3 . PLANEAMENTO do FACTOR TEMPO

3.1. Identificação das Actividades e suas Interdependências Sem perda de generalidade, um projecto pode ser decomposto num conjunto de actividades interrelacionadas a levar a cabo ("Actividade" será aqui entendida no sentido geral de "uma operação, tarefa ou processo que consome tempo e normalmente recursos"). Deste modo, a análise de um projecto tendo em vista a preparação do seu planeamento começará sempre pela identificação das suas actividades componentes e das interrelações existentes entre estas. Típicamente, estas interrelações são expressas por relações de precedência ("a actividade A deve preceder a actividade B", ou "a actividade B só pode iniciar-se depois da A estar concluída"), em que estas relações de precedência são impostas por razões de carácter físico, prático, legal, político, etc. Outos tipos de interdependências mais complexas são também possíveis, mas nem sempre os métodos clássicos de planeamento de projectos permitem incorporá-las directamente na análise. Como metodologia para a identificação de tarefas de um projecto enunciam-se as seguintes regras: 1. Exaustividade: “Não esquecer nenhuma actividade“.

Quando todas as actividades estiverem concluidas, então o empreendimento está concluido.

2. Suficiência: “Não se pode Ter actividades a mais”. Quando o empreendimento estiver concluido, todas as actividades terão que estar obrigatòriamente concluidas.

3. NÃO Redundãncia: ”Não podem existir trabalhos repetidos”. Qualquer trabalho elementar necessário ao desenvolvimento do empreendimento tem que estar contido numa e s´numa actividade.

Não há regras gerais que definam o grau de detalhe a que se deve levar a decomposição do projecto em actividades. Obviamente, quanto mais fina for a decomposição, levada até ao nível das operações elementares, mais completa será a descrição do projecto, mas também mais complexa será a rede de actividades o que dificultará a sua análise e compreensão. No extremo oposto, uma descrição apenas ao nível dos grandes processos ou macro-actividade levará a uma rede de simples análise e apreensão, mas dificultará o planeamento e, sobretudo, o controle do projecto.

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O nível de desagregação a que se deve chegar no processo de identificação das actividades dependerá dos factores: • Nível de Gestão a que se destina; Um planeamento estratégico será mais

agregado do que um planeamento operacional; • Nível de Performance; O aumento de detalhe de palneamento traduz-se

num benefício, que tem custos associados e que tende a aumentar exponencialmente, sendo necessário encontrar um ponto de equilíbrio na relação Custo/Benefício.

• Nível de Controlo; A informação disponível no plano de trabalhos e no mapa de quantidades do projecto, são os elementos que vão definir o detalhe do controlo pretendido e subsequentemente a decomposição das actividades para planeamento.

Exemplo: Tabela 1

Projecto de lançamento de um novo produto no mercado

Lista de actividades relativas a um projecto de lançamento de um novo produto de mercado, com caracterização de relações de precedência e durações Actividade Descrição Act. Imediatam. Duração precedente (semana)

A Organizar o departamento de vendas - 6 B Contratar pessoal de vendas - A 4 C Treinar o pessoal contratado - B 7 D Seleccionar uma agência de publicid . - A 2 E Planear a campanha publicitária - D 4 F Executar a campanha publicitária - E 10 G Conceber a embalagem - 2 H Montar o processo de embalagem - G 10 I Adquirir o produto no fabricante - 13 J Embalar o Stock inicial - H e I 6 K Seleccionar os distribuidores - A 9 L Vender o produto em stock aos - C e K 3 distribuidores M Enviar o produto em Stock aos - J e L 5 distribuidores

Na tabela 1 anteriormente apresentada − As actividades não se encontram caracterizadas no que diz respeito a

custos e recursos. Tal resulta do facto de agora estarmos apenas preocupados com o factor tempo;

3

− Todas as relações entre as actividades consideradas são relações de precedência (do tipo” Fim -de -A -precede -ínicio -de-B”. Mais adiante consideraremos outros tipos de relações de dependência;

− Admite-se que as durações são determinísticas (isto é, que cada uma delas toma um valor fixo). Tal hipótese só será uma aproximação aceitável da realidade quanto se consegue obter estimativas das durações com margens de erro pouco significativas.

O número de actividades incluídas na lista apresentada reflete um grau de detalhe do projecto que é, em larga medida, arbitário. O grau de detalhe a adoptar em cada situação depende dos objectivos. Em qualquer caso, devem evitar-se inconsistência no detalhe com que se especificam as actividades. 3.2. Tipos de Diagramas Utilizados na Representação de

Projectos A visualização gráfica de um projecto faz-se com o objectivo de facilitar o seu planeamento e controlo. Há três tipos básicos de diagramas utilizados na representação de projectos: - Diagramas de Gantt (ou de Barras); - Redes com actividades nas Setas; - Redes com actividades nos Nós. (ver figura) Diagramas de GANTT Diferentes barras representam, sobre uma escala do tempo, os períodos de execução das actividades Em cada barra, a parte representada a negro corresponde ao período planeado para a execução da actividade correspondente (na figura anterior, prevê-se a execução das actividades tão cedo quanto possível, a partir da data de arranque do projecto). À parte não preenchida de cada barra corresponde uma folga, isto é, o atraso máximo que a actividade correspondente pode sofrer sem com isso provocar um atraso na execução do projecto global

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REDES Em contraste com o que sucede com os diagramas de Gantt nas redes o factor tempo não é representado gráficamente. Toda a informação relativa a durações das actividades datas de execução, folgas, etc. , é colocado sobre as redes na forma numérica. Redes com Actividades nas Setas: ou Redes (I, J) Cada nó, designado por um número, corresponde a um acontecimento, que não é mais do que o início ou o fim de uma ou mais actividades Cada actividade corresponde a um par ordenado (I e J) onde I é o número do nó de início e J o número do nó de fecho. Daqui que as redes com actividades nas setas se designem também por “redes (I e J)” Redes com actividades nos Nós Nestas redes, as setas representam relações de dependência entre actividades Comentários relativos aos diagramas apresentados: Dentro de cada tipo de diagrama, existem diferentes variantes. Existem mesmo diagramas Híbridos daqueles que anteriormente foram apresentados (por exemplo) : • Diagramas de barras com a indicação de relações de precedência entre

actividades; • Redes com actividades nas setas representadas sobre uma escala do

tempo. De todos os diagramas referidos os mais utilizados são as redes com actividades nas setas ( por esta razão ser-lhe-á dedicada maior atenção ao longo do curso). Os diagramas Gantt, embora de mais difícil leitura do que as redes, especialmente na representação de projectos grandes e complexos são relativamente populares, fazendo parte do “Menu” de inúmeras “Packages” de CPM. A sua populariedade resulta da maior facilidade de programação e impressão automática daqueles diagramas em relação às redes. É possível que, no futuro, as redes com actividades nos nós venham a conquistar mais adeptos do que aqueles que têm no presente.

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Em relação às redes com actividades nos arcos, têm a vantagem de serem mais simples. Permitem a representação directa de relações de dependência diferentes da simples relação “ A-precede-B” (são dados exemplos na figura seguinte). Evitam a necessidade de recurso a “Actividades fictícias” (que, como veremos, são necessárias no caso das redes com actividades nas setas) Em relação a estas, têm a desvantagem de ser menos óbvia a representação do progresso das actividades ao longo da execução do projecto (factor importante no controle deste). Exemplos de relações de dependência entre actividades (redes com actividades nos Nós)

(i) A B - Início de B dependente do fim de A (ii) A B - Início de B dependente do ínicio de A (iii) A B - Fim de B dependente do fim de A

(i) A B 1 2 3 (ii) A 2 1 B 3 (iii) A B

3.3. Redes com Actividades nas Setas 3.3.1. Convenções Básicas, Noção de Actividade Fictícia

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As actividades são representadas por setas e os acontecimentos (inícios ou fins de actividades) são representados por círculos. O início de todas as actividades que não são precedidas por outras é representado no mesmo nó (ver figura ii). Uma rede só tem, uma entrada.

No final de todas as actividades que não precedem nenhuma, existe um acontecimento que é a finalização do empreendimento (ver figura iii). Todos os nós são numerados. A numeração é efectuada de tal forma que : - Para toda a actividade (I, J), com início no, nó I e fim no, nó J, verifica-se a desigualdade I < J. - Duas actividades distintas não podem ser definidas pelo mesmo par ordenado (I e J) . (Nota): Esta conversão é essencial no tratamento automático de redes; não há qualquer inconveniente em mantê-lo no tratamento manual. Actividades Fictícias Nas redes com actividades nas setas há, por vezes, necessidade de recorrer ao que se designa por “Actividades Fictícias. As actividades fictícias traduzem exclusivamente relações de dependência e representam-se por flechas a traço interrompido. Não consomem recursos e têm em regra, duração nula. A representação seguinte significa exclusivamente que a(s) actividade(s) que termina(m) no nó I precede(m) a(s) actividade(s) que se inicia(m) no nó J. I J Um mesmo projecto pode ser apresentado por redes diferentes, com mais ou menos actividades fictícias. A rede ideal é, dentre as que satisfazem as relações de interdependência das actividades do projecto, aquela que tiver menos actividades fictícias. Vejamos da necessidade de inclusão de actividades fictícias em redes com actividades nas setas.

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Admitamos que, entre as 4 actividades de um projecto existem as seguintes relações: A – precede, C e D

B – precede, D 5 C A (i) A precede a C e D 1 3 D 6 5 C A (ii) A precede a C e D 1 3 B precede a C e D B D 6 2 A C (iii) A precede a C e D 1 3 5 B precede a D B D 2 4 6

Fig.:

Se não houver recurso a actividades fictícias as relações A - Precede C e D terão que ser representadas como no diagrama (I) da figura seguinte. Ainda sem actividades fictícias a relação B – precede, D impõe que B termine no nó 3 (ver diagrama (ii)). Mas tal implica que B preceda também a C (o que não é necessário). A representação correcta das relações existentes impõe o recurso a uma actividade fictícia (ver diagrama (iii)).

3.3.2. Casos Especiais de Representação de Actividades A representação de actividades paralelas necessitam de actividades fictícias para haver uma correspondência correcta. Nos diagramos i), ii) e iii) estão ilustrados os erros cometidos pelo facto de não utilizar a actividade fictícia. (ver figura na página seguinte)

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Diagrama (i): As actividades A e B seriam designadas pelo mesmo par ordenado ( 1, 4), (o que está contra uma das convenções anteriormente apresentadas) Diagrama (ii): As actividades seriam condensadas numa só seta

perdendo a sua individualidade (o que é desnecessário) Diagrama (iii): Uma das actividades seria subdividida (o que é

desnecessário) Diagrama(iv)e(v): Representação adequada das actividades, tal como

originalmente definidas Nota: No diagrama (iv) as actividades fictícias precediam as actividades reais. A (i) 1 4 B

A e B (ii) 1 4 2 A1 A2 A (iii) 1 4 1 4 B B1 B2 3 2 A A (iv) 1 4 1 4 B 3 B A B

É preferivel a solução (IV) à (V), pois em (IV ) as actividades fictícias precedem as actividades reais. Representação de actividades com relações de dependência

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As redes com actividades nas setas só permitem representar directamente relações do tipo “Final-de-A-precede-início-de-B”. Outras relações podem, no entanto, ser representadas indirectamente, convertendo-as em relações que não do tipo “Final-de-A-precede-início-de-B”. Exemplo: Início-de-B-depende-da-realização-parcial-de-A. (ver figura seguinte) Representação da relação “Início-de-B-depende-da-realização-de-x % de A” A1= x% de A A2= A - A1 1 2 3 B 4 Nota: No caso limite, quando X 0, a relação expressa tende para “Início de B depende do início de A” A B 3.3.3. Desenho da Rede

Uma vez decomposto o projecto nas suas actividades constituintes e identificadas as respectivas relações de precedência, a análise do projecto pelo CPM começa pela sua representação através de uma rede. Esta compreende todas as actividades, identifica todos os conhecimentos associados com as várias fases de desenvolvimento do projecto e indica as interrelações e interdependências de actividades e acontecimentos. Consideremos o exemplo representado na tabela 1. O traçado da rede começa com a marcação das actividades A, G e I, pois são as que por não ter nenhuma precedência, podem ser começadas no instante inicial. No passo seguinte, podem marcar-se as actividades B, D e K visto que estas só dependem de A e esta já foi concluída. De seguida C, E e H são traçadas porque dependem apenas de actividades já anteriormente marcadas.

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Para apoiar o traçado de redes complexas é habitual construir-se um quadro onde se indicam as actividades respectivas precedências. Á medida que as actividades vão sendo traçadas, os seus códigos são riscados da lista de precedências. Deste modo torna-se simples identificar em cada estágio as actividades que estão em condições de se iniciarem: serão aquelas cujas listas de precedências se encontram vazias. É uma tabela deste tipo que se apresenta abaixo para o estádio de traçado da rede tal como a deixámos no parágrafo anterior.

Tabela 2

Actividades Precedências

Duração

A - 6 B A 4 C B 7 D A 2 E D 4 F E 10 G - 2 H G 10 I - 13 J H, I 6 K A 9 L C, K 3 M J, L 5

Estádio intermédio de traçado da rede E(4)

4 7 D(2)

A(6) B(4) C(7)

1 2 5 8 K(9) G(2) I(13)

3 H(10) 6

Podemos assim verificar que apenas as actividades, J, L e F estão em condições de serem iniciadas (a sua lista de precedências está vazia). Deste modo F, J e L seriam marcadas na rede, e os respectivos códigos seriam riscados na tabela 2. Prosseguindo com o método acima descrito, obter-se-ia finalmente a rede total.

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Figura: Rede final relativa ao projecto de lançamento de um produto, com a indicação das durações das diferentes actividades

E(4) F(10)

4 7

D(2) A(6) B(4) C(7) L(3) M(5)

1 2 5 8 9 10 K(9) G(2) I (13)

3 6 H(10) J(6)

3.4. Caracterização Determinística do Factor Tempo de um

Projecto

3.4.1. Método do Caminho Crítico. “CPM” Entre os métodos de planeamento e controle de projectos. O método CPM “Critical Path Method” é, com as suas extensões, aquele que com mais sucesso tem sido aplicado. Kelley e Walker(1) desenvolveram o método CPM, em 1957, no decurso de um projecto interno da firma E.I Dupond de Nemours and Company. O método foi inicialmente aplicado ao projecto de construção de uma instalação indústrial do sector químico e mais tarde utilizado no planeamento e controle de operações de manutenção. No método CPM, versão para planeamento e controle do factor tempo, admite-se que as durações das actividades são determinísticas.

No método PERT; Método para planeamento e controlo do factor tempo, admite-se que as durações das actividades são probalilísticas. No método CPM –Custo; Método para planeamento e controle integrado dos factores tempo e custo, admite-se também que as durações das actividades são determinísticas 1 Kelley D.E. e H.R. Walker; Critical Path Planning, of the Eastern Point Computer Conference, USA, 1959

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Neste curso serão cobertas outras extensões nomeadamente as que se referem ao planeamento integrado dos factores tempo e recursos. as suas designações são, no entanto, praticamente universais, não sendo susceptíveis de causar dúvidas. Todos os métodos analizados ao longo deste curso têm uma característica que os permite incluir no âmbito da investigação operacional: Em todos eles se recorre à utilização de modelos, como formas de representação de projectos reais; tais modelos permitem comparar diferentes “soluções” e, finalmente, seleccionar aquela que melhor satisfaz os objectivos a atingir. 3.4.2. Definição do Caminho Critíco, Prazo Mínimo de Execução de um Projecto. (capítulo reproduzido de (2)) Traçada a rede de actividades estamos em condições de iniciar a sua análise no tempo com o propósito de estabelecer as bases para a definição de um calendário com datas de início e conclusão de cada actividade tendo em vista a minimização do tempo de realização do projecto. Correspondendo o ínicio (e conclusão) de actividades á ocorrência dos acontecimentos representados na rede pelos nós, é natural que se comece por detrminar para cada nó o seu tempo mais cedo de ocorrência, isto é, o período de tempo mínimo que necessáriamente terá de decorrer desde o ínicio do projecto até que todos as actividades que nele convergem estejam concluídas. Assim, partindo do nó 1 no instante zero, a ocorrência do nó 2 só poderá verificar-se depois de concluida a actividade A, e esta leva 6 semanas a realizar. Deste modo, o tempo mais cedo do nó 2 será 6 semanas e o tempo mais cedo dos nós 3 e 6 são respectivamente 2 e 13 semanas. Concluída a actividade A, pode iniciar-se a actividade B que, 4 semanas depois, estará também concluída, levando à ocorrência do nó 5 cujo tempo mais cedo será dado pela soma do tempo mais cedo do nó 2 e da duração da actividade B, isto é, 10 semanas. Representando simbólicamente o tempo mais cedo de um nó genérico i por TMCi e a duração de uma actividade x por dx, teremos portanto para o nó 3, TMC5 = TMC2 + dB

= 6 + 4 = 10 (semanas)

Argumentando de igual forma para o nó 4, obteríamos,

13

TMC4 = TMC2 + dD

= 6 + 2 = 8 (semanas)

A ocorrência do nó 6 está condicionada à conclusão das actividades I e H. A actividade H poderá estar concluída ao fim de (TMC3 + dH) = 12 semanas, mas a actividade I só estará concluída ao fim de 13 semanas. Deste modo, o tempo mais cedo para o nó 6 é de 13 semanas visto que só ao fim deste período de tempo estarão concluídas todas as actividades que condicionam a sua ocorrência. Este caso poderá servir para apresentar o algoritmo geral de determinação do tempo mais cedo de ocorrência de qualquer nó. Suponhamos um nó genérico j que tem um conjunto de nós precedentes (genéricamente identificados pelo índice i) a ele ligados por actividades de durações genéricamente representadas por dij (ver figura). Figura Nós precedentes i j O tempo mais cedo do nó j é dado em função dos tempos mais cedo dos nós precedentes através da expresão seguinte: TMCj = MAXi (TMCi + dij)

Aplicando este algoritmo a alguns nós obtem-se:

Nó 5 _____ TMC5 = TMC2 + dB = 10

Nó 7 _____ TMC7 = 12

Nó 8 _____ TMC8 = max (TMC5 + dC ; TMC2 + dK) = 17

Nó 9 _____ TMC9 = max (TMC6 + dj ; TMC8 + dL)

= max (13+6 ; 17+3) = 20

O tempo mais cedo do nó final representada deste modo a duração mínima para o projecto. Admitimos que é objectivo minimizar o tempo de

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realização do projecto, importa agora analisar que condições há que impor à ocorrência de cada nó de modo a que o projecto possa ser concluido em 25 semanas. Nomeadamente, haveria interesse em determinar as datas mais tardias de ocorrência de cada nó que não afectam a conclusão do projecto em 25 semanas (que designaremos por tempo mais tarde de ocorr~encia, ou simbólicamente por TMT). Para o nó final, o tempo mais tarde é obviamente 25 semanas. Para o nó 7, depois da sua ocorrência há que realizar a actividade F, com uma duração de 10 semanas. Deste modo, se o nó 7 ocorresse apenas ao fim de (25-10)=15 semanas ainda assim seria possível concluir o projecto em 25 semanas. Simbólicamente, TMT7 = TMT10 - dF = 25-10=15

De forma idêntica obter-se-ia

TMT9 = TMT10 – dM= 25-5=20

Esta análise permite exemplificar a utilização do algoritmo geral de cálculo do tempo mais tarde. Suponha-se um nó genérico que precede um conjunto de nós (genéricamente identificados pelo índice j) aos quais se encontra ligado através de actividades de durações dij (figura) Figura

i Nós subsequentes j

O tempo mais tarde de ocorrência do nó i é calculável a partir dos tempos mais tarde dos nós j através da expressão: TMTi = MINj (TMTj - dij)

Para o caso do nó 8 obtinha-se

Nó8 ____ TMT8 = TMT9 - dL = 17

Aplicando este algoritmo aos outros nós resultaria:

Nó6 ____ TMT6 = TMT9 - dJ = 14

Nó5 ____ TMT5 = TMT8 - dC =10

Nó2 ____ TMT2 = MIN (TMT4 - dD;TMT5 - dB;TMT8-dK)

MIN (11-2; 10-4: 17-9) = 6

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Sumariza-se na figura os resultados obtidos, representando-se junto a cada nó os seus tempos de ocorrência mais cedo (à esquerda) e mais tarde (à direita) inscritos dentro de um rectângulo. Os tempos mais cedo e mais tarde definem os limites temporais de ocorrência de cada nó (com as consequentes implicações relativas aos inícios das actividades que dele partem e das conclusões das actividades que nele convergem), limites estes determinados pela sequência obrigatória de realização das actividades e pelo objectivo de minimizar a duração total do projecto. Assim, e tomando como exemplo o nó 6, o seu tempo mais cedo indica que não é possível concluir alguma das actividades I e H antes de 13 semanas, e portanto que também não será possível iniciar a actividade J antes desta data. O seu tempo mais tarde indica que não se pode protelar a sua ocorrência para além das 14 semanas (logo, a conclusão das actividades I e H e o início da actividade J) sob o risco de comprometer a conclusão do empreendimento em 25 semanas. Dentro destes dois limites, a ocorrência deste nó tem ainda alguma flexibilidade, podendo portanto ser deslocada no tempo sem violar as condições do problema. Já o mesmo não poderá ser dito relativamente ao nó 9, que, por ter o tempo mais cedo igual ao tempo mais tarde, não apresenta qualquer flexibilidade e tem a sua data de ocorrência rígidamente fixada. Todos os nós nestas circunstâncias (nós 2, 5, 8 e 9 para além do inicial) são designados por nós críticos visto que qualquer alteração nas suas datas de ocorrência tem imediatas repercurssões na duração total do projecto. As actividades críticas têm como características: i) unem nós criticos e ii) têm durações iguais à diferença entre as datas obrigatórias de ocorrência

dos dois nós que unem e têm as suas datas de ínicio e de conclusão rígidamente fixadas.

Qualquer alteração na duração de qualquer destas actividades tem imediatas repercussões na duração total do projecto, e por isso são designadas por actividades críticas. É sobre estas actividades que tem que se exercer um controle mais cuidadoso em fase de realização visto que são elas que determinam o tempo de realização do empreendimento. O seu conjunto define o caminho crítico.

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Note-se que enquanto a condição i) acima é uma condição necessária à criticidade de uma actividade, ela não é suficiente. Por exemplo, a actividade K une dois nós críticos mas não é crítica. De facto, a diferença entre as datas de ocorrência dos nós 8 e 2 é de (17-6)=11 semanas, período de tempo que excede o necessário para realizar esta actividade, pelo que K está folgada. As condições i) e ii) em conjugação são necessárias e suficientes para identificar as actividades críticas. Figura: Rede com indicação das datas mais cedo e mais tarde de todas as actividades e com a definição do caminho crítico

8 / 11 12 / 15 E(4) F(10)

4 7 D(2)

0/0 6/6 10/10 17/17 20/20 25/25 A(6) B(4) C(7) L(3) M(5) 1 2 5 8 9 10 K(9) G(2) I (13) 13/14 H(10) J(6)

3 6 2/4 Notação: Nós TMC.i / TMT.i 3.4.3. Determinação das Folgas das Actividades Se as actividades críticas, como vimos, têm a suas datas de início e de conclusão e a sua duração rígidamente fixadas, há outras actividades para as quais é possível alterar pelo menos alguma destas características sem que a duração total do empreendimento venha perturbada. Chamaremos a estas últimas actividades folgadas.

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Tomemos como exemplo a actividade F. O seu início está condicionado à ocorrência do nó 7, cujo tempo mais cedo é 12 semanas, pelo que F não pode iniciar-se antes desta data. Da mesma forma, a data mais tardia de conclusão de F está limitada pelo tempo mais tarde de ocorrência do nó 10, isto é, 25 semanas. Deste modo, dispôe-se de (25-12=)13 semanas para realizar F, enquanto a sua duração é apenas de 10 semanas, pelo que F está folgada de (13-10=)3 semnas. O tempo de execução de F pode portanto ser dilatado no máximo de 3 semanas sem que isso afecte a duração total do projecto. Designaremos esta folga por folga total. Genéricamente, uma actividade de duração dij que une o nó 1 (com tempo mais cedo dado por TMCi) ao nó J (com tempo mais tarde dado por TMTj) tem uma folga total FT dada por FT = TMTj - TMCi - dij

Caso a actividade F utilize plenamente a sua folga total, nomeadamente dilatando o seu tempo de realização, então isso obriga a que as suas antecessoras sejam realizadas de modo a que o nó 4 ocorra no seu tempo mais cedo, e as suas sucessoras só poderão iniciar-se no tempo mais tarde do nó 10. Isto é, a utilização da folga total de uma actividade pode levar a limitações nas datas de início e conclusão de outras actividades, pelo que será útil investigar os graus de liberdade relativos a uma actividade que podem ser utilizados ás suas antecessoras ou sucessoras, introduzindo-se deste modo o conceito de folga livre. Por definição, a folga livre à direita é o tempo de que o início efectivo de uma actividade pode ser retardado sem que isso condicione em nada o início das suas actividades sucessoras. Para a actividade K, o início mais cedo das actividades sucessoras é 17 semanas (TMC8=17) e, sendo e tempo de realização de K 9 semanas, o seu início pode ser protelado até à semana (17-9=)8 sem que isso afecte o início de L na semana 17. No entanto, q actividade K poderia iniciar-se logo na mesma semana 6 (tempo mais cedo do nó 2), pelo que a sua folga livre à direita FLD é dada pela seguinte expressão FLD = TMCj - TMCi - dij

A folga livre à esquerda é definida como o tempo de que a conclusão da actividade pode ser antecipado em relação à data mais tardia sem condicionar em nada as datas de conclusão das actividades antecessoras. Argumentando de forma semelhante ao caso anterior, a folga livre à esquerda FLE é genéricamente dada por

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FLE = TMTj - TMTi - dij

Finalmente, caso se queira investigar os graus de liberdade relativos a uma actividade que não condicionam nem as datas de conclusão das actividades antecessoras nem as datas de iníciodas actividades sucessoras, surge o conceito de folga independente. A folga independente, FI é determinada considerando que as actividades antecessoras são terminadas nos seus tempos de conclusão mais tardios e que as actividades sucessoras se iniciam nas suas datas de início mais cedo, pelo que se pode usar a expressão seguinte FI = TMCj - TMTi - dij

Note-se que esta expressão pode levar a valores negativos. Por exemplo, para actividade E obter-se-ia FIE = TMC7 - TMT4 - dj = 12 - 11 - 4 = -3 A interpretação física desta situação é de que é impossível cumprir as condições expressas na definição da folga independente. Apresenta-se na figura abaixo a definição gráfica das folgas analisadas e também se apresenta no quadro 3, as folgas atrás definidas para o exemplo que vínhamos usando. Deste quadro 3, foram eliminadas as actividades críticas para as quais todas as folgas são obviamente nulas. A observação deste quadro permite constactar a condição seguinte que é geral e permite relacionar as quatro folgas:

Quadro 3 Folgas

Actividades Total Livre à Dir. Livre à Esq. Independente

D 3 0 3 0 E 3 0 0 -3 F 3 3 0 0 G 2 0 2 0 H 2 1 0 -1 I 1 0 1 0

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FLD + FLE = FT + FI

As análises feitas nos pontos anteriores fornecem-nos toda a informação necessária à elaboração de um calendário para realização do projecto. Definição das datas de início mais tarde e conclusão de uma actividade (i,j). TMCi TMTi TMCj TMTj F.T. F. L.D. . F.L.E. Dij F.I. 3.4.4. Método das Redes com Actividades nos Nós Nesta representação gráfica , os nós representam as actividades e os arcos as relações de precedência, que são de 4 tipos: Fim- Princípio ; Princípio – Princípio; Fim – Fim e Princípio – Fim. Seguidamente analisa-se com exemplos estes 4 tipos de precedências. Nos exemplos as unidades de tempo são sempre consistentes e portanto não são representadas. Usa-se também a seguinte representação gráfica do nó.

T M C I Duração T M C F

Nome Actividade

T M T I Folga T M T F

1 –Lockyer, Keith & Gordon, James “Critical Path Analysis”, Financial Times, Pitman

Publishing, 5ª ed., 1991.

2 - Antunes Ferreira, J.A. & al. "Gestão por objectivos de projectos Municipais, centro de sistemas urbanos e regionais da Universidade Técnica de Lisboa - I.S.T. Lisboa 1983

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FIM - PRINCÍPIO

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PRINCÍPIO - PRINCÍPIO

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FIM - FIM

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PRINCÍPIO – FIM