Matemática Prof.: Joaquim R odrigues

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NÚMEROS COMPLEXOS INTRODUÇÃO Questão 01 Resolver as equações: a) 04x2 =+ { }i2,i2S −=

b) 016x2 =+ { }i4,i4S −=

c) 05x4x2 =+− { }i2,i2S −+=

d) 010x6x2 =+− { }i3,i3S −+=

e) 01x2x2 2 =+−

−+=

2i1

,2

i1S

f) 020x8x2 =+− { }i24,i24S −+= POTÊNCIA DE i Questão 02 Calcule: a) 48i R: 1 b) 293i R: i c) 375i R: −i d) 426i R: −1 e) 1814i R: −1 f) 1615i R: −i g) 2716i R: 1 h) 2121i R: i i) 1916i R: 1 j) 3171i R: −i Questão 03 Calcule: a) 52810 i4ii ⋅−+ R: −4

b) 134

4220

i3)i(i

⋅⋅

R: 31−

c) 4523 )i10()i5( ⋅+⋅ R: 9975 FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO Questão 04 Determinar o valor de k de modo que o nú-mero complexo i2)6k2(z +−= seja imagi-nário puro. R: k = 3 Questão 05 Encontrar o valor de m de modo que o com-plexo i)1m3(2z ⋅−+= seja um número real.

R: 31

m =

Questão 06 Para que valor de x o número complexo

i8)10x5(z +−= é imaginário puro? R: 2 Questão 07 Determinar p para que i3)7p2(z ++= seja

imaginário puro. R: 27−

Questão 08 Determinar m, tal que i)4m()2m(z 2 ⋅−++= seja real e não nulo. R: 2 Questão 09 Ache m de modo que i)81m(1z 2 ⋅−+= seja um número real. R: ± 9 IGUALDADE ENTRE COMPLEXOS Questão 10 Determinar x e y de modo que a igualdade abaixo seja verificada:

i)y4x(5i6)yx2( ⋅++=++ R: x = 2 e y = 1 Questão 11 Para que valores de x e y são iguais os complexos i3)1x(z1 ++= e i)1y(4z2 ⋅−+= R: x = 3 e y = 4 Questão 12 Determinar x e y, de modo que yi5x2z1 −= seja igual a i104z2 += . R: x = 2 e y = −2 CONJUGADO DE COMPLEXOS Questão 13 Dê o conjugado de cada complexo: a) i37z += R: i37z −= b) i25z −−= R: i25z +−= c) i32z −= R: i32z +=

d) i5z = R: i5z −=

e) iz = R: iz −=

f) 4iz += R: i4z −=

g) 12z = R: 12z =

h) i35

34

z += R: i35

34

z +=

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ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Questão 14 Efetuar: a) )i46()i32( +++ R: i78 + b) )i2()i56( −++ R: i48 + c) )i32()i56( +−+ R: i24 +

d) )i3()i2( +−+ R: 32 − Questão 15 Determinar o número complexo z tal que

i1612zz5 +=+ . R: i42z += Questão 16 Determine o número complexo z tal que

i4z3z2 −=+ R: i54

z +=

Questão 17 Resolver a equação i215zz2 −=+ . R: i25z −= MULTIPLICAÇÃO DE COMPLEXOS Questão 18 Efetuar: a) )i31)(i42( ++ R: i1010 +− b) )i3)(i21( ++− R: i55 +−

c)

−

+ i221

i31

R: i61

613 −

d)

−

+ i21

i21

R: 45

DIVISÃO DE COMPLEXOS Questão 19

Sendo i23z1 += e i1z2 += , obter 2

1

zz

R: i21

25 −

Questão 20 Calcule:

a) i35i2

−+

R: i3411

347 +

b) i

i5 + R: i51−

c) i32

i+

R: i132

133 +

Questão 21 Escreva o número complexo abaixo na for-ma algébrica.

i1i32

i11

z+++

−= . R: i3 +

Questão 22

Qual o conjugado do complexo i1

4z

−= ?

R: i22 − FORMA TRIGONOMÉTRICA Questão 23 Determine o módulo dos seguintes números complexos: a) i4z −= R: 17 b) i5z −= R: 5 c) i2z += R: 3

d) i31

21

z += R: 613

e) 8z = R: 8 f) 0z = R: 0 Questão 24 Determine o argumento dos complexos e a seguir faça sua representação geométrica:

a) i1z −= R: 4

7π=θ

b) i322z += R: 3π=θ

c) i4z = R: 2π=θ

d) i322z +−= R: 3

2π=θ

Questão 25 Escrever o número complexo na forma trigo-nométrica:

a) i31z += R:

π⋅+π=3

seni3

cos2z

b) i8z = R:

π⋅+π=2

seni2

cos8z

c) i77z −−=

R:

π⋅+π=4

5seni

45

cos27z

d) i31z −=

R:

π⋅+π=3

5seni

35

cos2z

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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Questão 26 Considere os complexos:

)10seni10(cos4z1 °+°= )20seni20(cos2z2 °+°=

)15seni15cosz3 °+°= Calcule: a) 21 zz ⋅ R: )30seni30(cos8z1 °+°= b) 32 zz ⋅ R: )35seni35(cos2z1 °+°=

c) 31 zz ⋅ R: )25seni25(cos4z1 °+°=

d) 321 zzz ⋅⋅ R: )45seni45(cos8z1 °+°= Questão 27 Dados os complexos:

)85seni85(cos6z1 °+°= )25seni25(cos3z1 °+°=

Calcule:

a) 2

1

zz

R: )60seni60(cos2 °+°

b) 1

2

zz

R: )300seni300(cos21 °+°

Questão 28 Considere os números )seni(cos5z1 π+π=

e

π+π=3

seni3

cos3z2 . Calcule 21 zz ⋅ .

R:

π+π3

4seni

34

cos15

Questão 29 Dados os complexos:

π+π=4

seni4

cos2z1

π+π=2

seni2

cos4z2

3seni

3cosz3

π+π= , calcule:

a) 3

21

zzz ⋅

R:

π+π125

seni125

cos8

b) 1

32

z

zz ⋅ R:

π+π127

seni127

cos2

POTENCIAÇÃO Questão 30

Dado i23

21

z += , calcular 8z

R: i23

21 +−

Questão 31

Dado

π+π=3

7seni

37

cos2z , calcular 9z−

R: 512

1−

Questão 32 Calcule: a) 8)i3( +− R: i3128128 +−

b) 7)i2( R: i128−

c) 6)i26( − R: 512−

d)

21

i21

23

− R: i

Questão 33

Sendo i23

21

z +−= , calcule 100z

R: i23

21 +−

RADICIAÇÃO Questão 34 Determinar as raízes cúbicas de 8z = Questão 35 Calcular as raízes quadradas do complexo

i232z += Questão 36 Resolver a equação 08x2 2 =+ , sabendo que x é uma variável complexa.

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TESTES DE VESTIBULARES Questão 01 (Santa Casa – SP) Seja a igualdade i4xy2i)xy(1 −−=++ , on-de i é a unidade imaginária. Os números re-ais x e y, que satisfazem essa igualdade, são tais que: a) x3y = b) y3x = c) 3xy −= d) 2yx =− e) 2yx =+ Questão 02 (UFSM) Para que o número )xi2)(i2x(z +−= seja real, devemos ter x ∈ IR, tal que: a) 0x =

b) 21

x ±=

c) 2x ±= d) 4x ±= Questão 03 (UFPA) Qual é o valor de m, real, para que o produto

)i3)(mi2( ++ seja um imaginário puro? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 Questão 04 (PUC – SP) Se 1zz)z(f 2 +−= , então )i1(f − é igual a: a) i b) 1i +− c) i− d) 1i − e) 1i + Questão 05 (UCMG) O complexo z, tal que i1612zz5 +=+ , é i-gual a : a) i22 +− b) i32 − c) i21+ d) i42 + e) i3 +

Questão 06

A expressão 10

)3i()2i()1i(i −⋅−⋅−⋅, é igual a:

a) 1 b) i c) 1− d) i− Questão 07 A potência 16)i1( − equivale a: a) 8 b) i416 − c) i1616 − d) 256 e) i16256 − Questão 08 (UFPA)

A divisão i1i21

−+

dá como resultado o número

a) i23

21 −−

b) i23

21 +

c) i23

21 +−

d) i23

21 −

Questão 09 (PUC – SP)

A expressão i1i1

−−

é igual a:

a) i b) 2i c) 3i d) 4i e) −2i Questão 10 (Santa Casa – SP) Dado o número complexo i1z −= , tem –se

que 2z

1 é igual a:

a) i2 b) i

c) i21

d) i−

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Questão 11 (Viçosa – MG)

A parte real de i32i32

−+

é:

a) 132−

b) 135−

c) 131−

d) 134−

Questão 12 (AMAN – RJ)

O resultado de i31

ii31i21

++

−+

é igual a:

a) i53

51 −

b) i52

51 +

c) i53

51 +−

d) i52

31 −

e) i32

32 +

Questão 13 (Mack – SP)

O conjugado de i

i2 − vale:

a) i21− b) i21+ c) i31+ d) i21+− e) i2 − Questão 14 (Mack – SP) Sendo i a unidade imaginária, o valor de

1032

50232

i...ii

i...iiiy

+++++++= é igual a:

a) i21

b) i− c) i1−

d) 2

i1+

e) 2

i1−

Questão 15 (Mack – SP) Sejam os números complexos i3z2 = e

i69zz 21 +−=⋅ . Então 21 zz + vale: a) i62 + b) i62 − c) i33 +− d) i33 −− e) i9 Questão 16 (Viçosa – MG)

O valor da expressão i2)1i)(1i(

i)1i2()i1( 32

+−+

⋅−+ é:

a) 1 b) Zero c) 1i4 + d) 1− e) 1i4 − Questão 17 (Mack – SP)

Simplificando 49100

50101

)2i()i2(

)i2()i2(

−⋅−−−⋅+

, obtém-se:

a) 1 b) i2 + c) i2 − d) 5 e) −5 Questão 18 (Santo Amaro – SP) Seja o complexo i43z += . Então z vale:

a) 9 b) 16 c) 7 d) 5 Questão 19 (Med. Santos – SP)

Sendo i2i

1zi1

z =−−+

, onde i é a unidade

imaginária, o módulo do número complexo z será: a) 62

b) 23

c) 32

d) 23

e) 26

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Questão 20 (USP) Se z é um número complexo tal que

24zz =⋅ , então o módulo de z é:

a) 32

b) 62 c) 5 d) 12 e) 24 Questão 21 (UFAL) Se z é um número complexo tal que

25zz =⋅ , então o módulo de z é:

a) 5 b) 5 c) 55 d) 25 e) 50 Questão 22 (méd. Jundiaí – SP) No plano de Gauss, o afixo do número com-plexo 4)i1(z += é um ponto do: a) eixo real b) eixo imaginário c) primeiro quadrante d) terceiro quadrante e) quarto quadrante Questão 23 (AMAN – RJ) Uma forma trigonométrica do número com-plexo i33z −= é:

a) )60isen60(cos32 °+°− b) °+° 45isen45cos

c) )300isen300(cos32 °+°

d) )30isen30(cos32 °+° Questão 24 (PUC – RS)

O complexo

π+π⋅=6

11isen

611

cos2z es-

crito na forma algébrica bia + é: a) i32 +

b) i3 +−

c) i3 −−

d) i3 −

e) i32 −

Questão 25 (UFPA) A forma trigonométrica do número complexo

ii1

z+= é:

a)

π−π4

isen4

cos22

b)

π+π4

5isen

45

cos2

c)

π+π4

7isen

47

cos2

d)

π+π4

isen4

cos2

e)

π+π4

3isen

43

cos2

Questão 26 (Med. Jundiaí – SP)

Seja o número complexo i21

23

z −−= . O

argumento principal do conjugado de z é: a) 30º b) 45º c) 60º d) 120º e) 150º Questão 27 (USP)

Seja z o produto dos complexos )i31(23 +

e i3 + . Então o módulo e o argumento de z são respectivamente: a) 4 e 30º b) 12 e 80º c) 3 e 90º d) 6 e 90º Questão 28 (Santa casa – SP) Se os complexos 1z e 2z são tais que

)135isen135(cos2z1 °+°= e 2zz 12 −= , então o módulo de 2z é igual a:

a) 22 b) 32

c) 232

d) 224 +

e) 222 +

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Questão 29 (FESP) O valor de 8)2i2( ⋅−− é: a) 64 b) 256 c) 64i d) 256i e) 256(1 + i) Questão 30 (USP)

Dado o complexo 16

isen16

coszπ+π= , o va-

lor de 12z é:

a) 22

i22 ⋅+−

b) 22

i22 ⋅−−

c) i2 +− d) 2i1 ⋅+− e) 2i2 ⋅+− Questão 31 (São Carlos – SP) Dado o complexo 3i1z += , então 6z vale:

a) i331− b) i64−

c) i366 +

d) i331+ e) 64 Questão 32 (FGV)

O valor de 4

i1i1

−+

, sendo i a unidade imagi-

nária é: a) 1 b) i c) −1 d) −i e) 2i Questão 33 (Mack – SP) O valor de 1212 )i1()i1( −−+ , onde 1i2 −= é igual a: a) −128i b) −128 c) 128 d) 128i e) 0

Questão 34 (UNIMONTES / 2001) Se iyxz += é um número complexo imagi-

nário puro, tal que 3z9 e z4 têm o mesmo módulo, então z é igual a:

a) i32

2 + ou i32

2 +−

b) i94

ou i94−

c) i32

ou i32−

d) 32

ou 32−

Questão 35 (UNIMONTES / 2005)

A expressão 2

45

)i1()i1()i1(

−−−−

é igual a:

a) 2 b) i2 c) i2− d) 2− Questão 36 (PAES – 3ª etapa / 2006) O número i3z = , na forma de par ordenado, é igual a: a) (3, 0) b) (1, 3) c) (3, 1) d) (0, 3) Questão 37 (PAES – 3 etapa / 2006)

O quociente 5

5

)i1()i1(

+−

é igual ao número:

a) i b) i1+ c) i− d) i1− Questão 38 (UNIMONTES / 2007) Os possíveis valores da expressão

nn

i1

iA += , onde i é a unidade imaginária e

n ∈ IN, são: a) 2e0 b) ie0,i− c) 2e0,i1± d) 2e0,2−

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GABARITO A →→→→ 9, 15, 16, 22, 30, 32 B →→→→ 1, 3, 11, 19, 20, 21, 29 C →→→→ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 23, 25, 34, 37 D →→→→ 5, 7, 13, 18, 24, 27, 35, 36, 38 E →→→→ 17, 26, 28, 31, 33