2º Exame de Mecânica Aplicada II - fenix.tecnico.ulisboa.pt · MEAer / MEMEc / LEAN Ano Lectivo...
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MEAer / MEMEc / LEAN Ano Lectivo de 2014/2015
Instituto Superior Técnico 27 de Junho de 2015
2º Exame de Mecânica Aplicada II
Este exame é constituído por 4 perguntas e tem a duração de três horas.
Justifique convenientemente todas as respostas apresentando cálculos intermédios.
Responda a cada pergunta em folhas separadas.
Pergunta 1 (5 Val.)
A figura ao lado representa um sistema que inclui
uma engrenagem de pinhão e cremalheira, no qual os
apoios A e D são pontos fixos. Sabendo que a
cremalheira R se move na vertical de baixo para cima
com uma velocidade constante de 120 cm/s, calcule:
a) A velocidade angular e a aceleração angular do
pinhão com eixo em D. [1 Val.]
b) A velocidade angular da barra BC. [2 Val.]
c) A aceleração angular da barra BC. [2 Val.]
Pergunta 2 (5 Val.)
Na vista em planta ao lado figuram duas partículas A e B, ambas de massa m, ligadas por uma barra rígida de
peso desprezável e de comprimento L. Num dado instante uma partícula C, igualmente de massa m, atinge a
barra AB a um quarto do seu comprimento medido a partir de B. A respetiva velocidade (perpendicular à
barra) é nesse instante V, e a partícula C permanece ligada à barra após a colisão. Note ainda que todo o
conjunto se encontra sobre uma superfície horizontal sem atrito.
a) Calcule o momento linear e o momento angular do conjunto em
relação ao seu centro de massa, antes do choque. [1 Val.]
Sugestão: Utilizando um referencial centrado em B, comece por
determinar a localização do centro de massa do conjunto.
b) Quais as velocidades das massas A, B e C imediatamente após o
impacto? [2 Val.]
c) Calcule as velocidades das massas A e B após a barra ter rodado
180º. [2 Val.]
Pergunta 3 (5 Val.)
Uma bola de râguebi é lançada pelo ar. Observa-se que o respetivo vetor velocidade angular é horizontal e o
eixo de simetria OC encontra-se orientado conforme ilustrado na figura. Sabendo que a magnitude da
velocidade angular é 200 rpm e que a razão entre os momentos de inércia axial e transversal é ,
determine:
a) O ângulo entre o eixo de precessão AO e o vetor velocidade
angular , representando num digrama de corpo livre os eixos
locais xyz e todos os ângulos relevantes para a análise. [2 Val.]
b) As velocidades angulares de precessão e rotação própria. [2 Val.]
c) O tipo de precessão da bola, justificando. [1 Val.]
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Pergunta 4 (5 Val.)
Recorde que as coordenadas polares podem ser definidas em por .
A figura ao lado ilustra a trajetória de uma partícula de massa kg para s. Em coordenadas
polares esta trajetória é definida por , com rad/s e m.
a) Mostre que em coordenadas polares todos os símbolos de Christoffel são nulos,
excetuando os seguintes: e . [1 val.]
b) Determine as componentes (polares) contravariantes e físicas da velocidade da
partícula num instante genérico . [2 val.]
c) Determine as componentes (polares) físicas da força a que está sujeita a partícula
num instante genérico . [2 val.]
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Formulário
Relações fundamentais da dinâmica:
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Movimento livre de um corpo axissimétrico:
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Lei de transformação tensorial:
Símbolos de Christoffel em coordenadas ortogonais:
Aceleração em coordenadas curvilíneas:
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Resolução Pergunta 1
a) A velocidade constante de cremalheira R implica que a aceleração angular do pinhão seja nula.
Sendo o movimento da cremalheira vertical de baixo para cima, a velocidade angular do pinhão terá o
sentido anti-horário (aqui considerado como positivo, por convenção) e módulo:
b) Sendo i e j os versores dos eixos x e y (sentidos positivos para a direita e para cima, respetivamente), a
velocidade do ponto C, imposta pela rotação do pinhão, é dada por:
Por sua vez, a velocidade do ponto B, calculada à custa da velocidade anterior, é dada por:
Neste sistema, a velocidade do ponto B pode também ser calculada em termos da velocidade angular da
manivela AB, ou seja:
Naturalmente, a velocidade do ponto B é única, pelo que se podem igualar as expressões vetoriais anteriores
cujas (duas) componentes no plano permitem determinar duas incógnitas. Logo:
Resolvendo em ordem às velocidades angulares das barras AB e BC, resulta:
c) A aceleração do ponto C, imposta pela rotação do pinhão, é dada por:
Por sua vez, a aceleração do ponto B, calculada à custa da aceleração anterior, é dada por:
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Neste sistema, a aceleração do ponto B pode também ser calculada em termos da aceleração da manivela AB,
ou seja:
Naturalmente, tal como a respetiva velocidade, a aceleração do ponto B também é única, pelo que se podem
igualar as expressões vetoriais anteriores cujas componentes no plano permitem igualmente determinar duas
incógnitas. Logo:
Resolvendo em ordem às acelerações angulares das barras AB e BC, resulta:
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Pergunta 2
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Pergunta 3
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Pergunta 4