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3. Elementos de Sistemas Elétricos de

Potência

3.1.4 Capacitância e Susceptância Capacitiva de

Sistemas Elétricos de Potência

3.1.4 Capacitância e Susceptância Capacitiva de Linhas de Transmissão

Professor: Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito

E-mail:[email protected]

disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/raphaelbenedito

- Introdução;

- Capacitância causada por um Condutor até um Condutor deraio ínfimo a uma distância D;

- Capacitância de uma Linha a dois fios (bifilar);

- Capacitância de uma Linha Trifásica;

Conteúdo

- Capacitância de uma Linha Trifásica;

- Capacitância de uma Linha Trifásica com arranjo equiláterode Condutores;

- Transposição de Condutores;

- Cabos múltiplos por fase;

- Reatância Capacitiva e Susceptância Capacitiva

• A capacitância, ou efeito capacitivo, de linhas de transmissão é oresultado da diferença de potencial elétrico entre os condutores.

• De modo geral, a capacitância entre condutores (C) é a relação entrecarga (q) e diferença de potencial (V):

Introdução

)(m

FV

qC =

e depende das dimensões e da distância entre os condutores.e depende das dimensões e da distância entre os condutores.

• O efeito da capacitância para linhas curtas é pequeno e, por isso, égeralmente desprezado em cálculos com linhas de transmissão.

• Por outro lado, em linhas longas de tensões elevadas, o efeitocapacitivo afeta consideravelmente o transporte de energiaelétrica, tornando importantíssimo o cálculo desse parâmetro.

• Assim como o Campo Magnético é importante na determinação daindutância, o estudo e análise do Campo Elétrico é essencial nocálculo da Capacitância de linhas de transmissão aéreas.

• Considere um condutor cilíndrico de raio “r”, reto e longo, tendo uma cargaelétrica “q” uniforme em toda a sua extensão e que está a uma distância “D”de um condutor de raio ínfimo “P” (com q = 0).

Capacitância causada por um Condutor até um Condutor de

raio ínfimo a uma distância D

• Observe que todo o fluxo de campo elétrico está fora do condutor, já que as cargaselétricas tendem a se agrupar na superfície externa do condutor. Assim, paracalcularmos a capacitância causada por este condutor até “P”, devemos:

i) aplicar a Lei de Gauss do Campo Elétrico;

ii) calcular a diferença de potencial entre “P” e a superfície do condutor;

iii) calcular a capacitância através de C =q/V.

• Através da Lei de Gauss, a densidade do campo elétrico (oudensidade do fluxo elétrico) pode ser obtida por:



2

q

qLxD

qAdD

E

s E

=⋅⋅⋅

=⋅∫π

rr

onde: q é a carga no condutor por metro de comprimento; x é a distância docentro do condutor até o ponto onde deve ser calculada a densidade de fluxoelétrico.

A partir da densidade de campo, podemos calcular a intensidade de campoelétrico:

sendo ε a permissividade elétrica do meio

2/2

mCx

qDE

⋅=

π

mVx

qDE E /

2 επε ⋅⋅==

mFr /1085,8)(12

00−

⋅=⋅= εεεε

• A diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície docondutor de raio “r” e o condutor P (distante “D” metros do centrodo condutor) pode ser calculada pela integral de linha do campoelétrico, da seguinte forma:



[ ]lnln

1

2

rDq

V

xdx

qxdEV

D

r

D

r

−=

⋅⋅

=⋅= ∫∫επ

rrr

[ ]

)(ln2

lnln2

Vr

DqV

rDq

V

⋅=

−⋅

=

επ

επ

• A partir da diferença de potencial entre o condutor de raio “r” e ocondutor P sem carga, a capacitância é calculada por:

)/(

ln

2

ln

2mF

r

D

r

Dq

q

V

qC

⋅=

⋅

⋅⋅==

επεπ

• Considere um condutor cilíndrico de raio “r1” e outro condutor deraio “r2” (retorno), que estão distantes entre si em “D” metros, e que

q2 = - q1.

Capacitância de uma linha a dois fios (bifilar)

• No cálculo da capacitância C12, deve-se calcular primeiramente ovalor da tensão V12 entre os dois condutores da linha.

• Por sua vez, a tensão V12 pode ser obtida através da superposição deefeitos, isto é, calculando primeiro a diferença de potencial devido àcarga q1 do condutor 1; e depois, a diferença de potencial devido àcarga q2 do condutor 2.

Fig.: Linha monofásica bifilar

''12

'1212 VVV +=


rqVV

r

Dqdx

x

qV

VV

r

Dqdx

x

qV

D

r

D

r

22''

22

2221

21''

12

11

11'12

ln

ln2

1

2

ln2

1

2

επεπ

επεπ

=−=

⋅=⋅

⋅=

−=

⋅=⋅

⋅=

∫

∫

• Para o cálculo de cada efeito, teremos:

Somando os efeitos, temos:

D

rqVV 22

21''

12 ln2 επ ⋅

=−=

D

rq

r

DqVVV 22

1

1''12

'1212 ln

2ln

2 επεπ ⋅+

⋅=+=

como q2 = - q1, a equação acima fica:

21

21

2

1112

21

1

112

ln2

ln2

ln2

ln2

rr

Dq

D

r

r

D

qV

D

rq

r

DqV

⋅⋅=

⋅=

⋅−

⋅=

επεπ

επεπ


A expressão anterior ainda pode ser escrita como:

21

1

21

21

12 lnlnrr

Dq

rr

DqV

⋅⋅=

⋅⋅=

επεπ

• Por fim, a capacitância C12 entre os condutores é:

)/(

ln

2

ln

2

21

2

21

2

1

1

12

112 mF

rr

D

rr

Dq

q

V

qC

⋅

⋅=

⋅⋅

⋅⋅==

επεπ

Caso r1 = r2 = r, podemos simplificar a equação anterior:

)/(

lnln

2

2

212 mF

r

D

r

DC

⋅=

⋅=

επεπ

Observe que “r” é o raio externo do condutor ou do cabo encordoado.

Capacitância de uma linha trifásica com

espaçamento assimétrico

• Considere 3 condutores retilíneos, paralelos e de raios distintos, queconstituem uma linha trifásica onde .

Também considere um ponto P (ou condutor de raio ínfimo comq=0) afastado desses condutores conforme a figura abaixo:

0321 =++ qqq &&&

Figura: Condutores de uma Linha Trifásica distantes de um ponto P



• Nosso objetivo é calcular a matriz de capacitância trifásica:

⋅

=

P

P

P

V

V

V

CCC

CCC

CCC

q

q

q

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

&

&

&

&

&

&

• Inicialmente, calcularemos a diferença de potencial elétrico entre ocondutor 1 e P. Por sua vez, essa diferença de potencial é compostade três parcelas:

- A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q1;

- A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q2;

- A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q3.

3121111 PqCPqCPqCP VVVV ++=



• A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q1, podeser calculada como:

• Já a diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q2 é:

)(ln2 1

1111 V

r

DqV P

PqC

⋅=

επ

&

Dq &

• Por fim, a diferença de potencial entre C1 e P devido à carga q3 é:

)(ln2 12

2221 V

D

DqV P

PqC

⋅=

επ

&

)(ln2 13

3331 V

D

DqV

PPqC

⋅=

επ

&



• A partir da soma das três parcelas, obtemos:

)(lnlnln2

1

13

33

12

22

1

111

3121111

VD

Dq

D

Dq

r

DqV

VVVV

PPPP

PqCPqCPqCP

⋅+

⋅+

⋅

⋅=

++=

&&&επ

Utilizando o mesmo raciocínio realizado em termos de fluxo concatenado(para indutância), e considerando e , podemos∞→P 0321 =++ qqq &&&(para indutância), e considerando e , podemossimplificar a equação acima por:

∞→P 0321 =++ qqq &&&

)(1

ln1

ln1

ln2

1

133

122

111 V

Dq

Dq

rqV

⋅+

⋅+

⋅

⋅= &&&

επ

De modo análogo, podemos calcular os potenciais dos condutores 2 e 3 emfunção das cargas:

)(1

ln1

ln1

ln2

1

)(1

ln1

ln1

ln2

1

33

232

1313

233

22

1212

Vr

qD

qD

qV

VD

qr

qD

qV

⋅+

⋅+

⋅

⋅=

⋅+

⋅+

⋅

⋅=

&&&

&&&

επ

επ



• De posse das três tensões, obtemos a seguinte equação matricial:

⋅

⋅=

3

2

1

23212

13121

3

2

1

1ln

1ln

1ln

1ln

1ln

1ln

1ln

1ln

1ln

2

1

q

q

q

rDD

DrD

DDr

V

V

V

&

&

&

&

&

&

επ

32313

lnlnlnrDD

Observe que a equação acima é a forma matricial da equação

assim para obtermos a matriz de capacitâncias “C”, basta invertermos amatriz C-1 da equação acima.

1−C

qCV && ⋅=−1



• Outra forma de representar a equação matricial anterior pode serobtida utilizando-se a hipótese inicial de que . Assim,

eliminando q3 da primeira e da segunda equação, e eliminando q1da terceira equação, temos:

1313 0lnlnD

D

r

D

0321 =++ qqq &&&

1−C

⋅

⋅=

3

2

1

3

13

23

13

2

23

12

23

121

3

2

1

lnln0

0lnln

0lnln

2

1

q

q

q

r

D

D

D

r

D

D

D

Dr

V

V

V

&

&

&

&

&

&

επ


arranjo equilátero de condutores

• No caso em que os condutores de fases distintas estão num arranjoequilátero (D12 = D13 = D23 = D) e os raios são iguais, temos:

⋅

⋅=

2

1

2

1

0ln0

00ln

2

1

q

q

q

r

D

r

D

V

V

V

&

&

&

&

&

&

επ

logo, a capacitância total de uma fase pode ser calculada como:

⋅

33

ln00

2q

r

D

rV &&

επ

1−C

)/(

ln

2321 mF

r

DCCC

⋅===

επ

Transposição de Condutores

• A transposição dos condutores pode ser aplicada a qualquer tipo dearranjo e serve como uma transformação da linha original emuma linha equilátera equivalente (minimizando ou eliminando ascapacitâncias mútuas).

• A transposição é realizada conforme mostrado na figura a seguir:

Transposição de Condutores

Considerando os raios iguais para os três condutores (r), obtemos aseguinte expressão matricial com transposição da linha:

⋅

⋅=

3

2

1

3

2

1

ln00

0ln0

00ln

2

1

q

q

q

r

D

r

D

r

D

V

V

V

eq

eq

eq

&

&

&

&

&

&

επ

lembrando que Deq é a Distância Média Geométrica entre oscondutores (de fases distintas), e calculada neste caso (3 condutores)como:

3132312 DDDDeq ⋅⋅=

Observe que Deq é o espaçamento equilátero equivalente das trêsdistâncias, causado pela transposição dos três condutores.

r

e portanto:)/(

ln

2321 mF

r

DCCC

eq

⋅===

επ

Múltiplos condutores por fase e Raio Equivalente Externo

(RMG para efeito capacitivo)

Raio Equivalente Externo de Cabos Múltiplos

Fig.: Casos mais comuns de cabos múltiplos por fase

Considerando rext como o raio equivalente externo de um cabo (ou raioequivalente de um cabo), e Dsc

CM como o raio equivalente externo decabos múltiplos (ou raio equivalente de cabos múltiplos), temos:

- p/ dois cabos por fase: =>

- p/ três cabos por fase: =>

- p/ quatro cabos por fase: =>

( ) 22 22

drdrD extextCMSC ⋅=⋅=

( ) 3 23 32

drddrD extextCMSC ⋅=⋅⋅=

( ) 4 34 409,12

2

drdddrD extextCMSC ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

Múltiplos condutores por fase e Raio Equivalente Externo

(RMG para efeito capacitivo)

Raio Equivalente Externo de Cabos Múltiplos

Observação importante:

• A partir do valor de DscCM , devemos substituir este valor no lugar

de r (raio externo) nas equações anteriores para capacitância, ondeconsiderávamos a existência de apenas um condutor por fase.

• Já para o cálculo das distâncias entre fases, devemos adotar as• Já para o cálculo das distâncias entre fases, devemos adotar asdistâncias entre os centros dos cabos múltiplos.

Expressão Geral da Capacitância por Fase (resumo)

• A expressão geral para cálculo da capacitância por fase emcircuitos trifásicos com transposição de condutores é:

)/(

ln

2321 mF

r

DCCC

ext

eq

⋅===

επ

sendo: a distância média geométrica entre as três fases;

r o raio externo de um cabo ou raio externo equivalente de umcondutor (geralmente é fornecido pelo fabricante do condutor);

3cabcabeq DDDD ⋅⋅=

• Para cabos múltiplos por fase, temos:

sendo DscCM o raio equivalente externo de cabos múltiplos e calculado

como mostrado anteriormente.

)/(

ln

2321 mF

D

DCCC

CMSC

eq

⋅===

επ

Reatância Capacitiva e Susceptância Capacitiva

• A reatância capacitiva (Xc) por fase da linha de transmissãocorresponde à parte imaginária da impedância complexa emderivação ou shunt (Zsh) da linha, e depende do valor da freqüência(f) e da capacitância (C), sendo calculada por:

• O resultado da reatância acima pode ser utilizado em sua forma

)(2

11m

CfCX C Ω⋅

⋅⋅=

⋅=

πω

• O resultado da reatância acima pode ser utilizado em sua formamatricial, desde que C seja a matriz de capacitância trifásica.

• Geralmente escrevemos o efeito capacitivo das linhas em termos desusceptância em derivação ou shunt:

)/(1

mSiemensCXc

Bsh ⋅== ω

[1] MONTICELLI, A. J.; GARCIA, A. Introdução a Sistemas deEnergia Elétrica. Editora UNICAMP, 1ª. Edição, Campinas, 2003.

[2] STEVENSON, W. D. Elementos de Análise de Sistemas dePotência. 2ª ed. Editora MacGraw-Hill do Brasil. São Paulo.1986.

[3] FUCHS, RUBENS DARIO. Transmissão de Energia Elétrica:

Referências Bibliográficas

[3] FUCHS, RUBENS DARIO. Transmissão de Energia Elétrica:linhas aéreas; teoria das linhas em regime permanente. 2ª. Edição;Editora Livros Técnicos e Científicos, Rio de janeiro, 1979.

[4] ZANETTA Jr., LUIZ CERA. Fundamentos de Sistemas Elétricosde Potência. 1ª. Edição; Editora Livraria da Física, São Paulo, 2005.

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