a) det ¸ � c 4 �8

1 3c det ¸ � 20

b) det Ã � c�1 6

3 0 c detM � �18

Diagonal Secundária Diagonal Principal

R Diagonal |aZ[`Zr\o � Diagonal Y``}[^áaZ\ )


109

�û��ö Øû �ö��J� Serve para resolver determinantes de matrizes de ordem . Seja a matriz Ã � �1 2 5

5 1 4 3 1 �1 3 y 3 MMMMétodo para calcular o determinante deétodo para calcular o determinante deétodo para calcular o determinante deétodo para calcular o determinante de �.... 1º passo1º passo1º passo1º passo : Escreva as três colunas da matriz dada e, em seguida , repita as duas primeira coluna . 2º passo : Multiplique os elementos da diagonal principal e os elementos das duas diagonais paralelas à principal,

somando os resultados.

det Ã � �1 2 5 5 1 4 3 1 �1 �1 25 13 1

3º passo: Multiplique os elementos da diagonal secundária e os elementos das duas diagonais paralelas à

diagonal secundária, somando os resultados.

det Ã � �1 2 5 5 1 4 3 1 �1 �1 25 13 1

4º passo: Subtrair o número encontrado no 2º passo com o número do 3º passo,

^`b � � |aZ[`Zr\o � Diagonal Y``}[^áaZ\ det Ã � 50 � 1

det Ã � 49

Exemplo: Calcule os determinantes abaixo:

a) ��¸ � �1 �1 50 4 11 3 1

�

20 X 3 � 0 ^`b � � R |aZ[`Zr\oS � R Diagonal Y``}[^áaZ\ S ��¸ � �1 �1 5

0 4 11 3 1

� �1 �10 41 3 � det A � R4 � 1 X 0S � R20 X 3 � 0S 4 � 1 X 0 det A � 3 � 23

^`b � � �¯

1 + 24 + 25 = 50

15 + (- 4) + ( - 10) = 1


110

Exercícios: Calcule os determinantes abaixo: Resposta:

a) ¸ � 1 0 32 �1 40 2 1

��¸ � 3

b) î � 1 2 10 4 20 0 5

��î � 20

c) Õ � 1 2 03 2 1

�1 1 5 ��Õ � �23

d) Ã � 1 �5 03 1 21 �5 0

��Ã � 0

e) � � ��" � ��" ��" ��" �� 1


111

MATRIZES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Seja um sistema de n equações com È� incógnitas

�22"2 + �27"7 … … … . +�2A"A � '2

�72"2 + �77"7 … … … . +�7A"A � '7 Este Sistema pode ser escrito na forma de Matriz

ý ý ý ý �A2"2 + �A7"7 … … … . +�AA"A � 'A

�22 �27 �21 …�72 �77 �71 …�12 �17 �11 …

�2A �7A �1A

"2"7"1

'2'7'1

ý ý ý ý . ý � ý �<2 �<7 �<1 … �<A � y � "A � y 1 'A � y 1

Coeficientes das incógnitas incógnitas termos independentes

Exemplo:

O sistema de duas equações e duas incógnitas pode ser escrito na forma de matriz:

a) �2" + 3½ � 6" + 4½ � 2 � �2 3

1 4 � . �"½� � �6

2�

Matriz dos coeficientes Matriz das Matriz dos

das incógnitas . incógnitas = termos independentes

b) � 3" + 4" � � � 84" + 5½ + 2� � 20

" � 2½ + 3� � 6�

�3 4 �14 5 21 �2 3

� . �"½�� = � 8

20 6

�


112

REGRA DE CRAMER

Regra de Cramer muito prático para cálculo de sistemas de equações com três ou mais de incógnitas.

Para encontrar os valores das incógnitas de um sistema de equações vamos transformar esse sistema de equações em um sistema de matrizes. Sistema de equações: Coeficientes das incógnitas . incógnitas = termos independentes

��" + '½ � v " + �½ � P� �� '

�� . �"½� � �v

P�

ë � � ' � Matriz incompleta : é o determinante D = determinante dos coeficientes das incógnitas :

ë ( 0 coluna dos coeficientes da incógnita È e coluna dos coeficientes da incógnita Ü.

ë" � v 'P � a coluna dos coeficientes de È foi substituida pela coluna dos termos independentes.

ë½ � � v P a coluna dos coeficientes da incógnita Ü foi substituída pela coluna dos termos independentes.

" � �§� ½ � �Ó

�

Exemplo: Resolver o sistema de equações:

� 3" + 4" � � � 84" + 5½ + 2� � 20

" � 2½ + 3� � 6�

ë � �3 4 �14 5 21 �2 3

� � R 45 + 8 + 8 ) � R �5 � 12 + 48 ) � 61 � 31 � 30

ë" � � 8 4 �120 5 26 �2 3

� � R 120 + 48 + 40 ) � R �30 � 32 + 240 ) � 208 � 178 � 30 ô " � �§� � 13

13 � 1

ë½ � � 3 8 �14 20 21 6 3

� � R 180 + 16 � 24 ) � R �20 + 36 + 96 ) � 172 � 112 � 60 ô ½ � �Ó� � 43

13 � 2

ë� � � 3 4 84 5 201 �2 6

� � R 90 + 80 � 64 ) � R 40 � 120 + 96 ) � 106 � 16 � 90 ô � � �U� � �3

13 � 3

Resposta: ç � � R 1,2,3) �

" ½


113

Exercícios: Resolver os sistemas de equações abaixo:

a) � " + 2½ + � � 32" + 3½ � � � 0�" � ½ + 5� � 1

�

b)�" � 3½ + � � �14" � ½ + 2� � 1�" + 6½ + � � 0

�

c)��" + 2½ + 3� � 0 " + 3½ � � � 12" � ½ + 4� � �2

�

Respostas: a) S = { ( � 1�1 , 8 , � 7

1 ) } b) S = { ( 73 17 ,

�17 , � 7�

17 ) � c) S = { (� 2266 ,

1444 ,� 21

66 ) }

2844752 Calculo Diferencial e Integral I

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