UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAIBACENTRO DE CIENCIAS APLICADAS E EDUCACAO

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATASCALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III-PERIODO: 2009.2

PROFESSOR: GIVALDO DE LIMA

2a LISTA DE EXERCICIOS

Assuntos RELACIONADOS:

• Derivadas Parciais

• Derivadas Sucessivas

• Diferenciabilidade

• Aproximacao Linear e Diferenciais

• Regra da Cadeia

1. Um ponto move-se ao longo da interseccao do paraboloide elıptico Z = x2 + 3y2 e do plano y = 1. Quale a taxa de variacao de Z em relacao a x, quando o ponto estiver em (2, 1, 7)?

2. Encontre as derivadas de 1a ordem das funcoes abaixo:

a) f(x, y) = (2x− 3y)3 + x+yxy−1

b) g(x, y) = cos2(3x− y2) + exy. ln y

c) g(u, v) = v2.e2uv

d) f(x, y, z) = 1√x2+y2+z2

+ tan(x + 2y + 3z)

e) f(x, y, z) = e−(x2+y2+z2) + e−xyz

3. Mostre que cada funcao abaixo satisfaz a Equacao de Laplace

∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2= 0,

onde:

a) f(x, y, z) = e3x+4y. cos 5z

b) f(x, y, z) = 2z3 − 3.(x2 + y2).z

4. Se f(x, y) tem derivadas parciais de 2a ordem contınuas e satisfaz a equacao

∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2= 0,

ela e dita uma funcao harmonica. Verifique se as funcoes dadas sao harmonicas:

a) z = ex. sin y

b) f(x, y) = ex. cos y

c) f(x, y) = y3 − 3x2y

d) z = x2 + 2xy

1

5. Quando dois resistores de resistencias R1 ohms e R2 ohms sao conectados em paralelo, sua resistenciacombinada R em ohms e dada por R = R1.R2

R1+R2. Mostre que

∂2R

∂R21

∂2R

∂R22

=4R2

(R1 + R2)4

6. Identifique a regiao de R2 onde as funcoes dadas diferenciaveis, se:

a) f(x, y, z) = exy2

b) f(x, y) = (x2 + y2). sin(x2 + y2)

c) z = sin 2xy√x2+y2

d) g(x, y) =√

x23 + y

23

7. O volume V de um cone circular reto de raio r e altura h e dado por V = 13πr2h. Suponha que a altura

decresca de 20 cm para 19,95 cm, enquanto que o raio cresca de 4 cm para 4,05 cm. Qual a variacaono volume do cone?

8. Sua empresa produz tanques cilındricos circulares para armazenamento de melaco que tem 25 pes dealtura com raio de 5 pes. Qual e a sensibilidade do volume dos tanques a pequenas variacoes da alturae do raio?

9. Duas rodovias intersectam em um angulo reto. O carro A, movendo-se sobre uma das rodovias, aproxima-se da interseccao a 25 km/h, e o carro B, movendo-se sobre a outra rodovia, aproxima-se da interseccaoa 30 km/h. Com que taxa esta variando a distancia entre os carros quando A esta a 0,3 km dainterseccao e B esta a 0,4 km da interseccao?

10. A energia consumida em um resistor eletrico e dada por P = V 2

R em watts. Se V = 120 volts e R = 12ohms, calcular um valor aproximado para a variacao de energia quando V decresce de 0,001 volt e Raumenta de 0,02 ohm.

11. Um material esta sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha conica. Em um dado instante,o raio da base e de 12 cm e a altura e de 8 cm. Calcule o volume aproximado desse material, se o raioda base varia para 12,5 cm e a altura para 7,8 cm.

12. A equacao de um gas perfeito e PV = KT , onde T e a temperatura, P e a pressao, V e o volume eK uma constante. Num certo instante, uma amostra do gas esta sob uma pressao de 2. 106 kg

cm2 , seuvolume e de 5 000 cm3 e sua temperatura e de 300◦k. Se a pressao e aumentada em 1, 5 .105 kg

cm2

por minuto e o volume e diminuıdo em 750 cm3 por minuto, encontre a velocidade de variacao datemperatura.

13. Seja f uma funcao diferenciavel de uma variavel e seja z = f(x + 2y). Mostre que

2.∂z

∂x− ∂z

∂y= 0.

14. Seja z = f(x, y), x = r. cos θ, y = r. sin θ. Mostre que

(∂z

∂x)2 + (

∂z

∂y)2 = (

∂z

∂r)2 +

1r2

.(∂z

∂θ)2.

15. Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar a(s) derivada(s) das seguintes funcoes:

2

a) z = ln(2x2 + y), x =√

t, y = 3√

t2

b) w =√

1 + x− 2yz4x, x = ln t, y = t3, z = 4t

c) z = 3x− 2y, x = u + v. lnu, y = u2 − v. ln v

d) w = ln(x2 + y2 + z2), x = u.ev. sinu, y = u.ev. cos u, z = u.ev e (u, v) = (−2, 0)

e) u = rs2. ln t, r = x2, s = 4y2 + 1, t = xy3

f) z = u.v + u2, u = xy, v = x2 + y2 + lnxy

16. Encontre a linearizacao da funcao dada, no ponto indicado:

a) f(x, y, z) = sin(xy)z em (2, 0, 1).

b) g(x, y) = ln√

1 + xy em (0, 2).

BOM DESEMPENHO!!!

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