3 Funcao Logaritmica
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1
O que é Logaritmo A palavra logaritmo vem do grego: logos (razão) + arithmos (números).
No estudo de equações e inequações exponenciais, só tratamos de casos em que podíamos reduzir as potências ‘a mesma base.
Entretanto, se tivermos de resolver uma equação como 52 =x , não
conseguiremos reduzir todas as potências ‘a mesma base. Nesse caso, como 4 < 5 < 8, então 824 << x , ou seja 32 222 << x , e apenas poderemos garantir que
32 << x . Para descobrirmos o valor de x termos que estudar as propriedades dos Logaritmos.
DEFINIÇÃO: Sendo a e b números reais e positivos, com 1≠b , chama-se logaritmo de a na
base b o expoente x ao qual se deve elevar a base b de modo que a potência xb seja igual a a .
abxa xb =⇔=log
Na expressão: xab =log , temos:
.log
;
;log
aritmooéx
baseaéb
aritmandooéa
Exemplos :
a) 24log 2 = , pois 422 =
b) 481log3 = , pois 8134 =
Forma logarítmica Forma exponencial
010,,,: >≠>∈ beaRbaqueEm
2
Teoria dos Logaritmos – o porquê dos Logaritmos Considere as expressões:
� 623131245 +
� 623131245 −
� 6231.31245
� 6231:31245
Quais delas você resolveria mais rapidamente?
De modo geral é mais simples somar ou subtrair dois números do que multiplica-los ou dividi-los. Com base nessas idéias o escocês John Napier (ou Neper) formalizou a teoria dos logaritmos, cuja finalidade é simplificar cálculos numéricos.
Os princípios básicos dos logaritmos – transformar uma multiplicação em adição ou uma divisão em subtração – já haviam sido vislumbrados por outros matemáticos antes de Napier.
Para que Servem os Logaritmos - Aplicação
O estudo dos logaritmos é muito importante para os homens, agilizam os cálculos relacionados ‘a Astronomia, ‘a Navegação e ao Comércio.
Muitos dos fenômenos que ocorrem nas diversas áreas de atuação do homem são descritos por leis matemáticas que envolvem logaritmos. Veja alguns exemplos:
� Em Física , por exemplo, no ramo da acústica, aplica-se logaritmo no cálculo do nível sonoro, serve para medir a força de um terremoto, por exemplo, é determinado por uma função logarítmica que relaciona a amplitude das ondas sismológicas com o tempo (escala Richter) ;
� Já em Química , o logaritmo é usado para calcular o pH (potencial hidrogeniônico), classificando-se desse modo, uma solução química em ácida, neutra ou básica.
� Na Matemática Financeira , usamos uma das propriedades e a tabela logarítmica para calcular o período (tempo) de aplicação e o Montante (Capital + Juros) no regime de juros compostos;
� Na Estatística (um dos ramos da Matemática), usamos logaritmos para determinar um intervalo de classe nas variáveis contínuas, dentre outros exemplos.
3
RESUMO SOBRE LOGARITMOS
xb baxa =⇔=log
Conseqüências da Definição 1º) 01log =b
2º) 1log =bb
3º) nbnb =log
4º) ab ab =log 5º) caca bb =⇔= loglog
Condições de Existência - Equações Logarítmicas
>≠>
⇔∃01
0log
b
aab
Propriedades dos Logaritmos ���� Logaritmo de um produto
( ) caca bbb loglog.log +=
���� Logaritmo de um quociente
caca
bbb logloglog −=
���� Logaritmo de uma potência
ana bn
b log.log =
���� Logaritmo de uma raiz
anm
aa bn
m
bn m
b log.loglog ==
���� Mudança de Base
≠<≠<
>⇒=
10
10
0
log
loglog
c
b
a
b
aa
c
cb
4
Equações Logarítmicas
Observe as equações:
√√√√ ( ) 21log3 =−x
√√√√ ( ) 219log 1 =−+ xx
√√√√ xx 22 log42
3log1 +=−
Elas apresentam a incógnita envolvida com logaritmos e, por esse motivo, são
chamadas de equações logarítmicas.
Para resolvê-la aplicaremos, além da definição de logaritmo, a seguinte
propriedade:
00,01,loglog >>>≠=⇔= ceabcomcaca bb
Exemplos :
1º) Resolva a equação ( ) 34log2 =−x . Resolução: Observando a condição de existência do logaritmo, devemos ter:
404 >⇒>− xx .
Usando a definição de logaritmo, vem ( ) 122434log 32 =∴=−⇒=− xxx .
Na resolução de equações logarítmicas, devemos sempre verificar se os valores obtidos para a incógnita satisfazem as condições de existência. Somente tais valores é que devem ser apresentados como solução da equação. Como 12=x satisfaz a condição de existência do logaritmo, o conjunto solução da equação é { }12=S . 2º) Determine o conjunto solução da equação ( ) 23log 2 =− xxx .
Resolução: As condições de existências são: ( )( )
≠>>−
IIxex
Ixx
10
03 2
Usando a definição, obtemos:
( )
=′′
=′⇒=−⇒=−
2
1
0323log 222
x
xxxxxxx
Verificação:
5
( )
( ) )(10)(00
)(00
000
0
VeFII
F
xparaI
≠>
>>−
=
( )
( ) )(12
1)(0
2
1
)(04
10
2
1
2
1.3
2
1
2
VeVII
V
xparaI
≠>
>⇒>−
=
Observe que 2
1=x satisfaz as duas condições de existências, mas 0=x não.
Nesse caso, 2
1 é a única solução da equação. Logo,
=
2
1S .
3º) Qual o conjunto verdade da equação ( ) 06loglog 32
3 =−− xx ? Resolução: A condição de existência do logaritmo é 0>x . Fazendo a substituição yx =3log , temos:
( ) 0606loglog 23
23 =−−⇒=−− yyxx
Resolvendo a equação do 2º grau em y , vem:
−=′′=′
⇒±
=⇒=−−2
3
2
251062
y
yyyy
Voltando à igualdade yx =3log , obtemos:
2733loglog 333 =′⇒=⇒=⇒′= xxxyx ou
9
132loglog 2
33 =′′⇒=⇒−=⇒′′= − xxxyx
Como esses dois valores satisfazem à restrição imposta inicialmente, temos
= 27;
9
1S .
EXERCÍCIOS
6
1) Resolva as equações:
a) 2log5 =x d) 11
3log3 =
−+
x
x
b) 5243log =x e) ( ) 21log3
1 −=−x
c) 29
1log =x f) ( ) 241log5 =− x
2) Determine o conjunto solução das seguintes equações:
a) ( ) 243log 22 =+x
x d) 14log =x
b) 09log6log 323 =+− xx e) 813 5log2 =+ x
c) ( ) ( ) 03log3log2 =−−− xx f) ( ) 12loglog 9
2
1 =x
Respostas 1) a) { }25 d) { }3 b) { }3 e) { }10
c)
3
1 f) { }6−
2) a) { }2;2− d) { }1 b) { }27 e) { }25
c) { }13;4 f)
2
3
7
Função Logarítmica A função exponencial f: R → R*
+ definida por xay= ( )10 ≠> aeacom , é bijetora. Nesse caso, podemos determinar a sua função inversa.
Você já deve ter advinhado que a função inversa da função exponencial é a função logarítmica.
Observe: yxay a
x log=⇒= , permutando as variáveis, xy alog= . Vamos agora examinar o comportamento da função logarítmica traçando o
seu gráfico no plano cartesiano. Temos dois casos:
1º caso : base 1>a , a função ( ) xxf alog= é crescente .
x ( ) xxf 2=
8
1 3−
4
1 2−
2
1 1−
1 0 2 1 4 2 8 3
R
RD
base
xy
==
>=
+
Im
12
log
*
2
8
2º caso : base 10 << a , a função ( ) xxf alog= é decrescente .
x ( )x
xf
=2
1
8 3− 4 2− 2 1− 1 0
2
1 1
4
1 2
8
1 3
R
RD
base
xy
==
<<
=
+
Im
12
10
log
*
2
1
EXERCÍCIOS 1) Esboce os gráficos das funções: a) xy 3log=
b) ( ) ( )1log2 −= xxf
c) xy log= 2) Construa, num mesmo sistema de eixos, os gráficos de:
a) ( ) ( ) xxfexf x2log2 ==
b) ( ) ( ) xxfexfx
2
1log2
1 =
=
9
Inequações Exponenciais
Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve
logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Exemplos :
1º) 0log2 >x , que é satisfeita para 1>x . 2º) ( ) 13log4 ≤+x , que é satisfeita para 13 ≤<− x . Para resolver inequaçõeslogarítmicas, devemos observar dois passos importantes: 1º Passo : Redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base; 2º Passo : Aplicação da propriedade.
Função crescente 1>a Função decrescente 10 << a
321..
0loglogEC
aa nmnm >>⇒>
(o sentido das desigualdades se conserva)
nmnmEC
aa <<⇒>321..
0loglog
(o sentido das desigualdades se inverte) Exemplos :
1º) Resolva a inequação ( ) 4log3log2
1
2
1 ≥−x .
Resolução: A condição de existência é:
( )Ixx 303 >⇒>− Como a base é um número entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos.
.43 invertesededesigualdadasentidoOx →≤− ( )IIx 7≤
A solução da inequação deve satisfazer as duas condições. Na reta real:
Quadro de resolução:
Logo, { }73/ ≤<ℜ∈= xxS .
( )I
( )II
( ) ( )III I
3
7
3 7
10
2º) Resolva a inequação ( ) ( ) 12log1log 1212 ≤−+− xx . Resolução: As condições de existências são:
( )( )IIxx
Ixx
202
101
>⇒>−>⇒>−
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 12log2.1log12log1log 12121212 −−⇒≤−+− xxxx
( ) ( ) .122.1 conservasededesigualdadasentidoOxx →≤−−
( )IIIxx
xx
0103
12232
2
≤−−≤+−
−=′′=′
⇒=−−2
50103: 2
x
xxxraízes
Na reta real: Quadro de resolução:
Logo, { }52/ ≤<ℜ∈= xxS .
( )I
( )II
( ) ( ) ( )IIIIII II
( )III
1
-2 5
2
2 5
11
EXERCÍCIOS 1) Resolva as inequações: a) ( ) 5log6log
22>−x
b) ( ) 3log4log 22 <− x c) ( )14loglog
2
1
2
1 −< xx
2) Determine o conjunto solução das inequações: a) ( ) 212log 2
10 <+− aa
b) ( ) 454log 2
2
1 −≥−+ xx
Respostas 1) a) { }11/ >∈ xIRx b) { }41/ <<∈ xIRx
c)
<<∈
3
1
4
1/ xIRx
2) a) { }1119/ ≠<<−∈ aeaIRa b) { }3157/ ≤<−≤≤−∈ xouxIRx
12
Cologaritmo
Chamamos cologaritmo de um número positivo b numa base a ( )01 >≠ a e
indicamos bco alog o logaritmo do inverso desse número b na base a.
Em símbolos: ( )10,01
loglog ≠>>= aebab
bco aa
Como bbbb aaaaa loglog0log1log1
log −=−=−= , podemos também
escrever: bbco aa loglog −= .
Exemplos :
1) 38log8log 22 −=−=co
2) 481log81log 33 −=−=co
Mudança de base
Podem aparecer, no cálculo, situações em que encontramos vários logaritmos
em bases diferentes.
Como as propriedades logarítmicas só têm validade para logaritmos numa
mesma base, é necessário fazer antes a conversão dos logaritmos de bases
diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança
de base .
Vamos supor, por exemplo, que temos yxa =log e que precisamos descobrir
quanto vale xblog .
Para isso devemos fazer a mudança da base a para a base b.
Temos [ ]Iaxyx ya =⇒=log .
Fazendo zxb =log , pela definição de logaritmo, temos [ ]IIbx 2= .
Substituindo [ ]II em [ ]I obtemos yz ab = e, daí:
( ) ⇒=⇒=⇒= axxayzaz babby
b log.logloglog.log
13
⇒ a
xx
b
ba log
loglog = ( )00,1 >>≠ xeba
Exemplos :
1) 3log
5log5log
2
23 = (transformando 5log3 para logaritmo na base 2)
2) 10log
6log6log
5
510 = (transformando 6log10 para logaritmo na base 5)
3) 3log
8log8log3 = (transformando 8log3 para logaritmo na base 10)
4) b
aa
a
ab log
loglog = ou
ba
ab log
1log = (propriedade muito útil no cálculo)
14
Logaritmos decimais
As principais propriedades dos logaritmos decimais são:
a) 01log =
b) 110log =
c) mm =10log
d) 0log1 >⇔> xx
e) 0log10 <⇔<< xx
f) gráfico da função xy log=
Consideremos, agora, um número real positivo x escrito na forma decimal.
Este número x ou está compreendido entre duas potências de base 10 e
expoentes inteiros e consecutivos, ou é igual a uma potência de base 10 e expoente
inteiro.
Exemplos :
1) 11054,3º10 <<
2) 21 103,2910 <<
3) 32 1081,34710 <<
4) 32 1010010 <<
5) 43 10100010 <<
15
Podemos, então, concluir que para todo número real positivo x existe um
único número inteiro c que satisfaz a condição:
11010 +<≤ cc x
Procuremos, agora, xlog :
⇒<≤⇒<≤ ++ 11 10loglog10log1010 cccc xx 1log +<≤ cxc
Podemos, portanto, escrever:
10log <≤+= msendomcx ,
ou seja, que o logaritmo decimal de x é a soma de um número inteiro c com um
número decimal m menor que 1 e não-negativo.
Este número c é chamado de característica do xlog e o número decimal m
é chamado de mantissa do xlog .
Vejamos dois exemplos:
1) 458log
Resolução :
Como 32 1045810 << , temos que 32 10log458log10log << ou 3458log2 << e,
daí, 2=c .
Consultando a tábua (ou tabela) de logaritmos (a rigor deveria chamar-se
tábua de mantissas, pois não fornece logaritmos) na página final desta aula,
encontramos 6608,0=m .
Portanto, 6608,26608,02458log =+= .
2) 0572,0log
Resolução :
Como 12 100572,010 −− << , temos: 12 10log0572,0log10log −− << ou
210572,0log2 −=⇒−<<− c .
Consultando a tábua de logaritmos, obtemos 7574,0=m .
Portanto, 2426,17574,020572,0log −=+−=
16
Determinação da característica
Para determinar a característica de xlog vamos considerar os casos em que
101 <<> xex .
1º caso : 1>x
A característica de ( )1log >xx é igual ao número de algarismos de sua parte
inteira diminuído de 1.
Exemplos :
1) 4873log tem característica 3 ( )314 =− .
2) 593log tem característica 2 ( )213 =− .
2º caso : 10 << x
A característica de ( )10log << xx é igual ao simétrico do número de zeros
que antecedem o primeiro algarismo significativo.
Exemplos :
1) 8,0log tem característica 1− .
2) 0002,0log tem característica 4− .
3) 00107,0log tem característica 3− .
Propriedade da mantissa
Consideremos, como exemplo, 256log , que tem característica 2 e mantissa
0,4082, o que nos permite escrever 4082,02256log += .
Vamos, agora, estabelecer os valores de 0256,0log , 256,0log , 56,2log ,
6,25log e 2560log :
� ( ) 4082,024082,024256log10log256.10log0256,0log 44 +−=++−=+== −−
� ( ) 4082,014082,023256log10log256.10log256,0log 33 +−=++−=+== −−
� ( ) 4082,004082,022256log10log256.10log56,2log 22 +=++−=+== −−
� ( ) 4082,014082,021256log10log256.10log6,25log 11 +=++−=+== −−
� ( ) 4082,034082,021256log10log256.10log2560log +=++=+==
17
Como podemos perceber, as mantissas são iguais .
De modo geral, podemos enunciar:
Os logaritmos de dois números escritos na forma decimal, que diferem
apenas pela posição da vírgula, têm a mesma mantissa.
Vamos, por exemplo, calcular ( )xn .10log , com Zn ∈ , sabendo que
mcx +=log . Temos, então:
( ) {mantissamesmaticacaracterísnova
nn mcnxx ++=+=321
log10log.10log
A parcela inteira n incide somente sobre a parte inteira de xlog , ou seja,
sobre c , deixando inalterada a mantissa m .
Exemplos :
1) 8300log830log,3,8log,83,0log,083,0log,0083,0log,00083,0log e têm todos a
mesma mantissa: 0,9190.
2) 4700log470log,47log,7,4log,47,0log e têm todos a mesma mantissa: 0,6720.
TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS
nº log nº log
1 0 50 1,69897
2 0,30103 51 1,70757
3 0,477121 52 1,716003
4 0,60206 53 1,724276
5 0,69897 54 1,732394
6 0,778151 55 1,740363
7 0,845098 56 1,748188
8 0,90309 57 1,755875
9 0,954243 58 1,763428
10 1 59 1,770852
11 1,041393 60 1,778151
12 1,079181 61 1,78533
13 1,113943 62 1,792392
14 1,146128 63 1,799341
15 1,176091 64 1,80618
16 1,20412 65 1,812913
18
17 1,230449 66 1,819544
18 1,255273 67 1,826075
19 1,278754 68 1,832509
20 1,30103 69 1,838849
21 1,322219 70 1,845098
22 1,342423 71 1,851258
23 1,361728 72 1,857332
24 1,380211 73 1,863323
25 1,39794 74 1,869232
26 1,414973 75 1,875061
27 1,431364 76 1,880814
28 1,447158 77 1,886491
29 1,462398 78 1,892095
30 1,477121 79 1,897627
31 1,491362 80 1,90309
32 1,50515 81 1,908485
33 1,518514 82 1,913814
34 1,531479 83 1,919078
35 1,544068 84 1,924279
36 1,556303 85 1,929419
37 1,568202 86 1,934498
38 1,579784 87 1,939519
39 1,591065 88 1,944483
40 1,60206 89 1,94939
41 1,612784 90 1,954243
42 1,623249 91 1,959041
43 1,633468 92 1,963788
44 1,643453 93 1,968483
45 1,653213 94 1,973128
46 1,662758 95 1,977724
47 1,672098 96 1,982271
48 1,681241 97 1,986772
49 1,690196 98 1,991226
99 1,995635
19
TABELA DE LOGARITMOS
(base 2 a 9)
nº / base 2 3 4 5 6 7 8 9
2 1,0000 0,6309 0,5000 0,4307 0,3869 0,3562 0,3333 0,3155
3 1,5850 1,0000 0,7925 0,6826 0,6131 0,5646 0,5283 0,5000
4 2,0000 1,2619 1,0000 0,8614 0,7737 0,7124 0,6667 0,6309
5 2,3219 1,4650 1,1610 1,0000 0,8982 0,8271 0,7740 0,7325
6 2,5850 1,6309 1,2925 1,1133 1,0000 0,9208 0,8617 0,8155
7 2,8074 1,7712 1,4037 1,2091 1,0860 1,0000 0,9358 0,8856
8 3,0000 1,8928 1,5000 1,2920 1,1606 1,0686 1,0000 0,9464
9 3,1699 2,0000 1,5850 1,3652 1,2263 1,1292 1,0566 1,0000
10 3,3219 2,0959 1,6610 1,4307 1,2851 1,1833 1,1073 1,0480
11 3,4594 2,1827 1,7297 1,4899 1,3383 1,2323 1,1531 1,0913
12 3,5850 2,2619 1,7925 1,5440 1,3869 1,2770 1,1950 1,1309
13 3,7004 2,3347 1,8502 1,5937 1,4315 1,3181 1,2335 1,1674
14 3,8074 2,4022 1,9037 1,6397 1,4729 1,3562 1,2691 1,2011
15 3,9069 2,4650 1,9534 1,6826 1,5114 1,3917 1,3023 1,2325
16 4,0000 2,5237 2,0000 1,7227 1,5474 1,4248 1,3333 1,2619
17 4,0875 2,5789 2,0437 1,7604 1,5812 1,4560 1,3625 1,2895
18 4,1699 2,6309 2,0850 1,7959 1,6131 1,4854 1,3900 1,3155
19 4,2479 2,6801 2,1240 1,8295 1,6433 1,5131 1,4160 1,3401
20 4,3219 2,7268 2,1610 1,8614 1,6720 1,5395 1,4406 1,3634
21 4,3923 2,7712 2,1962 1,8917 1,6992 1,5646 1,4641 1,3856
22 4,4594 2,8136 2,2297 1,9206 1,7251 1,5885 1,4865 1,4068
23 4,5236 2,8540 2,2618 1,9482 1,7500 1,6113 1,5079 1,4270
24 4,5850 2,8928 2,2925 1,9746 1,7737 1,6332 1,5283 1,4464
25 4,6439 2,9299 2,3219 2,0000 1,7965 1,6542 1,5480 1,4650
26 4,7004 2,9656 2,3502 2,0244 1,8184 1,6743 1,5668 1,4828
27 4,7549 3,0000 2,3774 2,0478 1,8394 1,6937 1,5850 1,5000
28 4,8074 3,0331 2,4037 2,0704 1,8597 1,7124 1,6025 1,5166
29 4,8580 3,0650 2,4290 2,0922 1,8793 1,7304 1,6193 1,5325
30 4,9069 3,0959 2,4534 2,1133 1,8982 1,7479 1,6356 1,5480
31 4,9542 3,1257 2,4771 2,1337 1,9165 1,7647 1,6514 1,5629
32 5,0000 3,1546 2,5000 2,1534 1,9343 1,7810 1,6667 1,5773
33 5,0444 3,1827 2,5222 2,1725 1,9514 1,7968 1,6815 1,5913
34 5,0875 3,2098 2,5437 2,1911 1,9681 1,8122 1,6958 1,6049
35 5,1293 3,2362 2,5646 2,2091 1,9843 1,8271 1,7098 1,6181
36 5,1699 3,2619 2,5850 2,2266 2,0000 1,8416 1,7233 1,6309
37 5,2095 3,2868 2,6047 2,2436 2,0153 1,8556 1,7365 1,6434
38 5,2479 3,3111 2,6240 2,2602 2,0302 1,8693 1,7493 1,6555
39 5,2854 3,3347 2,6427 2,2763 2,0447 1,8827 1,7618 1,6674
40 5,3219 3,3578 2,6610 2,2920 2,0588 1,8957 1,7740 1,6789
20
41 5,3576 3,3802 2,6788 2,3074 2,0726 1,9084 1,7859 1,6901
42 5,3923 3,4022 2,6962 2,3223 2,0860 1,9208 1,7974 1,7011
43 5,4263 3,4236 2,7131 2,3370 2,0992 1,9329 1,8088 1,7118
44 5,4594 3,4445 2,7297 2,3512 2,1120 1,9447 1,8198 1,7223
45 5,4919 3,4650 2,7459 2,3652 2,1245 1,9562 1,8306 1,7325
46 5,5236 3,4850 2,7618 2,3789 2,1368 1,9675 1,8412 1,7425
47 5,5546 3,5046 2,7773 2,3922 2,1488 1,9786 1,8515 1,7523
48 5,5850 3,5237 2,7925 2,4053 2,1606 1,9894 1,8617 1,7619
49 5,6147 3,5425 2,8074 2,4181 2,1721 2,0000 1,8716 1,7712
50 5,6439 3,5609 2,8219 2,4307 2,1833 2,0104 1,8813 1,7804
51 5,6724 3,5789 2,8362 2,4430 2,1944 2,0206 1,8908 1,7895
52 5,7004 3,5966 2,8502 2,4550 2,2052 2,0305 1,9001 1,7983
53 5,7279 3,6139 2,8640 2,4669 2,2159 2,0403 1,9093 1,8070
54 5,7549 3,6309 2,8774 2,4785 2,2263 2,0499 1,9183 1,8155
55 5,7814 3,6476 2,8907 2,4899 2,2365 2,0594 1,9271 1,8238
56 5,8074 3,6640 2,9037 2,5011 2,2466 2,0686 1,9358 1,8320
57 5,8329 3,6801 2,9164 2,5121 2,2565 2,0777 1,9443 1,8401
58 5,8580 3,6960 2,9290 2,5229 2,2662 2,0867 1,9527 1,8480
59 5,8826 3,7115 2,9413 2,5335 2,2757 2,0954 1,9609 1,8558
60 5,9069 3,7268 2,9534 2,5440 2,2851 2,1041 1,9690 1,8634
61 5,9307 3,7419 2,9654 2,5542 2,2943 2,1126 1,9769 1,8709
62 5,9542 3,7567 2,9771 2,5643 2,3034 2,1209 1,9847 1,8783
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67 6,0661 3,8273 3,0330 2,6125 2,3467 2,1608 2,0220 1,9136
68 6,0875 3,8408 3,0437 2,6217 2,3550 2,1684 2,0292 1,9204
69 6,1085 3,8540 3,0543 2,6308 2,3631 2,1759 2,0362 1,9270
70 6,1293 3,8671 3,0646 2,6397 2,3711 2,1833 2,0431 1,9336
71 6,1497 3,8801 3,0749 2,6486 2,3790 2,1906 2,0499 1,9400
72 6,1699 3,8928 3,0850 2,6572 2,3869 2,1978 2,0566 1,9464
73 6,1898 3,9053 3,0949 2,6658 2,3946 2,2049 2,0633 1,9527
74 6,2095 3,9177 3,1047 2,6743 2,4021 2,2119 2,0698 1,9589
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76 6,2479 3,9420 3,1240 2,6908 2,4170 2,2256 2,0826 1,9710
77 6,2668 3,9539 3,1334 2,6990 2,4243 2,2323 2,0889 1,9770
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80 6,3219 3,9887 3,1610 2,7227 2,4457 2,2519 2,1073 1,9943
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21
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88 6,4594 4,0754 3,2297 2,7819 2,4988 2,3009 2,1531 2,0377
89 6,4757 4,0857 3,2379 2,7889 2,5052 2,3067 2,1586 2,0429
90 6,4919 4,0959 3,2459 2,7959 2,5114 2,3124 2,1640 2,0480
91 6,5078 4,1060 3,2539 2,8028 2,5176 2,3181 2,1693 2,0530
92 6,5236 4,1159 3,2618 2,8095 2,5237 2,3237 2,1745 2,0580
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94 6,5546 4,1355 3,2773 2,8229 2,5357 2,3348 2,1849 2,0677
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96 6,5850 4,1546 3,2925 2,8360 2,5474 2,3456 2,1950 2,0773
97 6,5999 4,1641 3,3000 2,8424 2,5532 2,3509 2,2000 2,0820
98 6,6147 4,1734 3,3074 2,8488 2,5589 2,3562 2,2049 2,0867
99 6,6294 4,1827 3,3147 2,8551 2,5646 2,3614 2,2098 2,0913