46

estu

dos,

G

oin

ia, v

. 41

, n. 1

, p. 46

-58,

jan./

mar. 2

014.

TAUAN DE SOUSA BARBOSA, ALINE MOTA DE MESQUITA ASSIS

Resumo: este artigo resultado de uma pesquisa bibliogrfica e tem por objetivo apresentar os fundamentos matemticos de carter algbrico que envolve a Teoria dos Cdigos Corretores de Erros, especificamente, os Cdigos Lineares e os Cdigos Cclicos. Este assunto, alm de ser bastante interessante, constitui-se uma juno dos conceitos e tcnicas importantes da lgebra Abstrata com aplicaes imediatas na vida real.

Palavras-chave: Cdigos Lineares. Cdigos Cclicos. Codificao. Deco-dificao.

A tualmente, os Cdigos Corretores de Erros so utilizados para transmitir ou armazenar informaes de modo confivel. O seu uso ocorre quando so identificados erros durante uma transmisso, causados por alguma interferncia no canal utilizado, fazendo com que o re-ceptor no consiga identificar a mensagem original que lhe foi enviada, ou ento, quando no for possvel recuperar uma informao armazenada em fitas, disquetes magnticos, entre outros meios de armazenamento de dados. Tal ferramenta est presente, tambm, em comunicaes via satlite, comuni-caes internas de um computador, navegaes pela internet e ao assistir um programa de televiso.

Essa teoria teve incio com o surgimento dos primeiros computadores. Estes, por sua vez, eram utilizados somente por pesquisadores em institui-es de grande porte, como universidades e centros de pesquisas. Uma das instituies que possua tais computadores era o Laboratrio Bell de Tec-nologia e Richard Wesley Hamming foi um dos pesquisadores que utilizou esses equipamentos.

PRINCPIOS TERICOS DOS CDIGOS CORRETORES DE ERROS: CDIGOS LINEARES E CCLICOS*

47

estu

dos,

G

oin

ia, v

. 41

, n. 1

, p. 46

-58,

jan./

mar. 2

014.

No ano de 1947 Hamming, durante suas pesquisas aos finais de semana, utili-zava os computadores do laboratrio para fazer a leitura de informaes gravadas em cartes perfurados. Entretanto, no momento da leitura dos cartes ocorriam erros, os quais atrasavam o seu trabalho. A partir desse problema, Hamming obteve um cdigo corretor de erros capaz de detectar at dois erros e corrigir um. Este trabalho foi publi-cado no ano de 1950 em um artigo intitulado Error Detecting and Error Correcting Codes.

Da data de descoberta desse tipo de cdigo at a publicao do artigo, Hamming, em memorandos internos publicados no Laboratrio Bell, questionava a obteno de cdigos mais eficientes. Essa questo foi respondida indiretamente no ano de 1948 pelo pesquisador Claude Elwood Shannon num artigo intitulado A Mathematical Theory of communication, dando incio a dois novos campos de pesquisa: a Teoria dos Cdigos e a Teoria da Informao.

Nos anos iniciais, a maioria dos interessados na Teoria de Cdigos Corretores Erros eram os matemticos que desenvolveram, nas dcadas de 50 e 60, muitos con-ceitos acerca do assunto. Aps os anos 60, ocorreu um grande avano nos estudos e aplicaes dos cdigos devido ao desenvolvimento das pesquisas espaciais.

Um exemplo que ilustra a utilizao dos cdigos corretores de erros e os seus princpios o chamado cdigo do rob. Suponhamos ento que um rob foi enviado a Marte e para se deslocar nas direes norte, sul, leste e oeste utiliza-se a seguinte codificao:

Leste (1,0) Oeste (1,1)Norte (0,0) Sul (0,1)

Cada direo associada a um nico elemento do produto cartesiano {0,1}{0,1}, denominado cdigo da fonte, que no contexto dos cdigos tambm pode ser chamado de palavra. Logo, caso seja necessrio que o rob v para o norte ser lhe enviado um comando com o cdigo (0,0). Agora, suponhamos que cada cdigo transmitido via rdio e por alguma interferncia durante a transmisso do comando (0,1) o rob rece-ba o cdigo de fonte (1,0), o que faria com que ele fosse para o leste e no para o sul. Logo, necessria fazer a correo do erro. Contudo, como cada cdigo da fonte uti-lizado se assemelha em termos de componentes, fica difcil identificar qual foi a men-sagem original enviada ao rob e, assim, no possvel corrigir o erro. Dessa forma, feito uma recodificao do cdigo da fonte de tal maneira que possa ser identificado o erro, caso ele ocorra. Por exemplo:

(0,0) (0,0,0,0,0) (0,1) (0,1,0,1,1)(1,0) (1,0,1,1,0) (1,1) (1,1,1,0,1).

Cada recodifico denominada cdigo de canal. Agoa, se for enviado a mensa-gem (1,0,1,1,0) e por alguma interferncia no canal de transmisso for recebida a pala-vra (1,1,1,1,0), ser feito uma comparao entre a palavra erroneamente recebida e todas

48

estu

dos,

G

oin

ia, v

. 41

, n. 1

, p. 46

-58,

jan./

mar. 2

014.

as outras palavras do cdigo de canal, de modo a procurar qual seassemelha ao cdigo (1,1,1,1,0) em termos de componentes de cada vetor. Assim, observa-se que a palavra que mais prxima de (1,1,1,1,0), ou seja, aquela que possui menor nmero de componentes diferentes justamente a palavra (1,0,1,1,0), logo a correo do erro possvel.

Com o exemplo exposto acima possvel afirmar que a Teoria de Cdigos Cor-retores de Erros consiste em: transformar o cdigo da fonte em cdigo de canal, de-tectar e corrigir erros na recepo de uma mensagem e decodificar o cdigo de canal em cdigo da fonte. A Figura 1 descreve o procedimento para a transmisso de uma mensagem de modo seguro.

Figura 1: Procedimento para transmisso de uma mensagem

Consideraremos neste artigo canais de transmisso que possuem as seguintes propriedades:i) Todos os smbolos transmitidos tm a mesma probabilidade (pequena) de serem

recebidos errados.ii) Se um smbolo recebido errado, a probabilidade de ser qualquer um dos outros

a mesma.

Os canais que satisfazem as duas propriedades acima so chamados de canais simtricos.

Apresentaremos neste artigo duas classes de Cdigos Corretores de Erros. A pri-meira a dos Cdigos Lineares e a segunda a classe dos Cdigos Cclicos. O intuito mostrar os conceitos de lgebra Linear e lgebra Abstrata presentes nesses dois tipos de cdigos, bem como exibir o principal problema existente at os dias de hoje: a determinao da distncia mnima.

CONSTRUO DE UM CDIGO CORRETOR DE ERROS

Para a construo de um cdigo corretor de erros necessrio um conjunto finito A, com q elementos, chamado de alfabeto.

Um cdigo corretor de erros um subconjunto prprio qualquer de An, para al-gum nmero n N. Notemos que o conjunto An possui elementos do tipo

que sero substitudos pela notao .

49

estu

dos,

G

oin

ia, v

. 41

, n. 1

, p. 46

-58,

jan./

mar. 2

014.

Para tornar mais preciso a noo de proximidade entre palavras, definimos a seguir a maneira de medir distncias entre elementos de An chamada de distncia de Hamming.

Definio 1. Dados dois elementos u, v An, a distncia de Hamming entre u e v de-finida como:

d(u, v) = |{ i : ui vi, 1 i n }|.

Por exemplo, considerando as palavras 100 e 110 do conjunto {0,1}3 temos, pela distncia de Hamming, que d(100, 110) = 1, pois comparando as palavras observa-se que a segunda entrada de cada uma delas se diferem. Da mesma forma, observamos que:

d(000, 111) = 3 e d(001, 111) = 2.

UM PROBLEMA SUTIL DA TEORIA DE CDIGOS CORRETORES DE ERROS

Dentre as distncias de Hamming, podemos estabelecer a menor delas denomi-nada de distncia mnima, e que est descrita na Definio 2.

Definio 2. Seja C um cdigo. A distncia mnima de C o nmero

d = min { d(u, v) : u, v C e u v }.

Observe que a distncia mnima no exemplo do cdigo do rob d = 3.O problema de calcular a distncia mnima a quantidade de vezes que dever

ser feita tal operao. Por exemplo, se q a quantidade de elementos de um cdigo, seria necessrio calcular a combinao simples o que teria um grande custo com-putacional caso a quantidade q fosse suficientemente grande.

Um resultado muito importante que cuja demonstrao se encontra em Hefez e Villela (2002, p. 6), que um cdigo C com distncia mnima d pode corrigir at = erros, onde [ t ] a parte inteira de um nmero real t, e detectar at d 1 erros. Esse resultado facilitaria a correo e a deteco de erros, porm, como na maioria das vezes no possvel determinar a distncia mnima, ela torna--se de difcil utilizao. Note que, a partir dessa afirmao, pode-se concluir que um cdigo ter maior capacidade de correo de erros quanto maior for a distncia mnima d, pois se d for suficientemente grande, o nmero ser aumentado considera-velmente. Portanto, fundamental poder calcular d ou pelo menos determinar uma cota inferior.

Podemos concluir ento, que a obteno da distncia mnima de suma im-portncia para os cdigos corretores de erros, se consagrando como um grande desafio para os pesquisadores na atualidade.

50

estu

dos,

G

oin

ia, v

. 41

, n. 1

, p. 46

-58,

jan./

mar. 2

014.

CDIGOS LINEARES

Para construo dos cdigos lineares consideraremos um corpo finito K com q elementos, denominado de alfabeto. Naturalmente, para cada nmero natural n, temos um K - espao vetorial de dimenso n. A Definio 3 nos diz quando um cdigo C um cdigo linear.

Definio 3. Um cdigo C ser chamado de cdigo linear se for um subespao vetorial de .

Conclumos a partir dessa definio que um cdigo linear um espa-o vetorial de dimenso finita. Ento, sendo k a dimenso de um cdigo linear e v1, v2,, vk uma de suas bases, todo elemento de C se escreve de modo nico na forma 1v1 + 2v2 + + kvk, onde os i, i = 1,, k, so elementos de K. Alm disso, como para cada i existem q possibilidades, segue que o nmero de elementos de C qk.

Definio 4. Dado x , define-se o peso de x como sendo o nmero inteiro

(x) |{ i : xi 0 }|.

Em outras palavras, temos que (x) = d(x, 0), onde d representa a mtrica de Ham-ming.

Definio 5. O peso de um cdigo linear C o inteiro

(C) min {(x) : x C {0}}.

Proposio 1. Seja C um cdigo linear com distncia mnima d. Temos que:

i) x, y , d(x, y) = (x y).ii) d = (C) Demonstrao: O item (i) segue imediatamente das definies de mtrica de Hamming e de peso de um cdigo. O item (ii) decorre do fato que, para todo par de elementos x, y C com x y, tem-se z = x y C {0} e d(x, y) =(z).

A Proposio 1 nos mostra que em cdigos lineares com q elementos pode-se obter a distncia mnima a partir de q 1 clculos de distncias, em vez de , o que torna a quantidade de clculos da primeira menor que a da segunda forma. Entretanto, ainda invivel fazer essa quantidade de clculos.

Em virtude da Proposio 1(ii), a distncia mnima de um cdigo linear C ser tambm chamada de peso do cdigo C.

Em lgebra Linear existem dois modos de se descrever subespaos vetoriais C

51

estu

dos,

G

oin

ia, v

. 41

, n. 1

, p. 46

-58,

jan./

mar. 2

014.

de um espao vetorial : uma delas como imagem e outra como ncleo de transfor-maes lineares. Em cdigos do tipo linear consideraremos a descrio como imagem de uma transformao linear injetora. Como um cdigo C para ser linear tem que ser subespao vetorial de , ser suficiente obter C como imagem da transformao linear

em que x = (x1, x2,, xk) e u = x1u1 + x2u2 +... +xkuk. Assim, um cdigo C de dimenso k pode ser dado como a imagem da transformao T, isto , Im(T) = C.

Tendo em mente a transformao linear explicitada acima podemos obter uma matriz denominada matriz geradora de um cdigo linear. Para isso, seja = {v1, v2,, vk} uma base de C e considere a matriz G de tal modo que cada uma de suas linhas sejam os vetores vi = (vi1, vi2,, vik), com i = 1,, k. Ou seja:

G .

A matriz G chamada de matriz geradora de C e se x = (x1, x2,, xk) temos que T(x) = xG = x1v1 + x2v2 + ... +xkvk. Logo T( ) = C. Dessa forma, podemos considerar T como sendo a codificao, o cdigo da fonte e C o cdigo de canal.

A cada matriz geradora G de um cdigo linear C podemos associar uma matriz na forma padro. A matriz G est na forma padro se G = (Idk | A), em que Idk a matriz identidade k k e A uma matriz de ordem k (n k).

Definimos agora o conjunto { v : v, u = 0, u C }, onde C um cdigo linear e v, u o produto interno de v, u . Esse conjunto ser muito importante na construo de um algoritmo para saber se uma mensagem recebida ou no uma palavra de C, pois at o momento s exibimos como obter os elementos de um cdigo linear C.

Proposio 2. Se C um cdigo linear, com matriz geradora G, ento um

subespao vetorial de e x se, e somente se, Gxt = 0.

Demonstrao: Para verificar a primeira parte basta aplicar a definio de subespao ve-torial. Agora, provemos a segunda parte: x se, e somente se, x ortogonal a todos os elementos de C se, e somente se, x ortogonal a todos os elementos de uma base de C, o que equivalente a dizer que Gxt = 0, pois as linhas de G so uma base de C.

O subespao vetorial de , ortogonal a C, chamado de cdigo dual de C. Como tambm um cdigo linear, podemos obter uma matriz geradora H que exibida na Proposio 3.

52

estu

dos,

G

oin

ia, v

. 41

, n. 1

, p. 46

-58,

jan./

mar. 2

014.

Proposio 3. Seja C um cdigo linear de dimenso k com matriz G = (Idk | A) na forma padro. Entoi) dim n k

ii) H = ( At | Idn k) uma matriz geradora de .

Demonstrao: i) Pela Proposio 2, x = (x1, x2, , xn) pertence a se, e somente se, Gxt = 0. Como G est na forma padro, isso equivale a ter

.

Portanto, possui qn k elementos, que so justamente as possveis escolhas arbitr-rias de xk+1,, xn. Logo, tem dimenso n k. ii) evidente que as linhas de H so linearmente independentes (devido ao bloco Idn k), portanto, geram um subespao vetorial de dimenso n k. Como as li-nhas de H so ortogonais s linhas de G, temos que o espao gerado pelas linhas de H est contido em e como esses dois subespaos tm a mesma dimenso, eles coincidem, provando assim que H = ( At | Idn k) uma matriz geradora de

. A matriz H dita a matriz teste paridade de C. Ela quem determina se uma dada

palavra pertence ou no ao cdigo C. Por exemplo, se uma dada palavra v pertencer ao cdigo C ento o produto da matriz H pela transposta de v igual zero, isto , Hvt = 0, em que a vetor Hvt denominado de sndrome de v.

DECODIFICAO DE CDIGOS LINEARES

Decodificar um procedimento muito importante no processo de trans-misso ou armazenamento de uma informao. Esse processo permite detectar e corrigir erros em um determinado cdigo. Inicialmente, definimos o vetor erro e como sendo a diferena entre o vetor recebido r e o vetor transmitido c, isto , e = r c. Por exemplo, se a palavra transmitida foi 010011 e a palavra recebida foi 101011 ento o vetor erro e = 101011 010011 = 111000. Note que, definido o ve-tor erro temos que seu peso corresponde ao nmero de erros cometidos numa palavra entre a transmisso e a recepo.Agora, seja H a matriz teste de paridade do cdigo linear C. Como Hct = 0 temos que Het = H(rt ct) = Hrt Hct = Hrt. Portanto, a palavra recebida e o vetor erro tem a mesma sndrome.

O nosso objetivo nesse momento determinar um algoritmo para decodificao em cdigos lineares. No que segue, denotaremos por hi a i sima coluna de H. Logo, se e = (1,, n) temos que:

53

estu

dos,

G

oin

ia, v

. 41

, n. 1

, p. 46

-58,

jan./

mar. 2

014.

Essa notao nos ajudar demonstrar a Proposio 4.

Proposio 4. Seja C um cdigo linear em com capacidade de correo k. Se

r e c C so tais que d(c, r) , ento existe um nico vetor e com (e) , cuja sndrome igual sndrome de r e tal que c = r e.Demonstrao: De fato, e = r c tem a propriedade da proposio, j que (e) = d(c, r) . Para provar a unicidade, suponhamos que e = (1, , n) e e = (1, , n) sejam tais que (e) e (e) e tenha mesma sndrome de r. Ento, se H a matriz teste de paridade de C, temos Het = H(e)t, ou seja,

o que nos d uma relao de dependncia linear entre 2 ( d 1) colunas de H. Como quaisquer d 1 linhas de H so linearmente independentes, vide Hefez e Villela (2002, p. 92), temos que i = i, para todo i, logo e = e.

Levando em considerao a Proposio 4, podemos estabelecer um algoritmo de decodificao em cdigos corretores de erros. Essa decodificao deve seguir os seguintes passos:

Seja H a matriz teste de paridade do cdigo C e seja r um vetor recebido. (Suponha d 3.) (i) Calcule Hrt.(ii) Se Hrt = 0, aceite r como sendo a palavra transmitida.(iii) Se Hrt = st 0, compare st com as colunas de H.(iv) Se existirem i e tais que st = hi, para K, ento e a n-upla com na posio i e zeros nas outras posies. Corrija r pondo c = r e.(v) Se o contrrio de (iv) ocorrer, ento mais de um erro foi cometido.

Esse processo de decodificao s poder ser utilizado somente quando ocorrer um nico erro na transmisso. No caso em que ocorre mais de um erro na mensagem enviada, o processo se difere do citado acima e pode ser encontrado em Hefez e Villela (2002, p. 103).

CDIGOS CCLICOS

Os cdigos cclicos so uma classe dos cdigos lineares que possui bons algoritmos de codificao e decodificao. Toda a teoria dessa classe desen-volvida sobre um corpo finito K e representaremos as coordenadas de por

54

estu

dos,

G

oin

ia, v

. 41

, n. 1

, p. 46

-58,

jan./

mar. 2

014.

(x0, x1,, xn1). No que segue, definimos quando um cdigo linear um cdigo cclico.

Definio 6. Um cdigo linear C ser chamado de cdigo cclico se, para c = (c0, c1,, cn 1) pertencente a C, o vetor (cn -1, c0,, cn 2) pertence a C.

A construo dos cdigos cclicos consiste em enriquecer a estrutura de espao vetorial de atravs de novas estruturas matemticas. Primeiramente, para fazer esse enriquecimento definido Rn como sendo o anel das classes residuais em K [x] mdulo xn 1.

O anel Rn munido da operao de multiplicao por escalar K definida

por um K-espao vetorial de dimenso n com base . Alm disso, o Rn isomorfo a atravs da transformao linear:

Temos, ento, que todo cdigo linear C pode ser transportado para Rn mediante o isomorfismo v. A vantagem da utilizao dessa transformao linear que sua imagem nos d uma estrutura adicional de anel, chamada de ideal.

O ideal de um anel A um subconjunto I A, diferente do vazio, no qual so verificadas as condies:

i) a, b I, a + b Ii) a I e c A, ca I.

Definido a estrutura de um ideal, temos que o conjunto I(a) = { ca : c A } um ideal de um anel A chamado de ideal principal gerado por a A. No caso dos cdigos cclicos ser considerado o ideal gerado pelo resduo Rn. O Teorema a seguir mostra quem a base de um ideal I gerado por um resduo .

Teorema 1. Seja I = I( ), onde g(x) um divisor de xn 1 de grau s. Temos que , , , uma base de I como espao vetorial sobre K.

Demonstrao: Basta provar que os elementos so linearmente independentes e geram I.

possvel encontrar a partir do Teorema 1 um elemento u C onde todo elemento de C ser obtido a partir de u. Tal resultado mostrado no Corolrio 1.

Corolrio 1. Dado um cdigo cclico C, existe u C tal que C = u .

55

estu

dos,

G

oin

ia, v

. 41

, n. 1

, p. 46

-58,

jan./

mar. 2

014.

Demonstrao: Seja I = (C). Logo, I gerado como K espao vetorial por ,, ,, , onde g(x) um divisor de xn 1. Dessa forma, colocando

u = , temos que C gerado por u , sendo a funo permu-tao de coordenadas onde, atravs da bijeo , definimos

. Portanto, C = u .

Assim como nos cdigos lineares, os cdigos cclicos tambm possuem ma-trizes geradoras G. A obteno dessa matriz consiste em uma simples aplicao do Teorema 1:

G .

Observe que essa matriz geradora constituda de modo que suas linhas sejam a imagem inversa de v aplicado a cada elemento da base de I = I( ).

Podemos determinar nessa classe de cdigos uma matriz geradora de C na for-ma padro (R | Id). Para isso, seja

.

Essa aplicao um isomorfismo de K espaos vetoriais, onde K[x]s 1 o es-pao vetorial dos polinmios de grau menor ou igual a s 1. Esse isomorfismo ser de grande utilidade no que se segue.

Teorema 2. Seja C um cdigo cclico. Suponhamos que C = , onde I = I( ), com g(x) um divisor de xn 1. Seja R a matriz (n s) s cuja i sima linha

com 1 i n s,

onde o resto da diviso de por g(x). Ento, (R | Idn s) a matriz geradora de C na forma padro.Demonstrao: A demonstrao desse resultado se encontra em Hefez e Villela (2002, p. 117).

No prximo pargrafo definimos o polinmio dito recproco que ser de gran-de utilidade para a obteno da matriz teste de paridade.

Dado um polinmio que divide xn 1, o polinmio recproco de h(x) .

56

estu

dos,

G

oin

ia, v

. 41

, n. 1

, p. 46

-58,

jan./

mar. 2

014.

Podemos agora obter a matriz teste de paridade e mostrar que tambm cclico. Esse resultado est explicitado no Teorema 3.

Teorema 3. Seja C = um cdigo cclico, onde , com g(x) um divisor de xn 1. Ento cclico e , onde . Demonstrao: A demonstrao desse resultado se encontra em Hefez e Villela (2002, p. 114).

Corolrio 2. A matriz teste de paridade de C , em que , dada por

,

onde

Demonstrao: A demonstrao desse resultado se encontra em Hefez e Villela (2002, p. 115).

DECODIFICAO DE CDIGOS CCLICOS

Para a decodificao necessrio determinar a sndrome de um elemento v. Para tanto, o Teorema 4 nos mostra como obter esse resultado.

Teorema 4. Seja C um cdigo cclico gerado por um polinmio mnico g(x) com matriz geradora na forma padro (R | Id) e matriz teste de paridade H = (Id|- Rt). Se v = (v0,, vn 1) , ento a sndrome de v com relao matriz H dada por

,onde r(x) o resto da diviso de v0 + v1x + ... + vn 1xn 1 por g(x).

Demonstrao: A sndrome de v o vetor

(Id | - Rt)vt =

(Id | - Rt)vt = ,

57

estu

dos,

G

oin

ia, v

. 41

, n. 1

, p. 46

-58,

jan./

mar. 2

014.

o que implica o resultado, visto que

o resto da diviso de por g(x).

CONCLUSO

Foi apresentado neste artigo um estudo bibliogrfico sobre os princpios tericos dos cdigos corretores de erros, com enfoque nas classes dos cdigos lineares, especifi-cando a classe dos cdigos cclicos. notvel que os conceitos de lgebra Linear e l-gebra Abstrata esto bastante presentes em todos o processos que envolvem essa teoria.

Os conceitos aqui estudados possui interveno direta na vida real. Assistir um filme em DVD ou escutar uma msica em um CD so exemplos de aplicaes dos cdigos corretores de erros. Esses tipos de aplicaes mostram que se torna cada vez mais difusa a fronteira entre a Matemtica Pura e a Matemtica Aplicada por meio da sofisticao tecnolgica. Ficou evidente nesse artigo que a classe dos cdigos cclicos recebe uma estrutura matemtica adicional muito importante, o que faz com que ela te-nha uma maior utilizao, pois possui um bom mtodo de codificao e decodificao.

Podemos concluir que o grande desafio na atualidade a determinao da dis-tncia mnima. Com esse problema resolvido, conseguiramos um melhor processo de codificao e decodificao, o que melhoraria o processo de transmisso e armazena-mento de dados, entretanto, atualmente, as pesquisas feitas s conseguiram estabelecer cotas mnimas para a distncia mnima.

Em linhas gerais, possvel verificar que h muito a ser feito na teoria de cdigos corretores de erros. Dessa forma, deve-se levar em considerao quais as ferramentas matemticas que sero utilizadas para a obteno de cdigos mais eficientes e, alm disso, saber se tal cdigo vivel para a aplicao na vida real.

THEORETIC PRINCIPLES OF ERROR-CORRECTING CODES: LINEAR AND CY-CLIC CODES

Abstract: this article is the result of a literature review and aims to present the math-ematical foundations of algebraic character which involves the Theory of Error-Correcting Codes, specifically, linear codes and cyclic codes. This subject, besides being quite interest-ing, it constitutes a junction of important concepts and techniques of Abstract Algebra with immediate applications in real life.

Keywords: Linear Codes. Cyclic Codes. Codification. Decodification.

58

estu

dos,

G

oin

ia, v

. 41

, n. 1

, p. 46

-58,

jan./

mar. 2

014.

Referncias

HEFEZ, Abramo; VILLELA, Maria Lcia T. Cdigos Corretores de Erros. Rio de Janeiro: IMPA, 2002.MACWILLIAMS, Florence J; SLOANE, Neil A. J. The Theory of Error-correcting Code. Edio. North Holland: North-Holland Publishing Company, 1977.LINT, Jacobus H. van. Introduction to Coding Theory. Netherlands: Springer, 1992.LIDL, Rudolf; NIEDERREITER, Harald. Introduction to finite fields and their appli-cations. New York: Cambridge University Press, 1988. LIMA, Elon Lages. lgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2009.Gonalves, Adilson. Introduo lgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 1979.GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. lgebra: um curso de introduo. Rio de Janei-ro: IMPA, 1988.

* Recebido em: 02.02.2014. Aprovado em: 22.02.2014. Agradecemos ao Ncleo de Estudos e Pesquisas em Educao Matemtica do IFG (NEPEM/IFG)pelo apoio.

TAUAN DE SOUSA BARBOSAGraduando em Licenciatura em Matemtica no Instituto Federal de Cincia e Tecnologia de Gois Cmpus Goinia. E-mail: tauansousa@hotmail.com

ALINE MOTA DE MESQUITA ASSISMestre em Matemtica. Professora do Instituto Federal de Cincia e Tecnologia de Gois Cmpus Goinia. E-mail: aline.mesquita@ifg.edu.br