Mtodos Aproximados

Mtodos AproximadosTeoria de PerturbaesAluno: Edison Franco JuniorOrientadora: Dra. Paula Homem de MelloReunio do Grupo de PesquisaTeoria das PerturbaesProblema Clssico de trs corpos no tem soluo analtica.A mecnica quntica tambm possue esse problema.

A rigor, mesmo um tomo simples com dois eltrons s pode ser estudado por solues aproximadas.Isto impe o estudo de solues no-analticas gerais para problemas em qumica quntica.

Este mtodo foi outra contribuio original de Schrdinger em seu terceiro artigo em 1926, sendo uma adaptao da teoria clssica de perturbaes desenvolvida por Rayleigh para problemas acsticos, trinta anos antes.

Teoria das PerturbaesSuponha que temos resolvido a equao de Schrdinger independente do tempo para um potencial qualquer (poo potencial infinito em uma dimenso)

Teoria das PerturbaesTemos a perturbao do sistema:

Onde l um parmetro de controle que garante que a funo de onda e a energia dos estados perturbados tendam aos respectivos valores originais quando a perturbao tende a zero.

Teoria das PerturbaesPara que a srie da energia e a srie da funo de onda sejam convergentes e seus resultados confiveis

Termo que representa o problema de referncia;Termo que representa uma correo em primeira ordem;Termo que representa uma correo em segunda ordem;

Teoria das Perturbaes

A Equao fundamental a resolver escrita como:

Onde se deseja conhecer a funo de onda e a energia em cada uma das ordens estabelecidas por potncias de l.Teoria das Perturbaes

A soma completa possui o seguinte aspecto:

Como a escolha da hamiltoniana, da funo de onda de referncia e do potncial perturbador arbitrria, cada um dos coeficientes de potncias de l deve se anular independentemente:Teoria das PerturbaesA primeira equao est ligada hamiltoniana de referncia. As demais definem a equao de perturbao em primeira e segunda ordens. Multiplicando-se todas as equaes esquerda por Y0*k(x) e integrando-as em todas as pores, obtm-se:

Porm, necessrio verificar a normalizao da funo de onda.Teoria das PerturbaesExpandindo a Integral de normalizao, ou seja:

nas vrias ordens de l, obtemos;

Teoria das PerturbaesComo a equao anterior necessita ser satisfeita para todo valor de l, e tendo em vista que o valor unitrio do termo de ordem zero, conclumos pelo valor nulo das demais ordens, ou seja;

Teoria das PerturbaesDa primeira equao conclui-se que a funo de onda em primeira ordem ortogonal funo de onda em ordem zero. O mesmo no acontece com a funo de onda em ordem dois, que no-ortogonal funo em ordem zero. Empregando as condies de ortogonalidade, obtemos;

Teoria das PerturbaesTeoria das Perturbaes em 1a ordem para estados no-degeneradosTeoria das Perturbaes de 1a ordemA equao fundamental em primeira ordem :E a correo na energia em primeira ordem :

Termo desconhecido

Teoria das Perturbaes de 1a ordemO Termo desconhecido a correo para a funo de onda do sistema em primeira ordem.Que pode ser determinado utilizando uma expanso em srie baseada no conjunto de autofunes do sistema de referncia.

Com ikTermo desconhecido

Teoria das Perturbaes de 1a ordemSubstituindo a expanso na equao fundamental abaixo, fica:

Teoria das Perturbaes de 1a ordemLembrando que a ao da hamiltoniana em ordem zero sobre a funo de onda do estado de referncia o produto desta por seu auto valor, possvel simplificar a expresso anterior:

Se, alm disso, multiplicarmos por e integrarmos em todo o espectro de posies, temos:

Com ikTeoria das Perturbaes de 1a ordemReconhecendo que as funes de onda em ordem zero formam um conjunto completo ortogonal, e que as integrais de entrosamento se anulam para ndices diferentes, possvel reescrever a equao anterior recorrendo a funo delta:

Onde se adotou a seguinte conveno:

Com ikTeoria das Perturbaes de 1a ordemDeve-se observar a restrio ik se aplica exclusivamente primeira soma presente na equaao abaixo. Da, existirem duas possibilidades associadas aos valores de l, i e k. Na primeira, o somatrio relativo contribuio em primeira ordem se resume ao termo proporcional a c1, equanto o termo direita se cancela.

Teoria das Perturbaes de 1a ordemPortanto, a funo de onda completa :

Enquanto a energia total escrita como:Teoria das Perturbaes de 1a ordemA hamiltoniana perturbadora deve ser par, de modo que seu valor mdio seja diferente de zero. Quando a hamiltoniada for mpar e o estado no-degenerado, faz-se necessrio empregar a teoria de perturbaes em segunda ordem. interessante notar que, embora a contribuio da energia em primeira ordem seja nula, a contribuio funo de onda aprecivel.

A contribuio funo de onda do nvel k mxima para estados cujas energias so prximas a esse estado, tendo em vista a contribuio do termo presente no denominador.

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