2a. Lista de Exercícios de H-Álgebra Linear III

Profa. Melissa Weber Mendonça∗

16 de abril de 2012

1. As matrizes abaixo são semidefinitas:

A =

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

e B =

1 1 11 1 11 1 1

Escreva xT Ax como uma soma de dois quadrados e xT Bx como um quadrado.

2. Para C =

[2 00 −1

]e A =

[1 11 1

], confirme que CT AC tem o mesmo número de autovalores

positivos, negativos e nulos que A.

3. Se os pivôs na eliminação gaussiana de uma matriz são todos maiores que 1, isso também querdizer que todos os autovalores da matriz são maiores que 1? (Teste em algumas matrizes)

4. Use os pivôs de A − 12 I para decidir se A tem algum autovalor menor que 1

2 :

A −12

I =

2.5 3 03 9.5 70 7 7.5

.5. Encontre por tentativa e erro o número de autovalores positivos, negativos e nulos de

A =

[I B

BT 0

]quando o bloco B (de ordem n

2 ) for não-singular.

6. Se C não for quadrada, a lei da inércia ainda vale para A e CT AC?

7. Considere o sistema Ax = b dado por 2 −1 0−1 2 −10 −1 2

x1

x2

x3

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Construa a quadrática P(x1, x2, x3) correspondente, calcule suas derivadas parciais em relaçãoa x1, x2 e x3 e verifique que elas são nulas na solução do sistema.

∗Também disponível em http://www.mtm.ufsc.br/∼melissa

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8. Considere a quadrática

Q(x) =12‖Ax − b‖2 =

12

xT AT Ax − xT AT b +12

bT b.

Comparando Q e P, e ignorando a constante 12bT b (já que a constante não interfere no míni-

mizador), verifique que esta quadrática também tem mínimo no ponto x onde Ax = b. Qualsistema linear também tem mínimo no mesmo ponto?

9. Para qualquer matriz simétrica A, calcule o quociente de Rayleigh para x = (1, . . . , 1). Qual éa relação entre a soma de todas as entradas ai j e os autovalores de A?

10. Se B for definida positiva, mostre do quociente de Rayleigh que o menor autovalor de A + B émaior que o menor autovalor de A.

11. Se λ1 é o menor autovalor de A e µ1 é o menor autovalor de B, mostre que o menor autovalorΘ1 de A + B é maior ou igual a λ1 + µ1.

12. O princípio minimax para o autovalor j envolve subespaços S j de dimensão j:

λ j = minS j

[maxx∈S j

R(x)].

(a) Se λ j > 0, conclua que existe em cada S j um vetor x tal que R(x) > 0.

(b) Mostre que cada S j contém um vetor y = C−1x tal que yT CT ACyyT y > 0.

(c) Conclua que o j-ésimo autovalor de CT AC também é positivo, analisando o princípiominimax para CT AC.

13. Se A é uma matriz ortogonal Q, mostre que ‖Q‖ = 1 e que c(Q) = 1.

14. Explique por que ‖ABx‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ ‖x‖, e deduza que ‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖. Mostre que isso tambémimplica que c(AB) ≤ c(A)c(B).

15. Mostre que se λ é um autovalor de A, então |λ| ≤ ‖A‖.

16. Comparando os autovalores de AT A e AAT , mostre que ‖A‖ =∥∥∥AT

∥∥∥.

17. Suponha que escolhemos a norma do infinito para vetores:

‖x‖∞ = maxi|xi|.

Calcule a norma matricial correspondente

‖A‖∞ = maxx,0

‖Ax‖∞‖x‖∞

se A =

[1 23 −4

].

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