MATEMÁTICA

MANUEL ALBERTO M. FERREIRA – ISABEL AMARAL

EDIÇÕES SÍLABO

3

PRIMITIVASE INTEGRAIS

ColeçãoMatemática

COLEÇÃOM

ATEMÁTICA

3 COLEÇÃO MATEMÁTICA

3Outros livros Sílabo na área dos Métodos Quantitativos:

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COLEÇÃO MATEMÁTICA3

COLEÇÃO MATEMÁTICA

1 – INTEGRAIS MÚLTIPLOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

2 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IRn

3 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS

4 – FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA

5 – ÁLGEBRA LINEAR Vol. 1 – Matrizes e Determinantes

6 – ÁLGEBRA LINEAR Vol. 2 – Espaços Vectoriais e Geometria Analítica

7 – PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

8 – CÁLCULO INTEGRAL EM IR – PRIMITIVAS

9 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – EXERCÍCIOS

10 – SUCESSÕES E SÉRIES

11 – ÁLGEBRA LINEAR – Exercícios Vol. 1 – Matrizes e Determinantes

12 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR

13 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IRn – EXERCÍCIOS

14 – ÁLGEBRA LINEAR – Exercícios Vol. 2 – Espaços Vectoriais e Geometria Analítica

15 – SUCESSÕES E SÉRIES – EXERCÍCIOS

16 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES

17 – INTEGRAIS MÚLTIPLOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – EXERCÍCIOS

18 – INTEGRAIS DUPLOS, TRIPLOS, DE LINHA E DE SUPERFÍCIE

19 – FUNDAMENTOS DE ANÁLISE NUMÉRICA

20 – MÉTODOS NUMÉRICOS – Introdução, Aplicação e Programação

21 – CÁLCULO INTEGRAL – Teoria e Aplicações

22 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – Exercícios Resolvidos

23 – TÓPICOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA EM IRn

24 – EXERCÍCIOS SOBRE PRIMITIVAS E INTEGRAIS

25 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – Com Aplicações às Ciências Empresariais

26 – ÁLGEBRA LINEAR – Teoria e Prática

MANUEL ALBERTO M. FERREIRAISABEL AMARAL

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É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer

forma ou meio gráfico, eletrónico ou mecânico, inclusive fotocópia, este livro.

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Não participe ou encoraje a pirataria eletrónica de materiais protegidos.

O seu apoio aos direitos dos autores será apreciado.

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FICHA TÉCNICA:

Título: Primitivas e IntegraisAutores: Manuel Alberto M. Ferreira, Isabel Amaral� Edições Sílabo, Lda.Capa: Pedro Mota

1ª Edição – Lisboa, 19867ª Edição – Lisboa, setembro de 2018Impressão e acabamentos: Europress, Lda.Depósito Legal: 445993/18ISBN: 978-972-618-972-5

Editor: Manuel Robalo

R. Cidade de Manchester, 21170-100 LisboaTelf.: 218130345e-mail: silabo@silabo.ptwww.silabo.pt

Dedicamos este livro ao Senhor Professor J. J. Laginha,agradecendo assim o incentivo que nos tem dado

ao longo de anos de trabalho em comum.

Manuel Alberto, Isabel Amaral

ÍNDICE

PRIMITIVAS

1. Definição. Generalidades 11

2. Primitivas imediatas e quase-imediatas 13

3. Métodos de primitivação 31

3.1. Método de primitivação por decomposição 31

3.2. Método de primitivação por partes 39

3.3. Método de primitivação por substituição 52

4. Primitivação de funções racionais 60

4.1. Algumas questões preliminares 60

4.2. Decomposição de funções racionais próprias 60

4.3. Primitivação de funções racionais 62

4.4. Alguns exemplos de funções cuja primitivaçãose pode reduzir à de funções racionais 73

INTEGRAIS

1. Integral de Riemann 97

1.1. Soma integral de uma função 97

1.2. Definição de integral de Riemann 97

1.3. Uma condição necessária de integrabilidade 98

2. Somas de Darboux 99

2.1. Somas de Darboux 99

2.2. Uma condição necessária e suficiente de integrabilidade 101

3. Classes de funções integráveis 105

4. Interpretação geométrica do conceito de integral 108

5. Propriedades dos integrais 113

6. Teorema da média do cálculo integral 121

7. Desigualdade de Schwartz 123

8. Integral indefinido 124

9. Fórmula de Barrow 133

10. Métodos de integração 138

10.1. Método de integração por decomposição 138

10.2. Método de integração por partes 140

10.3. Método de integração por substituição 144

11. Integrais paramétricos 147

12. Extensão da noção de integral 152

12.1. Integrais impróprios 152

12.2. Integrais de limite infinito 157

13. Aplicações dos integrais 165

13.1. Cálculo de áreas planas 165

13.2. Cálculo de volumes de sólidos de revolução 178

13.3. Cálculo de volumes de sólidos que não sejam de revolução 182

13.4. Cálculo de comprimento de linhas 183

13.5. Cálculo de áreas laterais de sólidos de revolução 191

Exercícios propostos 195

1

PRIMITIVAS

1. Definição. Generalidades

Diz-se que F x( ) é uma primitiva de f x( ), num certo intervalo, se em qual-quer ponto desse intervalo F x f x� �( ) ( ).

Designando uma primitiva de f x( ) por Pf x( ), teremos

Pf x F x F x f x( ) ( ) ( ) ( )� � � � ,

em qualquer intervalo em que F x( ) seja primitiva de f x( ).

Sendo C uma contante,

[ ( ) ] ( )F x C F x� � � � ,

Portanto, há uma infinidade de primitivas de uma certa função. Basta,após se ter determinado uma, juntar-lhe constantes diferentes, parra se obteruma colecção infinita de primitivas. O problema de Primitivação é um pro-blema indeterminado. Põe-se, então, a questão de saber se, sendo F x( ) umaprimitiva de f x( ), todas as primitivas de f x( ) são da forma

F x C( ) � ,

sendo C uma constante.

Suponhamos, então, que G x( ), diferente de F x( ), é também uma primi-tiva de f x( ) (ambas no mesmo intervalo). Então,

F x G x� � �( ) ( ).

Portanto, segundo um dos corolários do teorema de Langrange, tem-seG x F x C( ) – ( ) � pelo que

G x F x C( ) ( )� � .

Em conclusão: duas primitivas de uma mesma função, num certointervalo, diferem sempre de uma constante. Assim, sendo F x( ) uma pri-

mitiva de f x( ), num certo intervalo pode dizer-se que,

Pf x F x C( ) ( )� �

PRIMITIVAS 11

é a expressão geral das primitivas de f x( ) nesse intervalo, sendo C umaconstante.

Exercício resolvido 1

a) Mostre quex 2

2é uma primitiva de x em IR.

b) Escreva a expressão geral das primitivas de x em IR.

c) Determine a primitiva de x que passa pelo ponto ( , )0 1 .

Resolução

a) x x2

2

�

�

�

��

�

� , �x IR pelo quex 2

2é, de facto, uma primitiva de x em IR.

b) Em face da alínea a), podemos escrever

Px x C� �

2

2

c) Recorrendo a b), podemos pôr y x C� �

2

2. Obrigando ( , )0 1 a pertencer

a esta função, obtemos 1 0� � C, vindoC � 1. Então y x� �

2

21 é a

primitiva de x que passa por ( , )0 1 .

Exercício resolvido 2

Considere a função f xx

x( )

,

,�

�

�

���

5 0

0 0

se

se

Mostre que:

a) 5x é uma primitiva de f x( ) em ] , [0 � � ,

b) 8 é uma primitiva de f x( ) em ] – , [� 0 ,

c) f x( ) não tem primitiva em IR.

12 PRIMITIVAS E INTEGRAIS

Resolução

a) 5x é uma primitiva de f x( ), em ] , [0 � � porque, nesse intervalo,

( ) ( )5 5x f x� � � .

b) 8 é uma primitiva de f x( ), em ] – , [� 0 , porque, nesse intervalo,

8 0� � � f x( ).

c) Se existisse uma primitiva de f x( ) em IR, designando-a por F x( ), tería-

mos

F x Fx

F c( ) ( )

( )�

� �0

, �x 0,

sendo c x� ] ; [0 (Teorema de Lagrange).

Mas � � �F c f c( ) ( ) 0 visto que c � 0. Então,

� � � �

� �

FF x F

xex x

( ) lim( ) – ( )

lim– –

00

0 00 0

.

Não se pode, portanto, ter F f� � �( ) ( )0 0 5 pelo que não existe P f x( )em IR, embora existam primitivas de f x( ) em ] , [0 � � e ] – , [� 0 .

2. Primitivas imediatas e quase-imediatas

Como resulta da definição dada atrás, a operação de primitivação éinversa da de derivação.

Portanto, obtêm-se regras de primitivação invertendo as de derivação. Asprimitivas que se determinam aplicando apenas essas regras, chamam-sePrimitivas imediatas. Àquelas cuja determinação exige algumas operaçõespreliminares, antes da aplicação das regras, chama-se Primitivas quase-ime-diatas.

Vamos então, analisar essas regras e ver exemplos da sua aplicação:

1. ( )Kx KX K� � � � desde que K seja uma constante. Então,

P K Kx C� �

sendo K e C constantes. Por exemplo, P x C2 2� � , P x C5 5� � , etc.

PRIMITIVAS 13

2. Sendo u uma função de x, temos

P Ku K Pu C� �

com K e C constantes, visto que ( ) ( )K Pu K Pu Ku� � � � .

Esta regra, embora simples, é bastante útil. Mostra que as constantesmultiplicativas podem transitar através do sinal de primitivação. Por exemplo,

P x P x5 5sen sen� , P x P xtg tg�12

2 , etc.

3. Sendo u uma função de x e � uma constante temos (supondo que

� � – 1)u u u

u u� �

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�� � �

�� � �

1

11

1( )

. Então,

P u u u C��

�� � �

��

� 1

1, � � – 1

Vejamos alguns exemplos:

P x x C� �

2

2, u x� , � � 1 e u � � 1.

P xx

C( – )( – )

11

32

3� � , u x� – 1, � � 2 e u � � 1.

P x xx

C( – )( – )3 5 2

3 61 3

16

� � ,

u x�3 1– , � � 5 e u x� � 3 2.

Px

xP x x

2

11 2

2 22 2

( )( )–

�

� � � �

��

� �( )

–

–xC

2 111

�

�

–1

12x.

u x� �2 1, � � – 2 e u x� � 2 .

14 PRIMITIVAS E INTEGRAIS

P x P xx

C5 5 30 5 30 55 30

32

12

32

� � � � ��

� �( )( )

� � �23

5 30 3( )x C,

u x� �5 30, � �12

e u � � 5.

Px

xP x x

–

–( – ) (– )

–4

1212 4

3

3 44

13 3

� �

� � �( – )12

23

423x

C

� �32

123 4 2( – ) .x C

u x� 12 4– , � �– 13

e u x� � – 4 3.

Px

xP x

xx

Cln

(ln )ln2

2313

� � � ,

u x� ln , � � 2 e ux

� �1

.

Px

xP x

x

xC

arc tgarc tg

arc tg

1

1

1 22 2

2

�

�

�

� � .

u x� arc tg , � � 1 e ux

� �

�

1

1 2.

P x xx

Csensen2

3

3cos � � .

u x� sen , � � 2 e u x� � cos .

P x xx

Ctg sectg3 2

4

4� � .

u x� tg , � � 3 e u x� � sec2 .

PRIMITIVAS 15

P e ee

Cx xx

( )( )

11

43

4� �

�� .

u ex� �1 , � � 3 e u ex

� � .

Px x

P xx

xC1

33

1 323

32

( ln )( ln )

( ln )–

––

�

� � ��

� �

�

�

�–( ln )

.1

2 3 2xC

u x� �3 ln , � � – 3 e ux

� �1

.

Vamos ver agora, exemplos de casos em que aplicando 2), é necessáriorecorrer a constantes multiplicativas para se obter u �:

P x x P x xx

C( – ) ( – )( – )2 3 2 3

2 41

12

1 212

14

� � � �

� �( – )x

C2 41

8.

P x x x P x x x( – ) ( – ) ( – ) ( – )3 6 9 116

3 6 9 6 62 5 2 5� � � �

��

� �16

3 6 96

2 6( – )x xC

��

�( – )3 6 9

36

2 6x xC.

P x

xP x x

( )( )–

11

2 32 3

�

� � �

� � � ��

� �12

1 212

12

2 32 2

P x xx

C( )( )

––

–

�

�

�–( )

1

4 1 2 2xC.

16 PRIMITIVAS E INTEGRAIS

P x x P x x5 3 2 315 21 5 1 5� � � � �( )

� � �1

151 5 153

15 2P x x( )

��

� �1

151 5

65

365( )x

C

� � �1

181 5 3 65 ( )x C.

P e

eP e e

x

xx x

2

2 32 3 2

11

( )( )–

�

� � �

� � �12

1 22 3 2P e ex x( )–

��

� �12

12

2 2( )–

–eC

x

�

�

�–( )

1

4 1 2 2eC

x.

P x x P x x( cos ) – ( cos ) (– )1 15 5� � � �sen sen

��

�–( cos )1

6

6xC.

4. Em 3) está excluída a situação � � – 1. Neste caso teremos

P u u P uu

�� �

�1 .

Recordemos que (log )u uu

� ��

e [ln (– )]––

uuu

uu

� ��

��.

No primeiro caso tem de ser u � 0 e, no segundo u � 0. Será então,

P uu

u C�

� �ln | |

fórmula válida desde que u � 0.

PRIMITIVAS 17

Esta fórmula contempla as situações em que 3) falha. Vejamos algunsexemplos:

Px

x C1

� �ln | | .

P x

xx C2

11

22

�

� � �ln ( ) .

Repare-se que 1 02� �x para qualquer valor de x.

P x

xP x

xx C

2

3

2

33

1

13

3

11

�

�

�

� � �ln | | .

Px x

P xx

x C11

ln lnln | ln |� � � .

P e

ee C

x

xx

11

�

� � �ln ( ) (ex� 0, qualquer que seja x).

P P Cx

x

x

xx2

3 2

12

2 2

3 2

12

2 3– ln

ln

– lnln | – |

�

�

�

� � � .

Px x

Px

xx C1

1

1

12

2

( )ln | | .

�

��

� �

arc tg arc tgarc tg

Repare-se na aplicação desta fórmula na primitivação de algumas funçõestrigonométricas:

P x Pxx

Px

xx Ctg

sen sen� � �

�� �

cos cos– ln | cos | .

P x Pxx

x Ccotgsen

sen� � �cos

ln | | .

P x Px x x

x xP

x xx x

secsec sec tg

sec tgsec tgsec tg

��

��

� �

��

2 ( )

� � �ln | |sec tgx x C.

18 PRIMITIVAS E INTEGRAIS

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