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Qualidade da Energia Elétrica em Ambiente Aeronáutico - 2013 J. A. Pomilio

1

3 DISTORÇÕES DA FORMA DE ONDA

3.1 Noções Fundamentais

3.1.1 Resumo dos efeitos das distorções das formas de onda

Em uma rede CA, o que se espera e deseja é que a única frequência presente seja a da

frequência da rede (400 Hz, por exemplo). A presença de componentes espectrais,

principalmente acima da componente fundamental, pode acarretar uma série de efeitos

indesejados no sistema elétrico como, por exemplo:

1. Excitação de correntes ou tensões ressonantes entre indutâncias e capacitâncias.

Casos típicos: associações de capacitores com transformadores, cabos com blindagem,

capacitores associados com motores, capacitores operando com reatores, dispositivos de

correção de fator de potência, etc.

2. Sobrecorrente de neutro.

Casos típicos: circuitos com lâmpadas de descarga com reatores ferromagnéticos ou

circuitos retificadores monofásicos podem provocar correntes de neutro maiores que as de

linha, devido às harmônicas de sequência zero.

3. Sobreaquecimento de núcleos ferromagnéticos.

Casos típicos: aumento de perdas por histerese e correntes parasitas em núcleos de

motores, geradores, transformadores, reatores, relés, etc.

4. Aparecimento de vibrações e ruído.

Casos típicos: ferro-ressonância em transformadores e reatores, motores de indução

ressonando com a compensação capacitiva, etc.

5. Sobreaquecimento de capacitores.

Caso típico: ressonância de capacitores shunt, provocando sobretensão e perdas

excessivas no dielétrico. Risco de explosão do capacitor por falta de dissipação do calor

gerado internamente.

6. Erro de medição de grandezas elétricas.

Casos típicos: medidores de energia com disco de indução, medidores de valor eficaz

baseados no valor de pico ou valor médio, etc.

7. Erro de controle de conversores.

Casos típicos: detectores de sincronismo e comparadores de nível, usados como

referência para gerar pulsos de controle em chaves eletrônicas;

8. Erro de atuação da proteção.

Casos típicos: relés eletromagnéticos atracando devido à contribuição das harmônicas,

relés eletrônicos e digitais com erro de calibração na presença de distorções, etc.

9. Interferências e ruídos eletromagnéticos.

Casos típicos: fontes chaveadas, conversores de frequência, pontes retificadoras,

inversores, sistemas de acionamento controlado eletronicamente, etc.

Como se pode ver, a presença de harmônicas na rede pode criar problemas dos mais

variados e de difícil diagnóstico com antecedência.


2

3.1.2 Análise de sinais no domínio da frequência e no domínio do tempo

Pode-se extrair um grande número de informações de sinais periódicos e aperiódicos no

domínio do tempo. Em outros casos, no entanto, pode ser mais conveniente analisar um sinal no

domínio da frequência.

Sabe-se que análises no domínio da frequência pressupõem periodicidade no tempo, isto

é, para existir um mapeamento entre os domínios do tempo e da frequência os fenômenos no

domínio do tempo devem se repetir em intervalos iguais a T, sendo T o período de tempo que

contém um ciclo do sinal de frequência f. Com isso se estabelece a regra básica de mapeamento

entre os dois domínios: fT

1

Tudo se passa como se o domínio da frequência enxergasse o domínio do tempo sob a

ótica de intervalos regulares de tempo. Para perceber melhor as vantagens que essa representação

de sinais pode trazer, tome-se um sinal com representação simples nos dois domínios: a senóide.

Representação no Domínio do Tempo

No domínio do tempo precisa-se definir explicitamente a função e os parâmetros que a

caracterizam, por exemplo: )2sen(.)( ftAtx

Figura 3.1 Representação de senóide no domínio do tempo.

portanto, tem-se três parâmetros característicos (A, T, ):

A= amplitude Tf

1 2

= período fase inicial

No caso de sinal composto de k frequências, são 3k parâmetros além da função analítica

(no caso a função seno) para caracterizar a sucessão de valores no domínio do tempo.

Representação no Domínio da Frequência

No domínio da frequência esse mesmo sinal é representado apenas pelos seus parâmetros,

ficando subentendida a função temporal escolhida (senóide) como referência na decomposição:

x f A f( ) [ , , ] Amplitude

f0

Fase

f0

A

Figura 3.2 Representação de senóide no domínio da frequência.


3

Uma vez que a função periódica de referência já está implícita no domínio da frequência,

a caracterização do sinal decomposto em termos dessa referência necessita apenas dos

parâmetros resultantes da decomposição.

Representação de Sinais Periódicos Compostos: (ondas triangular, quadrada, etc.)

Um sinal periódico qualquer pode ser expresso como série de senos e cossenos. Por

exemplo a função f t t t t t1 1 1 1 1

1

22

1

33

1

44( ) sen sen sen sen ... produz uma

onda dente de serra, com valor de pico

2.

Figura 3.3 Primeiros 5 termos somados da série da onda dente de serra.

Por outro lado a função

...t5cos

5

1t3cos

3

1tcos

4)t(f 1112

produz uma onda

quadrada de amplitude unitária.

Figura 3.4 Primeiros 5 termos somados da série de uma onda quadrada.

Uma onda triangular é expressa por f t t t t3 1 1 1

4 1

93

1

255( ) sen sen sen ...

T/2

T


4

Figura 3.5 Primeiros 3 termos somados da série da onda triangular.

Os três exemplos mostram algumas propriedades gerais importantes das denominadas

séries de Fourier ou, como são também chamadas, as séries harmônicas i:

1 - as séries são formadas por múltiplos inteiros da frequência fundamental ( )f h

1

2. As

frequências múltiplas são chamadas harmônicas (fh = h.f1, h = 2,3,4...).

2 - se a função é par [f(t) = f(-t)], a série contém apenas termos em cosseno; se for ímpar [f(t)

= -f(-t)], contém apenas termos em seno.

3 - se a função apresentar simetria de meia onda )]()([2Ttftf então a série não contém

harmônicos pares, pois só as ímpares satisfazem essa propriedade.

4 - se a série for truncada, aparece o efeito Gibbs nas descontinuidades, devido à falta dos

termos de alta frequência.

Para uma análise mais aprofundada, consulte os Apêndices ao final do capítulo.

3.1.3 Quantificação da distorção da onda

Qualquer onda periódica pode ser expressa como um somatório de termos em seno e

cosseno com frequências múltiplas inteiras da frequência fundamental (que é dada pelo inverso

do período da onda original, f1 = 1/T). Isso pode ser obtido pela decomposição do sinal original

na chamada série de Fourier.

Considere-se uma onda quadrada unitária, simétrica em torno da origem, que pode ser

expressa através da seguinte série de cossenos:

...3,2,1,0)2cos(1

)1(4

)(12

1

ktfhh

tvkh

k

T (3.1)

Suponha-se que essa onda quadrada seja o sinal, cuja distorção em relação à fundamental

queremos analisar. Da somatória (3.1) podemos isolar a onda fundamental, obtendo:

v t f th

h f t kT

k

h k

( ) cos( ) ( ) cos( ) , , ...

4

24

11

2 1 2 31 1

2 1

T/2

T


5

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 2

1

0

1

2

q t ( )

h1 t ( )

h3 t ( )

h5 t ( )

h7 t ( )

t

Figura 3.6. Composição de onda quadrada a partir de suas harmônicas

Portanto, a onda fundamental dessa forma quadrada é dada por:

v t f t f t1 1 1

42

42 2( ) cos( ) sen( / )

ou seja, a amplitude da fundamental vale 4/. Notar que essa amplitude é maior que a amplitude

da onda quadrada da qual foi extraída.

Podemos definir o sinal distorcivo como sendo o que resta de (3.1) se eliminarmos a

fundamental.

)()()( 1 tvtvtv Tres (3.2)

Pode-se ainda expressar essa relação em termos do valor eficaz dos componentes,

resultando (letra maiúscula indica valor eficaz da onda).

2

2

h

hres VV (3.3)

VT

v t dth h

T

1 2( ). é o valor eficaz da tensão harmônica vh(t). Dividindo (3.3) por V1, que é o

valor eficaz da onda fundamental v1(t) e comparando com a definição usual da grandeza

designada Distorção Harmônica Total (DHT):

N

h

h

N

h

h

V

V

V

V

DHT2

2

11

2

2

(3.4)

nota-se que DHT é uma aproximação ao valor eficaz normalizado da tensão distorciva,

considerando as primeiras N harmônicas (as normas estabelecem o valor da máxima ordem

harmônica de interesse, tipicamente a 40ª ou a 50ª).

A DHT definida para a tensão é geralmente uma boa indicação do valor das harmônicas,

uma vez que o valor da componente fundamental da tensão é relativamente constante. O mesmo

não vale para a corrente, uma vez que a alteração da componente fundamental (associado a

variações da carga) pode ser muito significativa1.

1 Considere um alimentador com tensão de 1 pu e reatância série equivalente de 0,02 pu (na frequência

fundamental). No PAC podem ser conectadas cargas não-lineares distintas. Uma apresenta, em condições nominais,


6

Para a análise do efeito das distorções da corrente é mais significativo considerar os

valores absolutos das harmônicas do que a DHT.

3.1.3.1 Processamento do fator de distorção no domínio do tempo

Essa constatação permite estabelecer uma maneira de estimar o valor do Fator de

Distorção diretamente no domínio do tempo através do cálculo do valor eficaz do resíduo da

tensão após filtrar a fundamental, sem a obtenção individualizada das componentes espectrais.

Esse algoritmo requer apenas uma rotina para o cálculo de valor eficaz, que pode ser realizado no

domínio do tempo. Na verdade este procedimento calcula a totalidade da distorção, incluindo o

efeito de inter e sub-harmônicas, caso estejam presentes no sinal ii.

60Hz

1

0

Cálculo valor

RMS Cálculo valor

RMS

Ires

I1

FD

is(t)

-

+

i1(t)

I1 Ires

Filtro Notch

ires(t)=is (t)-is1(t)

Figura 3.7 Algoritmo para estimar a distorção total no domínio do tempo.

Exemplo: Cálculo da DHT de onda quadrada de tensão:

A amplitude da fundamental de uma onda quadrada unitária vale 2732.14

V1p

.

O valor eficaz da fundamental, portanto, vale 900.022

2

4V

1ef

.

Por outro lado, o valor eficaz da onda quadrada é dado por 2

h

2

efef VVV1

.

Para uma onda unitária tem-se

2

hV22

1

19.081.01V 2

h

Assim obtém-se a DHT da onda quadrada: 484.090.0

19.0DHT , cujo valor é o mesmo

obtido pela formulação tradicional: 2

1

1hV

VDHT

uma corrente fundamental de 1 pu e DHT de corrente de 100% (5ª harmônica com 80% e 7ª harmônica com 60% da

fundamental). Outra possui uma corrente fundamental de 10 pu e DHT de 20% (5ª harmônica com 16% e 7ª

harmônica com 12% da fundamental). Pergunta-se: Qual destas cargas produzirá uma maior distorção na tensão do

PAC?


7

3.2 Considerações sobre equipamentos digitais para análise de sinais elétricos

Um analisador digital de sinais realiza coleta amostras dos sinais. Existe um intervalo

regular de amostragem que determina a taxa de amostragem. Os valores amostrados são

discretizados, o que implica que o valor registrado não é o valor exato do sinal contínuo mas sim

uma aproximação deste valor dentro de um intervalo de discretização. A precisão deste

procedimento depende da quantidade de bits do conversor analógico-digital. Por exemplo, uma

codificação em 8 bits, sendo que o primeiro destes representa a polaridade do sinal amostrado,

leva à existência de 27=128 níveis possíveis de serem atribuídos ao sinal discretizado, ou seja,

tem-se uma precisão de aproximadamente + 0,4% do valor máximo (fundo de escala).

É preciso também ter em mente que, principalmente nas medições de corrente, o valor

pode ser muito menor do que o valor máximo (fundo de escala), o que torna o erro relativo

significativamente maior.

Para o usuário de um equipamento digital de análise da energia elétrica é importante

conhecer algumas especificações do aparelho para poder utilizar com crítica os resultados

apresentados.

Feita a digitalização das amostras, a decomposição de Fourier normalmente é feita

usando um eficiente algoritmo, conhecido como transformada rápida de Fourier ou FFT (“Fast

Fourier Transform”) o qual calcula as amplitudes e fases das componentes harmônicas.

Neste caso, a ferramenta matemática não mais é a série de Fourier, mas a Transformada

de Fourier, mais especificamente a Transformada Discreta de Fourier, que é aplicada às amostras

dos sinais. O aprofundamento deste tópico transcende os objetivos deste curso. Algumas

informações adicionais são dadas no Apêndice B.

Em linhas gerais, a quantidade de amostras por ciclo determina a capacidade de

identificação da máxima frequência. Pelo Teorema da Amostragem (ou de Nyquist2) são

necessárias duas amostras para identificar uma frequência. Assim, um equipamento que tome 16

amostras por ciclo da frequência fundamental é capaz de identificar até a 8ª harmônica. Tal

identificação se refere à presença de componente harmônica nesta frequência e não à

determinação exata do valor desta componente ou de sua fase.

A resolução em frequência, entendida como a capacidade de identificar a existência (ou

não) de uma componente qualquer é inversamente proporcional ao tempo de amostragem (ou à

quantidade de ciclos amostrados). Assim, se o tempo de amostragem é de 100 ms, a resolução

em frequência é de 10 Hz, ou seja, é possível saber se existem componentes espectrais em 10, 20,

30 Hz… Não será identificada corretamente uma componente que exista, por hipótese, em 85

Hz.

3.3 Normas e Critérios de Avaliação de Distorção Harmônica

Faz-se aqui uma breve apresentação dos aspectos relacionados aos limites de harmônicas

de tensão estabelecidos pela norma MIL-STD-704F. Esta norma se refere às propriedades que o

sistema elétrico da aeronave deve apresentar e não se dirige aos equipamentos a serem instalados.

A figura 3.8 mostra os limites aceitáveis de componentes espectrais presentes na tensão.

Pelo tipo de especificação, são incluídas também componentes não harmônicas, ou seja,

componentes que não sejam múltiplas da fundamental. Estão presentes também limites para

componentes abaixa da frequência fundamental, chamadas de sub-harmônicas. Tais componentes

2 http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da_amostragem

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da_amostragem


8

de baixa frequência podem estar associadas, por exemplo, a efeitos de regulação da amplitude da

fundamental, ou a cargas cíclicas que perturbam a tensão.

O máximo Fator de Distorção admissível é de 5%. 3

12

1

2

I

IFD RMS

(3.5)

No eixo vertical à direita da figura tem-se os valores eficazes equivalentes aos valores em

dBV (na base de 1 V – valor eficaz) colocados no eixo à esquerda.

Por exemplo, em um sistema de frequência constante (115 V, 400 Hz), se a terceira, a

quinta e a sétima harmônicas da tensão (1,2; 2 e 2,8 kHz, respectivamente) tiverem,

individualmente, até 3,16 V, o Fator de Distorção será de 4,75%, ou seja, ainda estará em

conformidade com a norma. Uma forma de onda com tal distorção é mostrada na figura 3.9. A

partir de 3 kHz o valor admissível vai diminuindo.

Nos sistemas de frequência variável o padrão é o mesmo, apenas com uma ampliação da

faixa de mais elevadas componentes até 6 kHz (um pouco acima da sétima harmônica de 800

Hz).

Figura 3.8 Limites de distorção de tensão para sistema 400 Hz ou de frequência variável.

iii

3 Fator de distorção: o fator de distorção CA é a relação entre a distorção CA e o valor eficaz da componente

fundamental. O fator de distorção CC é a relação entre a distorção CC e o valor médio de regime permanente.

Distorção: é o valor eficaz de uma forma de onda alternada (CA), retirando-se sua componente fundamental. Em um

sistema CC, a distorção é definida como o valor eficaz da grandeza, retirando-se o valor médio.


9

Frequency

0Hz

1KHz

2KHz

3KHz

4KHz

5KHz

6KHz

7KHz

8KHz

9KHz

10KHz V(R1:

1)

1.0V

10nV

SEL>>

Tim

e

0s 1m

s 2m

s 3m

s 4m

s 5m

s 6m

s 7m

s 8m

s 9m

s 10

ms V(R1:1)

-200V

0V

200

V

Figura 3.9 Forma de onda (115 V, 400 Hz) com 3ª, 5ª e 7ª harmônicas com 3,16 V, FD=4,75%.

A figura 3.10 mostra os limites para redes de 60 Hz. O comportamento é do mesmo tipo

estabelecido para 400 Hz ou para frequência variável. Entre a terceira e a sétima harmônicas tem-

se valores mais elevados considerados aceitáveis.

Figura 3.10 Limites de distorção para sistema de 60 Hz.

No caso dos barramentos CC, não cabe o conceito de harmônicas, uma vez que não há

uma frequência fundamental. Os componentes espectrais eventualmente presentes são devidos ao

processo de produção dessa tensão CC (retificação da tensão CA, por exemplo) ou por ação da

corrente associada a cada carga alimentada. A figura 3.11 mostra os limites para o barramento de

28 V. Na faixa de 1 a 5 kHz são aceitáveis componentes espectrais de até 1 V, e valores menores

abaixo de 1 kHz e acima de 5 kHz. O Fator de Distorção aceitável é de 3,5%, com amplitude de

ripple4 de 1,5 V máximo.

4 Ripple (ondulação): é a variação da grandeza elétrica (tensão ou corrente) sobre o valor médio, em uma situação de

regime permanente. A amplitude do ripple é o máximo valor da diferença entre o valor médio e o valor instantâneo.


10

Figura 3.11 Limites de distorção para sistema 28 V.

A figura 3.12 mostra os limites para um barramento CC de 270 V. Os valores máximos

também estão na faixa de 1 a 5 kHz e podem atingir 3,16 V. Note-se que, em termos relativos,

esses valores são muito menores do que os aceitáveis no barramento de 28 V. O fator de

distorção aceitável é de 1,5%, com amplitude máxima de ripple de 6 V.

Figura 3.12 Limites de distorção para sistema 270 V.

3.4 Distorção da corrente absorvida conforme a Recomendações RTCA DO-160F

Como já apresentado, a recomendação se aplica a equipamentos com alimentação CA

com potência individual acima de 35 VA, ou ainda a um conjunto de cargas iguais que totalizem

pelo menos 150 VA.

Quando alimentado por uma tensão cuja THD seja menor que 1,25%, o EUT (Equipment

Under Test) não deve absorver correntes harmônicas que sejam 25% acima daqueles limites

especificados nas tabelas 3.1 e 3.2, para cada 1% de distorção nas correspondentes harmônicas de

tensão. Um exemplo é dado na Tabela 3.3.


11

Tabela 3.1 Limites de componentes harmônicas de corrente para equipamento monofásico

I1 é a máxima componente fundamental medida em regime permanente, com demanda

máxima de potência pelo EUT, para uma única frequência de teste. Este valor deve ser

usado para o cálculo dos valores percentuais das harmônicas em todas as demais

condições de teste.

Ih é a máxima componente harmônica obtida no conjunto de modos de operação.

A Tabela 3.1 indica que no EUT a 3ª harmônica pode ter 10% da fundamental, 6% para a

5ª harmônica e 4,28% para a 7ª. As componentes sucessivas vão sempre reduzindo o valor

admissível. Tal redução nas componentes da corrente à medida que cresce a frequência se deve

ao aumento da reatância do alimentador que, para minimizar a distorção na tensão, exige

menores componentes na corrente.

As componentes pares apresentam valores significativamente menores, pois tais

componentes potencialmente causam problemas ao melhor funcionamento das cargas

(principalmente eletrônicas) presentes no sistema, devido à assimetria que produz nas formas de

onda, como se pode verificar nas figuras a seguir, que ilustram situações de um retificador

monofásico a diodos, com filtro capacitivo, como mostra a figura 3.13.

Vp.sin(wt)

+

Vo

Figura 3.13 Retificador monofásico com filtro capacitivo.

A figura 3.14 apresenta resultados para diferentes composições espectrais da tensão. No

caso a), a tensão é senoidal e a forma de onda resultante para a corrente de entrada é idêntica em

ambos semiciclos. No caso, b), com a presença de terceira harmônica, embora as formas de onda

de tensão e corrente se alterem consideravelmente, a corrente continua com o mesmo formato em

ambos semiciclos. Quanto a tensão apresenta harmônica par, como mostra o caso c), a forma de

onda se altera de um semiciclo para outro, tanto em termos de duração do intervalo de condução

quanto em valores máximos. Também o ripple da tensão de saída se torna diferente em cada

semiciclo.


12

Tim

0s 1ms

2ms

3ms

4ms

5ms

6ms

7ms

8ms

9ms

10ms I(V2)

-5.0A

0A

5.0A Time

0s 1m

s 2m

s 3m

s 4m

s 5m

s 6m

s 7m

s 8m

s 9m

s 10m

s V(D1:1)

V(R1:1,D4:1)

-200V

0V

200V

SEL>>

a) Tensão senoidal.

Tim

0s 1ms

2ms

3ms

4ms

5ms

6ms

7ms

8ms

9ms

10ms I(V2)

-10A

-5A

0A

5A Time

0s 1m

s 2m

s 3m

s 4m

s 5m

s 6m

s 7m

s 8m

s 9m

s 10m

s V(D1:1)

V(R1:1,D4:1)

-200V

0V

200V

SEL>>

b) Tensão com harmônica ímpar (3ª harmônica)

Time

0s 1ms 2ms 3ms 4ms 5ms 6ms 7ms 8ms 9ms 10ms I(V2)

-8.0A

-4.0A

0A

4.0A Time

0s 1ms 2ms 3ms 4ms 5ms 6ms 7ms 8ms 9ms 10ms V(D1:1) V(R1:1,D4:1)

-200V

0V

200V

SEL>>

c) Tensão com harmônica par (2ª harmônica)

Figura 3.14 Formas de onda em retificador monofásico a diodo.


13

A Tabela 3.2 mostra os limites para equipamentos com alimentação trifásica. As

restrições são mais severas do que no caso monofásico, com 3ª, 5ª e 7ª harmônicas limitadas,

cada uma, a 2% da fundamental. Por outro lado, a 11ª pode atingir 10% da fundamental,

enquanto a 13ª pode ir a 8%. Há, assim, uma grande restrição às harmônicas de baixa ordem, o

que tem grande influência da escolha dos conversores que podem ser conectados ao barramento

CA os quais, por exemplo, devem ser isentos (ou quase) de 3ª, 5ª e 7ª harmônicas.

Tabela 3.2 Limites de componentes harmônicas de corrente para equipamento trifásico

O equipamento deve ser testado em duas condições de distorção na tensão. Em ambos os

casos a tensão de alimentação será de 115V e as frequências de ensaio serão:

A(CF): 400 Hz +1%.

A(NF): 360, 400, 500, 600 and 650 +/- 1 Hz

A(WF): 360, 400, 500, 600, 650, 700 and 800 +/- 1 Hz.

Condição de Teste 1:

A tensão na entrada do EUT deve ter distorção menor que 1,25% durante todo procedimento. Se

a potência do equipamento for superior a 2 kVA, pode ser que a impedância de saída da fonte

não seja baixa o suficiente para garantir essa baixa distorção na tensão. Nesse caso, é aceitável

uma distorção de até 4%.

Condição de Teste 2:

A THD da tensão na entrada do EUT deve ser maior ou igual a 8% para equipamentos A(CF) e

A(NF) e 10 % para a categoria A(WF).

Devem ser tabulados os valores até a 40ª harmônica, para cada fase da alimentação. A

resolução espectral deve ser melhor que 20 Hz. O cálculo da fase das harmônicas é opcional.

Os testes devem ser realizados para máxima e mínima potência em regime permanente. Se

a diferença entre estes valores for menos que 25%, toma-se apenas a situação de máxima

potência. O sensor de corrente deve ter um erro de amplitude menor que 3% e erro de fase menor

que 5º, na faixa até 50 kHz.

Componentes espectrais menores que 10 mA ou que 0,25% da fundamental (o que for

maior) devem ser desconsideradas.


14

O analisador de espectro, ou outro aparelho de análise, deve garantir um erro no valor da

harmônica menor que 5% do limite estipulado. A resolução deve ser melhor que 20 Hz. Como

indicativo tem-se uma frequência de amostragem mínima de 100 kHz; janela de amostragem de

50 ms ou maior; filtro de anti-aliasing com frequência de corte entre 25 e 50 kHz; janelamento

tipo retangular, Hanning, Hamming ou Blackman-Harris.

A Tabela 3.3 mostra um exemplo de cálculo de conformidade para condição de teste 2

(monofásico), no qual se faz o ajuste dos limites em função da distorção prévia presente na

tensão. Observe que o valor de distorção da tensão é muito acima do permitido pela norma MIL-

STD-704F. O objetivo é garantir que, mesmo em condições muito mais problemáticas, o

equipamento ainda mantenha um funcionamento adequado.

Tabela 3.3 Tabela exemplo de cálculo de conformidade para condição de teste 2 (monofásico)

3.5 Origem das distorções harmônicas

Uma distorção de forma de onda é dita harmônica quando a deformação apresenta

espectro com apenas frequências múltiplas inteiras da fundamental. Esse tipo de deformação

periódica geralmente é imposta pela relação não-linear tensão/corrente característica de

determinados componentes da rede, como por exemplo, transformadores e motores, cujos

núcleos ferromagnéticos são sujeitos à saturação. Outra causa de não-linearidades são

conversores eletrônicos, pontes retificadoras e compensadores estáticos.

Cargas que, além de serem não-lineares, também variam ao longo do tempo, produzem

distorções variáveis no tempo o que leva ao aparecimento de frequências inter-harmônicas além

de harmônicas moduladas iv

. É o caso dos fornos a arco e de compensadores reativos controlados

por tiristores v

vi. Por esse motivo, e por sua enorme potência (dezenas de MW), os fornos

elétricos a arco são considerados cargas problemáticas para a operação de sistemas elétricos. Os

exemplos a seguir visam mostrar o efeito distorcivo, provocado por não-linearidades típicas,

impostas ao sistema.


15

3.5.1 Efeito distorcivo devido à saturação magnética

Suponhamos que a curva de magnetização de um núcleo de transformador seja

aproximada pela característica não-linear seguinte:

)2(.2)( ftsent (3.6) 2))((3,1).(.)( ttkti (3.7)

dt

dtv

)( (3.8)

Se assumirmos f=50 Hz e k=0,1 resulta a característica (t) por i(t) da Figura 3.15, que se

aproxima de uma curva de magnetização típica. Neste exemplo hipotético, a corrente, apesar de

distorcida, estará em fase com o fluxo, mas estará deslocada temporalmente5 da tensão, de

acordo com a relação (3.8). Deve-se recordar ainda que o efeito da histerese do material

magnético torna mais complexo analisar a relação entre estas grandezas. Mesmo assim, o

exemplo serve para mostrar que harmônicas de corrente são produzidas por esse tipo de não-

linearidade.

H(TX2)

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 -0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 B(TX2)

-5.0K

0

5.0K

Figura 3.15 Característica não-linear (t) x i(t) e curva típica de núcleo ferromagnético com

histerse

Impondo-se uma tensão de excitação senoidal, resultará um fluxo senoidal, de acordo

com (3.7). A corrente de magnetização resultará com a forma de onda mostrada na Figura 3.16.

Time

0s 2ms 4ms 6ms 8ms 10m

s I(L1)

-4.0mA

0A

4.0mA V(TX2:1)

-200V

0V

200V

SEL>>

Figura 3.16. Efeito distorcivo devido à característica não-linear de núcleo ferromagnético.

Tensão senoidal imposta e corrente resultante

5 Não é correto, embora seja usual, fazer referência à fase de sinais periódicos não senoidais. Na verdade defasagem

só é possível ser definida entre sinais senoidais de mesma frequência.

(t)


16

A distorção da onda de corrente fica bastante visível. O espectro de frequências dessa

corrente está mostrado na Figura 3.17:

Frequency

0Hz 1.0KHz 2.0KHz 3.0KHz 4.0KHz 5.0KHz

I(L1)

0A

0.5mA

1.0mA

1.5mA

2.0mA

2.5mA

3.0mA

Figura 3.17. Espectro das frequências da corrente.

Nota-se que para esse tipo de não linearidade aparecem harmônicas ímpares (ordem 3, 5,

7...) com amplitudes decrescentes.

Nas aplicações normais de um transformador, à essa corrente de magnetização se soma a

corrente da carga. Se for uma carga linear, dado que a tensão é senoidal, a corrente resultante (na

carga) também será senoidal. Tipicamente a corrente de magnetização (que é a com distorção) é

de poucos porcento em relação à corrente nominal do dispositivo, de modo que a distorção

relativa se torna pequena. No entanto, caso haja um aumento na tensão aplicada (ou uma redução

na frequência), de modo a elevar o fluxo pelo dispositivo, o efeito da saturação pode se tornar

muito mais intenso, como mostra a figura 3.18, na qual a tensão CA foi elevada de 115 para 155

V.

Time

0s 2ms 4ms 6ms 8ms 10ms

I(L1)

-500mA

0A

500mA

SEL>>

Frequency

0Hz 1.0KHz 2.0KHz 3.0KHz 4.0KHz 5.0KHz

I(L1)

0A

100mA

200mA

Figura 3.18 Corrente de magnetização e espectro com aprofundamento da saturação de

transformador por efeito de aumento na tensão aplicada.


17

3.5.2 Cargas eletrônicas

A Figura 3.19 mostra um retificador a diodos alimentando uma carga do tipo RL, ou seja,

que tende a consumir uma corrente constante, caso sua constante de tempo seja muito maior do

que o período da rede.

Na figuras 3.20 tem-se a forma de tensão de saída do retificador, numa situação ideal.

Supondo uma corrente constante, sem ondulação sendo consumida pela carga, a forma de onda

da corrente na entrada do retificador é mostrada na Figura 3.21. A frequência é de 50 Hz e a

tensão de linha é 220 V.

As amplitudes das componentes harmônicas deste sinal seguem a equação (3.9),

podendo-se observar que não estão presentes as componentes pares nem as múltiplas de 3, por

conta da simetria da forma de onda.

1

1

qkh

hI h (3.9)

onde:

h é a ordem harmônica;

k é qualquer inteiro positivo;

q é o número de pulsos do circuito retificador (6, no exemplo).

va vb vc

Lo

Ro

+

Vo

-

Vr(t)

Figura 3.19 Circuito retificador trifásico, com carga RL.

va ( ) t

vb ( ) t vc ( ) t

Vr ( ) t

0

100

200

300

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 t

Figura 3.20 Tensão de saída de retificador ideal.


18

400

200

0

200

400

0 0.005 0.01 0.015 0.02

va ( ) t ) vb ( t

vc ( ) t

t

Ia

Figura 3.21 Tensões e corrente de entrada (fase a) com carga indutiva ideal

Frequency

0Hz 0.2KHz 0.4KHz 0.6KHz 0.8KHz 1.0KHz V(I2:+)

0V

0.2V

0.4V

0.6V

0.8V

1.0V

1.2V

Figura 3.22 Espectro da corrente.

Em relação ao que foi visto anteriormente sobre as restrições à presença de componentes

de 5ª e 7ª ordens, nota-se que um retificador deste tipo não tem condições de atender à

recomendação RTCA DO-160F, sendo necessário utilizar arranjos retificadores de, no mínimo,

12 pulsos, cujas topologias estão mostradas nas figuras 3.23. Formas de onda típicas são

mostradas na figura 3.24 e um espectro na figura 3.25, no qual se nota a ausência das 5ª e 7ª

harmônicas.

+

Vo

Lo +

Vr

-

+

Vr

-

Io

+

Vo

+

Vr

-

+

Vr

-

Io

Transformador de interfase

Figura 3.23 Retificadores de “12 pulsos” em série e em paralelo.


19

0s 10ms 20ms 30ms 40ms 50ms

600

400

200

0

-200

Tensão total

Tensão em cada retificador

Tensão de fase

Corrente de fase

Figura 3.24 Formas de onda de associação em série de retificadores.

0Hz 0.5KHz 1.0KHz 1.5KHz 2.0KHz 2.5KHz 3.0KHz

0A

11a 13a 23a 25a

Figura 3.25 Espectro da corrente na rede para retificador de 12 pulsos.

3.5.2.1 A comutação

Uma forma de corrente retangular como a suposta na Figura 3.21 pressupõe a não

existência de indutâncias em seu caminho, ou então uma fonte de tensão infinita, que garante a

presença de tensão qualquer que seja a derivada da corrente.

Na presença de indutâncias, como mostrado na Figura 3.26, no entanto, a transferência de

corrente de uma fase para outra não pode ser instantânea. Ao invés disso, existe um intervalo no

qual estarão em condução o diodo que está entrando e aquele que está em processo de

desligamento. Isto configura um curto-circuito na entrada do retificador. A duração deste curto-

circuito depende de quão rapidamente se dá o crescimento da corrente pela fase que está entrando

em condução, ou seja, da diferença de tensão entre as fases que estão envolvidas na comutação.


20

+

Vo

Li

Lo

Vp.sin(wt)

Vi Corrente de fase

Tensão de fase

intervalo de comutação

Figura 3.26 Topologia de retificador trifásico, não-controlado, com carga indutiva . Formas de

onda típicas, indicando o fenômeno da comutação.

A Figura 3.27 mostra um resultado experimental relativo a um retificador deste tipo.

Neste caso a corrente não é plana, mas apresenta uma ondulação determinada pelo filtro indutivo

do lado CC. Mesmo neste caso pode-se notar que as transições da corrente de entrada não são

instantâneas e que durante as transições, nota-se uma perturbação na tensão na entrada do

retificador. O valor instantâneo desta tensão é a média das tensões das fases que estão

comutando, supondo iguais às indutâncias da linha. Este “afundamento” da tensão é chamado de

“notching”.

Como se nota, a distorção na tensão ocorre devido à distorção na corrente associada à

reatância da linha.

1

2

Figura 3.27 Distorção na tensão devido ao fenômeno de comutação.

3.5.2.2 Retificadores com filtro capacitivo

Conforme já foi visto, a grande parte dos equipamentos eletrônicos possuem um estágio

de entrada constituído por um retificador monofásico com filtro capacitivo. Este tipo de circuito

produz na rede correntes de forma impulsiva, centrados aproximadamente no pico da onda

senoidal. O circuito está mostrado na Figura 3.28. Na Figura 3.29 têm-se formas de onda da

tensão e da corrente, obtidas por simulação, bem como o espectro da corrente. Nota-se a grande

amplitude das harmônicas, produzindo, certamente, uma elevada THD.


21

Vp.sin(wt)

+

Vo

Figura 3.28 Retificador monofásico com filtro capacitivo.

0

0

-

- 0Hz 0.2KHz 0.4KHz 0.6KHz 0.8KHz 1.0KHz 1.2KHz 1.4KHz 1.6KHz

10A

1.0A

100mA

10mA

1.0mA

(a) (b)

Figura 3.29 (a) Corrente de entrada e tensão de alimentação de retificador alimentando filtro

capacitivo. (b) Espectro da corrente.

Situação semelhante ocorre com entrada trifásica, quando são observados 2 impulsos de

corrente em cada semiciclo, como mostra a Figura 3.30. Nota-se, mais uma vez, a significativa

distorção que pode ocorrer na forma da tensão devido à queda de tensão que ocorre na reatância

da linha.

1

2

Figura 3.30 Tensão na entrada (superior) e corrente de linha (inferior) em retificador trifásico

com filtro capacitivo.

3.5.3 Efeito das fases relativas das harmônicas

Assim como na frequência fundamental, a fase entre as tensões e correntes harmônicas

determina o fluxo de potência na rede (magnitude, direção e FP). Enquanto uma harmônica pode

estar "fluindo" numa direção, outra harmônica pode estar tranferindo energia no sentido oposto.


22

Tudo depende de onde se encontram as fontes ("sources") e os atratores ("sinks") das correntes

harmônicas. Pontos de ressonância funcionam como atratores de correntes harmônicas.

Além disso, a simples mudança de fase de uma harmônica pode modificar completamente

a forma de onda, sem alterar o seu valor eficaz.

Dois sinais completamente distintos visualmente podem ter o mesmo espectro em

amplitudes, diferindo apenas quanto à fase das harmônicas. Para exemplificar, a simples

mudança da fase relativa entre as harmônicas pode alterar substancialmente os níveis de stensão

instantânea da onda. Seja a onda de tensão dada pela expressão que contém apenas a 5a. e 7

a.

harmônicas, ambas a mesma fase inicial:

)420.2sen(2.0)300.2sen(4.0)60.2cos(21)( ttttv (3.10)

Esse sinal é mostrado na Figura 3.31. As sobretensões devido às harmônicas são

evidentes.

Figura 3.31. Fase inicial nula para 5a e 7

a harmônicas

Invertendo-se a fase da 5a harmônica, obtém-se o sinal seguinte:

)420.2sen(2.0)300.2sen(4.0)60.2cos(21)( ttttv (3.11)

A onda agora assume a forma mostrada na Figura 3.32. A simples comparação visual das

ondas mostra que não é óbvio que se trata de sinais com a mesma composição espectral. Por isso

é importante recorrer aos métodos de processamento matemático para analisar os sinais no

domínio da frequência.

Figura 3.32. Tensão com a fase inicial da 5a harmônica invertida

Se uma tensão CA com estas características estiver presente na entrada de um retificador

com filtro capacitivo, o qual carrega o capacitor de filtro com o valor de pico da tensão de


23

entrada, o valor da tensão CC será fortemente afetado, a depender da fase das harmônicas,

mesmo que não se altere o valor da tensão eficaz da entrada.

Os espectros das amplitudes nos dois casos são iguais, conforme mostrado na Figura

3.33. Apenas os espectros das fases relativas acusam a inversão da 5a harmônica, como indica a

Figura 3.34.

Figura 3.33. Espectro de amplitudes

a) b)

Figura 3.34. Espectro de fase para caso com fases iguais (a) e fases oposta (b).

Esse exemplo mostra que uma dada composição harmônica pode apresentar efeitos que

não são percebidos pela simples avaliação da forma de onda.

3.5.4 Penetração Harmônica na Rede

Quando se têm fontes harmônicas (de corrente) no sistema, e se instalam filtros "shunt"

para desviar as correntes harmônicas para "terra", esses filtros devem ser cuidadosamente

calculados para que não introduzam novas ressonâncias com a rede em outras frequências que

poderiam ser excitadas. A presença de elementos capacitivos cria novas malhas de ressonância e

modifica a resposta em frequência do sistema existente. Para observar esse efeito, considere-se o

caso mostrado na figura 3.35.

Filtro

sin tonizado

Zs

Fonte

Harmônica

Sistema 60Hz

ISh

Ih IFh

Xc

XL

I h I Sh I Fh

Z S Z F

Figura 3.35. Sistema alimentando uma carga que gera harmônicas e modelo equivalente da fonte

harmônica


24

A corrente harmônica irá se dividir entre o circuito do filtro e da rede, ou seja,

I I Ih Sh Fh (3.12)

de acordo com a regra do divisor de corrente:

h

SF

FSh

h

SF

SFh

IZZ

ZI

IZZ

ZI

ˆ

ˆ

(3.13)

Para um filtro sintonizado, onde se tem X XFC FL , resulta ZF = 0 e, portanto:

I I

I

Fh h

Sh

0 (3.14)

ou seja, o filtro absorve toda a corrente harmônica gerada pela fonte local. Existe, porém, uma

frequência de ressonância do filtro com o sistema, que ocorre na condição: Z ZF S 0 ,

fazendo com que I IFh Sh , ou seja, o filtro e o sistema trocam energia nessa frequência de

ressonância. A ressonância entre o filtro e o sistema poderá ser estimulada pelas fontes

harmônicas do sistema e, portanto, não basta dimensionar o filtro sintonizado apenas em função

das harmônicas da fonte local. É preciso verificar que a frequência de ressonância com o sistema

esteja em uma região do espectro com poucas possibilidades de ser excitada.

3.5.5 Interharmônicas vii

A presença de harmônicas não múltiplas da fundamental pode ter diferentes causas,

algumas já citadas, como o comportamento complexo de uma carga como um forno a arco.

Outras razões são devidas à interação entre conversores eletrônicos que operam com frequências

diferentes, como é o caso de uma conversão de 50 para 60 Hz, ou ainda um sistema como o

mostrado na Figura 3.36, na qual um retificador alimentado em 60 Hz serve de estágio de entrada

para um inversor que opera em frequência variável (por exemplo 50 Hz.). A depender do

comportamento do barramento CC, os efeitos da corrente da carga (motor) se refletirão na rede

CA, produzindo componentes espectrais decorrentes da interação entre as frequências

envolvidas.

M

ios

idci idcr

iss

Figura 3.36 Sistema de dupla conversão com frequências distintas na entrada e saída.


25

A Figura 3.37 mostra formas de onda e espectro de um sistema composto por um

retificador monofásico e um inversor, também monofásico. O primeiro é alimentado por uma

fonte de 60 Hz, enquanto o segundo tem uma saída PWM com comutação em 5 kHz, seguindo

uma referência senoidal de 50 Hz. A corrente na rede apresenta-se, vista no tempo, com sua

forma característica, em 60Hz. A ondulação na saída do inversor se deve ao ripple do capacitor

do barramento CC e tem uma frequência típica de 120Hz.

No entanto, quando se analisa o espectro de ambos os sinais são evidentes as

componentes não características, produzidas pela interação entre as diferentes frequências

presentes no sistema. Os valores são tipicamente muito baixos (abaixo de 1%), mas podem trazer

problemas para a operação de alguns sistemas, excitando, por exemplo, filtros passivos

dessintonizados.

Figura 3.37 Forma de onda e espectro em sistema monofásico com dupla conversão (60/50Hz).

Acima: corrente na rede. Abaixo saída do inversor PWM.


26

Apêndice A

Como aplicar a Análise de Fourier

As propriedades anteriores ajudam a simplificar a análise qualitativa, porém se necessita

de uma técnica para "quebrar" a função em sua série harmônica. Para isso recorre-se à

decomposição do sinal periódico através da combinação de funções cosseno e seno, resultando

na chamada série de Fourier:

1

1

1

10 )sen()cos()(h

h

h

h thBthAAtf (A.1)

T

21

No caso da série de Fourier os coeficientes são:

td.)t(f

2

1

td.1

td.1).t(fA0 valor médio no período (A.2)

tdthtf

tdth

tdthtfAh ).cos().(

1

).(cos

).cos(.)(

1

1

2

1

(A.3)

tdthtf

tdth

tdthtfBh .)sen(.)(

1

.)(sen

.)sen(.)(

1

1

2

11

(A.4)

Notar que os coeficientes (das funções seno ou cosseno) são números reais, podendo ser

positivos ou negativos. Como se pode notar, coeficientes negativos correspondem à fase de

180. Uma vez obtidos os coeficientes, pode-se dispor o espectro na forma seguinte:

1

-1/2

1/3

1/4

1/5

f1

2f1

3f15f1

4f1f

A

Figura A.1 Espectro de amplitude da onda dente de serra.

Representação da Série de Fourier na Forma Exponencial

Existem vantagens, na hora de generalizar a análise de Fourier, em usar a representação

pela série exponencial complexa, ao invés de usar funções seno e cosseno:


27

tjh

h

h eatf 1.)(

,...2,1,0 h (A.5)

onde: ah = coeficiente complexo

Notar que para h = 0 resulta o termo médio (CC) e para h = 1 resulta a onda

fundamental. Isso pode ser verificado impondo-se as condições de simetria par e ímpar:

se a h = a -h resulta termo cosseno

se a.h = -a -h resulta termo seno

para verificar, basta considerar que:

e et

j t j t

2cos

e e

jt

j t j t

2sen tjee tjtj sen2

resultando a forma de Euler: e j..t

= cos t + j.sent

Uma vez que k pode assumir valores positivos e negativos, diz-se que essa série é

bilateral.

Série Exponencial Complexa Unilateral

Pode-se rearranjar a soma bilateral na forma de série exponencial unilateral:

1

011)(

h

thj

h

thj

h eaeaatf h=1, 2, 3....

Para sinais reais, a condição de simetria complexa tem que ser satisfeita, ou seja,

hh aa , devido ao teorema de Parseval (a energia deve se manter tanto no domínio do tempo

como no da frequência). Portanto:

1

011 ..)(

h

tjh

h

tjh

h eaeaatf (A.6)

Assumindo ainda que cada coeficiente complexo é formado pelas partes real e imaginária

na forma:

hhh BjAa 2

1 h > 0, de modo que: hhhh jBAaa

2

1

resulta que a equação (3.6) pode ser escrita como:

1

110 )sen()cos()(h

hh thBthAatf

que é a própria série de Fourier de cossenos e senos formulada inicialmente.

Portanto, as três formas de representação da série de Fourier:

série de senos e cossenos;

série exponencial complexa bilateral;

série exponencial complexa unilateral,

são equivalentes e intercambiáveis. Com os coeficientes de uma série pode-se determinar os

coeficientes da outra.


28

Apêndice B

Amostragem de sinais

Para poder explorar a capacidade de processamento digital de sinais é preciso encontrar

uma representação funcional para uma amostra do sinal.

Isto é resolvido pela função impulso ou delta de Dirac (t), definida por:

( )( )

( ).

t para tt para t

t dt para t

para t

00 0

1 0

0 0

Vê-se que a integral do impulso é a função degrau. Ou ainda,

( )( )

( ).

t t para t tt t para t t

t t dt para t t

para t t

a a

a a

a a

a

0

1

0

Figura B.1 Impulso aplicado na origem (do tempo) e deslocado

No domínio da frequência, pode-se demonstrar que o impulso na origem contém todas as

frequências com igual amplitude e deslocamento nulo de fase. Essa é a razão pela qual,

idealmente, basta aplicar um impulso para se determinar a resposta em frequência de um sistema.

É interessante notar que se o impulso ocorre fora da origem, em t = T, ou seja, a

Transformada de Fourier é:

( ) ( ). . t T e dt e Tj t j T 1 .

a fase não é mais zero, mas decresce proporcionalmente ao deslocamento T. A amplitude da

componente espectral continua unitária para todas as frequências. Notar que se T 0 resulta fase

nula.

Transformada Discreta de Fourier

Seja o sinal f(t), amostrado com intervalos regulares T, representado por:

f kT x t x t T x t T ko( ) . ( ) . ( ) . ( ) .... , , ... 1 2 2 01 2

Como vale o princípio da superposição, pode-se escrever diretamente a TF como sendo:

t 0 ta

(ta)

t 0

(0)


29

...e.xe.xx)( T2j

2

Tj

10

...2,1,0

.k

Tjk

k ex

Essa é a chamada Transformada Discreta de Fourier (TDF). Apesar de ser fácil

escrever a TDF para uma série de amostras de um sinal, a visualização da forma resultante para

() não é simples. Isso se deve a:

i) os termos e-j.T

têm espectros contínuos que se superpõem;

ii) os termos e-j.T

, e-j.2.T

, e-j.k.T

são periódicos em frequência, com período =T

2,

logo o espectro resultante também resulta periódico:

T 2T-T-2T 0

F()

Figura B.2 Repetição do espectro devido à amostragem.

Notar que quando T 0 (amostragem contínua), o intervalo de repetição em frequência

tende a infinito, resultando um único espectro. No caso de sinal amostrado, ocorre a repetição

desse espectro a cada 2/T. Nesse caso só se necessita conhecer o espectro entre T

e

T

, que o

restante será uma repetição desse espectro. Da hipótese anterior (T 0), conclui-se que o

espectro entre T

e

T

, representa o espectro do sinal contínuo (não amostrado), numa faixa

mais restrita de frequências.

Exemplos de Espectros de Sinais Amostrados

Exemplo 1: Onda Cossenoidal tcos.A)t(f 1

Coeficientes da TF:

0dt).tcos(.AT

1a

2

T

2

T

1

1

0

1

1

2

2

111

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1 ).sen(cos.cos.1

.).cos(.1

T

T

T

T

tjdttjttA

TdtetA

Ta


30

10.)..cos(.1

2.

2).2sen1.(

2

1

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

kdtetkAT

a

AT

T

Adtt

T

A

T

T

tj

k

T

T

Figura B.3 Sinal senoidal contínuo e seu espectro discreto.

Se a mesma cossenóide for amostrada com intervalo T, o que muda no domínio da

frequência é que o espectro torna-se repetitivo e essa repetição é definida pelo intervalo de

amostragem T.

Figura B.4 Sinal senoidal amostrado e espectro discreto periódico.

Exemplo 2: Onda retangular

Os coeficientes da série de Fourier deste sinal são dados por:

AT

2dt.A

T

1a

11

0


31

1

1

11

1

1

k

T

2k

T

2ksen

.T

A2

k

)ksen(.

T

A2a

k 0

Figura B.5 Onda retangular e espectro correspondente.

Se essa onda quadrada for amostrada com intervalo de amostragem T, tem-se a repetição

desse espectro em torno de /T.

Figura B.6 Onda retangular amostrada e respectivo espectro periódico.

Como se vê, o espectro que interessa encontra-se na faixa TT

. Como o espectro é

simétrico em torno da origem, basta obter o espectro na faixa T

0

.

3.5.5.1 Filtro anti-aliasing

Se T aumenta (taxa de amostragem diminui), a distância entre as funções SINC diminui,

criando superposição dos espectros, gerando a visualização de componentes espectrais que não

existem, ou impondo erros no valor da componente.

Para minimizar este efeito, o sinal a ser digitalizado normalmente passa por um filtro

passa baixas que limita a presença de componentes espectrais acima da frequência de Nyquist

(filtro anti-aliasing). Deste modo perde-se parte da informação, no entanto, o procedimento de

amostragem já não seria capaz de identificar corretamente tais componentes. Em compensação, a

parte observável do espectro torna-se mais confiável, pois garante-se que não haverá

contaminação pelos componentes repetidos nos espectros adjacentes.


32

Exemplo 3: Sequência Finita de Amostras

Na prática, o processo de amostragem do sinal tem começo e fim, resultando uma

sequência finita de amostras. É interessante verificar o efeito que essa limitação impõe sobre o

espectro estimado. Para ilustrar, tome-se uma sequência de nove amostras:

0 T 9T t

Figura B.7 Sinal com 9 amostras

Suponha-se que esse sinal volta a se repetir, repetindo-se a cada intervalo T1= 9T.

0 T T1 t2T1

Figura B.8 Sinal periódico com 9 amostras por período

Como o sinal agora é periódico, pode-se determinar a frequência fundamental:

s

rdT9

2

T

2

1

1

.

A 4º harmônica será

4 148

9

T e a 5º harmônica

T9

105

. Portanto, se a informação

do espectro está contida em T

só é possível obter o espectro até a 4º harmônica. O restante é

uma repetição espelhada desse espectro a partir de

T

.

Isso não é surpresa pois, pelo teorema de amostragem, necessita-se de pelo menos duas

amostras por período para ter a informação de frequência e, com 9 amostras, só se pode obter o

nível CC e mais 4 harmônicas.

Uma outra forma de sintetizar isso é dizer que com N amostras pode-se obter N/2

frequências harmônicas. Notar que ao diminuir o intervalo de amostragem, T, aumenta a

resolução em frequência.

Análise de sinais empregando a Transformada Discreta de Fourier (TDF)

A TDF é uma transformação que se aplica para sinais amostrados e que leva ao algoritmo

de cálculo da Transformada Rápida de Fourier (em inglês FFT). O algoritmo da FFT permite

calcular 2

N componentes do espectro contidos no intervalo T

0 , a partir do

processamento de N amostras temporais do sinal, igualmente espaçadas de T. O espaçamento ou

resolução em frequência () é dado por:


33

amostragem de ntervaloiTT

onde max

max

2N

Logo: sinaldoamostrasdenNT.N

2 o

A frequência da k-ésima harmônica é, portanto: NT

k2k

k = 0,1,2....N-1

Entrada e Saída da FFT

Para testar todo o processo da FFT precisa-se inicialmente gerar a sequência de amostras

do sinal de entrada e no final converter o vetor de saída em espectro de amplitude e fase das

harmônicas.

Geração do Sinal Amostrado:

Por facilidade, considere-se um sinal de espectro conhecido: tf2senA)t(x 11 , com

frequência fundamental f1 dada, e N amostras por período . Para analisar o espectro do sinal, basta tomar as N amostras espaçadas em intervalos iguais

a T de modo que:

NT

fNfN

T11

1

1

As amostras de x(t), tomadas a intervalos T, podem ser expressas pela função discreta:

1...2,1,0n...3,2,1n

)n(xnN

2senA)nT(f2senA)nT(x N

N111

Acrescentando-se uma harmônica de ordem h, pode-se escrever, por semelhança, a série

de amostras como sendo:

n

N

h2senAn

N

2senA)n(x h1

Basta, então, definir valores para N, h, A1 , Ah de modo a obter um período do sinal,

amostrado N vezes.

Notar que a frequência fundamental não aparece explicitamente. Essa informação está

implícita no período

N

n2 para n=N, considerando o intervalo entre amostras consecutivas

como Nf

1T

1

.

Amostrando um ciclo com N amostras, a máxima frequência observável é:

1max22

1f

N

Tf

ou seja, são necessárias 2 amostras por período para poder identificar sua frequência.


34

Mantida a frequência de amostragem, T, para amostrar 2 ciclos da fundamental são

necessárias 2N amostras.

A Resolução Espectral, que é a capacidade de identificar frequências distintas, é

inversamente proporcional à quantidade de ciclos amostrados.

Assim, se foram amostrados 2 ciclos da fundamental, a resolução será de f1/2, ou seja, será

possível verificar se existem componentes múltiplas deste valor.

Deste modo, amostrando um ciclo de 60 Hz com N=64 amostras, resulta

fmax=32 60=1920 Hz. Portanto, n=0,1,2...31 representam as harmônicas de 60 Hz que são

observáveis se tomarmos um período com 64 amostras.

Anteriormente foi verificado que o espectro se repete a partir de =/T, logo:

2N

2N

maxmax

maxmaxmax

f

TN

1f

TN

2

T2

1ff2

T

Para melhorar (aumentar) a resolução em frequência, o que se pode fazer é aumentar o

número de ciclos amostrados com a mesma taxa de 1 período. No caso de amostrarmos 6 ciclos

em vez de 1, a resolução em frequência será 6 vezes maior, pois:

Hz10

6

f

6

ff 1max

2N

Essa informação é útil para se converter o vetor de saída para a escala de frequências

correspondentes: TNciclosdenfxciclosdenHzemescala oo ./ .

4 SAÍDA DA FFT

Uma vez obtido o vetor Z(I), I=1,2...N pela FFT, resulta um vetor complexo que precisa

ser interpretado no domínio da frequência.

Como se usou o processo de calculo da TDF na forma exponencial complexa, resultam as

amplitudes das harmônicas pela relação:

N

ZAbsA

)( 10

2

)(1 N

ZAbsA I

I para I>1

)Re(

)Im(1

I

II

Z

Ztg dependendo do quadrante e de Re(.) 0 e I>1

OBS: para obter precisão da fase é preciso sobre-amostrar o sinal. Para N=512 pontos por ciclo,

o erro no ângulo (em graus) é aproximadamente igual à ordem harmônica, ou seja:

I=2 (Componente fundamental) 10

I=6 (quinta harmônica) 50


35

A figura a seguir mostra o resultado do algoritmo da FFT, sempre tomando apenas 4

amostras por ciclo, mas analisando um único ciclo (resolução de 60Hz) e analisando quatro

ciclos (resolução de 15 Hz). Os resultados devem ser considerados até a componente A2, e

coincidem nas frequências detectadas e na amplitude (ambas erradas). O termo A3 pode ser

analisado como a reflexão do espectro em frequência em torno da frequência de Nyquist, ou seja

a máxima frequência observável (120 Hz, neste caso).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

X: 60

Y: 0.7071

0 50 100 150 200 2500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

a) b)

Figura B.9 FFT de onda quadrada em 60 Hz, amplitude unitária, com quatro amostras por ciclo:

a) Um ciclo de observação; b|) Quatro ciclos de observação (resolução de 15 Hz).

Quando se amplia a quantidade de amostras por ciclo, aumenta a capacidade de detecção

de frequências mais elevadas, bem como a precisão de estimação das amplitudes das

componentes harmônicas de baixa ordem. O erro na estimativa da amplitude persiste para as

componentes de ordem, elevada devido a menor amostragem relativa.

O espectro a seguir foi obtido com 32 amostras por período, o que implica numa

frequência de Nyquist de 960Hz, a partir da qual o espectro se mostra espelhado. A componente

fundamental (metade do valor real) foi de 0,6376, e seu valor correto é de 2/, ou seja, 0,6366.

Devido à riqueza espectral da onda quadrada, há uma interferência entre o espectro e seu

correspondente espelhado, o que compromete a precisão dos valores.


36

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

X: 60

Y: 0.6376

Figura B.10 FFT de onda quadrada em 60 Hz, amplitude unitária e 32 amostras por ciclo.

Espectro analisável até 16 x 60=960Hz.

Tome-se agora para análise uma onda senoidal (amplitude unitária) com 20% de 5ª

harmônica (300Hz), 10% de nona harmônica (540Hz), e de um nível CC unitário. O sinal e o

respectivo espectro são mostrados a seguir.

0 20 40 60 80 100 120 140-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X: 60

Y: 0.5

Figura B.11 Forma de onda e respectivo espectro obtido com 32 amostras por ciclo.


37

O algoritmo identifica exatamente o nível CC, bem como as componentes oscilatórias,

tanto em termos de frequência quanto de amplitude. A amostragem leva a uma frequência de

Nyquist de 960Hz e garante que não há interferência entre os componentes dos espectros, de

modo que os valores de amplitude são corretamente estimados.

Ao reduzir a taxa de amostragem para 16 amostras por ciclo, a frequência em torno da

qual se dá o espelhamento do espectro se reduz para 480 Hz, como mostra a figura a seguir,

impossibilitando qualquer análise acima desta frequência. O nível CC continua adequadamente

estimado, no entanto há um “embaralhamento” nas componentes de ordem elevada, pois a

componente vista em 420Hz não existe no sinal, sendo o reflexo da nona harmônica. Neste caso,

como não há coincidências entre as componentes originais e as refletidas, as amplitudes são

corretas.

0 10 20 30 40 50 60 70-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X: 420

Y: 0.05

Figura B.12 Forma de onda e respectivo espectro obtido com 16 amostras

Janelas de Ponderação das Amostras

Quando o número de amostras cobre ciclos inteiros do sinal amostrado, não aparece o

erro de truncamento no espectro calculado.

No entanto, se a amostragem do sinal não cobrir ciclos inteiros, o espectro calculado irá

apresentar o fenômeno de vazamento espectral ("leakage"), que se traduz no seguinte erro básico:

as amplitudes calculadas sofrem um achatamento e um espalhamento em torno das raias

espectrais originais.

0

A1

Ak

f1 fk 0

A1

Ak

f1 fk

Ciclos completos. Ciclos incompletos.

Figura B.13 Efeito de aplicação de FFT sobre amostras que não se referem a ciclos completos do

sinal.

Este efeito pode ser visualizado no sinal a seguir, que apresenta a mesma forma de onda

mostrada anteriormente mas com um número não inteiro de ciclos, bem como o respectivo

espectro. Note que a identificação da frequência ainda se mostrou correta (o que nem sempre

acontece, pois pode haver um deslocamento do pico), mas com grande erro de amplitude.


38

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 500 1000 1500 2000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 60

Y: 0.3988

Figura B.14 Amostragem de ciclos fracionários e respectivo espectro.

Como esse erro é devido basicamente ao truncamento do sinal, uma forma usual de se

contornar tal efeito é utilizar funções de ponderação ou janelas ("windows") para atenuar o

impacto de truncamento. Essas janelas, porém, alteram a energia do sinal e, por isso, introduzem

um fator adicional de escala de amplitude.

Existem muitos tipos de janelas e cada uma produz um efeito particular sobre o espectro

do sinal. Pode-se dizer que uma janela causa dois efeitos principais sobre o espectro:

a) reduz o efeito de vazamento e, portanto, atenua as raias laterais do espectro calculado,

melhorando a identificação de frequências;

b) "engorda" a banda em torno das raias principais, afetando a identificação da amplitude.

0

A1

Ak

f1 fk0

A1

Ak

f1 fk

Sem Janela de Ponderação. Com Janela de Ponderação.

Figura B.15 Efeito sobre o espectro ao se aplica “janelas” no sinal amostrado com ciclos

fracionários.

O que distingue uma janela da outra é o compromisso entre esses dois efeitos. Por

exemplo:


39

102cos46,054,0)(

0)(HammingJanela

20

2)(

2

22)(

triangularJanela

101)(0)(

tangularre

NkN

kkW

diferentekW

NkN

kkW

NkNN

kkW

NkkWdiferentekW

Janela

Comparando os espectros das figuras 4.24 e 4.26, nota-se um menor espalhamento. A

identificação de frequências é mais precisa, embora tenha aumentado o erro de amplitude, o que

é esperado pois o sinal amostrado sofre atenuação nas bordas, exatamente para reduzir seu efeito

no cálculo da FFT.

Com o aumento na quantidade de ciclos, mesmo que haja truncamento, o efeito relativo

do ciclo incompleto se torna desprezível.

0 20 40 60 80 100 120 140-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 500 1000 1500 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

X: 60

Y: 0.2454

Figura B.16 Aplicação da janela de Hamming em sinal amostrado e seu efeito sobre o espectro.


40

-20dB

0

-20dB

0

-20dB

0

-40dB

a) Janela retangular b) Janela triangular c) Janela de Hamming.

Figura B.17 Os espectros das janelas.

Existem vários outros tipos de janelas de ponderação (Blackman, Hanning, Exponencial,

etc). Quanto maior for a atenuação dos lóbulos laterais do espectro da janela, melhor é a janela.

Mas também é desejável que o lóbulo principal seja o mais estreito possível para dar maior

acuidade em torno das frequências contidas no sinal que se deseja analisar.

A figura 4.28 mostra que, com número inteiro de ciclos, a aplicação da janela é

indiferente. A FFT calcula com precisão a amplitude (o aplicativo presente no osciloscópio já

fornece o valor eficaz da harmônica) e identifica corretamente a frequência. Já com número

fracionário de ciclos, a frequência não é bem identificada, bem como há erro na amplitude.

Figura B.18 Janela retangular com número inteiro (esq) e fracionário (dir) de ciclos.

Ao aumentar a quantidade de ciclos, mesmo não havendo um número inteiro de ciclos, os

erros de frequência e de amplitude são minimizados, como mostra a figura a seguir.

Figura B.19 FFT com grande quantidade de ciclos.


41

Considerando uma onda quadrada, quando se tem uma quantidade de ciclos inteiros, a

identificação da frequência é correta, assim como a amplitude. No caso ilustrado na figura a

seguir, a onda quadrada tem 2V de amplitude, o que leva a uma fundamental com 2,546V de

amplitude e 1,8V de valor eficaz. No entanto, para ciclos fracionários, repetem-se os erros na

identificação da frequência e no valor da amplitude.

Figura B.20 Janela Hamming com número inteiro (esq) e fracionário (dir) de ciclos.

Novamente, com uma grande quantidade de ciclos, o erro na identificação da frequência

se reduz mas persiste o erro de estimativa da amplitude.

Figura B.21 Efeito do aumento do número de ciclos na FFT para diferentes janelas.


42

Apêndice C

Sequência de fase das harmônicas

Algumas conclusões interessantes podem ser obtidas conhecendo-se a sequência que as

diferentes harmônicas, quando equilibradas, assumem em relação às ondas fundamentais na rede

trifásica. A Figura a seguir mostra as harmônicas de ordem 3 e as tensões trifásicas com

sequência positiva (abc). Como se pode ver, as 3as

harmônicas estão todas em fase e, portanto,

apresentam sequência zero.

a b c

abc

seg

Figura C.1. Harmônicas de 3ª ordem apresentam sequência zero

Pode-se verificar que isso acontece com todas as harmônicas múltiplas de três (3n,

n=1,2,3...). O fato dessas múltiplas de três apresentarem sequência zero, indica que poderá haver

uma significativa corrente circulando pelo neutro, no caso de conexão Y a quatro fios, ou então

pela malha do triângulo, no caso de conexão em .

A Figura C.2 mostra o que ocorre com a 5a. harmônica equilibrada. Como se pode ver,

neste caso as harmônicas apresentam sequência negativa.

a b c

a bc

seg Figura C.2 Harmônicas de 5

a. ordem apresentam sequência negativa

O mesmo ocorre com todas as harmônicas de ordem (3n-1, n=1,2,3...). O fato das

harmônicas equilibradas de ordem 2, 5, 8... apresentarem sequência negativa, indica que terão

efeito sobre o torque das máquinas baseadas em campos girantes, tais como motores de indução,

máquinas síncronas, medidores de energia, etc. Os efeitos mais sensíveis devido a esses


43

componentes de sequência negativa são vibração, perdas adicionais, aquecimento, redução do

torque médio útil.

As harmônicas que sobram, de ordem 1,4,7,...(3n-2, n=1,2,3...) apresentam sequência

positiva, quando equilibradas. Por serem múltiplas da fundamental, também provocam vibração,

perdas adicionais e aquecimento.

Sabe-se ainda que as harmônicas pares produzem assimetrias de meia onda. Como esse

tipo de assimetria não é muito comum nos dispositivos elétricos, mesmo nos casos não-lineares,

as harmônicas pares se manifestam em menor intensidade no sistema elétrico. No entanto, alguns

transitórios como a energização de transformadores ou a corrente de ignição de fornos elétricos a

arco tem a capacidade de produzir essa assimetria de meia onda e, portanto, de gerar harmônicas

pares, especialmente a 2a e a 4

a.

4.1 Referências

i Y. Burian Jr. e A. C. C. Lyra, Circuitos Elétricos, Pearson Prentice Hall, 2006.

ii F. P. Marafão and S. M. Deckmann, “Basic Decompositions for Instantaneous Power

Components Calculation,” in Proc. 2000 IEEE Industry Applications Conf. (Induscon), pp.

750-755

iii

Department of Defense, Interface Standard, MIL-STD-704F, Aircraft Electric Power

Characteristics, 1991.

iv

J. A. Pomilio and S. M. Deckmann: “Flicker produced by Harmonic Modulation”. IEEE Trans.

on Power Delivery, vol. 18, no. 2, April 2003, pp. 387-392.

v T.J.E. Miller, “Reactive Power Control in Electric Systems”, Ed. John Wiley&Sons, 1982.

vi

J.Arrillaga, A.Bradley, P.S. Bodger “Power System Harmonics”. John Wiley&Sons, 1989.

vii

A. Testa, “Interharmonics and related issues: Aspects Related to Effects, Modeling and

Simulation, Measurement and Limits”, VIII International Conference on Industry Applications,

Poços de Caldas, Minas Gerais – Brazil – August 2008

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