3. Distribuições de probabilidade

2013

2

Definição. Variável aleatória.Seja o espaço amostral associado a um experimento aleatório. Uma variável aleatória, X, é uma função que tem domínio em e contradomínio um subconjunto dos números reais.

Exemplo. Retira-se, ao acaso, um item produzido de um lote de 6 unidades. Variáveis:

X: Número de defeitos no item selecionado.

Y: Tempo de vida do item (em h).

3

O espaço amostral associado a este experimento aleatório é

621 ,,, aaa

Os possíveis valores da variável X são 0,1,2,..., e os possíveis valores da variável Y são os números reais não negativos. Ou seja, os contradomínios das variáveis X e Y são

0 ;

,3 ,2 ,1 ,0

ttR

R

Y

X

Classificação:• Variáveis aleatórias discretas. Contradomínio é um conjunto finito ou

infinito enumerável.

• Variáveis aleatórias contínuas. Contradomínio é um conjunto infinito não enumerável.

4

Variáveis aleatórias discretas (VAD)

Exemplo. Um lote de um certo produto é formado por 35 itens, sendo 21 itens do tipo H e 14 do tipo M. Uma amostra de 3 itens será formada sorteando-se, ao acaso, três itens do lote. Qual a probabilidade de encontrarmos na amostra pelo menos dois itens do tipo M?

X é uma VAD com contradomínio RX. Uma função f(x) é uma função de probabilidade se

Xi Rxi

iii

i

xf

xxfxXPxf

.1)( (iii)

e R ),()( (ii),1)(0 (i)

X

Definimos X: número de itens do tipo M na amostra.

5

E s p a ç o a m o s t r a l P r o b a b i l i d a d e X H H H 203,0

3319

3420

3521

0

H H M 150,03314

3420

3521

1

H M H 150,03320

3414

3521

1

M H H 150,03320

3421

3514

1

H M M 097,03313

3414

3521

2

M H M 097,03320

3421

3514

2

M M H 097,03321

3413

3514

2

M M M 056,03312

3413

3514

3

x 0 1 2 3 P ( X = x ) 0 , 2 0 3 0 , 4 5 0 0 , 2 9 1 0 , 0 5 6

0,347.0,0560,291322)(X Assim, )P(X)P(XP

6

Exemplo. A demanda diária de um item é uma variável aleatória discreta com a função de probabilidade

.4 ,3 ,2 ,1;!

2)( ddCdDP

d

(a) Determinar a constante C.

(b) P(D 2).

Solução. (a) Já que P(D = d) é uma função de probabilidade, temos: (i) C>0 e (ii) P(D=1) + P(D=2) + P(D=3) + P(D=4)=1. Ou seja,

611

!42

!32

!22

121)(

432

CCdDPDRd

32

64

621)1(1)2(1)2()(

4,3,2,1;!6

2)(

DPDPDPb

dd

dDPd

7

Função de distribuição acumulada de uma VAD

D e f i n i ç ã o . F u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o a c u m u l a d a ( F D A ) . X é u m a V A D c o m c o n t r a d o m í n i o R X = { x 1 , x 2 , . . . } e f u n ç ã o d e p r o b a b i l i d a d e f ( x ) = P ( X = x ) . P a r a q u a l q u e r x , a F D A d e X , d e n o t a d a p o r F ( x ) , é d e f i n i d a c o m o

Xixx

ixx

i RxxXPxfxXPxFii

que em,)()()()(

Exemplo. Uma variável aleatória X tem função de probabilidade

ccxsexse

xXPxf.,0

3,2,15/71,15/1

)()(

Determinar F(x).

8

xxi

xi

xxi

xi

xxi

xi

i

i

i

i

i

i

XPXPXPxXPxXPFxSe

XPXPXPxXPXPFxSe

XPXPxXPxXPxFxSe

XPXPxXPXPFxSe

XPxXPxXPxFxSe

fXPxXPXPFxSe

xXPxFxSe

1)3()2()1()()()3(3

1157

157

151

)3()2()1()()3()3(3

158)2()1()()()(32

158

157

151)2()1()()2()2(2

151)1()()()(21

151)1()1()()1()1(1

0)()(1

3

2

1

9

.R de elementos são eque sendo)()(então ),[ se geral, Em).2()(então),3,2[se

);1()(então),2,1[ Se

x1

1

ll

lll

xxxFxFxxxFxFx

FxFx

Observação.

Logo, a função de distribuição acumulada é dada por

3,132,15/821,15/1

1,0

)(

xsexsexsexse

xF

10

X é u m a V A D 1 . P a r a t o d o x , 0 F ( x ) 1 . 2 . F ( x ) é u m a f u n ç ã o m o n ó t o n a n ã o d e c r e s c e n t e .

3 . 1)(lim0)(lim

xFexFxx

4 . S e R X = { x 1 , x 2 , . . . . . . } , e m q u e x 1 < x 2 < . . . , e n t ã o f ( x i ) = P ( X = x i ) = F ( x i ) - F ( x i - 1 ) . 5 . S e a e b s ã o t a i s q u e a < b , e n t ã o

)()()()()()()()()()(

)()()()()(1)()(

)()()(

bXPaFbFbXaPvaXPaFbFbXaPiv

aFbFbXaPiiiaXPaXPii

aFaXPi

Propriedades da função de distribuição acumulada

11

Exemplo. A variável aleatória X tem função de distribuição acumulada

332

18/5

212/1108/1

00

)(

xx

sese

xsexse

xse

xF

Calcular

ccxsexse

xXPxf

Rb

FFXP

xfcXPbXPa

X

.03,18/32,08/1

)()(

por dada é X de adeprobabilid de função a quemostrar se-pode FDA, da 4 epropriedad Pela}.3,2,1,0{ que se-FDA tem Da (c)

1/2.1/2-1F(1)-12)P(X-12)P(X :FDA da 5(i) epropriedad Da)(,2/12/11)1()3()31( (a)

que FDA temos da 5(iii) epropriedad Da).()()2()();31()(

12

Exemplos

3.0 3.5 4.0 4.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x)

3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x)

3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x)

3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x)

13

Variáveis aleatórias contínuas (VAC)

Função densidade de probabilidade.

Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade de uma VAC X se

b

a

dxxfbXaAbxaxA

dxxf

xxf

.)()(P)(PEntão,}.;{ evento o Seja.3

.1)(.2

.para ,0)(.1

Exemplo. O tempo de produção de um artigo (em minutos) é uma variável aleatória X com função densidade

contrário.caso,0

,42se,4

5)( xxxf

Verificar se f(x) é uma função densidade de probabilidade e calcular a probabilidade que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso seja menor do que 3 minutos.

14

Primeiro notamos que f(x) 0, para todo x. Falta verificar a condição (2), ou seja a área sob o gráfico de f(x) deve ser igual a 1.

.1)2

5(41

450

450)(

4

2

22 4

2 4

4

2

x

xxdxxdxdxxdxdxxf

A probabilidade de que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso seja menor do que 3 minutos é a probabilidade do evento A = {x; x < 3}, ou seja,

85)

25(

41)5(

410)()3()(

3

2

23 2 3

2

xxdxxdxdxxfXPAP

15

Observação. Se X é uma variável aleatória contínua, então

. todopara),()( (iii), e todospara ),()()()( (ii)

,todopara,0)( (i)

aaXPaXPbabXaPbXaPbXaPbXaP

xxXP

Definição. Função de distribuição acumulada. X é uma variável aleatória contínua com função densidade f(x). A função de distribuição acumulada (FDA) de X é

. todopara ,)()()(

x

xdttfxXPxF

Exemplo. Uma variável aleatória X tem função densidade

contrário.caso,0

,42se,4

5)( xxxf

Determinar F(x).

16

1f(t)dt)()(f(t)dtF(x)

,4

.8

)5(98

54

50f(t)dtF(x)

se,- tem4,x2Se0.F(x)logo, ,0)( que se- tem,2 Se

0

x

4

1

4

2

0

2x

-

2

2

22

2

x

-

dttfdttf

setemxSe

xtdttdt

xfx

xx

4,1

428

)5(92,0

)(2

xse

xsexxse

xF

Logo, a FDA de X é

17

Observação.

A FDA de X permite o cálculo de probabilidades de eventos da forma

E = {x; a x b}, com a b. Isto é,

P(E) = F(b) - F(a).

Exemplo. Considere a FDA abaixo. Obtenha P(X 3) e P(3 X < 5).

,

.4se,1

42se,8

)5(9,2se,0

)(2

x

xxx

xF

.83

851)3()5()53(

e 85

8)35(9)3()3(

2

FFXP

FXP

Solução.

18

Propriedades

1. 0 F(x) 1, para todo x.

2. F(x) é uma função monótona não decrescente.

3. F(x) é uma função contínua para todo x.

x

xx

x

xxdttfxFdttfxF 1)(lim)(lime0)(lim)(lim .4

).(dxdf(x) xF

5. Do teorema fundamental do cálculo obtemos

Exemplo. Suponha que o tempo de vida de um processador é uma variável aleatória X com

,.0,0

0,1)(2

xxkexF

x

Determinar (a) o valor de k, (b) P(X 2) e P(2 X 4) e P(X -1) e (c) f(x).

19

Solução. (a) Pela propriedade 3 de F(x) temos F(0) = 0:

cckke

.,00xse,e-1F(x) Logo, .101 2

x-

0

0,0

0,21

)()(

temoscontínuaFDA uma de 5 epropriedad Da )(

.0)1()1(.)1()1()2()4()42(

.)1(1)2(1)2()(

2

2112

11

x

xexFdxdxf

c

FXPeeeeFFXP

eeXPXPb

x

20

Valor esperado e variância de uma variável aleatória

Definição. Valor esperado de uma variável aleatória. Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade, )(xf . O valor esperado (ou esperança matemática ou média da variável aleatória), denotado por

XXE )( é definido como

,)()(

contínua, aleatória variáveluma é X Se .2

,)()(

discreta, aleatória variáveluma é X Se 1.

dxxxfXE

xxfXEXRx

supondo que o somatório e a integral existem.

21

Valor esperado de uma função de variável aleatória

Seja Y = h(X), sendo h uma função real e contínua de X. O valor esperado de h(X) é dado por

.)()()(

contínua, aleatória variáveluma é X Se .2

,)()()(discreta, aleatória variáveluma é X Se 1.

dxxfxhYE

xfxhYEXRx

22

Definição. Variância de uma variável aleatória. X é uma variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade, )(xf , com média

XXE )( . A variância de X, denotada por 2)(

XXVar é definida como o

valor esperado de 2)( XX .

.)()()(

contínua, aleatória variáveluma é X Se .2

,)()()(

discreta, aleatória variáveluma é X Se 1.

2

2

dxxfxXVar

xfxXVarXRx

Definição. Desvio padrão. É a raiz quadrada da variância:

)()( XVarXDP X

23

Solução. (a) Pela definição de valor esperado temos

.1,29

19!46

24!36

23!26

22621)()(

432

XRx

xxfXE

Exemplo. Suponha que a demando diária de uma peça é uma variável aleatória discreta com função de probabilidade

.c.c,0

,4 ,3 ,2 ,1,!6

2)( x

xxXPx

Determinar (a) a demanda esperada e (b) o desvio padrão da demanda.

24

.99,08180)(

,8180

!462)

9194(

!362)

9193(

!262)

9192(

62)

9191(

)()()(

42

32

222

2

X

Rx

XDP

xfxXVarX

25

Moda, mediana e média (VAC)

x

f(x)

Mod

a

Med

iana

Méd

ia

x

f(x)

Méd

iaM

edia

na

Mod

a

Assimetria à direita:

Moda < Mediana < Média

Assimetria à esquerda:

Moda > Mediana > Média

Simetria: Mediana = Média (se existir).

26

Variáveis aleatórias independentes

X e Y são duas variáveis aleatórias. Dizemos que X e Y são independentes se, e somente se,

. e todospara ),()())()(( yxyYPxXPyYxXP

Em particular, se X e Y são duas variáveis aleatórias discretas, X e Y são independentes se, e somente se,

, e todospara ),()())()())()((

yxyFxFyYPxXPyYxXP

YX

sendo que FX e FY são as FDA’s de X e Y.

27

)()()()Var(X

então ,tesindependen variáveis são ,,Se.9).()(Y)XVar(

então tes,independen aleatórias variáveissão e Se.8)()(.7

0)(.6

2121

1

22

2

nn

n

XVarXVarXVarXX

nXXYVarbXVaraba

YXXVaraaXVar

aVar

Propriedades do valor esperado e da variância

X e Y são duas variáveis aleatórias e a e b dois números reais.

22 )()(.5

)()(.4)()(.3

)()(.2.)(.1

XXEXVar

YbEXaEbYaXEbXaEbaXE

XaEaXEaaE

28

Exemplo. O total de vendas diárias de um empresa que comercializa equipamentos eletrônicos (em dezenas de milhares de R$) é uma variável aleatória com função densidade

..,0

64,6

6

42,3

2

)(

cc

xsex

xsex

xf X

(a) Para um certo dia, determine a probabilidade de que as vendas da empresa sejam maiores do que R$ 22.000, 00, mas não ultrapassem R$ 45.000.

(b) A média e o desvio padrão das vendas diárias.(c) Se o lucro diário é dado pela função Y = 0,2X - 0,5, calcule a média e

o desvio padrão do lucro diário.

29

Solução. Denotamos as vendas diárias (em dezenas de milhares de R$) por X.

(a) Definimos A = {2,2 < X 4,5} e calculamos

.806,02

6612

231

66

32)()5,42,2()(

5,4

4

24

2,2

2

5,4

2,2

5,4

4

4

2,2

xxxx

dxxdxxdxxfXPAP

30

.89,149

1346

63

2)()(

78,3934

66

32)()(

6

4

24

2

222

6

4

4

2

dxxxdxxxdxxfxXE

dxxxdxxxdxxxfXE

(b) Iniciamos calculando

Logo,

.786,081/50)(

81/50934

9134)()(

2222

XVar

XEXVar

X

XX

(c) Seja Y = 0,2X - 0,5. Das propriedades do valor esperado e da variância obtemos E(Y) = E(0,2X - 0,5) = 0,2 E(X) - 0,5 = 0,2 34/9 - 0,5 0,256.

.0247,0)81/50(2,0)(2,0)5,02,0()( 22 XVarXVarYVar