Capítulo 3

3.1. Definição No estudo científico e na engenharia muitas vezes precisamos descrever como

uma quantidade varia ou depende de outra. O termo função foi primeiramente usado por Leibniz justamente para indicar essa dependência ou variação.

Dizemos que uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função de A em B, representado por 𝑓: 𝐴 → 𝐵, se todos os elementos do conjunto A estão associados a um e somente um elemento do conjunto B.

Vamos analisar alguns tipos de relações e verificar se são funções de acordo com as figuras:

Fig. 3.1

O diagrama da Fig. 3.1 não é função, pois o elemento 𝑋3, pertencente a A, está

associado a dois elementos de B.

Fig. 3.2

Este outro exemplo da Fig. 3.2 não é uma função, pois o elemento 𝑋3

pertencente a A, não está associado a elemento algum de B.

Fig. 3.3

Este diagrama da Fig. 3.3 é uma função, pois todos os elementos de A possuem uma imagem associada em B.

3.2. Domínio, Contradomínio e Imagem Considere a função 𝑓:𝐴→𝐵 indicada no diagrama de flechas da Fig. 3.4 abaixo:.

Fig. 3.4 – Diagrama de flechas

Ao conjunto A damos o nome de domínio da função. Neste nosso exemplo o domínio da função 𝑓 é representado por 𝐷(𝑓) = {−1, 0, 1}, ou seja, o domínio contém todos os elementos do conjunto A.

Ao conjunto B damos o nome de contradomínio da função. No exemplo da Fig. 3.4, o contradomínio da função 𝑓 é representado por 𝐶𝐷(𝑓) = {0, −1, −4}, isto é, o contradomínio contém todos os elementos do conjunto B. Segundo o conceito de função não é necessário que todos os elementos de B estejam relacionados aos elementos do domínio. Note que no conjunto B o elemento −4 não está relacionado a qualquer elemento de A. Um elemento do contradomínio B pode estar associado a mais de um elemento do domínio A. Como exemplo temos o elemento −1 que está associado aos elementos do domínio −1 𝑒 1.

Os elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que estão associados a algum elemento do domínio. Novamente analisando a Fig. 3.4, o conjunto imagem é representado por 𝐼𝑚(𝑓) = {0, −1}, pois 0 e −1 são todos os elementos do 𝐶𝐷(𝑓) que estão associados a algum elemento do 𝐷(𝑓). Nesta função, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, pois o elemento −4 de B não está contido no conjunto imagem, por não estar associado a nenhum elemento do domínio. Na representação cartesiana temos que Domínio é o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de 𝑓, isto é, é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de 𝑓. Imagem é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de 𝑓, isto é, é o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de 𝑓. A função 𝑓 de A em B, 𝑓: 𝐴 → 𝐵, da Fig. 3.4, pode ser expressa pela seguinte lei de associação:

𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑓(𝑥) = −𝑥2 ou ainda como: 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑦 = −𝑥2 A variável 𝑓(𝑥) ou 𝑦 é chamada de variável dependente, pois depende de 𝑥, já a

variável 𝑥 é chamada de variável independente, pois independentemente de y, pode representar qualquer elemento do domínio A IMPORTANTE: Não confundir 𝒇 e 𝒇(𝒙): 𝑓 é o “nome” da função, enquanto 𝑓(𝑥) é o valor que a função 𝑓 assume no ponto 𝑥∈𝐷(𝑓).

A definição da função leva em conta tanto o domínio quanto o contradomínio,

relacionando-os. O conjunto imagem 𝐼𝑚(𝑓), depende não só da regra de associação, no caso 𝑓(𝑥) = −𝑥2, como também do D(f) e do CD(f).

Quando a função 𝑓 é definida apenas pela lei de associação, sem especificação dos conjuntos 𝐴 e 𝐵, convenciona-se que o contradomínio 𝐵 seja o conjunto dos números reais. O domínio é o conjunto dos números reais, desconsiderando os valores

de 𝑥 para os quais não é possível obter, pela lei de associação, uma imagem real. Diz-se, então, que a função 𝑓 é uma função real de variável real. Exemplos:

1) Dada a função 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 2, determine [𝑓(0)−𝑓(2)]

𝑓(1) .

Solução: 𝑓(0) = 4.02 − 2 = −2, 𝑓(2) = 4.22 − 2 = 14, 𝑓(1) = 4.12 − 2 = 2

[𝑓(0) − 𝑓(2)]

𝑓(1)=

(−2) − (14)

2= −8

2) Seja 𝑓 uma função que identifica a letra inicial do nome de uma pessoa. Considere esta função aplicada a um grupo de cinco pessoas chamadas José, Lia, Max, Naira e Vítor. Determine o Domínio, a Imagem e o Contradomínio da função.

Solução:

𝐷(𝑓)={ 𝐽𝑜𝑠é,𝐿𝑖𝑎,𝑀𝑎𝑥,𝑁𝑎𝑖𝑟𝑎,𝑉𝑖𝑡𝑜𝑟} 𝐼(𝑓)={ 𝐽,𝐿,𝑀,𝑁,𝑉}; 𝐶𝐷(𝑓)=𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑜

3) Encontre o Domínio e a Imagem da função 𝑓 que calcula o quadrado de um número. Solução:

Como não há especificação do domínio e do contradomínio, considera-se a função 𝑓 como uma função real de variável real. Chamando a variável independente de 𝑥 e a variável dependente de 𝑦, a função 𝑓 pode ser representada pela equação: 𝑦 = 𝑥2.

Como para qualquer valor de 𝑥 ∈ ℝ, (negativo, zero, positivo) é possível calcular o valor de 𝑦, tem-se: 𝐷(𝑓)={ℝ}

Se 𝑥 < 0 então 𝑦 = 𝑥2 > 0; se 𝑥=0 então 𝑦=0 e se 𝑥>0 então 𝑦>0. Portanto, 𝑦 poderá ser zero ou um número positivo, assim: 𝐼(𝑓) = {𝑦 𝜖 ℝ| 𝑦 ≥ 0} = [0, +∞) 4) Encontre o Domínio e a Imagem da função 𝑔 que calcula a área de um quadrado. Solução:

Chamando o comprimento do lado do quadrado de 𝑥 e sua área de 𝑦, podemos calcular a área de uma secção quadrada como 𝑥. 𝑥 = 𝑥2. Assim, a função 𝑔 pode ser representada pela equação 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑥2.

Só é possível calcular a área 𝑦 de um quadrado se o tamanho de seu lado for maior do que zero 𝐷(𝑔)={𝑥 𝜖 ℝ | 𝑥>0}=(0,+∞)

Como 𝑥 é sempre maior do que zero, a área 𝑦 calculada pela equação 𝑦 = 𝑥2 será sempre um número maior do que zero; 𝐼𝑚(𝑔) = {𝑦 𝜖 ℝ| 𝑦 > 0} = (0, +∞)

Observe que a função 𝑓, que calcula o quadrado de um número, e a função 𝑔, que calcula a área de um quadrado, podem ser expressas pela mesma equação 𝑦 = 𝑥2, porém não são funções iguais, pois seus domínios são diferentes.

Duas funções 𝒇 e 𝒈 são iguais se elas têm o mesmo domínio e se 𝒇(𝒙)=𝒈(𝒙) para todo 𝒙 do domínio.

Exemplos:

6) Calcule o domínio da função 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4: Solução:

Como √2𝑥 − 4 só é possível em ℝ se 2𝑥−4 ≥ 0, ou seja, x ≥ 2, então: 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 2}

7) Calcule o domínio da função 𝑓(𝑥) =5

𝑥+1

Solução: Como o termo x + 1 é o denominador da função, ele não pode ser nulo (pois não

existe divisão por zero). Portanto 𝑥 + 1 ≠ 0, ou seja, 𝑥 ≠ −1. 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ −1}

8) Calcule o domínio da função: 𝑓(𝑥) =√𝑥−2

√3−𝑥

Solução:

Como visto anteriormente:√𝑥 − 2 ≥ 0.

Portanto 𝑥 – 2 ≥ 0, ou seja, 𝑥 ≥ 2 (condição 1)

Além disso, √3 − 𝑥 > 0, ou seja, 𝑥 < 3. Mas como ele está no denominador, ele não pode ser igual a zero, portanto, 𝑥 < 3 (condição 2). Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e 2 obtemos a solução representada na figura a seguir.

𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ | 2 ≤ 𝑥 < 3}

6) Determine o domínio da função ℎ(𝑧) = √𝑧 − 1 +𝑧+1

𝑧−2:

Solução: Devemos ter simultaneamente:

𝑧 − 1 ≥ 0 ∴ 𝑧 ≥ 1 → (𝑠1) 𝑧 − 2 ≠ 0 ∴ 𝑧 ≠ 2 → (𝑠2)

𝐷 = 𝑠1 ∩ 𝑠2 𝐷 = {𝑧 ∈ ℝ | 𝑧 ≥ 1 ∩ 𝑧 ≠ 2}

3.3. Tipos de função

Função Sobrejetora: Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for

especificadamente igual ao contradomínio. Como no exemplo da Fig. 3.5.

Fig. 3.5 – Diagrama para uma função sobrejetora

Função Injetora: Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é injetora se os elementos distintos do domínio tiverem

imagens distintas, como exemplo a Fig. 3.6.

Fig. 3.6 – Diagrama para uma função injetora

Função Bijetora: Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é bijetora se ela é injetora e sobrejetora. Isto é, se os

elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas e o conjunto imagem for igual ao contradomínio.

Fig. 3.7 – Diagrama para uma função bijetora

Outros tipos de função 3.3.1. Função crescente

Definição: A função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥) é crescente no conjunto 𝐴1 ⊂𝐴 se, para dois valores quaisquer 𝑥1 e 𝑥2 pertencentes a 𝐴1, com 𝑥1 < 𝑥2 tivermos 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)

Em símbolos, 𝑓 é crescente quando:

(∀ 𝑥1; 𝑥2) → (𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2))

A função é crescente em um determinado intervalo se, ao aumentarmos o valor atribuído a 𝑥, o valor de 𝑦 também aumenta (coeficiente angular positivo), segundo o gráfico da Fig. 3.8:

Fig. 3.8 – Gráfico de uma função crescente

Exemplo: A função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 é crescente em ℝ: Solução:

𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2); assim: 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 2𝑥1 < 2𝑥2; (∀𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ)

3.3.2. Função decrescente

Definição: A função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥) é decrescente no conjunto 𝐴1 ⊂ 𝐴 se, para dois valores quaisquer 𝑥1 e 𝑥2 pertencentes a 𝐴1, com 𝑥1 < 𝑥2 tivermos 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)

Em símbolos, 𝑓 é crescente quando:

(∀ 𝑥1; 𝑥2) → (𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2))

A função é decrescente em um determinado intervalo se, ao aumentarmos o

valor atribuído a 𝑥, o valor de 𝑦 diminui (coeficiente angular negativo), segundo o gráfico da Fig. 3.9:

Fig. 3.9 – Gráfico de uma função decrescente

Exemplo: A função 𝑓(𝑥) = −2𝑥 é decrescente em ℝ: Solução: 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2); assim:

𝑥1 < 𝑥2 ⇒ −2𝑥1 > −2𝑥2; (∀𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ)

3.3.3. Função constante Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) = 𝑘, com 𝑘 ∈ ℜ é denominada função

constante. 𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑘

Na função constante, todos os elementos do domínio terão sempre o mesmo

valor de imagem, isto é, ao variarmos 𝑥 encontramos sempre o valor 𝑘. Segundo o diagrama de flechas da Fig.3.10 que representa este tipo de função.

Fig. 3.10 – Diagrama para uma Função constante

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo X que cruza o eixo Y em 𝑦 = 𝑘. Ou seja, passa pelo ponto (0, 𝑘).

Exemplo: Plote o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2 Solução: Para qualquer valor de 𝑥 o valor da imagem da função é igual a 2. Por exemplo,

se 𝑥 = 0 → 𝑓(0) = 2, se 𝑥 = 4 → 𝑓(4) = 2. Assim, o gráfico da função é uma reta paralela ao eixo X e que passa pelo ponto (0, 2) como na Fig. 3.11:

𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = 2

Fig. 3.11 – exemplo de gráfico de uma função constante 𝑓(𝑥) = 2

3.3.4. Função Identidade

Uma aplicação f de R em R , recebe o nome de função identidade quando a cada elemento x∈R associa o próprio x , isto é:

𝑓: ℝ → ℝ 𝑥 → 𝑥

O gráfico da função identidade está esboçado na Fig.3.12. É uma reta que contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes, e sua imagem é 𝐼𝑚 = ℝ

Fig. 3.12 – Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥

3.3.5. Função Par e Função Ímpar Uma função 𝑓 é dita ser uma função par se obedecer a lei da seguinte eq.(3.1):

𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) (3.1)

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos Y. Uma função 𝑓 é dita ser uma função ímpar se obedecer a lei da seguinte Eq.

(3.2): 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) (3.2)

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema

cartesiano.

Exemplos: Dada a função 𝑓 determine se ela é uma função par ou uma função ímpar com base nas Eq. 3.1 e 3.2 1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 Solução: Escolhendo valores arbitrários do domínio de 𝑓 temos:

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 → 𝑓(−2) = 𝑓(2) = 3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 3 → 𝑓(−3) = 𝑓(3) = 8

Como 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) a função é par Também podemos reconhecer se uma função é par analisando seu gráfico como na Fig. 3.13. Observe no gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1, que existe uma simetria em relação ao eixo 𝑦. Por exemplo, as imagens de 𝑥 = 2 e 𝑥 = −2 são iguais (𝑦 =3), assim os pontos (2,3) e (-2,3) estão simétricos em relação a Y

Fig. 3.13 – Gráfico da Função par 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1

2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥

Solução:

Escolhendo valores arbitrários do domínio de 𝑓 temos: z

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1 → 𝑓(1) = 2 𝑒 − 𝑓(−1) = 2; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 → 𝑓(2) = 4 𝑒 − 𝑓(−2) = 4; Como −𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) a função é ímpar.

É possível observar que no gráfico, da Fig. 3.14, que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 possui uma simetria em relação ao ponto da origem do sistema cartesiano (0;0). Temos os pontos simétricos (1;2) e (–1, -2), assim como (2, 4) e (-2, –4). Nesse caso, temos uma função ímpar

Fig. 3.14: Gráfico da Função ímpar 𝑓(𝑥) = 2𝑥

3.4 Gráficos de Funções

O gráfico de uma função 𝑓 é o conjunto de todos os pares ordenados (𝑥,𝑦) no plano 𝑥𝑦 tal que 𝑥 pertence ao 𝐷(𝑓) e 𝑦 pertence a 𝐼𝑚(𝑓). Assim, o gráfico de uma função é o conjunto dos pares ordenados (𝑥, 𝑓(𝑥)), pois 𝑦 = 𝑓(𝑥). Costuma-se dizer que uma função real a uma variável real gera uma curva em ℝ2.

Como não é possível a representação de todos os pontos (𝑥,𝑓(𝑥)), podemos escolher alguns valores de 𝑥 pertencentes ao 𝐷(𝑓) para calcular as correspondentes imagens 𝑓(𝑥), como feito na Fig. 3.15. Representando estes pontos no sistema de coordenadas obtemos o chamado gráfico de dispersão.

Se os pontos de dispersão são suficientemente próximos e a forma da função é simples ou conhecidas podemos ligar os pontos do gráfico de dispersão com uma curva como na Fig.3.16, obtendo o gráfico da função.

Exemplo: Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = √9 − 𝑥

9 − 𝑥 ≥ 0 ∴ 𝑥 ≤ 9

𝐷(𝑓) = (−∞, 9] e 𝐼𝑚(𝑓) = [0, +∞)

x 𝑦 = √9 − 𝑥

-16 5

-7 4

0 3

5 2

9 0

Fig. 3.15 – Tabela de pontos de dispersão

Fig. 3.16 – Gráfico de pontos de dispersão da função 𝑓(𝑥) = √9 − 𝑥

3.4.1. Análise de Gráficos Para reconhecer se uma curva representa ou não o gráfico de uma função, basta

verificar se qualquer reta paralela ao eixo vertical e que passe por um ponto do domínio intercepta a curva em um só ponto. Se esta reta cruza a curva do gráfico em mais de um ponto não é função.

Na Fig. 3.17 traçamos o gráfico da seguinte equação: 𝑦2 = 4𝑥 + 6𝑦 − 13. Esta equação não representa uma função, pois para um mesmo valor de x obtêm-se dois valores de y.

Fig.3.17 – Gráfico de 𝑦2 = 4𝑥 + 6𝑦 − 13

Através do gráfico da função podemos visualizar seu domínio e sua imagem. O

domínio de uma função é o conjunto das abscissas 𝑥 dos pontos do gráfico (projeção no eixo 𝑥). A imagem da função é o conjunto das ordenadas 𝑦 dos pontos do gráfico (projeção no eixo 𝑦).

Fig. 3.18 – Gráfico mostrando 𝐷(𝑓) e 𝐼m(𝑓)

Os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) = 0 chamam-se zeros da função 𝑓 ou raízes

da equação 𝑓(𝑥) = 0. Geometricamente os zeros reais de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal.

3.5. Função Polinomial do 1º Grau

A função 𝑓 é dada por um polinômio de 𝟏º Grau segundo a Eq. 3.3 : 𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 (3.3)

Com 𝑎 e 𝑏 reais e 𝑎 ≠ 0

𝐷(𝑓) = ℝ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ Se 𝑏 ≠ 0 na Eq. 3.3, então a função recebe o nome de função afim. Se 𝑏 = 0 a

função recebe o nome de função linear. O coeficiente 𝑎 determina se 𝑓 é uma função crescente ou decrescente. Se 𝑎 > 0,

𝑓 é uma função crescente. Se 𝑎 < 0, 𝑓 é uma função decrescente. O gráfico de uma função polinomial de 1º grau é uma reta. Para determinar uma

reta bastam 2 pontos. Uma vez encontrados dois pontos que satisfazem a equação da função, seu gráfico é obtido traçando uma reta por eles.

Gráfico de uma Função Afim Seja a função afim de equação:

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 com 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ≠ 0 O coeficiente linear 𝑏 é o valor que 𝑦 assume quando 𝑥 = 0, enquanto que a raiz

𝑥 = −𝑏

𝑎 é o valor de 𝑥 que torna 𝑦 = 0. Assim, os pontos (0, 𝑏) e (−

𝑏

𝑎, 0) podem ser

usados para traçar o gráfico da função. Exemplos: Plote o gráfico das funções dadas pelas equações: a) 𝑦 = 2 𝑥 + 4 Solução: Quando 𝑥 = 0 → 𝑦 = 4 e quando 𝑦 = 0 → 𝑥 = −2. A reta passa pelos pontos 𝐴(−2,0) e 𝐵(0,4).

Fig. 3.19 – Gráfico de 𝑦 = 2𝑥 + 4

b) 𝑦 = −2 𝑥 − 2 Solução: Para 𝑥 = 0 → 𝑦 = −2 e para 𝑦 = 0 → 𝑥 = −1. A reta passa pelos pontos 𝐴(−1,0) e 𝐵(0, −2).

Fig. 3.20 – Gráfico de 𝑦 = −2𝑥 − 2. Note que o coeficiente 𝑎 = −2, logo a reta é decrescente

Gráfico de uma Função Linear Seja a função linear de Eq. 3.4:

𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥 (3.4)

com 𝑎 ≠ 0 na Eq. 3.4 A função linear é um caso particular da função afim quando o termo

independente 𝑏 é nulo. Uma característica das funções lineares é que o seu gráfico passa pelo ponto

(0,0). a origem da sistema de coordenadas cartesianas. Para o traçado do gráfico precisamos de mais um ponto. Este ponto pode ser obtido encontrando o valor da imagem 𝑦 = 𝑓(𝑥) para qualquer valor de 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).

Exemplo:

Plote o gráfico da função dada por: 𝑓(𝑥) = −1

2𝑥

Solução:

𝑦 = −𝑥

2

Quando 𝑥 = 0 → 𝑦 = 0 e quando 𝑥 = −4 → 𝑥 = 2. A reta passa pelos pontos 𝐴(0,0) e 𝐵(−4,2).

𝐹𝑖𝑔. 3.21 – 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑦 = −𝑥

2

Sinal de uma Função Para se estudar o sinal de uma função, quando a função está representada no

plano cartesiano, basta examinar se é positiva, nula ou negativa a ordenada de cada ponto da curva. Exemplo: Estudar o sinal da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) cujo gráfico está abaixo representado.

Solução: Preparando o gráfico com aspecto prático temos:

Conclusão:

𝑓(𝑥) = 0 → 𝑥 = 0,5 𝑜𝑢 𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑥 = 2,5 𝑜𝑢 𝑥 = 3

𝑓(𝑥) > 0 → 0 < 𝑥 < 0,5 𝑜𝑢 1 < 𝑥 < 2,5 𝑓(𝑥) < 0 → 0,5 < 𝑥 < 1 𝑜𝑢 2,5 < 𝑥 < 3

3.6. Função Polinomial do 2º Grau Uma função 𝑓 é denominada de função de 2º grau quando ela for dada por um

polinômio de 𝟐º Grau: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (3.5)

Com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 na Eq. 3.5 pertencente aos reais e 𝑎 ≠ 0.

O gráfico de uma função de 2º grau é uma parábola. A parábola será côncava para cima se 𝑎 > 0, e será côncava para baixo se 𝑎 < 0.

Fig. 3.22 – Gráfico para 𝑎 > 0

Fig. 3.23 – Gráfico para 𝑎 < 0

O vértice da parábola é dado pelo ponto (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣) em que as coordenadas 𝑥𝑣 e 𝑦𝑣

são dadas pelas seguintes Eq. 3.6 e 3.7 :

𝑥𝑣 = −𝑏2

𝑎 (3.6)

𝑦𝑣 = −𝛥

4𝑎 (3.7)

Onde ∆= 𝑏2 − 4𝑎. 𝑐

O domínio e imagem da função de 2º grau é: 𝑠𝑒 𝑎 > 0, 𝐷(𝑓) = ℝ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = [𝑦𝑣 , +∞) 𝑠𝑒 𝑎 < 0, 𝐷(𝑓) = ℝ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = (−∞, 𝑦𝑣 ]

É importante notar que se a parábola for côncava para cima, 𝑥𝑣 corresponde ao

seu ponto de mínimo e 𝑦𝑣 corresponde ao valor mínimo da função. Se a parábola for côncava para baixo, 𝑥𝑣corresponde ao seu ponto de máximo e 𝑦𝑣 corresponde ao valor máximo da função.

A função polinomial de 2º grau possui duas raízes ou zeros, que são os pontos 𝑥1 e 𝑥2 do domínio para os quais a imagem é nula, ou seja:

𝑓(𝑥1) = 0 𝑒 𝑓(𝑥2) = 0 As raízes da função podem ser calculadas pela fórmula de Bháskara segundo as

Eq. 3.8 e 3.9:

𝑥1 =−𝑏 + √∆

2𝑎 (3.8) 𝑒 𝑥2 =

−𝑏 − √∆

2𝑎 (3.9)

Se 𝛥 > 0 a função 𝑓 tem duas raízes reais e distintas 𝑥1 ≠ 𝑥2. Se 𝛥 = 0 a função 𝑓 tem duas raízes reais iguais 𝑥1 = 𝑥2. Se 𝛥 < 0 a função 𝑓 não tem raízes reais.

Se as raízes da função forem números reais então os pontos (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) = (𝑥1, 0) e (𝑥2, 𝑓(𝑥2)) = (𝑥2, 0) são os pontos que o gráfico da função intercepta o eixo dos 𝑥. Exemplos: Plote o gráfico das funções: a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 9𝑥 + 6 Solução:

𝑎 = 3 ; 𝑏 = −9 ; 𝑐 = 6 ; 𝛥 = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 = (−9)2 − 4.3.6 = 9 Substituindo estes valores nas Eq. 3.8 e 3.9 :

𝑥1 =9 + √9

6= 2 𝑒 𝑥2 =

9 − √9

6= 1

𝑥𝑣 = −𝑏

2𝑎=

9

6=

3

2 𝑒 𝑦𝑣 = −

𝛥

4𝑎= −

9

12= −

3

4

O gráfico da função é a parábola que passa pelos pontos (1,0), (2,0) e (3

2, −

3

4) e

que é côncava para cima, pois 𝑎 = 3 > 0.

b) 𝑓(𝑥) = − 𝑥2 + 3𝑥

Solução: 𝑎 = 3 ; 𝑏 = −9 ; 𝑐 = 6

Como o termo 𝑐 = 0, a fatoração deste polinômio é bastante simples e podemos utilizar este fato para encontrar as raízes da função sem utilizar as Eq. 3.8 e 3.9.

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 = 0 → 𝑥(−𝑥 + 3) = 0 Para que o produto seja nulo temos que ou 𝑥 = 0 ou (−𝑥 + 3) = 0, assim, 𝑥1 = 0 𝑒 𝑥1 =3.

𝑥𝑣 = −3

2(−1)=

3

2 e 𝑦𝑣 = 𝑓 (

3

2) =

9

4

O gráfico da função é a parábola que passa pelos pontos (0,0),(3,0) e (3

2 ,

9

4) e que é

côncava para baixo pois 𝑎 = −1 < 0.

c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 2 Solução:

𝑎 = 2 ; 𝑏 = −4 ; 𝑐 = 2 ; 𝛥 = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 = (−4)2 − 4.2.2 = 0

𝑥1 = 𝑥2 =4 ± 0

4= 0

𝑥𝑣 = −𝑏

2𝑎=

4

4= 1 𝑒 𝑦𝑣 = −

𝛥

4𝑎= −

0

8= 0

Quando 𝛥 = 0 as raízes da função são iguais 𝑥1 = 𝑥2. O gráfico da função é uma

parábola de vértice (𝑥1, 0) coincidindo com o ponto que ela intercepta o eixo dos X. Para uma representação razoável de uma parábola, necessitamos de no mínimo

3 pontos. O gráfico da função intercepta o eixo Y quando 𝑥 = 0 então, se 𝑥 = 0 → 𝑓(0) =

2, assim o ponto (0 ,2) pertence à parábola. Qualquer ponto do domínio pode ser utilizado para encontrar o terceiro ponto

da parábola. Se 𝑥 = 2 → 𝑓(2) = 2, assim o ponto (2 ,2) pertence à parábola. O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 2 é a parábola que passa pelos pontos

(1 ,0), (0 ,2) 𝑒 (2 ,2) e que é côncava para cima, pois 𝑎 = 2 > 0.

d) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 3 Solução:

𝑎 = 2 ; 𝑏 = −4 ; 𝑐 = 3 ; 𝛥 = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 = (−4)2 − 4.2.3 = −8 < 0

𝑥𝑣 = −𝑏

2𝑎=

4

4= 1 𝑒 𝑦𝑣 = −

𝛥

4𝑎= −

−8

8= 1

Quando 𝛥 < 0 as raízes da função não são números reais. Isto significa que o

gráfico da função não intercepta o eixo dos X.

O gráfico da função intercepta o eixo Y quando 𝑥 = 0 então, se 𝑥 = 0 → 𝑓(0) =3. Quando 𝑥 = 2 → 𝑓(2) = 3, assim o ponto (2 ,3) pertence à parábola.

O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 3 é a parábola que passa pelos pontos (1 , 1), (0 , 3) 𝑒 (2 , 3) e que é côncava para cima, pois 𝑎 = 2 > 0.

Gráfico de uma Função Quadrática Para fazermos o esboço do gráfico de uma função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 +

𝑏𝑥 + 𝑐, buscaremos, daqui para a frente, informações preliminares que são:

1) O gráfico é uma parábola cujo eixo de simetria é a reta 𝑥 =𝑏

2𝑎

perpendicular ao eixo dos 𝑥. 2) Verificar se a parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo,

𝑎 > 0 ou 𝑎 < 0. 3) Zeros da função.

Se ∆>0, a parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos

𝑃1 (−𝑏+√∆

2𝑎) e 𝑃2 (

−𝑏−√∆

2𝑎)

4) Vértice da parábola é o ponto 𝑉(𝑥𝑣 , 𝑦𝑣) → 𝑉 (−𝑏

2𝑎,

−∆

4𝑎) que é máximo se 𝑎 <

0 e mínimo se 𝑎 > 0.

3.7. Função Exponencial Toda função f: R→ R na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com a>0 e a≠1 é denominada de

função exponencial.

𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ+∗ = (0, +∞)

O gráfico da função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 é uma curva que intercepta o eixo Y no ponto (0 ,1), pois 𝑓(0) = 𝑎0 = 1 e nunca intercepta o eixo dos X, pois a imagem da função não pode ser zero pois é estritamente positiva. A função é crescente se a base 𝑎 > 1 e decrescente se 0 < 𝑎 < 1.

Fig. 3.24 – Gráficos de funções exponenciais cujas bases estão 0<a<1

Observe que para valores positivos de x, o gráfico da função se aproxima do eixo Ox, embora sem nunca tocá-lo. Dizemos que o eixo Ox é uma assíntota do gráfico desta função.

Fig. 3.25 – Gráficos de funções exponencias cujas bases são a>1

A função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, cuja base é a constante de Euler e (e ≈2,718… ) desempenha

um papel muito importante nas aplicações da engenharia. Exemplos: 1) Plote o gráfico das seguintes funções: a) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 e 𝑔(𝑥) = −𝑒𝑥 Solução:

Como a função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 é uma função exponencial de base igual ao número de Euler 𝑒 = 2,7182 …, a função é crescente, pois 𝑒 > 0.

Os valores que a função 𝑔(𝑥) = −𝑒^𝑥 assume são iguais aos valores de 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥 multiplicados por −1. Isto significa que as funções g e f são simétricas em relação ao eixo dos X.

b) 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = −𝑒−𝑥 Solução:

Como a função 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 = (𝑒−1)𝑥 é uma função exponencial de base igual 𝑒−1, ela é decrescente, pois 0 < 𝑒−1 < 1.

Os valores que a função 𝑔(𝑥)−𝑒−𝑥 assume são iguais aos valores de 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 multiplicados por −1. Isto significa que as funções g e f são simétricas em relação ao eixo dos X.

3.8. Função Logarítmica

Toda função f: R→ R na forma 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, com 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 é denominada de função exponencial.

𝐷(𝑓) = ℜ+ ⋆ = (0, +∞) 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ

O gráfico da função logarítmica 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜 𝑔𝑎 𝑥 é uma curva que intercepta o eixo X no

ponto (1,0), pois 𝑓(1) = 𝑙𝑜 𝑔𝑎 1 = 𝑙𝑜 𝑔𝑎 𝑎0 = 0. O gráfico da função nunca intercepta o

eixo dos Y, pois 𝑥 = 0 não pertence ao domínio da função, ou seja, ∄ 𝑓(0). A função é

crescente se a base 𝑎 > 1 e decrescente se 0 < 𝑎 < 1.

Fig. 3.26 – Gráficos de funções logarítmicas cujas bases são 𝑎 > 1

Fig. 3.27 – Gráficos de funções logarítmicas cujas bases estão 0 < 𝑎 < 1

Exemplos: 1) Plote o gráfico das seguintes funções: a) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) e 𝑔(𝑥) = − ln(𝑥) Solução:

Como a função 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) é uma função logarítmica de base igual ao número de Euler 𝑒 = 2,7182 …, a função é crescente, pois 𝑒 > 0.

Os valores que a função 𝑔(𝑥) = −𝑒𝑥 assume são iguais aos valores de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 multiplicados por −1. Isto significa que as funções g e f são simétricas em relação ao eixo dos X.

3.9. Função Inversa

Se f:A→B for uma função injetora então, ela admite uma função inversa 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴

Exemplo: Dados dois conjuntos 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , 𝑒} e 𝑌 = { 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝐷 , 𝐸}, define-

se a função (𝑓) como sendo a lei que associa cada letra minúscula ao seu correspondente em maiúsculo no diagrama da Fig.3.31

Fig. 3.28 – Diagrama de associação

Observe que a função f é injetora onde 𝐷(𝑓) = 𝐴 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵.

Se f é injetora então ela admite uma função inversa 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴 onde 𝐷(𝑓) =𝐵 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐴

Fig. 3.29 – Diagrama para a função inversa de 𝑓

Observação 1: o que era domínio na função f original vira imagem na função

inversa 𝑓−1, e o que era imagem na função original vira domínio na função inversa.

Observação 2: Se f tiver uma inversa, então os gráficos de 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑓−1(𝑥)

são reflexões um do outro em relação a reta y=x.

Exemplos: 1) Dada a função f calcule sua inversa 𝑓−1 a) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 + 6 Solução:

Fazendo 𝑦 = 𝑓(𝑥) → 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟔 → 𝑥 = 3𝑦 + 6 → 𝟑𝒚 = 𝒙 − 𝟔 → 𝑦 =𝑥−6

3

É fácil observar a mudança das variáveis: o que era 𝑥 virou 𝑦, e vice-versa. Após

fazer essa substituição, é só isolar a variável 𝑦 para encontrar a função inversa.

b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥

Solução: 𝑦 = 2𝑥 → 𝑥 = 2𝑦 → log2(𝑥) = log2 2𝑦 → 𝑦 log2 2 = log2 𝑥 → 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) = log2 𝑥

Observe que as funções exponenciais e logarítmicas são funções inversas.

𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ+ ⋆ = (0, +∞)

𝐷(𝑓−1) = ℜ+ ⋆ = (0, +∞) 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ

Fig. 3.30 - Gráficos de duas funções inversas, logarítmica e exponencial, sendo um caso

clássico de funções inversas. Veja a simetria em relação a y=x .

3.10. Função Composta Sejam três conjuntos distintos A, B e C que entre eles existam as seguintes

funções:

𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑒 𝑔: 𝐵 → 𝐶

Exemplo: Dados dois conjuntos 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , 𝑒} e 𝑌 = { 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝐷 , 𝐸}, define-se a função (𝑓) como sendo a lei que associa cada letra minúscula ao seu correspondente em maiúsculo no diagrama da Fig.3.31

Assim, irá existir outra 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 ℎ ∶ 𝐴 → 𝐶 tal que h(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) que é chamada de

função composta de g e f denotada por (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) na Fig.3.34 :

Fig. 3.31 – Diagrama de flechas para uma função composta

Na função (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)), resolvemos primeiro a função interna f, ao

resultado,ou seja, à imagem de f aplicamos a função g. Assim, o domínio de

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)é o conjunto de todos os elementos x no domínio de f tal que 𝑓(𝑥) esteja no

domínio de g.

𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = {𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)|𝑓(𝑥) ∈ 𝐷(𝑔)}

É importante lembrar que as funções (𝑔 ∘ 𝑓) e (𝑓 ∘ 𝑔) são geralmente diferentes.

Exemplos: 1) Considere as funções: 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 e 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

a) Determine a função composta 𝑔 𝑜 𝑓. Solução:

Como a função (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) agora os elementos do domínio de g são as

imagens 𝑦 = 𝑓(𝑥) da função f. Isto significa que o "x" da função g deve ser substituído

por "𝑓(𝑥)". Então:

𝑔 𝑜 𝑓 = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 2. 𝑓(𝑥)2 = 2. [𝑥 + 1]2 =

2. [𝑥2 + 2𝑥 + 1] = 2𝑥2 + 4𝑥 + 2 ∴ (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 + 2

b) Determine a função composta 𝑓 𝑜 𝑔.

Solução:

Como a função (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) agora os elementos do domínio de 𝑓 são as

imagens 𝑦 = 𝑔(𝑥) da função 𝑔. Isto significa que o "𝑥" da função 𝑓 deve ser substituído

por "𝑔(𝑥)". Então:

𝑓𝑜 𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥) + 1 = [2𝑥2] + 1 =

= 2 𝑥2 + 1

∴ (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2 + 1.

c) Determine a função composta 𝑓 𝑜 𝑓.

Solução:

𝑓 𝑜 𝑓 = 𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥) + 1 = [𝑥 + 1] + 1 =

= 𝑥 + 2

∴ (𝑓 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑥 + 2

d) Determine a função composta 𝑔 𝑜 𝑔.

Solução:

𝑔 𝑜 𝑔 = 𝑔(𝑔(𝑥)) = 2. [𝑔(𝑥)]2 = 2. [2𝑥2]2 =

= 2. (4𝑥4) = 8 𝑥4

∴ (𝑔 𝑜 𝑔)(𝑥) = 8 𝑥4

3.11. Função Modular

Função definida por mais de uma sentença: Sendo uma função 𝑓 definida pelas sentenças:

Se 𝑥 < 0, então 𝑓(𝑥) = 1

Se 𝑥 ≥ 0, então 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

Calcule, utilizando as sentenças acima, 𝑓(−3), 𝑓(−√2), 𝑓(0) 𝑒 𝑓(2).

Y é uma função de 𝑥 definida por duas sentenças. Assim, usa-se uma sentença

ou outra, dependendo do intervalo em que o valor de 𝑥 se enquadra. Nesse caso, a

mudança de sentença fica evidente no gráfico da função 𝑓 mostrado abaixo.

Características da função modular: Chama-se função modular a função f de IR em IR dada pela lei 𝑓(𝑥) = |𝑥| . Utilizando o conceito de módulo de um número real, a função modular pode ser

caracterizada:

𝑓(𝑥) = { 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

− 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0}

Exemplos

1) Se f(x) = x – 1 e g(x) =|x|, construa o gráfico da função h(x), que é a composta

de g com f. De modo geral, para esboçar o gráfico de ℎ(𝑥) = |𝑓(𝑥)|: 1° quando 𝑓(𝑥) ≥ 0, o gráfico de ℎ(𝑥) é o próprio gráfico de 𝑓(𝑥). 2° quando 𝑓(𝑥) < 0, o gráfico de ℎ(𝑥) é o gráfico de −𝑓(𝑥).

𝑔(𝑓(𝑥)) = |𝑥 − 1|

2) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4 e 𝑔(𝑥) = |𝑥|, então a composta de g com f é dada pela lei:

ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥² − 4) = |𝑥² − 4|

Construa o gráfico da função h(x) =|x² - 4|.

3.12. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Seja 𝑓(𝑥) =1

𝑥 , 𝑥 ≠ 0. Se 𝑓(2 + 𝑝) − 𝑓(2) =

3

2. Calcule 𝑓(1 − 𝑝) − 𝑓(1 + 𝑝).

2) Esboce o lugar geométrico do seguinte conjunto 𝐻 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 𝑥2⁄ + 𝑦2 −

2𝑦 = 0}. Verifique que o conjunto esboçado não corresponde a uma função.

3) Verifique as possibilidades para os quais x satisfaz a inequação (4𝑥 − 3)/(𝑥 +

1) > 2

4) Os pontos (0,0) e (2,1) estão no gráfico de uma função quadrática 𝑓. O mínimo

de 𝑓 é assumido no ponto de abscissa 𝑥 = −0.25. Calcule o valor de 𝑓(1).

5) O maior elemento da sequência 𝑎𝑛 = 400 + 20𝑛 − 2𝑛2, 𝑛 = 1,2,3, … 50, vale:

6) Plote o seguinte gráfico ||𝑥| − 2| − 3.

7) Considere a função

𝑓(𝑥) = {1, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2

−2, 𝑠𝑒 − 2 ≤ 𝑥 < 0

e 𝑔(𝑥) = |𝑓(𝑥)| − 1. Plote 𝑔(𝑥).

8) Se o conjunto:

𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 𝑐} é a solução de

(𝑥 + 2). (2𝑥 − 𝑥2) ≤ 0

O valor de 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 é:

9) Considere a função 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| + |𝑥 − 2|; Mostre que

𝑓(𝑥) = {−2𝑥 + 3 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1

1 𝑠𝑒 1 < 𝑥 < 22𝑥 − 3 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2

Em seguida esboce o gráfico de 𝑓 .

10) As soluções da equação:

𝑥 − 𝑎

𝑥 + 𝑎+

𝑥 + 𝑎

𝑥 − 𝑎=

2(𝑎4 + 1)

𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)

Onde 𝑎 ≠ 0, são:

11) O domínio da função real 𝑓 definida por:

𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1

1 − 3𝑥

é:

12) Seja S o conjunto de todas as soluções da equação log0.25(𝑥 + 1) = log4(𝑥 − 1).

Mostre que S possui solução única.

13) Seja a equação logarítmica (log𝑚 2). (log𝑚

162) = log𝑚

642. Calcule a soma de suas

raízes.

14) Se: 6 − log𝑎 𝑚

1 + log𝑎2 𝑚= 2

Com 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 𝑒 𝑚 > 0, então:

√𝑚

𝑎 + √𝑚

é:

15) Encontre o domínio real da função:

𝑓(𝑥) =√2 − 𝑥

𝑥2 − 8𝑥 + 12

16) Mostre que a inequação

10𝑥 + 10𝑥+1 + 10𝑥+2 + 10𝑥+3 + 10𝑥+4 < 11111

Em que 𝑥 é um número real, possui apenas solução negativa.

17) Plote:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑒−|𝑥|.

b) 𝑔(𝑥) =−2.|𝑥|

𝑥

c) 𝑓(𝑥) = −4 − 3𝑒−|𝑥|

d) 𝑔(𝑥) = −2|−𝑥2 + 6𝑥 − 8| + 3.

18) Para −1 < 𝑥 < 0.5, o gráfico da função 𝑦 = |𝑥 + 1| + |2𝑥 − 1|, coincide com o

gráfico da função 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Encontre os valores de 𝑎 e 𝑏.

19) Sejam 𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ funções tais que 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑥 e 𝑓(𝑥) + 2𝑓(2 − 𝑥) = (𝑥 − 1)3,

para todo 𝑥 ∈ ℝ. Calcule 𝑓(𝑔(𝑥)).

20) A soma das raízes reais positivas da equação 4𝑎 − 5 ∗ 2𝑎 + 4 = 0, sendo 𝑎 = 𝑥2

é:

21) Plote o gráfico de 𝑓(𝑥) = ln(|𝑥| − 1).

22) Dadas as funções

𝑓(𝑥) =3𝑥

2𝑥 + 1

e

𝑔(𝑥) =2𝑥 + 1

3𝑥,

responda e calcule o que se pede: a) Indique o domínio das funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥). b) A função 𝑔(𝑥) é a inversa de 𝑓(𝑥)? Em caso negativo, encontre a função inversa de 𝑓(𝑥). c) Determine o valor da soma 𝑓(2) + 𝑔(2). d) Determine o valor do quociente 𝑓(−3)/𝑔(−3).

23) Seja 𝑓(𝑥) a função ilustrada abaixo:

Plote o gráfico de:

𝑔(𝑥) = (−3

2) 𝑓 ((−

1

2) 𝑥 + 2) + (

3

2).

24) Dada a função:

𝑓(𝑥) = {

|𝑥 − 3| − |𝑥 − 1|, 𝑠𝑒 − 4 ≤ 𝑥 < 0

𝑥2 + 2 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 20, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜

Faça e calcule o que se pede:

a) Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥):

b) Calcule a área formada entre 𝑓(𝑥) e o eixo das abscissas do plano cartesiano,

para −2 ≤ 𝑥 ≤ 0.

c) Esboce o gráfico de 𝑔(𝑥) = −2𝑓((−0.5𝑥 + 2) − 3)

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) 12/5

2) [x² + (y – 1)² = 1]. Logo, a equação de uma circunferência não é uma função.

3) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 > 5/2}

4) f(1) = 3/10

5) 𝑌𝑚á𝑥 = 450

6) gráfico

7) gráfico

8) a² + b² + c² = 8

9) 𝑆 = {−2𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1

1, 𝑠𝑒 1 < 𝑥 < 22𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2

}

10) ±1/a

11) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ|1/3 < 𝑥 ≤ 1/2}

12) x = +√2

13) 𝑚1 + 𝑚2= 10, sendo 𝑚1 = 6 𝑒 𝑚2 = 4

14) 1/2

15) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 2 𝑜𝑢 𝑥 ≠ 4}

16) x < 0

17.a) 𝑓(𝑥) = 𝑒−|𝑥| → {𝑒−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 𝑒𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

}

17.b) 𝑔(𝑥) = −2|𝑥|/𝑥 → {−2, 𝑠𝑒 𝑥 > 02, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

}

17.c) 𝑓(𝑥) = −4 − 3𝑒−|𝑥| → {−4 − 3𝑒−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0−4 − 3𝑒𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

}

17.d) 𝑔(𝑥) = −2|−𝑥2 + 6𝑥 − 8| + 3 → {2𝑥² − 12𝑥 + 18, 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 ≤ 4

−2𝑥2 + 12𝑥 − 13, 𝑠𝑒 𝑥 > 4 𝑜𝑢 𝑥 < 2}18) a = - 1 e

b = 2

19) f(g(x)) = x³; f(x) = (-x + 1)³

20) 𝑎1 = 2 e 𝑎2 = 0. Logo, 𝑎1 + 𝑎2 = 2

21) 𝑓(𝑥) = {ln (𝑥 − 1), 𝑠𝑒 𝑥 > 1

𝑙 𝑛(−𝑥 − 1) , 𝑠𝑒 𝑥 < −1}

22.a) 𝐷𝑓(𝑥) = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≠ −1/2} e 𝐷𝑔(𝑥) = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≠ 0}

22.b) Não, a inversa é 𝐹−1(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥⁄

22.c) 𝑓(2) = 6/5 𝑒 𝑔(𝑥) = 5/6. Logo, 𝑓(2) + 𝑔(2) = 61/30

22.d) 𝑓(−3)

𝑔(−3)= (

9

5)