2979405 Apostila Fisica Moderna I

NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA

Prof. Carlos R. A. Lima

CAPÍTULO 1

TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL

Primeira Edição – junho de 2005

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CAPÍTULO 1 – TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL

ÍNDICE 1.1- Introdução 1.2- Transformações de Galileu 1.3- Relatividade Newtoniana 1.4- Eletromagnetismo e Relatividade Newtoniana 1.5- Experiência de Michelson - Morley 1.6- Tentativas para se “Salvar o Éter” 1.6.1- Hipótese da Contração de Lorentz - Fitzgerald 1.6.2- Hipótese do Arrastamento do Éter 1.7- Postulados da Teoria da Relatividade Especial 1.8- Cinemática Relativística 1.8.1- Sincronização e Simultaneidade 1.8.2- Transformações de Lorentz 1.8.3- Transformação de Velocidades 1.8.4- Efeito Doppler na Relatividade 1.8.6- Diagramas Espaço – Tempo 1.8.6- Intervalo no Espaço – Tempo 1.8.7- Paradoxo dos Gêmeos 1.9- Dinâmica Relativística 1.9.1- Momento Relativístico 1.9.2- Energia Relativística 1.9.3- Transformações do Momento, Energia, Massa e Força. 1.9.3- Invariância da Energia de Repouso 1.9.4- Partículas sem Massa Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 6 aulas de quatro créditos.

Lista de Exercícios 1- A vida média própria dos píons é . Se um feixe de píons tiver a velocidade de ′ = × −τ 2 6 10 8. sv c= 0 85. , (a) qual seria o respectivo tempo de vida média τ medido no laboratório? (b) Qual a distância L que os píons percorreriam, em média, antes de decaírem? (c) Qual seria a sua resposta à indagação da parte (b) se você não levasse em conta a dilatação dos tempos? Resp.: (a)

, (b) τ = × −4 94 10 8. s L m= 12 6. , (c) ′ =L m6 63. . 2- Uma nave espacial parte da terra em direção à alfa do Centauro, que está a 4 anos-luz de distância. A nave espacial desloca-se com a velocidade v c= 0 75. . Quanto tempo leva a nave para chegar ao seu destino (a) no referencial da terra? (b) no referencial de um passageiro da nave? Resp. (a)∆t anos= 5 33. , (b) ∆ ′ =t anos3 53. 3- Qual deve ser a velocidade v de um múon para que a sua vida média seja τ µ= 46 s , sabendo-se que a vida média em repouso é ′ =τ µ2 s ? Resp. v c= 0 9991. 4- Qual deve ser a velocidade de uma vara de um metro, no referencial de um observador, para que o seu comprimento, medido pelo observador, seja , quando a vara se move na direção do próprio eixo? Resp.:

50cm2 6 108. /× m s .

5- Observadores num referencial S vêm uma explosão localizada em . Uma segunda explosão ocorre

x1 480= m∆t s= 5µ depois, em x2 1200m= . Num referencial S', que se move sobre o eixo dos

+x , com velocidade v para a direita, um observador nota que as explosões ocorrem num mesmo ponto do espaço. Evidentemente, para ele é o referencial S que se move para a esquerda com uma velocidade −v como mostra a figura abaixo. Qual a separação, no tempo ∆ ′t , entre as duas explosões, no referencial S'? Resp.: ∆ ′ =t s4 39. µ .

6- Os aviões supersônicos a jato têm velocidades máximas da ordem de 3 10 6× − c . (a) Qual a contração percentual do comprimento ∆L% de um jato que estiver com esta velocidade, visto num referencial ligado à terra? (b) Durante um intervalo de tempo de1 315 107ano s= ×. , marcado num relógio na terra,, quantos minutos ∆ ∆ ∆T t t= − ′ perde o relógio do piloto em cada ano do relógio da terra? (Sugestão:

Defina contração percentual relativa como ∆L L LL

% =′ −′

FHG

IKJ ×100 , e observe que nesse caso v c<<

e portanto, 1 1 1 1

2

2

2

1 2 2

2γ= −FHGIKJ ≅ −

vc

vc

/

). Resp.: (a) , (b) ∆L% . %= × −4 5 10 10 ∆T = × −2 37 10 6. min

′S

S

−vx m2 1200=

−v

′S

x m1 480=

S

112

7- Um relógio está num satélite em órbita terrestre, com um período de T = 90min .Considerando o

raio da Terra e a velocidade do satélite RT = ×6 37 106. m vT

RT=2π

, qual é o intervalo de período ∆T

que mede a diferença entre a leitura deste relógio e a de um outro, idêntico a ele, que ficou na Terra, depois de um intervalo de tempo ∆t ano s= = ×1 316 107. ? .(Sugestão: Observe que nesse caso

e portanto, v << c 1 1 1 12

2

2

1 2 2

2γ= −FHGIKJ ≅ −

vc

vc

/

). Resp.: ∆T ms≈ 9 64. .

8- Uma estudante, na Terra, ouve num rádio uma gravação que parece estar sendo tocada num disco que gira muito depressa. A gravação é de um disco que sendo tocado por uma emissora de uma nave espacial, que se aproxima da terra com a velocidade v . Tendo um disco de 33 rpm, da mesma gravação, a estudante observa que o som é o mesmo que o do seu disco tocado a 78 rpm, isto é, a razão entre a freqüência de aproximação ν ap e a freqüência emitida ′ν é dada por 78 33 . Qual deve será a velocidade da nave? Resp.: v c= 0 696. . 9- Uma galáxia distante se afasta da Terra com a velocidade v m s= ×185 107. / . Calcular o

deslocamento relativo para o vermelho λ λ

λaf − ′

′d i

na luz proveniente da galáxia. Resp.: . 0 0637.

10- A luz do sódio, de comprimento de onda ′ =λ 589nm , está sendo emitida por uma fonte que se afasta da terra com a velocidade v . Qual deve ser o valor desta velocidade, se o comprimento de onda medido no referencial da terra é λ af nm= 620 . Resp.: v c= 0 0512. . 11- Um amigo seu, que tem a mesma idade, viaja para a alfa do centauro, que está a

de distância, e retorna imediatamente. Ao voltar seu amigo assegura que a viagem toda durou exatamente ′ = =L anos luz c anos4 4. .

∆t anos= 6 . Qual a velocidade v com que viajou? (Sugestão: Note que para o seu amigo é a terra que se move como velocidade −v ). Resp.: v c= 0 8. . 12- Uma nave espacial desloca-se da terra para um sistema estelar à distância de ′ =L c anos12 . (medida no referencial da terra). A viagem leva um tempo ∆t anos= 15 , no referencial da nave. (a) Qual a velocidade v da nave em relação à terra? (b) Quando a nave chega ao seu destino, envia um sinal para a terra. Quantos anos se passam até que a terra receba este sinal? (Sugestão: Note também aqui que para a nave é a terra que se move como velocidade −v , e considere a duração da viagem da nave no referencial da terra no cálculo do tempo total para o sinal chegar a terra). Resp.: (a) v c= 0 625. , (b) T t anos anos= ′ + =∆ 12 31 2. . 13- Duas naves espaciais estão se aproximando uma da outra. (a) Se a velocidade de cada uma delas for 0,6c, em relação à Terra, qual é a velocidade de uma em relação à outra? (b) Se a velocidade de cada uma delas em relação à Terra for 30.000 m/s (cerca de 100 vezes a velocidade do som), qual a velocidade de uma em relação à outra? Resp.: (a) u cx = −0 882, , (b) . u mx ≈ − − × −60000 6 10 4 / s 14- Uma vara, de comprimento próprio , faz o ângulo Lp θ com o eixo dos x , num referencial S como

mostra a figura abaixo. Mostrar que o angulo ′θ que a vara faz com o eixo dos ′x num outro referencial ′S , que se move com a velocidade v sobre o eixo dos x em S , é dado por tg tg′ =θ γ θ e que o

comprimento da vara, em ′S é , ′ = +L L senp

12

2 2

γθ θcos .

113

′Lv ′ =y y

′x

′θLp

x

θ

y

′SS

15- A equação da frente de onda esférica de um pulso de luz que principia na origem, no instante t = 0 é x2 + y2 + z2 - (ct)2 = 0. Usando a transformação de Lorentz, mostrar que este pulso de luz também tem uma frente de onda esférica no referencial S' pois, neste referencial, x'2 + y’2 + z’2 - (ct’)2 = 0. 16- Dois eventos em S estão separados pela distancia D = x2 – x1 e pelo intervalo de tempo T = t2 – t1. (a)Usar a transformação de Lorentz pare mostrar que no referencial S', que se move com a velocidade V

em S, a separação no tempo é t t T vDc2 1 2

′ − ′ = −FHGIKJγ . (b) Mostrar que os eventos podem ser simultâneos

no referencial S' somente se D for maior que cT. (c) Se um dos eventos for a causa do outro, a separação D deve ser menor que cT pois D/c é o menor tempo que um sinal leva para percorrer a distancia entre x1 e x2 no referencial S. Mostrar que se D for menor que cT, então t'2 é maior que t'1 em todos os reverenciais. Isto mostra que se uma causa precede o seu efeito, num certo referencial, a mesma causa precederá o seu efeito em todos os outros reverenciais. (d) Suponhamos que um sinal pudesse ser enviado com velocidade c'> c, de modo que no referencial S a causa precedesse o efeito pelo tempo T = D/c'. Mostrar que há então um referencial que se move com a velocidade v menor que c no qual o efeito precede a causa. 17- Um amigo da sua idade viaja para Alfa do Centauro, a 4 anos-luz de distância, e volta imediatamente. Ele afirma que a viagem durou apenas 6 anos. (a) Com que velocidade seu amigo viajou? (b) Qual a diferença de idade entre vocês dois quando voltaram a se encontrar? (c) Desenhe um diagrama espaço - tempo para confirmar as respostas dos itens (a) e (b). 18- No referencial S, o evento B ocorre 2µs depois do evento A e a uma distância ∆x km= 15, deste evento. (a) Qual deve ser a velocidade de um observador no sentido positivo do eixo x para que os dois eventos ocorram simultaneamente? (b) É possível que o evento B preceda o evento A para algum observador? (c) Desenhe um diagrama espaço – tempo que ilustre as respostas aos itens (a) e (b). (d) Determine o valor do intervalo no espaço – tempo e a distância própria entre os eventos. 19- Os referenciais S e S´ estão se movendo com os eixos x e x´ paralelos. Seus relógios são ajustados para no momento em que as origens dos dois referenciais coincidem .No referencial S, o evento 1 ocorre em e t

t t= ′ = 0x ano luz1 1= − ano1 1= e o evento 2 ocorre em x anos lu2 2 z= − e t anos2 0 5= , .

Estes eventos ocorrem simultaneamente no referencial S´. (a) Mostre esses eventos num diagrama espaço - tempo (b) Determine o módulo e direção da velocidade em S´ em relação a S. (c) Em que instante estes eventos ocorrem no referencial S´? (d) Calcule o intervalo no espaço – tempo ∆s entre os eventos. (e) O intervalo é do tipo espacial, temporal ou luminoso? (f) Qual é a distância própria entre os eventos?

Lp

20- Um elétron, com a energia em repouso 0,511 MeV, move-se com a velocidade u = 0,2c. Achar a energia total, a energia cinética e o momento. Resp.: (a) E MeV= 0 522, , (b) K Mev= 0 0105, , (c)

. p Mev= 0 104, / c

114

21- Um próton, com a energia em repouso de 938 MeV, tem a energia total 1400 MeV. (a) Qual a sua velocidade? (b) Qual o seu momento? Resp.: (a) u c= 0 74, , (b) p Mev c= 1034 / . 22- Qual a energia cinética K que seria necessária para acelerar uma partícula de massa m0 desde o repouso até a velocidade de (a) 0,5c (b) 0,9c e (c) 0,99c? Exprimir as respostas como múltiplos da energia de repouso. Resp.: (a) , (b) K E= 0 155 0, K E= 1 294 0, , (c) K E= 6 089 0, . 23- Se a energia cinética K de uma partícula for igual à sua energia de repouso Eo , qual o erro que se comete em usar como o seu momento? Resp.: p p m v= =0 0 erro = 50% .

24- Qual o erro percentual que se comete tomando-se 12 0

2m v como a energia cinética de uma partícula

quando a sua velocidade for (a) v c= 0 1, e (b) v c= 0 9, . Resp.: (a) erro = 0 751%, , (b) erro = 68 7%, . 25- O sol irradia energia à taxa de P=4×1026 W, aproximadamente. Vamos admitir que esta energia seja originada por uma reação nuclear cujo resultado é a fusão de 4 núcleos de H para formar um núcleo de He, com a libertação de de energia por núcleo de He formado. Calcular o número

E MeV01225 4 10= = × − J

N E E P t E= =∆ ∆0 0 de reações nucleares e a perda da massa em repouso ∆M Nm0 0= , ocorridas no sol durante um dia, ou . ∆t s= ×8 64 104, 26- Uma partícula, que tem a massa em repouso de 1 MeV/c2 e energia cinética 2 MeV, colide com uma partícula estacionária de massa em repouso de 2 MeV/c2. Depois da colisão, as partículas ficam reunidas. Achar (a) a velocidade da primeira partícula antes da colisão, (b) a energia total da primeira partícula antes da colisão, (c) o momento total inicial do sistema, (d) a energia cinética total depois da colisão e (e) a massa em repouso do sistema depois da colisão. Resp.: (a) , (b) u c1 0 943= , E MeV1 3= , (c) , (d) , (e) p MeV1 2 83= , / c eVM c MeV0

2 4 12= , K Mf = 0 88, . 27- O raio da órbita de uma partícula carregada, num campo magnético, está relacionado com o momento da partícula por p BqR= . Esta equação vale classicamente com p mu= e relativisticamente

com p m uu c

=−

02 21

. Um elétron com a energia cinética K MeV= 1 50, , se desloca sobre uma órbita

circular perpendicular a um campo magnético uniforme B T= × −5 10 3 . (a) Achar o raio da órbita. (b) Qual o resultado que se obteria se fosse usada a relação clássica p mu= e K p m= 2 2 ? Considere nos cálculos , para a carga do elétron, para a massa do elétron e

para a energia de repouso do elétron. Resp.: e = × −1 6 10 19, C Kg

eVme = × −91 10 31.

E M0 0 511= . R m= 1 3, , (b) R m= 0 826, .

115



CAPÍTULO 2

RADIAÇÃO TÉRMICA E CORPO NEGRO


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CAPÍTULO 2 – RADIAÇÃO TÉRMICA E CORPO NEGRO

ÍNDICE 2.1- Introdução 2.2- Corpo Negro 2.3- Teoria Clássica da Radiação de Cavidade de Rayleigh - Jeans 2.4- Teoria de Planck da Radiação de Cavidade Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 4 aulas de quatro créditos.

Lista de Exercícios 1- Um corpo negro tem que ser necessariamente negro? Explique o termo corpo negro. 2- Um pedaço de metal brilha com uma cor avermelhada a 1100 K. Entretanto, nessa mesma temperatura, um pedaço de quartzo não brilha. Explique este fato sabendo-se que, ao contrário do metal, o quartzo é transparente à luz visível. 3- Uma das primeiras tentativas de se explicar a distribuição espectral de um corpo negro foi feita por Rayleigh – Jeans, a partir de conceitos clássicos da termodinâmica. Em que região do espectro eletromagnético a lei de Rayleigh – Jeans não se verifica, e que fato ficou conhecido como catástrofe do ultravioleta? 4- Na tentativa de explicar os resultados experimentais observados no espectro de um corpo negro, Planck concluiu que o problema estava principalmente num conceito clássico da termodinâmica. Qual seria esse conceito, e que alteração foi sugerida por Planck ? Essa alteração invalida conceitos clássicos da termodinâmica, ou redefine esses conceitos de modo a incluir os casos clássicos como particulares? Explique. 5- Em muitos sistemas clássicos as freqüências possíveis são quantizadas, tal como por exemplo a propagação de ondas sonoras num tubo ressonante. Nestes casos, a energia também é quantizada? Explique. 6- Em que comprimento de onda um radiador de cavidade a 6000 K irradia mais por unidade de comprimento de onda? Resp.: 4830 Ao. 7- Um radiador de cavidade a 6000 K tem um orifício de 0,10 mm de diâmetro feito em sua parede. Ache a potência irradiada através do orifício no intervalo de comprimentos de onda entre 5500 Ao a 5510 Ao. Resp.: 7,53 W. 8- Em uma explosão termonuclear, a temperatura no centro da explosão é momentaneamente 107 K . Ache o comprimento de onda para o qual a radiação emitida é máxima. 9- A uma dada temperatura, para uma cavidade de corpo negro. Qual será λmax = 6500Ao

λmax se a taxa de emissão de radiação espectral for duplicada? 10- Faça uma estimativa para encontrar o comprimento de onda em que corpo humano emite sua radiação térmica máxima?

11- Utilizando a relação P ekT

kT

εε

a f =−

mostre que ε ε ε ε= =∞z P d kTa f0

.

12- Quando o sol está no zênite, a energia térmica incidente sobre a superfície da terra é cerca de 1 4 . O diâmetro do sol é da ordem de 1 6 e a distância da terra ao sol é de aproximadamente 1 3 . Supondo que o sol irradie como um corpo negro, use a equação de Rayleigh-Jeans para estimar a temperatura na sua superfície.

106, /× ergs cm s2 1011, × cm1013, × cm

33

13- Na determinação clássica da energia média total de cada modo da radiação no interior de uma cavidade ressonante, adotou-se a lei da equipartição da energia. De acordo com essa lei, moléculas de um gás que se movem em equilíbrio térmico a uma temperatura T , a energia

cinética média por grau de liberdade da molécula é 12

kT . Essa lei poderia ser aplicada ao

problema do corpo negro desde que se adotasse um modelo mecânico de oscilador harmônico para as partículas que compõe as paredes da cavidade, como se fossem pequenos sistemas massa – molas, de modo que a energia potencial também deveria se incluída na determinação da energia total. A vibração dessas partículas, por conseqüência da temperatura, daria origem as vibrações dos campos elétricos associados as ondas eletromagnéticas transversais. Baseado nesse modelo mecânico, conclui-se que a energia média total por grau de liberdade deveria ser , isto é, o dobro da energia cinética média que se esperaria para cada partícula oscilante. Considerando-se que a energia total de um oscilador harmônico simples é

kT

12

12

2mv kx+ 2

K m

, onde é a constante elástica da mola, é a massa da partícula, sua

velocidade e sua posição em cada instante de tempo, mostre que essa energia total é o dobro da energia cinética média.

k m v

x x t= 0 cosω

14- Obtenha a lei do deslocamento de Wien, λ , a partir da função

distribuição espectral de um corpo negro obtida por Planck

máxT = × ×−2 898 10 3,

ρ λπλ λT hc kT

hce

b g =−

8 115 . (Sugestão:

faça a substituição de variável x hckT

=λ

, e reescreva a função distribuição na forma

ρ λπ

TkT

h cg xb g b g b g=

2 5

4 3 , onde g x xexb g =−

5

1 descreve a forma universal do espectro de um corpo

negro para qualquer temperatura. Encontre o valor para o qual a função é máxima,

derivando-a em relação a

xmáx g xb gx e igualando a zero. Use esse valor na equação x hc

kTmáxmáx

=λ

e

obtenha o resultado procurado). 15- Suponha que a radiação de uma cavidade de corpo negro a 5000K está sendo examinada através de um filtro passa banda de ∆λ = 2nm centrado no comprimento de onda λmáx , do pico do espectro. Se o orifício da cavidade é um círculo de raio r cm= 1 , encontre a potência P transmitida pelo filtro. (Sugestão: Usualmente, a potência irradiada seria calculada por

R RT Tnm

nm

= dz λ λb g579

581

multiplicada pela área do orifício. Entretanto, ∆λ é pequeno o suficiente para

permitir uma aproximação do tipo , em que R RT = ≈área abaixo da curva λb g∆λT máx λmáx pode ser calculado utilizando-se a lei do deslocamento de Wien). Resp.: P W≈ 25 3, .

34



CAPÍTULO 3

PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO


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CAPÍTULO 3 – PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO

ÍNDICE 3.1- Efeito Fotoelétrico 3.2- Efeito Compton 3.3- Natureza Dual da Radiação 3.4- Produção de Raios X 3.5- Produção e Aniquilação de Pares Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 4 aulas de quatro créditos.

Lista de Exercícios 1- Nas experiências do efeito fotoelétrico, a fotocorrente é proporcional à intensidade da luz. Esse resultado isolado pode ser usado para distinguir as teorias quântica e clássica? Explique. 2- Por que mesmo para radiações incidente monocromáticas os fotoelétrons são emitidos com diferentes velocidades? 3- O limiar fotoelétrico é considerado como sendo a objeção mais evidente da teoria ondulatória. Explique essa afirmativa. 4- (a) A energia necessária para que um elétron seja removido do sódio é 2 3. eV . Pode-se observar o efeito fotoelétrico no sódio utilizando-se radiação de comprimento de onda ? (b) Qual é o comprimento de onda limiar para a emissão fotoelétrica do sódio? Resp.: (b) 5400

λ = 5890Ao

Ao . 5- Radiação de comprimento de onda 2000Ao incide sobre uma superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários para remover um elétron. Qual é a energia cinética do fotoelétron emitido (a) mais rápido e (b) mais lento? (c) Qual é o potencial frenador? (d) Qual o comprimento de onda limiar para o alumínio? (e) Se a intensidade da luz incidente é

4 2. eV

2 0 2. /W m , qual é o número médio de fótons por unidade de tempo e por unidade de área que atinge a superfície? 6- A função trabalho para uma superfície de Lítio é 2 3. eV . Faça um esboço do gráfico do potencial frenador

em função da freqüência da luz incidente para uma tal superfície, indicando suas características importantes. V0

7- O potencial frenador para fotoelétrons emitidos por uma superfície atingida por luz de comprimento de onda é λ = 4910Ao 0 71. V . Quando se muda o comprimento de onda da radiação incidente, encontra-se para este potencial um valor de 1 43. V . Qual é o novo comprimento de onda? 8- Numa experiência fotoelétrica na qual se usa luz monocromática e um fotocatodo de sódio, encontra-se um potencial frenador de 185. V para , e de λ = 3000Ao 0 82. V para . Destes dados, determine (a) o valor da constante de Planck, (b) a função trabalho do sódio, e (c) o comprimento de onda limiar para o sódio? Resp.: (a) 6 6

λ = 4000Ao

10 34. × ×− J s , (b) 2 3. eV , (c) 5400Ao . 9- Considere uma incidência de luz sobre uma placa fotográfica. A luz será “gravada” se houver uma dissociação de moléculas de AgBr da placa. A energia mínima necessária para dissociar essas moléculas é da ordem de 10 19− J . Calcule o comprimento de onda limiar, acima do qual a luz não vai sensibilizar a placa fotográfica. 10- (a) É mais fácil observar o efeito Compton com alvos compostos de átomos com número atômico alto ou baixo? Explique. (b) O efeito Compton pode ser observado com luz visível? Explique. (c) Discuta o espalhamento Thomson, comparando-o com o espalhamento Compton. 11- Fótons de comprimento de onda incidem sobre elétrons livres. (a) Ache o comprimento de onda de um fóton espalhado de um ângulo de em relação à direção de incidência e a energia cinética transmitida ao elétron. Resp.: (a)

λ = 0 024. Ao

30o

0 027. Ao , 0 057. MeV , (b) 0 060. Ao , 0 31. MeV . 12- Um fóton de energia inicial 1 0 que se move no sentido positivo do eixo x, incide sobre um elétron livre em repouso. O fóton é espalhado de um ângulo de , dirigindo-se no sentido positivo do eixo y. Ache as componentes do momento do elétron.

105. × eV90o

33

13- Qual é a energia cinética máxima possível de um elétron envolvido no processo Compton em termos da energia do fóton incidente hν e da energia de repouso do elétron ? m co

2

14- Determine a variação máxima do comprimento de onda no espalhamento Compton de fótons por prótons. Resp.: 2 64 10 5. × − Ao . 15- Pensando nas energias dos elétrons num tubo de televisão, você esperaria que esse eletrodoméstico poderia emitir raios X? Explique. 16- Quais efeitos que se tem sobre o espectro resultante quando se diminui a voltagem num tubo de raios X? 17- Discuta o processo de bremsstrahlung como sendo o inverso do efeito Compton e do efeito fotoelétrico. 18- (a) Mostre que o comprimento de onda mínimo no espectro contínuo de raios X é dado por λmin .= 12 4 A Vo , onde V é a voltagem aplicada em quilovolts. (b) Se a voltagem aplicada a um tubo de

raios X é 186 kV, qual deve ser o valor de λmin ? 19- (a) Qual a voltagem mínima que deve ser aplicada a um tubo de raios X para que seja produzido raios X com o comprimento de onda Compton do elétron? E com o comprimento de onda de 1Ao ? (b) Qual é a voltagem mínima necessária para que a radiação de bremsstrahlung resultante seja capaz de produzir um par? 20- Um raio γ de comprimento de onda incide sobre um elétron inicialmente em repouso e é retro espalhado. Calcule o comprimento de onda do raio

0 005. nmγ espalhado e a energia cinética , em keV , do elétron

recuado. 21- Um raio γ de comprimento de onda incide sobre um elétron inicialmente em repouso. O elétron é recuado com energia cinética de 60 . Calcule a energia do raio

0 0062. nmkeV γ espalhado, em keV , e

determine a direção de espalhamento. Resp.: 140keV , 95 . 0

22- Um raio γ cria um par elétron - pósitron. Mostre diretamente que, sem a presença de um terceiro corpo para absorver uma parte do momento, a energia e o momento e o momento não podem conservar simultaneamente. (Sugestão: Iguale as energias e mostre que isto implica em momentos diferentes antes e depois da interação). 23- Um raio γ pode produzir um par elétron - pósitron na vizinhança de um elétron em repouso, da mesma maneira que na vizinhança de um núcleo, como representado abaixo:

γ + → + +− − −e e e e+

Mostre que nesse caso a energia mínima é 4 . (Sugestão: Suponha que as três partículas se afastam

juntas e determine a energia mínima do fóton 0

2m cε ν= h min para que o processo possa ocorrer. Use as leis da

conservação do momento linear e da energia, para mostrar que v cm c

=+ε

ε 02 , ou 1 22

20

202 4

02 2− =

+

+

vc

m c m cm c

εεc h

. Substitua esses resultados na equação resultante da conservação do momento e mostre que

ε ν= =−

=h m c m c m cmin

92

402

02

02 ).

34



CAPÍTULO 4

MODELOS ATÔMICOS


CAPÍTULO 4 – MODELOS ATÔMICOS

ÍNDICE 4.1- Modelo de Thomson 4.2- Modelo de Rutherford 4.2.1- Trajetória da Partícula α Espalhada 4.2.2- Cálculo Estatístico do Espalhamento de Partículas α 4.2.3- Cálculo da Seção de Choque de Espalhamento 4.3- Espectro Atômico 4.4- Modelo de Bohr 4.5- Experimento de Franck e Hertz 4.6- Integral de Ação e Regras da Quantização 4.7- Modelo de Sommerfeld Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 5 aulas de quatro créditos. 2

Lista de Exercícios

64

m1- O modelo de Thomson para o átomo de hidrogênio prevê um freqüência única de oscilação para o elétron. Considerando o raio do átomo de hidrogênio como sendo R n= 0 05, , calcule o comprimento de onda da radiação emitida por esse átomo. 2- Qual deve ser o raio de um átomo de um elétron, no modelo de Thomson, para que ele irradie um linha espectral de comprimento de onda λ = 600nm ? 3- Por que é necessário considerar uma folha fina em experiências que visam verificar a fórmula do espalhamento de Rutherford? 4- Compare a atração gravitacional entre um elétron e um próton no estado fundamental de um átomo de hidrogênio com a atração coulombiana entre eles. É razoável ignorar a atração gravitacional nesses casos? Resp.: F Fgrav elet ≈

−10 40 . 5- A fórmula do espalhamento de Rutherford não está de acordo para ângulos de espalhamento muito pequenos. Explique o motivo disso.

6- Em que a relação 1 1

212r b

sen Db

= +ϕ ϕcosa f− , que dá a trajetória de uma partícula que se move sob

ação de uma força coulombiana repulsiva proporcional ao inverso do quadrado da distância , difere da dedução da trajetória de um planeta que se move sob influência do campo gravitacional do sol? 7- Qual é a distância de maior aproximação de uma partícula α com 5 30, MeV a um núcleo de cobre em uma colisão frontal? Resp.: 15 . 8 10 15, × − m 8- Um feixe de partículas α de energia 3MeV bombardeia uma lâmina de alumínio. Determine a distância D de menor aproximação ao núcleo do átomo de alumínio associada a uma colisão frontal e o número de núcleos por unidade de volume na lâmina, sabendo-se que o número atômico do alumínio é 13, o número de massa é 27 e a densidade é ρ = 2 70 3, g cm . 9- De acordo com a mecânica clássica, um elétron deve sempre se mover em um átomo com qualquer momento angular. Entretanto, de acordo a teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, o momento angular é quantizado na forma L nh= 2π . O princípio da correspondência pode reconciliar essas duas afirmações? Explique. 10- Mostre que a constante de Planck tem unidades de momento angular. 11- Para as órbitas do átomo de hidrogênio de Bohr, a energia potencial é negativa e maior em módulo do que a energia cinética. Qual a implicação disso? 12- Um átomo de hidrogênio pode absorver um fóton cuja energia exceda sua energia de ligação 13 ? 6, eV 13- A energia de ionização do deutério é diferente da do hidrogênio? Explique. 14- Mostre que a freqüência de revolução de um elétron no modelo atômico de Bohr para o átomo de hidrogênio é dada por ν = 2 E hn , onde E é a energia total do elétron. 15- (a) Mostre que no estado fundamental do átomo de hidrogênio a velocidade do elétron pode ser escrita como v c= α , onde α é a constante de estrutura fina. (b) A partir do valor de α , o que se pode concluir a respeito do fato de se desprezar os efeitos relativísticos nos cálculos de Bohr?

16- (a) Calcule os três maiores comprimentos de onda da série de Balmer a partir da fórmula de Bohr. (b) A série de Balmer está entre que limites de comprimento de onda? 17- Calcule o menor comprimento de onda da série de Lyman, da série de Paschen e da série de Pfund para o átomo de hidrogênio. Em qual região do espectro eletromagnético está cada uma? 18- Quanta energia é necessária para remover um elétron de um átomo de hidrogênio em um estado com

? n = 8 19- Um átomo de hidrogênio é excitado de um estado com n = 1 até n = 4 . (a) Calcule a energia que deve ser absorvida pelo átomo. (b) Calcule e trace sobre um diagrama de níveis de energia as energias dos diferentes fótons que serão emitidos se o átomo voltar a seu estado n = 1 . (c) Calcule a velocidade de recuo do átomo de hidrogênio, ao fazer uma transição de n = 4 a n = 1 em um único salto quântico, supondo que ele está inicialmente em repouso. 20- Um átomo de hidrogênio com energia de ligação ( energia necessária para remover um elétron) de

sofre uma transição para um estado com energia de excitação (diferença de energia entre este estado e o fundamental) de 10 . (a) Calcule a energia do fóton emitido. (b) Mostre essa transição em um diagrama de níveis de energia para o hidrogênio, designando os números quânticos apropriados.

0 85, eV2, eV

21- Calcule a energia necessária para remover um elétron de um átomo de hélio ionizado utilizando o modelo atômico de Bohr. Resp.: 54 . 4, eV 22- O segundo pico na experiência de Franck e Hertz, exatamente abaixo de 10 , se deve a duas excitações consecutivas do primeiro estado excitado do mercúrio ou a uma excitação do segundo estado excitado?

eV

23- Em um experiência do tipo Franck e Hertz, bombardeia-se hidrogênio atômico com elétrons, e obtém-se os potenciais de excitação em 10 e . (a) Trace um diagrama de níveis de energia para as três possíveis transições observadas. (b) Supondo que as diferenças de energia podem ser expressas como

21, V 12 10, V

∆E h= ν , obtenha os três possíveis valores de ν e dos respectivos comprimentos de onda λ . 24- Suponha que, na experiência de Franck e Hertz, a energia eletromagnética emitida por um átomo de Hg, devido à absorção de energia de elétrons com seja expressa por 4 9, eV ∆E h= ν , onde ν é a freqüência correspondente à linha de ressonância λ = 253 6, nm do mercúrio. Calcule o valor de h de acordo com essa experiência e compare com o valor obtido por Planck. 25- Nas estrelas observa-se a série de Pickering no espectro do íon de hélio . Ela é emitida quando o elétron no salta para o nível n a partir de níveis de mais altas energias. (a) Obtenha a fórmula dos comprimentos de onda das linhas que pertencem a essa série. (b) Encontre o comprimento de onda limite dessa série. (c) Essa série pertence a qual região do espectro eletromagnético? (d) Calcule o potencial de ionização em elétrons-volt, se o estiver no estado fundamental.

He+

He+ = 4

He+

26- Se o momento angular da terra de massa , devido ao seu movimento em torno do sol

numa órbita de raio , fosse quantizado segundo a relação de Bohr

M = ×6 0 1024, kgmR = ×15 1011, L nh= 2π , qual seria o

valor do número quântico n ? Poderíamos detectar tal quantização? 27- De outro exemplo de degenerescência na física clássica, além do movimento planetário.

65



CAPÍTULO 5

PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA


2

CAPÍTULO 5 – PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA

ÍNDICE 5.1- Postulados de de Broglie 5.2- Interpretação Probabilística da Dualidade Onda - Partícula 5.3- Propriedades das Ondas de Matéria 5.4- Princípio da Incerteza 5.5- Experimento de Franck e Hertz 5.6- Integral de Ação e Regras da Quantização 5.7- Modelo de Sommerfeld Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 3 aulas de quatro créditos.

Lista de Exercícios 1- Por que a natureza ondulatória da matéria não é evidente em nossas observações diárias? O comportamento ondulatório de uma partícula clássica pode ser obtido assumindo-se m → ∞ na fórmula de de Broglie? Explique. 2- O comprimento de onda de de Broglie pode ser menor que a dimensão da partícula? Pode ser maior? É necessário que haja alguma relação entre essas grandezas? 3- A difração de elétrons pode ser utilizada para se estudar a estrutura de sólidos cristalinos? Explique. 4- Discuta a analogia: A óptica ondulatória é para a óptica geométrica assim como a mecânica quântica é para a mecânica clássica. 5- Afinal de conta o que é um elétron, uma partícula ou uma onda? Explique. 6- Discuta semelhanças e diferenças entre uma onda de matéria e uma onda eletromagnética 7- Um projétil de massa move-se a uma velocidade m = 40g v m s= 1000 / . (a) Qual é o comprimento de onda de de Broglie que se pode associar a ele? (b) Por que sua natureza ondulatória não se revela por meio de efeitos de difração? 8- O comprimento de onda da emissão espectral amarela do sódio é . Com que energia cinética um elétron teria o mesmo comprimento de onda de de Broglie?

λ = 5890 0A

9- Um elétron e um fóton tem ambos um comprimento de onda . Quais são (a) seus momentos? (b) suas energias totais? (c) Compare as energias cinéticas do elétron e do fóton.

λ = 2 0 0. A

10- Um nêutron térmico tem uma energia cinética 3 2b gkT , onde T K= 300 é a temperatura ambiente. Estes nêutrons estão em equilíbrio térmico com o ambiente. (a) Qual é a energia em elétrons - volt de um nêutron térmico? (b) Qual é o comprimento de onda de de Broglie? 11- Um feixe de nêutrons de 1 atinge um cristal cujo planos cristalinos estão separados por eV d nm= 0 025, . Determine o ângulo de fase ϕ para o qual o primeiro máximo de interferência é observado. 12- O espaçamento planar em um cristal de cloreto de potássio é d A= 314 0. . Compare o ângulo de reflexão de Bragg de primeira ordem, por esses planos, de elétrons com energia cinética 40keV com o de fótons com energia 40keV .

40

13- Considere a interferência de duas ondas ψ1 e ψ 2 , emitidas de duas fendas estreitas e paralelas de distância d , como mostra a figura ao lado. As ondas têm mesmas amplitude , mesma freqüência ω e diferença de fase A δ . Construa a superposição usando a notação ψ ψ1 + 2

complexa para a função de onda e mostre que a dependência do padrão de interferência resultante com o ângulo θ é,

I A kd sen= FHG

IKJ4

22 cos θ . ( Sugestão: mostre primeiramente

que, ψ ψ ψ δ δ ω δ= + = +− +1 2

2 2 2A e e ei i i tb g , em seguida escreva as exponenciais complexa entre colchetes na

forma trigonométrica. Escreva a distribuição de intensidades do padrão de interferência I = ψ 2, e observe que a

diferença de fase entre as duas ondas pode ser escrita na forma δπλ

θ=2 dsen ).

dsenθ

ψ ω1 = Aei t

ψ ω δ1 =

+Aei tb g

θ

θd

14- Referindo-se ao princípio da incerteza de Heisenberg, dê exemplo de algum caso em que o processo de medida perturba o sistema que está sendo medido.

15- Dê uma justificativa à partir do princípio da incerteza de Heisenberg (∆ ∆E t ≥ 2 ) que a energia de um oscilador harmônico não pode ser nula. (Sugestão: Será que o período de um oscilador pode ser infinito? Pense nisso). 16- Qual seria a voltagem aceleradora dos elétrons em um microscópio eletrônico necessária para que se tenha a mesma resolução máxima que pode ser obtida em um "microscópio de raios γ " usando raios γ de 0 2. MeV ? 17- A resolução máxima atingida por um microscópio é limitada apenas pelo comprimento de onda utilizado, isto é, o menor detalhe que se pode distinguir é aproximadamente igual ao comprimento de onda. Suponhamos que se queira ver o interior de um átomo de diâmetro 10 0. A , com detalhes da ordem de 01 0. A . (a) Se usarmos um microscópio eletrônico, qual seria a energia mínima necessária para os elétrons? (b) Se usarmos um microscópio óptico, qual seria a energia mínima para os fótons? Em que região do espectro eletromagnético estão esses fótons? (c) Qual dos microscópios seria mais prático para esse objetivo? Explique. 18- Mostre que para uma partícula livre pode-se escrever a relação de incerteza também na forma ∆ ∆λ λx ≥ 2 4π , onde ∆x é a incerteza na posição da onda e ∆λ é a incerteza simultânea no comprimento de onda. 19- Mostre que se a incerteza na posição de uma partícula for aproximadamente igual a seu comprimento de onda de de Broglie, então a incerteza em sua velocidade é aproximadamente igual a sua velocidade. 20- Um microscópio óptico é utilizado para localizar um elétron em um átomo em uma região de dimensão linear de 0 2 0. A . Qual é a incerteza na velocidade de um elétron localizado dessa forma? 21- Uma partícula de massa está confinada em uma região unidimensional de comprimento a . Use o princípio da incerteza para obter uma expressão para a energia mínima da partícula. Calcule o valor dessa energia para uma gota de massa m

m

g= 1 mantida sobre um fio de comprimento a cm= 10 , e para um elétron em uma região de comprimento a n . m= 0 1, 22- (a) Considere um elétron em algum ponto dentro de um átomo de diâmetro 1 0A . Qual é a incerteza no momento do elétron? Esse resultado é consistente com a energia de ligação de elétrons em átomos? Pense em termos de energias das transições atômicas pertencente a região visível do espectro eletromagnético. (b) Imagine que um elétron esteja em algum ponto no interior de um núcleo de 10 . Qual é a incerteza no momento do elétron? Esse resultado é consistente com a energia de ligação de partículas constituintes do núcleo? Pense em termos de energias das transições nucleares pertencente a região dos raios

12− cm

X e γ do espectro eletromagnético. (c) Considere um nêutron, ou um próton, no interior desse núcleo atômico. Qual é a incerteza no momento do nêutron, ou do próton? Esse resultado é consistente com a energia de ligação de partículas constituintes do núcleo? 23- A vida média de um estado excitado de um núcleo é normalmente de cerca de 10 . Qual é a incerteza na energia do fóton de raio

12− sγ emitido?

24- um garoto no alto de uma escada de altura H está jogando bolas de gude de massa m em uma fenda existente no solo. Para atingi-la, ele utiliza um equipamento que tem a maior precisão possível. (a) Mostre que as bolas de

gude vão deixar de atingir a fenda por uma distância em média da ordem de xm

Hg

≈ FHGIKJFHGIKJ

1 2 1 4

, onde g é a

aceleração da gravidade. (b) Utilizando valores razoáveis de H e m, calcule esta distância.

41



CAPÍTULO 6

MECÂNICA QUÂNTICA DE DE SCHRÖDINGER


2

CAPÍTULO 6 – MECÂNICA QUÂNTICA DE SCHRÖDINGER

ÍNDICE 6.1- Introdução 6.2- Equação de Schrödinguer 6.3- Interpretação Probabilística 6.4- Equação de Schrödinger Independente do Tempo 6.5- Valores Esperados 6.6- Compreensão do Movimento da Partícula Quântica e Limite da Teoria Clássica 6.7- Comportamento Geral das Autofunções Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 4 aulas de quatro créditos.

Lista de Exercícios 1- Como o postulado de de Broglie entra na teoria quântica de Schröedinger?

49

h2- Uma vez que a equação de Schröendiger não é válida para partículas relativísticas, qual seria o efeito sobre a teoria quântica de Schröedinger da mudança na definição de energia total, na relação E = =ω ν , se fosse considerado a energia relativística de repouso da partícula. 3- A massa de uma partícula aparece explicitamente na equação de Schröendiger, mas sua carga não, embora ambas possam afetar seu movimento. Alguma grandeza que aparecem na equação de Schröendiger embute implicitamente esse parâmetro? Explique.

m

4- As equações de onda da teoria clássica contém uma segunda derivada espacial e uma segunda derivada temporal. A equação de Schröendiger por outro lado, contém uma segunda derivada espacial e uma primeira derivada temporal. Use esses fatos para explicar por que as soluções de onda clássica podem ser funções reais, enquanto as soluções da equação de Schröendiger devem ser funções complexas. 5- No eletromagnetismo, calculamos a intensidade de uma onda tomando o quadrado de sua amplitude. Por que não fazemos exatamente o mesmo com as ondas da mecânica quântica? 6- Por que a função densidade de probabilidade tem que ser real, positiva, finito e definida em todos os pontos? Explique o significado da normalização de uma função de onda. 7- Por que a mecânica quântica de Schrödinger fornece apenas informações estatísticas? Em sua opinião, isso reflete-se como um fracasso da teoria ou uma propriedade da natureza? 8- O que significa o valor esperado de uma grandeza? 9- Por que uma autofunção deve ser bem comportada para ser aceitável na teoria quântica de Schrödinger? Por que ψ é necessariamente uma função oscilatória quando V x ? Ea f < 10- Se as funções de onda , e são três soluções da equação de Schrödinger para um

potencial particular V x , mostre que a combinação linear arbitrária

também é uma solução desta equação.

ψ 1 x t,a f ψ 2 x t,a f ψ 3 x t,a f

, ft,a f

ψ ψ ψ ψx t c x t c x t c x t, , ,a f a f a f a= + +1 1 2 2 3 3

11- Considere a função de onda para o primeiro estado excitado de uma partícula de massa que pode se mover livremente sobre o eixo

mx entre os pontos x a= − 2 e x a= + 2 , mas que está estritamente proibida

de ser encontrada fora dessa região:

Asen xa

e iEt2π − para − < < +a x a2 2

Ψ x t,a f = 0 para x a≤ − 2 ou, x a≥ + 2 onde A é uma constante real arbitrária e E é a energia total da partícula. (a) Mostre que essa função é uma solução da equação de Schrödinger. (b) Encontre o valor de E para esse primeiro estado excitado, (c) Trace um gráfico da dependência espacial dessa função de onda. (d) Encontre os valores esperados de x , , p x2 e da partícula associada a função de onda, (e) Use a condição de normalização para determinar o valor da constante

p2

A em termos de . (f) Use as grandezas calculadas no item (d) para calcular o produto das incertezas a ∆ ∆x p na posição e no momento dessa partícula. 12- A função de onda para o estado fundamental de um oscilador harmônico simples constituído de uma partícula de massa sob ação de uma força restauradora linear de constante elástica , pode ser escrita como:

Ψ x t,a fm C

Ψ x tCm

e eCm x i C m t,a f a fa fd i b gd i= − −

1 8

1 42 22

π

(a) Calcule os valores esperados da energia cinética K pm

=2

2 e da energia potencial V x kxa f = 1

22 . (b)

Compare com as médias no tempo das energias cinética e potencial para um oscilador harmônico simples clássico com a mesma energia total E . 13- Em um certo instante, uma função de onda depende da posição conforme está mostrado na figura (a) abaixo. (a) Se fosse feita uma medida que possa localizar a partícula associada em um elemento dx do eixo x nesse instante, onde seria maior a probabilidade de encontrá-la? (b) Onde seria menor essa probabilidade? (c) As chances de que ela seja encontrada em qualquer valor positivo do eixo seriam melhores do que as chances de que seja encontrada em qualquer valor negativo?

x

aa f

ψ x t,a f

x

t fixo( )

0 5 10−5

5

−5

V xa f

x 0

ba f 14- Considere uma partícula se movendo sob influência do potencial V x C xa f = , onde C é uma constante, ilustrado na figura (b) acima. (a) Use argumentos qualitativos para fazer um esboço da primeira autofunção de da décima autofunção para o sistema. (b) Faça um esboço das duas funções densidade de probabilidade correspondentes. (c) Use então a mecânica clássica para calcular as funções densidade de probabilidade prevista por esta teoria. (d) Trace um gráfico das funções densidade de probabilidade clássicas juntamente com as funções densidade de probabilidade quânticas, e discuta sua comparação. 15- Considere uma partícula se movendo no potencial V x ilustrado na figura abaixo. Para os seguintes intervalos de valores da energia total

a fE , diga quando há algum valor possível de E , e , se isso ocorrer, se eles

são separados discretamente ou distribuídos continuamente. (a) E V< 0 , (b) V E V0 1< < , (c) V E V1 2< < , (d)

, (e) . V E V2 3< < E V> 3

−∞

+∞ V3

V0

V1

V2

0 x

V xa f

50

16- Considere uma partícula se movendo no potencial V x ilustrado na figura (a) abaixo, que tem uma região

retangular de profundidade V e largura a , no qual a partícula pode estar ligada. Estes parâmetros estão

relacionados com a massa m da partícula de uma forma tal que o estado de menor energia possível se

encontra a uma energia de aproximadamente

a f0

E1

V0 4 acima do fundo. (a) Use argumentos qualitativos para fazer

um esboço da forma aproximada da autofunção correspondente ψ 1 xa f . (b) Substitua o potencial da região

x a> + 2 diretamente na equação de Schrödinger independente do tempo para mostrar que nessa região a

autofunção tem a forma matemática ψ ax Ae m V E xf b g=− −2 0 . (c) Use a densidade de probabilidade

correspondente a esta autofunção para estimar a distância D fora da região de ligação do potencial na qual haverá uma probabilidade apreciável de encontrar a partícula na região classicamente proibida. (Sugestão: Considere x D= como sendo a distância até o ponto no qual Ψ Ψ* é 1 e vezes o seu valor na borda da região

de ligação x a= + 2 ). (d) O potencial dessa figura dá uma boa descrição das forças que atuam sobre um elétron

se movendo através de um metal. A diferença de energia V E0 − , para o elétron mais fracamente ligado ao metal,

é a função trabalho do metal. Tipicamente, V E eV0 5− ≈ . Use esse dado para estimar o valor da distância D estima no item (c).

V0

a 4

E1

−a 2 +a 2

V0 10

x

V xa f

x 0

V0

E1

+a 2−a 2

V xa f

ba f aa f 17- Suponha que o fundo da função potencial da questão anterior seja modificado pela adição de uma saliência no centro, de altura aproximadamente V0 10 e largura a 4 , como mostra a figura (b) acima. Considere qualitativamente o que ocorre com a curvatura da autofunção na região da saliência, e como isso afetará o problema de obter um comportamento aceitável para a autofunção na região externa ao poço. A partir dessas considerações, faça uma previsão, de forma qualitativa, do efeito da saliência sobre o valor da menor energia possível . E1

18- Considere a autofunção ilustrada na figura abaixo. (a) Qual dos três potenciais ilustrados na mesma figura poderia levar a tal autofunção? Dê argumentos qualitativos que justifiquem sua resposta. (b) Essa autofunção não é associada ao estado de menor energia possível para o potencial. Esboce a autofunção que corresponde ao estado de menor energia. (c) Indique em outro esboço o intervalo de energias no qual você esperaria estados de energia possíveis discretos e o intervalo de energias no qual você esperaria que os estados de energia possíveis fossem distribuídos continuamente.

51

V xa f

V xa f0

x

x0

ψ xa f

x 0

0 x

V xa f

19- Usando as duas primeiras funções de onda normalizadas Ψ1

21x t

ax

ae iE t, cosa f = −π

e

Ψ2

2 22x t

asen x

ae iE t,a f = −π

, para uma partícula se movendo livremente e confinada em uma região de

comprimento , construa a combinação linear a Ψ Ψ Ψx t c x t c x t, , ,a f a f a f= +1 1 2 2 . Obtenha então uma relação

em função das constantes ajustáveis e que, quando satisfeitas, garanta que seja normalizada. c1 c2 Ψ x t,a f

52



CAPÍTULO 7

SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO


2

CAPÍTULO 07 – SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO

ÍNDICE 7.1- Partícula Livre 7.2- Potencial Degrau 7.3- Barreira de Potencial 7.4- Poços de Potenciais Finito e Infinito 7.5- Oscilador Harmônico Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 4 aulas de quatro créditos.

Lista de Exercícios 1- Por que na mecânica clássica não é possível ter-se E V x< a f? Por que isto é possível na mecânica

quântica , desde que haja alguma região na qual ? E V x> a f 2- Se duas ondas de mesmas amplitudes se propagam em sentidos contrários obtém-se uma onda estacionária. Que tipo de onda obtém-se se as amplitudes não forem iguais? 3- O que você entende exatamente sobre o fluxo de probabilidade? 4- O que significa exatamente afirmar que o coeficiente de reflexão é unitário para uma partícula incidindo sobre um potencial degrau com energia total menor do que a altura do degrau? O que significa exatamente afirmar que o coeficiente de reflexão é menor do que a unidade se a energia total for maior que a altura do degrau? O coeficiente de reflexão pode ser maior que a unidade? 5- Uma partícula incide sobre uma barreira de potencial, com energia total menor do que a altura da barreira, e é refletida. A reflexão envolve apenas a primeira descontinuidade do potencial? Se a outra descontinuidade fosse retirada, de forma que a barreira se transformasse em um degrau, o coeficiente de reflexão mudaria? 6- No sol, dois núcleos de Hidrogênio em movimento térmico violento podem colidir penetrando a barreira coulombiana que os separam. A massa do núcleo resultante é menor do que a soma das massas dos dois núcleos de iniciais, de forma que ocorre grande liberação de energia. Este processo de fusão nuclear é responsável pela emissão de calor pelo sol. Quais seriam as conseqüências para a vida na terra se isso não pudesse ocorrer? 7- Por que os poços quadrados finitos têm apenas um número finito de autovalores ligados? Quais são as características dos autovalores não ligados? 8- Como seria uma autofunção de onda estacionária para um autovalor não ligado de um poço de potencial quadrado finito? 9- Se as autofunções de um potencial tem paridades definidas, a de menor energia tem sempre paridade positiva. Explique por que. 10- Para o caso de um degrau de potencial com em que os coeficientes de reflexão e

transmissão são

E V> 0

R k kk k

=−+FHG

IKJ

1 2

1 2

2

e T k kk k

=+

4 1 2

1 22b g , mostre que R T+ = 1.

11- Mostre que a expressão T senh k aEV

EV

= +−FHGIKJ

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

−

14 1

22

0 0

1

, para o coeficiente de transmissão para a

penetração de uma barreira de potencial retangular, se reduz à T EV

EV

e k a≈ −FHGIKJ

−16 10 0

2 2 se . k a2 1>>

50

12- (a) Calcule o coeficiente de transmissão para um elétron de energia total E eV= 2 incidente sobre uma barreira de potencial retangular de altura V e0 4 V= e largura a m= −10 10 (dimensão atômica), usando a relação exata e aproximada citadas na questão anterior. (b) Repita os cálculos para uma barreira de largura a m . = −10 9

13- Um próton e um dêutron ( partícula de mesma carga do próton, mas de massa duas vezes maior) tentam penetrar em uma barreira de potencial retangular de altura V Me0 10 V= e largura a m= −10 14 (dimensão nuclear). As duas partículas tem energias totais E MeV= 3 . Use argumentos qualitativos para prevê qual das partículas tem mais chance de consegui-lo. 14- Um átomo do gás nobre Kriptônio exerce um potencial atrativo sobre um elétron não ligado, que varia muito bruscamente. Devido a isto, é uma aproximação razoável descrever o potencial como um poço quadrado atrativo, de dimensão da ordem do raio atômico , 4 10 10× − m . As experiências que um elétron com energia cinética E eV= 0 7. , nas regiões fora do átomo, pode atravessá-lo sem sofrer reflexão alguma. Esse é o fenômeno do efeito Ramsauer para uma poço quadrado atrativo. Use essas informações para fazer uma estimativa da profundidade do poço de potencial quadrado. (Sugestão: Use o fato que cabe exatamente um comprimento de onda de de Broglie na largura do poço nas condições do efeito Ramsauer). 15- Sabendo–se que as massas do elétron e do nêutron são respectivamente, m k e

, faça uma estimativa das energias de ponto zero de um elétron e de um nêutron

em um poço quadrado infinito de largura igual ao diâmetro nuclear , e compare esse resultados.

gkg

m

e = × −9 1 10 31.mn = × −1 67 10 27.

a = −10 14

16- Sabendo-se que as energias permitidas para uma partícula num poço de potencial infinito são

, onde é a energia do estado fundamental, mostre que a diferença fracional em energia

entre autovalores adjacentes é

E n En =2

0 E0

∆EE

nn

n

n

=+2 12 . Use esta relação para discutir o limite clássico do

sistema. 17- Aplique a condição de normalização para mostrar que o valor da constante multiplicativa para a autofunção com do poço de potencial infinito é n = 3 B a3 2= . 18- Use as autofunções ψ 1 e ψ 3 para o poço de potencial infinito para mostra a propriedade de ortogonalidade

ψ ψ1 3 0x x dxa f a f =−∞

+∞z

(Sugestão: Use a relação cos cos cos cosu v u v u v= + + −12a f a f .

19- A constante da força restauradora K para as vibrações interatômicas de uma molécula diatômica típica é da ordem de 103 2J m/ . (a) Use esse valor para fazer uma estimativa da energia de ponto zero das vibrações moleculares. (b) Faça uma estimativa da diferença em energia entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado da molécula vibrante. (c) A partir dessa estimativa, determine a energia do fóton emitido por vibrações da distribuição de carga quando o sistema faz uma transição entre o primeiro estado excitado e o estado fundamental. (d) Determine o comprimento de onda desta transição e descubra em que região do espectro eletromagnético está a radiação emitida.

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CAPÍTULO 8

ÁTOMOS DE UM ELÉTRON


2

CAPÍTULO 08 – ÁTOMOS DE UM ELÉTRON

ÍNDICE 8.1- Introdução 8.2- Força Central 8.3- Equação de Schrödinger em Coordenadas Esféricas 8.4- Dependência Angular das Autofunções 8.5- Regras de Seleção Dipolo Elétrico 8.6- Simetria de Paridade em Coordenadas Esféricas 8.7- Equação Diferencial Radial 8.8- Distribuição de Probabilidade Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 5 aulas de quatro créditos.

Lista de Exercícios 1- Por que a função tem que ser unívoca na solução da equação de Schrödinger para o átomo de

hidrogênio? Por que isso leva a restrição de que m deve ser um inteiro?

Φ ϕa fl

2- Por que devem aparecer três números quânticos no tratamento do átomo de um elétron sem "spin"? 3- O que é a degenerescência? 4- Faça uma comparação entre as previsões dos tratamentos de Bohr e Schrödinger para o átomo de hidrogênio (desprezando spin e efeitos relativísticos), com relação à localização do elétron, sua energia total, e seu momento orbital. 5- Hidrogênio, deutério e hélio mono ionizado são exemplos de átomos de um elétron. O núcleo do deutério tem a mesma carga do núcleo de hidrogênio e massa quase duas vezes maior. O núcleo de hélio tem carga duas vezes maior do que o núcleo de hidrogênio e massa quase quatro vezes maior. Faça uma previsão da razão entre as energias dos estados fundamentais desses átomos. (Sugestão: Considere a variação da massa reduzida).

64

ϕ 6- Mostre por substituição que e, são soluções da equação diferencial para Φ ϕ ϕa f = cosml Φ ϕa f = senml

Φ ϕa f . 7- Verifique por substituição que a autofunção ψ 100 do estado fundamental e autovalor desse estado satisfazem a equação de Schrödinger independente do tempo, para a átomo de hidrogênio.

E1

8- Sabe-se que é uma autofunção do operador energia total para o problema unidimensional de potencial nulo. (a) Mostre que também é autofunção do operador momento linear

ψ = eikx

p e determine o autovalor associado. (b)

Repita os cálculos para . ψ = −e ikx

9- Mostre que a função R r A ra

e r ab g = −FHGIKJ

−12

2 é uma solução da equação diferencial radial para o átomo de um

elétron no caso l = 0 . Qual é o autovalor da energia correspondente? 10- Determine a constante de normalização do problema anterior. A 11- Seja o átomo de um elétron num estado de números quânticos n = 2 e l = 1 . Determine a distância mais provável entre o elétron e o núcleo. Calcule os valores esperados r e V pela integração explícita. 12- Repita os cálculos do problema anterior para um estado de números quânticos n e . = 3 l = 1 13- Seja o átomo de um elétron no seu estado fundamental. Calcule a probabilidade de encontrar o elétron além da primeira órbita de Bohr. 14- (a) Calcule a posição em que a densidade radial de probabilidade é máxima, para o estado n = 2 , l = 1 do átomo de hidrogênio. (b) Calcule em seguida o valor esperado da coordenada radial nesse estado. (c) Interprete o significado físico da diferença das respostas de (a) e (b). 15- (a) Calcule o valor esperado V da energia potencial no estado fundamental do átomo de hidrogênio, e

mostre que E V= 2 , onde E é a energia total. (b) Calcule o valor esperado V agora para o estado , l , do átomo de hidrogênio. n = 2 = 1

16- Mostre por substituição que a forma é uma solução da equação diferencial para , quando R r rla f∝ R ra fr → 0 . (Sugestão: Despreze os termos que se tornam pequenos diante dos demais quando r → 0 ).

17- Uma partícula de massa reduzida µ está presa numa extremidade de uma barra rígida de massa desprezível e comprimento . A outra extremidade da barra gira no plano R xy em torno de um suporte localizado na origem, e cujo eixo tem direção . Esse "Rotor Rígido" bidimensional está ilustrado na figura abaixo. z

ϕ µx

y

z

R

(a) Escreva uma expressão para a energia total do sistema em termos de seu momento angular . (Sugestão: Tome o valor zero para a energia potencial constante e expresse a energia cinética em termos de ). (b) Introduzindo operadores apropriados na equação da energia, converta-a na equação de Schrödinger

LL

−∂∂

=∂∂

2 2

22It i

tt

ϕϕ ϕΨ Ψ, ,a f a f

onde é o momento de inércia da rotação, e I R= µ 2 Ψ ϕ ,ta f é a função de onda escrita em termos da

coordenada angular ϕ e do tempo t . (Sugestão: Como o momento angular só tem direção z , isto é L Lz= e o

operador correspondente é L iz = − ∂ ∂ϕ ). (c) Aplicando a técnica de separação de variáveis, desdobre a equação de Schrödinger do rotor rígido e obtenha a equação de Schrödinger independente do tempo:

− =2 2

2Idd

Eϕ

ϕ ϕΦ Φa f a f e a equação para a dependência temporal da função de onda

ddt

T t iE T ta f a f= −

onde E é a constante de separação e . (d) Resolva a equação para a dependência temporal da função de onda e mostre que a constante de separação

Ψ Φϕ ϕ,t Ta f a f a= tfE é a energia total. (e) tre que uma

solução particular da equação de Schrödinger independente do tempo para o rotor rígido é Φ , onde Mosϕ ϕa f = eim

m IE=

2. (f) Utilize a solução na equação diferencial e mostre que os valores permitidos de energia total para

o rotor rígido quântico bidimensional são: E mI

=2 2

2, com m = 0 1 2, , ,.... .

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NOTAS DE AULAS DE ESTRUTURA DA MATÉRIA


CAPÍTULO 9

INTERAÇÃO MAGNÉTICA E SPIN


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CAPÍTULO 9 - INTERAÇÃO MAGNÉTICA E SPIN

ÍNDICE 9-1- Momento de Dipolo Magnético Orbital 9.2- Interação com um Campo Magnético Externo 9.3- Experiência de Stern-Gerlach e Spin do Elétron 9.4- Momento Angular Total 9.5- Interação Spin-Órbita 9.6- Correção da Teoria Quântica Relativística 9.7- Efeito Zeeman 9.7.1- Introdução 9.7.2- Efeito Zeeman Normal 9.7.3- Efeito Zeeman Anômalo – Facultativo 9.8- Estrutura Hiperfina - Facultativo Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 5 aulas de quatro créditos.

Lista de Exercícios 1- Por que o torque que atua sobre um dipolo magnético num campo magnético faz o dipolo precessionar em torno do campo em vez de alinhá-lo ao campo? 2- Exatamente porque se concluiu que os números quânticos de spin são semi inteiros? 3- Por que a equação de Schrödinger, na forma que se considerou, não previu o spin do elétron? 4- Qual é a diferença entre o efeito Zeeman normal e o efeito Zeeman anômalo? 5- O que é o efeito Paschen – Bach no efeito Zeeman anômalo? 6- Calcule o campo magnético produzido por um anel circular de corrente num ponto situado sobre o eixo de simetria do anel e longe deste. Calcule em seguida o campo magnético produzido no mesmo ponto por um dipolo formado a partir de dois monopolos magnéticos separados e situados no centro do anel e ao longo do eixo de simetria deste. Mostre que os campos são os mesmos se a corrente no anel e sua área estiverem relacionadas ao momento magnético do dipolo segundo a equação L iAµ = . 7- (a) Calcule a razão entre o momento de dipolo magnético orbital e o momento angular orbital, µ l L para um elétron que se move numa órbita elíptica do átomo de Bohr - Sormmerfeld. (Sugestão: A área varrida pelo vetor de comprimento r , quando a coordenada angular aumenta de um incremento dθ , vale dA r d= 2 2θ . Use L mr d dt= 2 θ para calcular dθ em termos do incremento temporal dt e faça então a integração ). (b) Compare o resultado com o obtido para uma órbita circular. 8- Determine o gradiente de campo de um ímã de Stern-Gerlach de 50 cm de comprimento que produzirá um separação de 1 mm na extremidade do ímã, entre as duas componentes de um feixe de átomos de prata emitidos com uma energia cinética típica de um forno a uma temperatura T C= 9600 . O momento de dipolo magnético da prata é devido a um único elétron l = 0 , como no caso do hidrogênio. 9- (a) Explicite os valores possíveis de e m , para os estados onde j j l = 1 , e s = 1 2 . (b) Desenhe os modelos vetoriais correspondentes. (c) Faça um desenho ilustrando os vetores momento angular para um estado típico. (d) Mostre também os vetores momento de dipolo magnético orbital e de spin e sua soma, e o vetor momento de dipolo magnético total. (e) O vetor momento de dipolo magnético total é antiparalelo ao vetor momento angular total? 10- Enuncie os valores posíveis de e para os estados onde j mj l = 3 , e s = 1 2 . 11- Explique de forma simples porque um elétron num átomo de hidrogênio está submetido a um campo magnético? 12- Exatamente o que é uma interação spin-órbita? Como ele leva ao desdobramento de estrutura fina observada nas linhas espectrais do átomo

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13- Quando se considera a interação spin - órbita, diz que e m não são "bons números quânticos". Explique porque se usou essa terminologia e quais são os "bons números quânticos" apropriados para átomos monoeletrônicos.

ml s

14- Determine a energia de interação spin - órbita no estado n = 2 e l = 1 de um átomo muônico, definido no exemplo 4.9 do Eisberg. 15- Mostre que a correção relativística da energia cinética de uma partícula

24 2

3 2 2

18 2 2rel

pKm c mc m

⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

p , é da ordem de 2

2

vc

do termo clássico 2

2pm

.

16- A evidência mais fácil de interpretar quanto ao desdobramento dos níveis de energia atômicos num campo magnético externo é a Ressonância de Spin Eletrônico. Se átomos de

no estado fundamental forem colocados numa região contendo radiação eletromagnética de freqüência 11 Na

ν e se uma campo magnético de intensidade B for aplicado a essa região, haverá forte absorção de energia eletromagnética quando os fótons tiverem energia hν idêntica à separação entre as duas componentes do desdobramento Zeeman do nível de energia do estado fundamental. A razão disso é que esses fótons podem induzir transições entre as componentes, indicadas na figura abaixo, e então são absorvidos. Numa experiência típica 101,0 10 Hzν = × .

jm

1/ 2+

1/ 2+

21/ 2S

Determine o valor o valor de B para o qual a freqüência definida pelo desdobramento Zeeman está em ressonância com essa freqüência de microondas. (Sugestão: Note que trata-se de um efeito Zeeman anômalo em que é necessária determinar o fator g de Landé ).

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2979405 Apostila Fisica Moderna I

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