Concurso Pblico Banco do BrasilINTRODUOTemos seis conjuntos numricos existentes, os naturais, inteiros, racionais,irracionais, reais e complexos. Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cincoprimeiros.O conjunto dos nmeros naturais so os primeiros a seremestudados. So os inteiros epositivos.O conjunto dos nmeros inteiros so aqueles que envolvem os naturais e os negativos.O conjunto dos racionais so todos aqueles que podem ser escritos na forma de fraes,j os irracionais no podem ser escritos na forma de frao.Os reais vo englobar todos os anteriores.PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comNMEROS NATURAISComeando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo oconjunto dos nmeros naturais, representados pela letra IN:I N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}A reticncias significa que o conjunto no tem fim, pois um nmero naturalsempre possui um sucessor e a partir do zero um sucessor.Exemplos:vo sucessor de 10 11 e o antecessor de 10 9.vo ano que sucede 2003 2004 e 2002 antecede 2003.vGeneralizando: o sucessor de n n + 1 e o antecessor de n n - 1.Exerccios Resolvidos1) Um nmero natural e seu sucessor chamam-se consecutivos. Escreva todos ospares de nmeros consecutivos entre esses nmeros:2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255Resoluo:0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 2562) Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thas mais velha que Reinivaldo. Asidades de Reinivaldo e Thas so nmeros consecutivos. A minha idade umnmero que o sucessor do sucessor da idade de Thas ". Quantos anos Hudsontem?Resoluo:Como Thas mais velha que Reini valdo e as suasidades so nmer os consecutivos, ento seReini valdo tem 45 anos, Thas tem 46 anos. Como a idade de Hudson o sucessor do sucessorde 46, ento esta idade ser 48 anos.3) Escreva todos os nmeros naturais que so maiores que 3 e menores que 7.Resoluo:Seja o conj unto: A = { x I N / 3 < x < 7}, por uma propr iedade especf i ca o enunciadodo exerc cio fi car escr ito desta forma, il ustrando todos os elementos f i ca assim:A = {4, 5, 6}ADIOUm automvel segue de Joo Pessoa com destino a Macei. Seu condutor desejapassar por Recife, sabendo-se que a distncia de Joo Pessoa at Recife de 120km e que Recife est a 285 km de Macei, quantos quilmetros o automvel irPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.compercorrer at chegar em Macei? Esta uma pergunta relativamente fcil deresponder, basta somar as distncias: 285 + 120 = 405 km.Adio uma operao que tem por fim reunir em um s nmero, todas asunidades de dois, ou mais, nmeros dados.O resultado da operao chama-se soma ou total, e os nmeros que sesomam, parcelas ou termos.PropriedadesFechamento - Asoma de dois nmeros naturais sempre um nmero natural. Ex:8 + 6 = 14Elemento Neutro - Adicionando-se o nmero 0 (zero) a um nmero natural, oresultado o prprio nmero natural, isto , o 0 (zero) no influi na adio. Ex: 3 +0 = 3Comutativa - A ordem das parcelas no altera a soma.Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16Associativa - A soma de vrios nmeros no se altera se substituirmos algumasde suas parcelas pela soma efetuada. Os sinais empregados para associaesso denominados:( ) parnteses [ ] colchetes { } chavesExemplos:8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 1613 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + cNota:Estudando-se as lnguas, verificamos a importncia da colocao das vrgulaspara entendermos o significado das sentenas.Exemplo:1) " T i o Srgi o, Andr vai ao teatr o."2)" Ti o, Srgi o Andr vai ao teatr o."Podemos verificar que essas duas sentenas apresentam significados diferentes,pelo fato da vrgula ter sido deslocada.Nas expresses e sentenas matemticas, os sinais de associao (parnteses,colchetes e chaves) podem funcionar como verdadeiras vrgulas. Resolvem-se ossinais na seqncia:( ) parnteses [ ] colchetes{ } chavesPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comExemplo:A expresso (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, so diferentes, da aimportncia da associao.Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma parcela por outra cuja somaseja igual a ela. Esta propriedade de sentido contrrio da anterior.Exemplo:9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o nmero 9 foi dissociado em dois outros 5 e4).De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c.Observe que o zero como parcela no altera a soma e pode ser retirado.Exemplo:20 + 7 + 0 + 3 = 20 + 7 + 3SUBTRAOFabiano fez um depsito de R$ 1 200,00 na sua conta bancria. Quando retirou umextrato, observou que seu novo saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinhaem sua conta antes do depsito?Para saber, efetuamos uma subtrao:2 1371 200R$ 937,00minuendosubtraendoresto oudiferenaDenomina-se subtrao a diferena entre dois nmeros, dados numa certaordem, um terceiro nmero que, somado ao segundo, reproduz o primeiro. Asubtrao uma operao inversa da adio.O primeiro nmero recebe o nome de minuendo e o segundo desubtraendo, esochamadostermosdasubtrao. Adiferenachamadaderesto.PropriedadesFechamento:- No vlida para a subtrao, pois no campo dos nmerosnaturais, no existe a diferena entre dois nmeros quando o primeiro menorque o segundo. Ex: 3 - 5Comutativa: No vlida para a subtrao, pois 9 - 0 0 - 9Associativa: No vlida para a subtrao, pois (15 - 8) - 3 = 7 - 3 = 4e 15 - (8- 3) = 15 - 5 = 10PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comSomando-se ou subtraindo-se um mesmo nmero aos termos de uma subtrao,a diferena no se altera.Exemplo: seja a diferena 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus dois termos, teremos(15 + 4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7MULTIPLICAOMultiplicar somar parcelas iguais.Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15Nesta adio aparcela queserepete(5)denominada multiplicando eonmero de vezes que o multiplicamos (3) chamado multiplicador e o resultado chamado de produto.Ento:5 315mul ti pl icandomultiplicadorprodutoMultiplicao a operao que tem por fim dados dois nmeros, umdenominado multiplicando e outro multiplicador, formar um terceiro somando oprimeiro tantas vezes quando forem as unidades do segundo. Omultiplicando e omultiplicador so chamados de fatores.Propriedades1) Fechamento - O produto de dois nmeros naturais sempre um nmeronatural.Ex: 5 x 2 = 102) Elemento Neutro - O nmero 1 (um) denominado de elemento neutro damultiplicao porque no afeta o produto.Ex: 10 x 1 = 103) Comutativa - Aordem dos fatores no altera o produto.Ex: 5 x 4 = 20ou 4 x 5 = 204) Distributiva em relao soma e a diferena - Para se multiplicar uma soma ouuma diferena indicada por um nmero, multiplica-se cada uma das suas parcelasou termos por esse nmero, e em seguida somam-se ou subtraem-se osresultados.Exemplo:1) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com2) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15Essapropriedade chamada distributivaporque omultiplicadorsedistribui portodos os termos.Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar cada parcela da primeirapelas parcelas da segunda e somar os produtos obtidos.Exemplo:(6+ 3) x (2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63DIVISODiviso ExataDiviso exata a operao que tem por fim, dados dois nmeros, numacerta ordem, determinar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza oprimeiro. A indicao dessa operao feita com os sinais: ou que se l:dividido por. O primeiro nmero chama-se dividendo, o segundo divisor e oresultado da operao, quociente.Exemplo:15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15Onde 15 o dividendo, 3 o divisor e 5 o quociente.Diviso AproximadaNo caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 6, observa-se que no seencontra um nmero inteiro que, multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 6 = 48 menor que 53 e 9 6 = 54 maior que 53.O nmero 8, que o maior nmero que multiplicado por 6 no ultrapassa odividendo 53, denominadoquociente aproximado a menos de uma unidade porfalta, porque o erro que se comete, quando se toma o nmero 8 para o quociente, menor que uma unidade. Temos, assim, a seguinte definio: chama-se resto deuma diviso aproximada a diferena entre odividendoe oproduto do quocienteaproximado pelo divisor. A indicao dessa diviso feita assim:DIVIDENDO = DIVISOR QUOCIENTE + RESTOExemplo:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com 53 = 6 8 + 5NM EROS I NT EI ROS (Z )Em tempos remotos, com o desenvolvimento do comrcio, um comerciante desejandoilust rar a venda de 3 kg de um total de 10 kg de trigo existente num saco, escreve no saco: "-3" , a part ir da um novo conj unto numrico passa a existir, o Conj unto dos NmerosI nteiros, hoje, representamos pela let ra Z.Z= {..., -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}A ret icncias, no incio ou no fim, signif ica que o conjunto no tem comeo nem f im.Conclumos, ento, que todos os nmeros inteiros possuem um antecessor e um sucessor.Com a relao s operaes que sero possveis de se efet uar, ilust raremos exemplos daadioe mult iplicao.ADIOvSinais I guais: Somam-se os nmeros prevalecendo o sinal.Exemplos:(+2) + ( +3) = +5(-2) + (-3) = - 5vSinais Diferentes: Subt raem-se os nmeros prevalecendo o sinal do maior nmero emmdulo.Exemplos:(-2) + (+3) = +1(+2) + (-3) = -1Exerccios ResolvidosPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com1) Calcule a soma algbrica: -150 - 200 + 100 + 300Resoluo:-150 - 200 + 100 + 300-350 + 100 + 300-250 + 300502) Alexandre tinha 20 f igur inhas para jogar bafo. Jogou com M arcelo e perdeu 7figur inhas, jogou com Jorge e ganhou 2, ao j ogar com Gregrio ganhou 3 e perdeu 8 e comH udson ganhou 1 e perdeu 11. Com quantasf igurinhas ficou Alexandre no final do j ogo?Resoluo:Representando em soma algbrica:20 - 7 + 2 + 3 - 8 + 1 - 11 = 0Resposta: Nenhuma.MULTI PLI CAONa mult iplicao de nmeros inteirosvamos, sempre, considerar a seguinte regra:(+) . (+) = (+)(+) . (- ) = (-)(-) . (+) = (-)(-) . (-) = ( +)Exemplos:v(+2) ( +3) = (+6)v(+2) (- 3) = ( - 6)v(-2) ( + 3) = ( - 6)v(-2) (- 3) = ( + 6)Exer ccio Resolvido1) Calcule o valor da expresso abaixo:{(16 - 4) + [3.( -2) - 7.1]}.[-12 - (-4) .2.2] + ( -7) .2 - 3 . (-1)Resoluo:{(16 - 4) + [3.( -2) - 7.1]}.[-12 - (-4) .2.2] + ( -7) .2 - 3 . (-1){12 + [-6 - 7]} . [-12 -( -16)] + ( -14) - (-3){12 + [-13]} . [-12 + 16] - 14 + 3{12 - 13} . 4 - 14 + 3{-1}.4 - 14 + 3PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com-4 - 14 + 3-18 + 3-15NMEROS RACIONAIS (Q) - FRAESSo aqueles constitudopelos nmeros inteiros e pelas fraes positivas enegativas. Nmero racional todo nmero indicado pela expressoba, com b 0e representado pela letra Q.Ateno:I) Todo nmero natural um racional.II) Todo nmero inteiro relativo racional.FRAESNmero fracionrio ou frao o nmero que representa uma ou maispartes da unidade que foi dividida em partes iguais.Exemplos:v 1 hora = 60 minutosv hora = 15 minutosv42hora = 30 minutosv43hora = 45 minutosPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com RepresentaoUma frao representada por meio de dois nmeros inteiros, obedecendouma certa ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamentede numerador e denominador, e que constituem os termos da frao.O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e onumerador, quantas partes foram tomadas.As fraes podem ser decimais e ordinrias.FRAES DECIMAISQuando o denominador representado por uma potncia de 10, ou seja,10, 100, 1000, etc.Exemplo:FRAES ORDINRIASSo todas as outras fraes:TIPOS DE FRAESa) Fraes Prprias: O numerador menor que o denominador. Nesse caso afrao menor que a unidade.Exemplo:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comb) Fraes Imprprias: O numerador se apresenta maior que o denominador.Nesse caso a frao maior que a unidade.Exemplo:c) Fraes Aparentes: So fraes imprprias que tem o numerador divisvel pelodenominador e que so chamadas de fraes aparentes. Porque so iguais aosnmeros internos que se obtm dividindo o numerador pelo denominador.Exemplo:d) Fraes Irredutveis: So fraes reduzidas sua forma mais simples, isto ,no podem mais ser simplificadas, pois seus dois termos so nmeros primosentre si, e por esta razo no tm mais nenhum divisor comum.Exemplo:Simplificando-se3624, temos32(frao irredutvel)REDUE DE FRAES AO MESMO DENOMINADOR1) Reduzem-se as fraes forma irredutvel2) Determina-se o M.M.C. dos denominadores dessas fraes3) Divide-se o mmc pelo denominador e multiplica-se pelo numerador o resultadoda diviso.Exemplo:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com1-)63=212-)mmc (2, 5, 7) = 703-)52,21,7470 ,70 ,707028,7035,7040PROPRIEDADE DAS FRAES1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma frao por um certonmero diferente de zero, o valor de frao fica multiplicado ou dividido poresse nmero.Exemplo:Seja a frao103. Se multiplicarmos o numerador por 2, obteremos a frao106,que duas vezes maior que103, pois se em106tomamos 6 das 10 divises daunidade, em103tomamos apenas trs.Ilustrao:Observando a ilustrao, verificamos que103 duas vezes menor que106.PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma frao por um nmerodiferente de zero, o valor da frao fica dividido ou multiplicado por essenmero.Exemplo:Seja a frao52. Multiplicando o denominador por 2, obtemos a frao102, que duas vezes menor que52, pois em52dividimos a unidade em 5 partes iguais e dascinco tomamos duas, enquanto que em102, a mesma unidade foi dividida em 10partes iguais e tomadas apenas duas em dez.Ilustraes:Comparando-se as ilustraes, podemos verificar que52 duas vezes maior que102.3) Multiplicando-se ambos os termos de uma frao por um nmero diferente dezero, o valor da frao no se altera.Exemplo:522252104Logo:52=104Ilustraes:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comNMEROS MISTOSNmero misto aquele formado por um nmero inteiro e uma frao.Para transformarmos umnmero misto em uma frao, basta multiplicar odenominador dafraoimprpriapelonmerointeiroesomamosoresultadoobtido com o numerador.Exemplo:746 =74 42 +=746COMPARAO DE FRAESPodemos comparar duas ou mais fraes para sabermos qual a maior e quala menor. Para isto, devemos conhecer os critrios de comparao:1) Quando vrias fraes tm o mesmo denominador, a maior a que tem maiornumerador.Exemplo:104>103>1012)Quandovriasfraes tmo mesmonumerador, amaior aque temmenordenominador.Exemplo:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com54>74>1043) Quando as fraes tm numeradores e denominadores diferentes acomparao feita reduzindo-as ao mesmo denominador ou ao mesmonumerador.Exemplo:52 0 S =;' + a 2b;a 2b Duas razes reai s e disti ntasv = 0 S =;'a 2b Uma rai z real ou duas razes idnticasv < 0 S = No h sol uo realExerccios ResolvidosR1) Do quadrado de um nmero real vamos subtrair o qudruplo do mesmo nmero. O resultadoencontrado 60. Qual esse nmero?Resoluo:quadrado do nmero: x2qudruplo do nmero: 4xEquao: x2 4x = 60Normalizada: x2 4x 60 = 0Resolvendo com o auxlio da frmula de Bhaskara, obteremos como soluo 10 e 6, logo onmero real descrito poder ser o 10 ouo 6.R2) Determine os valores de m para que a funo quadrtica f(x) = x2+ (3m + 2)x + (m2+ m +2) tenha umzero real duplo.Resoluo:Ter um zero real duplo significa que a equao tenha duas razes reais e idnticas, ou seja, =0, logo:b2- 4ac = 0 (3m + 2)2 4.1.(m2+ m+2) = 0Desenvolvendo o quadrado perfeito e aplicando a propriedade distributiva9m2+ 12m+ 4 4m2 4m 8 = 05m2+ 8m 4 = 0como auxlio da frmula de BhaskaraPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comm = 2 ou m =52INEQUAES DO 2O. GRAUVamosaplicar oestudodosinal de umafunoquadrtica na resoluodeinequaes.Utilizaremos como exemplo o item a do exerccio R1:y = x2 3x 10Uma inequao que podemos formar:x2 3x 10 > 0Para a resoluo desta inequao basta considerarmos o estudo do sinal para a y > 0, ouseja:S = {x IR / x < 2oux > 5}Geometricamente:2 5+_+_Observaes:vSe tivssemos uma inequao do tipo x2 3x 10 0, a soluo seria S = {x IR/ x 2oux 5} e o esboo ficaria da seguinte forma:25+_+_Agora osvalores 2 e 5pertencem soluo dainequao e por isso representamosnoeixo com uma "bolinha" fechada diferentemente da inequao anterior.vNo h necessidade do eixo y na representao do esboo.EXERCCIOS - FUNO DO 2O. GRAUP1) Considere a funo y = x2 + 2x + 3.a) Determine o ponto onde a parbola que representa a funo corta o eixo dos y.b) Verifique se a parbola que representa a funo corta o eixo dos x; em caso afirmativo,determine as coordenadas dos pontos onde isso acontece.c) Determine as coordenadas do vrtice da parbola que representa a funo.d) Desenhe o grfico da funo.PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comP2) A soma de dois nmeros 207. O maior deles supera o menor em 33 unidades. Quaisso os dois nmeros?P3) A soma de um nmero real com o seu quadrado d 30. Qual esse nmero?P4) Doquadradodeumnmero real vamossubtrairo qudruplo domesmo nmero. Oresultado encontrado 60. Qual esse nmero?P5)Sabe-sequeJuniortem5anosamaisqueHudsonequeoquadradodaidadedeJunior est para o quadrado da idade da idade de Hudson assim como 9 est para 4. Qual a idade de Junior e qual a idade de Hudson?P6) A diferenaentre oquadradoeotriplo deum nmero real igual a4. Qual essenmero?P7)Oprodutodeumnmerointeiropositivopeloseuconsecutivo20. Qual essenmero?P8) A medida da base de um tringulo de xcm. A altura mede (x+ 2) cm. Acheessasmedidas, sabendo que a rea desse tringulo igual a 12 cm2.P9) A classe de Flvio Betiol vai fazer uma excurso ao Rio de Janeiro, para comemorar aformatura da 8 srie. A despesa total seria deR$3.600,00. Como 6 alunos no podero irao passeio, a parte de cada um aumentou em R$ 20,00. Quantos alunos estudam na classede Flvio Betiol?P10) O quadrado de um nmero estritamente positivo adicionado com o seu dobro igualao quadrado do seu triplo. Qual esse nmero?P11)A metade de um nmero positivo somado com o dobrodo seu quadrado igual aoqudruplo do nmero. Qual o nmero?P12)O quadrado daidadedeReinivaldomenosoquntuplodesuaidadeigual a 104.Qual a idade de Reinivaldo?P13) Subtramos 3 do quadrado de um nmero. Em seguida, calculamos a soma de 7 como triplo desse mesmo nmero. Nos dois casos, obtemos o mesmo resultado. Qual essenmero, se ele um nmero natural?P14) Resolva, em IR, as inequaes:a) x2 3x + 2 > 0b)x2 + x + 6 > 0c) x2 4 = 0d)3x2 8x + 3 0e)2x2 + 3x > 0f) x2 + 10x > 0GABARITO - FUNO DO 2O.GRAUPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comP1) a) y = 3 b) x1 = 1oux2 = 3c) xv = 1eyv = 4 d) Grfico: a < 0 e > 0P2) O nmero menor 87, o maior 120.P3) O nmero procurado 5 ou - 6P4) O nmero procurado 10 ou - 6P5) -2 no convmpois pede-se idades Hudson = 10 anos e Junior = 15 anosP6) 4 ou -1P7) 4P8) base = 4cm e altura = 6cmP9) 36 alunosP10) 1P11) 7/4P12) 13 anosP13) 5P 1 4 ) a) S={ x I R/ x2 }b) S={ x I R/ 21281x21

,_

>721

,_

x < 7c) S = {x IR / x < 4} d) S = { x IR / x 3}e) S = {x IR / x 6} f) S = {x IR / x 38 }g) S = {x IR / x 23}FUNESINTRODUOUma determinada grfica imprime apostilas para concursos pblicos. Ocusto de cada apostila varia em funo da quantidade de pginas a seremimpressas. Vamos supor que cada pgina tenha o custo de R$ 0,07 e para cadaapostila confeccionada ainda h um custo fixo de R$ 5,00 relacionado com acapa, plastificao etc. Observe a tabela abaixo que relaciona o preo de cadaapostila montada em funo da quantidade de pginas impressas:Pgi nas Preo50 R$ 8,5070 R$ 9,90100 R$ 12,00200 R$ 19,00 impossvel at estabelecermos uma frmula que relacione a quantidade depginas impressas (x) e o preo (y) de cada apostila:y = 0,07x + 5Este um exemplo de funo, observe que para cada valor de x encontramosum nico valor de y, podemos dizer ento que y funo de x, isto , y est emfuno de x, e outra forma de escrevermos a mesma frmula :f(x) = 0,07x + 5Se uma pessoa interessada em editar suas apostilas nesta grfica quisesse sabero quanto deveria desembolsar para confeccionar uma apostila com 300 pginas,ela poderia simplesmente substituir x = 300, na expresso acima:f(300) = 0,07.300 + 5 = 21 + 5 = 26Logo, o valor que iria desembolsar seria de R$ 26,00 por apostila impressa.DEFINIOPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comSeja f uma relao entre dois conjuntos A e B, diz-se que f uma funo de A emB eindica-se por f: A B, se e somentesepara cadaelementode x A existaum nico elemento y B.fA Bx1y1O conjunto A chamado de domnio da funo e o conjunto B chamado decontra-domnio e os elementos de B que esto relacionados com os de Afazemparte do conjunto imagem da funo.RECONHECENDO UMA FUNOPELOS DIAGRAMASExemplo1:Observe as relaes abaixo entre os conjuntos A e B dizendo em cada item seso ou no funo, em caso afirmativo, encontre o seu domnio (Df), contra-domnio (CDf) e conjunto imagem (Imf) das funes identificadas.a)0 1 0 5 10 20A BEsta r elao uma funo, pois cada el emento de A estrelacionado com apenas um de B.v Df = {0, 1}v CDf = {0, 5, 10, 20}v Imf = {0, 5}b)PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com0 1 2 3 0 2 4 6 8 10A BEsta relao no uma funo, pois existe umelemento deA que no se relaciona com nenhum de B.c)-1 -2 21 1 2 3 6 7 8A BEsta r elao uma funo, pois cada el emento de A estrelacionado com apenasum de B, e no existe nenhumael emento de A sobrando.v Df = {-1, -2, 2, 1}v CDf = {1, 2, 3, 6, 7}v Imf = {1, 7}d)0 2 -1 0 1A BEsta relao no uma funo, pois existe umelemento deA que se relaciona com dois de B.Observao:Repare que podemos ter um elemento do contra-domnio relacionado com doisdo domnio, e ainda, pode haver sobras de elementos no contra-domnio.PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comPELOS GRFICOSExemplo2:Identifique quais dos grficos abaixo representam funes, em casoafirmativo determine o Domnio e a Imagem de cada uma das funesidentificadas.a)35360 xyEste grfico representa uma funo, as retas verticaispontilhadas "cortam" o grfico em apenas um ponto.Logo, cada elemento x estar relacionado com apenas um y. v Df = {x I R / 3 x 3} Eixo xv I mf = { y I R / 5 y 6} Eixo yb)3740 xy1Este grfico no representa uma funo, pois observe que as retaspontilhadas "cortam" em mais de um ponto o grfico.c)xy821376Este grfico representa uma funo, as retas verticais pontilhadas "cortam" ogrfico em apenas um ponto.Logo, cada elemento x estar relacionado com apenas um y.v Df = { xI R / -2 < x 8} Eixo xv I mf = { y I R / 7 y 1} Eixo yPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comExerccios Resolvidos1 ) Se f(x) = 2x + 3x2 - 7x, encontre o valor de:f(0) - f(1) + f(2)Resoluo:v f(0) = 20 + 3(0)2 - 7(0) = 1v f(1) = 21 + 3. (1)2 - 7.(1) = 2 + 3 - 7 = -2v f(2) = 22 + 3.22 - 7.2 = 4 + 12 - 14 = 2Logo: f(0) - f(1) + f(2) = 1 - (-2) + 2 = 52 ) Um pedreiro vai ladrilhar uma sala de 3m 3m com ladrilhos quadrados, todosiguais entre si. Se ele pode escolher ladrilhos com lados iguais a 10cm, 12cm,15cm, 20cm, 25cm e 30cm, qual o nmero de ladrilhos que usar em cada caso?Resoluo:Para sabermos a quantidade de ladrilhos que sero utilizados, basta dividir a reatotal da sala pela rea de um ladrilho, portanto podemos chegar na seguintefuno que relaciona a quantidade de ladrilhos (y) em funo da dimenso (x) decada ladrilho:y =LTSS=2x3 3 =2x9 y =2x9 importante ressaltar que a rea de cada ladrilho deve estar em m2, isto , adimenso x deve ser dada em metros.Observe a tabela que relaciona cada ladrilho com a quantidade necessria para cobrir a sala:x (m) 0,10 0,12 0,15 0,20 0,25 0,30Y 900 625 400 225 144 100EXERCCIOS - FUNESP1) A tabela abaixo indica o custo de produo de certo nmero de peas deautomvel:Peas custos1 12 43 94 165 256 36PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comObservando a tabela responda:a) Qual o custo da produo de 3 peas?b) Qual o nmero de peas produzidas com R$ 25,00?c) Qual a lei que representa o custo c da produo em funo do nmero depeas n?d) Com relao ao item anterior, qual o nmero mximo de peas produzidas comR$ 1 000,00?P2) O nmero y de pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do resultadode um jogo de futebol, aps x horas em sua realizao, dado porx 10 y .Responda:a) Quantas pessoas j sabem o resultado do jogo aps 4 horas?b) Quantas pessoas j sabem o resultado do jogo em 1 dia?c) Aps quantas horas de sua realizao, 30 mil pessoas tomam conhecimento doresultado do jogo?P3) Avelocidade mdia de um automvel em uma estrada de 90km/h.Responda:a) Qual a distncia percorrida pelo automvel em 1hora? E em 2 horas?b) Em quanto tempo o automvel percorre a distncia de 360 km?c) Qual a expresso matemtica que relaciona a distncia percorrida (d) emfuno do tempo (t)? (d em quilmetros e t em horas)P4) Um professor prope sua turma de 40 alunos um exerccio-desafio,comprometendo-se a dividir um prmio de R$ 120,00 entre os acertadores. Sejamx o nmero de acertadores (x = 1, 2, 3, .., 40) e y a quantia recebida por cadaacertador (em reais). Responda:a) y funo de x? Por qu?b) Quais os valores de y para x = 2, x = 8, x = 20ex = 25?c) Qual o valor mximo que y assume?d) Qual a lei de correspondncia entre x e y?P5) Qual a notao de cada uma das seguintes funes de IR em IR?a) f associa cada nmero real ao seu dobro.b) g associa cada nmero real ao seu quadrado.c) h associa cada nmero real ao seu triplo menos 1.P6) Qual a notao de cada uma das seguintes funes?a) f a funo de IR* em IR* que associa cada nmero real ao seu inverso.b) g a funo de INem IN que associa cada nmero natural ao quadrado de seusucessor.P7) Sendo f uma funo de Z em Z definida por f(x) = 2x + 3. Calcule:a) f(0) b) f(1) c) f(-2)P8) Seja f: IR IR definida por f(x) = x2 - 5x + 4. Calcule:a) f(1) b) f(2) c) f(-1)PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comP9) Seja f: IR IR definida por f(x) = x2 - 3x + 4. Calcule:a) f

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21b) f(3) c) f(1 2) d) f(2p)P10) Os diagramas de flechas dados representam relaes binrias. Pede-se, paracada uma:a) dizer se ou no uma funo;b) em caso afirmativo, determinar o domnio, o contradomnio e o conjunto-imagem da mesma.I-)1 2 3 4 5 6 7 8II-)1 3 4 9 10 11 12III-)1 2 3 1 4 5 2 3IV-)1 2 3 1 2V-)PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com1 2 3 0VI-)1 1 2 3P11) Observe os grficos abaixo:xyxyxyxyxyPodemos afirmar que:a) todos os grficos representam funes;b) os grficos I, III e IV representam funes;c) apenas o grfico V no representa uma funo;d) os grficos I, II, III e IV representam funes;e) apenas o grfico II no representa funo.P12) As funes f e g so dadas por:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comv f(x) =53x 1 e g(x) =34x + aSabe-se que f(0) g(0) =31.O valor de f(3) 3.g ,_

51:a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4P13) A funo y = f(x) representada graficamente por:xy2 0 2 424Atravs da anlise do grfico, encontre:a) Domnio da funo (Df);b) Imagem da funo (Imf);c) f(3);d) o valor de x tal que a funo seja nula.P14) Uma funo f de varivel real satisfaz a condio f(x + 1) = f(x) + f(1) qualquerque seja o valor da varivel x. Sabendo-se que f(2) = 1, pode-se concluir que f(3) igual a:a)41b)21c)23d) 2 e)25GABARITO - FUNESP1) a) R$ 9,00 b) 5 c) c = n2d) 31P2) a) 20 mil b) 48 989 c) 9 horasP3) a) 90 km; 180 km b) 4 horas c) d = 90tP4) a) Sim, pois a cada valorde x cor responde um nico valor de y.b) x = 2 y = 60, x = 8 y = 15, x = 20 y = 6x = 20 y = 6 e x = 25 y = 4,8PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comc) 120 d) y =x120P5) a) f: I R I Rf(x) = 2xb) g: I R I Rg(x) = x2a) h: I R I Rh(x) = 3x 1P6) a) f: I R* I Rf(x) =x1b) g: I N I Ng(x) = (x + 1)2P7) a) 3 b) 5 c) 1P8) a) 0 b) 2 c) 10P9)a)411b) 7 33c)2+ 4d) 4p2 6p + 4P10) I -) No funo I I -) No funoI I I -) funo: Df = {1, 2, 3}CDf = {1, 2, 3, 4, 5}I mf = {1, 2, 3}I V-) f uno: Df = {1, 2, 3}, CDf = {1, 2},I mf = {1, 2}V-) funo: Df = {1, 2, 3}, CDf = {0}I mf = {0}V I ) No funo.P11) BP12) EP13) a) Df = {x I R / 2 < x 4}b) I mf = { y I R / 0 < x < 4}c) f(3) = 4d) x = 0P14) CPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comFUNO DO 1o. GRAUINTRODUOLarissatomaumtxi comumquecobraR$2,60pelabandeiradaeR$0,65porquilmetro rodado. Ela querir casa do namorado que fica a 10 kmde onde elaest. Quanto Larissa vai gastar de txi?Elaterquepagar10 R$0,65peladistnciapercorridaemaisR$2,60pelabandeirada, ou seja 6,50 + 2,60 = R$ 9,10.Se acasa deseunamoradoficasse a17kmdali, opreodacorrida (emreais)seria:0,65 17 + 2,60 = 13,65Enfim, para cada distncia x percorrida pelo txi h um certo preop(x) em funo de x:p(x) = 0,65x + 2,60que um caso particular de funo polinomial do 1. grau, ou funo afim.DEFINIO"Toda funo polinomial representada pela frmula matemticaf(x) = a.x + b ou y = a.x + b, com a IR, b IR e a 0, definida para todo real, denominada funo do 1 grau."Na sentena matemtica y = a.x + b, as letras x e y representam asvariveis, enquanto a e b so denominadas coeficientes.Assim so funes do 1 grau:f(x) = 2.x +3(a = 2 e b = 3)y = -3.x (a = -3 e b = 0)Observaes:1.) No caso de a 0 e b 0, a funo polinomial do 1 grau recebe o nome defuno afim.2.) No caso de a 0 e b = 0, a funo polinomial do 1 grau recebe o nome defuno linear.PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comExerccio Resolvido1) Dada a funo f(x) = ax + b sendo f(1) = 3 e f(2) = 9, qual o valor de f(0)?Resoluo:f(1) = 3 a.(1) + b = 3f(2) = 9 a.(2) + b = 9Chegamos no sistema de duas equaes e duas incgnitas:' + +9 23b ab a, resolvendo o sistema obtemosa = 6e b = - 3, logo:f(x) = 6x - 3 f(0) = 6.(0) - 3 f(0) = - 3GRFICO DA FUNO DO 1O. GRAUSeja a funo do 1O. grau f(x) = ax + b, o grfico desta funo uma reta:Nota:v"Denomina-sezeroouraizdafunof(x) =ax+bovalordexqueanulaafuno, isto , torna f(x) = 0."vOponto onde ogrfico "corta" oeixo yser sempre (0, b), ondeb ocoeficiente da funo.ANLISE DOS GRFICOS:vGrfico 1: Grfico de uma funo crescente onde teremos o coeficiente a > 0.v Grfico 2: Grfico de uma funo decrescente onde teremos o coeficiente a 0; para quais valores de x a funo zero, ou seja,y = 0; e, para quais valores de x a funo negativa, ou seja, y < 0.Considere a funo f(x) = ax+b, ou seja, y= ax+b;vamosestudar osinal dafuno.. considerar a casos dois h ,abx para anula se funo a que Vimos 1O. Caso) a > 0 Funo Crescenteabxyy > 0y < 0+_v y > 0 x >abv y < 0 x 0 x abPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comFUNO DO 2O. GRAUINTRODUOUma empresa de txis fez uma anlise de custos operacionais e chegou seguinte concluso:Para cada automvel, ela tem:a) um ganho fixo de R$ 8,00 na bandeirada.b) um ganho calculado como o quadrado da distncia percorrida (em km).c) uma despesa de R$ 6,00 por quilmetro rodado, relativa a combustvel,manuteno, taxas e impostos, salrios, etc.1) Vamos escrever a funo que relaciona o lucro dessa empresa com a distnciapercorrida, para cada automvel. Chamemos de x a distncia percorrida e de y olucro total da empresa para cada automvel:y = 8 + x2 - 6x y = x2 -6x + 82) Analisando essa funo, descobriu-se que, dependendo da distnciapercorrida, o txi poderia dar lucro ou prejuzo, observe a tabela abaixo:Tabelax y0 81 32 03 -14 05 36 8Notas:Observe que quando o txi percorre 2km e 4km, no h prejuzo e nem lucro.Se o txi percorre 3km, h um prejuzo de R$1,00.Os maiores lucros, de acordo com os dados da tabela, so obtidos se o txi noandar (em caso do passageiro s pagar a bandeirada), ou se o txi percorrer 6km.3) Para uma melhor visualizao do lucro da empresa variando de acordo com adistncia percorrida foi feito o grfico abaixo representando a distnciapercorrida no eixo x (em km) e no eixo y o lucro obtido (em reais).PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 xNotas:De acordo com o grfico podemos observar que:vPara distncias percorridas menores que 2km ou maiores que 4km o txi drealmente lucro:x < 2 ou x > 4vPara distncias percorridas entre 2km e 4km o txi d prejuzo:2 < x < 4vSe o txi percorrer 2km ou 4km o txi no dar nem lucro nem prejuzo:x = 2kmoux = 4kmvAfuno representada pelo grfico uma funo do 2O. grau e o grficoilustrado uma parbola.DEFINIOdenomina- se funo do 2 gr au ouf uno quadrt ica" .GRFICO DA FUNO DO 2O. GRAUPara toda funo do 2O. grau temos o grfico sendo uma parbola, assim comona funo do 1O. grau. Entretanto aqui, os pontos mais importantes sero: interseco com o eixo y: (0; c) o coeficiente c nos "diz" onde o grfico "corta" oeixo y.PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com zeros (ou razes) da f uno: (x1; 0) e (x2; 0) onde o grfico se interceptao eixo x;para a obteno das razes da funo devemos resolver uma equao do 2O. grauobtida atravs da prpria funo. vrtice da parbola: (xv, yv) so os pontos de mximo ou de mnimo da funo.VRTICE DAPARBOLAPara o clculo das coordenadas do vrtice da parbola utilizaremos asfrmulas a seguir:V( xv , yv)2abvx4avyEm geral, a parbola poder estar em posies distintas no que se refereaos eixos coordenados, observe a tabela a seguir:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com > 0 = 0 < 0a > 0a < 0Observaes:De acordo com o coeficiente a e o discriminante numa funo do 2O. grau,podemos tirar algumas concluses a respeito da posio da parbola:vAparbola poder ter a concavidade voltada para cima (a > 0) ou para baixo (a 0- duasrazesdistintas), ouemumnicoponto(=0- umanicaraiz) ouaindanointerceptar o eixo x ( > 0 - a funo no possui razes reais).Exemplo1:Faamos o esboo do grfico da funo y = 2x2 - 5x + 2:Caractersticas: concavidade voltada para cima: a = 2 > 0 zeros (ou razes): 2x2 - 5x + 2 = 0Resolvendo a equao, obtemos:x1 =21ou x2 = 2

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89,454a,2abV parbola da vrtice interseco com o eixo y: (0, c) = (0, 2)Grfico:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comExemplo 2:Faamos agora, o esboo do grfico da funo y = x2 - 2x + 1:Caractersticas:concavidade voltada para cima: a = 1 > 0 zeros (ou razes): x2 - 2x + 1 = 0Resolvendo a equao, obtemos:x1 = x2 = 1 (raiz dupla)(0,1) c) (0, : y eixo como o intersec(1,0)4a,2abV : parbola da vrtice

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Grfico:Exemplo3:Faamos por fim, o esboo do grfico da funo y = -x2 - x - 3:Caractersticas: concavidade voltada para baixo: a = 1 < 0 zeros (ou razes): x2 2x + 1 = 0PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comno existe x IR, pois < 03) (0,- c) (0, : y eixo como o intersec411- ,21-4a- ,2ab- V : parbola da vrtice

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Grfico:SINAL DA FUNO QUADRTICAConsidere a funoquadrticay =f(x)=ax2+bx+ c, vamos determinarpara quais valores de x temos a funo positiva (y > 0), funo negativa (y < 0) oua funo nula (y = 0).Na tabela a seguirtemos as posiesrelativas e ossinais deacordo comos eixos coordenados, o discriminante (D) e o coeficiente a.PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com > 0 = 0 < 0a > 0a < 0+_+_+_+_+_+_+_ _+Exerccios ResolvidosR1) Estude o sinal das funes abaixo:a) y = x2 - 3x - 10.b) y = -x2 + 6x - 9c) y = x2 + 7x + 13Resoluo:a)1O.) Razes: x2 - 3x - 10 = 0 x1 = -2 ou x2 = 52O.) Esboo:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com3O.) Estudo do Sinal:y > 0 x < -2oux > 5y = 0 x = - 2 oux = 5y < 0 -2 < x < 5b)1O.) Razes: -x2 + 6x - 9 = 0 x1 = x2 = 32O.) Esboo:3O.) Estudo do Sinal:y > 0 no existe xIRy = 0 x = 3y < 0 x < 3 ou x > 3c)1O.) Razes: x2 + 7x + 13 = 0 < 0 (no existe x real)2O.) Esboo:3O.) Estudo do Sinal:y > 0 x IRy = 0 no existe x realy < 0 no existe x IRPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comFUNO EXPONENCIALINTRODUOImaginequeexistaummicrbioqueacadaminutoeleseduplicada. Podemosentoformar a seguinte seqncia numrica relativamentea quantidade desses seres em cadaminuto:(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...)Podemos ainda, escrever esta seqncia na forma de potncia:(20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, ...)Se chamarmos os minutos de x e a quantidade de elementos de y. Conclumos quey est em funo de x e encontraremos a seguinte funo:y = f(x) = 2xPara encontrar qual a quantidade existente de elementos aps o trmino do 10O. minuto,basta encontrarmos o valor de y, quando x = 10.f(10) = 210 = 1024DEFINIO'Chama-se funo exponencial qualquer funo f de IR em IR dada por uma lei da formaf(x) = ax, onde a um nmero real dado, a > 0ea 1".GRFICO DA FUNO EXPONENCIALVamos construir o grfico relativo ao desenvolvimento do micrbio descritoacima:y1684211 2 3 4 x (mi n)Como no h tempo negativo, o grfico existir apenas para x 0.Exemplo:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comVamos construir num mesmo sistema cartesiano os grficos das funesf(x) = 3xe g(x) =x31

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..x f(x) g(x)-3 1/27 27-2 1/9 9-1 1/3 30 1 11 3 1/32 9 1/93 27 1/27yxg(x) =x31

,_

f( x) = 3x0Observaes:vA funofumafunocrescente, poisconformeosvaloresdexcrescemomesmo acontece com os valores de y.vAfuno g uma funo decrescente, pois conforme os valores de x crescem, osvalores de y diminuem.vf(x) = ax crescente, pois a = 3 > 1vg(x) = ax decrescente, pois 0 < a =31< 1LOGARITMOSVimos que pararesolver equaesexponenciais, devemoster dosdoisladosdaigualdade basesiguaisnaspotncias. Entretantoequaesexponenciais do tipo 2x=6,se torna impossvel de resolve-las utilizando os artifcios estudados at aqui.Querendoresolver aequao2x=6, noconseguiremosreduzir todasaspotnciasmesma base. Neste caso, como 4 < 6 < 8, ento 4 < 2x < 8, ou seja, 22 < 2x < 23 e apenaspodemos garantir que 2 < x < 3. Para resolver equaesexponenciais onde impossvelreduzir as duas potncias mesma base, estudaremos agora os logaritmos.DEFINIOPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comChama-se logaritmo de a na base b, e se indica por logba, o expoente x ao qual se deveelevar b para se obter a, observe:logba = x bx = aonde:a logaritmando e a > 0b base do logaritmo e b > 0 e b 1x logaritmoExemplos: vlog24 = x 2x= 4 2x= 22 x = 2cologaN = logaN1= - logaNANTILOGARITMODa nomenclatura apresentada logaN = decorre que N (logaritmando) o antilogaritmo de na base a.logaN = antiloga = N

Exerccio ResolvidoR1) Calcule o valor de y = log44 + log71 + 2.log10.Resoluo:log44 = 1log71 = 0log10 = log1010 = 1Logo: y = 1 + 0 + 2.1 = 3PROPRIEDADES DOS LOGARITMOSObserve a igualdade:log28 + log24 = log232Podemos escrever log232 como sendo log2(84), logo:log28 + log24 = log2(8 4)Isto no uma mera coincidncia e sim, uma das propriedades operatrias doslogaritmos.LOGARITMO DO PRODUTOloga(x . y) = logax + logayLOGARITMO DO QUOCIENTEloga(yx) = logax + logayLOGARITMO DA POTNCIAlogaxn = n . logaxExerccio ResolvidoPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comR2) Sabendo-se que log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 5 = 0,6990, determine:a) log 30 b) log 25 c) log 2,5 d) log cos 45Resoluo:log 30 = log(5 . 6)= log 5 + log 6= 0,6990 + log(2 . 3)= 0,6990 + log 2 + log 3= 0,6990 + 0,3010 + 0,4771= 1,4771b) log 25 = log 52= 2 . log 5= 2 . 0,6990= 1,3980c) log 2,5 = log (25)= log 5 log 2= 0,6990 0,3010= 0,3980d) log cos45 = log22= log 2 log 2= log 21/2 0,3010= .log 2 0,3010= .0,3010 0,3010= - 0,1505ou ainda:log22= log (21/2.2-1)= log (21/2 1)= log 2-1/2= - .log 2= - .0,3010= - 0,1505MUDANA DE BASE:Hsituaesemquepodemosnosdeparar comsistemasdelogaritmoscombases distintase paraaplicarmosaspropriedadesoperatriasdoslogaritmosdevemoster logaritmos com bases iguais.Afrmulaabaixonos auxiliara converter abasedologaritmo emumabasemaisconveniente.PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comlogba =bclogaclogExerccios ResolvidosR3) Se log2 = 0,3elog3 = 0,48, qual o valor de log23?Resoluo:Temos olog2 eo log3, que aparecemtodosna basedez, pede-se o log de3 na base2,portanto devemos converter log23 para um log na base dez:log23 =log2log3=0,30,48= 1,6R4) Qual o valor de y = log32 . log43 . log54 . log65?Resoluo:y = log32 .4 log3 log33.5 log4 log33.6 log5 log33cancelando os logs obteremos:y = log32 .6 log13 y = log32 .3 log 2 log13 3+y =3 log 2 log2 log3 33+ou y = 1 +3 log2 log33FUNO LOGARTMICADEFINIO"Chama-se funo logartmica qualquer funo f de IR*+em IR dada por uma lei da formaf(x) = logax,, onde a um nmero real dado, a > 0ea 1".GRFICO DA FUNO LOGARTMICA1-) Vamos construir o grfico da funo y = log2x, definida para x > 0:x y = log2x813211 0PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com2 14 28 31 2 4xy2102-) Vamos construir agora, o grfico da funo y = x log21, definida para x > 0:xy =x log218342211 0 1 231 2 4xy2101Observaes: A funo f(x) = logax ser:vCrescente quando a > 1 Grfico 1vDecrescente quando 0 < a < 1 Grfico 2EQUAES LOGARTMICASPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comRegra:2 1 2 a 1 ax x x log x log Exemplo1: Vamos resolver a seguinte equao logartmica:log2(2x 5) = log23Observequetemosnologaritmandodoprimeiromembroumaexpresso2x 5edeacordo com a condio de existncia de um logaritmo devemos sempre nologaritmandoum nmero positivo, portanto:C.E.: 2x 5 > 0UmavezquetenhamosencontradaaC.E. resolveremosaequaopelaregradescritaacima (a regra somente vlida quando as bases dos dois logaritmos forem iguais).log2(2x 5) = log23 2x 5 = 3 2x = 8 x = 4Substituindo na C.E.:2 . 4 5 = 8 5 = 3 > 0S = {4}Exerccio ResolvidoR4) Resolva a equao log2(x 3) + log2(x + 3) = 4.Resoluo:1O.Passo) C.E. ' > > +> > 3 x 0 3 x3 x 0 3 x, comotodonmeroquemaior que3, tambmmaior que 3, conclumos da Condio de Existncia: x > 3.2O.Passo) Regra para aplicarmos a regra prtica para a resoluo de equaeslogartmicas devemos ter apenas um logaritmo, portanto se faz necessrio a aplicao dapropriedade:log2(x 3) + log2(x + 3) = 4 log2[(x 3).(x + 3)] = 4 log2(x2 9) = 4A partir daqui podemos utilizar a definio para a resoluo da equao:log2(x2 9) = 4 x2 9 = 24 x2 = 16 + 9 x2 = 25x = 5Da C.E. x = 5 > 3Logo: S = {5}INEQUAES LOGARTMICASRegra:'< < > >2 12 12 a 1 ax x 1 a 0x x 1 ax log x logExemplo: Vamos resolver a inequao:log3(2x 5) < log3xPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com1O.Passo) C.E. '>> > 0 x35x 0 5 x 2d) log5(2x 3) = 2e) log2(x2 + x 4) = 3P9) Resolva as seguintes equaes:a) log2(x + 4) + log2(x 3) = log218b) 2 log x=log 2+ log(x + 4)GABARITO - LOGARITMOSP1) a) 2 b) 7 c) 4d) 3 e)34f)25 g)23P2) a) A =23b) B =21 c) C = 0P3) BP4) a) a + b b) 2a c) a + 1 d)21a e) a f) 1 ag) 1 a + bP5) 5P6)23P7)b a2a - 1+P8) a) S = {2} b) S = {4} c) S = {1} d) S = {14}e) S = {4; 3}P9) a) S = {5} b) S = {4}PROBABILIDADEINTRODUOEmum jogo, dois dados so lanados simultaneamente, somando-se, emseguida, ospontosobtidosnafacesuperior decadaumdeles. Ganhaquemacertar a soma desses pontos.Antes deapostar, vamosanalisar todos os possveis resultados quepodemocorreremcada soma. Indicandoosnmerosdafacesuperiordosdadospelopar ordenado(a, b), ondeaonmerodoprimeirodadoebonmerodosegundo, temos as seguintes situaes possveis:a + b = 2, no caso (1, 1);a + b = 3, nos casos (1, 2) e (2, 1);PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.coma + b = 4, nos casos (1, 3), (2, 2) e (3,1);a + b = 5, nos casos (1,4), (2,3), (3, 2) e (4, 1)a + b = 6, nos casos (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2) e (5, 1);a + b = 7, nos casos (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4,3), (5, 2) e (6, 1);a + b = 8, nos casos (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) e (6, 2);a + b = 9, nos casos (3, 6), (4, 5), (5, 4) e (6,3);a + b = 10, nos casos (4, 6), (5, 5) e (6, 4);a + b = 11, nos casos (5, 6) e (6,5);a + b = 12, no caso (6, 6). evidente que, antes de lanar os dois dados, no podemos prever oresultado "soma dos pontos obtidos"; porm, nossa chance de vencer sermaior se apostarmos em a + b = 7, pois essa soma pode ocorre de seis maneirasdiferentes.Situaes como essa, onde podemos estimar as chances de ocorrer umdeterminado evento, so estudas pela teoria das probabilidades. Essa teoria,criada a partir dos "jogos de azar", hoje um instrumento muito valioso eutilizado por profissionais de diversas reas, tais como economistas,administradores e bilogos.ESPAO AMOSTRALUm experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nasmesmas condies, chamado experimento aleatrio.Chamamos Espao Amostral ao conjunto de todos os resultados possveis deum experimento aleatrio. Dizemos que um espao amostral equiprovvelquando seus elementos tm a mesma chance de ocorrer.No exemplo acima temos, como espao amostral 36 possibilidades, para aocorrncia de quaisquer eventos.No exemplo de uma moeda lanando-se para cima, a leitura da face superior podeapresentar o resultado "cara" (K) ou "coroa" (C). Trata-se de um experimentoaleatrio, tendo cada resultado a mesma chance de ocorrer.Neste caso, indicando o espao amostral por S1 e por n(S1) o nmero de seuselementos, temos:S1 = {K , C} e n(S1) = 2Se amoeda fosselanada duas vezes, teramosos seguintesresultados: (K, K),(K, C), (C, K), (C, C).Neste caso, indicando o espao amostral por S2 e por n(S2) o nmero de seuselementos, temos:S2 = {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)} e n(S2) = 4EVENTOSPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comChama-se evento a qualquer subconjunto de umespao amostral. Considerandoo lanamento de um dado e a leitura dos pontos da face superior, temos o espaoamostral:S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} en(S) = 6Umexemploquepodemoselucidar deevento"ocorrnciadenmeropar".Indicando esse evento por A, temos:A = {2, 4, 6} e n(A) = 3PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTOAinda levando-se em considerao o exemplo acima, "ocorrncia de nmero par",no lanamento de um dado, teremos:2163) S ( n) A ( n) A ( P Conclu-se que a probabilidade de o evento "ocorrncia de nmero par" ocorrer 50% ou. Isto querdizer que aolanarmosumdadoao acaso teremos 50% dechance de obter um nmero par, na face do dado.Voltandoaonossoprimeiroexemplo, onde numjogo, ganhaquemconseguirasoma das faces. Vimos que a probabilidade de ocorrer o nmero 7 era maior, poistnhamosdiversasmaneirasdeocorrer. Chamaremosoevento"ocorrnciadasoma 7" entre os dois dados, de E:n(E) = 6;n(S) = 36.portanto:61366) S ( n) E ( n) E ( P , temos ento que 16,7% a probabilidade do evento ocorrer.Exerccios ResolvidosR1) Qual a probabilidade do nmero da placa de um carro ser um nmero par?Resoluo:Paraonmerodaplacadeumacarroser umnmeropar, devemoster umnmero par no algarismo das unidades, logo o espao amostral (S) e o evento (E)sero:S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} n(S) = 10E = {2, 4, 6, 8, 0} n(E) = 5PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comPortanto a Probabilidade de ocorrer o referido evento ser:21105) S ( n) E ( n) E ( P Resposta: 50% ou R2) Onmerodachapadeumcarro par. A probabilidadede o algarismodasunidades ser zero :a )101b )21c )94d )95e )51Resoluo:Seaplacadeumcarroumnmeropar, ento, independentedonumerodealgarismosque tenha aplacao algarismodasunidadesser, necessariamente,um nmero par.O espao amostral, neste caso:S = {2, 4, 6, 8, 0} n(S) = 5Oevento "ocorrncia dozero", logospodemos ter ocupando oltimoalgarismo o nmero zero:E = {0} n(E) = 151) S ( n) E ( n) E ( P Resposta: 20% ou51PROBABILIDADE DA UNIO DE DOIS EVENTOSConsideremos dois eventos A e Bde um mesmo espao amostral S.Da teoria dos conjuntos temos:n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)Dividindo os dois membros dessa igualdade por n(S), temos:P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)A probabilidade da unio de dois eventos A e B igual soma das probabilidadesdesses eventos, menos a probabilidade da interseco de A com B."Observao: se A e B forem disjuntos, isto :se A B=, ento P(A B) = P(A) + P(B).PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comNeste caso, ainda, os eventos so ditos Eventos Independentes.Exerccio ResolvidoR3) No lanamento de um dado, qual a probabilidade de se obter o nmero 3 ouum nmero mpar?Resoluo:Espao amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6evento "nmero 3" : A = {3}e n(A) = 1evento "nmero mpar" : B = {1,3,5} e n(B) = 3A B= {3} {1,3,5} = {3}, ento n(AB) = 1Logo:P(A B) = 1/6 +3/6- 1/6= Resposta: 50% ou Observao:AsomadaprobabilidadedeocorrerumeventoAcomaprobabilidadedenoocorrer o evento A igual a 1:p(A) + p(A) = 1Assim, se a probabilidade de ocorrer um evento A for 0,25 (41), a probabilidade de no ocorrer oevento A 0,75 (43).EXERCCIOSP1) Joga-se um dado "honesto" de seis faces, numeradas de 1 a 6, l-se o nmeroda face voltada para cima. Calcular a probabilidade de se obter:a) o nmero 2 b) o nmero 6c) um nmero par d) um nmero mpare) um nmero primoPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comP2) Consideretodososnmerosdecincoalgarismosdistintosobtidosatravsdos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses nmeros, ao acaso, qual aprobabilidade de ele ser um nmero mpar?P3) Qual a probabilidade de uma bola branca aparecer ao retirar-se uma nicabola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis?P4) Considere todos os anagramas da palavra LONDRINA que comeam eterminam pela letra N. Qual a probabilidade de se escolher ao acaso um dessesanagramas e ele ter as vogais juntas?P5) A probabilidade de ocorrerem duas caras ou duas coroas no lanamento deduas moedas :a)41b)43c) 1 d) 2 e)21P6) Em uma indstria com 4.000 operrios, 2.100 tm mais de 20 anos, 1.200 soespecializados e 800 tm mais de 20 anos e so especializados. Se um dosoperrios escolhido aleatoriamente, a probabilidade de ele ter no mximo 20anos e ser especializado :a )101b )52c)83d )8527e )187P7) Um prmio vai ser sorteado entre as 50 pessoas presentes em uma sala. Se40% delas usam culos, 12 mulheres no usam culos e 12 homens os usam, aprobabilidade de ser premiado um homem que no usa culos :a )254b)256c )258d)259e)52P8) Dois jogadores A e B vo lanar um par de dados. Eles combinam que, se asoma dos nmeros dos dados for 5, Aganha, e se essa soma for 8, B quemganha. Os dados so lanados. Sabe-se que A no ganhou. Qual a probabilidadede B ter ganho?a )3610b )324c )365d )355PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.come) no se pode calcular sem saber os nmeros sorteados.P9) Se dois prmios iguais forem sorteados entre 5 pessoas, sendo duasbrasileiras e trs argentinas, qual ser a probabilidade de:a) serem premiadas as duas brasileiras?b) ser premiada pelo menos uma argentina?c) serem premiadas duas argentinas?P10) Numa caixa existem 5 balas de hortel e 3 balas de mel. Retirando-sesucessivamente e sem reposio duas dessas balas, qual a probabilidade de queas duas sejam de hortel?GABARITOP 1 ) a )61b )61c )21d )21e )21P 2 )52P 3 )31P 4 )51P 5 ) E P 6 ) A P 7 ) DP 8 ) BP9 ) a )101b )109c )103P1 0)169NOES DE EST AT STI CAINTRODUOEm anos de eleies inevitvel nos depararmoscom pesquisas eleitorais, como porexemplo, quem est em primeiro lugar nas pesquisas, ou em segundo, mas ser que todos oseleitores foram consultados? Com certeza no, pois h mtodos maisconvenientes, comopor exemplo, considera- se uma amostra dos eleitores e a part ir desta amost ra se concluipara o restante dos eleitores.Em maro de 1983, o deputado federal Dante de Oliveira, atendendo a uma forte presso dopovo brasileiro, apresentou uma proposta de emenda Const it uio, que pretendiaPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comrestabelecer aseleies di retas para a Presidncia da Repblica. A expectat iva em tornodessa votao deu origem maior manifestao popular j conhecida neste pas, que f icouconhecida como " Diretas j " .Em abril de 1984, cerca de 500 mil pessoas estavam na Praa da Candelria, no Rio deJaneiro e mais1 milho no Vale do Anhangaba em So Paulo. A relao desseacontecimento com a M atemt ica, a forma como foram contadas as pessoas nestes lugares.Conta-se a quant idade de pessoas em um certo local, e divide- se pela rea ocupada por essaspessoas, em seguida, multiplica-se pela rea total ocupada, obtendo assim o valor est imadoque bem prximo do total.ROLAs notas de 20 alunos de uma t urma de oitava srie esto abaixo relacionadas:5,9 - 5,8 - 3,4 - 7,4 - 4,0 - 7,3 - 7,1 - 8,1 - 3,7 - 7,9 - 7,6 - 7,7 - 5,6 - 3,2 - 6,7 - 7,4 - 8,7 - 2,1 - 9,6- 1,3Paraencont rar mos oRol destadistribuiodevaloresbastacolocarmos os valores emordem crescente ou decrescente: v1,3 - 2,1 - 3,2 - 3,4 - 3,7 - 4,0 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 6,7 - 7,1 - 7,3 - 7,4 - 7,4 - 7,6 - 7,7 - 7,7 - 8,1 -8,7 - 9,6v9,6 - 8,7 - 8,1 - 7,7 - 7,7 - 7,6 - 7,4 - 7,4 - 7,3 - 7,1 - 6,7 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 4,0 - 3,7 - 3,4 - 3,2 -2,1 - 1,3CLASSESQualquer intervalo real que contenha um rol chamado de classe. Considerando a relaode notas especif icadas acima podemosestabelecer as seguintes classes de intervalos:vo intervalo [1, 2[ contm a nota 1,3vo intervalo [2, 1[ contm a nota 2,1vo intervalo [2, 3[ contm as notas 3,2; 3,4; 3,7E assim sucessivamente.Observao:A amplit ude a diferena entre o maior e o menor elemento de uma distribuio, intervaloou classe.PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comExemplos: v 9,6 - 1,3 = 8,5 amplit ude da dist ribuio das notas. v A amplit ude da classe [7, 8[ 7,7 - 7,1 = 0,6.DISTRIBUIO DE FREQNCIASFREQNCIA ABSOLUTA (fi) a quant idade de vezes que um determinado valor aparece numa classe. Observe atabela abaixo, referente distribuio das notas:CLASSES Freqncia Absoluta (fi)[1, 2[ 1[2, 3[ 1[3, 4[ 3[4, 5[ 1[5, 6[ 3[6, 7[ 1[7, 8[ 7[8, 9[ 2[9, 10[ 1TOTAL 20Da tabela podemos concluir que, por exemplo, 7 alunos tiraram notas ent re 7,0e8,0.FREQNCIA ABSOLUTA ACUMULADA (fa)A dist ribuio de freqnciasabsolutas pode ser completada com mais uma coluna,chamada freqnciasabsolutas acumuladas (fa), cujos valores so obt idos adicionando acada f reqncia absoluta os valores das f reqncias anteriores.CLASSES Freqncia Absol uta (fi) Freqncia Absoluta Acumulada (fa)[1, 2[ 1 1[2, 3[ 1 2[3, 4[ 3 5[4, 5[ 1 6[5, 6[ 3 9PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com[6, 7[ 1 10[7, 8[ 7 17[8, 9[ 2 19[9, 10[ 1 20T OT AL(n) 20FREQNCI A REL AT I V A (f% )FREQNCI A REL ATI V A A CUM UL ADA (fa% )A freqncia relativa obt ida at ravs do quociente:onde fi representa a f reqncia absoluta de um dado valor ou classe, e n representa a somade todos as f reqncias absolutas.A f reqncia relat iva acumulada obt ida de modo anlogo f reqncia absolutaacumulada, mas agora ut ilizando a f reqncia relat iva.Acrescentando mais duas colunas na tabela:CLASSES F.A. ( fi) F.A.Al . (fa) F. R. (f% ) F. R. A. ( fa% )[1, 2[ 1 1 5% 5%[2, 3[ 1 2 5% 10%[3, 4[ 3 5 15% 25%[4, 5[ 1 6 5% 30%[5, 6[ 3 9 15% 45%[6, 7[ 1 10 5% 50%[7, 8[ 7 17 35% 85%[8, 9[ 2 19 10% 95%[9, 10[ 1 20 5% 100%TOTAL( n)20100%F.A. ( fi) =Freqncia Absol utaF.A.A. ( fa)= FreqnciaAbsoluta AcumuladaF. R. ( f% ) = FreqnciaRelativaF. R. A. ( fa%) = FreqnciaRelati vaAcumuladaNota:Esta tabela chamada de Tabela de Distribuio de Fr eqncia.REPRESENTAO GRFICAPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comA tabela de distribuio de freqncia do exemplo anterior pode ser representadagraficamente:GRFICO DE LINHA[1,2] [2,3] [ 3,4] [4,5] [5,6] [6,7] [7,8] [8,9] [9,10]CL ASSESNOT ASFREQNCI ANmero deAl unosPara a construo deste grfico, marcam-se os pontos determinados pelasclasses e as correspondentes freqncias, ligando-os, a seguir, por seguimentosde reta.GRFICO DE BARRASVamos agora construir um diagrama de barras verticais, e paratanto, basta disporas freqncias num eixo vertical:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comFREQNCI ANmer o deAl unos[1,2] [2,3] [3,4] [4,5] [5,6] [6,7] [7,8] [8,9] [9,10]CL ASSESNOT ASGRFICO DE SETORESPara a construo deste grfico vamos dividir um crculo em setores comngulos proporcionais s freqncias. No nosso caso j temos a freqnciarelativa:[1, 2[ 5% de 360O = 0,05 360O = 18O[2, 3[ 5% de 360O = 0,05 360O = 18O[3, 4[ 15% de 360O = 0,15 360O = 54O[4, 5[ 5% de 360O = 0,05 360O = 18O[5, 6[ 15% de 360O = 0,15 360O = 54O[6, 7[ 5% de 360O = 0,05 360O = 18O[7, 8[ 35% de 360O = 0,35 360O = 126O[8, 9[ 10% de 360O = 0,10 360O = 36O[9, 10[ 5% de 360O = 0,05 360O = 18OPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com5% 5%5%5%5%10%15%15%35%HISTOGRAMAFr eqncia(Nmer o de alunos)ClassesNotasMEDIDAS DE POSIOMDIA ARITMTICA (x)Para encontrar a mdia aritmtica entre valores, basta somar todos eles edividir pela quantidade que aparecem. Matematicamente:ou usando smbolos:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comMODA (Mo)Considere a distribuio abaixo referente s idades de 11 pessoas integrantes deum movimento popular:16 - 19 - 18 - 14 - 19 - 16 - 14 - 14 - 15 - 20 - 14Repare que a idade de maior freqncia 18 anos, portanto dizemos que a modadesta amostra 14 anos.Mo = 14 anosExemplos:v3 - 7 - 4 - 6 - 9 - 6 - 4 - 2 - 1 - 4 Mo = 4 v5 - 3 - 2 - 8 - 8 - 9 - 5 - 1 - 5 - 8 Mo = 8Mo' = 5Esta amostra considerada bimodal por apresentar duas modas.v1 - 9 - 8 - 6 - 4 - 3 - 2 - 7 - 5 Esta amostra no apresenta moda, repare quetodos os elementos apresentam a mesma freqncia.MEDIANA (Md)Considerando ainda, o mesmo exemplo anterior e dispondo as idades em roltemos:14 - 14 - 14 - 14 -15 - 16 - 16 - 18 - 19 - 19 - 20O termo central desse rol chamado mediana da amostra:Md = 16 anosExemplo:vDispondo em rol as estaturas de seis atletas de um colgio temos:1,68 - 1,68 - 1,70 - 1,72 - 1,72 - 1,74Agora temos dois termos centrais, pois uma distribuio com um nmero par deelementos, toda vez que isso ocorrer, a mediana ser a mdia aritmtica dos doistermos:Md = 1,71mObservao:O rol pode ser disposto na sua forma crescente ou decrescente, pois o(s)PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comtermo(s) central(is) ser(o) o(s) mesmo(s) nos dois casos.MEDIDAS DE DISPERSOObserve as notas de trs turmas de um curso de espanhol e suas respectivasmdias:vTurma A: 5 - 5 - 5 - 5 - 5 xA = 5vTurma B: 4 - 6 - 5 - 6 - 4 xB = 5vTurma C: 1 - 2 - 5 - 9 - 8 xC = 5Se fssemos nos basear apenas nas mdias aritmticas de todas asturmas, diramos que todas apresentam desempenho igual, no entantoobservamospelasnotasdosintegrantesque issonoverdade, da vemanecessidade de se definir uma nova medida que avalie o grau de variabilidade daturma, de tal forma que a anlise dos dados no fique comprometida.DESVIO ABSOLUTO MDIO (Dam)Nas notas acima podemos encontrar qual o desvio de cada turma, paratanto bastaefetuar a diferena entre uma nota e a mdia, nessa ordem. Omdulo dessadiferena chamado desvio absoluto. Logo, a mdia aritmtica desses desviosabsolutos chamada Desvio Absoluto Mdio:O desvio absoluto mdio mede o afastamento mdio de cada turma com relao amdia. Assim, temos que a turma C apresenta uma variao muito grande damdia, a turma B um afastamento moderado e Ano apresenta afastamento.Matematicamente:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comVARINCIA (S2)A varincia tambm pode apresentar esse grau de variabilidade entre oselementos de uma distribuio. Define-se essa medida como a mdia aritmticaentre os quadrados dos desvios dos elementos da amostra:Em smbolos:DESVIO PADRO (S)Muitas vezes as amostras esto relacionadas com unidades de medidasque ao serem interpretadas, poder causar algumas dificuldades, como porexemplo se os elementos da amostra representam as estaturas em metros, avarincia representar um valor em m2 (unidade de rea); e portanto como aunidade no tem a ver com as medidas dos elementos da amostra, no serconveniente utilizar a varincia. Por dificuldades como essa que foi definido odesvio padro que nada mais que a raiz quadrada da varincia.A =0= 0B =0,8 0,89C =10 3,16PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comObservao:Apresentamos trs formas distintas de se analisar as disperses entre asamostras, em cada caso analisaremos da forma que mais convir.EXERCCIOSP1) Que restos pode dar na diviso por 5, um nmero que no seja divisvel por 5?P2) Qual o menor nmero que se deve somar a 4831 para que resulte um nmerodivisvel por 3 ?P3) Qual o menor nmero que se deve somar a 12318 para que resulte um nmerodivisvel por 5 ?P4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas. Se elas forem contadas de 9 em 9no sobra nenhuma e se forem contadas de 11 em 11 sobra uma. Quantas so asbolinhas?P5)O conjuntoA formado por todos os divisores de 10 ou 15 ; ento podemosafirmar que o conjunto A tem :a) 5 elementos b) 6 elementosc) 7 elementos d) 8 elementosP6) Qual omenornmeropeloqual sedevemultiplicar1080paraseobterumnmero divisvel por 252?P7) Qual omenornmeropeloqual sedevemultiplicar2205paraseobterumnmero divisvel por 1050?P8) Assinalar a alternativa correta.a) O nmero 1 mltiplo de todos os nmeros primosb) Todo nmero primo divisvel por 1c) s vezes um nmero primo no tem divisord) Dois nmeros primos entre si no tem nenhum divisorP9) Assinalar a alternativa falsa:a) O zero tem infinitos divisoresb) H nmeros que tem somente dois divisores: so os primos;c) O nmero 1 tem apenas um divisor: ele mesmo;d) O maior divisor de um nmero ele prprio e o menor zero.P10) Para se saber se um nmero natural primo no:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.coma) Multiplica-se esse nmero pelos sucessivos nmeros primos;b) Divide-se esse nmero pelos sucessivos nmeros primos;c) Soma-se esse nmero aos sucessivos nmeros primos;d) Diminu-se esse nmero dos sucessivos nmeros primos.P11) Determinar o nmero de divisores de 270.P12) Calcule o valor das expresses abaixo:a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7)b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] [ 3 + (12 - 5 x 2) ]e) [150 (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] 5 + 12 x 2f) ( 4 + 3 x15) x( 16 - 22 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) 4] 13P13) Calcular os dois menores nmeros pelos quais devemos dividir 180 e 204, afim de que os quocientes sejam iguais.a) 15 e 17 b) 16 e 18c) 14 e 18 d) 12 e16P14) Deseja-se dividir trs peas de fazenda que medem, respectivamente, 90, 108e 144 metros, em partes iguais e do mximo tamanho possvel.Determinar ento, o nmero das partes de cada pea e os comprimentos decada uma.9, 8, 6 partes de 18 metros8, 6, 5 partes de 18 metros9, 7, 6 partes de 18 metros10, 8, 4 partes de 18 metrose) e) e)P15) Quer-se circundar de rvores, plantadas mxima distncia comum, umterreno de forma quadriltera. Quantas rvores so necessrias, se os lados doterreno tem 3150,1980, 1512 e 1890 metros?a) 562 rvores b) 528 rvoresc) 474 rvores d) 436 rvoresP16) Numarepblica, oPresidentedevepermanecer 4anosemseucargo, ossenadores6 anoseos deputados3 anos. Em1929 houve eleiesparaos trscargos, emque anodevero ser realizadas novamente eleies para essescargos?P17)Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada rodatemumdenteesmagador. Seemuminstante esto emcontatoosdoisdentesesmagadores, depois de quantas voltas repete-se novamente o encontro?P18) Doisciclistaspercorremumapistacircularnomesmosentido. Oprimeiropercorreem36segundos, eosegundoem30segundos. Tendoosciclistaspartidojuntos, pergunta-se;depois dequantotempose encontraro novamenteno ponto de partida e quantas voltas daro cada um?PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comP19) Umaengrenagemcomdoisdiscosdentadostemrespectivamente60e75dentes, sendo que os dentes so todos numerados. Se numdeterminadomomento o dento n 10 de cada roda esto juntos, aps quantas voltas da maior,estes dentes estaro juntos novamente?P20) Sabendo-sequeoM.M.C. entre dois nmeroso produtodeles, podemosafirmar que:a) os nmeros so primosb) eles so divisveis entre sic) os nmeros so primos entre sid) os nmeros so mparesP21) DaestaorodoviriadeSoPaulopartemparaSantos, nibusacada8minutos; para Campinas a cada 20 minutos e para Taubat a cada 30 minutos. s7horasdamanhpartiramtrsnibusparaessascidades. Pergunta-se:aquehoras do dia, at s 18 horas haver partidas simultneas?P22) NoaeroportodeSantosDumont partemaviesparaSoPauloacada20minutos, para o Sul do pas a cada 40 minutos e para Braslia a cada 100 minutos;s 8 horas da manh um embarque simultneo para partida. Quais so as outrashoras, quando os embarques coincidem at as 18 horas.P23) Para ladrilhar 5/7deumptioempregando-se46.360 ladrilhos. Quantosladrilhos iguais sero necessrios para ladrilhar 3/8 do mesmo ptio?P24) Asomadedoisnmeros120. Omenor2/3domaior. Quaissoosnmeros?P25) Sueli trabalha aps as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu umapea de linho de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da pea,depois 1/3 do que sobrou. Quantos metros restaram por vender?P26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus trs filhos. O primeiro recebeu 3/4do quetocouao segundo eeste, 2/3doque tocouaoterceiro. Quantorecebeucada um ?P27) Umnegociantevendeuumapeadefazendaatrsfregueses. Oprimeirocomprou 1/3 da pea e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da pea e mais 12metros e o terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a pea?P28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro,1/7. Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual opreo do terreno ?P29)Paulogastou 1/3 daquantia que possua e, em seguida, 3/5doresto. Ficoucom R$80,00. Quanto possua?PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comP30) Qual o nmero que multiplicado por 1/5 d 7 3/4?P31) Umalpinistapercorre 2/7deumamontanhae emseguidamais3/5dorestante. Quanto falta para atingir o cume?P32) Qual onmeroqueaumenta1/8deseuvalorquandoseacrescentam3unidades?P33) Umtrempercorre 1/6 docaminhoentre duascidadesem1hora e30minutos. Quanto tempo leva de uma cidade a outra uma viagem de trem?P34)Lia comeu 21/42 deuma ma e La comeu 37/74 dessa mesma ma. Qualdas duas comeu mais e quanto sobrou?P35)Dividindo os 2/5 de certo nmeropor 2/7 d para quociente 49. Qual essenmero?P36)Um pacote com 27 balas dividido igualmente entre trs meninos. Quantasbalas couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e osegundo deu do que possua ao terceiro?P37) Uma heranadeR$70.000,00distribudaentre trsherdeiros. Oprimeirorecebe , o segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual recebeu a maior quantia?P38) Umatorneiralevasetehorasparaencher umtanque. Emquantotempoenche 3/7 desse tanque?P39) R$120,00 sodistribudos entre cincopobres. Oprimeiro recebe , osegundo1/5doquerecebeuoprimeiroeosrestantesrecebempartesiguais.Quanto recebeu cada pobre?P40) Em um combate morrem 2/9 de um exrcito, em novo combate morrem mais1/7doquerestoueaindasobram30.000homens. Quantossoldadosestavamlutando?P41) 2/5dos 3/7 deumpomarsolaranjeiras;4/5 dossopereiras;haindamais 24 rvores diversas. Quantas rvores h no pomar?P42) Umcorredordepoisde ter decorrido os 3/7de umaestrada faz maiscincoquilmetros eassimcorre 2/3do percursoquedeve fazer. Quantopercorreuocorredor e qual o total do percurso, em quilmetros?P43) Efetuar as adies:1) 12,1 + 0,0039 + 1,982) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39P44) Efetuar as subtraes:1) 6,03 - 2,9456PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com2) 1 - 0,34781P45) Efetuar as multiplicaes1) 4,31 x 0,0122) 1,2 x 0,021 x 4P46) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta.1) 56 por 17 a menos de 0,012) 3,9 por 2,5 a menos de 0,13) 5 por 7 a menos de 0,001P47) Em uma prova de 40 questes, Luciana acertou 34. Nestas condies:Escreva a representao decimal do nmero de acertos;Transformar numa frao decimal;Escreva em % o nmero de acertos de Luciana.d) d) d)P48) Calcular ovalordaseguinteexpressonumricalembrandoaordemdasoperaes: 0,5 + ( 0,05 0,005).P49) Quando oprofessor pediua Toninho que escrevesse afraodecimal querepresenta o nmero 0,081 na forma de frao decimal, Toninho escreveu1081; Eleacertou ou errou a resposta.P50) Dentre os nmeros 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, quais tem o mesmo valor?P51) corretoafirmar que dividir804por 4e multiplicaroresultado por 3domesmo resultado que multiplicar 804 por 0,75?P52) Um nmero x dado por x = 7,344 2,4. Calcule o valor de 4 - x .P53) Uma indstria A, vende suco de laranja em embalagem de 1,5 litro que custaR$7,50. UmaindstriaBvendeomesmosucoemembalagemde0,8litroquecusta R$ 5,40. Qual das duas vende o suco mais barato?P54) Em certo dia, no final do expediente para o pblico, a fila nica de clientes deum banco, temum comprimento de 9 metros em mdia, e a distncia entre duaspessoas na fila 0,45m.Responder:a) Quantas pessoas esto na fila?b) Se cada pessoa, leva em mdia 4 minutos para ser atendida, em quanto temposero atendidas todas as pessoas que esto na fila?GABARITO - CONJUNTOS NUMRICOSPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comP1) 1,2,3,4P2) 2P3) 2P4) 45P5) BP6) 7P7) 10P8) BP9) DP10) BP11) 16P12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357f) 682P13) AP14) BP15) CP16) 1941P17) Duas voltas da menor ou trs voltas da menorP18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundosP19) Aps 4 voltasP20) CP21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17hP22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18hP23) 24.339P24) 72 e 48P25) 12 metrosPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comP26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00P27) 90 metrosP28) R$420.000,00P29) R$300,00P30) 155/4P31) 2/7P32) 24P33) 9 hP34) Cada comeu e no sobrou nadaP35) 35P36) 6,6,15P37) R$35.000,00P38) 3horasP39) 1- R$60,00 , 2- R$12,00 ,3 4 e 5 R$16,00P40) 45.000P41) 105P42) 14 quilmetros e 21 quilmetrosP43) 1) 14,0839; 2) 462,791P44) 1) 3,0844; 2) 0,65219;P45) 1) 0,05172; 2) 0,1008;P46) 1) 3,29; 2) 1,5; 3) 0,714;P47) a) 0,85 b)10085c) 85%P48) 0,05P49) Errou, a resposta 81/1000PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comP50) 2,03; 2,030e 2,0300P51) Nos dois casos correto afirmar, pois o resultado 603P52) 13,6256P53) a indstria AP54) a) 20 pessoas b) 80 minutos.GABARITO - ESTATSTICAP1)Conjunto A- a) 8 b) 6 c) 2,4 d) 8e) 2,8 aprox.Conjunto B- a) 8 b) 7 c) 2,4 d) 8e) 2,8 aprox.P2)a) Conjunto A X = 9 DP 1,51Conjunto B X = 11 DP 1,53Conjunto C X = 7 DP 0,75b) O Conjunto Btema maior disperso porque tem o maior desvio padroP3) Mquina 1, pois tema melhor mdia e o menor desvioP4) Turma A. Desvio menor significa que, de modo geral, as notas estomais prximas da mdia.P5) Uma distribuio possvel :Classe (m) fif%[1,69; 1,76[ 3 18,75%[1,76; 1,83[ 5 31,25%[1,83; 1,92[ 5 31,25%[1,92; 1,93[ 3 18,75%P6)Grfico de Barras VerticaisPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com45025015010050F reqnci aNumerao 1 2 3 4 5Grfico de Linha45025015010050F reqnci aNumerao 1 2 3 4 5Grfico de Setores15%215%325%445%510%P7) I-) D II-) AP8) a) 7 alunos b) 20 alunos c) 25%P9) a) 700 garrafas b) aproximadamente 57,14%P10) CP11) DPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comP12) 20,2 anosP13) 8P14) a) 1 520 candidatosb) no, pois a nota mdia, nessa questo, :x= 2,30 e portanto,x> 2.P15) a) Mo = 2 b) Md = 2P16) 180 mulheres e 40 homens.P17) a)x= 6,6 b) Md = 7 c) Mo = 7P18) a) Jogador A:Ax=20, jogador B:Bx= 20;b) jogador A: A = 1,2, jogador B: B = 6,5c) Voc decide! Observe, porm, que, apesar de os jogadorespossurem a mesma mdia de pontos por jogo, o desvio-padro do jogadorAmenordoqueodojogadorB. Issoquer dizer que, emmuitomaisjogos, o jogador A esteve mais prximo da mdia do que o jogador B, isto, A foi mais regular do que B.REGRADE TRS uma tcnica de clculo por meio da qual so solucionados problemas sobregrandezas proporcionais.Estes problemas so de dois tipos:1) Regra de Trs Simples: quando se referem a duas grandezas diretamente ouinversamente proporcionais.2) Regra de Trs Composta: quando se referem a mais de duas grandezasdiretamente ou inversamente proporcionais.GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAISConsideremos a seguinte situao:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comSobre uma mola so colocados corpos de massa diferentes. A seguir,medindo o comprimento da mola, que se modifica com a massa do corpocolocado sobre ela, pode-se organizar a seguinte tabela:Massa do corpo (em kg) Comprimento da mola (em cm)10 5020 10030 150Pela tabela pode-se notar que:v Se a massa do corpo duplica, o comprimento da mola tambm duplica.v Se a massa do corpo triplica, o comprimento da mola tambm triplica.Usando os nmeros que expressam as grandezas, temos:1-) Quando a massa do corpo passa de 10kg para 20kg, dizemos que a massavaria narazo2010=21. Enquanto isso, o comprimento da mola passa de 50cm para 100cm, ou seja, ocomprimento varia na razo de10050=21.2-) Quando a massa do corpo passa de 10kg para 30kg, dizemos que a massavaria narazo3010=31. Enquanto isso o comprimento da mola passa de 50cm para 150cm, ou seja, ocomprimento varia na razo de15050=31Note que a massa do corpo e o comprimento da mola variam sempre namesma razo; dizemos, ento, que a massa do corpo uma grandezaDIRETAMENTE PROPORCIONAL ao comprimento da mola."Quando duas grandezas variam sempre na mesma razo, dizemos que essasgrandezas so diretamente proporcionais, ou seja, quando a razo entre osvalores da primeira igual a razo da segunda".Veja outros exemplos de grandezas diretamente proporcionais:v Quando vamos pintar uma parede, a quantidade de tinta que usamos diretamente proporcional rea a ser pintada duplicando-se a rea, gasta-se odobro de tinta; triplicando-se a rea, gasta-se o triplo de tinta.v Quando compramos laranjas na feira, o preo que pagamos diretamenteproporcional quantidade de laranjas que compramos; duplicando-se aquantidade de laranjas, o preo tambm duplica; triplicando-se a quantidadede laranjas, o preo tambm triplica.PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comGRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAISConsideremos a seguinte situao:A professora de Portugus da 6 srie tem 48 livros para distribuir entre seusmelhores alunos. Vamos observar que:v Se ela escolher apenas os dois melhores alunos, cada um receber 24 livros.v Se ela escolher os quatro melhores alunos, cada um receber 12 livros.v Se ela escolher os seis melhores alunos, cada um receber 8 livros.Vamos colocar esses dados no quadro seguinte:Nmero de alunos Nmero de livrosescolhidos distribudo a cada aluna2 244 126 8Pela tabela podemos notar que:v Se o nmero de alunos duplica, o nmero de livros cai pela metade.v Se o nmero de alunos triplica, o nmero de livros cai para a tera parte.Usando os nmeros que expressam as grandezas, temos:1-) Quando o nmero de alunos passa de 2 para 4, dizemos que o nmero dealunos varia na razo:42. Enquanto isso, o nmero de livros passa de 24 para 12,variando na razo:1224.Note que essas razes no so iguais, elas so inversas, ou seja:42=21e1224=12Nessas condies, o nmero de alunos escolhidos e o nmero de livrosdistribudos variam sempre na razo inversa; dizemos ento que o nmero dealunos escolhidos INVERSAMENTE PROPORCIONAL ao nmero de livrosdistribudos."Quando duas grandezas variam sempre uma na razo inversa da outra, dizemosque essas grandezas so inversamente proporcionais, ou seja, quando a razoentre os valores da primeira igual ao inverso da razo entre os valores dasegunda".Veja outros exemplos de grandezas inversamente proporcionais:PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comv Quando vamos fazer uma construo, o tempo que se gasta nessaconstruo inversamente proporcional ao nmero de operrios que secontrata; duplicando-se o nmero de operrios o tempo cai pela metade.v Quando fazemos uma viagem, o tempo que se leva inversamenteproporcional velocidade do veculo usado: dobrando-se a velocidade doveculo, o tempo gasto na viagem cai pela metade.REGRADE TRS SIMPLESConsideremos as seguintes situaes:1) Um carro faz 180km com 15 litros de lcool. Quantos litros de lcool este carrogastaria para percorrer 210km?O problema envolve duas grandezas: distncia e litros de lcool.Indiquemos por x o nmero de litros de lcool a ser consumido.Coloquemos as grandezas de mesma espcie em uma mesma coluna e asgrandezas de espcies diferentes que se correspondem em uma mesma linha.Distncia Lit r os de lcool180 15210 xNa coluna "litros de lcool" vamos colocar uma flecha apontada para o x.Distncia Lit r os de lcool180 15210 xObserve que aumentando a distncia, aumenta tambm o consumo de lcool.Ento, as grandezas distncia e litros de lcool, so diretamente proporcionais.No esquema que estamos montando, indicamos isso colocando uma flecha nomesmo sentido da anterior.Distncia Lit ros delcool180 15210 xx15210180 x1576 6x = 105 x = 17,5 lPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comResposta: Ocarro gastaria 17,5 litros de lcool.2) Um avio voando velocidade de 800km por hora vai de So Paulo a BeloHorizonte em 42 minutos. Se voar a 600km, por hora em quanto tempo far amesma viagem?As duas grandezas so: velocidade do avio etempo de vo.Observemos que, se a velocidade do avio aumenta, o tempo de vo diminui, logoa velocidade e o tempo so grandezas inversamente proporcionais.Chamando de x o tempo necessrio para voar de So Paulo Belo Horizonte a600km por hora, temos:Tempo de vo Velocidade42 800X 600800600 42x43 42x 3x = 168 x = 56 minutosResposta:O avio vai de So Paulo a Belo Horizonte em 56 minutos, voando a 600km/h.REGRADE TRS COMPOSTAA regra de trs composta se refere a problemas que envolvem mais deduas grandezas. A grandeza cujo valor procuramos pode ser diretamente ouinversamente proporcional a todas as outras, ou at mesmo diretamenteproporcional a umas e inversamente proporcional a outras.1O) Em quatro dias oito mquinas produziram 160 peas. Em quanto tempo 6mquinas iguais s primeiras produziro 360 dessas peas?Resoluo:Indiquemos o nmero de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espcieem uma s coluna, e as grandezas de espcies diferentes que se correspondemem uma mesma linha.Na coluna "dias" coloquemos uma flexa apontada para x.M quinas Peas Dias8 160 46 360 xPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comComparemos cada grandeza com aquela onde est o x.As grandezas, peas e dias so diretamente proporcionais. No nossoesquema isso ser indicado colocando-se na coluna "peas" uma flecha nomesmo sentido da flecha da coluna "dias".M quinas Peas Dias8 160 46 360 xAsgrandezasmquinasediassoinversamenteproporcionais(quantomaior o nmero de mquinas, menosdias parase efetuaro trabalho). No nossoesquemaissoserindicadocolocando-senacoluna"mquinas"umaflechanosentido contrario na coluna "dias"M quinas Peas Dias8 160 46 360 xAgora vamos montara proporo, igualandoarazo quecontmox, quex4,como o produto das outras razes, obtidas segundo orientao das flechas:x4=68360160 x4=4394 x4=1131 x4=31 x = 12Resposta: 12 dias.2) Trabalhando durante6 dias, 5 operrios produzem 400peas. Quantas peasdesse mesmo tipo sero produzidas por 7 operrios trabalhando durante 9 dias?Resoluo:Inicialmente vamos organizar os dados no seguinte quadro, indicando onmero de peas pedido pela letra x.Operrios Dias Peas5 6 4007 9 xA B CvFixando a grandeza A, vamos relacionar as grandezas B e C, se aumentarmos onmero de dias, o nmero de peas tambm aumentar; logo, as grandezas B eC so diretamente proporcionais.vFixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A e C, se aumentarmos onmero de operrios, o nmero de peas tambmaumentar, logo, asgrandezas A e C so diretamente proporcionais.PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comEnto, a grandezaC diretamenteproporcional sgrandezasA e B; logoseus valores so diretamente proporcionais aos produtos dos valores dasgrandezas Ae B, ou seja:x400=9675 x400=3275 x400=2110x40=211 x=40 . 21 x=840Resposta:Produziro 840 peas.EXERCCIOSP1) Um automvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 65km. Quantos litrosgastar num percurso de 910km?P2) Qual o tempo gasto por 12 homens para executar um trabalho que 8 homensnas mesmas condies executam em 9 dias?P3) Um fonte d 38 litros de gua em 5 minutos; quantos litros dar em uma horae meia?P4) Para tecer 19m de um tecido com 50cm de largura so gastos 38kg de l.Quantos metros sero tecidos com 93kg da mesma l, sendo a largura de 60cm?P5) Numa transmisso de correia, a polia maior tem 30cm de dimetro e a menor18cm. Qual o nmero de rotaes por minuto da menor polia, se a maior d 45 nomesmo tempo?P6) Com 9 h de gasto podem ser mantidas 20 cabeas de gado. Quantos hsero necessrios para manter 360 cabeas?P7) Uma mquina, que funciona 4 horas por dia durante 6 dias produz 2000unidades. Quantas horas dever funcionar por dia para produzir 20.000 unidadesem 30 dias?P8) Um automvel, com a velocidade de 80km por hora, percorreu certa distnciaem 6 horas. Que tempo gastar para percorrer a mesma distncia se reduzir avelocidade para 50km por hora?P9) Um automvel percorreu certa distncia em 4h, com a velocidade de 60km porhora. Qual o tempo que gastar para percorrer a mesma distncia com avelocidade de 90km por hora?PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comP10) Se trs homens podem arar um campo de 8 h em 5 dias, trabalhando 8horas dirias, em quantos dias 8 homens podero arar 192 h trabalhando 12horas dirias?P11) Com 16 mquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes em 8 dias detrabalho. Quantas mquinas sero necessrias para confeccionarem 2160uniformes em 24 dias?P12) Se 54 operrios trabalhando 5 horas por dia levaram 45 dias para construiruma praa de forma retangular de 225m de comprimento por 150m de largura,quantos operrios sero necessrios para construir em 18 dias, trabalhando 12horas por dia, outra praa retangular de 195m de comprimento por 120m delargura?P13) Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade e7m de largura, 100 operrios, trabalhando 7 horas por dia, levaram 2 meses emeio. Aumentando de 40 o nmero de operrios e fazendo-os trabalhar 10 horaspor dia, pergunta-se: em quanto tempo os operrios construram um segundocanal, com o mesmo comprimento do primeiro, porm de profundidade e larguraduplas da do primeiro?P14) Se com 1000 litros de gua se rega um campo de 450 h durante 20 dias,qual a quantidade de gua necessria para se regar outro campo de 200 hdurante 30 dias?P15) Para o piso de uma sala empregam-se 750 tacos de madeira de 5cm decomprimento por 3cm de largura. Quantos tacos de 40cm de comprimento por7,5cm de largura so necessrios para um piso cuja superfcie dupla daanterior?P16) Se 10 operrios, trabalhando 8 horas dirias, levantam em 5 1/2 dias umaparede de 22m de comprimento por 0,45 de espessura em quanto tempo 16operrios, trabalhando tambm 8 horas por dia, levantam outra parede de 18m decomprimento, 0,30 de espessura e de altura duas vezes maior que a primeira?P17) Um bloco de mrmore de 3m de comprimento, 1,50m de largura e 0,60 dealtura pesa 4350kg. Quanto pesar um bloco do mesmo mrmore cujasdimenses so: comprimento 2,20 largura 0,75m e altura 1,20?P18) Um navio tem viveres para 20 dias de viagem. Porm um imprevisto deixou-oancorado em alto mar durante 10 dias, onde o comandante do navio foi avisadoda previso do atraso. Em quanto se deve reduzir a rao diria da tripulao,para que no faltasse comida at o fim da viagem?P19) Uma pessoa calculou que o dinheiro que dispunha seria suficiente parapassar 20 dias na Europa. Ao chegar, resolveu prolongar sua viagem por mais 4dias. A quanto teve de reduzir o sue gasto dirio mdio?PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comP20) Alguns operrios devem terminar certo servio em 36 dias, trabalhando 8horas por dia. Oencarregado, aps 20 dias, verifica que s 0,4 da obra estavapronta. Para entregar o servio na data fixada; quantas horas por dia devem osoperrios trabalhar nos dias restantes?GABARITO - REGRA DE TRSP1) 140 litrosP2) 6 diasP3) 684 litrosP4) 38,75 metrosP5) 75 rotaesP6) 162 hP7) 8 horas por diaP8) 9 horas e 36minP9) 2 h e 45minP10) 30 diasP11) 12 mquinasP12) 39 operriosP13) 5 mesesP14) 666,666 litrosP15) 75 tacosP16) 3,15 diasP17) 3190 kgP18)31P19)61P20) 15 horasPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comPORCENTAGEM (%)"Porcentagem uma frao decimal, cujo denominador cem, a expresso x %, chamada detaxa percentual e representa a razo100x".Exemplos:OPERAES COM PORCENTAGEMPodemos, por exemplo, operar nmeros na forma de porcentagem, observe:Exemplo:Efetue:v% 64=5410810064 = 0,8 = 80%v (10%)2=2 210110010

,_

,_

=1001= 1%v5% 15% =100510015=201203=4003= 0,75%TRANSFORMAESMuitas vezes teremos que transformar nmeros decimais, ou fraes, para aforma de porcentagem, ou mesmo teremos que fazer o contrrio, transformarporcentagens em nmeros decimais ou fraes.DECIMAIS PORCENTAGEMPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com"Para converter nmeros decimais em porcentagem, basta multiplicar o nmeropor 100".Exemplos:Vamos converter os nmeros abaixo para a forma de porcentagem:v0,57100 = 57%v0,007100 = 0,7%v1,405 100 = 140,5%FRAES PORCENTAGEM"Para converter fraes para porcentagens, em geral, vamos transformar asfraes em nmeros decimais, em seguida multiplic-los por 100".Exemplos:v157=0,466...=46,666% aproximadamente 46,7%v43= 0,75 = 75%CLCULOS EM PORCENTAGEMExistem problemas onde precisamos encontrar a porcentagem de um valorespecfico, ou mesmo a porcentagem de um determinado nmero de elementosem um conjunto, ou populao:Exemplo1:Em uma empresa trabalham 60 pessoas, sendo 15 mulheres. Vamosdeterminar qual a porcentagem de homens, existente nesta empresa.Observe que de 60 pessoas, 15 so mulheres e 45 so homens, logo, emsabemos que6045dos funcionrios da empresa so homens.Simplificando a frao encontrada obtemos43, ento teremos 75% dosfuncionrios como sendo homens e o restante (25%) sendo mulheres.Exemplo2:Vamos determinar quanto 23% de R$ 500,00. Paratanto, vamos calcularde duas formas distintas, a primeira utilizando uma regra de trs, e a outra,utilizando a relao "frao todo", utilizada na resoluo de problemas queenvolvem fraes.1O.Modo: "Regra de Trs"% R$23 xPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com100 500Como as grandezas so diretamente proporcionais a equao fica assim:v10023=500x 100x = 23 . 500 x = 23 . 5 x = 115Logo, 23% de R$ 500,00 igual a R$ 115,00.2O.Modo: "Frao Todo"v 23% de 500 =10023. 500 = 23 . 5 = 115Logo, 23% de R$ 500,00 igual a R$ 115,00.Exerccios ResolvidosR1) Ao receber uma dvida de R$ 1.500,00, uma pessoa favorece o devedor comum abatimento de 7% sobre o total. Quanto recebeu?Resoluo:Uma pessoa deve receber R$ 1.500,00, e no entanto, essa pessoa, concede umabatimento de 7% sobre esse valor, portanto, ela recebeu 93%do valor total (R$1.500,00).v 93% de 1.500 =10093 1.500 = 93 . 15 = 1.395Logo a pessoa recebeu R$ 1.395,00.R2) Uma pessoa ao comprar uma geladeira, conseguiu um abatimento de 5%sobre o valor de venda estipulado, e assim foi beneficiado com um desconto deR$ 36,00. Qual era o preo da geladeira?Resoluo:1O.Modo: "Regra de Trs"% R$5 36100 xComo as grandezas so diretamente proporcionais a equao fica assim:v1005=x36 5x = 36 . 100 x = 36 . 20 = 720Portanto, o preo da geladeira era de R$ 720,00.PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.com2O.Modo: "Frao Todo"Sabemos, do enunciado, que 5% de um valor qualquer (aquele que temos quedescobrir) igual a R$ 36,00, logo:v 5% de x = 36 1005. x = 36 5x = 36 . 100 x =720Portanto, o preo da geladeira era de R$ 720,00.R3) Uma coleo de livros foi vendida por R$ 150,00. Com um lucro de R$ 12,00.Qual foi a porcentagem do lucro?Resoluo:"Frao Todo":x% de 150 = 12 100x. 150 = 12 x = 8%"Regra de Trs"% R$X 12100 150100x=15012 150x = 1200 x = 8%AUMENTOS E DESCONTOSUma determinada loja de roupas d as seguintes opes de compra de uma calajeans, cujo preo de R$ 40,00:v1a.Opo de Pagamento pagamento vista com um desconto de 5%.v2a.Opo de Pagamento pagamento a prazo com um aumento de 5%.Qual ser o novo preo da cala, nos dois casos considerados?Uma forma de encontrarmos estes dois valores determinando quanto 5%de R$ 40,00. Na opo de pagamento vista, subtrairamos do valor da cala,e na segunda opo, somaramos os 5% no valor da cala, obtendo assim, nosdois casos, os seus respectivos valores.Entretanto, em geral, utilizaremos um Fator de Multiplicao, para o caso de haverum desconto ou um aumento.DESCONTOS"Um desconto de x %em cima de um valor V dado por: (0,a) V, ondea = (100 - x)".PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comExemplos (Tabela):Descontos (% ) Fator de M ultiplicao25 0,7530 0,7070 0,305 0,95Observe que:v 75 = (100 25)v 70 = (100 30)v 30 = (100 70)v 95 = (100 5)Voltandoaonossoexemploinicial, opreopagopelacala, nopagamentovista ser:v 0,95 40 = R$ 38,00AUMENTOS"Um aumento de x % em cima de um valor V dado por: (1,x) V".Exemplos (Tabela):Aumentos (%) Fator de Multiplicao25 1,2530 1,3070 1,705 1,05Voltandoaonossoexemploinicial, opreopagopelacala, nopagamentoaprazo ser:v 1,05 40 = R$ 42,00Exerccios Resolvidos1) Uma adega vende certa quantidade de garrafas de vinho a R$ 580,00, obtendoum lucro de 25%sobre o preo da compra. Determinar o preo da compra e olucro obtido.Resoluo:Como se trata de um lucro, nos deparamos com um problema de aumento. Peloenunciado R$ 580,00 o preo de venda e o lucro de 25 %(ou o aumento) dadoPDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comem cima de um valor de compra desconhecido, vamos escrever uma equao quenos relacione esses valores em linguagem matemtica:Preo de Compra: CLogo:v 1,25 C = 580 C = 464Portanto o preo de compra R$ 464,00 e o lucro obtido igual a 580 - 464 = R$116,00.2) Um nmero diminudo de seus 18% vale 656. Qual o nmero?Resoluo:Houve uma diminuio, portanto o mesmo que dizer que houve um desconto, eeste foi de 18%, logo o fator de multiplicao 0,82. Escrevendo a equaomatemtica vem:Nmero: xv 0,82 . x= 656 x = 800Portanto o nmero 800.EXERCCIOS - PORCENTAGEMP1) Qual o nmero cujos 18%valem 108?P2) Qual o nmero cujos 43%valem 374,1?P3) Uma pessoa compra um terreno por R$ 17,500,00 e vende-o com um lucro deR$ 3.500,00. Qual a porcentagem do lucro?P4) Qual o nmero que aumentado de seus 20% da a soma de 432?P5) Escrever a razo 3/8 na forma de porcentagem.P6) Umdescontode R$ 7.000,00sobreumpreo de R$ 25.000,00,representa quantos por cento de desconto?P7) Um lucro de R$ 12.000,00 sobre um preo de R$ 150.000,00,representa quantos por cento desse preo?P8) Exprimir 51%na forma decimal.P9) Em um jogo de basquete, um jogador cobrou 20 lances livres, dos quaisacertou 65%. Quantos lances livres acertou?PDF Creator - PDF4Free v2.0http://www.pdf4free.comP10) Durante o ano de 1992, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dosquais venceu 63. Qual a porcentagem correspondente aos jogos vencidos?P11) Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu lbum. As restanteseram repetidas. Qual foi a porcentagem de figurinhas repetidas?P12) Em um colgio, 1400 alunos estudam no perodo da manh. Esse nmerorepresenta 56%do nmero de alunos que estudam no colgio. Quantos alunosestudam ao todo nesse colgio?P13) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. Paguei, ento, R$7.650,00 pelo objeto. Nessas condies qual era o preo original desse objeto?P14) Um representante comercial recebe de comisso 4%pelas vendas querealiza. Em um ms recebeu de comisso R$ 580,00. Quanto vendeu nesse ms?P15) Em uma fbrica 28% dos operrios so mulheres, e os homens so 216.Quantos so no total os operrios dessa fbrica?P16) Um comerciante compra 310 toneladas de minrio R$ 450,00 a tonelada.Vende 1/5 com lucro de 25%; 2/5 com lucro de 15%e o resto com um lucro de10%. Quanto recebe ao todo e qual o seu lucro?P17) Um agente de motores adquire os mesmos por R$ 18.000,00 e pagauma taxa alfandegria de 15%. Devendo dar ao vendedor uma comisso de 10%.Por quanto deve vender para pagar 30% sobre o mesmo preo?P18) Uma pessoa compra uma propriedade por R$ 300.000,00. Paga detaxas, comisses e escritura R$ 72.000,00. Por quanto deve revend-la para obterum lucro de 12%?P19) Um nmero diminudo de seus 27%vale 365. Qual o nmero?P20) Uma pessoa ganha em uma transao 3/5 da quantia empregada. De quantospor cento foi o l