3. Revisão da análise, projecto e afinação de sistemas de ... · Erro +-Cálculo e...

1

CONTROLO AVANCONTROLO AVANÇÇADO DE PROCESSOSADO DE PROCESSOS 2009/20102009/2010Mestrado Integrado em Engenharia Química

3. Revisão da análise, projecto e afinação de sistemas de controlo convencional PID por realimentação (“feedback”)

. Funções de transferência em cadeia fechada (revisão) √. Controlador PID (revisão) √. Métodos de afinação de controladores (revisão) √. Método de síntese directa (DS). Método IMC


Operação em cadeia fechada

ProcessoMedirActuar

Entradas Respostas

Controlador

Operação em cadeia fechada

Valores Desejados

2


Cadeia Fechada

X1 = GL(s) L

X2 = GP(s) M

Y = X1 + X2

B = Gm(s) C

E = KmSP – B

P = GC(s) E

M = GV(s) P

GL(s)

Gm(s)

Gc(s)Gv(s)

Carga (L)

Variável Regulada (Y)

Variável Manipulada (M)

Set-Point (SP)

GP(s)

Km

++

+-

(X1)

(X2)

(B)(E)

(P)


Cadeia de Controlo

GL(s)

Gm(s)

Gc(s)Gv(s)

Carga (L)

Variável Regulada (Y)

Variável Manipulada (M)

Set-Point (SP)

GP(s)

Km

++

+-

vcmp GGGG

LG

3


Função de Transferência em Cadeia Fechada

Função de transferência em cadeia fechada:

SPGGGG

GGGKL

GGGGGY

vcmp

pvcm

vcmp

L 1

1

+

++

=

Equação Característica


O problema de controlo

ProcessoControladoruw y

SP CV

v

MV

DV

4


Controladores Industriais• Tecnologias:

– Pneumática– Electrónica– Digital

• Controladores de realimentação (PID)• Autómatos (PLC)• Sistemas de Controlo Distribuído (DCS)• Controlo por computador (PC)


Controladores• Geram um sinal de controlo normalizado para o

actuador em função do valor medido da variávelque se quer controlar e do seu valor desejado.

Set Point

Variável controlada4-20 mA

Erro+

-Cálculo enormalização

Variávelmanipulada4-20 mA

5


Actuador Pneumático

Válvula de controloCorpo da válvulaActuador da válvula

Conversor I/PCircuito de ar para a válvula


Esquema de uma Válvula de Controlo pneumática

6


Válvula de Globo típica


7


Controlador Proporcional

Acção do Controlador Proporcional ao Erro e(t):

Sistema

Ly

M

( ))( - )( )(' tySPKteKtM cc ==

Nota: L, M e y na forma de variáveis de desvio


Controlador Proporcional

À medida que o valor do Ganho Proporcionalaumenta, diminui o erro estacionário e também diminui o tempo caracteristícodo sistema

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

t

00.512481632

Kc

Erro estacionário

8


Controlador ProporcionalControlo IdealControlo Ideal com Controlador Controlador ProporcionalProporcional não é possível por:

⌦Tempos de resposta não nulos dos sensores e actuadores.

⌦Atrasos de transporte nas peças de equipamento.

⌦Saturação de sensores e actuadores.

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

t

00.512481618

Kc


Acção Proporcional

O principal benefício da acçãoproporcional é acelerar a resposta do processo diminuindo o erroestacionário.

9


Acção Directa/Inversa

LT

Controlador de acção directa Kp < 0 Controlador de acção inversa Kp > 0

u(t)=Kp(sp-y) com Kp positivo: se y aumentar, u decresce

LC LT

LC


Controlador Proporcional – Integral (PI)

Acção do Controlador Proporcional ao Erro Acumulado

Sistema

LY

M

] )(1 )([ )(' ∫I

+= dtteteKtMt

oc τ

Nota: L, M e y na forma de variáveis de desvio

10


Acção Integral

Y’ Y’sp sp

t t

M’

t

M’

t

Um controlador P não eliminao erro estacionário emprocessos autoregulados

A acção integral continua afazer variar M’ até que o erroseja zero

∫ )( dtteK

I

c

τ

P PI


Acção Integral

e

t tKc eSe e = cte.

∫edtK

I

c

τ

IcI

c

I

c teKetKedtKτ

ττ=== ⇒∫

τI tempo que demora aacção integral a igualara acção proporcionalse e=cte.

∫0

)()('t

I

c dtteKtMτ

=

M’

11


Propriedades da Acção Integral

Permite eliminar o erro estacionário

Aumenta a ordem do sistema em 1

O aumento da acção integral, torna o processo mais rápido, mas aumentaas oscilações na resposta em cadeiafechada


Acção Derivativasp sp

Um controlador P com ganhoelevado para dar resposta rápidapode provocar oscilaçõesdevido a M’(t) excessivo

A acção derivativa aumenta o M’(t) se e(t) crescer e diminui se e(t) decrescer, evitando oscilações

Y’ Y’

t t

M’

t

M’

t

))()(()('tdtedteKtM dc τ+=

12


Acção Derivativa

tdtedKtM dc)()(' τ=

e

t tKc τd aSe e= a t

τd

dcdcdc tatKaKtdtedK τττ === ⇒)(

τd tempo que demora aacção derivativa a igualara acção proporcional se e=a t.

Kc e

M’


Acção Derivativa

tdtedKtM dc)()(' τ=

e

t tKc τd aSe e= a t

τd

Kc e

Com e(t) a variar linearmente, a acção derivativa dá omesmo M’(t) que a acção proporcional daria τd seg. mais tardeAcção antecipativaNão influencia o estado estacionário

PD

M’

13


Propriedades da Acção Derivativa

Não elimina o erro estacionário

Não altera a ordem do sistema

Reduz o carácter oscilatório da resposta em cadeia fechada


Controlador tri-modal PID

Controlador baseado num sinal, não incorpora conhecimento explícito do processo3 parâmetros de afinação Kp, τi, τd

diversas modificações

)(11)(

)()()(

sEss

KpsU

tytspte

di

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

−=

ττ

)(1)()(dt

de(t)deteKtu d

ip ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∫ τττ

τ

14


Parâmetros PID• Kp ganho / Termo proporcional

– % variação variável controlo / % variaçãovariável controlada

– banda proporcional PB=100/ Kp

• τi tempo integral / Termo integral– minutos ou segundos

• τd tempo derivativo / Termo derivativo– minutos ou segundos


Métodos de afinação de controladores• Métodos de tentativa e erro

- Ziegler-Nichols, Tyreus-Luyben• Métodos baseados em experimentação

– Estimar certas características dinâmicas do processo com base numa experiência (Ex: “Step” testes, curva de reacção do processo)

– Calcular os parâmetros do controlador através de tabelas oufórmulas deduzidas em função das características dinâmicasestimadas

• Métodos de minimização de índices de erro– IAE, ISE, ITAE

• Métodos baseados em modelos– Método de síntese directa (DS)– Método IMC (Internal Model Control)

15


Tipos de processos

Autoregulados Não autoreguladosou Integradores

tempo

u

y

tempo

u

y


Tipos de processos

Fase mínima Fase não-mínimaou resposta inversa

tempo

u

y

tempo

u

y

16


Estabilidade

Estável Instável

A uma entrada limitada corresponde uma saída limitada

u

y y


Amortecimento

0 0

Sobreamortecido Subamortecidou

y y

17


Resposta dinâmica

tempo

+5% do valor final

u

y

atraso

tempo deestabilização


Experimentação: resposta dinâmica

Sobreelevação em % = 100 Mp/ ∆y

Ganho = ∆y / ∆u

u

y∆y

∆u

Mp

tempo

18


Ganho

Ganho positivo Ganho negativo

tempo

u

y

tempo

u

y


“Robustez” é uma característica chave no controlo de realimentação

No contexto do dimensionamento de controladores “robustez”significa:

A capacidade de se conseguir um bom desempenho do controlador quando há alterações nas características dinâmicas do processo.

19


Sintonização do controladorEnvolve a selecção de valores adequadosde Kc, τI, and τD.Afecta o desempenho do controlador.Afecta a “robustez” do controlador.Por isso, a sintonização do controlador, resulta em muitos casos, de um compromisso entre desempenho e “robustez”.


Diagrama de Blocos Standard em Ciclo Fechado:Controlo por Realimentação

C(s)Gp(s)Gc(s)

U(s)+

-

Y*SP(s) E(s)

GL(s)L(s)

Gm(s)

Gv(s)Km(s)

Cm(s)

CSP(s) P(s)

Controlador

C variável controlada na forma de desvio

20


Método da Síntese DirectaO controlador baseia-se num modelo do processo e numa função de transferência pretendida em cadeia fechada.

A função de transferência em cadeia fechada é normalmente especificada para alterações de set point.


Método da Síntese Directa (DS)O desempenho de um controlador DS depende fortemente da especificação da função de transferência em cadeia fechada que se pretende: (C/SP )dC variável controlada na forma desvioIdealmente: (C/SP )d =1 !!Para processos sem atraso é mais razoável:

onde τc é a constante de tempo em cadeia fechada desejada

( )1

1+

=sSP

C

cd τ

21


Método da Síntese Directa

Função de transferência em cadeia fechada:

vcmp

pvcm

GGGGGGGKC

1

SP +=

=SP

CSP

C

GGc

- 11

mm KG =

pvm GGKG =


Método da Síntese Directa

Tempo de estabilização definido:

sC

cτ 11

SP +=

sGG

cc τ

11 =

A especificação de (C/SP )d é a chave para o projecto do controlador!

22


Método da Síntese Directa(Sistema de 1ª ordem)


sC

cτ 11

SP +=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

sK

sKG

IPcc τττ

τ 11 11 c

( )s

KsG P

τ+=

1

É um PI


Método da Síntese Directa(Sistema de 2ª ordem)


sC

cτ 11

SP +=

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= ssK

GPc

c21

21

21

21 11 ττττ

τττττ

( ) ( )( )ssKsG P

21 11

ττ ++=

É um PID

23


Método da Síntese Directa(Sistema de 1ª ordem com atraso)


seC

c

s

τ

θ

1

SP

-

+=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

sKG

Pcc τθτ

τ 11

( )s

eKsGs

P

τ

θ

+=

−

1

s - 1 θθ ≅− seÉ um PI


Método de DS: Modelo de 1ª ordem comatraso (FOPTD)

• No caso de um modelo de 1ª ordem com atraso para G:

• Substituindo na equação anterior de Gc e rearranjando obtém-se um controlador PI:

Gc =Kp (1+1/τis) com os seguintes parâmetros:

, τi = τ

1+=

sKeG

s

τ

θ

cp K

Kτθ

τ+

=1

24


Método da Síntese Directa(Sistema de 2ª ordem com atraso)


seC

c

s

τ

θ

1

SP

-

+=

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

+++

= ssK

GPc

c21

21

21

21 11 ττττ

ττθτττ

( ) ( )( )sseKsG

sP

21 11

ττ

θ

++=

−

s- 1 θθ ≅− seÉ um PID


Método de DS: Modelo de 2ª ordem comatraso (SOPTD)

• No caso de um modelo de 2ª ordem com atraso para G :

• Substituindo na equação anterior de Gc e rearranjando obtém-se um controlador PID:

Gc =Kp (1+1/τis+ τds) com os seguintes parâmetros:

, τi = τ1 + τ2 ,

)1)(1( 21 ++=

ssKeG

s

ττ

θ

cp K

Kτθττ

++

= 211

21

21

τττττ+

=d

25


Método de DS: exercício no SIMULINKUsar o método DS para calcular os parâmetros do controlador PID para o

processo:

Considerar 3 valores para a constante de tempo em cadeia fechadadesejada: τc =1, 3, e 10. Avaliar os controladores para alterações de set point para t = 80. Repetir a avaliação para os dois casos:

a) O modelo do processo é perfeito.b) O ganho do modelo é incorreto = 0.9 em vez do valor real K = 2.

Ou seja,

)15)(110(2

++=

−

sseG

s

)15)(110(9.0~

++=

−

sseG

s

~K


Método de DS: exercício no SIMULINK

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Método IMC (Internal Model Control)

Método baseado num modelo do processo

Controlo convencional por realimentação

ProcessoG

ControladorGc

E YSP

CVMV

DVu

-

+ ++

Controlo por modelo interno (IMC)(Garcia e Morari, 1982)

ProcessoG

ControladorE YSP

CVMV

DVu

~G

-

+

-

+

~Y

Y -~

Y

++

*cG

modelo interno


Método IMC (Controlo por Modelo Interno)

usado como sinal de entrada no controlador IMC, Os dois diagramas de blocos anteriores são idênticos se:

E obtém-se a seguinte relação em cadeia fechada para o IMC:

No caso especial de modelo perfeito, fica:

~YY − *

cG

~*

*

1 GG

GGc

cc

−=

DVGGG

GGYGGG

GGYc

csp

c

c

)(1

1

)(1~

*

~*

~*

*

−+

−+

−+=

DVGGGYGY cspc )1( ** −+=

GG =~

27


Controlador IMCO controlador IMC é projectado em dois passos:Passo 1. O modelo do processo é factorizado como:

Onde contém os atrasos no tempo e zeros do semi-plano dos reais positivos (RHP).

também deve ter um ganho estacionário igual a 1. Passo 2. O controlador é definido como:

Sendo f um filtro, para “acomodar” erros de modelação:

τc - constante de tempo desejada em cadeia fechada do filtro por forma a que a função de transferência do controlador tenha ordem do numerador inferior ou igual à do denominador

r - inteiro positivo (escolha habitual r =1)

~~~

−+= GGG~

+G~

+G

fG

Gc ~* 1

−

=

rc s

f)1(

1+

=τ


Controlo com Modelo Interno

Particularidades:– O facto de se desprezar as componentes

respeitantes ao atraso temporal e aos zeros no semi-plano dos reais positivos garante que o controlador é estável.

– Como o controlador funciona na base do cancelamento de zeros e pólos não deve ser aplicado a sistemas instáveis em cadeia aberta.

28


Escolha de τcA escolha do parâmetro τc de afinação é uma decisão chave em ambos os

métodos DS e IMC.

Foram publicadas várias indicações para a escolha de τc no método IMC para o caso do modelo de 1ª ordem com atraso (FOPTD):

• τc/θ > 0.8 e τc > 0.1 τ

Rivera, D.E., Morari, M., and Skogestad, S., Internal Model Control. 4. PID Controller Design, Ind.Eng.Process Design Dev., 25, 252 (1986).

• τ > τc > θChien, I-L., and Fruehauf, P.S., Consider IMC Tunning to Improve Controoler

Performance, Chem. Eng. Progress, 86 (10), 33 (1990).

• τc = θSkogestad, S., Simple Analytic Rules for Model Reduction and PID Controller

Tuning, J. Process Control, 13, 291 (2003).


Método IMC: ExemploUsar o método IMC para projector dois controladores para o caso do

modelo de primeira ordem com atraso (FOPTD):

Assumir que f é dado pela seguinte equação com r = 1

e considerar duas aproximações para o termo do atraso:a) Aproximação de Padé de 1ª ordem:

b) Aproximação de 1ª ordem na série de Taylor :

1

~

+=

−

sKeG

s

τ

θ

rc s

f)1(

1+

=τ

s

se s

21

21

θ

θθ

+

−≅−

se s θθ −≅− 1

29


Modelo de 1ª ordem com atraso:

( )s 12

1

21

s 1 ~

τθ

θ

τ

θ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≅+

=−

s

sKKe(s)G

s( )

sK

ssG

c

c

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2

12

1

θτ

τθ

( )

( )sK

ssG

cc τ

τθ

+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=1

12

1 *



Modelo de 1ª ordem com atraso - parâmetros:

2

21 θτ

θτ

+

+=

cc K

K12

D

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

θττττθτ +=

2 I

Observações:– Mesmo quando o valor de τc (tempo característico desejado)

tende para zero, o valor do ganho do controlador mantém-se limitado.

– Rivera et al. Recomendam que o valor de τc seja escolhido de forma a que seja, simultaneamente, superior a 0.8θ e 0.1τ.


30


Método IMC: Exemplo 2 no SIMULINKUm processo e o respectivo modelo são:

G(s) = (s) = 2 e-s / (s+1)O controlador IMC é:

Gc*(s) = (s+1) / 2(0.05s+1)(0.05 é a constante de tempo do filtro).A variável manipulada u(t), tem o seguinte constrangimento:

0 ≤ u(t) ≤ 1.5Obter no SIMULINK as respostas da variável de saída a uma perturbação em step no set

point e a variável manipulada associada às respostas, com e sem constrangimentos.

~G

ProcessoG

Y

CV

DVu

~G -

+

~Y

Y -~

Y

++

ControladorESP

-

+*cG

modelo interno

constrangimento

0

1.5

perturbação


Método IMC: Exemplo 2 no SIMULINK

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