3488188 Licenciatura Em Matematica Calculo I

Cálculo I

Arnaldo Barbosa LourençoClício Freire da Silva

Genilce Ferreira Oliveira

Manaus 2007

FICHA TÉCNICA

GovernadorEduardo Braga

Vice–GovernadorOmar Aziz

ReitoraMarilene Corrêa da Silva Freitas

Vice–ReitorCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró–Reitor de Planejamento

Osail de Souza Medeiros

Pró–Reitor de Administração

Fares Franc Abinader Rodrigues

Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários

Rogélio Casado Marinho

Pró–Reitor de Ensino de GraduaçãoCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa

José Luiz de Souza Pio

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)Carlos Alberto Farias Jennings

Coordenador PedagógicoLuciano Balbino dos Santos

NUPROMNúcleo de Produção de Material

Coordenador GeralJoão Batista Gomes

Editoração EletrônicaHelcio Ferreira Junior

Revisão Técnico–gramaticalJoão Batista Gomes

Lourenço, Arnaldo Barbosa.

L892c Cálculo I / Arnaldo Barbosa Lourenço, Clício Freire da Silva,Genilce Ferreira Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciaturaem Matemática. 2. Período)

125 p.: il. ; 29 cm.

Inclui bibliografia.

1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Silva, Clício Freire da. II.Oliveira, Genilce Ferreira. III. Série. IV. Título.

CDU (1997): 517.2/.3

SUMÁRIO

Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

UNIDADE I – Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09

TEMA 01 – Função ou Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

UNIDADE II – Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

TEMA 02 – Limites – Definição e Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25TEMA 03 – Continuidade de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 TEMA 04 – Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30TEMA 05 – Limites Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33TEMA 06 – Limites Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36TEMA 07 – Limites Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

UNIDADE III – Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

TEMA 08 – Derivada de uma Função, definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 TEMA 09 – A Reta Tangente ao Gráfico de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46TEMA 10 – Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TEMA 11 – A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56TEMA 12 – Estudo do Sinal de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60TEMA 13 – Taxa de Variação e regra de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

UNIDADE IV – Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

TEMA 14 – Integrais Primitivas e Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73TEMA 15 – Cálculo de Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79TEMA 16 – Área entre Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86TEMA 17 – Mudança de Variável na Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88TEMA 18 – Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94TEMA 19 – Integrais Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98TEMA 20 – Integrais de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Arnaldo Barbosa LourençoLicenciado em Matemática - UFPA

Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM

Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM

Clício Freire da SilvaLicenciado em Matemática – UFAM

Bacharel em Matemática – UFAM

Pós–graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF

Genilce Ferreira OliveiraLicenciada em Matemática – UFAM

Especialista em Matemática – UFAM

PERFIL DOS AUTORES

UNIDADE IFunção

TEMA 01

FUNÇÃO OU APLICAÇÃO

1.1. Definição, elementos

Entendemos por uma função f uma terna (A, B,a → b) onde A e b são dois conjuntos e a → b,uma regra que nos permite associar a cada ele-mento a de A um único b de B. O conjunto A éo domínio de f, e indica-se por Df, assim A = Df.O conjunto B é o contradomínio de f. O único bde B associado ao elemento a de A é indicadopor f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) é o valorque f assume em a ou que f(a) é o valor que fassocia a a. Quando x percorre o domínio de f,f(x) descreve um conjunto denominado ima-gem de f e que se indica por Imf:

Imf = {f(x)|x∈Df}

Uma função de f de domínio A e contradomínioB é usualmente indicada por f : A B (leia: f de Aem B).

Uma função de uma variável real a valoresreais é uma função f : A B, onde A e B são sub-conjuntos de IR. Até menção em contrário, sótrataremos com funções de uma variável real avalores reais.

Seja f : A B uma função. O conjunto

Gf = {(x,f(x))|x∈A}

denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de fé um subconjunto de todos os pares ordena-dos (x, y) de números reais. Munindo-se o pla-no de um sistema ortogonal de coordenadascartesianas, o gráfico de f pode, então, ser pen-sado como o lugar geométrico descrito peloponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio def.

Observação – Por simplificação, deixaremos,muitas vezes, de explicitar o domínio e o con-tradomínio de uma função; quando tal ocorrer,ficará implícito que o contradomínio é IR e odomínio o “maior” subconjunto de IR para oqual faz sentido a regra em questão.

Exemplo:

Dados os conjuntos M = {0, 1 ,2} e

B={0, 1, 4, 5}, verificar se a relação bináriaR ={(x,y) Ax B/ y = x2} é uma função.

Solução:

M = {0, 1 ,2}

N={0, 1, 4, 5}

R ={(x,y) Mx N/ y = x2}

x = 0 y = 02 = 0

x = 1 y = 12 = 1

x = 2 y = 22 = 4

No diagrama de flechas, temos que:

Observe que f(0) = 0, f(1) = 1 e f(2) = 4, entãopodemos afirmar que f é uma função ou aplica-ção, já que de cada elemento de M temos umaúnica correspondência com elementos de N.

Veja também que D(f) = {0,1,2},

CD(f)= {0,1,4,5} e Im(f) = {0,1,4}.

Gráficos de funções

Dizemos que uma relação binária R: A B é fun-ção ou aplicação no gráfico, quando toda retavertical tocar em um único ponto no gráfico,para todo x ∈ A.

Exemplos:

1. Verificar se o gráfico abaixo representa uma fun-ção.

11

Cálculo I – Função

Solução:

Dado o gráfico, temos que:

Observe que existem retas verticais que tocamem mais de um ponto no gráfico, daí podemosconcluir que f não é função ou aplicação.

2. Verificar se o gráfico abaixo é uma função ouaplicação.

Solução:

Dado o gráfico abaixo, temos:

Observe que todas as retas verticais que tra-çarmos, tocarão em um e único ponto no grá-fico. Logo g é uma função ou aplicação.

3. Dada a função f:IR IR com a regra x x3, temosque:

• Df = IR

• Im(f) = {x3 / x∈IR} = IR

• O valor que f assume em x é f(x) = x3. Estafunção associa a cada real x o número realf(x) = x3.

• f(–1) = (–1)3 = –1, f(0) = 03 = 0, f(1) = 13 = 1

• O gráfico de f é tal que Gf = {(x,y) / y = x3,x∈IR}

Domínio de funções

O domínio de uma função representa o conjun-to de valores para os quais ela existe. Dentreos principais casos, temos:

a) O domínio de uma função polinomial é sem-pre real.

b) Para o domínio de uma função que possuivariável no denominador, basta ser este dife-rente de zero.

c) Radical com índice par no numerador pos-sui radicando maior ou igual a zero.

d) Radical com índice par no denominadorpossui radicando maior que zero.

Exemplos:

1. Qual é o domínio mais amplo para a função

?

Solução:

, então 1 – x 0 x 1. Logo o domínio

é dado por D(f) = IR – {1}.

2. Qual é o domínio da função ?

Solução:

→ 2x – 6 ≥ 0 → x ≥ 3. Logo o seudomínio será D(f) = {x∈IR/ x ≥ 3}.

3. Seja f: IR IR com a regra x → x3. Tem–se:

a) Df = IR

b) Im f = {x3|x∈IR}= IR, pois, para todo y emIR, existe x real tal que x3 = y.

12

UEA – Licenciatura em Matemática

c) O valor que f assume em x é f(x) = x3. Estafunção associa a cada real x o número realf(x) = x3 .

d) f(–1)=(–1)3 = –1; f(0) = 03 = 0; f(1) = 13 = 1.

e) Gráfico de f:

Gf = {(x,y)|y = x3, x∈IR}

Suponhamos x > 0; observe que, à medidaque x cresce, y também cresce, pois y = x3,sendo o crescimento de y mais acentuadoque o de x (veja: 23 = 8; 33 = 27, etc.);quando x se aproxima de zero, y aproxima-se de zero mais rapidamente quex((1/2)3 = 1/8; (1/33 = 1/27 etc.). estaanálise dá-nos uma idéia da parte do gráfi-co correspondente a x > 0. Para x < 0, é sóobservar que f(–x) = –f(x).

4. Seja f a função dada por . Tem–se:

a) Df = {x∈IR| x ≥ 0}

b) Im f = {x∈IR/ y ≥ 0}

c) f(4) = =2 (o valor que f assume em 4 é 2).

d)

e)

f) Gráfico de f:

A função f é dada pela regra .Quando x cresce, y também cresce sendo ocrescimento de Y mais lento que o de x

; quando x seaproxima de zero, y também aproxima-sede zero, só que mais lentamente

que .

5. Considere a função g dada por . Tem–se:

a) Dg = {x∈IR| x ≠ 0}

b) Esta função associa a cada x ≠ 0 o realg(x) = 1/x

c)

d) Gráfico de g:

Vamos olhar primeiro para x > 0; à medidaque x vai aumentando, y = 1/x vai aproxi-mando-se de Zero

;

à medida que x vai aproximando-se de zero,y = 1/x vai-se tornando cada vez maior

Você já deve ter uma idéia do que acontecepara x < 0.

Observação – Quando uma função vemdada por uma regra do tipo x |→ y, y = f(x),é comum referir-se à variável y como variá-vel dependente, e à variável x como variávelindependente.

6. Dada a função f(x) = – x2 + 2x, simplifique:

a) b)

13


Solução:

a)assim

.

Observe: f(1) = –12 +2 = 1.

b) primeiro, vamos calcular f(x + h). Temosf(x + h) = – (x + h)2 + 2(x + h) = –x2 – 2xh – h2 + + 2x + 2h.

Então,

ou seja, = – 2x – h + 2, h ≠ 0.

7. Função constante – Uma função f: A → IRdada por f(x) = k, k constante, denomina-sefunção constante.

a) f(x) = 2 é uma função constante; tem-se:

(i) Df = IR; Im f = {2}

(ii) Gráfico de f

Gf{(x,f(x))|x∈IR} = {(x,2) | x∈IR}.

O gráfico de f é uma reta paralela ao eixox passando pelo ponto (0, 2).

8. g:] –∞;0] → IR dada por g(x) = –1 é umafunção constante e seu gráfico é

9. Seja

Tem–se:

a) Df = IR; Im f = {–1,1}

b) Gráfico de f

Observe que (0, 1) pertence ao gráfico de f,mas (0, –1) não.

1.2 Função composta

Dadas as funções f: A B e g: B C, dizemos queexiste uma função h: A C, tal que:

h(x) = (gof)(x) = g(f(x)), x A.

Representando essa situação por diagrama deflechas, temos:

Exemplos

a) Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e

g(x) = 3 – 4x, calcular o valor de

(fog)(x) – (gof)(x).

Solução

f(x) = 2x – 1

14


g(x) = 3 – 4x

(fog)(x) = 2.( 3 – 4x) – 1

= 6 – 8x – 1

= 5 – 8x

(gof)(x) = 3 – 4(2x – 1)

= 3 – 8x + 4

= 7 – 8x

(fog)(x) – (gof)(x) = 5 – 8x – (7 – 8x)

= 5 – 8x – 7 + 8x

= –2

a) Se (fog)(x) = 2x + 1 e f(x) = –2x + 3, entãodetermine o valor de g(0).

Solução:

(fog)(x) = 2x + 1

f(x) = –2x + 3

g(0) = ?

(fog)(x) = 2x + 1

–2(g(x)) + 3 = 2x + 1

g(x) = –x + 1. Logo g(0) = 1

1. Qual é o domínio mais amplo da função

?

Solução:

(1) 1 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1

(2) 2x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ –1/2

Fazendo-se (1) (2), temos que:

–

D(f) = {x∈IR/ x ≤ 1 e x ≠ –1/2}

2. Determine o valor de k para que fog(x) = gof(x), dadas f(x) = 2kx +1 e

g(x) = 2– 3x.

Solução:

f(x) = 2kx +1

g(x) = 2– 3x

fog(x) = gof(x)

2k.( 2– 3x) + 1 = 2– 3.( 2kx +1)

4k – 6kx + 1 = 2 – 6kx – 3

4k = –1 k = –1/4

3. Calcular o valor de f(–1), sabendo– se quef(2x –1) = 3 – x.

Solução

f(2x –1) = 3 – x

2x – 1 = –1 x = 0

f(–1) = 3 – 0

f(–1) = 3

4. Determine o domínio da função .

Solução:

x + 1 = t x = t – 1

3 – x > 0 x < 3

D(f) = ]–;3[

1.4 Função polinomial do 1.o grau

Definição

Chama-se função polinomial do 1.o grau, oufunção afim, a qualquer função f de IR em IRdada por uma lei da forma

f(x) = ax + b, em que a e b são números reaisdados e a ≠ 0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chama-do de coeficiente de x, e o número b é chama-do termo constante.

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1.o

grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma retaoblíqua aos eixos Ox e Oy.

• Se a > 0, então f será crescente.

15


16


Para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2.Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).

• Se a < 0, então f será decrescente;

Para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí,ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Observação – Uma função f : IR → IR dadapor f(x) = ax, a constante, denomina-se funçãolinear; seu gráfico é a reta que passa pelospontos (0, 0) e (1, a):

Se a = 0, o gráfico de f coincide com o eixo Ox.Exemplos:

1. Esboce os gráficos.

a) f(x) = 2x. b) g(x) = –2x c) h(x) = 2 I x I

Solução:

a) O gráfico de f é a reta que passa pelos pon-tos (0, 0) e (1, 2).

b) O gráfico de g é a reta que passa pelospontos (0, 0) e (1, –2).

c) Primeiro, eliminemos o módulo

y = –2x

2. Esboce o gráfico de f(x) = I x – 1I + 2.

Solução:

Primeiro, eliminemos o módulo

ou

Agora , vamos desenhar, pontilhando, as retasy = x + 1 e y = –x + 3 e, em seguida, marcar, comtraço firme, a parte que interessa de cada uma:

para x ≥ 1, f(x) = x + 1

para x < 1, f(x) = –x + 3

Sempre que uma função for dada por váriassentenças, você poderá proceder dessa forma.

Um outro modo de se obter o gráfico de f é oseguinte: primeiro desenhe pontilhado o gráfi-co de y = I x I; o gráfico de y = I x – 1 I obtém-se do anterior transladando-o para a direita deuma unidade; o gráfico de f obtém-se desteúltimo transladando-o para cima de duas uni-dades.

1.5 Função quadrática (função polinomial do 2.o

grau)

Definição

Chama-se função quadrática, ou função poli-nomial do 2.o grau, qualquer função f de IR emIR dada por uma lei da forma

f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c sãonúmeros reais e a ≠ 0.

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2.o

grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curvachamada parábola.

• a > 0, então f terá concavidade voltada paracima;

• a < 0, então f terá concavidade voltada parabaixo.

Observação – A quantidade de raízes reais deuma função quadrática depende do valor obti-do para o radicando Δ, chamado discrimi-nante, a saber:

• quando Δ é positivo, há duas raízes reais edistintas;

• quando Δ é zero, há só uma raiz real; • quando Δ é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidadevoltada para cima e um ponto de mínimo V;quando a < 0, a parábola tem concavidadevoltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V

são . Veja os gráficos:

Exemplo:

(PUC) Determine as coordenadas do vértice da

17


parábola y = –x2 + 2x – 5.

a) (1,–4) b) (0,–4)

c) (–1,–4) d) (2,–2)

e) (1,–3)

Solução:

1. y = –x2 + 2x – 5, então a = –1, b = 2 ec = –5

2. = b2 – 4ac = 22 – 4.(–1).(–5) = –16

3.

4.

5. Logo o vértice é dado pelo ponto (1,–4)

Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx+ c, a ≠ 0 é o conjunto dos valores que y podeassumir. Há duas possibilidades:

a < 0

Exemplo:

(USP) Construir o gráfico da função f(x) = –x2 + 2x –1, no plano cartesiano.

Solução:

(1) f(x) = –x2 + 2x –1, então a = –1, b = 2 ec = –1

(2) = b2 – 4ac, então = 22 – 4.(–1).(–1) = 0,logo as raízes de f são

(3)

(4)

(5) O vértice da parábola é dado pelo ponto(1,0)

(6) f toca o eixo das ordenadas no ponto (0,–1)

(7) Então o gráfico pode ser dado por:

Observação:

1. Função polinomial – Uma função f: IR → IRdada por

f(x) = a0xn + a1xn–1+ ... + an – 1x + an

em que a0, a1, a2, ..., an são números fixos,denomina-se função polinomial de grau n (nIN).

a) f(x) = x2 – 4 é uma função polinomial degrau 2, e seu gráfico é a parábola

18


O gráfico de uma função polinomial de grau

2 é uma parábola com eixo de simetria pa-

ralela ao eixo Oy.

b) g(x) = (x – 1)3 é uma função polinomial de

grau 3; seu gráfico obtém-se do gráfico de

y = x3, transladando-o uma unidade para a

direita.

2. Função racional – Uma função f é uma função

dada por onde p e q são duas

funções polinomiais; o domínio de f é o con-

junto {x∈IR|q(x) ≠ 0}.

a) é uma função racional definida

para todo x 0. Como , segue

que o gráfico de f é obtido do gráfico de

y = 1/x, transladando-o uma unidade para

cima (veja Ex. 3).

b) é uma função racional com

domínio {x∈IR|x ≠ 0}. Observe que

. À medida que I x I vai crescen-

do , 1/x vai aproximando-se de zero, e o grá-fico de g vai, então “encostando” na retay = x (por cima se x > 0; por baixo se x < 0).À medida que x aproxima-se de zero, o grá-

fico de g vai encostando na curva .

c) é uma função racional com

Domínio {x∈IR|x ≠ –2}. O gráfico de h é

obtido do gráfico de y = , transladando-o

duas unidades para a esquerda.

19


1. Calcule:

a) f(–1) e sendo f(x) = –x2 + 2x

b) g (0), g (2) e g( ) sendo

c) sendo f(x) = x2 e ab ≠ 0

d) sendo f(x) = 3x + 1 e ab ≠ 0

2. Simplifique sendo dados:

a) f(x) = x2 e p = 1

b) f(x) = 2x + 1 e p = 2

c) f(x) = 1/x e p = 2

d) f(x) = e p = –3

e) f(x) = 5 e p = 2

3. Simplifique (h ≠ 0) sendo f(x)

igual a:

a) 2x + 1b) x2

c) –2x2 + 3d) 5

e)

4. Dê o domínio e esboce o gráfico.

a) f(x) = 3x

b)

c) h(x) =

d) g(x) =

e) f(x) =

5. Determine o domínio das funções:

a) b)

c) d)

e)

1.6 Função exponencial

Chamamos de funções exponenciais aquelasnas quais temos a variável aparecendo em ex-poente.

A função f:IR IR+ definida por f(x) = ax, com aIR+ e a 1, é chamada função exponencial debase a. O domínio dessa função é o conjuntoIR (reais), e o contradomínio é IR+ (reais posi-tivos, maiores que zero).

Gráfico cartesiano da função exponencial

Temos 2 casos a considerar:

quando a>1;

quando 0<a<1.

Acompanhe os exemplos seguintes:

1. y = 2x (nesse caso, a=2, logo a>1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando oscorrespondentes valores de y, obtemos a tabe-la e o gráfico abaixo:

2. y = (1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando oscorrespondentes valores de y, obtemos a ta-bela e o gráfico seguintes:

0

20


Nos dois exemplos, podemos observar que:

a) O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal;a função não tem raízes.

b) O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1).

c) Os valores de y são sempre positivos (po-tência de base positiva é positiva), portantoo conjunto imagem é Im=IR+.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

Se 0 < a < 1, então f será decrescente.

Se a > 1, então f será decrescente.

1.7 Função logaritmica

Considere a função y = ax, denominada funçãoexponencial, em que a base a é um número po-sitivo e diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que, nessas condições, ax é um nú-mero positivo, para todo x∈IR, onde IR é oconjunto dos números reais.

Denotando o conjunto dos números reais po-sitivos por R+*, poderemos escrever a funçãoexponencial como segue:

f: R → R*+ ; y = ax , 0 < a ≠ 1

Essa é bijetora, pois:

a) É injetora, ou seja: elementos distintos pos-suem imagens distintas.

b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem co-incide com o seu contradomínio.

Assim sendo, a função exponencial é BIJETO-RA e, portanto, é uma função inversível, ouseja, admite uma função inversa.

Vamos determinar a da função y = ax , onde0 < a ≠ 1.

Permutando x por y, vem:

x = ay → y = logax

Portanto a função logarítmica é então:

f: R*+ → R ; y = logax , 0 < a ≠ 1.

Mostramos, a seguir, os gráficos das funçõesexponencial (y = ax) e logarítmica

(y = logax), para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1.

Observe que, sendo as funções inversas, osseus gráficos são curvas simétricas em relaçãoà bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes,ou seja, simétricas em relação à reta y = x.

0

21


Da simples observação dos gráficos acima,podemos concluir que:

• Para a > 1, as funções exponencial e loga-rítmica são CRESCENTES.

• Para 0 < a ≠ 1, elas são DECRESCENTES.

• O domínio da função y = logax é o conjun-to R+

* .

• O conjunto imagem da função y = logax é oconjunto R dos números reais.

• O domínio da função y = ax é o conjunto Rdos números reais.

• O conjunto-imagem da função y = ax é oconjunto R*

+.

Observe que o domínio da função exponencialé igual ao conjunto-imagem da função logarít-mica e que o domínio da função logarítmica éigual ao conjunto-imagem da função exponen-cial. Isso ocorre porque as funções são inver-sas entre si.

0

22


UNIDADE IILimites

TEMA 02

LIMITES: DEFINIÇÃO E LIMITES LATERAIS

2.1 O papel dos limites de funções reais

O conceito de Limite de uma função realizaum papel muito importante em toda teoria ma-temática envolvida com o Cálculo Diferencial eIntegral. Há uma cadeia ordenada muito bemestabelecida no Cálculo:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade,Derivadas e Integrais

Para entender os conceitos mais importantesda lista acima, que são os últimos, a Teoria deLimites é fundamental.

O motivo para isso é que nem tudo o que que-remos realizar ocorre no meio físico, e quasesempre é necessário introduzir um modelo queprocura algo que está fora das coisas comuns,e essa procura ocorre com os limites nos estu-dos de seqüências, séries, cálculos de raízesde funções...

Por exemplo, obter uma raiz de uma funçãopolinomial de grau maior do que 4 somente épossível por meio de métodos numéricos queutilizam fortemente as idéias de limite e con-tinuidade. Na verdade, esse cálculo dependedo Teorema do Valor Intermediário (apresenta-do no fim), que é uma conseqüência do estu-do de continuidade de funções.

2.2 Idéia intuitiva de limite

Estudaremos o comportamento de uma funçãof nas proximidades de um ponto. Para fixaridéias, consideremos a função f:R – {1} → R

definida por: lim

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada ereescrita na forma mais simples: f(x) = x + 1.

Ao analisar o comportamento dessa função nasvizinhanças do ponto x = 1, ponto este que nãopertence ao domínio de f, constatamos que afunção se aproxima rapidamente do valor L =2, quando os valores de x se aproximam de x =1, tanto por valores de x < 1 (à esquerda de 1)

quanto por valores x > 1 (à direita de 1).

Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixomostram o comportamento da função f, paravalores x à esquerda e à direita de x = 1.

Pela esquerda de x = 1

Pela direita de x = 1

Nesse caso, dizemos L = 2 é o limite da funçãof quando x se aproxima de 1, o que denotare-mos por:

limx→1

f(x) = 2

Esse resultado pode ser visto por meio da análisegráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo:

2.3 Limite de uma função real

Seja f uma função real definida sobre o interva-lo (a,b) exceto talvez no ponto x = c que per-tence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais.

Diz-se que o limite lateral à direita de f no pontoc é igual a Ld, se os valores da função seaproximam de Ld, quando x se aproxima de cpor valores (à direita de c) maiores do que c.Em símbolos:

limx→ +∞

f(x) = Ld

O limite lateral à esquerda de f no ponto c éigual a Le, se os valores da função se aproxi-mam de Le, quando x se aproxima de c por va-lores (à esquerda de c) menores que c. Emsímbolos:

limx→ +∞

f(x) = Le

Quando o limite lateral à esquerda Le coincidecom o limite lateral à direita Ld, diz–se queexiste o limite da função no ponto c e o seuvalor é Ld = Le = L. Com notações simbólicas,escrevemos:

25

Cálculo I – Limites

26


limx→ c

f(x) = L

O que significa que, para qualquer e > 0 e arbi-trário, existe um d > 0, que depende de e, talque

|f(x)–L| < e para todo x satisfizando 0 < |x–a|< d.

No caso em que um dos limites laterais nãoexiste ou no caso de ambos existirem, porémcom valores diferentes, diremos que a funçãonão tem limite no ponto em questão.

O próximo resultado afirma que uma funçãonão pode aproximar-se de dois limites dife-rentes ao mesmo tempo, e ele é denominado oteorema da unicidade, porque garante que seo limite de uma função existe, então ele deveráser único.

Unicidade do limite – Se Lim f(x) = A e Lim f(x)= B quando x tende ao ponto c, então A = B.

Demonstração – Se e > 0 é arbitrário, entãoexiste d' > 0 tal que |f(x)–A| < e/2 sempre que0< |x – a| < d'. Como também temos porhipótese que existe d">0 tal que|f(x)–B| < e/2sempre que 0<|x–a|<d".Tomando d=min{d',d"}>0, temos que:

|f(x)–A| < e/2 e |f(x)–B| <e/2 sempre que0<|x–a|<d.

Pela desigualdade triangular, temos:

|A–B| = |A–f(x)+f(x)–B| < |A–f(x)| + |f(x)–B|.

Como e>0 é arbitrário, temos:

|A–B| < e

então |A–B| = 0, o que garante que A=B.

Exemplos:

1. Seja a função f(x) = 2x + 1. Vamos dar valoresa x que se aproximem de 1, pela sua direita(valores maiores que 1) e pela esquerda (val-ores menores que 1) e calcular o valor corres-pondente de y:

Notamos que à medida que x se aproxima de1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tendepara 1(x→1), y tende para 3 (y→3), ou seja:

limx→1

(2x + 1) = 3

Observamos que quando x tende para 1, ytende para 3 e o limite da função é 3. Esse é oestudo do comportamento de f(x) quando xtende para 1 (x→1). Nem é preciso que x as-suma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)→3),dizemos que o limite de f(x) quando x→1 é 3,embora possam ocorrer casos em que para x= 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral,escrevemos:

limx→a

f(x) = b se, quando x se aproxima dea(x → a), f(x) se aproxima de b (f(x) → b).

2. Seja, agora, a função

lim

Como x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2), temos:

Podemos notar que quando x se aproxima de1 (x → 1), f(x) se aproxima de 3, embora parax = 1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é queprocuramos o comportamento de y quandox→1. E, no caso, y → 3. Logo, o limite de f(x)é 3.

Escrevemos:

Se g: IR→ IR e g(x) = x + 2, limx→1

g(x) = limx→1

(x + 2)= 1 + 2 = 3, embora g(x) ≠ 1 f(x) em x = 1.No entanto, ambas têm o mesmo limite.

27


3. Consideremos agora o caso onde f(x) não estádefinida em x = c.

à

Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, olimite de f(x), quando x se aproxima de 1, existee é igual a 2:

à

Ora, x pode ser tomado tão próximo de 1 quan-to quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que olimite de f(x) é 2.

2.4 Generalização do conceito de limite

Definição

Dados uma função f: B IR e um ponto de acu-mulação a de B, diz-se que um número ∈IRé limite de f em a, e escreve-se:

limx→a

f(x) = ou f(x) → , com x → aquando vale a seguinte condição:

Para todo ε > 0, existe δ = δ(ε) > 0 tal que:

x ∈ B, 0 < |x – a| < δ ⇒ |f(x) – | < ε.

Exemplos:

1. Consideremos a funçãoà

Note que f não está definida no ponto x = 1. Noentanto, para x ≠ 1 temos f(x)=2(x+1) e, por-tanto, é natural suspeitar que lim

x→1 f(x) = 4.

Mostremos por meio da definição que este é ocaso. De fato, se x ≠ 1 podemos escrever

|f(x)–4| = |2(x + 1) – 4| = 2|x – 1|.

Assim, dado ε > 0, se escolhermos δ = ε/2

obtemos 0 < |x – 1| < δ ⇒ 2|x – 1|< ε, ouseja, |f(x) – 4| < ε. Veja a figura abaixo:

limx→1

2(x2 – 1)/(x – 1) = 4 [δ = ε/2]

à

2. limx→2

(3x + 4) = 10. De fato, dado ε > 0, para encon-trar um δ > 0 que nos convenha, notemos queneste caso a = 2 e |f(x) – | = |(3x + 4) – 10| .Assim, se tomarmos δ = ε/3, temos:

0 > |x – 2| < δ ⇒|(3x + 4) – 10| = 3|x – 2| < 3δ = ε.

3. limx→2

(x2 + 1) = 5. De fato, dado ε > 0, vamosprocurar δ > 0 sob a restrição δ ≤ 1. Assim,|x – 2| < δ implica 1< x < 3 e, portanto,|x+2| < 5. Logo, se 0 < δ ≤ ε/5, temos0 < |x – 2| < δ, então|(x2 + 1) – 5| = |x + 2||x – 2| < 5|x – 2|< 5δ ≤ ε.Portanto basta tomar 0 < δ ≤ min{1,ε/5}.

4. limx→a

cos x = cos a. De fato, observemos que sem-pre |cos x1 – cos x2|≤||x1 – x2|; confira com afigura abaixo. Assim, dado ε > 0, podemostomar δ = ε uma vez que, nesse caso:

0 <|x – a|< δ,então:|cos x – cos a|≤||x – a| < δ = ε|cos x1 – cos x2|≤||x1 – x2|

à

28


1. Na função f definida por

temos:

limx→1+ f(x)= lim

x→1+(3 – x) = 2 e limx→1− f(x) = lim

x→1−(x2 – 4) = –3

Como os limites laterais são diferentes, dize-mos que lim

x→1 f(x) não existe.

2. Dada a função f definida por para to-

do x∈IR*, calcule limx→0+ f(x) e lim

x→0− f(x). Existe limx→0

f(x)?

Solução:

, temos:

e

Considerando que limx→0+ f(x) ≠ lim

x→0− f(x), concluí-mos que não existe lim

x→0 f(x).

3. Calcule limx→1+ f(x) e lim

x→1− f(x), sendo

.Solução:

limx→1+ f(x) = lim

x→1+ 2x = 2 e limx→1− f(x) = lim

x→1− x2 = 1.

1. Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.

a) 1

b) n

c) 1

d) n

2. Dada a função , verifique que

limx→1+ f(x) = lim

x→1− f(x).

TEMA 03

CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO

3.1 Introdução

Dizemos que uma função f(x) é contínua numponto a do seu domínio se as seguintescondições são satisfeitas:

∃f(a)

∃limx→a

f(x)

limx→a

f(x) = f(a)

3.2 Propriedade das funções contínuas

Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:

f(x) ± g(x) é contínua em a;

f(x) . g(x) é contínua em a;

f(x)g(x) é contínua em a (g(a) ≠ 0).

3.3 Generalização sobre continuidade de umafunção

Dizer que uma função f é contínua em umponto a significa que f(a) existe e que f levapontos “próximos” de a em pontos “próximos”de f(a). Isso pode ser resumido precisamentena seguinte definição:

Definição:

Uma função f : B → é contínua em um pontoa∈B se, dado ε, existe δ > 0 de modo que

x∈B, |x – a| < δ ⇒ |f(x) – f(a)| < ε.

Note que, se o domínio de f for um intervalo,B=(b,c), b<c, a definição está exigindo as trêsseguintes condições: 1) a∈B; 2) existe lim

x→a f(x) e

3) limx→a

f(x) = f(a).

3.4 O teorema de Weierstrass

Toda função contínua num intervalo fechado[a,b] assume um máximo e um mínimo em[a,b].

Entretanto é importante observar que ele ga-rante que uma função, sendo contínua num in-tervalo fechado, certamente admitirá ponto deextremo, tanto máximo como mínimo, poden-

29


do ser interior ao intervalo ou em qualquer dasextremidades.

à

Observação:

No gráfico, observamos que a função admiteum ponto de máximo local e um ponto de mí-nimo local, ambos interiores ao intervalo.

Entretanto o ponto de máximo global da fun-ção ocorre na extremidade b, e o ponto demínimo global ocorre na extremidade a do in-tervalo.

Também é conveniente observar que o Teo-rema só vale se a função é contínua num inter-valo fechado. Se a continuidade for num inter-valo aberto, não é possível garantir a existênciade máximo e mínimo globais.

Exemplos:

1 Consideremos à

medida que x se

aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definidoem 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:

À medida que x aproxima–se de 2, f(x) aproxi-ma–se de 0.4 e consequentemente temos aigualdade lim

x→ 2f(x) = 0.4. Sempre que se veri-

fique a igualdade f(c) = limx→ c

f(x), diz–se que f écontínua em x = c. A igualdade não é válidapara todas as funções.

2. Vejamos a função:

à

O limite de g(x) à medida que x se aproxima de

2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas limx→ 2

g(x) ≠ g(2) econsequentemente g não é contínua em x = 2.

3. a função f(x) = 2x + 1 definida em IR é con-tínua em 1, pois

Notemos que f é contínua em IR, pois paratodo a ∈ IR, temos:

4. A função definida em IR é

descontínua em 1, pois

Observemos que f é contínua em IR – {1} pois,para todo a IR – {1}, temos:

5. Dada a função , verificar se

existe algum ponto de descontinuidade .

Como limx→ 3

f(x) = limx→ 3

(x + 1) = 4; limx→ 3+

f(x) =

= limx→ 3

4 = 4 e f(3) = 4 temos que limx→ 3

f(x) = f(3)o que implica que a função é contínua no pontox = 3.

Para k ≤ 3, limx→ k

f(x) = limx→ k

(x + 1) =limx→ k

x + limx→ k

1 = k + 1 e f(k) = k + 1

Para k > 3, limx→ k

f(x) = limx→ k

4 = 4 e f(k) = 4

Então, f é contínua em IR e não há ponto dedescontinuidade.

Em geral, restringimos a análise aos valores dex que não verificam as condições de existência

de f ou que “quebram” o domínio de f (nesteexemplo, x = 3).

6. Verifique se a função é contínua

em x = 3.

Cálculo de f(3):

Cálculo de limx® 3

f(x) =

Como limx® 3

f(x) = f(3), f(x) é contínua em x = 3

Verifique se a função f é contínua no pontoespecificado.

1.

2.

3.

4.

5.

TEMA 04

PROPRIEDADES DOS LIMITES

4.1 Introdução

Muitas funções do Cálculo podem ser obtidascomo somas, diferenças, produtos, quocientese potências de funções simples. Introduzire-mos propriedades que podem ser usadas parasimplificar as funções mais elaboradas. Emtodas as situações abaixo, consideraremosx→a.

• Se f(x) = C onde C é constante, então

Lim f(x) = Lim C = C.

• Se k e b são constantes e f(x) = kx+b,então Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b.

• Se f e g são duas funções, k uma constante,A e B números reais e além disso Limf(x)=A e Lim g(x)=B, então:

(1) Lim(f ± g)(x)=[Lim f(x)]±[Lim g(x)] = A ± B

(2) Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B

(3) Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A

(4) Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An

(5) Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B,se B é não nulo.

(6) Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A)

• Se acontecer uma das situações abaixo:

Lim f(x) = 0.

Lim f(x)>0 e n é um número natural.

Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar.

Então:

Exemplos:

1.

2.

3.

4.

30


31


5.

6.

7.

8.

Observações sobre as propriedades:

As propriedades que valem para duas funções,valem também para um número finito de fun-ções.

As propriedades 3–1, 3–2 e 3–5 estabelecemque, se existem os limites das parcelas, entãoexistirá o limite da operação, mas a recíprocadeste fato não é verdadeira, pois o limite deuma operação pode existir sem que existam oslimites das parcelas.

4.2 Teoremas importantes

Teorema do anulamento – Se f é uma funçãolimitada e g é uma função tal que Lim g(x) = 0,quando x→a, então: Lim f(x)·g(x) = 0.

Esse resultado é útil para podermos obter cál-culos com limites.

Teorema do Confronto (regra do sanduiche)– Se valem as desigualdades f(x)< g(x) < h(x)para todo x em um intervalo aberto contendo a,exceto talvez em x = a e se Lim f(x) = L = Limh(x), então Lim g(x) = L.

Generalização:

Sejam f, g, h : B → tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)x∈B, e lim

x→a f(x) = lim

x→a h(x) = . Então lim

x→a g(x) = .

O gráfico de g fica "preso'' entre os de f e h,como mostra a figura abaixo.

Demonstração:

Seja ε > 0 um número qualquer. Comolim

x→a f(x)= lim

x→a h(x)= , existem δ1,δ2>0 de modo que

x∈A, 0<|x – a|<δ1 ⇒ – ε < f(x) < + ε,

x∈A, 0<|x – a|<δ2 ⇒ – ε < f(x) < + ε,

Logo, se δ: = min{δ1,δ2} > 0 e se x∈A, acondição 0 < |x – a| < δ implica

ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < + ε,

Donde |g(x) – | < ε, ou seja, limx→a

g(x) = .

Exemplo – Se para x próximo de 0, vale arelação de desigualdades cos(x) < sen(x)/x <1 então, quando x→0:

1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1

Observações – Todas as propriedades vistaspara o cálculo de limites são válidas tambémpara limites laterais e para limites no infinito.

Quando, no cálculo do limite de uma função,aparecer uma das sete formas, que são deno-minadas expressões indeterminadas,

nada se poderá concluir de imediato sem umestudo mais aprofundado de cada caso.

Exemplo:

Seja f uma função e suponha que para todo xtenhamos |f(x)| ≤ x2.

a) Calcule, caso exista, limx→ 0

f(x);

b) f é contínua em x = 0? Por quê?

Solução:

a) |f(x)| ≤ x2 ⇔ –x2 ≤ f(x) ≤ x2

Como limx→ 0

f(–x2) = 0 = limx→ 0

x2, segue, do teo-rema do confronto, que lim

x→ 0f(x) = 0.

b) Segue de (a) que f será contínua em 0 sef(0)=0. Pela hipótese, |f(x)| ≤ x2 para todox, logo, |f(0)| ≤ 0e, portanto, f(0)=0. Assim,limx→ 0

f(x) = 0 = f(0), ou seja, f é contínua em 0.

1. Calcular .

Como as funções f(x) = x2 – 9 e g(x) = x – 3 seanulam para x = 3, cairemos na expressão e

nada poderemos concluir. Assim, devemos sim-plificar a fração, eliminando a indeterminação.

Logo,

2. Calcular .

Nesse caso, devemos multiplicar e dividir afração pelo conjugado do numerador.

3. Calcular .

4. Calcular .

1. Calcule limx→ 1

(log 10x).

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

2. Determine o Valor de .

a) 1/5

b) 2/6

c) 3/4

d) 4/3

e) 3/5

3. Calcule .

a) 10

b) 12

c) 15

d) 17

e) 19

4. Calcule

a) 2/5

b) 3/5

c) 3/2

d) 2/3

e) 2/4

5. Ache o valor de .

a) 1

b) –1

c) –2

d) 3

e) –4

6. O é igual a:

a) –4 b) 1

c) 4 d) 2

e) 3

7. Calcular .

a) x b) 2x

c) 4x d) 3x

e) 5x

32


8. O é igual a:

a) 1/9

b) 1/27

c) 1/243

d) 1/81

e) 1/54

9. O valor de é:

a) 2

b) 0

c) 8

d) 4

e)

10. O limite

a) não existe;

b) não é nenhum número real;

c) vale 2;

d) vale 0;

e) vale 4.

11. O vale:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 4

e) 6

12. O valor de é:

a) –1

b) –2

c)

d) 0

e) 1

TEMA 05

LIMITES INFINITESIMAIS

5.1 Limites infinitos

Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremosanalisar o comportamento numérico dessa fun-ção por meio das tabelas abaixo.

Quando x → 0, por valores maiores que zero(x → 0+) os valores da função crescem semlimite.

Quando x → 0, por valores menores que zero(x → 0), os valores da função decrescem semlimite.

Observamos que próximo de x = 0, o compor-tamento da função é estranho.

Baseado nesse exemplo, podemos afirmar quequando x tende a 0, esta função não tem os va-lores aproximando-se de um limite bem defi-nido.

Ao analisar o comportamento numérico def(x)=1/x², nas proximidades de x=0, observa-mos que:

33


Observamos pelas tabelas, que se x → 0, porvalores maiores ou menores do que 0, os va-lores da função crescem sem limite. Assim, po-demos afirmar, por este exemplo, que, quandox → 0 esta função tem os valores aproximan-do-se de um limiar (inf = infinito = ∞). Nessecaso, dizemos que não existe o limite def(x)=1/x² no ponto x=0, mas denotamos talfato por:

Por causa dessa notação, costuma-se dizerque algumas funções têm limites infinitos, epor causa desse limite, dizemos também que ográfico desta função tem uma assíntota verti-cal, que é uma reta cuja equação é dada por x = 0, neste caso.

Definição:

Seja f uma função definida para todo x em I,exceto possivelmente no ponto x = a em I umintervalo aberto contendo a. Diz-se que f temlimite infinito, quando x se aproxima de a, o queé denotado por: limx→a f(x)=+ ∞Se, para todo número real L>0, existir um d>0tal que se 0<|x–a|<d, então f(x) > L.

De modo similar, g(x)=–1/x² apresenta um grá-fico com todos os valores da imagem no interva-lo (–∞,0). O comportamento de g próximo de x = 0 é similar ao de f(x) = 1/x², porém os valoressão negativos. Nesse caso, dizemos que nãoexiste limite no ponto x = 0, no entanto represen-tamos tal resultado por: Limx→0 –1/x²= + ∞

Definição:

Se o limite de f(x) tende a infinito, quando x→apela esquerda e também pela direita, dizemosque o limite de f(x), quando x → a é infinito, eescrevemos: limx→af(x) = +∞Analogamente, a expressão matemática:

limx→af(x) = –∞significa que f(x) tende a –∞, se x→a pelaesquerda e também pela direita.

5.2 Extensão sobre limites no infinito

Analisaremos agora o comportamento deh(x)=1/x, quando x cresce arbitrariamente(x→∞) ou quando x decresce arbitrariamente(x→–∞).

Pelas tabelas, observamos que:

Limx→+ ∞ h(x) = 0

Limx→– ∞ h(x) = 0

Quando construímos o gráfico de h, observa-mos que existe uma reta (assíntota) horizontalque é a reta y=0, que nunca toca a função,mas aproxima-se dela em +∞ e em –∞.

Temos, então, uma definição geral, engloban-do tal situação:

Definição:

Seja f uma função definida para todos os valoresdo intervalo (a,∞). Escrevemos:

limx→∞

f(x) = L

quando, para todo e>0, existe um número realM > 0 tal que |f(x)–L|<e sempre que x > M.

y

x

x

y

x

y

34


Formalizaremos agora o conceito de assíntotahorizontal.

Definição:

Dizemos que a reta y = L é uma assíntota ho-rizontal do gráfico de f se

limx→∞

f(x) = L ou limx→–∞

f(x) = L

5.3 Limite de uma função polinomial para x→±∞

Seja a função polinomial

f(x) = anxn + an–1xn–1 +... + a2x2 + a1x + a0.Então:

Demonstração:

Mas:

Logo:

De forma análoga, para g(x) = bmxm +...b1x + b0,temos:

Exemplos:

1.

2.

3.

1. Calcule

a) 1/5 b) 2/6c) 1/2 d) 3/4e) 1/4

2. Calcule

a) 0

b) 1

c) 3

d) 2

e) 4

3. Calcule .

a) 0

b) 1

c) 6

d) 2

e) –2

4. Calcule .

a) 1

b) 4

c) 3

d) 2

e) 0

5. Calcule os limites:

a)

b)

c)

d)

e)

35


TEMA 06

LIMITES TRIGONOMÉTRICOS

6.1 Introdução

Demonstração:

Para x → 0, temos sen x < x < tg x. Dividindoa dupla desigualdade por sen x > 0, vem:

Invertendo, temos:

Mas:

limx→0

1 = limx→0

cos x = 1

g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e selimx→a

g(x) = limx→a

h(x) = b então, limx→a

f(x) = b. Logo,

6.2 Exemplos:

a)

b)

c)

d)

1. Determinar .

2. Determinar

Transformando, temos:

3. Calcular


1. Calcular os seguintes limites:

a)

b)

36


2. Determine:

a)

b)

c)

3. Calcular os seguintes limites:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

TEMA 07

LIMITES EXPONENCIAIS

7.1 Introdução

Nesse caso, e representa a base dos logarit-

mos naturais ou neperianos. Trata-se do nú-

mero irracional cujo valor aproximado é

2,7182818.

Veja a tabela com valores de x e de .

Notamos que à medida que .

De forma análoga, efetuando a substituição

, temos:

Ainda de forma mais geral, temos :

As duas formas acima dão a solução imediata

a exercícios desse tipo e evitam substituições

algébricas.

Se ax – 1 = u, então ax + 1 = u.

Mas:

37


Logo:

Como x → 0 , então u → 0. Portanto:

Generalizando a propriedade acima, temos

.

1. Determinar

2. Determinar o .

Fazendo temos x = 3 u e x → + ∞ impli-

ca u → +∞ assim:

Logo:

3. Calcular .


Fazendo –x = t, temos:

x → –∞ t → + ∞Substituindo-se, vem:

1. Calcule

a) e b) e7

c) 1/e3 d) ex

e) e4

2. Calcule o

a) e b) –e

c) e2 d)

e) e4

3. Calcule os limites:

a)

b)

c)

38


Augustin-Louis Cauchy

(Paris, 21 de agosto de 1789 – Paris, 23 de maio

de 1857) foi um matemático francês.

O primeiro avanço na matemática modernapor ele produzido foi a introdução do rigor naanálise matemática. O segundo foi no ladooposto – combinatorial. Partindo do ponto cen-tral do método de Lagrange, na teoria das equa-ções, Cauchy tornou-a abstrata e começou asistemática criação da teoria dos grupos. Nãose interessando pela eventual aplicação doque criava, ele desenvolveu para si mesmoum sistema abstrato. Antes dele, poucos bus-caram descobertas proveitosas na simplesmanipulação da álgebra.

Foi um dos fundadores da teoria de grupos fini-tos. Em análise infinitesimal, criou a noçãomoderna de continuidade para as funções devariável real ou complexa. Mostrou a importânciada convergência das séries inteiras, com asquais seu nome está ligado. Fez definições pre-cisas das noções de limite e integral definida,transformando-as em notável instrumento parao estudo das funções complexas. Sua abor-dagem da teoria das equações diferenciais foiinteiramente nova, demonstrando a existênciade unicidade das soluções, quando definidasas condições de contorno. Exerceu grandeinfluência sobre a física de então, ao ser oprimeiro a formular as bases matemáticas daspropriedades do éter, o fluido hipotético queserviria como meio de propagação da luz.

A vida de Augustin Cauchy assemelha-se auma tragicomédia. Seu pai, Louis-François,esteve muito próximo da guilhotina, apesarde ser advogado, culto, estudioso da Bíblia,católico fanático e tenente de polícia.Augustin era o mais velho dos seis filhos (doishomens e quatro mulheres). Seguia obsti-nadamente os preceitos da Igreja Católica.Seu eterno louvor à beleza e à santidadecansava os que o ouviam.

39


UNIDADE IIIDerivada

43

Cálculo I – Derivada

TEMA 08

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO, DEFINIÇÃO

8.1 CÁLCULO DIFERENCIAL: UMA DUPLAAGITA O MEIO CIENTÍFICO

As primeiras idéias sobre o cálculo foram re-gistradas na Grécia, no século V a.C., e es-tavam ligadas ao cálculo de áreas, volumes ecomprimentos de arcos.

Supõe-se que foi o matemático grego Eudoxode Cnido quem teria dado os primeiros passosnesse campo, criando o método de exaustão,que mais tarde foi aplicado brilhantementepelo matemático grego Arquimedes de Sira-cusa (287–212 a.C.) para calcular a área de umsegmento parabólico. Para o cálculo avançar,porém, era necessário descobrir fórmulas ge-rais, que permitissem, por exemplo, calcular aárea de qualquer figura geométrica.

Contudo isso só veio a acontecer no séculoXVII, quando vários matemáticos, entre eles ofrancês Pierre de Fermat (1601–1665) e osingleses Jhon Wallis (1616–1703) e IsaacBarrow (1630–1677), deram importantes pas-sos nesse sentido, além de abrirem caminhopara dois outros grandes matemáticos daque-la época: Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz.

Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz

Essa dupla, trabalhando separadamente e nomesmo período, estabeleceu as bases docálculo.

Newton fundamentava suas idéias na mecâni-ca e Leibniz, na geometria.

A partir do século XVIII, o cálculo sofreria pro-fundas transformações, principalmente por

causa dos trabalhos dos matemáticos france-ses Augustin Louis Cauchy (1789–1857) eJoseph Louis Lagrange (1736–1813).

O cálculo diferencial e integral, como é co-nhecido hoje, é um instrumento matemático deextrema importância. Suas aplicações, além damatemática e da física, estendem-se também àquímica, à biologia, à engenharia, etc.

8.2 INTRODUÇÃO DO ESTUDO DASDERIVADAS

O problema fundamental do cálculo diferencialé estabelecer uma medida para a variação dafunção com precisão matemática. Foi investi-gando problemas dessa natureza, lidando comgrandezas que variam com continuidade, queNewton foi conduzido à descoberta dos princí-pios fundamentais do cálculo.

Da física, sabemos que quando uma partículase movimenta segundo a equação horária S =f(t), em que s é a abscissa (posição) do pontoem que se encontra a partícula no instante t (sé uma função de t), a velocidade média do mo-vimento entre dois instantes (t0,t), que vamosindicar por Vm(t0;t) é dada por:

A velocidade (instantânea) no instante t0, V(t0) édefinida pelo limite de Vm(t0; t) quando t tendea t0:

Exemplo:

• Uma particula movimenta-se segundo aequação horária S = 2t2 + 5t + 10, s em me-tros e t em segundos. Obter a velocidade:

a) no instante t = 1;

b) num instante t = t0

44


Solução:

a)

A velocidade média no instante t = 1 é:

V(1) = 9m/s

b)

V(t0) = 4t0+ 5

equação da velocidade para

t = 1 ⇒ V(1) = 4 × 1 + 5 = 9m/s

8.3 RAZÃO INCREMENTAL

Seja f (x) uma função definida em um intervaloI de seu domínio, e sejam x0 e x = x0 + Δx doisvalores pertencentes a esse intervalo

Δx : acréscimo da variável x : Δx = x – x0

Δx : acréscimo da variável y : Δy = f(x) – f(x0)

ou Δy = f(x0 + Δx) – f(x0)

Denomina-se razão inceremental o quociente

Então, temos:

ou

Exemplo:

Calcular a razão incremental da funçãof(x) = 3x – 1, relativa ao ponto x0 = 2

Solução:

f(x) = 3x – 1 e f(x0) = f(2) = 3 . 2 – 1 ⇒ f(x0) = 5

Então, temos:

⇒ ⇒

8.4 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UMPONTO

Seja y = f (x) a função que está representadano gráfico, e sejam x0 e x0 + Δx dois valores deseu domínio.

Denomina-se derivada da função f (x) no pontox0 o limite finito (se existir) da razão incremen-tal da função quando Δx tende a zero, ou seja:

45


Exemplo:

1. Determinar a derivada da função f(x) = 4x2 – 2no ponto x0 = 2

Solução:

Como , temos:

2. Dada a função f(x) = 3x2, definida em IR, calcu-lar a função derivada f’(x).

Solução:

1. Calcule a razão incremental da função f (x), re-

lativa ao ponto x0, nos seguintes casos:

a) f(x) = 3x2 + 1, no ponto x0 = 2

b) f(x) = x2 + 3x, no ponto x0 = 1

c) f(x) = x3, no ponto x0 = –1

2. Calcule a derivada da função f(x) no ponto x0

em cada caso:

a) f(x) = x2 + 1, no ponto x0 = 3

b) f(x) = x2 + 2x, no ponto x0 = 4

c) f(x) = x2 – 3x + 4, no ponto x0 = 1

d) f(x) = 2x – 1, no ponto x0 = 2

3. Dada a função f (x), definida em IR, determinef´(x) nos seguites casos:

a) f(x) = x2 – 2x

b) f(x) = x

c) f(x) =

d) f(x) = 3x + 4

e) f(x) = x3 + 2x2

4. Determine o valor de x que anula a derivada dafunção f(x) = x2 – 4x

5. Um ponto percorre uma curva obedecendo àequação horária s = t2 + t – 2. Calcule a suavelocidade no instante t0= 2seg.

1. A derivada da função f(x) = x2 – 3x no pontox = 0 é igual a:

a) 0

b) – 3

c) – 1

d) 1

e) n.d.a.

2. Sendo f(x) = 2x2, então f’(3) é igual a:

a) 4

b) 12

c) 18

46


d) 36

e) n.d.a.

3. Se f(x) = 6x3, então f’(x) é igual a:

a) 9x2

b) x2

c) 18x2

d) 3x2

e) n.d.a.

4. A função derivada de y = x3 é definida por:

a) y’ = 3x

b) y’ = 3x2

c) y’ = x2

d) y’ = 3x3

e)

5. A função derivada da função é:

a)

b)

c)

d)

e) n.d.a.

6. A função derivada da função f(x) = 3x2 – 2xanula-se para:

a) x = 0

b) x = 3

c)

d)

e) n.d.a.

TEMA 09

A RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMAFUNÇÃO

9.1. Introdução

Imaginemos que o gráfico cartesiano de umafunção y = f (x) admita uma reta tangente tnum ponto P de abscissa x0. Vamos represen-tar por αt(x0) o ângulo de inclinação da reta tan-gente em relação ao eixo x.

Da geometria analítica, sabemos que o coefi-ciente angular da reta t, que vamos indicar pormt(x0), é dado por: mt(x0) = tgαt(x0).

Se Q é um ponto qualquer do gráfico de f, deabscissa x ≠ x0, a reta S = é uma secanteao gráfico. O coeficiente angular da secante,que indicaremos por

Fazendo x tender a x0, isto é, imaginando P fixoe Q movimentando-se sobre o gráfico, aproxi-

47


mando-se de P, observamos que a inclinação

da reta secante tende à inclinação da reta tan-

gente: αs → αt(x0)

Nesse caso, temos tambem: tgαs → tgαt(x0)

ms → mt(x0)

Então, temos:

Quando existe o limite finito

Exemplo:

Calcular o coeficiente angular da reta tangenteao gráfico da função y = x² no ponto de abscis-sa x = 1

Solução

9.2 DEFINIÇÃO

Para estudar esse problema, consideremos ográfico da função y = f (x) indicado na figura:

Em que:

Δx= incremento da variável x

Δyincremento da função

razão incremental

Na figura, temos:

s é uma reta secante à curva;

t é uma tangente à curva no ponto A(x0, y0);

(considerando o triângulo ABC)

Note que, quando Δx → 0, o ponto B tenderáao ponto A, e a reta secante s tenderá à retatangente t; como conseqüência, o ângulo βtenderá a α, e teremos:

Enquanto Δx tende a zero, a reta secante tendea uma posição limite, que é a reta tangente àcurva no ponto A de abscissa x0.

Portanto o coeficiente angular da tangente é ovalor do limite dos coeficientes angulares dassecantes quando Δx tende a zero.

O valor desse limite denomina-se derivada dafunção f(x) no ponto de abscissa x0, e indica-mos f’(x0).

48


Definição:

Seja a função f (x) definida no intervalo [a, b], eseja um ponto de abscissa x0 desse inetrvalo.

Denomina-se derivada da função f (x) noponto de abscissa x0, o limite, se existir e for

finito, da razão quando Δx

tende a zero.

Ou ou

Exemplos:

• Determinar a derivada da função f(x) = 3x2

no ponto de abscissa x0 = 2.

Solução:

1.ª MANEIRA

Se x0 = 2 ⇒ f(x0) = f(2) = 3 × 22 = 12

Logo:

2.ª MANEIRA

f(x0 + Δx) = f(2 + Δx) = 3 (2 + Δx)2 =

12 + 12Δx + 3(Δx)2

f(x0 ) = f(2) = 3 . 22 = 12

Logo:

f’(2 ) = 12

• Dada a função , calcular a deriva-da de f’(x) no ponto x = 0.

Solução:

Daí:

Observação: Não possui derivada em x = 0

• Determinar, pela definição, a função deriva-

da de f(x) = x2.

Solução:

• Qual a reta tangente ao gráfico da funçãona origem?

SOLUÇÃO

A reta que procuramos passa no ponto (0;0)

(x → 0+, pois é definida só para x ≥ 0).

49


Quando o limite é +∞, a reta tangente éperpendicualr ao eixo x. Concluímos que areta tangente a na origem é o eixo y.

• Dada a função f(x) = x2 – 2x, determinarf’(6):

SOLUÇÃO

f(x) = x2 – 2x

f(x0) = f(6) = 62 – 2 . 6 = 24

Logo:

• Dada a função f (x) = sen x, determinar,pela definição, a função derivada de f (x).

SOLUÇÃO

Como, pela triigonometria, sen a – sen b =

, temos:

Pelo limite trigonométrico fundamental,estudado anteriormente, temos:

Substituindo na igualdade anterior, temos:

• Seja a função f: IR → IR tal que f(x) = 3x2 – 1.Determinar:

a) a derivada de f no ponto de abscissa 2, istoé, f´(2);

b) a equação da reta t tangente ao gráfico de fno ponto P (2, 11).

SOLUÇÃO

a)

como

e

, temos:

b) Temos, da reta t, o ponto P(2,11) e o coefi-

ciente angular m = f’(2) = 12. Pela equação

fundamental: obtemos a equacação da reta

t : y – 11 = 12(x – 2) ∴ y = 12x – 13.

Graficamente, temos:

= 10

50


• A função f : IR –{3} → tal que é

derivável no intervalo ]1, 5[?

SOLUÇÃO

Para que uma função f seja derivável em umponto de abscissa a, a definição exige queexista f (a). Como 3 ∉ D(f), temos que f nãoé derivável no ponto de abscissa 3 e, por-tanto, não é derivável no intervalo ]1, 5[.

• Mostrar que a função f : IR –{3} → IR tal que

é derivável em todo seu domínio.

SOLUÇÃO

Temos que: ,

para x ≠ 3.

Existe f’(a) se, e somente se, existe e é fini-

to o limite:

Para qualquer a, a ∈ IR e a ≠ 3, temos:

Como esse limite existe e é finito para todoelemento real a, a ≠ 3, temos que f éderivável em seu domínio.

1. Considerando a reta t, tangente à curva defini-da por f (x) = x², no ponto de abscissa 2, deter-minar:

a) o coeficiente angular da reta t

b) a equação da reta t.

2. Considerando a reta t, tangente à curva defini-da por , no ponto de abscissa 1,determinar:

a) o coeficiente angular da reta t

b) a equação da reta t

3. Qual é a equação da reta tangente à curva

y = x2 – 3x no seu ponto de abscissa 4?

4. A equação da reta tangente à curva de equaçãoy = 2x2 – 1, no ponto de abscissa 1, é:

a) y = 4x – 3

b) y = 4x – 1

c) y = 2x + 3

d) y = –2x + 1

e) y = 3x + 2

5. Aplicando a definição, calcule:

a) a derivada da função f(x) = x2 + x no pontode abscissa x = 3.

b) a derivada da função f(x) = x2 – 5x + 6 noponto x = 1.

6. Através da definição, ache a derivada def (x) = cos x

51

TEMA 10

REGRAS DE DERIVAÇÃO

10.1 DERIVADAS FUNDAMENTAIS

Regras que nos permitirão calcular a derivadade uma função f(x) mais facilmente. A demons-tração dessas regras poderá ser feita com aaplicação da definição; como esse processo édemasiado longo, faremos algumas, e as ou-tras ficarão como exercícios complementares.

a) Derivada da função constante

f(x) = k ⇒ f’(x) = 0; k ∈ IR

Demonstração:

Exemplo:

f(x) = ⇒ f’(x) = 0

b) Derivada da função identidade

A derivada da função identidade f (x) = x é1, ou seja: f(x) = x ⇒ f’(x) = 1

Demonstração:

c) Derivada da função potência

A derivada da função f(x) = xn (n ∈ N*) é: f’(x) = n × xn–1, ou seja:

f(x) = xn ⇒ f’(x) = nxn–1

Exemplos:

• f(x) = x3 ⇒ f’(x) = 3x3–1 = 3x2

• f(x) = 4x2 ⇒ f’(x) = 2 × 4 × x2–1 = 8x

•f(x) = x–5 ⇒ f’(x) = –5 x x–5–1 = –5x–6 =

•

d) Derivada da função seno

A derivada da função f (x) = senx é a função

f´(x) = cosx, ou seja:

f(x) = senx ⇒ f’(x) = cosx

Demonstração

Obs.:

e) Derivada da função co-seno

A derivada da função f (x) = cosx é a funçãof’(x) = –senx

f) Derivada da funçãoe exponencial

A derivada da função exponencial f(x) = ax

(a > 0 e a ≠ 1 é a função f’(x) = ax . ln a

Demonstração:

Obs:

Exemplo:

f(x) = 5x ⇒ f’(x) = 5x . ln 5

g) Derivada da função logarítmica neperianaA derivada da função f (x) = lnx é a função

(x > 0)


Caso seja dado o logaritmo numa base a, a > 0 e a ≠ 1, fazemos a mudança para a base e.

Então:

Exemplos:

• (x > 0)

• (x > 0)

10.2 REGRAS OPERATÓRIAS DE DERIVAÇÃO

Sejam u e v funções deriváveis em um interva-lo aberto I. Para todo x, x∈I, tem-se que:

a) Derivada da soma

f(x) = u(x) + v(x) ⇒ f’(x) = u’(x) + v’(x)

Demonstração:

f’(x) = u’(x) + v’(x) c . q . d

b) Derivada da diferença

f(x) = u(x) – v(x) ⇒ f’(x) = u’(x) – v’(x)

Obs.: A soma ou a diferença para n funções

• f(x) = u1(x) + u2(x) +...+ un ⇒

f’(x) = u’1(x) + u’2(x) +...+ u’n(x)

• f(x) = u1(x) – u2(x) –...– un ⇒

f’(x) = u’1(x) – u’2(x) –...– u’n(x)

1. Determinar a derivada de cada uma dasseguintes funções:

a) f(x) = x4 + sen x

Solução:f’(x) = 4x3 + cos x

b) g(x) = x5 – x3

Solução:g’(x) = 5x4 – 3x2

c) h(x) = 3 – x + cos x + ln x

Solução:

2. Obtenha as derivadas das seguintes funções:

a) f(x) = 10 ⇒ f’(x) = 10

b) f(x) = x5 ⇒ f’(x) = 5 . x5–1 = 5x4

c) f(x) = x3 + x2 ⇒ f’(x) = 3x2 + 2x

d) f(x) = x5 + 1 ⇒ f’(x) = 5x4 + 0 = 5x4

d) f(x) = x5 + 1 ⇒ f’(x) = 5x4 + 0 = 5x4

e) f(x) = sen x + cos x ⇒ f’(x) = cos x +

(–sen x) = cos x – sen x

f) f(x) = 2x ⇒ f’(x) = 2x ln 2

g) f(x) = ex ⇒ f’(x) = ex . 1 = ex

h)

3. Encontre a equação da reta tangente à curva:

a) y = x5 no ponto x0 = 1

SOLUÇÃO

y = x5 no ponto x0 = 1

f(x) = x5 ⇒ f(x0) = f(1) = 1

f’(x) = 5x4 ⇒ f’(1) = 5 . 14 = 5

No ponto (1,1): y – f(1) = f’(1)(x – 1)

y – 1 = 5(x – 1) ⇒ y = 5x – 4

b) y = ln x no ponto x0 = 2

SOLUÇÃO

4. Determine f’(x), sabendo que:

a) f(x) = x2 . cos x

b) f(x) = (x2 + 3x + 1)(ln x)

52


53

SOLUÇÃO

a) f(x) = x2 . cos x

f’(x) = (x2 . cos x)’ = (x2)’cos x + x2 (cos x)’ =

2x . cos x + x2(–sen x) = 2x . cos x – x2 . sen x

logo, f’(x) = 2x . cos x – x2 . sen x

b) f(x) = (x2 + 3x + 1)(ln x)

f’(x) = (x2 + 3x + 1)’lnx + (x2 + 3x + 1)(ln x)’ =

(2x + 3) ln x + (x2 + 3x + 1) =

= 2x . ln x + 3 . ln x + 3 +

Logo, f’(x) = 2x . ln x + 3 . ln x + x + 3 +


a)

b)

c) f(x) = tg x

d) f(x) = cot gx

Respostas:

a)

b)

c) f’(x) = sec2 x

d) f’(x) = cos sec2 x


a) f(x) = x2 + x + 1

b) f(x) = lnx – cos x

c) f(x) = 3x5

d) f(x) = 3x2 + 2x + 1

e) f(x) = ax2 + bx + c

f) f(x) = lnx + 2cos x

2. Determine o coeficiente angular da reta tan-

gente à curva y = x3 + x2 + x + 1 no pontox0 = 1.

3. Obter a reta tangente à parábola y = x2 – 4x + 3no ponto de abscissa 4.

4. Determine a derivada de cada uma dasseguintes funções:

a) a(x) = x3 + x

b) b(x) = ln x – sen x

c) c(x) = cos x ln x

d) d(x) = 6x4 – 3x2 + 7x – 4

5. A equação da reta tangente à curva y = x3 – 5x + 1no ponto de abscissa x = 1 é:

a) x – y – 4 = 0

b) x – y + 4 = 0

c) x + y – 4 = 0

d) 2x +y – 1 = 0

e) 2x + y + 1 = 0

6. Uma partícula move-se em linha reta. Aequação horária do espaço s é s(t) = t3 + 4t2,com s em metros e t em segundos.

a) Obter a velocidade instantânea da partículapara t = 1seg.

b) Obter a aceleração instantânea para t = 1seg.

7. Um corpo se desloca sobre uma linha reta, demodo que a equação horária do espaço s és(t) = 6t3 – 2t + 3, com s em quilômetros e t emhoras.

a) Qual é a equação horária da aceleraçãoinstantânea desse corpo?

b) Qual é a aceleração instantãnea dessecorpo no instante t = 2h?0

8. Considere as funções f e g dadas porf(x) = x2 – cos x e g(x) = sen x + x. Calcule o

valor da expressão .

9. Considere f(x) = 2x3 – 15x2 + 36x – 7 eg(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 e determinef’(0) – 2 . g’(1).


54


c) Derivada do produto

f(x) = u(x).v(x) ⇒ f’(x) = u’(x).v(x)+u(x).v’(x)

d) Derivada do quociente

Sejam u e v funções deriváveis em um inter-valo aberto I. Para todo x, x∈I e v(x) ≠ 0,tem-se que:

Obs.: As demonstrações b, c e d ficam paravocê fazer como exercícios.

10.3 OUTRAS DERIVADAS

a) f(x) = tg x ⇒ f’(x) = sec2 xb) f(x) = cot gx ⇒ f’(x) = –cos sec2 xc) f(x) = sec x ⇒ f’(x) = sec x . tg xd) f(x) = cossec x ⇒ f’(x) = –cosssec x . cot gx

Obs.: Faça as demonstrações como exercícios.

1. Determinar a derivada da função f(x) = x5 . sen x.

Solução:u(x) = x5 ⇒ u’(x) = 5x4

v(x) = sen x ⇒ v’(x) = cos x

f’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x)

f’(x) = 5x4 . sen x + x5 . cos x

2. Determinar a derivada da função f(x) = (x4+8)ln x

Solução:

3. Determinar a derivada da função .

Solução:

u(x) = 3 ⇒ u’(x) = 0

v(x) = sen x ⇒ v’(x) = cos x

10.5 DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE

Uma função real y = f(x) é denominada funçãoderivável no ponto x0 quando existe (finita) aderivada f’(x0). Quando f é derivável em todosos pontos do seu domínio, dizemos que ela éuma função derivável.

Propriedade:

Se a função f é derivável no ponto x0, então f écontínua em x0.

Demonstração:

Provar que f é contínua em x0 significa provarque lim

Δ→x0f(x) = f(x0)

Admitindo que é derivável em x0, existe:

Então:

limx→x0

f(x) = limx→x0

f(x) =[f(x) – f(x0) + f(x0)]

limx→x0

f(x) = 0 + f(x0) = f(x0)] e fica provado que,existindo f’(x0), f é contínua em x0.

A recíproca desta propriedade não é ver-dadeira. Podemos ter uma função contínua emx0, mas não derivável em x0. É o que ocorrequando o gráfico tem um “bico” em x = x0

Exemplo:

Mostrar que f (x) = |x| não é derivável em x = 0

55

SOLUÇÃO

Mas

e

Como os limites laterais são diferentes, nãoexiste f´(0). Portanto f não é derivável em x= 0,entretanto f é contínua em x = 0.

Reconhecimento prático

a) Uma função é contínua nos pontos em quenão há “salto” nem “furo” no gráfico.

b) Uma função é derivável nos pontos em queé contínua e existe uma reta tangente aográfico, não perpendicular ao eixo x. Numponto em que há um “bico” no gráfico, afunção é contínua, mas não derivável.

1. Observando o gráfico ao lado de uma função fdefinida em IR, responda se f é contínua e/ouderivável em cada ponto seguinte:

a) x = 0 b) x = 1 c) x = 2 d) x = 3

2. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfi-

co de y = tgx no ponto de abscissa .

3. Dada a função de f:

a) f(x) = 2x4 – 3x2 + 4, calcule f´(1)

b) , calcule f’(3)

4. A derivada da função no ponto de

abscissa x = 2 é:

a) 2 b) 3

c) 4 d) 0

e) 1

5. A derivada da função f (x) = tgx, calculada no

ponto de abscissa vale:

a) 1 b) 2

c)

d)

e) 0

6. Sendo g: IR → IR tal que g(x) = x5, obtenha:

a) g’(2);

b) a equação da reta tangente ao gráfico de gno ponto de abscissa 2.

7. Encontre a derivada de cada uma das se-guintes funções:

a) a(x) = x5 + x4 + 2

b) a(x) = x5 + x4 + 2

c) c(x) = x5 ln x

d) d(x) = (x2 + 3) sen x

e) e(x) = x5 sen x cos x

f) f(x) = 9x4

g) g(x) = 12x5 – 3x4 + 2x + 4

h) h(x) = log5 x

i) i(x) = 6log2 x

j)


56


k)

l)

m)

8. Seja f(x) = x2 – x. Determine as equações dasretas tangentes e normal no ponto de abscissa 0.

9. Determine as equações das retas tangente enormal ao gráfico da função dada, no pontodado.

a) f(x) = x2 – 3x, no ponto de abscissa 0.

b) , no ponto de abscissa 8.

c) , no ponto de abscissa 1.

10. Seja f(x) = x2. Determine a equação da retaque é tangente ao gráfico de f e paralela à reta

.

TEMA 11

A REGRA DA CADEIA

11.1 Introdução

Sejam g e f duas funções deriváveis nos pon-tos x e u, respectivamente. Então:

A derivada da função composta (fog)(x) édada por:

(fog)’(x) = g’(x) . f’(x) ou em que

y = f(u) e u = g(x)

Exemplos:

• Determinar a derivada das seguintesfunções:

a) f(x) = (x2 + x)3

b) f(x) = cos 3x

Solução:

a) u = g(x) = x2 + x e f(u) = u3

g’(x) = 2x + 1 e f’(u) = 3u2 = 3(x2 + x)2

Como f’(x) = g’(x) . f’(u)

f’(x) = (2x + 1) . 3(x2 + x)2

b) u = g(x) = 3x e f(u) = cos u

g’(x) = 3 e f’(u) = –sen u = –sen 3x

f’(x) = g’(x) . f’(u) = 3(–sen 3x)

f’(x) = –3sen 3x

1. REGRAS DE DERIVAÇÃO

Decorreram pela regra da cadeia as seguintesregras de derivação, em que v(x) é uma funçãoreal derivável:

57

Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos

2. DERIVADAS SUCESSIVAS

Seja f (x) a função cuja derivada primeira é f´(x).

Se f´(x) admite, também, a derivada f”(x), essarecebe o nome de derivada segunda de f (x).

E assim por diante, define-se derivada terceira,derivada quarta e derivada n-ésima da função f(x).

Exemplo:

Seja f(x) = 2x5. Então, temos:

f’(x) = 10x4

f’’(x) = 40x3

f’’’(x) = 120x2

f(4)(x) = 240x

f(5)(x) = 240

f(6)(x) = 0

................

f(n)(x) = 0, ∀n ≥ 6

1. Obter a equação da aceleração de uma par-tícula que se movimenta segundo a lei horáriaS = 2t2 + 4t + 5.

Solução:

S = f(t) = 2t2 + 4t + 5

v = f’(t) = 4t + 4

a = f”(t) = 4 (aceleração constante)

2. Determinar as equações da velocidade e daaceleração de uma partícula em movimentoharmônico simples cuja posição é dada por

SOLUÇÃO

3. DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA

Se f é uma função que admite inversa e éderivável no ponto x, com f(x) ≠ 0, então:

Ou seja, se a função é representada por y =y(x), a sua inversa será dada por x = x (y). E,assim:

Se x = x(y), então .

CONSEQUÊNCIAS:

1. DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

2. DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA COMEXPOENTE REAL

y = xα ⇒ y’ = α . xα−1 ; α∈IR e x > 0

3. DERIVADA DA FUNÇÃO arc sen

4. DERIVADA DA FUNÇÃO arc cos


58


5. DERIVADA DA FUNÇÃO arc tg

Exemplo:

• Se f(x) = 3x – 6, determine (f–1)’(y)

Solução:

f(x) = 3x – 6 ⇒ f’(x) = 3

(f–1)(x) = x + 2 ⇒ (f–1)(x) =

Então

• Se y = x2, determine a derivada da sua inversa.

Solução:

• Se f(x) = 2x + 1, determine (f–1)’(y)

SOLUÇÃO

y = f(x) = 2x + 1 ⇒ y’ = f’(x) = (2x + 1)’ = 2

Portanto

1. Obtenha a derivada de cada uma dasseguintes funções:

a) f(x) = cos 2x

Solução

y = f(x) = 2x e z = g(y) = cos y

y’ = f’(x) = 2 e z’ = g’(y) = –sen y

f’(x) = g’(y) . f’(x) = (–sen y) . 2 = –2sen 2x

b) F(x) = (x2 + 1)10

Solução

y = f(x) = x2 + 1 e z = g(y) = y10

y’ = f’(x) = 2x e z’ = g’(y) = 10y9

F’(x) = g’(y) . f’(x) = 10y9 . 2x = 20x(x2 + 1)9

2. Determine a função derivada das seguintesfunções:

a) f(x) = logx2

SOLUÇÃO

b) f(x) = logcos x2

SOLUÇÃO

f(x) = logcos x2

c) f(x) = arc sen x2

SOLUÇÃO

y = x2 e z = arc sen y

3. Calcular as derivadas sucessivas de:

a) f(x) = 3x2 + 5x + 6

b) f(x) = sen 2x

SOLUÇÃO

a) f(x) = 3x2 + 5x + 6

f’(x) = 6x + 5

f”(x) = 6

f’”(x) = f(“)(x) = ... = 0

b) f(x) = sen 2x

f’(x) = 2 . cos 2x

f”(x) = –4 . sen 2x

f”’(x) = –8 cos 2x

1. Dada f(x) = sen x, calcule

, onde f(4) indica

a derivada quarta de f.

59

2. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfi-

co de y = tgx no ponto de abscissa .

3. A derivada da função f (x) = tgx, calculada no

ponto de abscissa vale:

a) 1 b) 2

c)

d)

e) 0

4. Sabe-se que a metade dos produtos exportadospelo Brasil vem de recursos naturais. A derivadaprimeira da função E(x) = 4x3 – 3x2 + 5x – 4,para x = 2 equivale à porcentagem dos produ-tos primários (café, minério de ferro, etc.), queé de:

a) 36 %

b) 38 %

c) 41 %

d) 49 %

5. Determine as derivadas das seguintes funções:

a)

b) y = f(x) = arc tg x

c)

d) y = f(x) = arc sen x

e) y = f(x) = arc cos x

6. Calcule o valor da segunda derivada de

f(x) = cos 3x no ponto .

7. Determine a derivada de f(x) = senx3 . tg x.

8. Obtenha o coeficiente angular e a equação dareta tangente à curva f(x) = ln(x2 – 3), no pontode abscissa x0 = 2.

9. Um móvel efetua um movimento retilíneo uni-formemente variado obedecendo à equaçãohorária s = 6 – 10t + 4t2, em que o espaço s é

medido em metros e o instante t em segundos.A velocidade do móvel no instante t = 4 s, emm/s, vale:

a) –10 m/s

b) 0 m/s

c) 10 m/s

d) 22 m/s

e) 32 m/s

10. Chama-se custo marginal de produção de umartigo o custo adicional para se produzir umartigo além da quantidade já prevista. Na práti-ca, a função custo marginal é a derivada dafunção custo. Uma fábrica de sapatos tem umcusto para produzir x sapatos dado porC (x) = 3000 + 25 x, com C em reais.

Qual é o custo marginal que essa fábrica terápara produzir mais um sapato?

11. Uma fábrica de componentes eletrônicos temum custo para produzir x componentes dado

por , com c em

reais. Qual é o custo marginal que essa fábri-ca tem para produzir mais um componentequando x = 0, x = 100, x = 400 e x = 800 ?

12. Uma partícula movimenta-se sobre uma reta, ea lei horária do movimento é dada pors = 2t2 – 5t – 2 (SI). A aceleração escalar domovimento é:

a) 2m/s2

b) 4m/s2

c) –5m/s2

d) –7m/s2

e) zero


60


TEMA 12

ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO

12.1 OS SINAIS DA DERIVADA PRIMEIRA

Consideremos uma função real f definida numdomínio D, tal que f é derivável em D.

Os sinais da função derivada f´estão relaciona-dos ao crescimento ou decrescimento de f. Evalem as seguintes propriedades:

I) Se f´(x) é positiva para todo x de um inter-valo I, então f é crescente em I.

f’(x0) = tg α > 0 f’(x1) = tg β > 0

f’(x0) = tg α > 0 f’(x1) = tg β > 0

f’(x) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f é crescente em I.

II) Se f’(x) é negativa para todo x de um inter-valo I, então f é decrescente em I.

f’(x0) = tg α < 0 f’(x1) = tg β < 0

f’(x0) = tg α < 0 f’(x1) = tg β < 0

f’(x) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f é decrescente em I.

Suponhamos f derivável num intervalo aberto

contendo x0 e que f’(x0) = 0.

A reta tangente ao gráfico de f no ponto de

abscissa x0 tem coeficiente angular m = f’(x0),

portanto é paralela ao eixo x.

a)

f cresce antes de x0 e decresce depois de

x0. Nesse caso, x0 é ponto de máximo local.

b)

f decresce antes de x0 e depois cresce de

x0. Nesse caso, x0 é ponto de mínimo local.

c)

f cresce antes e depois de x0. Nesse caso,x0 é um ponto de Inflexão de f.

d)

f decresce antes e depois de x0. Nessecaso, x0 é ponto de inflexão de f.

Conclusão:

• Num intervalo em que f’(x) > 0, f é cres-cente.

• Num intervalo em que f’(x) < 0, f é decres-cente.

• Os pontos em que f’(x) = 0 podem ser demáximo ou de mínimo ou de inflexão. Essespontos são chamados pontos críticos de f.

Exemplo:

Determinar os pontos críticos e estudar a vari-ação da função f(x) = x3 – 3x, x∈IR.

Esboçar o gráfico.

Solução:

f(x) = x3 – 3x ⇒ f’(x) = 3x2 – 3

f’(x) = 0 ⇔ x = ±1 (pontos críticos)

Gráfico de ff(x) = x3 – 3x, x∈IRx = –2 ⇒ f’(–2) > 0x = 0 ⇒ f’(0) < 0x = 2 ⇒ f’(2) > 0

Conclusão:f é crescente nos intervalos ]–∞,1] e ]1,+∞] e édecrescente em [–1;1]. Os pontos críticos sãox = –1, ponto de máximo local, e x = 1, pontode mínimo local.

12.2 OS SINAIS DA DERIVADA SEGUNDA

Consideremos uma função real f, definida numdomínio D, tal que f é derivável até a segunda

61


ordem em D, isto é, existem f´(x) e f”(x) em D.Os sinais da derivada segunda f”(x) estão rela-cionados à concavidade do gráfico de f.

Propriedades:

I) Se f”(x) é positiva para todo x de um inter-valo I, então f é côncava para cima em I.

Concavidade para cima: pontos do gráficoficam acima das retas tangentes

tg α < tg β < tg y

f’(x1) < f’(x2) < f’(x3)

f’(x) é crescente

f”(x) > 0

f”(x) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f côncava para cima em I

II) Se f”(x) é negativa para todo x de um inter-valo I, então f é côncava para baixo em I.

Concavidade para baixo: pontos do gráficoficam abaixo das retas tangentes.

tg α > tg β > tg y f’(x1) > f’(x2) > f’(x3) f’(x) é decrescentef”(x) < 0

f”(x) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f côncava para baixo em I

Pontos de Inflexão – São os pontos em que fmuda de concavidade . Num ponto de inflexão,a reta tangente ao gráfico corta a curva.

Ponto de Inflexão: f muda de concavidade A reta tangente corta o gráficof”(x0) = 0 e f’(x0) = tg α ≠ 0

Ponto de Inflexão horizontal – a reta tangenteé paralela ao eixo x.

f”(x0) = 0 e f’(x0) = 0

62


• Um ponto x0 em que f”(x0) = 0 e f” muda desinal (antes e depois de x0) é um ponto deinflexão de f. Se também f’(x0) = 0, dizemosque é um ponto de inflexão horizontal, poisa reta tangente é paralela ao eixo x.

• Se f”(x0) = 0 mas f” não muda de sinal(antes e depois de x0), então f não muda deconcavidade em x0; portanto, nesse caso, x0

não é ponto de inflexão.

Exemplos:

1. Determinar os pontos de inflexão e estudar a

concavidade da função .

Solução:

f”(–1) = –2 < 0

f”(1) = 2 > 0

x = 0 ponto de inflexão. A função é côncava parabaixo em ]–∞;0] e côncava para cima em ]0;+∞;].

2. Determinar os pontos de inflexão e estudar a

concavidade de .

Solução:

Não há ponto de inflexão. A função é côncavapara cima em todo domínio IR.

Gráfico de f

12.3 MÁXIMOS E MÍNIMOS

Cálculo de valores máximos ou mínimos defunções reais, que podem ser determinadospela análise dos sinais da derivada primeira f´.

Outro recurso que pode ser empregado naidentificação de pontos de máximos ou de mí-nimos é analisar o sinal da derivada segundanos pontos que anulam a derivada primeira.

Se f’(x0) = 0 e f”(x0) > 0, então a reta tangenteao gráfico de f em x0 é paralela ao eixo x, e f temconcavidade positiva próximo de x0, portanto a

63


reta tangente deixa os pontos do gráfico acimadela, logo x0 é um ponto de mínimo relativo de f.

Ponto de mínimo: t//x; concavidade para cima

Ponto de máximo: t//x; concavidade para baixo

Conclusão:

f’(x0) = 0 e f”(x0) > 0 ⇒ x0 é ponto de mínimode f.

f’(x0) = 00 e f”(x0) < 0 ⇒ x0 é ponto de máximode f.

Obs.: Se f’(x0) = 0 e f”(x0) = 0, não podemostirar conclusão a respeito do ponto x0. Nestecaso, convém analisar os sinais de f´antes edepois de x0. Pode ocorrer que x0 seja pontomáximo, ou de mínimo ou de inflexão.

Exemplo:

Indentificar os pontos críticos da função

f(x) = x6 – 6x2 + 4, x∈IR

Solução:

f(x) = x6 – 6x2 + 4 ⇒ f(x) = 6x5 – 12x ⇒

f”(x) = 30x4 – 12

Aplicar os critérios dos sinais da derivada

segunda nos pontos críticos:

Para x = 0 ⇒ f”(x) < 0. Então, x = 0 é ponto demáximo local de f.

Para .

Então, é ponto de mínimo local de f.

Para .

Então, é ponto mínimo local de f.

Outro modo: Critério dos sinais da derivadaprimeira.

Obs.: Verifique:

x = –2 ⇒ f’(x) < 0

x = –1 ⇒ f’(x) > 0

x = 1 ⇒ f’(x) < 0

x = 2 ⇒ f’(x) > 0

1. Determine o maior e o menor valores de

f(x) = x3 + x32 – x + 1 no intervalo .

Solução:

Cálculo dos extremos absolutos da função nointervalo considerado.

f’(x) = 3x2 + 2x – 1

3x2 + 2x – 1 = 0 ⇒ x1 = –1 e x2 =

Tendo em vista o comportamento da função,vemos que o valor máximo ocorrerá em x = –1

64


ou

Como f(–1) = 2 e , vemos que fM = 2

E o valor mínimo ocorrerá em x = ou x = –2

Como e f (–2) = –1, vemos que

fm = –1

2. Um corpo lançado verticalmente do solo para

cima tem posições, no decorrer do tempo,

dadas pela função s = 40t – 5t2 (t em segundos

e s em metros).

a) Qual o tempo gasto para atingir a altura

máxima?

b) Qual a altura máxima atingida?

Solução:

a) s’(t) = 40 – 10t

s’(t) = 0 ⇒ 40 – 10t = 0 ⇒ t = 4s

Estudo do sinal de s’(t)

b) s(4) = 40 . 4 – 5 . 42 = 160 – 80 = 80m

4. Cortando-se um pequeno quadrado de cada

canto de uma cartolina de 10cm de lado, con-

forme indica figura abaixo, deseja-se construir

com a cartolina restante, dobrada conveniente-

mente, uma caixa de volume máximo. Determi-

nar esse volume.

Solução:Ao suprimir os pequenos quadrados dos can-tos, as dimensões da caixa serão:

x,(10 – 2x) e (10 – 2x)

V(x) = (10 – 2x)2 . x

V(x) = 40x3 – 40x2 + 100x

Volume máximo

V’(x) = 12x2 – 80x + 100

Sendo , então:

5. determine os pntos críticos de f(x) = (x – 4)3 + 2e esboce o seu gráfico.

Solução:

f’(x) = 3(x – 4)2

• Pontos críticos:

f’(x) = 0 ⇔ 3(x – 4)2 = 0 ⇔ x = 4

• Sinal de f´(x) numa vizinhança de x = 4;

65


x < 4 ⇒ f’(x) > 0 ⇒ f(x) é crescente;

x > 4 ⇒ f’(x) > 0 ⇒ f’(x) é crescente.

Então, x = 4 não é ponto de máximo local nemde mínimo local.

f”(x) = 6(x – 4) ⇒ f”(4) = 6(4 – 4) = 6 . 0 = 0

f”’(x) = 6 ⇒ f”’(4) ≠ 0

f’(4) = 3(4 – 4)2 = 3 . 02 = 0

Logo, x = 4 é abscissa de um ponto de inflexãohorizontal.

• limx→+∞

f(x) = +∞ e limx→−∞

f(x) = –∞

1. Qual é a área máxima que pode ter um retân-gulo de perímetro igual a 40cm?

2. Dividir o número 30 em duas partes de modoque o seu produto seja máximo.

3. Entre todos os retângulos de área igual a 64m²,qual é o que tem perímetro mínimo?

4. Determinar os pontos críticos e estudar a vari-ação da função f(x) = 3x4 – 4x3 + 5, x∈IR

5. Em qual conjunto a função quadrática definidapor f(x) = x2 – x – 6 é crescente ou decres-cente?

6. Dada a função f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1:a) Determine o conjunto em que f é crescente

ou decrescente;b) ache os pontos nos quais a tangente ao

gráfico de f(x) é paralela ao eixo x;c) esboce o gráfico de f(x).

7. Um ponto material se move de acordo com a

função horária s(t) = 2t3 – 24t2 + 72t + 3 (sdado em metros e t dado em segundos), deter-mine em que instantes o ponto material temvelocidade:

a) crescente

b) decrescente

8. O custo total de fabricação de x unidades deum produto é dado por c(x) = (3x2 + 5x + 192)reais. Quantas unidades deverão ser fabri-cadas para que o custo médio seja o menorpossível?

66


TEMA 13

TAXA DE VARIAÇÃO E REGRA DE L’HOSPITAL

13.1 Teorema do Valor Médio (TVM)

Uma função y = f (x) unívoca e contínua numintervalo [a, b] e derivável nesse intervalo,admite um valor c desse intervalo tal que arelação entre os acréscimos f(b) – f(a) e b – a éigual a f´(c), isto é:

para a < c < b

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

• A reta s passa pelos pontos (a, f (a)) e (b, f (b)).

• Existe um ponto (c, f (c)), com a < c < b, talque a reta tangente ao gráfico de f, nesteponto, é paralela à reta s.

INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA

Sendo x = f (t) a função de posição do movi-mento de uma partícula sobre o eixo ox e

a velocidade média entre os ins-

tantes t = a e t = b, pelo T.V.M, se f for contínuaem [a, b] e derivável em ]a, b[ , então a veloci-dade média será igual à velocidade (instantânea)da partícula em algum instante c entre a e b.

Exemplo:Achar um número c, como no teorema do valor

médio, para cada uma das seguintes funções:

a) f(x) = x2, 1 ≤ x ≤ 2

Solução:

f’(c) =

c = é um ponto tal que f´(c) tem o valor

pedido.

b) f(x) = x3 + 2x, –1 ≤ x ≤ 2

Solução:

3x2 + 2 = 5 ⇒ x1 = 1 ou x2 = –1

C = 1 é um ponto tal que f’’(c) tem valor pedido.

13.2 REGRA DE L´HOSPITAL

(limites do tipo e )

f(x) e g (x) sendo contínuas e g(x) ≠ 0 em V(a).

Se limx→a

f(x) = 0, limx→a

g(x) = 0 e existe,

então

Exemplos:

1. ?

2. ?

3. ?

67


4. ?

Obs.: Neste exemplo, aplicam-se três vezesseguidas a regra de L´Hospital, visto que oquociente das derivadas primeiras, segundas e

terceiras conduziu à indeterminação para

x = 0.Quadro-resumo das derivadas e suas pro-priedades.

Tabela de derivadas

Propriedades operatórias das derivadas

1. Um homem anda à razão de 5 milhas por horaem direção à base de uma torre de 60 pés dealtura. Com que rapidez ele se avizinha dotopo quando está a 80 pés da base da torre?

Solução:

x: distânica entre o homem e a base;

y: distância entre homem e o topo da torre, emcada instante.

y2 = x2 + 3600 (teorema de Pitágoras)

Derivando, obtemos

ou

Isso significa que, em cada instante, (veloci-

dade de variação de vezes (velocidade

de variação de x).

x = 80, milhas por hora

68


= – 5 x 5280 pés por hora

?

= – pés por hora

= – 4 milhas por hora

2. Um ponto move-se sobre a parábola 6y = x2 demodo tal que quando x = 6, a abscissa crescecom a velocidade de 2cm por segundo. Com quevelocidade cresce a ordenada nesse instante?

SOLUÇÃO

6y = x2

ou

Isso significa que, em cada ponto da parábola,

(velocidade da ordenada) = vezes (veloci-

dade da abscissa)

x = 6; = 2cm por segundo

;

por segundo

No ponto P (6, 6) a ordenada varia duas vezesmais rapidamente que a abscissa; no ponto

P (–6, 6), tem–se cm por segundo, e o

sinal menos indica que a ordenada é decres-cente quando a abscissa cresce.

3. A dilatação pelo calor de um prato circular demetal é tal que o raio cresce com a velocidade

de 0,01cm por segundo. Com que velocidadede variação cresce a área do prato qando oraio tem 2cm?

Solução:

Seja, x = raio e y = área do prato

Portanto, em cada instante, a área do pratocresce, em cm quadrados, 2πx vezes mais rap-idamente que o raio em centímetros.

por segundo.

4. A 12 pés de altura de um passeio reto e hori-zontal, está presa uma fonte de luz. Sobre opasseio e afastando-se da fonte com a veloci-dade de 168 pés por minuto, caminha umrapaz de 5 pés de altura. Com que rapidezvaria o comprimento da sombra do rapaz?

Solução:

x: distância do rapaz de um ponto situadodiretamente sob a luz L

y: comprimento da sombra do rapaz

ou

69


Portanto a rapidez com que varia o compri-

mento da sombra são os da rapidez com

que anda o rapaz, em 120 pés por minuto.

5. Um ponto move-se ao longo do gráfico dey = x3 de modo que sua abscissa x varia àrazão de 2 unidades por segundo. Qual é,quando x = 3, a taxa de variação da ordenada y?

Solução:

unidades por segundo

6. Dada f(x) = x3 + 3x2 – 5, verifique que ascondições para validade do teorema do valormédio estão satisfeitas para a = – 1 e b = 2.Encontre todos os números α, α∈]–1,2[, tal

que .

Solução:

Notemos que f é derivável e contínua em IR;portanto também é no intervalo [–1,2].

f’(x) = 3x2 + 6x. Então:

ou α = –1 – .

Como queremos α no intervalo ]–1,2], só con-vém α = –1 + .

1. Um quadrado expande-se de modo que seulado varia à razão de 5cm/seg. Achar a taxa devariação de sua área no instante em que o ladotenha 15cm de comprimento.

2. Um ponto move-se ao longo do gráfico dey = x2 + 1de tal modo que a sua abscissa x variaa uma velocidade constante de 3cm/s. Qual é,quando x = 4cm, a velocidade da ordenada y?

3. O raio r de uma esfera está variando, com otempo, a uma taxa constante de 5m/s. Comque taxa está variando o volume da esfera noinstante em que r = 2m?

4. Um ponto P move–se ao longo do gráfico de

de tal modo que a sua abscissa

varia a uma velocidade constante de 5m/s.Qual a velocidade de y no instante em quex = 10m?

5. O lado de um triângulo equilátero mede a cm ecresce k cm por hora. Com que velocidadecrescerá a área do triângulo?

6. Uma escada de 8m está encostada em umaparede. Se a extremidade inferior da escada forafastada do pé da parede a uma velocidade con-stante de 2m/s, com que velocidade a extremi-dade superior estará descendo no instante emque a inferior estiver a 3m da parede?

7. Usando as derivadas, calcular os limites abaixo:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

70


UNIDADE IVIntegrais

73

Cálculo I – Integrais

TEMA 14

INTEGRAIS PRIMITIVAS E INDEFINIDAS

14.1 Introdução

Os dois mais importantes instrumentos do cál-culo são a derivada, já considerada anterior-mente, e a integral definida. A derivada foi mo-tivada por problemas de determinação do coe-ficiente angular de uma tangente e de definiçãode velocidade. A integral definida surge de mo-do natural quando consideramos o problemada determinação da área de uma região doplano xy. Essa é, entretanto, apenas uma dasaplicações. Como veremos posteriormente, autilização das integrais definidas é tão abun-dante e variada como a das derivadas. O resul-tado principal estabelecido aqui é o teoremafundamental do cálculo, que demostraremoslogo a seguir. Este relevante teorema possibilitaachar valores exatos de integrais definidas uti-lizando uma antiderivada ou integral indefini-da. O processo pode ser encarado como oinverso da determinação da derivada de umafunção. Assim, além de constituir um importan-te processo de cálculo, o teorema fundamentalmostra que existe uma relação entre derivadase integrais, um resultado-chave para o cálculo.

Nesse contexto, a integração é o processo usa-do para se achar uma função quando se co-nhece a sua derivada (ou taxa de variação). EmEconomia, podemos usar a integração paraachar uma função de custo total quando é dadaa função de custo marginal, ou para achar afunção de receita total quando é dada a funçãode receita marginal, e assim por diante.

Podemos definir também a integração como oprocesso usado para se achar o valor limite deuma soma de termos, quando o número de ter-mos cresce indefinidamente, e o valor numéri-co de cada termo aproxima-se de zero. É nestecontexto que a integração é interpretada comoa determinação da área existente sob umacurva. Com efeito, o cálculo integral foi desen-volvido com o propósito de avaliar áreas, su-pondo-as divididas num número infinito de par-tes infinitamente pequenas, cuja soma é a área

requerida. O sinal da integral é o S alongadoque os primeiros autores usaram para indicar“soma”.

Em muitos problemas, embora a derivada deuma função seja conhecida, torna-se neces-sário calcular a própria função. É o caso, porexemplo, de um Sociólogo que, conhecendo ataxa de crescimento da população, poderáusar tal dado para prever futuras taxas de cres-cimento daquela população, ou de um Físicoque, conhecendo a velocidade de um corpo,será capaz de determinar a posição futura docorpo.

Encerraremos com um estudo dos métodos deintegração numérica, utilizados para aproxi-mar integrais definidas que não podem ser cal-culadas por meio do teorema fundamental. Taismétodos são facilmente programáveis parauso em calculadoras e computadores e têmampla aplicação nos mais diversos campos.

14.2 Antidiferenciação ou primitivas

Você já está familiarizado com operações in-versas. Adição e subtração, mutiplicação e divi-são são operações inversas, bem como poten-ciação e radiciação. Agora, vamos desenvolvera operação inversa da diferenciação chamadade antidiferenciação ou primitiva, Vamos come-çar introduzindo a antiderivada.

Definição – Uma função F(x) para a qualF’(x) = f(x), para todo x pertencente ao domíniode f é uma primitiva (ou integral indefinida) de f.

Exemplo:

Se F for definida por F(x) = 4x3 + x2 + 5, então,F’(x) = 12x2 + 2x.

Assim, se f for a função definida porf(x) = 12x2 + 12x, logo afirmamos que f é aderivada de F, e que F é uma antiderivada ouprimitiva de f. Se G for a função definida porG(x) = 4x3 + x – 17, então G também será umaantiderivada de f, pois G’(x) = 12x2 + 2x. Narealidade, toda função cujos valores funcionaissão dados por 4x3 + x2 + C, onde C é umaconstante qualquer, é um antiderivada de f.

Em geral, se uma função F for antiderivada deuma função f num intervalo I, e se a função Gfor definida por G(x) = F(x) + C onde C é uma

74


constante arbitrária, então

G’(x) = F(x) = f(x) e G também será uma anti-derivada de f num intervalo I.

Passaremos, agora, a demonstrar que se F forqualquer antiderivada particular de f num inter-valo I, então toda antiderivada de f em I serádada por {F(x) + C}, onde C é uma constantearbitrária. Necessitaremos, primeiro, de um teo-rema preliminar.

Teorema – Se f e g forem duas funções, taisque f’(x) = g’(x) para todo x no intervalo I, entãohaverá uma constante K, tal que f(x) = g(x) + Kpara todo x em I.

Prova – Seja h a função definida em I por h(x) = f(x) – g(x), assim sendo, para todo x em I.h’(x) = f’(x) – g’(x)

Mas, por hipótese, f’(x) = g’(x) para todo x nointervalo I. Logo, h’(x) = 0 para todo x no inter-valo I.

E como já sabemos, se a derivada de umafunção é zero, podemos concluir que existeuma constante K, tal que h(x) = K para todo xno intervalo I.

Substituindo h(x) por, obtemos f(x) – g(x), obte-mos f(x) = g(x) + K para todo x em I, e o teo-rema está provado.

O próximo teorema segue, imediatamente, doteorema anterior.

Teorema – Se F for uma antiderivada particularde f em um intervalo I, então toda antiderivadade f em I será dada por F(x) + C (1)

onde C é uma constante arbritrária, e todas asantiderivadas de f em I poderão ser obtidas de(1), atribuindo-se certos valores a C.

Prova: Suponha que G represente qualquerantiderivada de f em I; então G’(x) = f(x) paratodo x em I. ( 2 )

Como F é uma antiderivada particular de f em I,

F’(x) = f(x) para todo x em I.

De ( 2) e ( 3 ), segue que G’(x) = F’(x) para todox em I.

Logo, pelo teorema anterior, existe uma cons-tante k, tal que G’(x) = F(x) + K para todo x em I.

Como G representa qualquer antiderivada de fem I, segue que toda antiderivada de f pode ser

obtida de {F(x) + C}, onde C é uma constantearbitrária. Assim, está provado o teorema.

Antidiferenciação é o processo de encontraro conjunto de todas as antiderivadas de umadada função. O símbolo ∫ denota a operaçãode antidiferenciação e escrevemos:

∫f(x)dx = F(x) + C (4)

onde

F’(x) = f(x)

e

d(F(x)) = f(x)dx (5)

Leibniz introduziu a convenção de escrever adiferencial de uma função após o símbolo deantiderivação. A vantagem dessa notação fica-rá evidente quando calcularmos antiderivadas,mudando a variável, posteriormente. De (4) e(5), podemos escrever:

∫d(F(x)) = F(x) + C

Essa fórmula será usada para obter fórmulasde antiderivação a seguir; ela estabelece que,quando antidiferenciamos a diferencial de umafunção, obtemos a própria função, mais umaconstante arbitrária. Assim, podemos conside-rar que o símbolo de antidiferenciação ∫ signifi-ca a operação inversa da operação denotadapor d para o cálculo da diferencial.

Se {F(x) + C} for o conjunto de todas as fun-ções cuja diferencial f(x)dx, também será oconjunto de todas as funções cujas derivadassão f(x); assim sendo, a antidiferenciação é con-siderada como a operação de encontrar o con-junto de todas as funções, tendo uma dada de-rivada.

Como a antidiferenciação é a operação inversada diferenciação, alguns teoremas sobre anti-diferenciação podem ser obtidos dos teoremasde diferenciação. Assim sendo, os teoremas aseguir podem ser provados a partir dos teore-mas correspondentes da diferenciação.

Teorema: ∫dx = x + C, onde a é uma con-stante.

Este teorema estabelece que, para determinaruma antiderivada de uma constante vezes umafunção, achamos primeiro uma antidevivadade uma função, multiplicando-a, em seguida,pela constante.

75


Teorema: Se f1 e f2 estão definidas no mesmointervalo, então

∫[f1(x) + f2(x)]dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

Este teorema estabelece que, para determinaruma antiderivada da soma de duas funções,achamos primeiro a antiderivada de cada umadas funções separadamente e então, soma-mos os resultados, ficando subentendido queambas as funções estão definidas no mesmointervalo. O teorema acima pode ser estendidoa um número qualquer, finito, de funções. Com-binando este teorema e o anterior, temos o teo-rema a seguir.

Teorema: Se f1, f2,...,fn estão definidas nomesmo intervalo,

∫[c1f1(x) + c2f2(x) +...cnfn(x)]dx

= c1∫f1(x)dx + c2f2(x)dx +...+cn∫fn(x)dx ondec1,c2,...,cn são constantes.

Teorema: Se n for um número racional,

Prova:

Exemplos:

1. Aplicando os teoremas acima para valores es-pecíficos de n, temos:

a)

b)

c)

d)

2. Calcule ∫(3x + 5)dx:

Solução:

Como 3C1 + 5C2 é uma constante arbitrária,

ela pode ser denotada por C; assim, o resulta-

do pode ser escrito como

Pode-se conferir a resposta calculando a de-

rivada.

3. Calcule ∫(5x4 – 8x3 + 9x2 – 2x + 7)dx

Solução:

∫(5x4 – 8x3 + 9x2 – 2x + 7)dx =

4. Calcule .

Solução:

5. Calcule

Solução:

76


Freqüentemente, em aplicações envolvendo an-tidiferenciação, desejamos encontrar uma anti-derivada específica que satisfaça determina-das condições chamadas inicial (condições de

Cauchy) ou lateral (condições de contorno, defronteira ou de extremos), conforme elas ocor-rem no ponto inicial ou para os pontos extre-mos do intervalo de definição da variável.

Por exemplo, se uma equação envolvendo

for dada, bem como a condição inicial que y = y1

quando x = x1, então, depois que o conjunto detodas as antiderivadas for encontrado, se x e yforem substituídos por x1 e y1, iremos determi-nar um valor específico da constante arbitráriaC. Com esse valor de C, uma determinada anti-derivada é obtida.

Exemplos:

1. Suponha que desejemos encontrar uma deter-minada função y(x) satisfazendo a equação

, (ou seja, uma antiderivada de função

f(x) = 2x e a condição inicial de que y = 6quando x = 2.

Solução:

y = ∫2xdx

y = x2 + C

substituindo x = 2 e y = 6, temos,

6 = 4 + C

C = 2 logo, y = x2 + 2, que dá a antiderivadadesejada.

2. Em qualquer ponto (x,y) de uma determinada

curva, a reta tangente tem uma inclinação iguala 4x – 5. Se a curva contém o ponto (3,7), achesua equação.

Solução:

Como a inclinação da reta tangente a uma cur-va em qualquer ponto (x,y) é o valor da deriva-da nesse ponto, temos

Essa equação representa uma família de cur-vas. Como queremos determinar uma certa cur-va dessa família que contenha o ponto (3,7),substituímos x e y,7 = 2(9) – 5(3) + C

7 = 18 – 15 + C

C = 4

logo, y = 2x2 – 5x + 4, que é a equação dacurva pedida.

1. Calcule:

a) ∫(4x + 3)dx

b) ∫(9t2 – 4t + 3)dt

c)

d)

e) ∫(2v5/4 + 6v1/4 + 3v–4 )dv

f) ∫(3x + 1)2dx

g) ∫x(2x + 3)dx

h)

i)

77


j)

k)

2. Determine a função y = y(x), x > 0, tal que:

a)

b)

c)

d)

14.3 Primitivas imediatas

Além das integrais vistas anteriormente, de de-rivação conhecida, seguem as seguintes deprimitivação:

a) ∫exdx = ex + k

b)

c) ∫sec x dx = ln |sec x + tg x| + k

d)

e)

f) ∫tg x dx = –ln |cos x| + k

g)

h)

Exemplos:

1. Calcule

a)

b)

c)

d) ∫ sec2 xdx = tg x + k

e) ∫ tg2 xdx = ∫(sec2 x – 1)dx = tg x – x + k

2. Seja α ≠ 0 uma constante. Verifique que

a)

b)

Solução:

a) .

Assim,

b) .

Assim,

3. Calcule:

a) ∫e2x dx

b) ∫cos 3x dx

c) ∫sen 5x dx

d) ∫e–x dx

Solução:

a) ∫e2x dx = e2x + k

b) ∫cos 3x dx = sen 3x + k

c) ∫sen 5x dx = – cos 5x + k

d) ∫e–x dx = –e–x + k

4. Calcule ∫cos2 x dx

Solução:

cos 2x = cos2 x – sen2 x = 2cos2 x – 1

cos2 x = + cos 2x

Então

ou seja

∫cos2 x dx = x + sen 2x + k

78


1. Calcule:

a) ∫10 e2x dx

b)

c) ∫1–1 e–x dx

d)

e)

f)

2. Calcule e verifique sua resposta por derivação:

a) ∫senx dx

b) sen 2x dx

c) ∫cos 5x dx

d) ∫sen 4t dt

e) ∫cos 7t dt

f) ∫cos t dt

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

3. Calcule

a)

b)

c)

d)

3

79


TEMA 15

CÁLCULO DE ÁREA

15.1 Introdução

A área de um polígono pode ser definida comoa soma das áreas dos triângulos nos quais elepode ser decomposto, e pode-se provar que aárea assim obtida é independente de como opolígono é decomposto em triângulos (con-forme a figura abaixo).

Em seguida, vamos definir a medida da áreade uma região plana limitada por uma curva.

Consideremos uma região R no plano (con-forme a figura).

A região R é limitada pelo eixo x, pelas retasx = a, x = b e pela curva com equação y = f(x),onde f é uma função contínua no intervalo fe-chado [a,b]. Para simplificar, seja f(x) ≥ 0 paratodo x em [a,b]. Queremos designar um nú-mero A como sendo a medida da área de R, evamos usar um processo de limite semelhanteao que é usado para definir a área de um círcu-lo: A área de um círculo é definida como o li-mite das áreas dos polígonos regulares inscri-tos quando o número de lados cresce ilimita-damente. Percebemos, intuitivamente, que qual-quer que seja o número escolhido para re-

presentar A, este número deve ser no mínimotão grande quanto a medida da área de qual-quer região poligonal contida em R, e não deveser maior do que a medida da área de qual-quer região poligonal contendo R.

Primeiro, vamos definir uma região poligonalcontida em R. Dividimos o intervalo fechado[a,b] em n subintervalos. Por conveniência, va-mos tomá-los com igual comprimento, Δx, porexemplo. Logo, Δx = (b – a)/n. Sejam x0, x1, x2,...,xn – 1, xn os extremos destessubintervalos onde x0 = a, xi = a + iΔx,..., xn – 1 = a + (n – 1)Δx, xn = b.Vamos denotar o n-ésimo intervalo por [xi –1, xi]Como f é contínua no intervalo fechado [a,b],ela é contínua em cada subintervalo fechado.Pelo teorema do valor extremo, há em cadasubintervalo um número para o qual f tem umvalor mínimo absoluto. Seja ci, este número non-ésimo subintervalo, assim sendo, f(ci) é ovalor mínimo absoluto de f no subintervalo[xi –1, xi]. Consideremos n retângulos, cada umcom um comprimento Δx unidades e uma al-tura f(c) unidades. Seja Sn unidades quadradasa soma das áreas dos n retângulos, então

Sn = f(c1)Δx + f(c2)Δx+...+f(c1)Δx+...+f(cn)Δxou, com a notação sigma

(1)

o somatório do segundo membro dá a somadas medidas das áreas dos n retângulos ins-critos. Assim, apesar de definirmos A, ela deveser tal que

A ≥ Sn

Na figura a seguir, a região sombreada temuma área de Sn unidades quadradas.

80


Agora, aumentamos n. Especificamente, multi-plicamos n por 2; dessa forma, dobramos o nú-mero de retângulos e dividimos ao meio o com-primento de cada retângulo. Isso está ilustradona figura abaixo,

que mostra duas vezes mais retângulos que nafigura anterior. Comparando as duas figuras,observe que a região sombreada nesta figuraparece aproximar-se mais da região do que aanterior. Assim, a soma das medidas das áreasdos retângulos desta figura está mais próximado número que desejamos para representar amedida da área de R.

Enquanto n aumenta, os valores de Sn encon-trados de (1) aumentam, e sucessivos valoresde Sn diferem um do outro por quantidades quese tornam arbitrariamente pequenas. lsso estáprovado em cálculo avançado por um teoremaque estabelece que se f é contínua em [a,b],

então enquanto n aumenta ilimitadamente, ovalor se Sn dado por (1) aproxima-se de um li-mite. É este limite que tomamos como medidada área da região R.

15.2 Definição da área de uma região plana limitada por uma curva

Suponha que a função f seja contínua no inter-valo fechado [a,b], com f(x) ≥ 0 para todo x em[a,b], e que R seja a região limitada pela curvay = f(x),o eixo x e as retas x = a e x = b. Dividao intervalo [a,b] em n subintervalos, cada umcom comprimento Δx = (b – a)/n, e denote o n-ésimo subintervalo por [xi –1, xi]. Então, se f(ci) éo valor funcional mínimo absoluto no n-ésimosubintervalo, a medida da área da região R édada por

A equação acima significa que

pode-se tornar tão pequena quanto quisermos,tomando n como um inteiro positivo maior doque algum número positivo suficientementegrande.

Podíamos ter tomado retângulos circunscritosem vez de inscritos. Nesse caso, tomamos co-mo alturas dos retângulos o valor máximo ab-soluto de f em cada subintervalo. A existênciadesse valor está garantida pelo teorema dovalor extremo. As correspondentes somas dasmedidas das áreas dos retângulos circunscri-tos são no mínimo tão grandes quanto a me-dida da área da região R, e pode ser mostradoque o limite dessas somas, quando n aumentailimitadamente, é exatamente o mesmo que olimite da soma das medidas das áreas dosretângulos inscritos. Isso está também prova-do em cálculo avançado. Assim, podíamosdefinir a medida da área da região R

por onde f(di) é o valor má-

ximo absoluto de f em [xi –1, xi].

Escolha um ponto em cada subintervalo. Seja ξ1

o ponto escolhido em [x0,x1], tal que x0 ≤ ξ1 ≤ x1

Seja ξ2 o ponto escolhido em [x1, x2] tal que

81


x1 ≤ ξ2 ≤ x2, e assim sucessivamente, de formaque ξi seja o ponto escolhido em [xi –1, xi] exi –1 ≤ ξi ≤ xi. Forme então a soma

f(ξ1)Δx + f(ξ2)Δx + ... + f(ξi)Δx + ... + f(ξn)Δx

ou

(2)

Tal somatório é chamado uma soma deRiemann, em homenagem ao matemáticoGeorg Friedrich Bernhard Riemann(1826–1866) .

15.3 Definição de integral definida

Se f é uma função definida no intervalo fecha-do [a,b], então a integral definida de f de a ab é denotada por

(3)

Se o limite existe, onde ξié qualquer número nointervalo fechado [xi –1,xi], i = 1,2,...,n.

A integral definida pode ser enunciada maisgenericamente, permitindo-se que os n subin-tervalos sejam de comprimentos diferentes eexigindo-se que o maior comprimento tenda azero quando n cresce ilimitadamente. Contudoa definição mais restrita dada é suficiente paranossos propósitos.

Na notação para integral definida ∫ba f(x)dx, f(x) é

chamado o integrando, a é chamado o limiteinferior, e b o limite superior. O símbolo ∫ échamado um sinal de integral. O sinal de inte-gral assemelha-se à letra maiúscula S, que éapropriada, pois a integral definida é o limite deuma soma. A razão para o mesmo símbolo éque o teorema chamado teorema fundamen-tal do cálculo, possibilita-nos calcular a inte-gral definida encontrando uma antiderivada(também chamada uma integral indefinida).

A afirmação “f é integrável no intervalo fechado[a,b]” é equivalente à afirmação “a integral

definida de f de a a b existe”. O teoremaseguinte dá-nos uma condição para que umafunção seja integrável.

Teorema – Se a função f for contínua no interva-lo fechado [a,b], então f será integrável em [a,b].

A definição da área de uma região plana limita-da por uma curva, vista anteriormente, afirma

que , onde f(ci) é o valor fun-

cional mínimo absoluto no n-ésimo subinterva-lo. Daremos agora uma definição mais geralque permite ser f(ξi) qualquer valor funcionalno n-ésimo subintervalo.

15.4 Definição da área de uma região plana limitada por uma curva

Seja f uma função contínua em [a,b] e f(x) ≥ 0para todo x em [a,b]. Seja R a região limitadapela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a ex = b. Então, a medida da área da região R édada por

A definição acima afirma que se f(x) ≥ 0 paratodo x em [a,b], a integral definida ∫b

a f(x)dxpode ser interpretada geometricamente comoa medida da área da região R mostrada abaixo.

A Equação (3) pode ser usada para se encon-trar o valor exato de uma integral definida.

Se ∫ba f(x)dx existe, então diremos que f é inte-

grável (segundo Riemann) em [a,b]. É comumreferir-se à ∫a

b f(x)dx como integral definida de fem [a,b].

Observação – Pomos, ainda, por definição:

∫aa f(x)dx = 0 e ∫b

a f(x)dx = –∫ab f(x)dx (a < b).

82


15.5 Propriedades da integral

Teorema: Sejam f,g integráveis em [a,b] e kuma constante. Então,

a) f + g é integrável em [a,b] e

∫ba [f(x) + g(x)]dx = ∫b

a f(x)dx + ∫ba g(x)dx

b) kf é integral em [a,b] e ∫ba kf(x)dx = k ∫b

a f(x)dx

c) Se f(x) ≥ 0 em [a,b], então ∫ba f(x)dx ≥ 0

d) Se c∈]a,b[ e f é integral em [a,c] em [c,b]então ∫b

a f(x)dx = ∫ca f(x)dx + ∫b

c f(x)dx

Observação – O sinal mais (+) no item a)pode ser substítuido por um sinal de menos(–), como resultado da aplicação do item c),onde k = –1. Também podemos estender aqualquer número de funções. Isto é, (f1 ± f2 ±....± fn) será integrável em [a,b], então

∫ba [f1(x) ± f2(x) ± ... ± fn(x)]dx =

∫ba f1(x)dx ± ∫b

a f2(x)dx ± ... ± ∫ba fn(x)dx

15.6 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

15.6.1 Introdução

Historicamente, os conceitos básicos da inte-gral definida foram usados pelos antigos gre-gos, principalmente por Arquimedes (287–212a.C.), há mais de 2000 anos, muito antes daformulação do cálculo diferencial.

No século dezessete, quase simultaneamente,mas trabalhando independentemente, Newtone Leibniz mostraram como o Cálculo poderiaser usado para se encontrar a área de umaregião limitada por uma curva ou um conjuntode curvas, determinando uma integral definidapor antidiferenciação. O procedimento envolveo que é conhecido como os teoremas funda-mentais do Cálculo. Antes de enunciar eprová-los, vamos discutir as integrais definidascom um limite superior variável.

Seja f uma função contínua no intervalo fecha-do [a,b]. Então o valor da integral definida∫ba f(x)dx depende somente da função f e dos

números a e b, não do símbolo x usado aquicomo variável independente, por exemplo,podemos ter ∫b

a f(t)dt, ∫ba f(u)du, ∫b

a f(r)dr, etc.

Se f for contínua no intervalo fechado [a,b],então, pelo teorema acima, a integral definida∫ba f(t)dt existe. Vamos, primeiramente, estabele-

cer que, se uma integral definida existir, entãoela será um único número. Se X for um númeroem [a,b], então f será contínua em [a,x], pois écontínua em [a,b]. Conseqüentemente, ∫x

a f(t)dtexiste e é um número cujo valor depende de x,Logo, ∫x

a f(t)dt define uma função F tendo comoseu domínio todos os números no intervalofechado [a,b] e cujo valor funcional em qual-quer número x de [a,b] é dado por

F(x) = ∫xa f(t)dt (4)

Segundo a convenção notacional, se os limitesde uma integral definida forem variáveis, deve-rão ser usados símbolos diferentes para esseslimites e para a variável independente no inte-grando. Assim, em (4), como x é o limite supe-rior, usamos a letra t como a variável indepen-dente no integrando.

Se, na expressão (4), f(t) ≥ 0 para todos os va-lores de t em [a,b], então os valores funcionaisde f(x) poderão ser interpretados geometrica-mente com a medida da área da região limita-da pela curva cuja equação é y = f(t), pelo eixot e pelas retas t = a e t = x. Veja a figura abaixo.

Vamos, agora, enunciar e provar um teoremaimportante que dá a derivada da função F defi-nida como uma integral definida tendo um limi-te superior variável. Esse teorema é chamadode primeiro teorema fundamental do Cálculo.

15.6.2 Primeiro teorema fundamental do Cálculo

Seja f uma função contínua no intervalo fecha-do [a,b], e seja x qualquer número em [a,b]. SeF for a função definida por

F(x) = ∫xa f(t)dt (5)

então,

F’(x) = f(x) (5.1)

(Se x = a, a derivada em (5) pode ser a deriva-da à direita e se x = b, a derivada em (5) podeser a derivada à esquerda.)

83


Prova – Considere dois números x1 e x1 + Δx e[a,b]. Então

F(x1) = ∫x1a f(t)dt

e

F(x1 + Δx) = ∫x1a

+Δx f(t)dt

então,

F(x1 + Δx) – F(x1) = ∫x1a

+Δx f(t)dt – ∫x1a f(t)dt (6)

Pela propriedade d) do teorema acima

∫x1a f(t)dt + ∫x1

x1

+Δx f(t)dt = ∫x1a

+Δx f(t)dt

∫x1a

+ f(t)dt + ∫x1a f(t)dt = ∫x1

x1

+Δx f(t)dt

Substituindo essa igualdade em (6), obtemos

F(x1 + Δx) – F(x1) = ∫x1x1

+Δx f(t)dt (7)

Pelo terorema do valor médio para integrais,existe um número x no intervalo fechado limita-do por x1 e x1 + Δx tal que

∫x1x1

+Δx f(t)dt = f(χ)Δx

Dessa relação e de (7), obtemos

F(x1 + Δx) – F(x1) = f(χ)Δx

F(x1 + Δx) – F(x1) = f(χ)

Δx

Tomando o limite quando Δx tende a zero,temos

(8)

O primeiro membro de (8) é F’(x1). Para deter-minar lim

Δ→0 f = (x), lembre que x está no intervalo

fechado limitado por x1 e x1 + Δx e comolimΔ→0

x1 = x1 e limΔ→0

(x1 = Δx) = x1 segue do teo-rema do “Sanduíche” que lim

Δ→0 χ = x1. Assim,

temos limΔx→0

f(χ) = limx→x1

f (χ). Como f é contínua emx1, limx→x1

f (χ) = f(x1); assim limΔx→0

χ = f(x1) e de (8)temos que F’(x1) = f(x1) (9)

Se a função f não estiver definida para valores dex menores do que a, mas for contínua à direita dea, então, na argumentação acima, se x1 = a em(8) Δx precisa tender a 0 pela direita. Assim, oprimeiro membro de (9) será F’+(x1). Analo-gamente, se f não estiver definida para valoresde x maiores do que b, mas for contínua àesquerda de b, então se x1 = b em ( 8 ), Δxdeve tender a zero pela esquerda. Logo, tere-mos F’–(x1) no primeiro membro de (9).

Como x1 é um número qualquer em [a,b], a

igualdade (9) estabelece o que queríamos pro-var.

O teorema fundamental do cálculo estabeleceque a integral definida ∫x

a f(t)dt, com limite supe-rior variável x, é uma antiderivada de f.

A equação ( 5.1 )do teorema pode ser escritada seguinte forma, substituindo F’(x) por

:

Vamos usar agora esse teorema para provar osegundo teorema fundamental do Cálculo.

15.6.3 Segundo Teorema Fundamental do Cálculo

Seja f uma função contínua no intervalo fecha-do [a,b], e seja g uma função tal que g’(x) = f(x) (10) para todo x em [a,b]. Então, ∫b

a f(t)dt = g(b) – g(a).

(Se x = a, a derivada em (10) pode ser umaderivada à direita, e se x = b, a derivada em(10) pode ser uma derivada à esquerda.)

Prova – Se f for contínua em todos os númerosem [a,b], sabemos do teorema anterior que aintegral definida ∫x

a f(t)dt, com limite superior va-riável x, define uma função F cuja derivada em[a,b] é f. Como, por hipótese, g’(x) = f(x) se-gue, como já demonstramos, que

g(x) = ∫xa f(t)dt + k

onde k é uma constante. Tomando x = b e x = a, sucessivamente, nessa equação, obte-mos

g(x) ∫ba f(t)dt + k (11)

e

g(x) = ∫aa f(t)dt + k (12)

De (11) e (12),

g(b) – g(a) = ∫ba f(t)dt – ∫a

a f(t)dt

Mas, como observamos anteriormente ∫aa f(t)dt = 0; assim g(b) – g(a) = ∫b

a f(t)dt que éo que queríamos provar.

Se f não estiver definida para valores de xmaiores do que b, mas for contínua à esquer-da de b, a derivada em (10) será a derivada àesquerda, e teremos g’–(b) = F’–(b), de onde

84


segue (11). Da mesma forma, se f não estiverdefinida para valores de x menores do que a,mas for contínua à direita de a, então a deriva-da em ( 10) será a derivada à direita, e teremosg’+(a) = F’+(a), de onde segue (12).

Estamos, agora, em posição de encontrar ovalor exato de uma integral definida, aplicandoo segundo teorema fundamental do cálculo.

Quando aplicarmos esse teorema, usaremos anotação [g(b) – g(a)]

Exemplo – Vamos aplicar o segundo teoremafundamental do Cálculo para determinar ∫3

1 x2dx.

Aqui f(x) = x2. Uma antiderivada de x2 é x3.

Daí escolhemos

Logo, pelo segundo teorema fundamental docálculo,

Devido à conexão entre integrais definidas eantiderivadas, usamos o sinal de integral ∫ paraa notação ∫f(x)dx de antiderivada. Vamos dis-pensar agora a terminologia de antiderivadas eantidiferenciação e começaremos a chamar∫f(x)dx de integral indefinida. O processo decálculo de uma integral indefinida ou definida échamado de integração.

Deve ser enfatizada a diferença entre uma inte-gral indefinida e definida. A primeira, ∫f(x)dx,foi estabelecida como sendo uma função g talque sua derivada Dx[g(x)] = f(x). Por outrolado, a segunda ∫b

b f(x)dx é um número cujovalor depende da função f e dos números a eb, e foi definida como o limite de uma soma deRiemann. A definição de integral definida nãofaz nenhuma referência à diferenciação.

A integral indefinida envolve uma constante ar-bitrária; por exemplo,

A constante arbitrária C é chamada de cons-tante de integração. Ao aplicar o segundo teo-rema fundamental do Cálculo, não é precisoincluir a constante arbitrária C na expressão de

g(x), pois o teorema permite-nos escolher qual-quer antiderivada, inclusive aquela para a qualC = 0.

Exemplos:

1. Calcule:

Solução:

2. Calcule

Solução:

Exemplos:

1. Calcule:

a) ∫42 3dx

b) ∫31 (2x + 3)dx

c) ∫22 (x2 – 1)dx

d)

e)

f)

Solução:

a) ∫42 3dx = [3x]4

2

85


= (3 . 4) – (3 . 2)

= 12 – 6 = 6

b)

= [x2 + 3x]31

=(9 + 27) – (1 + 3)

= 36 – 4 = 32

c)

d)

e)

f)

1. Calcule:

a) ∫10(x + 3)dx

b)

c)

d)

e)

f)

g) ∫10(x + 1)2dx

h)

2. Em alguns problemas práticos, pode surgir anecessidade de se calcular a área entre duascurvas. Suponhamos que f(x) e g(x) sejamfunções não-negativas e que f(x) ≥ g(x) nointervalo a ≤ x ≤ b conforme mostra a figura b.

Área de R = ∫ba f(x)dx – ∫b

a g(x)dx = ∫ba [f(x) – g(x)]dx

Pode-se provar que esta fórmula permaneceválida mesmo se desprezar a hipótese de asfunções f e g serem não-negativas.

86


TEMA 16

ÁREA ENTRE CURVA

Se f(x) e g(x) forem contínuas no intervaloa ≤ x ≤ b, com f(x) ≥ g(x), e se R for a regiãolimitada pelos gráficos de f e g pelas verticaisx = a e x = b, então,

Área de R = ∫ba [f(x) – g(x)]dx

Exemplos:

1. Calcule a área da região limitada pelas curvas

y = x2 + 1 e y = 2x – 2 entre x = –1 e x = 2.

Solução:

Para melhor visualizar a situação, iniciemos re-presentando a região conforme ilustra a figuraabaixo. Aplicamos, então, a fórmula de inte-gração, com f(x) = x2 + 1, g(x) = 2x –2, a = –1 e b = 2.

Obtendo,

Área

= ∫2

–1 [x2 + 1) – (2x – 2)]dx = ∫2

1[x2 – 2x + 3)dx

2. Calcule a área da região limitada pelas

curvas y = x3 e y = x2

Solução:

Esbocemos as curvas, conforme figura abaixo.

Determinemos os pontos de intersecção, resol-vendo, simultaneamente, as equações das duascurvas. Obtemos:

x3 = x2 x3 – x2 = 0 x2(x – 1) = 0

Ou

x = 0 e x = 1

Os pontos correspondentes (0,0) e (1,1) são osde intersecção.

Região limitada por y = x3 e y = x2

Observemos que, para 0 ≤ x ≤ 1, o gráfico

y = x2 situa-se acima do de y = x3 (pois o

quadrado de uma fração entre 0 e 1 é maior

que o seu cubo). Logo, a região em estudo é

limitada, acima, pela curva y = x2; abaixo, pela

curva y = x3 e, nas extremidades, por x = 0 e

x = 1. Por conseguinte,

Área = ∫1

0

3. Calcule a área do conjunto do plano limitado

pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e pelo gráfico de

f(x) = x2.

Solução:

área

As situações que apresentamos a seguir suge-

rem como estender o conceito da área para

uma classe mais ampla de subconjunto do 2.

87


Como f(x) ≤ 0 em [a,b], ∫ba f(x)dx ≤ 0.

área A = –∫ba f(x)dx

2. Seja A o conjunto hachurado

área

A = ∫c

a f(x)dx – ∫d

c f(x)dx + ∫b

d f(x)dx = ∫b

a |f(x)|dx

Observe:

A = ∫b

a f(x)dx = ∫c

a f(x)dx + ∫b

d f(x)dx =

soma das áreas dos conjuntos acima do eixo0x menos a soma das áreas dos conjuntosabaixo do eixo 0x.

3. [f(ci) – g(ci)]Δxi = área do retângulo hachurado.

área A, onde A é o conjunto limitado pelasretas x = a, x = b e pelos gráficos de y = f(x)e y = g(x), com f(x) ≥ g(x)em [a,b].

Exemplo:

Resolva:

a) Calcule a área da região limitada pelo gráfi-co de f(x) = x3, pelo eixo x e pelas retasx = –1 e x = 1.

b) Calcule = ∫1

–1 x3 dx

Solução:

a) área =

área

área

b)

Nas questões abaixo, desenhe o conjunto Adado e calcule a área.

1. A é o conjunto do plano limitado pelas retasx = 1, x = 3, pelo eixo 0x e pelo gráfico de y = x3.

2. Aé o conjunto do plano limitado pelas retas

x = 1, x = 4, y =0, e pelo gráfico .

3. é o conjunto de todos (x,y), tal que x2 – 1 ≤ y ≤ 0.

4. A é o conjunto de todos (x,y), tal que0 ≤ y ≤ 4 – x2.

5. A é o conjunto de todos (x,y), tal que0 ≤ y ≤ |sen x|, com 0 ≤ x ≤ 2π

6. A é é a região do plano compreendida entre 0xe o gráfico de y = x2 – x, com 0 ≤ x ≤ 2.

7. A é o conjunto do plano limitado pela reta y = 0e pelo gráfico de y = 3 – 2x – x3, com –1 ≤ x ≤ 2.

8. A é o conjunto do plano limitado pelas retasx = –1, x – 2, y = 0 e pelo gráfico dey = x2 + 2x + 5.

9. A é o conjunto do plano limitado pelo eixo 0x,pelo gráfico de y = x3 – x, 1 ≤ x ≤ 1.

10. A é o conjunto do plano limitado pela reta y = 0e pelo gráfico de y = x3 – x, com 0 ≤ x ≤ 2.

y x=

88


TEMA 17

MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL

17.1 Resumo das integrais

1. Dx(x) = 1

∫1dx = x + C

2.

3. Dx (sen x) = cos x

∫cos x dx = sen x + C

4. Dx (–cos x) = senx

∫senxdx = –cosx + C

5. Dx (tg x) = sec2 x

∫sec2 xdx = tg x + C

6. Dx (–cotg x) = cosec2 x

∫cosec2 xdx = –cot gx + C

7. Dx (sec x) = sec x tg x

∫sec x tg xdx = sec x + C

8. Dx (–cosec x) = cosc x cotg x

∫cosec x cotg xdx = –cosec x + C

17.2 Definição

As fórmulas para integrais indefinidas acima,têm objetivo limitado, porque não podemosusá-las diretamente para calcular integrais co-mo ou ∫cos 4xdx.

Desenvolveremos, agora, um método simples– mas poderoso – para mudar a variável deintegração de modo que essas integrais (e mui-tas outras) possam ser calculadas por meiodas fórmulas vistas até agora.

Para justificar esse método, aplicaremos a fór-mula para integral indefinida e uma função com-posta. Pretendemos considerar diversas fun-ções f,g e F, de forma que nosso trabalho serásimplificado se enunciarmos a fórmula em ter-mos de uma função h como segue:

∫[Dxh(x)]dx = h(x) + C

Sejam f uma antiderivada de uma função f e g

uma função diferenciável tal que g(x) está nodomínio de F para todo x em algum intervalo.Denotando por h a função composta de F e g,então h(x) = F(g(x)) e daí

∫[DxF(g(x))]dx = F(g(x)) + C

Aplicando a regra da cadeia ao integrandoDxF(g(x)) lembrando que F’ = f, obtemos

DxF(g(x)) = F’(g(x))g’(x) = f(g(x))g’(x)

Levando na integral indefinida precedente,temos

∫ f(g(x))g’(x)dx = F(g(x)) + C (*)

Podemos utilizar o seguinte artifício para ajudara rememorar esta fórmula:

Sejam u = g(x) e du = g’(x)dx

Note que, uma vez introduzida a variável u =g(x), a diferencial du de u fica determinada(fato demosntrado anteriormente). Substituin-do formalmente na última fórmula de integra-ção, vem ∫f(u)du = F(u) +C.

Esta integral tem a mesma forma que a daDefinição de antiderivada; todavia u representaaqui uma função, e não uma variável indepen-dente x, como anteriormente. Isso sugere queg’(x)dx em (*) pode ser encarado como o pro-duto de g’(x) e dx.

Como a variável x foi substituída por uma novavariável u, esta maneira de calcular integraisindefinidas é conhecida como mudança devariável, ou método de substituição. Pode-mos resumir nosso estudo como segue, quan-do supomos que f e g tenham as propriedadesdescritas previamente.

17.3 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Se F é uma antiderivada de f, então

∫f(g(x))g’(x)dx = F(g(x)) + C.Após fazer a substituição u = g(x) conformeindicado acima, pode ser necessário inserir umfator constante k no integrando para obter umaforma adequada ∫f(u)du. Devemos, então,

multiplicar por para manter a igualdade, con-

forme exemplo a seguir.

Exemplo:

Calcular

89

Solução:

Façamos u = 5x + 7e calculemos du:

u = 5x + 7, du = 5 dx

Como du contém o fator 5, a integral não estána forma ∫ f(u)du exigida. Entretanto podemosintroduzir o fator 5, no integrando, desde que

multipliquemos por . Fazendo isso e aplican-

do os teoremas de integração, temos

Daqui por diante, após inserir o fator k em umintegrando, como no Exemplo, simplesmente

multiplicaremos a integral por , omitindo o

trabalho intermediário de escrever primeiro

e trazer então para fora, isto é, para a

esquerda do sinal de integral.

Exemplo:

Calcular ∫cos 4xdx

Solução:

Façãmos a substituição

u = –4x, du = 4x

Como du contém o fator 4, ajustamos o integran-do multiplicando por 4 e, para compensar, multi–

plicamos a integral por antes de substituir:

∫cos 4x = ∫(cos 4x)4dx

= ∫cos u du

= sen u + C

= sen 4x + C

Nem sempre é fácil decidir a substituiçãou = g(x) necessária para transformar uma inte-gral indefinida em uma forma que possa serfacilmente calculável. Às vezes, é preciso ten-tar várias possibilidades diferentes até acharuma substituição adequada. Na maioria doscasos, nenhuma substituição simplificará pro-priamente o integrando. Veja algumas diretri-zes.

1) Decidir por uma substituição u = g(x).

2) Calcular du = g’(x)dx.

3) Com o auxílio de 1 e 2, transformar a inte-gral em uma forma que envolva apenas avariável u. Se necessário, introduzir um fatorconstante k no integrando, compensando

com a multiplicação de integral por . Se

Se qualquer parte do integrando resultantediferente em 1.

4) Calcular a integral obtida em 3, obtendouma antiderivada envolvendo u.

5) Substituir u por g(x) na antiderivada obtidana diretriz 4. o resultado final deve conterapenas a váriável x.

Exemplos:

1. Calcular ∫(2x3 + 1)7 x2dx

Solução:

Se o integrando envolve uma expressão eleva-da a uma potência como (2x3 + 1)7, costu-mamos substituir a expressão por u . Assim,

u = 2x3 + 1, du = 6x2 dx

A comparação de du = 6x2 dx com x2 da inte-gral sugere a introdução do fator 6 no integran-do, compensada pela multiplicação da integral

por :

∫(2x3 + 1)7 x2 dx = ∫(2x3 + 1)7 6x2 dx

Freqüentemente, há mais de uma maneira defazer uma substituição em uma integral inde-finida. Para ilustrar, outro método para calcu-


90


lar essa integral consiste em considerar

u = 2x3 + 1 du = 6x2 dx por du = x2 dx

Substituímos, então, x2 dx por du

e integramos como anteriormente

2. Calcular

Solução:

Note que o integrando contém o termo xdx. Seo fator x estivesse ausente, ou elevado a umapotência mais alta, o problema seria mais com-plicado. Para integrandos que envolvem umradical, em geral substituímos a expressão sobo sinal de radical. Assim,

u = 7 – 6x2, du = –12x dx

Em seguida, introduzimos o fator –12 no inte-grando, compensando com a multiplicação da

integral por , e procedemos como segue:

Poderíamos também ter escrito

substituindo xdx diretamente. Assim,

Para o restante da solução, procedemos exata-mente como antes.

3. Calcular

Solução:

Façamos u = x3 – 3x + 1du = (3x2 – 3)dx = 3(x2 – 1)dxe procedemos como seguinte:

4. Calcular

Solução:

Para a fórmula ∫cos u du = sen u + C, fazemos a substituição

Introduzimos o fator no integado e com-

pensando-o pela multiplicação da integral por2, obteremos

= 2∫cos u du = 2sen u + C

5. Calcular ∫cos3 5x sen 5x dx

Solução:

A forma do integrando sugere utilizarmos a

regra da potência . Façamos,

pois, u = cos 5x, du = –5 sen 5x dx.

A forma de du indica que devemos introduzir ofator –5 no integrando, multiplicar a integral por

– e integral como segue:

∫cos3 5x sen 5xdx

91


1. Calcule a integral fazendo a substituição dada:

a) ∫cos 3xdx, u = 3x

b)

c)

4. Calcule a integral indefinida:

a) ∫2x(x2 + 3)4dx

b)

c)

d)

e)

f) ∫(1 – 2y1,3)dt

g) ∫cos 2θdθ

h)

i) ∫ t sen(t2)dt

j)

k)

l) ∫cos4x senx dx

m)

n)

o)

17.4 A regra da substituição para Integrais definidas

Se g’ for contínua em [a,b] e f for contínua na

variação de u = g(x),então ∫b

a f(g(x))g’(x) = ∫g(b)

g(a) du

Prova:

Seja F uma antiderivada de f. Então, pelo méto-do da substiuição, F(g(x)) é uma antiderivada

de F’(g(x)) g’(x); logo, pela parte 2 doTeorema Fundamental, temos

∫b

a f(g(x))g’(x)dx =F(g(x))]b

a = F(g(b)) – F(g(a))

Mas aplicando uma segunda vez o TFC2, tam-bém temos,

∫g(b)

g(a) f(u) du = F(u)]g(b)

g(a) = F(g(b)) – F(g(a))

Exemplos:

1. Sendo calcule.

Solução:

Usando a substituição u = 2x + 1 e .

Para encontrar os novos limites de integração,notamos que, quando x = 0, u = 1, e quandox = 4, u = 9

Portanto

Observe que, quando usamos a regra da substi-tuição, não retornamos à variável x após a inte-gração. Simplesmente calculamos a expressãoem u entre os valores apropriados de u.

2. Calcule

Solução:

Seja u = 3 – 5x. Então du = –5dx, portanto

.

92


Quando, x = 1, u = –2 e quando x = 2, u = –7.Assim,

3. Calcule

Solução:

Vamos fazer u = 1n x, pois sua diferencial

ocorre na integral.

Quando x = 1, u = 1n1 = 0, quando x = e, ue 1n e e = 1.Assim

6. Calcular .

Solução:

Comecemos escrevendo a integral como

A expressão na integral sugere aseguinte substituição u = 5x – 1, du = 5dx.

A forma de du sugere introduzirmos o fator 5no integrando, compensando pela multipli-

cação da integral por , como segue:

Calculamos, em seguida, os valores de u = 5x – 1, que correspondem aos limites deintegração x = 2 e x = 10:

(i) Se x = 2, então u = 5(2) – 1 = 9.

(ii) Se x = 10, então u = 5(10) – 1 = 49.

Substituindo na integral e mudando os limitesde integração conforme método da substi-tuição, vem:

7. Calcular .

Solução:

O integrando sugere a regra da potência

Fazemos assim u = 1 + sen 2x, du = 2cos2xdx

A forma de du indica que devemos introduzir ofator 2 no integrando e multiplicar a integral por

, como segue:

Calculamos, em seguida, os valores deu = 1 + sen 2x, que correspondem aos limites

de integração x = 0 e :

(i) Se x = 0, então u = 1 + sen 0 = 1 + 0 = 1

(ii) Se , então

Substituindo no integrando e mudando os li-mites de integração, obtemos:

17. 5 SIMETRIA17.5.1 Introdução

O terorema seguinte ilustra uma técnica útil pa-

93

ra o cálculo de certas integrais definidas.

O próximo teorema usa a Regra da Substi-tuição para Integrais Definidas para simplificaro cálculo de integrais de funções que possuampropriedades de simetria.

17.5.2 Integrais de funções simétricas

Teorema – Suponha que f é contínua em[–a,a].

a) Se f for par [f(–x) = f(x)], então

∫a

–a f(x)dx = 2∫a

–a f(x)dx

b) Se f for ímpar [f(–x) = –f(x)], então

∫a

–a f(x)dx = 0

Prova:

Dividimos a integral em duas:

∫a

–a f(x)dx = ∫0

–a f(x)dx + ∫a

0 f(x)dx =

= –∫–a

0 f(x)dx + ∫a

0 f(x)dx (1)

Na primeira integral da última igualdade, faze-mos a substituição u = –x. Então du = –dx, equando x = –a, u = a. Portanto

–∫–a

0 f(x)dx = –∫a

0 f(–u)(–du) = ∫a

0 f(–u)du

∫a

–a f(x)dx = ∫a

0 f(–u)du + ∫a

0 f(x)dx (2)

a) Se f for par, então f(–u) = f(u); logo, daEquação (2) segue que

∫a

–a f(x)dx = ∫a

0 f(u)du + ∫a

0 f(x)dx = 2∫a

0 f(x)dx

b) Se f for ímpar, então f(–u) = –f(u), e aEquação (2) nos dá

∫a

–a f(x)dx = –∫a

0 f(u)du + ∫a

0 f(x)dx = 0

O Teorema está ilustrado abaixo.

(a) f par, ∫a

–a f(x)dx = 2∫a

0 f(x)dx

(b) f ímpar, ∫a

–a f(x)dx = 0

Quando f é positiva e par, a parte (a) diz que aárea sob y = f(x) de –a até a é o dobro da áreade 0 até a devido à simetria. Lembre-se de queuma integral ∫b

af(x)dx pode ser expressa como

a área acima do eixo x e acima da curva.Assim, a parte (b) diz que a integral é 0, pois asáreas se cancelam.

Exemplos:

1. Uma vez que f(x) = x6 + 1 satisfaz f(–x) = f(x),ela é par, portanto

∫2

–2 (x6 + 1)dx = 2∫2

0 (x6 + 1)dx

2. Uma vez que satisfaz

f(–x) = –f(x), ela é impar, e portanto

3. Calcular

a) ∫1

–1 (x4 + 3x2 + 1)dx

b) ∫1

1 (x5 + 3x3 + x)dx

c) ∫5

–5 (2x3 + 3x2 + 7x)dx

Solução:

a) Como o integrado é uma função par, po-demos aplicar a parte a) do teorema acima:

∫1

–1 (x4 + 3x2 + 1)dx = ∫1

0 (x4 + 3x2 + 1)dx

b) O integrando é impar e, assim, aplicamos aparte b) do teorema:

∫1

–1(x5 + 3x3 + x)dx = 0


94


c) A função dada por 2x3 + 7x é impar, mas afunção 3x2 é par; aplicamos, pois, o teorema:

∫5

–5(2x3+3x2+7x)dx = ∫5

–5(2x+7x)dx +∫5

–5 3x2dx

= 0 + 2∫5

0 3x2dx

= 2[x3]50 = 250

Calcule:

1)

2) ∫1

–1 (v2 – 1)v dv

3)

4)

5)

6)

7)

TEMA 18

INTEGRAÇÃO POR PARTES

18.1 Definições

As técnicas aqui nos possibilitam estimar aárea de uma piscina, a altura de um foguete umminuto após o lançamento, o cálculo da veloci-dade de escape do foguete e a diminuição docrescimento de uma população de insetos in-troduzindo-se machos estáveis.

Até este ponto, não temos condições de calcu-lar integrais como

∫lnx dx, ∫xe2 dx, ∫x2 sen x dx, ∫arctg x dx

A próxima fórmula possibilita calcular não so-mente estes, como muitos outros tipos de inte-grais.

18.2 Fórmula de integração por partes

Se u = f(x) e v = g(x), e se f’ e g’ são contínuas,então

∫u dv = uv – ∫v du

Demonstração:

Pela regra do produto

Dx[f(x) g(x)] = f(x)g’(x) + g(x)f’(x)

ou, equivalentemente,

f(x)g’(x) = Dx[f(x) g(x)] – g(x)f’(x)

Integrando ambos os membros, obtemos

∫f(x)g’(x)dx = ∫Dx[f(x) g(x)]dx – ∫g(x)f’(x)dx

Pelo que já estudamos, a primeira integral àdireita é igual a f(x)g(x) + C. Como se obtémoutra constante de integração na segunda inte-gral, podemos omitir C na fórmula, isto é,

∫f(x)g’(x)dx = f(x)g(x)dx – ∫g(x)f’(x)dx

Como dv = g’(x)dx e du = f’(x)dx, podemosescrever a fórmula precedente anteriormente.

Ao aplicar a Fórmula acima a uma integral, oprimeiro passo é fazer uma parte do integran-do corresponder a dv. A expressão que esco-lhermos para dv deve incluir a diferencial dx.Após a escolha de dv, denotamos a parterestante do integrando por u, e calculamos du.Como esse processo implica separar o inte-

95


grando em duas partes, referimo-nos ao usoda fórmula como integração por partes. Éimportante a escolha adequada de dv. Emgeral, fazemos dv representar a parte maiscomplicada do integrando que possa serprontamente integrada. O exemplo a seguirilustra esse método de integração.

Exemplo:

1. Calcular ∫xe2xdx

Solução:

A lista seguinte contém todas as escolhas pos-síveis de dv:

dx, xdx, e2xdx, xe2x, xe2xdx

A mais complexa destas expressões que podeser integrada rapidamente é e2x dx. Assim,fazemos dv = e2xdx.

A parte restante do integrando é u, isto é,u = x. Para achar v, integramos dv, obtendo

.

Se u = x, então du = dx. Para facilidade dereferência, disponhamos essas expressões co-mo segue:

dv = e2xdx u = x

du = dx

Levando essas expressões na fórmula, isto é,integrando por partes, obtemos

integrando à direita, temos:

É necessário práticar bastante para fazer umaescolha adequada de dv. Para ilustrar, setivéssemos escolhido dv = x dx no exemplo 1,teria sido necessário fazer u = e2x, onde

dv = x dx u = e2x

du = 2e2x dx

Integrando por partes, obteríamos

Como o expoente associado a x aumentou, a

integral à direita tornou-se mais complexa quea integral original. Isso indica uma escolhaincorreta de dv.

2. Calcular:

a) ∫x sec2 x dx

b)

Solução:

a) As escolhas possíveis de dv são dx, x dx,secx dx, xsec x dx, sec2x dx, xsec2x dx

A mais complexa destas expressões quepode ser integrada imediatamente é sec2xdx. Fazemos, pois,

dv = sec2 xdx u = x

v = tg x du = dx

Integrando por partes, obtemos

∫xsec2 x dx = xtg x = ∫tg x dx

= xtg x + ln |cos x| + C

b) A integral indefinida obtida na parte (a) éuma antiderivada de xsec2x. Aplicando oteorema fundamental do cálculo (e omitin-do a constante de integração C), obtemos

Se, no exemplo 2, tivéssemos escolhidodv = x dx e u = sec2 x, a integração por partesteria conduzido a uma integral mais complexa.

A seguir, aplicamos a integração por partes pa-ra achar uma antiderivada da função logarítmi-ca natural.

3. Calcular ∫ln x dx

Solução:

Seja dv = dx u = 1n x

v = x

96


obtemos,

= x ∫ln x – ∫dx

= x ln x – x + C

Observação – Algumas vezes, pode ser neces-sário aplicar a integração por partes mais deuma vez no mesmo problema.

4. Calcular ∫x2e2x dx

Solução:

Façamos dv = e2x dx u = x2

du = 2x dx

logo,

Para calcular a integral no membro direito daúltima equação, devemos novamente integrarpor partes. Procedendo exatamente como noexemplo 1, temos:

O próximo exemplo mostra outra maneira decalcular uma integral aplicando duas vezes afórmula de integração por partes.

5. Calcular ∫e2 cos2 dx

Podemos fazer tanto dv = cos x dx, como dv = e"dx, pois qualquer uma dessas duas expressõesé facilmente integrável. Escolhamos

dv = cosx dx u = ex

v = sen x du = ex dx

Então,

∫ex cos x dx = ex sen x – ∫(sen x)ex dx

∫ex cos x dx = ex sen x – ∫ex sen x dx (1)

Aplicamos, em seguida, a integração por partesà integral no membro direito de (1). Comoescolhemos uma forma trigonométrica para dvna primeira integração por partes, escolhere-mos também uma forma trigonométrica nasegunda. Fazendo

dv = sen x dx u = ex

v = –cos x du = exdx

e integrando novamente por partes obtemos:

∫ex sen x dx = ex (–cos x) – ∫(–cos x)ex dx

∫ex sen x dx = –ex cos x + ∫ex cos dx (2)

Utilizando a equação (2) para fazer a substitu-ição no membro direito da equação (1), obtemos

∫ex cos x dx = ex sen x – [–ex cos x + ∫ex cos x dx]

ou,

∫ex cos x dx = ex sen x + ex cos x – ∫ex cos x dx

Adicionando ∫e2 cos dx a ambos os membrosda última equação, obtemos:

2 ∫e2 cos x dx = e2(sen x + cos x)

Finalmente, dividindo ambos os membros por2 e adicionando a constante de integração,obtemos

Poderíamos também ter calculado a integralutilizando dv = ex dx para a primeira e para asegunda aplicação da função integração porpartes.

Devemos escolher cuidadosamente as substi-tuições ao calcular uma integral do tipo dadono exemplo 5. Suponhamos que, no cálculo daintegral à direita da equação (1) da solução,tivéssemos escolhido

dv = ex dx u = sen x

v = ex du = cos x dx

A integração por partes, então, conduziria a

∫ex sen x dx = (sen x)ex – ∫ex cos x dx

= ex sen x – ∫ex cos x dx

Se substituímos em (1), obtemos

∫ex cos x dx = ex sen x – [ex sen x – ∫ex cos x dx]

que se reduz a

∫ex cos x dx = ∫ex cos x dx

Embora se trate de uma afirmação verdadeira,não é evidentemente um cálculo da integraldada.

6. Calcular ∫sec3 x dx

Solução:

As escolhas possíveis de dv são

97

dx, sec xdx, sec2 x dx, sec3 x dx

A expressão mais complexa que pode ser in-tegrada facilmente é sec3 x dx. Fazemos então

dv = sec2 x dx u = sec x

v = tg x du = sec x tg x dx

daí,

∫sec3 x dx = sec x tg x – ∫sec x tgx x dx

Em lugar de aplicar outra integração por par-tes, mudemos a forma da integral à direita va-lendo-nos da identidade 1 + tg2 x = sec2 xque nos dá

∫sec3x dx = secx tgx – ∫sec x (sec2 x – 1)dx

Somando ∫sec3 x dx a ambos os membros daúltima equação, obtemos

2∫sec3x dx = secx tgx + ∫sec x dx

Calculando agora ∫sec x dx e dividindo ambosos membros da equação resultante por 2 (eacrescentando, então, a constante de integra-ção), obtemos

A integração por partes pode, às vezes, serusada para obter fórmulas de redução paraintegrais. Utilizamos tais fórmulas para escre-ver uma integral que envolve potências de umaexpressão, em termos de integrais que envol-vem potências inferiores da mesma expressão.

7. Estabelecer uma fórmula de redução para

∫senn xdx.

Solução:

Fazemos

dv = sen x dx u = senn–1x

v = –cos x du = (n – 1)n–2sen x cos x dx

integrando, temos:

∫senn x dx = –cosx senn – 1x+(n–1)∫senn – 2 x cos2x dx

Como cos2 x = 1 – sen2 x, podemos escrever

∫senn x dx =

–cosx senn – 1x+(n–1)∫senn – 2 x dx – (n – 1)∫senn x dx

Conseqüentemente,

∫senn x dx = (n – 1)∫senn x dx =

cos x senn – 1 x + (n – 1)∫senn – 2 x dx

O membro esquerdo da equação reduz-se an ∫sen x dx. Dividindo ambos os membros porn, obtemos

8. Aplique a fórmula de redução do exemplo 7para calcular ∫sen4 x dx.

Aplicando a fórmula com n = 4, obtemos

Solução:

Aplicando a fórmula de redução, com n = 2,para a integral à direita, temos

Conseqüentemente,

com

É evidente que, mediante aplicações reiteradasda fórmula do exemplo 7, podemos calcular

∫sennx dx para qualquer inteiro positivo n,porque essas reduções sucessivas terminamem ∫sen x dx ou ∫dx, ambas imediatamenteintegráveis.

1. Calcule:

a) ∫ xex dx

b) ∫ xsen xdx

c) ∫ x2 ex dx

d) ∫ xln xdx

e) ∫ ln x dx

f) ∫ x2ln xdx

g) ∫ sec2 xdx


98


h) ∫ x (ln x)2 dx

i) ∫ (ln x)2 dx

j) ∫ x e2x dx

l) ∫ ex cos x dx

m) ∫ e–2x sen x dx

n) ∫ x3 e xx2 dx

o) ∫ x3 cos x2 dx

p) ∫ e–x cos 2x dx

q) ∫ x2 sen x dx

2. Calcule:

a) ∫1

0 x ex dx

b) ∫2

1 ln x dx

c)

d) ∫x

0 t2 e–stdt(s ≠ 0)

TEMA 19

INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS

19.1 Introdução

Os teoremas para a antiderivada das funçõesseno e co-seno seguem imediatamente dosteoremas correspondentes para diferenciação.

Teorema: ∫senxdx = –cos x + C

Prova: Dx(–cos x) = –(–sen x)

= sen x

Teorema: ∫cos xdx = sen x + C

Prova: Dx(sen x) = cos x

Os teoremas a seguir são conseqüências dosteoremas para as derivadas das funções tan-gente, co-tangente, secante e co-secante. Asdemonstrações também são imediatas, obti-das com o cálculo da derivada do segundomembro das fórmulas.

Teorema: ∫sec2 xdx = tgx + C

Teorema: ∫cosec2 xdx = –cotgx + C

Teorema: ∫sectg xdx = sec x + C

Teorema: ∫cosec x cot xdx = –cosec x + C

Exemplo:

Calcule ∫(3sec x tg x – 5cosec2 x)dx.

Solução:

∫(3sec x tg x – 5cosec2 x)dx =

= 3∫sec x tg xdx – 5∫cosec2 xdx

= 3sec x – 5 (–cot gx) + 5

= 3sec x – 5cot gx + C

As identidades trigonométricas são freqüente-mente usadas quando calculamos antideri-vadas envolvendo funções trigonométricas. Asoito identidades fundamentais a seguir sãocruciais:

1. sen x cosc x = 1

2. cosx sec x = 1

3. tg x cotg x = 1

4.

99

5.

6. sen2 x cos2 x = 1

7. tg2 x + 1 = sec2 x

8. cotg2 x + 1 = cosec2 x

Exemplos:

1. Calcule

Solução:

=

=

= 2∫cosec x cotg xdx – 3∫sen xdx

= 2(–cosec x) – 3 (cos x) + C

= –2(cosec x) + 3cos x + C

2. Calcule ∫(tg2 x + cotg2 x + 4)dx.

Solução:

∫(tg2 x + cotg2 x + 4)dx =

= ∫[(sec2 x – 1) +(cosec2 x – 1)]dx

= ∫sec2 xdx + ∫cosec2 xdx + 2∫dx

= tg x – cotg x + 2x + C

19.2 Substituição trigonométrica

Para achar a área de um círculo ou uma elipse,

uma integral da forma aparece,

onde a > 0. Se a integral fosse a

substituição u = a2 – x2 poderia ser eficaz, mas,

como está, é mais difícil. Se mudar-mos a variável de x para θ pela substituiçãox = a senθ, então a identidade 1 – sen2θ = cos2

θ permitirá que nos livremos da raiz, porque

Note a diferença entre a substituição u = a2 – x2

(na qual uma nova variável é uma função davelha) e a substituição x = a senθ (a variávelvelha é uma função da nova).

Em geral, podemos fazer uma substituição daforma x = g(t) usando a Regra da Substituiçãoao contrário. Para simplificar nossos cálculos,assumimos que g tem uma função inversa, istoé, g é um a um. Nesse caso, se trocarmos u porx e x por t na Regra da Substituição, obteremos

∫f(x)dx = ∫f(g(t))g’(t)dt

Esse tipo de substituição é chamada de subs-tituição inversa.

Podemos fazer a substituição inversa x = a senθ desde que esta defina uma funçãoum a um. Isso pode ser conseguido pela

restrição de θ no intervalo

A seguir, listamos substituições trigonométri-cas que são eficazes para as expressões radi-cais dadas por causa de certas identidadestrigonométricas. Em cada caso, a restrição deθ é imposta para assegurar que a função quedefine a substituição seja um a um.

Substituição trigonométrica

Expressão substituição identidade

1 – sen2θ = cos2θ

1 + tg2θ = sec2θ

sec2θ – 1= tg2θ

Exemplos:

1. Avalie

Solução:

Seja x = 3sen θ, onde .

então dx = 3cosθ dθ e


100


Observe que cosθ ≥ 0 porque.

Então, a Regra de Substituição Inversa fornece

=∫(cossec2 θ – 1)dθ

= cotg θ – θ + C

Como esta é uma integral indefinida, devemosretomar à variável x original. Isso pode ser feitousando-se identidades trigonométricas para

expressar cotθ em termos de ou pelo

desenho de um diagrama, como na Figuraabaixo, onde θ é interpretado como um ângu-lo de um triângulo retângulo.

Como , denominamos o lado oposto

e a hipotenusa como tendo comprimentos x e3. Pelo Teorema de Pitágoras, o comprimentodo lado adjacente é ; assim, podemosler o valor de cotgθ diretamente da figura:

(Embora θ > 0 no diagrama, essa expressãopara cotgθ é valida quando θ <0). Como

, temos e assim

2. Encontre a área limitada pela elipse .

Solução:

Resolvendo a equação da elipse para y, temos

que ou .

Porque a elipse é simétrica em relação a am-bos os eixos, a área total A é quatro vezes a

área do primeiro quadrante (veja a Figuraabaixo).

A parte da elipse no primeiro quadrante é dadapela função

0 ≤ x ≤ a

Assim,

Para avaliar essa integral substituímos x = asenθ. Então dx = a cosθ dθ. Para mudar oslimites de integração notamos que quando x = 0, senθ = 0, assim θ = 0; quando x = a,senθ = 1, assim

. Também

já que .

Portanto

= πab

Mostramos que a área de uma elipse comsemi-eixos a e b é πab. Em particular, tomandoa = b = r, provamos a famosa fórmula que dizque a área de um círculo de raio r é πr2.

Observação – Nesse exemplo, a integral é de-finida; então, mudamos os extremos de integra-ção e não tivemos de converter de volta à va-riável x original.

3. Ache

101

Solução:

Seja .

Então, dx = 2 sec2θ dθ e

Assim, temos:

Para avaliar essa integral trigonométrica, colo-camos tudo em termos de senθ e cosθ:

Portanto, fazendo a substituição u = senθ, temos:

Usamos a Figura abaixo para determinar que

e assim

4. Avalie , onde a > 0

Solução:

Seja x = asecθ, onde ou .

Então, dx = a secθ tgθ dθ e

Portanto,

=∫secθ dθ = ln|sec θ + tg θ| + C

O triângulo abaixo mostra que

Assim, temos:

Escrevendo C1 = C – ln a, temos

5. Encontre .

Solução:

Primeiro, notamos que ;

assim, a substituição trigonométrica é apropri-ada. Embora não seja exatamenteuma expressão da tabela de substituições tri-gonométricas, ela se torna parte delas quandofazemos a substituição preliminar u = 2x. Quan-do combinamos esta com a substituição da tan-gente,

temos , o que dá e

Quando x = 0, tg θ= 0 assim θ = 0 ; quando

, tg θ = , assim , logo,

Agora, substituímos u = cosθ de modo que

3


102


du = –senθdθ .

Quando θ = 0, u = 1;

quando , .

Portanto

1. Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

TEMA 20

INTEGRAIS DE FUNÇÕES RACIONAIS

20.1 Introdução

Recorde que, se q é uma função racional,

então , onde f(x) e g(x) são polinô-

mios. Aqui estabeleceremos regras para o cál-culo de ∫q(x)dx.

Consideremos o caso específico .

É fácil verificar que

A expressão à esquerda da equação é chama-da decomposição em frações parciais de

. Para achar ∫q(x)dx, integramos cada uma

das frações que constituem a decomposição,obtendo

Teoricamente, é possível escrever qualquer

expressão como uma soma de expres-

sões racionais cujos denominadores envolvempotências de polinômios de grau não superiora 2. Especificamente, se f(x) e g(x) sãopolinômios e se o grau de f(x) é inferior ao graude g(x), então se pode provar que

de tal forma que cada

termo Fk da soma tem uma das formas

ou para reais A e B e n

inteiro não-negativo, onde ax2 + bx + c é irre-dutível no sentido de que este polinômio qua-drático não tem zeros (isto é, b2 – 4ac < 0).Nesse caso, ax2 + bx + c não pode expressar-se como o produto de dois polinômios doprimeiro grau com coeficientes reais.

103

A soma F1 + F2 +...+Fr, é a decomposição em

frações parciais de , e cada FK é uma

fração parcial. Não provaremos este resultadoalgébrico, mas estabeleceremos diretrizespara obter a decomposição.

As diretrizes para achar a decomposição em

frações parciais de devem ser aplicadas

somente se f(x) tiver grau inferior ao de g(x).Se isso não ocorrer, teremos de recorrer àdivisão para chegar à forma adequada.

Por exemplo, dada , obtemos,

por divisão;

Passamos, então, à decomposição de

em frações parciais.

20.2 Diretrizes para a decomposição de

em frações parciais

1. Se o grau de f(x) não é inferior ao grau deg(x), use a divisão para chegar à forma ade-quada.

2. Expresse g(x) como o produto de fatores li-neares ax + b ou fatores quadráticos irre-dutíveis da forma ax2 + bx + c, e agrupe osfatores repetidos de modo que g(x) seja o pro-duto de fatores diferentes da forma (ax + b)n

ou (ax2 + bx + c)n para n inteiro não-negati-vo.

3. Aplique as seguintes regras:

Regra a

Para cada fator (ax + b)ncom n ≥ 1, a de-composição em frações parciais contémuma soma de n frações parciais da

forma onde

cada numerador Ak é um número real.

Regra b

Para cada fator (ax2 + bx + c)n com n ≥ 1 e

com ax2 + bx + c irredutível, a decom-posição em frações parciais contém umasoma de n frações parciais da forma

,

onde cada numerador Ak e Bk é um númeroreal.

Exemplos:

1. Calcule .

Solução:

Podemos fatorar o denominador do integrandocomo segue:

x3 + 2x2 – 3x = x(x2 + 2x – 3) = x(x + 3)(x – 1)

Cada fator tem a forma indicada na Regra a),com m = 1. Assim, ao fator x corresponde uma

fração parcial da forma . Analogamente, aos

fatores x + 3 e x – 1 correspondem frações

parciais e , respectivamente.

Portanto a decomposição em frações parciais

tem a forma .

Multiplicando pelo mínimo denominador co-mum, obtemos

4x2+13x – 9 = A(x+3)(x – 1)+Bx(x – 1)+Cx(x+3)(*)

Em casos como este, em que os fatores sãotodos lineares e não-repetidos, os valores deA, B e C podem ser obtidos pela substituiçãode x por valores que anulem os vários fatores.

Fazendo x = 0 em (*), obtemos

–9 = –3A ou A = 3

Fazendo x = 1 em (*), obtemos

8 = 4C ou C = 2

Finalmente, se x = –3 em (*), temos

–12 = 12B ou B = –1

A decomposição em frações parciais é, pois,


104


Integrando e denotando por K a soma dasconstantes de integração, temos

= 3ln|x|–ln|x + 3|+2ln|x – 1|+k

= ln|x3|–ln|x + 3|+ln|x – 1|2+k

Outra técnica para determinar A, B e C é desen-volver o membro direito de (*) e agrupar os ter-mos de mesma potência de x, como segue:

4x2 + 13x – 9 = (A + B + C)x2 + (2A – B + 3C)x – 3A

Valemo-nos, agora, do fato que, se doispolinômios são iguais, então os coeficientes deiguais potências de x são os mesmos. É con-veniente dispor nosso trabalho da seguintemaneira, a qual chamamos comparação decoeficientes de s.

Coeficientes de x2: A + B + C = 4

Coeficientes de x: 2A – B + 3C = 13

Termos constantes: –3A = –9

Pode-se verificar que a solução deste sistemade equações é

A = 3, B = –1 e C = 2

2. Calcular

Solução:

Pela Regra a), há uma fração parcial da forma

que corresponde ao fator x + 1 no

denominador de integrando. Para o fator(x – 2)3 aplicamos a Regra a) (com m = 3),obtendo uma soma de três frações parciais

e .

Conseqüentemente, a decomposição em fra-ções parciais tem a forma

Multiplicando ambos os membros por

(x + 1)(x – 2)3, obtemos:

(*)

Duas das constantes incógnitas podem serdeterminadas facilmente. Fazendo x = 2 em(*), obtemos 6 = 3D ou D = 2

Da mesma forma, fazendo x = –1 em (*), obte-mos –54 = –27A ou A = 2

As demais constantes podem ser obtidas porcomparação dos coeficientes. Atentando parao membro direito de (*), vemos que o coefi-ciente de x3 é A + B. Este coeficiente deve serigual ao coeficiente de x3 à esquerda. Assim,por comparação:

coeficientes de x3: 3 = A + B

Como A = 2, segue–se que B = 1

Finalmente, comparamos os termos cons-tantes de (*) fazendo x = 0 o que nos dá:

termos constantes: – 4 = –8A + 4B – 2C + D

Levando os valores já achados para A, B e Dna equação precedente, temos

– 4 = –16 + 4 – 2C + 2

que tem a solução C = 3. A decomposição emfrações parciais é, portanto,

Para obter a integral dada, integramos cadauma das frações parciais do membro direito daúltima equação, obtendo

com k igual à soma das quatro constantes deintegração. Este resultado pode ser escrito naforma

105

3. Calcular

Solução:

O denominador pode ser fatorado como se-gue:

2x3–x2+8x–4=x2(2x–1)+4(2x–1)=(x2+4)(2x–1)

Aplicando a Regra b) ao fator quadrático irre-dutível x2 + 4, vemos que uma das frações par-

ciais tem a forma . Pela Regra a), há

também uma fração parcial correspon-

dente ao fator 2x – 1. Conseqüentemente,

Tal como em exemplos anteriores, isso conduza (*)

x2 – x – 21 = (Ax + B)(2x – 1)+ C(x2+4)

Pode-se achar facilmente uma constante.

Fazendo em (*), obtemos

ou C = –5

As demais constantes podem ser achadas porcomparação de coeficientes de x em (*):

Coeficientes de x2: 1 = 2A + C

Coeficientes de x: –1 = –A + 2B

Termos constantes: –21 = –B + 4C

Como C = –5, segue-se de 1 = 2A + C queA = 3. Da mesma forma, utilizando os coefi-cientes de x com A = 3, temos –1 = –3 + 2Bou B = 1. Assim, a decomposição do integran-do em frações parciais é

Pode-se, agora, calcular a integral dada inte-grando o membro direito da última equação, oque nos dá

4. Calcular

Solução:

Aplicando a Regra b, com n = 2, temos:

Multiplicando pelo menor divisor comum(x2 + 1)2 temos:

5x3 – 3x2 + 7x – 3 = (Ax + B)(x2 + 1)+ Cx + D

5x3 – 3x2 + 7x – 3 = Ax3 + Bx2 +(A + C)x +(B + D)

Em seguida, comparamos os coeficientes:

Coeficientes de x3: 5 = A

Coeficientes de x2: –3 = B

Coeficientes de x: 7 = A + C

Termos constantes: –3 = B + D

Temos, assim, A = 5, B = –3, C = 7 – A = 2 eD = –3 – B = 0.

Portanto

Integrando, vem

1. Calcule:

a)

b)

c)

d)


106


e)

f)

g)

h)

2. Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

20.3 Integrais que envolvem expressões quadráticas

A decomposição em frações parciais pode con-duzir a integrandos que contêm uma expres-são irredutível como ax2 + bx + c . Se b ≠ 0,é necessário, às vezes, completar o quadradocomo segue:

A substituição pode conduzir a uma

forma integrável.

Calcular .

Solução:

A expressão quadrática x2 – 6x + 13 é irredutí-vel, pois b2 – 4ac = –16 < 0. Completamos o

quadrado como segue:

x2 – 6x + 13 = (x2 – 6x) + 13

(x2 – 6x + 9) + 13 – 9 = (x – 3)2 + 4

Assim,

Fazemos, agora, uma substituição:

u = x – 3, x = u + 3, dx = du

Então,

1. Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

20.4 Aplicações da integral

Exemplos:

1. Joga-se uma pedra verticalmente para cima deum ponto situado a 45m acima do solo e comvelocidade inicial de 30m/s. Desprezando a re-sistência do ar, determine:

107

a) A distância da pedra ao solo após t segun-dos.

b) O intervalo de tempo durante o qual a pedrasobe.

c) O instante em que a pedra atinge o solo, ea velocidade nesse instante.

Solução:

O movimento da pedra pode ser representadopor um ponto numa coordenada vertical l comorigem no solo e direção positiva para cima(veja a figura abaixo).

a) A distância da pedra ao solo no instante t és(t), e as condições iniciais são s(0) = 45 ev(0) = 30. Como a velocidade é decres-cente, v’(t) < 0, isto é, a aceleração é nega-tiva. Logo,

a(t) = v’(t) = –9,8

∫v’(t)dt = ∫–9,8dt

v(t) = –9,8t + C para algum C.

Substituindo t por 0 e em vista do fato de quev(0) = 30 e, conseqüentemente,

v(t) = –9,8 + 30

Como s’(t) = v(t), obtemos s’(t) = –9,8t + 30

∫ s’(t)dt = ∫(9,8t + 30)dt

s(t) = –4,9t2 + 30t + D para algum D.Fazendo t = 0, e como s(0) = 45, temos45 = 0 + 0 + D ou D = 45. Segue-se que adistância do solo à pedra no instante t édada por

s(t) = –4,9t2 + 30t + 45

b) A pedra subirá até que v(t) = 0, isto é, atéque – 9,8 + 30 = 0 ou t ≈ 3.

c) A pedra atingirá o solo quando s(t) = 0, istoé, quando – 4,9t2 + 30t + 45 = 0

ou

4,9t2 – 30t – 45 = 0

donde t = –1,24 ou t = 7,36.

A solução –1,24 é estranha, pois t é não-negativo. Resta t = 7,36s, que é o tempoapós o qual a pedra atinge o solo. A veloci-dade, nesse instante, é:

v = (7,36) = –9,8(7,6) + 30 ≈ –42,13m/s

Nas aplicações à economia, se se conheceuma função marginal, então podemos usara integração indefinida para achar a função,conforme próximo exemplo.

2. Um fabricante constata que o custo marginal(em reais) da produção de x unidades de umacomponente de copiadora é dado por30 – 0,02x. Se o custo da produção de umaunidade é R$ 35,00, determine a função-custoe o custo de produção de 100 unidades.

Solução:

Se C é a função-custo, então o custo marginalé a taxa de variação de C em relação a x, isto é,

C’(x) = 30 – 0,02x

Logo,

∫C’(x)dx = ∫(30 – 0,02x)dx

e

∫C(x) = 30x = –0,01x2 + k para algum k.

Com x = 1 e C(1) = 35, obtemos

35 = 30 – 0, 01 + k ou k = 5,01

Conseqüentemente, C(x) = 30x – 0,01x2 + 5,01.Em particular, o custo da produção de 100unidades é C(100) = 3.000 – 100 + 5,01 =R$ 2.905,01

3. Na comercialização, em reais, de um certo pro-duto, a receita marginal é dada porR’(q) = –20q + 200, e o custo marginal é dadopor C’(q) = 20q. Para o intervalo 1 ≤ q ≤ 5,obtenha:

a) A variação total da receita.

Solução:

A variação total da receita no intervalo 1 ≤ q≤ 5 será dada por ∫5

1R’(q)dq = R(5) – R(1)

ou seja, devemos encontar o valor de


108


∫5

1(–20q + 200)dq.

Calculando, primeiramente, a integral inde-finida correspondente ∫(–20q + 200), temos:

= –10q2 + 200q + C

Logo,

.Obtendo o valor da integral definida:

∫5

1(–20q + 200)dq = [–10q2 + 200q]5

1

= –10 . 52 + 200 . 5 – (–10 . 12 + 200 . 1)

∫5

1(–20q + 200)dq = 750 – 190 = 560

Assim, a variação da receita no intervalo éde R$ 560,00.

b) A variação total do custo.

A variação total da receita no intervalo 1 ≤ q≤ 5 será dada por ∫5

1C’(q)dq = C(5) – C(1)

ou seja, devemos encontar o valor de ∫20qdq.

Calculando, primeiramente, a integral inde-finida correspondente ∫20q dq, temos

Logo, ∫20q dq = –10q2 + C. Obtendo ovalor da integral definida:

∫5

120q dq = [10q2]

5

1= 10 . 52 – 10 . 12 = 240

Assim, a variação da receita no intervalo éde R$ 240,00.

c) A variação total da receita no intervalo 1 ≤ q≤ 5 será dada por .

∫5

1L’(q)dq = L(5) – L(1). Como

L’(q) = R’(q) – C’(q), devemos encontar

∫5

1L’(q)dq = ∫5

1(R’(q) – C’(q))dq.

Então, a integral procurada será

∫5

1(R’(q) – C’(q))dq= ∫5

1(–20q+200–20q)dq

= ∫5

1(–40q+200)dq

Calculando primeiramente a integral inde-finida correspondente ∫(–40q + 200)dq:

Logo,

∫(–40q + 200)dq = –20q2 + 200q + C.Obtendo o valor da integral definida:

∫5

1(–40q + 200)qd = [–20q2 + 200q]5

1

= 20 . 52 + 200 . 5 – (–20 . 12 + 200 . 1)

∫5

1(–40q + 200)qd = 500 – 180 = 320

Assim, a variação do lucro no intervalo é deR$ 320,00.

Note que tal valor também pode ser obtidofazendo a subtração da variação da receitae da variação do custo obtidas nos itensanteriores:

R$ 560,00 – R$ 240,00 = R$ 320,00

d) A interpretação gráfica da variação total dolucro obtida no item anterior.

A interpretação gráfica é dada pela áreaentre a curva da receita marginal,R’(q) = –20q + 200,

e a curva do custo marginal, C’(q) = 20q, no intervalo 1 ≤ q ≤ 5.

1. Um projétil é lançado verticalmente para cimacom uma velocidade de 500m/s. Desprezan-do-se a resistência do ar, determine:

a) sua distância no instante t;

b) altura máxima atingida.

2. Joga-se uma pedra diretamente para baixocom uma velocidade inicial de 5m/s. Determi-ne:

a) Sua distância do solo após t segundos.

b) A velocidade ao cabo de 3 segundos.

c) Quando o objeto atinge o solo.

109

3. Se um automóvel parte do repouso, qual a ace-

leração constante que lhe permitirá percorrer

150 metros em 10 segundos?

4. O processo rítmico da respiração consiste em

períodos alternados de inalação e exalação.

Para um adulto, um ciclo complexo ocorre nor-

malmente a cada 5 segundos. Se V denota o

volume de ar nos pulmões no instante t, então

dV / dt é a taxa de fluxo.

a) Se a taxa máxima de fluxo é 0,6L/seg, esta-

beleça uma fórmula dV / dT = a sen bt que

corresponde à informação dada.

b) Use (a) para estimar a quantidade de ar

inalada durante um ciclo.

5. Na comercialização, em reais, de um certo pro-

duto, a receita marginal é dada por

R’(q) = –10q + 100

e o custo marginal é dado por C’(q) = 2,5q.

Para o intervalo 2 ≤ q ≤ 8, obtenha:

a) A variaçao total da receita.

b) A variaçao total do custo.

c) A variaçao total do lucro.

d) A interpretação gráfica da variação total do

lucro obtida no item anterior.

6. Na comercialização, em reais, de uma peça

automotiva, a receita marginal é dada por

R’(q) = 3q2 e o custo marginal é dado por

C’(q) = 27. Para o intervalo 1 ≤ q ≤ 3, obtenha:

a) A variaçao total da receita.

b) A variaçao total do custo.

c) A variaçao total do lucro.

d) A interpretação gráfica da variação total do

lucro obtida no item anterior.


Respostas dos Exercícios

113

Cálculo I – Respostas dos Exercícios

UNIDADE IFunção

TEMA 01

FUNÇÃO OU APLICAÇÃO

Pág. 20

1. a) –3 e 3/4 b) 0 , 2/3 e

c) 4

d) 6/a

2. a) x + 1

a) 2

b)

c)

d) 0

3. a) 2

b) 2x + h

a) –4x – 2h

b) 0

c)

4. Demonstração5. Demonstração

UNIDADE IILimites

TEMA 02

DEFINIÇÃO DE LIMITES LATERAIS

Pág. 28

1. a. 1

b. Não existe

c. 1

d. Não existe

2. Não, pois f não está definida para x = 1

TEMA 03

CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO

Pág. 30

1. contínua

2. descontínua

3. descontínua

4. descontínua

5. a = –1

TEMA 04

PROPRIEDADES DOS LIMITES

Pág. 32

1. b 2. d 3. c

4. e 5. c 6. c

7. b 8. e 9. d

10. c 11. b 12. e

114


TEMA 05

LIMITES INFINITESIMAIS

Pág. 35

1. c

2. a

3. b

4. e

5. a. –

b. +

c.

d. 0

e. 2/3

TEMA 06

LIMITES TRIGONOMÉTRICOS

Pág. 36

1. a) 3/2

b) b) 3

2. a) 2/3

b) b) 1/5

c) 1/3

3. a) 1

b) 1/16

c) 5

d) –1

e) 2

f)

TEMA 07

LIMITES EXPONENCIAIS

Pág. 38

1. e

2. d

3. a) e3

b) e– m

c) e4

115


UNIDADE IIIDerivada

TEMA 08

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO, DEFINIÇÃO

Pág. 36

1. a)

b)

c)

2. a) 6

b) 10

c) –1

d) 2

3. a) f’(x) = 2x – 2

b) f’(x) = 1

c)

d) f’(x) = 3

4. x = 1

5. 5

Pag. 45

1. b

2. b

3. c

4. b

5. d

6. d

TEMA 09

A RETA TANGENTE AO

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

Pág. 50

1. a) 4

b) y = 4x – 4

2. a) 1/2

b)

3. y – 4 = 5 (x – 4)

4. a) y = 4x – 3

5. a) 7

b) –3

6. –sen x

TEMA 10

REGRAS DE DERIVAÇÃO

Pág. 53

1. a) f’(x) = 2x + 1

b)

c) f’(x) = 15x4

d) f’(x) = 6x + 2

e) f’(x) = 2ax + b

f)

2. 6

3. y = 4x – 13

4. a’(x) = 3x2 + 1

116


b)

c)

d) d’(x) = 24x3 – 6x + 7

5. e) 2x + y + 1 = 0

6. a) 11 m/seg

b) 14 m/seg²

7. a) a (t) = 36 t

b) a (2) = 72 km/h²

8. π + 1

9. 32

Pág. 55

1. a) contínua e derivável

b) contínua, mas não derivável

c) não é contínua nem derivável

d) contínua e derivável

2. 12x – 9y + 3 – 2π = 0

3. a) f’(1) = 2

b) f’(3) = 15/16

4. d)

5. b)

6. a) g’(2) = 80

b) y = 80x - 128

7. a) a’(x) = 5x4 + 4x3

b) b’(x) = cos x + sen x

c) c’(x) = 5x4 ln x + x4

d) d’(x) = (3x2 + 1)sen x + (x3 + x)cos x

e) e’(x) = 5x4 sen x cos x + x5cos x – x5 sen2 x

f) f’(x) = 36x3

g) g’(x) = 60x4 – 12x3 + 2

h)

i)

j)

k)

l)

m)

8. y = –x e y = x

9. a)

b)

c)

10.

TEMA 11

A REGRA DA CADEIA

Pág. 58

1. 0

2. 12x – 9y + 3 – 2π = 0

3. b) 2

4. c) 41%

5. a)

b)

c)

d)

e)

3

3

6.

7. f’(x) = sen x3 . sec2 x + 3x2 . cos x3 . tg x

8. coeficiente angular: 4 ; y = 4 (x – 2)

9. d) 22 m/s

10. R$ 25,00

11. m (0) = 260 reais

m (100) = 170 reais

m (400) = 20 reais

m (800) = 100 reais

12. b) 4m/s2

TEMA 12

ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO

Pág. 66

1. 100 cm²

2. Produto máximo para x = 15 e z = 15

3. É um quadrado cujo lados medem em 8 m

4. f é decrescente em ]–∞, 1]. Os pontos críticossão x = 0, ponto de inflexão e x = 1, ponto demínimo absoluto de f.

5. crescente em e decrescente em

6. a) crescente em (–∞,1]∪ [3,∞)

decrescente em [1, 3]

b) (1, 5 ) e (3, 1 )

c)

7. a) t > 4

b) t < 4

8. 8 unidades, o custo médio será de R$ 53,00 eo custo total de R$ 424,00

TEMA 13

TAXA DE DERIVAÇÃO E REGRA

DE L’HOSPITAL

Pág. 70

1. 150 cm²/seg

2. 24 cm/s

3. 80πm3/s

4. m/s

5. cm² por hora

6. m/s

7. a) 8/9

b) sec2 a

c) 1/2

d) 0

e) 2

f) 1

g) 1/2

117


UNIDADE IVIntegrais

TEMA 14

INTEGRAIS PRIMITIVAS E INDEFINIDAS

Pág. 76

1. a) 2x2 + 3x + C

b) 3t3 – 2t2 + 3t + C

c)

d) 2u3/2 + 2u1/2 + C

e)

f) 3x2 – 3x + x + C

g)

h)

i)

j)

k)

2. a)

b) y = 3x + ln x – 1

c)

d)

Pág. 78

1. a)

b)

c)

d) π/4

e) π/6

f)

2. a) –cos x + k

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n) –2 cos x + k

o)

p)

3. a) 3/4

b) 2

c) 2/3

d) π/4

118


TEMA 15

CÁLCULO DE ÁREA

Pág. 85

1. a) 7/2

b) 4/9

c) 253/6

d) 20/3

e)

f) 19/24

g) 7/3

h) 45/8

TEMA 16

ÁREA ENTRE CURVA

Pág. 87

1. Área = 20

2. Área = 14/3

3. Área = 4/3

4. Área = 32/3

5. Área = 4

119


6. Área = 1

7. Área = 23/3

8. Área = 21

9. Área = 1/2

10. Área = 5/2

TEMA 17

MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL

Pág. 91

1. a)

b)

c)

2. a)

b)

120


c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m) ln|ln x| + C

n)

o)

Pág. 94

1. 14/3

2. 0

3. 1/3

4. 5/36

5.

6. 1 –

7. 0

TEMA 18

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Pág. 97

1. a) (x – 1)ex + k

b) –xcos x + sen x + k

c) ex (x2 – 2x + 2) + k

d)

e) x(ln x – 1) + k

f)

g) xtg + ln |cos x| + k

h)

i) x(ln x2) – 2x(ln x – 1) + k

j)

l)

m)

n)

o)

p)

q) –x2 cos x + 2x sen x + 2cos x + k

2. a) 1

b) 2ln 2 – 1

c)

d)

121


TEMA 19

INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS

Pág. 102

1. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

TEMA 20

INTEGRAIS DE FUNÇÕES RACIONAIS

Pág.105

1. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2. a)

b)

c)

d)

e)

f)

Pág. 106

1. a)

b)

c)

d)

e)

f)

Pág. 108

1. a) s(t) = –16t2 + 500t

b) s(50) = 3,906m

2. a) s(t) = –16t2 – 16t + 96

b) t = 2s

122


c) –80ft/sec

3. 3m/s2

4. a)

b)

5. a)

b)

c)

6. a)

b)

c)

d) 3A variação do lucro é dada pela área entreas curvas de receita marginal e custo mar-ginal no intervalo 1 ≤ q ≤ 3

123


125

BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática. Vol. 3. São paulo: Moderna

GRANVILLE,W.A. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro: Científica

GUIDORIZZI, H.L. Um curso de Cálculo. Rio de Janeiro. Livros Técnicos e Científicos

IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol. 8. São paulo: Atual

LANG,S. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos.

MACHADO,A.S. Temas e Metas. Vol. 6. São Paulo: Atual

PAIVA,M. e outros. Matemática. Vol 3. São Paulo: Moderna.

PISKOUNOV,N. Cálculo Diferencial e Integral. Moscou: Mir.

DANTE, L.R. Matemática Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática

GIOVANNI, J.R. e outros. Matemática 3. São Paulo: FTD

REFERÊNCIAS

3488188 Licenciatura Em Matematica Calculo I

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