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Clculo dos Esforos em Vigas

RESISTNCIA DOS MATERIAIS

Conceitos gerais

Conceito de momento

importante lembrar que momento um esforo que provoca giro.

primeira vista a palavra momento no apresenta qualquer relao com a palavra giro. No entanto, elas esto ligadas por um fato histrico: na antiguidade, o tempo (momento) era medido com relgios de sol, instrumento constitudo por uma haste vertical que, projetando sua sombra num plano, indica a altura do Sol e as horas do dia. Assim o tempo (momento) era medido pelo giro aparente do Sol em tomo da Terra.

Conceitos gerais

Para ocorrer um giro ou momento fsico necessrio

que existam duas foras iguais, de mesma direo, de

sentidos contrrios e no colineares, o que se

denomina binrio.

Conceitos gerais

Quanto mais afastadas estiverem as foras maior ser a

intensidade de giro. Isso fcil perceber quando se tira

o parafuso da roda do carro. Quanto maior for o brao

da ferramenta menor ser a fora necessria para

provocar o giro do parafuso.

Conceitos gerais

Conceitos gerais

Matematicamente, pode-se traduzir esse fenmeno

pela relao:

Exemplo: Seja determinar

o valor do momento da

fora F1=2,0 tf em

relao ao ponto P1.

Conceitos gerais

Denomina-se distncia da fora ao ponto menor

distncia entre a linha de ao da fora e o ponto.

Suponha o valor de d = 4m, logo o

momento de F1 em relao a P1 ser:

Esforos nas vigas isostticas

Quando carregadas por uma ou mais foras, as vigas

isostticas deformam-se de maneira que suas sees,

antes paralelas, giram umas em relao s outras, de

forma que se afastam em uma das faces e se

aproximam em outra.


Em todas essas situaes, as vigas se deformam de

maneira que em relao ao eixo reto original aparecem

flechas.


Este fenmeno por isso denominado de flexo e o

esforo que provoca o giro das sees e o

aparecimento de flechas ao longo da viga, de momento

fletor. Sempre que o momento fletor varia de uma

seo para outra, o que mais frequente, aparece na

viga a tendncia de escorregamentos transversal e

longitudinal entre as sees verticais e horizontais da

viga.


Ao esforo que tende a provocar o escorregarnento das fatias

longitudinais e transversais d-se o nome de fora cortante.


Para comprovar que a fora cortante sempre aparece

quando h variao do momento fletor, tome-se nas

mos um mao de folhas de papel (umas 50 folhas).

Aplique-se em uma das extremidades um giro

(momento), deixando livre o outro extremo.


Observe como as folhas escorregam.


Esse fenmeno pode tambm ser observado na

ilustrao:


Em seguida, provoque concomitantemente giros de

mesma intensidade nas duas extremidades.

Observe que neste caso no h mais escorregamento das

tiras, pois o momento no varia de uma extremidade

outra.


Para dimensionar uma viga a flexo deve-se determinar os

valores de momento fletor e da fora cortante de maneira

que se determine a largura e altura de sua seo, para que o

material do qual feita possa resistir s tenses de trao e

de compresso provocadas pelo momento fletor e s

tenses tangenciais ou de cisalhamento provocadas pelas

foras cortantes.

Como se ver mais adiante, as tenses de cisalhamento

provocam tambm tenses de trao e de compresso em

planos inclinados em relao a seo transversal da viga.

Equilbrio externo das vigas -

Clculo das reaes de apoio

Vigas bi apoiadas sem balanos

O equilbrio externo das vigas depende das cargas que

atuam sobre as vigas e das reaes a essas cargas

provocadas pelos vnculos, denominadas reaes de apoio.

As primeiras cargas so denominadas cargas externas

ativas e as segundas, reativas.

Em uma viga, as cargas externas ativas so: cargas

distribudas decorrentes do peso prprio da viga; as cargas

aplicadas pelas lajes e alvenarias; e as cargas concentradas

devidas a outras vigas que nela se apoiam.



Para determinao das cargas externas reativas,

necessrio conhecer-se as foras de reao que cada

vnculo capaz de admitir.

Assim, um apoio articulado mvel, que permite giro e

deslocamento horizontal, s reage a foras verticais.

Portanto, esse vnculo s admite reao vertical. O vnculo

articulado fixo, por impedir deslocamento vertical e

horizontal, admite reaes vertical e horizontal. O vnculo

engastado, que impede rotao e deslocamentos, admite

reao vertical, horizontal e momento.



Se, sob a ao das cargas externas ativas e reativas, a viga

estiver em equilbrio esttico valem as condies de

estabilidade j enunciadas, ou seja, no anda na horizontal,

no anda na vertical e no gira. Essas condies podem ser

traduzidas matematicamente pelas chamadas equaes da

esttica, ou seja:

- no anda na horizontal = 0

- no anda na vertical = 0

- no gira = 0



No andar na horizontal significa que a soma de todas as

foras na horizontal (incluindo as projees horizontais

das foras inclinadas) deve resultar nula.

O mesmo para as foras verticais. No girar significa que

os giros (momentos) que as foras ativas e reativas tendem

a provocar em relao a um ponto qualquer,

preestabelecido, so nulos.



Exemplo: determinar as reaes de apoio da viga da figura

abaixo.



Denominem-se de A e B os apoios. Colocando a seguir as

reaes possveis em cada tipo de vnculo, tem-se:



Em seguida apliquem-se as trs equaes da esttica:

= 0, = 0 e = 0

Usando a primeira equao e convencionando um sinal

para as foras, ou seja, se a fora horizontal tiver o sentido

da esquerda pra a direita ser positiva, caso contrrio

negativa. Essa conveno pode ser oposta a esta sem que

os resultados sofram qualquer alterao. Assim:



Como no existe nenhuma fora horizontal atuando na

viga, a equao resulta no bvio, ou seja, a reao

horizontal no apoio B zero, no existe.

Aplicando a segunda

equao e tambm

convencionando que as

foras com sentido de

baixo para cima so

positivas e as de sentido

contrrio negativas, tem-se:



Deve-se aplicar, ainda, a terceira equao, a que se refere

ao giro, convencionando-se que se a fora tender a fazer a

viga girar no sentido horrio, em relao a um ponto

qualquer escolhido, ela ser positiva, caso contrrio

negativa. Antes de aplicar essa terceira equao

necessrio escolher um ponto qualquer, mas qualquer

mesmo, para se tomar os momentos das foras ativas e

reativas que atuam na viga.



Para tomar o resultado mais rpido, recomenda-se que o

ponto escolhido (tambm denominado polo de momento)

para considerar os momentos das foras, seja um dos

apoios.

Seja, neste exemplo, o ponto B0 polo dos momentos.

Assim:



Considere-se o momento de

cada fora, desconsiderando,

em princpio, as demais, ou

seja:



Portanto, tem-se:



Como M = F x d, no primeiro caso tem-se como fora a

reao VA, cuja distncia ao polo B 5m. Sua tendncia

de giro em relao a B no sentido horrio. Soma-se a esse

momento o momento da fora de 2,0 tf, cuja distncia ao

polo B de 2 m e cujo sentido de giro em relao a B

anti-horrio.

No terceiro caso, a linha de ao da reao VB passa pelo

ponto B, logo sua distncia a B zero, o que resulta em um

momento nulo.



Completando-se a equao

2, tem-se:

Para determinar VB,

substitui-se o valor de VA

na equao 1:



Exerccio: Calcular as reaes de apoio para a viga da figura a

seguir.



Para simplificar o clculo, pode-se generalizar os

resultados, usando uma fora P qualquer atuando sobre a

viga de vo l qualquer e distante a e b dos apoios A e B,

respectivamente.



Desta maneira, basta aplicar diretamente essas relaes

genricas, sem necessidade de se determinar os valores das

reaes usando, toda vez, as equaes da esttica.

Se houver mais de uma carga na viga, faz-se o clculo das

reaes parciais para cada carga, somando-se ao final esses

valores parciais para obter a reao total em cada apoio.



Exemplo:



A viga deste exemplo pode ser decomposta em trs vigas, carregada cada uma com uma carga concentrada. Calculam-se os valores das reaes para cada viga e somam-se esses valores parciais para obter o valor final.

Exemplo:



Somando-se os valores parciais,

tem-se:



No caso de cargas uniformemente distribudas sobre a

viga, tais como seu peso prprio, laje e alvenaria, usa-se o

artifcio de substituir a carga distribuda pela sua resultante.



Como a carga distribuda de 2,0 tf/m e o seu

comprimento de 4 m, sua resultante de P = 2,0 tf/m

x 4 m = 8,0 tf, aplicada no meio, ou seja:



Usando as equaes da esttica, desconsiderando a que

se refere a foras horizontais, j que s existem cargas

verticais atuando sobre a viga, tem-se:



Resultados que eram de se esperar: j que a carga

uniformemente distribuda sobre toda a extenso da viga,

metade de seu valor vai para cada apoio. Generalizando,

considerando a carga distribuda q e o vo l, tem-se:



Exemplo: Calcular as reaes de apoio da viga da figura.

Carga distribuda:



1 carga concentrada:



2 carga concentrada:



Vigas em balano

Como foi visto, uma viga em balano aquela em que uma

das extremidades totalmente livre de apoio e a outra

apresenta um apoio engastado.



Como o vnculo engastado no admite deslocamentos

horizontal e vertical e nem o giro da barra, ele capaz de

absorver reaes horizontais, verticais e momento.



Lembrar que a linha de ao da reao

VA passa pelo ponto A, escolhido como

polo dos momentos. J o momento

reativo MA, apesar de estar atuando no

polo A, no se anula, porque ele j um

momento e no uma fora, por isso no

multiplicado por qualquer distncia.



O resultado esperado, pois o momento de P em relao ao apoio o seu

valor P multiplicado pela sua distncia ao apoio, bo, portanto P x bo .

Esse resultado pode ser generalizado para qualquer quantidade de cargas

concentradas.

Assim:



Exemplo: Calcular as reaes de apoio para o balano da figura.



A viga da figura da pgina anterior pode ser decomposta em

trs outras:



Somando todas as reaes intermedirias, tem-se:



No caso de carga distribuda, usa-se o mesmo artifcio j usado

anteriormente: substitui-se a carga distribuda pela sua resultante. Assim:



As vigas biapoiadas, j estudadas, tambm podem

apresentar balanos, o que no altera os procedimentos

vistos.

Suponha-se a situao da figura, onde s existe a carga

P concentrada aplicada no extremo do balano:



O resultado negativo para a reao VA indica que est ocorrendo um

arrancamento no apoio. Esse efeito que o momento do balano causa nas

reaes de apoio, aliviando o apoio oposto e sobrecarregando o apoio do

balano denominado efeito de alavanca. Pois, nessa situao, a viga se

comporta como uma alavanca, usada para levantar pesos.

Uma outra maneira de encaminhar a soluo e que pode agilizar os

clculos considerar o vo independente do balano, calcular o balano

independentemente e aplicar o resultado ao vo.



Assim:



Repare que os resultados so os mesmos. Prestando mais

ateno aos valores obtidos, pode-se notar que:

Sendo P x bo o momento devido ao balano, tem-se que a

reao VA o momento do balano dividido pelo vo, ou seja:



Como P a carga no balano, tem-se que a reao VB igual

s cargas existentes no balano somadas ao momento do

balano (P x bo), dividido pelo vo central, ou seja:



Considere-se a situao apresentada na figura a seguir:

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