3488229 licenciatura-em-matematica-calculo-ii

CálculoII

Agnaldo Souza PereiraCláudio Barros Vitor

Jefferson Pereira de Oliveira

Manaus 2007

º4.Período

FICHA TÉCNICA

GovernadorEduardo Braga

Vice–GovernadorOmar Aziz

ReitoraMarilene Corrêa da Silva Freitas

Vice–ReitorCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró–Reitor de Planejamento

Osail de Souza Medeiros

Pró–Reitor de Administração

Fares Franc Abinader Rodrigues

Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários

Rogélio Casado Marinho

Pró–Reitora de Ensino de GraduaçãoEdinea Mascarenhas Dias

Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa

José Luiz de Souza Pio

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)Carlos Alberto Farias Jennings

Coordenador PedagógicoLuciano Balbino dos Santos

NUPROMNúcleo de Produção de Material

Coordenador GeralJoão Batista Gomes

Editoração EletrônicaHelcio Ferreira Junior

Revisão Técnico–gramaticalJoão Batista Gomes

Pereira, Agnaldo Souza.

P436c Cálculo II / Agnaldo Souza Pereira, Cláudio Barros Vitor,Jefferson Pereira de Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. -(Licenciatura em Matemática. 4. Período)

92 p.: il. ; 29 cm.

Inclui bibliografia.

1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II.Oliveira, Jefferson Pereira de. III. Série. IV. Título.

CDU (1997): 517.2/.3

SUMÁRIO

UNIDADE I – Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

TEMA 01 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

TEMA 02 – Domínio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

TEMA 03 – Gráficos de funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

TEMA 04 – Limites e continuidade para funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

TEMA 05 – Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

TEMA 06 – Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

UNIDADE II – Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

TEMA 01 – Vetor gradiente e derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

TEMA 02 – Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

UNIDADE III – Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

TEMA 01 – Caminhos e curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

TEMA 02 – Comprimento de curvas e caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

TEMA 03 – Definição de integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

UNIDADE IV – Integrais múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

TEMA 01 – Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

TEMA 02 – Integrais repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

TEMA 03 – Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

TEMA 04 – Mudança de variáveis nas integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

TEMA 05 – Aplicações da integral dupla e tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

UNIDADE V – Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Agnaldo Souza Pereira Bacharel em Física - UFRJ

Mestre em Física - UFRJ

Licenciado em Física - FTESM

Doutor em Física - UFRJ

Cláudio Barros VitorLicenciado em Matemática – UFAM

Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC

Jefferson Pereira de OliveiraLicenciado em Matemática – UCSal

Pós-Graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática - UFF

PERFIL DOS AUTORES

UNIDADE IFunções de várias variáveis

UM BREVE HISTÓRICO

Jean Le Rond D’Alembert nasceu em 16 denovembro de 1717, em Paris. Era filho ilegítimoda marquesa Claudine Guerin de Tencin,escritora, e do cavaleiro Louis-CamusDestouches, oficial do exército francês.

Logo após o nascimento, foi abandonado porsua mãe nas escadarias da Capela de SaintJean Le Rond, de onde foi levado para umorfanato, à espera de adoção.

O bebê recebeu o nome do santo protetor dacapela, e foi adotado por um humilde artesão esua esposa. Seu pai biológico, mesmo nãoreconhecendo a paternidade, custeou-lhe aeducação por meio de uma pensão.

Aos 12 anos de idade, D’Alembert ingressou noColégio Mazarin, onde estudou Filosofia, Artese Direito, e formou-se advogado em 1738, aos21 anos de idade. Mais tarde, passa a interes-sar-se por Medicina e Matemática, sendo queseu primeiro trabalho matemático é publicadoem 1739, no qual ele apresenta correções deerros que encontrou em um dos livros usadoem sua formação. Aos 24 anos de idade,D’Alembert já era célebre por seu trabalho emCálculo Integral, e aos 26 anos, ele publica seuTratado de Dinâmica, com importantes con-tribuições à ciência da mecânica.

Deixou também contribuições para a teoria dasequações diferenciais, em que se destaca ométodo de solução de D’Alembert para resolverequações diferenciais não-homogêneas pormeio de uma equação auxiliar.

Além das contribuições em ciências exatas,D’Alembert também participou, com DenisDiderot, da elaboração de Enciclopédia, umadas maiores obras do Iluminismo.

Ao contrário do que faria supor sua infânciahumilde, D’Alembert freqüentava lugares e fes-tas elegantes, onde conheceu a escritora Juliede Lespinasse, por quem se apaixonou.

Quando D’Alembert se tornou famoso por suasrealizações intelectuais, sua mãe biológicaapresentou-se, mas ele, que viveu na casapaterna até os 48 anos, disse-lhe: “Sou filho doartesão e de sua mulher. Você é, no máximo,minha madrasta.”

Jean Le Rond D’Alembert faleceu aos 76 anosde idade, em 1783, como um célebre cientistae renomado homem de cultura.

William Rowan Hamilton nasceu em Dublin,em 8 de agosto de 1805. Seus pais morreramdeixando o pequeno órfão aos cuidados de umtio, que o educou dentro de uma severa linhade comportamento, dando-lhe uma educaçãoabrangente, com forte ênfase em línguasestrangeiras. O pequeno Hamilton, aos 5 anosde idade, lia e recitava Homero em grego; aos8 anos, já falava fluentemente o italiano e ofrancês. Aos 10 anos de idade, aprendeu a lín-gua árabe. Seu interesse pela matemáticasurgiu aos quinze anos de idade, ao conhecerum jovem norte-americano chamado ZertahColburn, que possuía fantástica habilidade pararealizar cálculos mentais. Ingressou no TrinityCollege, em 1824, tendo sido o primeiro coloca-do entre 100 candidatos no concurso de admis-são. Aos 22 anos, ainda estudante, já era dire-

9

Cálculo II – Funções de várias variáveis

10

UEA – Licenciatura em Matemática

tor de um observatório. Hamilton dedicou-se àleitura das obras de Newton e de Laplace, ecriou sua própria formulação da mecânica, con-hecida hoje como mecânica hamiltoniana, queé tremendamente importante em todos os cam-pos da física moderna, notadamente na físicaquântica. Sua vida particular não foi das maistranqüilas; ele teve sérios problemas com oalcoolismo. Após terrível luta contra o vício,convence-se de que a única solução serianunca mais ingerir nenhum tipo de bebidaalcoólica.

Por dois anos, Hamilton manteve-se sóbrio,mas durante uma discussão com o astrônomoGeorge Airy, que debochou de seu hábito debeber apenas água durante festas esolenidades, Hamilton voltou a beber e caiu,afundando-se ainda mais no vício. Apesar dadesordem em que estava mergulhada sua vidaprivada, Hamilton ainda se mantinha firme nacompetição matemática. Contribuiu para odesenvolvimento do cálculo, sendo de suaautoria o termo gradiente para designar o vetorque aponta na direção de maior variação deuma função escalar. Hamilton também realizoupesquisas em ótica e soluções numéricas deequações diferenciais. O homem que amava osanimais e que foi chamado “o novo Newton”morreu em 1865, deixando uma obra inacaba-da, que foi publicada por seu filho no anoseguinte.

TEMA 01

INTRODUÇÃO

O conceito de função de várias variáveis estáintimamente ligado aos fenômenos mais com-plexos no campo da matemática aplicada à fí-sica e à engenharia. Se um meteorologista, porexemplo, tiver de determinar o comportamentofuturo da temperatura de uma região, ele preci-sará de um conjunto de dados atmosféricos,como pressão do ar, velocidade dos ventos eumidade do ar.

Podemos ver, claramente, que a temperaturado ar depende de várias outras grandezas, deforma que, quando esse conjunto de variáveisse altera, ela também se altera, ou seja, ela éuma função que depende de várias outras var-iáveis.

Ainda como exemplo, podemos enxergar opreço de um produto com sendo dependentedo preço da matéria-prima, do preço de mão-de-obra e do custo do transporte, pois se esseselementos variam, o preço final do produto va-riará também.

Matematicamente, uma função de N variáveis érepresentada como sendo uma funçãof = f(x1, x2, x3,..., xN). O domínio dessas funçõesé o RN, sendo que N pode variar desde N = 1até N = ∞. Vejamos, a seguir, alguns exemplosde funções de várias variáveis, começando como caso mais simples, a função de duas variá-veis.

Exemplo 1

Volume de um cilindro

Figura 1 – O volume de um

cilindro é função de duas variáveis, r e h.

O volume de um cilindro, de altura h e raio debase r, é expresso por VCIL = πr2h. Como ovalor do volume muda se mudarmos um dosvalores de r e h, fica clara a dependência do

volume com as variáveis r e h. Podemos, então,classificar VCIL como uma função de duas va-riáveis.

Em razão disso, podemos simbolizar o volumede um cilindro como:

VCIL = VCIL(r,h)

Exemplo 2

Área de um retângulo

Figura 2 – A área de um retângulo

é função de duas variáveis, a e b.

Outro exemplo de função de duas variáveisque podemos buscar nos domínios da geo-metria é a área de um retângulo de lados a e b.sabendo que a área da superfície retangular édada por:

S = ab,

em que a e b são as varáveis, pois podemassumir valores arbitrários, determinando umúnico valor de S para cada par de valores (a,b).Podemos escrever s como uma função de duasvariáveis:

S = S(a,b).

Continuando nossa seqüência de exemplos,vamos analisar alguns casos de função de trêsvariáveis. Elas são essenciais em problemasque descrevem fenômenos tridimensionais,como o volume de um paralelepípedo, o es-coamento de um gás ou a distribuição de tem-peraturas em uma sala.

Exemplo 3

Volume de um paralelepípedo

Figura 3 – O volume de um

paralelepípedo é função de três variáveis, x,y e z.

O volume do paralelepípedo de largura x, pro-fundidade y e altura z é dado por

V = xyz

Assim como nos exemplos anteriores, pode-mos ver que a mudança do conjunto de valo-res (x,y,z) tem como conseqüência a mudançado valor do volume do paralelepípedo, umavez que ele é função das dimensões deste sóli-do. Ou seja:

V=V(x,y,z)

Exemplo 4:

Potencial elétrico de uma carga elétrica pun-tiforme

Considere uma carga elétrica puntiforme Q,posicionada na origem de um sistema de trêseixos coordenados. A intensidade do potencialelétrico em qualquer ponto do espaço depen-derá das coordenadas (x, y, z) deste ponto, ouseja, de sua posição. A figura 4 abaixo ilustaressa situação.

Figura 4 – Potencial elétrico gerado em

todos os pontos do espaço por uma carga elétrica Q.

Vemos que cada valor de U(x,y,z) depende deum conjunto de três coordenadas (x,y,z), quelocalizam o ponto P no espaço.

Para resumir as idéias expostas, vamos con-ceituar as funções de duas e três variáveis.

Função de duas variáveis

Uma função de duas variáveis é uma regra queassocia a cada par ordenado (x,y) de um con-junto D um único valor real designado por z = f (x,y). O conjunto D é o domínio dafunção, e o conjunto imagem é o conjunto dosvalores possíveis de f.

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Função de três variáveis

Uma função de três variáveis é uma regra queassocia a cada tripla ordenada (x,y,z) de umconjunto D um único valor real designado porz = f (x,y,z). O conjunto D é o domínio da fun-ção, e o conjunto imagem é o conjunto dos va-lores possíveis de f.

Essas definições são facilmente extensíveis aocaso de várias variáveis:

Função de várias variáveis

Uma função de várias variáveis é uma regraque associa a cada N–upla ordenada(x1,x2,...,xN), de um conjunto D, um único valorreal designado por de f = f (x1,x2,...,xN). O con-junto D é o domínio da função, e o conjuntoimagem é o conjunto dos valores possíveis def.

Exemplo 5

O potencial elétrico U no ponto

P(x,y,z) é dado por , ache o valor

do potencial elétrico no ponto P(1,5,4).

Solução:

Para achar o valor da função U(x,y,z) emP(1,5,4), basta substituir os valores das coor-denadas do ponto P, na equação da função, eachar U(1,5,4).

Exemplo 6

Uma chapa de metal plana está em umplano–xy, de modo que a temperatura T em(x,y) seja dada T em (x,y) seja dada por T =0,01(x2 + y2)2 em que T é expresso em oC , e xe y em centímetros. Ache o valor da temperatu-ra no pontos A(0,1; ,3), B(2,7) ,C(4,1) e D(, ).

Solução:

Como no problema anterior, basta substituir osvalores das coordenadas de cada ponto naequação da função T(x,y), e achar os valorescorrespondentes.

a) No ponto A(1,3): T(1,3) = 0,01 (12 + 32)2 =0,01 (1+ 9)2 =1 oC ∴ T(1,3) = 1 oC.

b) No ponto B(2,7): T(2,7) = 0,01 (22 + 72)2 =0,01 (4+49)2 =28,09 oC ∴ T(21,3) = 28,09oC.

c) No ponto C(4,1): T(4,1) = 0,01 (42 + 12)2 =0,01 (16+1)2 =2,89 oC ∴ T(4,1) = 2,89 oC.

d) No ponto D( , ): T( , )= 0,01(( )2+

( )2)2 = 0,01(3+2)2 = 0,25 oC ∴ T( , )=0,25oC.

1. A superfície de um lago é representada poruma região D em um plano –xy, de modo quea profundidade sob o ponto correspondente a(x,y) é dada por f(x,y) = 300 –2x2 – 3y2, em quex, y e f(x,y) são expressos em metros. Se umabóia está na água no ponto (4,9), determine adistância entre ela e o fundo do lago.

2. Um objeto está em um sistema coordenado re-tangular tal que a temperatura T no pontoP(x,y,z) seja dada por T(x,y,z) = 0,04x2 – 0,01y2 + 0,16 z2, em que T éexpressa em oC, e x,y, e z em metros. Determi-ne a diferença de temperatura entre os pontosA(1, 2,5 ,3) e B(5,6,2). R : –7,34 oC .

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TEMA 02

DOMÍNIO E IMAGEM

Mais sobre domínio e imagem das funçõesde várias variáveis

Sabemos que o domínio de uma função é oconjunto numérico no qual a função toma va-lores para a variável independente, e que aimagem de uma função é o conjunto numéricodos valores assumidos pela função. No caso dafunção de uma variável, temos a variável inde-pendente x, cujos valores permitidos perten-cem a um dado conjunto numérico (domínio),e a variável dependente y(x), que expressa osvalores numéricos assumidos pela função, va-lores esses, que pertencem a um segundo con-junto numérico (imagem).

O diagrama abaixo representa o conceito de fun-ção por um diagrama como uma correspondên-cia entre dois conjuntos numéricos.

Figura 5 – Diagrama representando

o conceito de função: é

uma correspondência entre conjuntos numéricos.

Ao analisarmos o diagrama, vemos que a re-lação representada entre o conjunto A e o con-junto B associa a cada elemento de A um ele-mento de B. A correspondência entre os ele-mentos associados é representada pelas setasque partem do conjunto A (que é o domínio dafunção) e chegam ao conjunto B (imagem dafunção). Vamos, agora, ampliar esses concei-tos para as funções de duas variáveis.

O domínio de uma função de duas variáveis éum conjunto formado por todos os pares devalores (x,y) em que a função toma valores. Ve-jamos o diagrama seguinte, semelhante aoque foi feito para a função de uma única va-riável:

Figura 6 – Domínio e imagem

de uma função de duas variáveis.

Podemos ver, no diagrama, a função fazendo acorrespondência entre elementos do domínioe elementos pertencentes ao conjunto ima-gem. É importante notar que os elementos dodomínio são pares ordenados de valores; issofaz que funções de duas variáveis sejam apli-cadas a problemas envolvendo grandezas quevariam sobre superfícies. Ainda podemos ob-servar que o conjunto de todos os pontos dodomínio, que é um conjunto de vários paresordenados, é uma figura plana, contida noplano xy (o domínio é uma subdivisão do planoxy). O conjunto imagem, por sua vez, tambémé uma superfície formada de todos os pontosde coordenadas (x,y,z) relacionados pela fun-ção, como pode ser visto na figura 7, abaixo.

Figura 7 – Domínio e gráfico de

uma função de duas variáveis.

Exemplo 7

1. Determine o domínio da função

.

Para achar o domínio, devemos achar o con-junto de pares (x,y) para os quais é possívelrealizar a operação indicada. No presente ca-so, a operação é . Essa operação é

13


14


uma radiciação, e só tem sentido no conjuntodos números reais se 16 – x2 – y2 ≥ 0. Assim,todos os pares de valores (x,y), que obedecemà desigualdade acima, pertencem ao domíniodaquela função:

16 – x2 – y2 ≥ 0 ∴ –x2 – y2 ≥ – 16,

portanto, x2 + y2 ≤ 16 .

Essa é uma equação que representa os pontosde um círculo de raio 4, centrado na origem.

Figura 8 – Domínio da função

Exemplo 8


z(x,y) = ln(1 – x2 – y2).

Seguindo a mesma linha de raciocínio seguidano item anterior, o domínio da função é o con-junto dos pares (x,y) que possibilitam o cálcu-lo de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) no conjunto dosreais.

Como sabemos que só existem logaritmos paranúmeros maiores que zero, podemos dizerque o domínio de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é for-mado por todos os pares (x,y) que obedecema

1–x2–y2 > 0 .

Assim, 1–x2–y2 > 0 x2 + y2 < 1.

O domínio da função z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é oconjunto de todos os pares de valores (x,y)contidos no interior de um círculo de raio 1centrado na origem, excluindo-se os pontos dacircunferência (pois na circunferência temos x2 + y2 =1 ). A representação geométrica estána figura 9, a seguir.


z(x,y) = ln(1 – x2 – y2)Exemplo 9


Nesse caso, encontramos duas condições aserem atendidas:

1.a O denominador deve ser sempre diferentede zero.

2.a O radicando x + y + 1 deve ser sempremaior que zero.

Para atender à 1.a condição, impomos arestrição x – 1 = 0 x = 1.

Em seguida, para atender à 2.a condição,impomos a restrição x + y + 1> 0.

y > –1–x, y>–x–1. Dessa forma, podemosconcluir que os pontos para a função

está definida são aque-

les que possuem abscissa diferente de zeroe estão acima da reta y = –x – 1.

Os pontos pertencentes a essa região es-tão representados no gráfico da figura 10.As linhas tracejadas são aquelas que nãopossuem pontos do domínio: a reta verticalx =1 e a reta inclinada y = –x –1.


1. Determine e faça o esboço do domínio dasfunções abaixo:

a) z(x,y) = ln(9 – x2 – 9y2)

b)

c) z(x,y) = 4x2 + y

d)

e)

f)

g) z(x,y) = xln(y2 – x)

h)

i) z(x,y) = x2 ln(x – y + z)

j)

l)

m)

TEMA 03

GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS

VARIÁVEIS

Assim como no caso das funções de uma va-

riável, em que um gráfico no plano –xy apre-

senta, visualmente, a relação entre os valores

do par ordenado, também no caso das fun-

ções de duas variáveis podemos expressar

graficamente a relação entre o par ordenado

(x,y) e a função f(x,y): o gráfico de uma função

de duas variáveis será uma superfície em R3.

Noutras palavras, podemos dizer que assim

como o gráfico de uma função de uma única

variável é uma curva de equação f(x), o gráfico

de uma função de duas variáveis será uma

superfície S com equação z(x,y). Podemos ver

a superfície S acima ou abaixo do domínio D

da função. É importante notar que a superfície

que representa o domínio da função, pode ser

vista como uma projeção do gráfico de z(x,y)

sobre o plano –xy. Os gráficos fornecem-nos

um meio rápido e eficiente para estudar o com-

portamento de uma função e avaliar suas ca-

racterísticas. Vamos, agora, ver alguns exem-

plos de gráficos de funções de duas variáveis,

(i) z(x,y) = 100e–(x2 + y2)

15


16

(ii) z(x,y) = x – 3x2

(iii) z(x,y) = y4 – 8y2 – 4x2

(iv) z(x,y) = ln (x2 + y2)

(v) z(x,y) = e–x2 + ey2

(vi)

(vii)

(viii) z(x,y) = (x2 + y2)2

(ix)

(x)

O aspecto visual desses gráficos não escondeo fato de que é bem difícil traçá-los manual-mente. Esses exemplos foram traçados com oauxílio de um programa de computador. Comos programas computacionais, podemos en-xergar o comportamento do gráfico em qual-quer região do domínio da função, mas nessesexemplos é preferível ver o comportamento empontos próximos à origem, pois em várias apli-cações torna-se importante saber o compor-tamento da função para valores pequenos dasvariáveis.

Apesar do exposto acima sobre a dificuldadede traçado desses gráficos sem o auxílio com-putacional, já era possível traçá-los manu-almente com o auxílio das curvas de nível, for-madas pelas interseções do gráfico de umafunção de duas variáveis com um plano hori-zontal. As curvas de nível são um recurso quefoi tomado emprestado da cartografia; pormeio delas, um morro ou uma montanha pode

ser descritos sobre o plano do papel por meiode um conjunto de curvas, em que cada curvacorresponde a um corte do morro ou da mon-tanha a uma dada altura, que fica registradasobre a curva de nível correspondente. Na car-tografia, então, os pontos de uma curva denível é a curva formada por todos os pontosque estão a uma mesma altura, ou seja: h =constante.

Dessa forma, podemos encarar as curvas denível como tendo sido obtidas cortando-se omorro ou a montanha em fatias paralelas a umplano horizontal. Veja a figura abaixo:

De forma geral, é importante notar que, ondeas curvas de nível estiverem mais próximasumas das outras, a superfície será mais incli-nada, e onde as curvas forem mais espaçadas,a superfície será mais plana.

Saindo um pouco da cartografia, podemos di-zer que, de forma mais geral, uma curva denível é obtida pela junção dos pontos corres-pondentes a um valor constante de uma dadagrandeza. As curvas de nível de uma funçãof de duas variáveis são as curvas comequação f(x,y) = k, onde k é uma constante.

As figuras seguintes comparam os gráficos eas curvas de nível de algumas funções.

17


Figura 13 – Gráfico e curvas de nível da função

z(x,y) = x2 – 3y2




z(x,y) = 100e–(x2 + y2)

18


1. Estabeleça a correspondência correta entre asequações e as curvas de nível de cada funçãodada por z = f(x,y).

a) f(x,y) = x2 – y2

b)

c) f(x,y) = (x – 2)2 + (y + 3)2

d) f(x,y) = x2 + y2

1.

2.

3.

4.

2. Uma chapa plana de metal está situada em umplano–xy de modo que a temperatura T (em 0C)no ponto (x,y) é inversamente proporcional àdistância da origem.

a) Descreva as isotérmicas.

b) Se a temperatura no ponto P(4,3) é de 400C,ache a equação da isotérmica para umatemperatura de 200C.

3. Deve-se construir uma usina de incineração delixo para atender a duas cidades.

Cada cidade gostaria de maximizar sua distân-cia à usina, mas, por motivos econômicos, asoma da distância de cada cidade à usina nãopode exceder M quilômetros. Mostre que ascurvas de nível para localização da usina sãoelipses.

TEMA 04

LIMITES E CONTINUIDADE PARAFUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Assim como nas funções de uma única variáv-el, os conceitos de limite e continuidade deuma função de várias variáveis estão inti-mamente ligados. Na teoria das funções deuma única variável, dizemos que a função écontínua num dado valor xo se no limite em quex = xo, f(x) = f(xo), seja por valores de x maioresque xo, ou por valores de x menores que xo. Sea função tender para valores diferentes con-forme x se aproxime de xo pela direita ou pelaesquerda, a função é dita descontínua. Veja-mos os gráficos abaixo:

Figura 17 – Continuidade de

uma função de uma variável.

A definição de continuidade da função de umavariável diz que, se o limite de f(x), quando xtende a xo por valores maiores que xo, coincidecom o limite de f(x) quando x tende a xo por val-ores maiores que xo, então f(x) é dita contínuaem x = xo. Resumindo, uma função é con-siderada contínua quando os limites lateraissão iguais, o que significa que a imagem f(x)de todo x nas vizinhanças de x = xo tende aolimite f(xo) quando x tende a xo. Dizer que oslimites laterais são iguais também significa queo limite da função está bem definido em x = xo,ou seja, o limite existe em x = xo.

Por outro lado, a definição de função descontí-nua diz que a função possui uma descontinui-dade em x = xo, se os limites laterais não sãocoincidentes.

Dizer que os limites laterais não são coinci-dentes significa que se x tende a xo por valoresmaiores que xo, a função tende ao valor Lo, equando x tende a xo por valores menores que

19


xo, a função tende ao valor L1> Lo. Se os limiteslaterais são diferentes, não se pode afirmar quea imagem f(x) de todo x, nas vizinhanças de xo,tende a f(xo) quando x tende a xo. Nessa situ-ação, dizemos que o limite não está definidoem x = xo, ou seja, não existe o limite dafunção em

x = xo. Veja a figura 18 abaixo:

Figura 18 – Descontinuidade de

uma função de uma variável.

A figura 18 acima ilustra os conceitos formu-lados sobre a descontinuidade de uma funçãode uma única variável.

Podemos ver, claramente, no gráfico, a diferen-ça de comportamento dos limites da funçãoquando x tende a xo pela direita (por valoresmaiores que xo) e pela esquerda (por valoresmenores que xo).

A extensão dessas idéias para o campo dasfunções de duas variáveis é imediata. Conside-remos a figura 19 abaixo:

Figura 19 – Continuidade de

uma função de duas variáveis.

Podemos ver que, se um ponto (P1, ou P2) per-tencente ao domínio da função e contido emuma vizinhança circular centrada em Po aprox-imar-se de Po ao longo de qualquer caminhocontido no círculo, também sua imagem, per-correrá pontos da superfície-imagem atéalcançar o ponto B, imagem de Po.

Noutras palavras, se um ponto P, nas vizinhan-ças de Po, dirigir-se a Po de forma que suaimagem f(P) dirija-se para f(Po), por um cami-nho totalmente contido sobre a superfície dográfico da função, qualquer que seja o cami-nho seguido para atingir Po, dizemos que f(Po)é o limite da função quando P tende a Po.

Isso equivale a dizer que existe o limite da fun-ção em P = Po, pois para qualquer caminhoque se use para chegar até Po, alcançaremos omesmo valor final para f(P).

(f(P) = f(Po)). Simbolicamente:

Ou ainda, usando as coordenadas de P=P(x,y)e Po=Po(xo,yo):

Assim como no caso da função de uma únicavariável, a existência do limite garante a con-tinuidade de f(x,y) na região considerada. Poroutro lado, se o valor do limite de f(x,y) em P=Po depender do caminho seguido para se atin-gir o ponto Po, o limite da função não estarádefinido em Po e, da mesma forma que parauma única variável, diremos que a f(x,y) é des-contínua no ponto P = Po. Ou seja: se achar-mos pelo menos dois caminhos diferentes, aolongo dos quais f(P) atinge limites diferentes,quando P se aproxima do mesmo ponto Po,então o limite não está definido em P = Po.Dizemos, então, que não existe o limite de f(P)em P = Po, e que Po é um ponto de descon-tinuidade da função. A noção de continuidadeé essencial para o cálculo de funções de váriasvariáveis, pois, assim como no universo dasfunções de uma única variável, permite definira existência das derivadas no contexto dasfunções de várias variáveis. A figura 20, a se-guir, ilustra a idéia de descontinuidade de fun-ção de duas variáveis.

20


Figura 20 - Descontinuidade da

função de duas variáveis.

1. Ache o limite

a)

b)

c)

d)

e)

2. Mostre que o limite não existe.

a)

b)

c)

d)

e)

TEMA 05

DERIVADAS PARCIAIS

As definições dadas até aqui não são exclusi-vas das funções de duas variáveis, são co-muns a todas as funções de várias variáveis. Ofato de usarmos as funções de duas variáveisdeve-se à facilidade de visualização que elasapresentam, pois podemos ver seus gráficoscomo superfícies em um espaço tridimen-sional. Avalie a dificuldade de se visualizar umafunção de 20 variáveis, por exemplo!

Um caso simples de função de mais de duasvariáveis é o custo de um produto que envolvamais de dois ingredientes em sua fabricação,cada um com seu preço, o que se refletirá nopreço de custo do produto.

Por exemplo: o custo final kf de um bolo dechocolate, que envolve, em sua fabricação, póde chocolate, ovos, farinha de trigo, açúcar,leite e fermento, dependerá dos preços dessesingredientes e pode ser escrito na forma fun-cional

kf = Ax1 + Bx2 + Cx3 + Dx4+ Ex5+ Fx6

em que A,B,C,D,E e F são constantes que re-presentam as quantidades utilizadas de cadaingrediente, e x1, x2, x3, x4, x5, e x6 representamos preços de cada ingrediente.

Assim, fica claro que o custo final é uma funçãode seis variáveis,

kf = kf(x1, x2, x3, x4, x5, x6).

Não podemos desenhar um gráfico dessa fun-ção, cujo domínio é hexadimensional, para po-dermos enxergar, de uma única vez, o compor-tamento dessa função. Analisemos o compor-tamento da função custo total quando o preçode apenas um ingrediente, digamos, o açúcar,varia, enquanto os demais preços permane-cem constantes.

É razoável supor que o custo total variará coma mesma rapidez com que varia o preço do açú-car. Se, agora, o único preço variável for o dofermento, enquanto todos os demais preçosestiverem estacionados, novamente podemos

21


dizem que o custo total variará com a mesmataxa de variação do fermento, pois ele estarásendo o único responsável pela variação docusto final do bolo.

Se em outra situação, os preços do açúcar edo fermento estiverem variando, e os preçosdos demais ingredientes estiverem fixos, a taxade variação do custo total será a soma da taxade variação do preço do açúcar com a taxa devariação do preço do fermento, ingredientesresponsáveis pela variação do custo final doproduto. A taxa de variação de uma função deN variáveis, em relação a uma de suas varáveisxj em particular, é chamada derivada parcial dafunção em relação a xj, e é definida pela razãoincremental:

O símbolo chama-se “D-rond” (pronuncia–sederron), que significa D-redondo, em francês.No caso do bolo do exemplo anterior, a deriva-da parcial do custo final (kf) da iguaria em re-lação ao preço do açúcar (x4) e do fermento(x6) são definidas, respectivamente, como:

Notemos que a definição de derivada parcial ésimilar à definição da derivada da função deuma única variável, envolvendo o limite da fun-ção em um dado ponto. Para que a derivada dafunção de N variáveis possa existir no pontoconsiderado, é necessário que exista o limite dafunção naquele ponto, ou seja, é preciso que afunção seja contínua no ponto. O incrementodiferencial (df) no valor da função de N variá-veis, devido ao incremento no valor de apenasuma de suas variáveis, é dado por

.

De forma mais geral, o incremento diferencial (df)no valor da função de N variáveis, devido a incre-mentos em todas as suas variáveis, é dado por

No exemplo anterior, a variação no custo denosso bolo de chocolate, devido à variação nopreço do açúcar, é dada por

;

e a variação no custo do bolo, devido às vari-ações combinadas dos preços do açúcar e dofermento, é dada por

.

Interpretação Geométrica das DerivadasParciais

Quando precisamos subir uma elevação, co-mo um pequeno morro, sempre procuramossubir pelo lado menos íngreme, para pouparesforço. O formato geométrico da elevação étal que o dispêndio de energia depende daencosta que escolhermos para subir. Na encosta mais íngreme, a inclinação é maior,fazendo que cada metro percorrido na hori-zontal resulte numa grande elevação vertical,tornando a subida é mais abrupta. A figura 21mostra um gráfico da função

,

representando um morro. Podemos observarque, se subirmos o morro ao longo do eixo y,faremos um esforço maior, pois ao longo dessecaminho, a elevação é mais pronunciada, maisíngreme, mas se subirmos ao longo do eixo x,o esforço será menor. Com esse exemplo, vemos que a taxa de va-riação de uma função de duas variáveis podedepender do caminho. Nesse caso, a taxa devariação da altura em relação à distância ho-rizontal depende do caminho escolhido.

22


Figura 21 – Crescimento diferenciado da função.

em cada direção. A distância

entre as curvas de nível mostra que o crescimento

desta função é mais veloz ao longo do eixo y,

do que ao longo do eixo x.

A análise das curvas de nível do morro tambémmostra que as curvas atravessadas pelo eixo–yestão mais próximas umas das outras do queas atravessadas pelo eixo–x, ou seja, a ele-vação é mais íngreme ao longo do eixo–y doque ao longo do eixo–x.

Vemos, novamente, que a taxa de variação daaltura em relação a x depende da direção quese segue até o alto do morro. De fato, se se-guirmos um terceiro caminho, oblíquo, indica-do pela seta pontilhada, a inclinação terá outrocomportamento, diferente daqueles sobre x e y.

Resumindo o que acabamos de discutir, sechamarmos a altura de cada ponto de z(x,y) ainclinação da função z(x,y) em cada ponto de-penderá da direção de deslocamento sobre oplano–xy. Particularmente, ao longo do eixo–x,a tangente do ângulo de inclinação será dadapor

e para um percurso ao longo do

eixo–y, será dada por

Como se Calculam as Derivadas Parciais deuma Função?

Até aqui, estivemos preocupados com a cons-trução conceitual das derivadas parciais; pas-semos, agora, a ver como se determina aderivada parcial de uma função em relação auma de suas variáveis. A regra é simples:

1. Para determinar , devemos olhar para

f(x,y) como se y fosse uma constante, ederivar f(x,y) em relação a x.

2. Para determinar , devemos olhar para

f(x,y) como se x fosse uma constante, ederivar f(x,y) em relação a y.

3. No caso de N variáveis, para determinar

, devemos olhar para f(x1, x2, ..., xj,..., xN)

como se todas as variáveis diferentes de xj,fossem constantes, e derivar f(x1, x2, ..., xj,..., xN)em relação a xj.

Exemplo 10

1. Ache as derivadas parciais de

f(x,y) = 1–3x4–2 sen(xy).

Solução:

Em relação a x, encaramos y como uma

constante: .

Em relação a y, encaramos x como uma

constante .

Exemplo 11

Ache as derivadas parciais .

Solução:

Em relação a x, encaramos y como uma cons-tante :

Em relação a y, encaramos x como uma cons-tante:

3) Ache as derivadas parciais de

Solução:

23


Em relação a cada variável, encaramos todasas demais como constantes, e efetuamos aderivação em relação à variável considerada:

1. Ache as Derivadas Parciais Primeiras de f.

a) f(x,y) = 2x4y3 – xy2 + 3y + 1

b) f(x,y) = (x3 – y2)5

c)

d)

e) f(x,y) = xey + ysen(x)

f) f(x,y) = ey + ln(xy)

g)

h) f(x,y,z) = 3x2 z + xy2

i) f(x,y,z) = x2y3 z4 + 2x – 5yz

j) f(r,s,t) = r2e2s cos(t)

l) f(x,y,z) = xet – yex + ze–y

m)

2. A lei dos gases ideais pode ser enunciadacomo PV = nKT, em que n é o número de mo-léculas do gás, V é o volume, T é a tem-peratura, P é a pressão e k é uma constante.Mostre que:

3. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda

a) ψ(x,t) =sen(akt)sen(kx)

Regra da Cadeia

Freqüentemente, nos problemas aplicados àsciências naturais, surge a dependência das va-riáveis, e da própria função, em relação aotempo. Assim, em vez de acompanharmos ape-nas a variação de f(x1, x2, ..., xj,..., xN), podemostambém acompanhar sua variação em relaçãoao tempo, ainda que esta dependência nãoesteja explícita na fórmula da função.

Se o tempo não aparecer explicitamente na ex-pressão matemática da função, mas souber-mos como uma (ou mais) das variáveis se com-porta em relação a ele, podemos determinar avariação temporal da função como um todopor meio da regra da cadeia:

Exemplo:

Um circuito elétrico simples consiste em umresistor R e uma força eletromotriz V. Em certoinstante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5V/min, enquanto r é de 40 Ohms e decresce àrazão de 2 ohms/min. Use a lei de ohm,

, e a regra da cadeia para achar a taxa à

qual a corrente I (em ampères) varia.

SOLUÇÃO:

Substituindo valores:

V=80, , R= 40, e , obtemos:

24


TEMA 06

DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR

Analogamente ao que ocorre no caso de umaúnica variável, também para várias variáveis épossível determinar derivadas de ordem supe-rior à primeira.

O cálculo é realizado da mesma forma como érealizado na derivada ordinária: encarando to-das as variáveis como constantes, menos a va-riável em relação à qual se está derivando. Osímbolo para a derivada parcial de ordem m é

Assim:

é a derivada parcial de segunda ordem

de f em relação a x;

é a derivada parcial de terceira ordem

de f em relação a y;

é a derivada parcial de quarta ordem de

f em relação a w;

e da mesma forma para outras ordens.

É necessário salientar que, nas aplicações damatemática às ciências naturais, as derivadasmais importantes são as de segunda ordem,que dão origem à maior parte das equaçõesdiferenciais da física, da química, e da enge-nharia.

Existe também o caso em que a função é deri-vada sucessivamente em relação a variáveis di-ferentes, a chamada derivada cruzada:

Como as variáveis são inde-

pendentes entre si, podemos ver que:

.

1. Verifique que

a) f(x,y) = xy4 – 2x2y3 + 4x2 – 3y

b)

c) f(x,y) = x3e–2y + y–2 cos(x)

d)

e)

2. Uma função de x e y é dita harmônica se

em todo o domínio de f. Prove

que a função dada é harmônica.

a)

b) f(x,y) = e–xcos(y) + e–ycos(x)

3. Se w(x,y) = e–c2t sen(cx), mostre que

para todo número real c.

4. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda

a) ψ(x,t) = sen(akt)sen(kx)

b) ψ(x,t) = (x – at)4 + cos( x + at)

5. Quando um poluente, como o óxido nítrico, éemitido por uma chaminé de h metros de

altura, a concentração C(x,y) em do po-

luente em um ponto a x quilômetros da cha-miné e à altura de y metros pode ser represen-tada por

em que a e b são constantes positivas quedependem das condições atmosféricas e dataxa de emissão de poluente. Suponha que

25


Calcule e interprete e no ponto (2,5).

5. Mostre que qualquer função dada por

satisfaz a

equação de Laplace em três dimensões

.

6. A capacidade vital V dos pulmões é o maiorvolume de ar que pode ser exalado após umainalação de ar. Para um indivíduo do sexo mas-culino de x anos de idade e y centímetros dealtura, V pode ser aproximado pela fórmulaV = 27,63y – 0,112xy. Calcule e interprete

a)

b)

7. A análise de certos circuitos elétricos envolve a

fórmula , onde I é a corrente, V é

a voltagem, R a resistência, L a indutância euma constante positiva. Calcule e interprete

e.

26


UNIDADE IIDerivada direcional

29

Cálculo II – Derivada direcional

TEMA 01

VETOR GRADIENTE E DERIVADASDIRECIONAIS

Retomemos o exemplo da inclinação do morro

dado pela equação

na figura 22 abaixo.

Figura 22 – Crescimento diferenciado

da função em cada direção.

Vemos, nas curvas de nível, que é mais fácilsubir ao longo do eixo x que ao longo eixo y.Podemos dizer que quando subimos ao longodo eixo-x, o acréscimo dz na altura para cadadx percorrido é

e se subirmos ao longo do eixo y, teremosacréscimos na subida dados por:

Para uma direção oblíqua, em que não estare-mos ao longo de nenhum dos eixos, teremoscontribuições das duas variáveis:

Note que para o movimento exclusivo sobre oeixo x, podemos escrever um vetor desloca-mento

d→x = dxx

Já para o movimento exclusivo sobre o eixo y,podemos escrever um vetor deslocamento

d→y = dyy

Para o caso em que o movimento é oblíquo erecebe contribuições tanto do deslocamentoao longo de x quanto de y, podemos escreverum vetor deslocamento

d→r = dxx + dyy

Podemos resumir os três casos em uma sónotação se enxergarmos dz como resultado deum produto escalar entre os deslocamentos eum novo vetor, de forma que

para deslocamentos sobre o eixo x.

para deslocamentos sobre o eixo y.

para deslocamentos oblíquos.

O vetor ∇→

z definido pelas igualdades acima éescrito como

e chama-se gradiente da função z(x,y). A pro-jeção do gradiente em uma direção cujo uni-tário u faz um ângulo com a direção do gradi-ente, fornece-nos a derivada da função nadireção de u, a chamada derivada direcional,Du, como mostra a figura 23 a seguir :

Duf = ∇→

f . u =|∇→

f|| u|cos(θ) = |∇→

f|cos(θ)

Podemos notar da igualdade Duf = |∇→

f|cos(θ)que o maior valor da derivada direcional ocorrequando θ = 0, ou seja, a maior derivada dire-cional é o próprio gradiente, o que nos revelauma importantíssima propriedade do gradiente:

30


O gradiente aponta na direção de maior vari-ação da função.

Embora tenhamos apresentado o gradienteem um exemplo bidimensional, ele é tridimen-sional em sua forma mais geral:

Devemos também assinalar que o gradienteestá definido para uma função f escalar; nãoexiste gradiente de vetor, embora em váriasaplicações seja importante saber o gradientedo módulo de um vetor.

Duas das aplicações mais importantes do gra-diente na física estão na mecânica e no eletro-magnetismo. Na mecânica, podemos definir aforça conservativa,

→F como simétrica ao gra-

diente da energia potencial mecânica W:→F = –∇

→W

No eletromagnetismo, de forma similar, define-se o campo elétrico

→E gerado por um potencial

elétrico φ:→E = –∇

→φ

1. Ache a derivada direcional de f em P na dire-ção indicada

a) f(x,y) = x2 – 5xy + 3y2;

b) f(x,y) = x2ln(y);

P(5,1), u = – x + 4 y

c) f(x,y,z) = z2exy;

P(–1,2,3), u = 3 x + y – 5 z

d)

;

2. Uma chapa de metal está situada no plano xy,de modo que a temperatura T em (x,y) seja in-versamente proporcional à distância da ori-gem, e a temperatura em P(3,4) é 100oF.

a) Ache a taxa de variação de T em P na dire-ção de x + y.

b) Em que direção T aumente mais rapida-mente em P?

c) Em que direção a taxa de variação é zero?

3. O potencial elétrico V em (x,y,z) é dado porV= x2 + 4y2 +9z2

a) Ache a taxa de variação de V em P(2-1,3) nadireção de P para a origem.

b) Ache a direção que produz a taxa máximade variação de V em P.

c) Qual a taxa máxima de variação em P?

4. A temperatura T(x,y,z) é dada por T = 4x2 – y2 +16z2.

a) Ache a taxa de variação de Tem P(4,-2,1) nadireção de 2x + 6 y – 3z..

b) Em que direção T aumenta mais rapida-mente em P?

c) Qual é esta taxa máxima de variação?

d) Em que direção T decresce mais rapidamen-te em P?

e) Qual é esta taxa de variação?

31


TEMA 02

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Muitas vezes, em problemas de aplicações,devemos achar os extremos de uma função devárias variáveis sujeita a um vínculo. Tomemos,como exemplo, o problema de acharmos omaior volume de uma caixa retangular semtampa, de lados x, y e z, cuja superfície totalseja de 12m2. Podemos ver que a função a sermaximizada é o volume

V = xyz, e o vínculo (restrição) é que a áreatotal seja de 12m2, ou seja, 2xz+2yz+xy =12.

Do que já vimos até aqui, podemos dizer que aexpressão 2xz+2yz+xy =12 representa umacurva de nível para a função superfície da cai-xa, pois representa todos os pontos de coor-denadas (x,y,z) para os quais o valor da funçãoé constante e igual a 12.

O método dos multiplicadores de Lagrangefornece-nos uma ferramenta eficiente pararesolver problemas dessa natureza, com baseno conceito de curva de nível (g(x,y) = k) e degradiente de uma função. Comecemos com asfunções de duas variáveis: em termos gerais, ovínculo aplicado à função, cujos extremosprocuramos, restringe os valores das coor-denadas (x,y) àqueles pertencentes à curva denível correspondente ao vínculo, ou seja, sónos interessaremos pelos valores da funçãoque corresponderem a pontos que estiveremsobre a curva de nível que traduz o vínculo.Vejamos a figura

Figura 24 – Curva de nível C,

representando g(x,y) =k, e a representação em

termos do parâmetro t, mostrando que ∇→

f = λ∇→

g

O gráfico de g(x,y) = k é uma curva c no plano-xy. A curva C pode ser escrita em termo decomponentes x =h(t) e y = m(t), em que t é umparâmetro, como o tempo em problemas demecânica, mas que, em geral, pode ser umângulo ou outra grandeza conveniente.

Seja →r (t) = xx + y y = h(t) x + m(t) y o vetor

posição do ponto P(x,y) vem C (veja a figura24, acima), e suponhamos que o ponto Po(xo,yo),em que f(x,y) tem um extremo, corresponda a t = to, isto é,

→r (to) = xo x + yo y = h(to) x +

m(to) y. Definindo F de uma variável t por

F(t) =f(h(t),m(t)),

vemos que, quando t varia, obtemos valoresf(x,y) correspondem a (x,y) em C, isto é, f estásujeita ao vínculo g(x,y) = k; dessa forma, esta-mos considerando apenas os valores de f(x,y)que estão sobre pontos da curva C. Comof(xo,yo) é um extremo de f, segue-se que F(to) =f(h(to),m(to)) é um extremo deF(t). Assim, F’(to)= 0. Se encaramos F como uma função com-posta, então, pela regra da cadeia,

Fazendo t = to, temos:

Isso mostra que o vetor ∇→

f(xo,yo) é perpen-dicular ao vetor

→r’(to) tangente a C.

Entretanto ∇→

g(xo,yo) também é perpendicular a→r’(to) porque C é uma curva de nível para g.Como ∇

→f(xo,yo) e ∇

→g(xo,yo) são perpendicula-

res ao mesmo vetor, são paralelos entre si, istoé, ∇

→f(xo,yo) = λ∇

→g(xo,yo) para algum λ. O

número λ é chamado multiplicador de Lagran-ge. Voltemos, agora, ao problema da caixa comque abrimos esta discussão: sejam x, y e z ocomprimento, a largura e a altura, respectiva-mente, da caixa em metros.

Exemplo 1

Achar a caixa sem tampa de maior volume comsuperfície total de 12m2.

Solução:

Buscamos maximizar o volume V= xyz sujeitoà restrição g(x,y,z) = 2xz+2yz+xy =12.

32


Utilizando os multiplicadores de Lagrange, pro-curamos os valores de x, y, z e tais que ∇

→V =

λ∇→

g e g(x,y,z) = 12. Partindo dessas condi-ções, geramos as equações:

e 2xz+2yz+xy = 12,

ou seja:

(1) yz = (2z+y)

(2) xz = (2z+x)

(3) xy = (2x+2y)

(4) 2xz+2yz+xy =12

Para resolver esse sistema de equações, va-mos lançar mão de alguns truques: observeque se multiplicarmos (2) por x, (3) por y e (4)por z, os lados esquerdos dessas equaçõesficam iguais. Assim temos que:

(5) xyz = (2xz+xy)

(6) xyz = (2yz+xy)

(7) xyz = (2xz+2yz)

Vê-se que 0 porque = 0 implicaria em ter yz =xz = xy = 0 em (1), (2) e (3), contradizendo aequação (4). De (5) e (6) temos: 2xz+xy =2yz+xy que nos dá x = y. De (6) e (7) temos:2yz+xy = 2xz+2yz, que dá 2xz = xy e portan-to y = 2z. Se substituirmos

x = y =2z em (4), teremos:

4z2+4z2+4z2 = 12

sabendo que x, y, e z são todos positivos,temos que z =1, x = 2 e y = 2.

Exemplo 2

Determine os valores extremos da função f(x,y) = x2 + 2y2 no círculo x2 + y2 = 1.

Solução:

Devemos achar os valores extremos de f (x,y)sujeita à restrição g(x,y) = x2 + y2 = 1.Utilizando os multiplicadores de Lagrange, re-solvemos as equações ∇

→f = λ∇

→g, g(x,y) = 1,

que podem ser escritas como:

,

,

e x2+y2 = 1

Elas resultam em:

(8) 2x = 2x

(9) 4y = 2y

(10) x2+y2 = 1

A equação (8) dá-nos x = 0 ou =1. Se x = 0,então a equação (10) y = ±1. Se = 1, então aequação (9) dá-nos y = 0; assim, a equação(10) fornece x = ±1. Portanto os valoresextremos de f(x,y) ocorrem nos pontos (0,1),(0,-1),(1,0), e (-1,0). Calculando f(x,y) nessesquatro pontos, temos:

f (0,1) = 2

f(0,–1) = –2

f(1,0) = 1

f(–1,0) = 1

Portanto o valor máximo de f(x,y) no círculox2+y2 = 1 é f(0,±1) = 2, o valor mínimo éf(±1,0) = 1.

1. Utilize os multiplicadores de Lagrange paradeterminar os valores máximo e mínimo dafunção sujeita à restrição dada:

a) f(x,y) = x2-y2 ; x2+y2 =1

b) f(x,y,z) = xyz; x+y+z =100

c) f(x,y) = x2y ; x2+ 2y2 = 6

d) f(x,y,z) = x+y+z ; x2+ y2+z2 = 25

e) f(x,y,z) = x2+ y2+z2; x-y+z =1

f) f(x,y,z) = 2x+ 6y+10z; x2+ y2+z2 = 35

2. Deve-se construir uma caixa retangular fechadade 2m3 de volume. Se o custo por metro qua-drado do material para os lados, o fundo e atampa é R$ 200, R$ 400,00 e R$ 300,00,

33


respectivamente, ache as dimensões que mini-mizam o custo.

3. Deve-se construir um depósito com tampa, emforma de cilindro circular reto e com área desuperfície fixa. Mostre que o volume é máximoquando h = 2R.

4. Utilize multiplicadores de Lagrange para provarque o retângulo com área máxima, com perí-metro constante p, é um quadrado.

5. Determine as dimensões de uma caixa retan-gular de volume máximo tal que a soma desuas doze arestas seja um constante c.

6. Determine as dimensões da uma caixa retan-gular de maior volume se sua superfície total édada como 64m2.

UNIDADE IIIIntegrais de linha

37

Cálculo II – Integrais de linha

INTRODUÇÃO

A integral de linha é uma generalização natural

da integral definida , em que o intervalo

[a, b] é substituído por uma curva, e a função

integranda é um campo escalar ou um campo

vetorial definido e limitado nessa curva.

As integrais de linha são de uma importância

fundamental em inúmeras aplicações, nomea-

damente, em ligação com energia potencial,

fluxo do calor, circulação de fluidos, etc.

No que se segue, começaremos por apresen-

tar os conceitos de curva e de comprimento de

uma curva; em seguida, daremos a definição

de integral de linha. Depois de enunciarmos as

propriedades fundamentais da integral de linha,

veremos a sua aplicação ao cálculo do trabal-

ho realizado por uma força.

TEMA 01

CAMINHOS E CURVAS

Seja g uma função vectorial que toma valoresem IRn e cujo domínio é um intervalo I ⊂ IR. Àmedida que a variável independente t percorre I,os correspondentes valores da função g(t) per-correm um conjunto de pontos de IRn, que con-stitui o contradomínio da função. Se a funçãotomar valores em IR2 ou em IR3, é possível visu-alizar, geometricamente, esse contradomínio.

Exemplo 1

Seja g : IR → IR2 a função definida por:

g(t) = (1 – 2t,1 +t) = (1, 1) + t(–2, 1)

O contradomínio de g é a reta que passa peloponto (1, 1) e tem a direção do vetor (–2, 1).

Se a função g é contínua em I, o contradomíniode g chama-se uma curva, mais concreta-mente, a curva descrita por g.

Exemplo 2

A função f : IR → IR3 definida por:

f (t) = (2t – 2 sent, 2 – 2 cos t, t) é contínua em IR.

Temos apresenta a hélice descrita por f , isto é,o seu contradomínio.

38


Exemplo 3

O traço da curva é

o segmento de reta de extremidade inicial(–1,0,2) e final (7,6,4).

Exemplo 4

O arco de parábola y = x2, x∈[0,2] pode serrepresentado, parametricamente, por

, ou seja, é o traço da

curva γ : [0,2] → IR2, dada por γ(t) = (t,t2).

Exemplo 5

A curva

Tem por traço a cúbica

Observe que, elimidando-se o parâmetro t,obtemos , logo (x,y) pertence ao traço

de γ se, e só se, .

Definição 1

Chama-se caminho em IRn qualquer funçãocontínua definida num intervalo (limitado ounão) de números reais I e com valores em IRn.O contradomínio de um caminho chama-se cur-va ou arco.

Se g : I → IRn é um caminho, diz–se que C =

g (I) é a curva representada por g, e que g éuma representação paramétrica da curva C;como os pontos da curva são da forma g (t),com t ∈ I, a variável t é, habitualmente, designa-da por parâmetro da representação paramétri-ca considerada. Se g é um caminho definidonum intervalo fechado e limitado I = [a, b], ospontos g (a) e g (b) chamam-se extremos docaminho g, respectivamente, o ponto inicial e oponto final do caminho g.

As propriedades da função g podem ser uti-lizadas para investigar as propriedades geo-métricas do seu gráfico. Em particular, a deri-vada g’ = (g’1,g’2,g’2,...g’n) está relacionadacom o conceito de tangência, tal como no casodas funções reais de variável real. Veja-se qual

o comportamento do quociente

quando h → 0. Esse quociente é o produto do

vetor g(t + h) – g(t) pelo escalar . Como tal,

o numerador, g(t + h) – g(t), é paralelo ao vetor

. Como já foi visto no Cálculo

Diferencial em IRn, no caso de existir o limite de

quando h → 0, tem-se

,e, se g’(t) = 0, ovetor g’(t) pode ser visto, geometricamente,como o vetor tangente à curva g no ponto g(t).

)(')()(lim0

tgh

tghtgh

=−+→

39


Definição 2

Seja C ⊂ IRn uma curva parametrizada pelo ca-minho g : I → IRn. Se, para t ∈ I, a derivada g’(t)existe e é diferente do vetor nulo, a reta quepassa por g(t) e tem a direção do vetor g’(t)designa-se por reta tangente a C no ponto g(t).

Definição 3

Diz-se que um caminho g : I → IRn é de classeC1 se a função g é de classe C1 em I2. Um con-junto C ⊂ IRn é uma curva de classe C1 seexiste um caminho de classe C1 que represen-ta, parametricamente, C.

Exemplo 6

O caminho g : [–1, 1] → IR2 tal que g(t) = (t, t3),define uma curva de classe C1 pois g’(t) = (1, 3t2) é uma função contínua em t∈[–1, 1].

Definição 4

Um caminho g : [a, b] → IRn diz-se seccional-mente de classe C1 se o intervalo [a, b] puderser decomposto num número finito de subin-tervalos em cada um dos quais o caminho é declasse C1. Uma curva diz-se seccionalmente declasse C1 se existir um caminho seccionalmen-te de classe C1 que a parametrize.

Conclui-se que um caminho seccionalmentede classe C1 não pode deixar de ser contínuo.

Exemplo 4 A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferênciaC1 de equação (x – 1)2 + y2 = 1, situado no 1.o

quadrante, com o segmento de reta C2, queune os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva sec-cionalmente de classe C1.

Exemplo 7

A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferênciaC1 de equação (x – 1)2 + y2 – 1, situado no 1.o

quadrante, com o segmento de reta C2, queune os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva sec-cionalmente de classe C1.

Com efeito, trata-se de uma curva que não é declasse C1 (não existe reta tangente no ponto (1,1)), mas é a união de duas curvas de classe C1.

Lembrando

Seja r um natural. Diz-se que um campo escalarf é uma função de classe Cr num conjunto aber-to S quando admite derivadas parciais contí-nuas até a ordem r em todos os pontos de S. Nocaso de S não ser um conjunto aberto, diz–seque f é de classe Cr em S se existir uma funçãog de classe Cr num aberto que contenha S, talque f (x) = g(x), ∀x∈S. Sendo g : I ⊂ IR → IRn

uma função vetorial em que g = (g1, . . . , gn) ,diz-se que g é Cr em I quando gi é de classe Cr

em I, qualquer que seja i=1,..., n.

Definição 5

Sendo g : I → IRn um caminho, diz-se que gé um caminho fechado se I é um intervalofechado e limitado de extremos a e b e g(a)= g(b). Diz-se que o caminho não-fechado gé um caminho simples quando g é injetiva(isto é, g não assume o mesmo valor emquaisquer dois pontos distintos de I). Ocaminho fechado g diz-se um caminho sim-ples se g for injetiva no interior de I. Um con-junto C ⊂ IRn é uma curva fechada ou umacurva simples se existe, respectivamente,um caminho fechado ou um caminho sim-ples que o representa parametricamente.

40


Exemplo 8

A função g : [0, 8π] → IR3 definida por

g(t) = (cost, sen t, t) é um caminho simples que

representa um arco de hélice cilíndrica.

Exemplo 9

Uma circunferência centrada na origem e deraio 2 tem por equação cartesiana a expressãox2 + y2 = 4. Nesse caso, uma representaçãoparamétrica dessa circunferência pode ser da-da pela função f:[0, 2π] → IR2, com f (t) = (2 cos t, 2 sent). Esse é um exemp-lo de um caminho simples e fechado.

Exemplo 10

A curva representada na figura abaixo pode ser

definida, parametricamente, pelo caminho

α : [0,1] → IR2, com α(t) = (t, t3) . Outras repre-

sentações paramétricas da mesma curva são,

por exemplo, β : [4, 6] → IR2, com

, com

λ(t) = (tgt,tg3t).

Entre as diferentes representações paramé-tricas de uma curva, interessa identificar aque-las que correspondem apenas a uma mudançade escala do parâmetro.

Definição 6

Sejam α : I → IRn e β : J → IRn dois caminhosem IRn.

Os caminhos α e β dizem-se equivalentes seexiste uma função bijetiva e continuamentediferenciável φ : I → J, tal que φ’ (t) ≠ 0 emtodos com exceção dum número finito de pon-tos t∈I e α(t) = β [φ(t)], em todos os pontos deI. Se φ’(t) ≥ 0, diz-se que os caminhos têm omesmo sentido; se φ’(t) ≤ 0, diz-se que os ca-minhos têm sentidos opostos; no primeiro ca-so, diz–se que a função φ preserva o sentido;no segundo caso, que inverte o sentido.

Exemplo 11

Considerem-se os caminhos α : [0,1] → IR2,com α(t) = (t, t3) e β : [4, 6] → IR2, com

definidos no exemplo

10 e a função φ : [0, 1] → [4, 6] tal que φ(t) =2t + 4. Essa função é bijetiva, continuamentediferenciável e tem derivada não nula em todoo seu domínio (φ’(t) = 2, ∀t∈[0, 1]). Por outrolado,

Pode-se, então, concluir que α e β são cami-nhos equivalentes com o mesmo sentido.

41


1. Determine as representações paramétricas dasseguintes curvas de IR2 e indique quais são sim-ples, fechadas ou seccionalmente de classe C1:

a) y = x2, x∈[–1,1]

b) y = 1 –|x|, desde (–1,0) até (1,0)

c) x2 + y2 = 2

d) 4x2 + y2 = 1

2. Determine as representações paramétricas dasseguintes curvas de IR3 :

a) O segmento de reta que vai desde (0,0,0)até (1,1,1).

b) O arco de parábola que vai desde (0, 0, 0)até (1, 1, 2).

c) A curva definida pelas condições x2 + y2 + z2 = 4 e z = 1.

TEMA 02

COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS

Como aplicação da integral definida em IR, jáfoi visto que o comprimento do gráfico C deuma função y = f(x), definida no intervalo [a, b],

pode obter-se pela fórmula

desde que f tenha derivada contínua em [a, b].

O objetivo desta seção é formalizar a noção decomprimento de uma curva. Esse conceitopode ser facilmente introduzido a partir danoção de comprimento de uma linha poligonal,definida como a soma dos comprimentos dossegmentos de reta que a constituem.

Como a figura abaixo sugere, um valor aproxi-mado do comprimento da curva aí representa-da pode ser obtido marcando-se na curva umcerto número de pontos e calculando-se o com-primento da linha poligonal cujos extremos sãoprecisamente esses pontos.

A intuição leva a supor que, se for inscrita nacurva uma nova linha poligonal, pela adição demais vértices, ter-se-á uma melhor aproxima-ção do comprimento da curva.

Por outro lado, também é claro que o compri-mento de qualquer linha poligonal inscrita nãodeverá exceder o da curva, visto que uma linhareta é o caminho mais curto entre dois pontos!

É, pois, natural, definir o comprimento de umacurva como o supremo do conjunto dos com-primentos de todas as linhas poligonais inscri-tas na curva.

Definição 7

Seja g : [a, b] → IRn um caminho. Chama–se

42


linha poligonal inscrita no caminho g a uma

união de segmentos de reta cujos extremos são

pontos consecutivos g(t0),g(t1),...,g(tn+1), com

t0<t1<...<tn< tn+1. Diz-se que o caminho é reti-

ficável se o conjunto dos comprimentos de li-

nhas poligonais nele inscritas é majorado e,

nesse caso, chama-se comprimento do cami-

nho g ao supremo (isto é, ao menor dos majo-

rantes) desse conjunto.

Diz-se que uma curva é retificável se pode ser

representada parametricamente por um cami-

nho retificável e, nesse caso, chama-se com-

primento da curva ao ínfimo dos comprimentos

de todos os caminhos retificáveis que a repre-

sentam parametricamente.

O teorema seguinte estabelece uma condição

suficiente para que um caminho seja retificável

e indica a forma de calcular o seu comprimen-

to. Deve-se referir, contudo, que a mencionada

condição é igualmente necessária para que

um caminho seja retificável.

Teorema 1

Um caminho g: [a, b] → IRn de classe C1 é reti-

ficável se ||g’|| é uma função integrável em

[a, b]. Nesse caso, o comprimento de g entre

g(a) e g(t) (a = t = b) é dado por

Em particular, o comprimento de g é

S = s(b) = ∫∫ba ||g’(t)||dt.

Observação:

A função ||g’(t)||representa a norma euclidiana

de g’(t)(t∈[a, b]). Ter-se-á, portanto,

.

Demonstração:

Para cada decomposição Δ do intervalo [a, b],

a = t0 < t1 < · · · < ti–1 < ti < · · · < tn = b,

o comprimento da linha poligonal inscrita na

curva definida por g é dado por

||g(ti) – g(ti–1)|| é o comprimento do segmentoda linha poligonal entre os pontos g(ti–1) e g(ti).

Se o caminho for de classe C1, pode escrever-se, qualquer que seja a decomposição Δ,

(1)

A segunda igualdade é justificada pela apli-cação da fórmula de Barrow a cada uma dasfunções componentes de g. A desigualdadeque lhe segue justifica-se pela seguinte pro-priedade: se f é um campo vetorial integrávelno intervalo [a, b], então

Note-se que quer g_(t) quer g_(t) são funçõesintegráveis em no intervalo [a, b].

De (1),sai, então, que é um majorante

dos comprimentos das linhas poligonais ins-critas em g, o que implica que o caminho g éretificável.

Vejamos, agora, que o comprimento de g entre

g(a) e g(t) (a = t = b) é dado por .

43


Seja o ponto A = O+g(a) a “origem dos arcos”e s(τ) o comprimento do arco de curva que vaidesde o ponto A até ao ponto Q(τ) = O + g(τ),com τ,τ0∈[a,b] (ver figura acima). Supondoτ >τ0, tem-se

donde

(2)

caso τ < τ0, tem-se

e as desigualdades 2 mantêm-se válidas.

Por outro lado, uma vez que a norma é umafunção contínua, tem-se

(3)

adicionalmente é válida a igualdade

(4)

pois, pelo teorema da média,

Consequentemente, o enquadramento (2) e asigualdades (3) e (4) implicam que

e, como τ0é qualquer valor do intervalo [a, b],conclui-se que s é uma função derivável doparâmetro t que verifica

(5)

s’(t) = ||g’(t)||, ∀t∈[a,b].

Assim, para a ≤ t ≤ b,

e, em particular, o comprimento de toda acurva é dado por

Deve-se referir que o comprimento de uma cur-va de classe C1 é independente da respectivaparametrização. Com efeito sejam α : I = [a, b]→ IRn e β : J = [c, d] → IRn duas parametriza-ções equivalentes de uma mesma curva.

Seja φ : I → J uma função bijetiva e continua-mente diferenciável tal que φ’ (t) ≠ 0 em todos,com exceção dum número finito de pontos t ∈Ie α(t) = β[φ(t)], em todos os pontos de I. Note-se que se φ é bijetiva, então, ou φ’(t) ≥ 0 ou φ’(t)≤ 0 ∀t ∈I. Suponha-se, por exemplo, que φ’(t)= 0. Então, tendo em conta o teorema da mu-dança de variável na integral definida, deduz-se sucessivamente,

Note-se que ||β’(u)|| é uma função contínua eφ é continuamente diferenciável, tal que φ (a) ≤φ (b).

Observação 1

s(t) diz-se a função comprimento de arco. Odiferencial de s, dado por ds = ||g’(t)||dt.

Observação 2

No caso de um caminho g : [a, b] → IR2 com

g(t) = (x(t), y(t)) e t ∈[a, b], tem–se

e .

Observação 3

No caso de um caminho g : [a, b] → IR3 com

g(t) = (x(t), y(t), z(t)) e t ∈[a, b], tem-se

e

Então, o comprimento s do caminho g é dadopor

44


.Observação 4

No caso de uma curva em IR2 ser dada explici-tamente por uma função real de variável realy=f(x), com a = x = b, pode parametrizar-se acurva por meio das equações

.

Nesse caso, admitindo que f tem derivada con-tínua em [a, b], tem-se

,

donde o comprimento s da curva é dado por

,

que é precisamente o resultado apresentadono início desta seção.

Exemplo 12

Calcular o comprimento do arco da catenáriadefinido parametricamente pela função g : [0, 1] → IR2 com g(t) = (t, cosh t).

Como g’(t) = (1, senh t), o comprimento doarco da catenária será

Exemplo 13

Determinar o comprimento do arco da hélicehelicoidal definido parametricamente pela

função f : IR → IR3 com f (t) = (2et cos t, 2et sent, 2et), desde (2, 0, 2) até (–2eπ, 0, 2eπ).

Nesse caso, é fácil verificar que as extremida-des da curva correspondem aos valores 0 e πdo parâmetro t. De fato, f(0) = (2, 0, 2) e f(π) = (–2eπ, 0, 2eπ).

Por outro lado,

f’(t) = (2et(cos t – sen t), 2et(sen t + cos t), 2et)

e, portanto,

. O comprimento pedido é então:

Hélice helicoidal.

1. Determinar o comprimento dos seguintes ar-cos de curvas:

a) g(t) = (et cos t, et sen t), t∈[0,2]

b) y = ln x, x∈⎣ , ⎦

c) γ(t) = [a(t – sent), a(1 – cost)], t∈[0,2π]

d) γ(t) = (t cost, sent,t), t∈⎣0, ⎦

e)

45


TEMA 03

DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE LINHA

Para tornar mais clara a definição de integral

de linha, tenha-se em atenção o que segue.

Seja C uma curva do plano unindo dois pontos

A e B, definida parametricamente por um cami-

nho g : [a, b] → IR2 seccionalmente de classe

C1. Considerem-se em C os pontos A = P0, P1,

. . . , Pi–1, Pi, . . . , Pn = B, correspondentes a

uma partição do intervalo [a, b], a = t0 < t1 < ..

. < ti–1 < ti < .. . < tn = b, isto é, tais que Pi =

g(ti), i = 0, 1, . . . , n. Seja ainda ϕ um campo

escalar contínuo definido num domínio D ⊂ IR2,

contendo a curva C, e suponhamos que aque-

la função é positiva em D, ou seja, ϕ(x,y) ≥ 0,

∀(x, y)∈D.

Considere-se, agora, a soma Σni=1ϕ(Qi)Δsi em

que ΔSi = s(ti) – s(ti – 1) com (i = 1,2,3,...,n) é o

comprimento do arco Pi–1Pi e Qi é um ponto

arbitrário escolhido nesse arco. Como a figura

a seguir mostra, ϕ(Qi)ΔSi é a área de uma

“faixa” com base do arco Pi–1Pi no plano XOY e

altura ϕ(Qi). É, então, evidente que Σni=1ϕ(Qi)Δsi

constitui uma proximação da área da superfície

cilíndrica S de diretriz C e geratriz paralela ao

eixo OZ, situada entre o plano XOY e o gráfico

de ϕ (ver figura abaixo). Intuitivamente, é fácil

aceitar que, no caso de existir e ser finito o li-

mite de Σni=1ϕ(Qi)Δsi quando n → ∞ e σ = maxi

|ti – ti–1| ? 0, esse limite deverá coincidir com a

área de S. Ora, caso não dependa da decom-

posição de [a, b] nem da escolha dos Qi, esse

limite é precisamente a integral de linha de ϕsobre a curva C relativamente ao comprimento

de arco s. Essa integral é designada, habitual-

mente, por integral de linha de 1.a espécie e re-

presenta-se por , isto é,

.

Interpretação Geométrica da Integral de linha.

Admitindo-se que a integral de linha

existe, vejamos como o seu cálculo se podefazer, recorrendo a uma integral definida nointervalo [a, b].

Uma vez que função comprimento de arco s(t)é contínua e derivável em [a, b], o teorema deLagrange implica que

(6)

ΔSi = s(ti) – s(ti–1) = s’(ξi)(ti – ti–1), para algumξi∈]ti–1 , ti[.

Considerando a soma conclui-se

de (6) que

(7)

,

sendo de notar que o 2.o membro dessa igual-dade é uma soma de Riemann da função ϕ.s’no intervalo [a,b] relativamente à decom-posição considerada.

Como essa função é contínua, pode-se garan-tir a existência da sua integral de Riemann nointervalo [a, b], tendo-se, portanto,

atendendo a (5). Passando ao limite ambos osmembros de (7), deduz-se que

Como o limite do 1.o membro não pode deixar

46


de ser , conclui-se que para calcular essa

última integral bastará calcular a integral definida

Vimos atrás que, sendo ϕ uma função positivadefinida em IR2 e C uma curva do plano XOY, a

integral de linha pode ser interpretada geo-

metricamente como a área de uma superfície.Mas, geralmente, supondo que ϕ é um qual-quer campo escalar definido em IRn e C umaqualquer linha do mesmo espaço, a integral delinha de 1.a espécie define-se como segue:

Definição 8

Seja ϕ um campo escalar contínuo cujo domí-nio contém uma curva C representada para-metricamente por um caminho g : [a, b] → IRn,seccionalmente de classe C1. A integral,

, dado por

diz-se a integral de linha de ϕ sobre C relativoao comprimento de arco s definido pelo cami-nho g.

Exemplo 14

Calcular a área da superfície lateral do sólidolimitado superiormente pelo plano de equaçãoz = 1–x–y e inferiormente pelo círculo

do plano z = 0.

Solução:

A curva que no plano XOY limita a superfície é

a circunferência.

Designando essa curva por C e representando-a parametricamente pelas equações

, tem-se que a área pe-

dida é igual a

As integrais de linha relativos ao comprimento

de arco surgem, muitas vezes, ligadas a pro-

blemas relacionados com a distribuição de

uma grandeza escalar (massa, carga elétrica,

etc) ao longo de uma curva.

Supondo, por exemplo, que um filamento com

a configuração de uma curva em IR3 tem den-

sidade de massa por unidade de comprimento

dada por um campo escalar ϕ (isto é, ϕ(x,y,z),

que é a massa por unidade de comprimento

no ponto (x,y,z) de C), então a massa total do

filamento é definida por

O centro de massa do filamento é definido

como o ponto (x,y,z), cujas coordenadas são

determinadas pelo sistema de equações:

Exemplo 15

Calcular o centro de gravidade do arco de semi-

circunferência C = {(x,y): x2 + y2 = r2, y ≥ 0}

supondo que em todos os pontos de C a den-

sidade de massa por unidade de comprimento

é constante (ver figura a seguir).

Solução:

Seja ϕ(x,y) = ρ = const. a densidade de mas-

sa por unidade de comprimento em cada pon-

to (x,y) do arco de semicircunferência C.

Considerando a parametrização de C,

g(t) = (r cos t, rsen t), t∈[0,π], tem-se que a

massa de C é dada por

47


Centro de gravidade de semicircunferência.

Então, as coordenadas do centro de gravidade são dadas por:

Isto é, .

A definição de integral de linha que agora seapresenta é relativa a campos vetoriais e intro-duz a habitualmente designada integral de linhade 2.a espécie.

Definição 9

Seja C uma curva representada parametrica-mente por um caminho g : [a, b] → IRn, sec-cionalmente de classe C1, e f um campo veto-rial definido em C, que toma valores em IRn.Chama-se integral de linha de f ao longo docaminho g à integral

(8)

sempre que a integral da direita exista. (Naigualdade anterior, “.” representa a operaçãode produto interno.)

Observação 5

Se A = g(a) e B = g(b), a integral pode

ser expressa por ∫BAf.dg; quando

essa notação é usada, há de se ter em contaque a integral depende não só dos seusextremos, mas também do caminho que osliga! Se A = B, isto é, se C é fechado, é cos-tume representar a integral de linha de f ao

longo de g pelo símbolo .

Quando f e g são expressos pelas suas com-

ponentes, isto é, f = (f1, f2,...,fn) e g = (g1,g2,...,gn), a igualdade (8) escreve-se na forma

No caso bidimensional, a curva C é habitual-mente descrita por um par de equações para-métricas do tipo

,

e a integral de linha escreve-se na forma

No caso tridimensional, a curva C é habitual-mente descrita por três equações paramétricasdo tipo

,

e a integral de linha escreve-se na forma

Exemplo 16

Seja f o campo vetorial definido por

para todos os pares

(x,y)∈IR2 tais que y ≥ 0.

48


Calcular a integral de linha de f de (0,0) até(1,1), ao longo de cada um dos seguintes ca-minhos:

1. o segmento de reta de equações paramétri-cas x = t, y = t, 0 ≤ t ≤ 1;

2. o caminho com equações paramétricas x =t2, y = t3, 0 ≤ t ≤ 1.

Solução:

No caso da alínea (a), tem-se g’(t) = (1,1) e. Então, o produto interno

f[g(t)].g’(t) é igual a , donde

No caso da alínea (b), tem-se g’(t) = (2t, 3t2),

e

A integral pedida será, portanto,

Esse exemplo mostra que a integral, desde umponto até outro, pode depender do caminhoque liga os dois pontos. Repare, no entanto,que se efetuar o cálculo do segundo integral,utilizando a mesma curva, mas com uma outrarepresentação paramétrica, por exemplo,

, com 0 = t = 1, tem-se

, e a integral é igual

a como anteriormente. Esse fato ilustra a

independência do valor da integral de linha re-lativamente à representação paramétrica uti-lizada para descrever a curva. Recordemosque tal propriedade já tinha sido observadaquando se definiu a noção de comprimento dearco.

Seja C uma curva de classe C1 parametrizadapor g:[a,b] → IRn tal que g’(t) ≠ 0, para qualquert∈[a,b] (uma curva nessas condições diz-seregular). Mostra-se seguidamente que a inte-gral de linha de um campo vetorial ao longo deuma curva regular não é mais do que a integralde linha de um certo campo escalar relativo aocomprimento de arco. Seja, então, f um campo

vetorial, e ϕ o campo escalar definido porϕ[g(t)] = f[g(t)].T(t), isto é, pelo produto inter-no de um campo vetorial f definido em C com

o vetor unitário tangente . Então,

Interpretemos fisicamente : se f caracteri-

zar o escoamento de um fluido (ou seja, se f forum campo de velocidades), f. T traduzirá a com-ponente tangencial desse escoamento emcada ponto da linha C, constituindo uma medi-da do escoamento do fluido na direção de T,em cada ponto da referida linha; assim, se Cfor uma curva fechada, a integral de linha∫Cf.dg = ∫Cf . Tds representará uma medida doescoamento do fluido ao longo da linha C,medida essa que se designa por circulação.

1. Calcule ∫Cf(x,y)ds, ∫Cf(x,y)dx e ∫Cf(x,y)dy em que:

a) e C é a curva parametrizada

por , com t∈[0,4]

b) f(x,y) = x3 + y e C é a curva y = x3, com0 < x < 1.

2. Calcule as áreas das superfícies cilíndricas si-tuadas entre as curvas do plano XOY e assuperfícies indicadas:

a) Curva y = x2, x∈[0,2] e superfície .

b) Curva e superfície .

c) Curva x2 + y2 = ax(a > 0) e superfíciez = x – z.

3. Considere um fio com a forma da hélice deequações

49


Calcule a massa do fio, sabendo que em cadaponto (x,y,z) a densidade linear do fio é dada

por .

4. Calcule a massa do segmento de curva y = ln x que une os pontos (1,0) e (e,1) se adensidade linear em cada ponto for igual aoquadrado da abscissa do ponto.

5. Calcule ∫C4(xy2)dx – 3x4dy, em que C é a linhapoligonal que une os pontos (0,1),(–2,1) e(–2,0).

6. Calcule , em que C é a

circunferência x2 + y2 = 4, orientada no senti-do positivo.

UNIDADE IVIntegrais múltiplas

53

Cálculo II – Integrais múltiplas

UM BREVE HISTÓRICO

RIEMANN

Nasceu no dia 17 de setembro de 1826, emBreselenz, Alemanha. Era filho de um ministroluterano e teve uma boa instrução, estudandoem Berlim e Göttingen, mas em condiçõesmuito modestas por causa de sua saúde frágile de sua timidez.

Aos 19 anos, Riemann foi, com todo o apoio dopai, para a Universidade de Göttingen, estudarteologia com o objetivo de tornar-se clérigo.Mais tarde, pediu permissão ao pai e mudou ofoco dos seus estudos para a Matemática,transferindo-se, um ano depois, para a Univer-sidade de Berlim, onde atraiu o interesse de eJacobi.

Em 1849, retornou a Göttingen, onde obteve ograu de doutor em 1851. Sua brilhante tese foidesenvolvida no campo da teoria das funçõescomplexas. Nessa tese, encontram-se as cha-madas equações diferenciais de Cauchy-Riemann – conhecidas, porém, antes do tempode Riemann – que garantem a analiticidade deuma função de variável complexa e o produti-vo conceito de superfície de Riemann, queintroduziu considerações topológicas na aná-lise.

Três anos mais tarde, foi nomeadoPrivatdozent, cargo considerado o primeirodegrau para a escalada acadêmica. Com amorte de Gauss em 1855, Dirichlet foi chama-do a Göttingen como seu sucessor e passou aincentivar Riemann, primeiro com um pequenosalário, e depois com uma promoção a profes-

sor assistente. Em 1859, morreu Dirichlet, eRiemann foi nomeado professor titular parasubstituí-lo.

O período de 1851 a 1859, do ponto de vistaeconômico, foi o mais difícil da vida de Rie-mann, mas ele criou suas maiores obras justa-mente nesses anos.

Riemann era um matemático de múltiplos inte-resses e mente fértil, contribuindo não só parao desenvolvimento da geometria e da teoriados números como também para o da análisematemática.

Riemann tornou claro o conceito de integrabi-lidade de uma função por meio da definição doque atualmente chamamos Integral de Rie-mann.

Durante uma conferência-teste, generalizou to-das as geometrias, euclidianas e não-euclidia-nas, estabelecendo a Geometria Riemanniana,que serviu de suporte para a Teoria da Rela-tividade de Einstein.

Em 1859, publicou seu único trabalho emTeoria dos Números: um artigo dedicado aoTeorema dos Números Primos, no qual, partin-do de uma identidade notável descoberta porEuler, chegou a uma função que ficou conheci-da como Função Zeta de Riemann. Nesse arti-go, provou várias propriedades importantesdessa função, e enunciou várias outras semprová-las. Durante um século, depois de suamorte, muitos matemáticos tentaram prová-lase acabaram criando novos ramos da análisematemática.

Riemann morreu de tuberculose, no dia 20 deJulho de 1866, em Selasca, na Itália, durante aúltima de suas várias viagens para fugir doclima frio e úmido do norte da Alemanha.

54


INTRODUÇÃO

As integrais múltiplas ou integrais de funçõesde várias variáveis são uma extensão naturaldo conceito de integral de funções de uma va-riável. As integrais múltiplas contribuíram bas-tante para o engrandecimento do cálculo e suapossível atuação em diversas ciências. O cál-culo, por meio das Integrais Múltiplas, tem di-versas aplicações. Entre as diversas apli-cações das Integrais Múltiplas, temos: o cálcu-lo de volume de sólidos, o cálculo do centro demassa e momento de inércia de um corpo, etc.

TEMA 01

INTEGRAIS DUPLAS

Seja f(x, y) uma função definida num domínio Ddo plano. Vamos supor que D seja limitado, desorte que ele estará todo contido num retângulo

R: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d,

Como ilustra a Fig. 6.1., vamos dividir os ladoshorizontais desse retângulo em m subinterva-

los iguais de comprimentos . De

igual modo, dividimos os lados verticais em nsubintervalos iguais, de comprimentos

. Sejam:

x0 = a < x1 < x2 < ........ < xm = be y0 = c < y1 < y2 < ........ < yn = d

os pontos dessas divisões.

Traçando, por esses pontos, retas paralelasaos eixos de coordenadas, o retângulo R ficadividido em sub-retângulos Rij, i = 1,..., m ej = 1, ..., n, cada um deles com área ΔxΔy.Agora, tomamos em cada sub-retângulo Rij umponto Pij = (ξi,ηj), como ilustra a Fig. 5.1 e for-mamos uma soma, chamada de soma deRiemann:

em que tomamos f(ξi,ηj) como zero quando oponto Pij estiver fora do domínio D. Quando Δxe Δy tendem a zero, ou m e n tendem a infinito,pode acontecer que essa soma tenha um limitedeterminado. Isso ocorrendo, esse limite é cha-mado a integral de f sobre o domínio D, que seindica pelo símbolo:

∫∫∫∫Df(x,y)dxdy

Portanto, por definição,

∫∫∫∫Df(x,y)dxdy =

(1)

55


Fig. 6.1

A existência desse limite depende do compor-tamento da função f e das propriedades do do-mínio D. Vamos supor que a fronteira de D sejaconstituída de um número finito de arcos dotipo:

x = x(t), y = y(t) α ≤ t ≤ β,

em que x(t) e y(t) são funções contínuas comderivadas contínuas num intervalo fechado[α,β], satisfazendo a condição x’2 + y’–2 ≠ 0.Um tal arco é dito regular e uma fronteira con-stituída de um número finito de arcos regularesé chamada fronteira regular. Quando a funçãof é contínua num domínio compacto (fechado elimitado), com fronteira regular, a integral duplae (1) existe. Esse resultado é suficiente para ospropósitos do nosso curso.

Observe-se que, se um sub-retângulo Rij conti-ver pontos de D e pontos fora de D, ele con-tribuirá ou não à soma (1) conforme Pij sejaescolhido em D ou fora, respectivamente.

Essa escolha não afeta o valor da integral, queé o limite da soma quando os lados dos sub-retângulos Rij tendem a zero. Esse fato decorreda hipótese que fazemos de que a fronteiraregular tem “área nula”, portanto em nada con-tribui à integral. Existem fronteiras não regu-lares e bastante complexas para terem “áreapositiva” ou “medida positiva”, como se diz.

Para interpretar geometricamente o significadoda integral dupla, vamos supor, por um mo-mento, que a função f seja positiva. Então, ográfico de z = f(x, y) é uma superfície que estáacima do plano Oxy, como ilustra a Fig. 6.2.Podemos compreender que a soma de Rie-mann em (1) é a soma dos volumes dos para-

lelepípedos cujas bases são os sub-retângulosRij e cujas alturas correspondentes são os va-lores f(ξi,ηj). Quando Δx → 0 e Δy → 0, essasoma vai-se aproximando mais e mais do quepodemos chamar o volume do sólido delimita-do pelo domínio D, pelo gráfico de f e pelasretas que passam pela fronteira de D e sãoparalelas ao eixo Oz. Podemos, pois, definir ovolume desse sólido como a integral em (1).

Fig. 6.2

Quando f for positiva em alguns pontos e ne-gativa em outros, a integral em (1) consistirá deduas partes: uma parcela positiva, igual ao vo-lume do sólido correspondente ao subconjun-to de D onde f é positiva, e uma parcela nega-tiva, igual, em valor absoluto, ao volume do só-lido correspondente ao subconjunto de D ondef é negativa.

A área de uma figura plana D, com fronteiraregular, é definida como sendo a integral dafunção f(x, y) = 1 em D, isto é,

A = ∫∫∫∫Ddxdy

Essa definição é perfeitamente natural, já queas somas de Riemann em (1), com f(x, y) = 1,são áreas de polígonos que vão “aproximando”mais e mais a figura D, à medida que Δx e Δytendem a zero (Figs. 6.3).

56


Figs 6.3

Como aplicação imediata da definição de área,podemos verificar que a área A da figura deli-mitada pelo gráfico de uma função f(x) ≥ 0, oeixo Ox e as retas x = a e x = b (Fig. 6.4) édada por

A = ∫b

af(x)dx

De fato, de acordo com a definição acima e (2)abaixo,

A = ∫∫∫∫Ddxdy =

Fig. 6.4

TEMA 02

INTEGRAIS REPETIDAS

Veremos que o cálculo das integrais duplasreduz-se ao cálculo de integrais simples, gra-ças a um teorema que se demonstra nos cur-sos de análise. Vamos considerar uma versãosimplificada desse teorema, suficiente para ospropósitos de nosso curso.

Vamos supor que o domínio d da função f con-sista dos pontos (x, y), com a ≤ x ≤ b e y1(x) ≤y ≤ y2(x), onde y = y1(x) e y = y2(x) sejamfunções contínuas no intervalo [a, b], comoilustra a fig. 6.5. Pode-se demonstrar, então,que a integral dupla de f sobre d é o resultadode duas integrações sucessivas:

(2)

Fig. 6.5

Podemos escrever a integral repetida dosegundo membro de (2) na forma

ou ainda

Quando f é positiva, a integração em y, queaparece no segundo membro de (2), represen-ta a área A(x) de uma seção do sólido delimita-do pelo domínio D, pela superfície z = f(x, y) epelas retas paralelas a Oz que passam pelafronteira de D. O produto A(x)dx representa o

57


volume de uma “fatia” desse sólido, como ilus-tra a Fig. 6.6. Quando integramos x, obtemos ovolume total do sólido.

Fig. 6.6

O resultado expresso em (2) pode ser formula-do trocando-se os papéis das variáveis x e y.Para isso, devemos supor que D possa serdescrito como o conjunto dos pontos (x, y)com c ≤ y ≤ d e x1(y) ≤ x2(y), onde x = x1(y) ex = x2(y) sejam funções contínuas no intervalo[c, d]. Então, a integral dupla da função f é oresultado de se integrar primeiro em x e depoisem y:

(3)

Observe-se que para a validade, tanto de (2)como de (3), devemos supor que f seja funçãocontínua no domínio D e que este inclui suafronteira, sendo, então, um conjunto compacto.

Exemplo 1Calcular a integral

, onde D é o domínio deli-

mitado pelas retas y = 0, x = e pela curva

y = (Fig. 6.7a)

Fig. 6.7 a

Integrando primeiro em y, de y = 0 a y =, obtemos:

∫∫∫∫D cos(y )dxdy

Em seguida integramos em x, de x = 0 a x = :

=

= = 1 –

Outro modo de calcular a integral consiste emintegrar primeiro em x e depois em y, comoilustra a Fig. 6.7 b

Fig.6.7 b

∫∫∫∫D cos(y )dxdy=

Esse procedimento não é bom porque estaúltima integral em x é bem mais complicada dese calcular (integral por partes).

Exemplo 2

Calcular a integral da função f(x, y) = x nodomínio D formado pelas retas y = 0, x + y = 2 e a parábola x = y2 (Fig.6.8).

Nesse caso, é conveniente integrar primeiro emrelação a x:

=

=

=

58


=

Fig.6.8

Observação:

Poderíamos começar integrando primeiro emy, mas é um modo mais difícil. É mais interes-sante descobrir o modo mais fácil de resolver aintegral dupla, ou começando por x ou por y,depende de cada caso.

Exemplo 3

Integrar uma função f(t), entre t = 0 e t = x, nvezes é mostrar que o resultado pode ser ex-presso com uma única integração. Vamos es-crever

F0(x)= ∫∫ x

0f(t)dt1, F1(x) = ∫∫ x

0F0(t)dt1,F2(x) = ∫∫

x

0F1(t)dt, .........,

Fn(x) = ∫∫x

0Fn – 1(t)dt

Note-se que

F1(x) = ∫∫ x

0 ds ∫∫ s

0 f(t)dt = ∫∫∫∫Df(t)dtds, onde D é otriângulo, no plano t, s, delimitado pelas retast = s, t = 0 e s = x.

Integrando primeiro em s, depois em t, obte-mos:

F1(x) = ∫∫ x

0 f(t)dt ∫∫ x

1 ds = ∫∫ x

0 f(t)(x – 1)dt, usandoesse resultado, podemos calcular F2(x) demaneira análoga:

.

Com esse resultado, podemos calcular F3(x)pelo mesmo método de trocar a ordem das in-tegrações:

.

É claro que continuando essas integraçõesvamos encontrar, sucessivamente,

,..............,

, Fn(x) é o resultado de inte-

grar f(t)n + 1 vezes entre 0 e x. Como vimos,nos exemplos anteriores, a escolha da ordemde integração no cálculo de uma integral duplaé ditada pela conveniência em cada caso.

1. Em cada um dos exercícios, de a a g, são da-dos um domínio D e uma função f. Calcule aintegral dupla de f sobre D em cada caso.

a) D é o quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ef(x,y) = x2 + y2

b) D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ y ≤ 1} e f(x, y) = x2y

c) D é o quadrado de vértices (±1,0) e (0,±1), ef(x, y) = x.ey

d) D é o domínio delimitado pelas retas x = y,x = –1 e y = 1, e f(x, y) = x.y

e) D é o semicírculo x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0 ef(x, y) = x

f) D é o domínio delimitado pela parábola y = x2, pelo eixo Ox e pela reta x =1 e f(x, y) = x.ey

g. D é o domínio delimitado pela parábola

y = x2, o eixo Oy e a reta y = e

f(x, y) =

2. Calcule a integral dupla ∫∫R∫∫(2x – 3y)dA se R é aregião que consiste de todos os pontos (x, y),tais que –1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3

3. Encontre o volume do sólido limitado pela su-

59


perfície f(x, y) = 4 – os planos

x = 3 e y = 2 e os três planos coordenados.

4. Encontre, por integração dupla, a área da re-gião no plano xy, limitado pelas curvas y = x2

e y = 4x – x2.5. Determine o valor da integral dupla

.

6. Encontre o valor da integral ∫∫R∫∫sen xdA, R é a

região limitada pelas retas y = 2x, y = , e

x = π.

7. Encontre o volume do sólido abaixo do planoz = 4x , e acima da circunferência x2 + y2 = 16no plano xy.

Propriedades da Integral Dupla

Vamos relacionar aqui várias propriedades dasintegrais duplas, que são comuns às integraissimples. A linearidade da integral expressa-sepor meio das seguintes equações:

1. ∫∫∫∫Dc.f(x,y)dxdy = c∫∫∫∫Df(x,y)dxdy,

2. ∫∫∫∫D[f(x,y) + g(x,y)]dxdy

= ∫∫∫∫Df(x,y)dxdy + ∫∫∫∫Dg(x,y)dxdy,

onde c é constante, f e g são funções con-tínuas num domínio compacto D com fron-teira regular. Se D = D1∪D2, onde D1 e D2

são domínios disjuntos ou só têm emcomum um número finito de arcos regu-lares, então

3. ∫∫∫∫D1∪D2f(x,y)dxdy

= ∫∫∫∫D1f(x,y)dxdy + ∫∫∫∫D2f(x,y)dxdy

TEMA 03

INTEGRAIS TRIPLAS

A extensão da integral dupla à integral tripla éanáloga à extensão da integral simples à inte-gral dupla. O tipo mais simples de região emR3 é um paralelepípedo retangular, limitado pe-los seis planos: x = a1

x = a2

y = b1

y = b2

z = c1

z = c2

com a1< a2 , b1< b2 e c1< c2.

Seja f uma função de três variáveis e supo-nhamos que f seja contínua em tal região D.Uma partição dessa região é formada dividindoD em sub-regiões retangulares traçando pla-nos paralelos aos planos coordenados. Deno-temos tal partição por Δ e suponhamos que nseja o número de sub-regiões. Seja ΔiV a medi-da do volume da i-ésima sub-região. Escolhe-mos um ponto arbitrário (ξi,γi,μi) na i-ésima sub-região. Formamos a soma:

(1)

A norma ||Δ|| da partição é o comprimento damaior diagonal das sub-regiões. As somas daforma (1) terão um limite quando a norma da par-tição tender a zero, para qualquer escolha dospontos (ξi,γi,μi), se f for contínua em D. Denomina-mos esse limite de integral tripla de f em D eescrevemos:

=

Assim, a integral tripla é igual a uma integraliterada-tripla. Quando D é o paralelepípedo re-tangular descrito anteriormente e f é contínuaem D, temos

Exemplo 1

Calcule a integral tripla

60


se D é o paralelepípedo re-

tangular limitado pelos planos x = π, y = ,

z = e os planos coordenados.

Solução:

=

=

=

= =

=

=

Agora, discutiremos como definir a integral tri-

pla de uma função contínua de três variáveis

numa região em R3, diferente de um paralelepí-

pedo retangular. Seja D a região tridimensional

fechada, limitada pelos planos x= a e x = b,

pelos cilindros y = φ1(x) e y = φ2(x) e pelas

superfícies z = F1(x,y) e z = F2(x,y), onde as

funções φ1, φ2, F1, F2 são curvas (têm derivadas

ou derivadas parciais contínuas). Veja Fig. 7.0.

Fig.7.0

Construímos planos paralelos aos planos coor-denados, formando um conjunto de paralelepí-pedos retangulares que cobrem completamen-te D. Os paralelepípedos que estão totalmentedentro de D ou na fronteira de D formam umapartição Δ de D. Escolhemos um sistema denumeração de tal forma que sejam numeradosde 1 a n. A norma ||Δ|| dessa partição de D éo comprimento da maior diagonal de qualquerparalelepípedo que pertence à partição. SejaΔiV a medida do volume do i-ésimo paralele-pípedo. Seja f uma função de três variáveis,que é contínua em D e seja (ξi, γi, μi) um pontoarbitrário no i-ésimo paralelepípedo. Formandoa soma

(2)

Se as somas da forma (2) têm um limite quan-do ||Δ|| tende a zero, e se esse limite é inde-pendente da escolha dos planos que formam apartição e as escolhas dos pontos arbitrários(ξi, γi, μi) em cada paralelepípedo, então esselimite é chamado a integral tripla de f em D, eescrevemos:

= (3)

Em cálculo avançado, podemos demonstrarque uma condição suficiente para que o limiteem (3) exista é que f seja contínua em D. Alémdisso, sob a condição imposta sobre funçõesφ1, φ2, F1, F2 de que sejam suaves, também po-demos dizer que a integral tripla pode ser cal-culada por meio da integral iterada

Assim como a integral dupla pode ser interpre-tada como a medida da área de uma regiãoplana quando f(x, y) =1 em R1, a integral triplapode ser interpretada como a medida do vo-lume de uma região tridimensional. Se f(x, y, z)= 1 em D , então a Eq. (3) transforma-se em

e a integral tripla é a medi-

da do volume da região D.

Exemplo 2

Encontre o volume do sólido limitado pelo cilin-

61


dro x2 + y2 = 25, o plano x + y + z = 8 e oplano xy.

Solução:

Os limites de z para a integral iterada são de 0a 8 – x – y (o valor de z no plano). Os limitesde y são obtidos da fronteira da região noplano xy, que é a circunferência x2 + y2 = 25.Então, os limites de y são de– . Os limites de x são de–5 a 5. Se V unidades cúbicas é o volumeprocurado, temos:

V =

=

=

=

= 200π, portanto o volume é 200π unidadescúbicas.

Exemplo 3

Encontre a massa do sólido acima do plano xylimitado pelo cone 9x2 + z2 = y2 e o plano y = 9 se a medida da densidade do volume emqualquer ponto(x, y, z) no sólido é proporcionalà medida da distância do ponto ao plano xy.

Solução:

Seja M quilogramas a massa do sólido e seja adistância medida em metros. Então, a densi-dade do volume em qualquer ponto (x, y, z) nosólido é kz kg/m3, em que k é uma constante.Assim, se (ξi, γi, μi) é qualquer ponto no i-ésimo paralelepípedo retangular da partição,temos:

, portanto a massa é

1. Calcule a integral iterada:

a)

b)

2. Calcule a integral tripla de se D é a re-

gião limitada pelo tetraedro formado pelo pla-no 12x + 20y + 15z = 60 e os planos coorde-nados.

3. Calcule a integral tripla de se D é a

região limitada pelo tetraedro com vértices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 0) e (1, 0, 1).

4. Calcule a integral tripla de (xz + 3z)dV se D

é a região limitada pelo cilindro x2 + z2 = 9 eos planos x + y =3, e z = 0 e y = 0 acima doplano xy.

5. Calcule as integrais repetidas abaixo:

a)

b)

c)

Calcule a integral de f sobre o domínio D emcada um dos Exercícios de 6 a 8. Sempre quepossível, esboce o domínio D.

62


6. f (x, y, z) = x.y2z3, D: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1

7. f (x , y, z) = x + y + z e D é o tetraedro delimi-tado pelos planos de coordenadas e pelo pla-no x + y + z + 1 = 0.

8. f (x, y, z) = (x + y + z + 2)–3 e D é o tetrae-dro delimitado pelos planos de coordenadas epelo plano x – y + z = 1.

Nos Exercícios 9 e 10, calcule, por integraçãotripla, o volume do sólido dado.

9. Sólido delimitado pelos planos x = 0, y = 0,z = x e pela superfície cilíndrica z = 1 – y2.

10. Sólido delimitado pelos planos z = 0, z = 5 + x + y e pelas superfícies cilín-dricas y2 = x e y2 = 1.

11. Usando integração tripla, encontre o volume dosólido no primeiro octante limitado inferiormen-te pelo plano xy, acima pelo plano z = y e la-teralmente pelo cilindro y2 = x e o plano x = 1.

12. Encontre o volume do sólido no primeiro oc-tante limitado pelos cilindros x2 + y2 = 4 e x2+ 2z = 4 e pelos três planoscoordenados.

13. Encontre o volume do sólido limitado peloparabolóide elíptico 3x2 + y2 = z e abaixo docilindro x2+ z = 4.

14. Encontre o volume do sólido limitado pelo elip-

sóide .

15. Determine a massa do sólido limitado peloscilindros x = z2 e y = x2 , e os planos x = 1,y = 0 e z = 0. A densidade de volume variacom o produto das distâncias aos três planoscoordenados e é medida em kg/m2.

16. Calcule a massa do sólido limitado pela su-perfície z = x.y e pelos planos x = 1, y = 1 ez = 0. A densidade de volume em qualquerponto é ρkg/m3 e .

17. Determine, por integração tripla, o volume dosólido formado pela intersecção da esfera x2 + y2 + z2 ≤ 6 com o parabolóide z ≥ x2 + y2.

TEMA 04

MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAISDUPLAS

Seja f uma função contínua num domínio com-pacto D, com fronteira regular. Vamos suporque D seja dividido em n subdomínios D1,D2,........,Dn. Por meio de um número finito dearcos regulares, como ilustra a Fig. 1. Em cadaum dos subdomínios Di, escolhemos um pontoarbitrário Pi e formamos a soma

Onde A(Di) representa a área do subdomínioDi. Em seguida, consideramos toda uma se-qüência de divisões do domínio D, a cada umadas quais associamos uma soma Sn da manei-ra descrita acima. Seja dn o maior dos diâme-tros dos subdomínios D1, D2,........,Dn da divi-são que fornece a soma Sn. Vamos supor queà medida que n cresce, tendendo a infinito, odiâmetro máximo dn tende a zero. Então, a so-ma Sn tende à integral de f sobre D. Não nosvamos ocupar da demonstração desse resulta-do: vamos apenas usá-lo em várias aplicações.

•• Coordenadas Polares

Como primeira aplicação do resultado anterior,vamos considerar a integração de uma funçãof em coordenadas polares r e θ. Vamos supor fjá expressa como função de r e θ, num domínioD, dado na forma

r1(θ) ≤ r ≤ r2(θ), α ≤ θ ≤ β

63


Nesse caso, é conveniente dividir o domínio Dem subdomínios Di pelos círculos R = const. eas retas θ = const. Dessa maneira, a área deDié aproximadamente dada por

A(Di) ≅ Δ ∼ r(rΔθ)

Já que Δr e r Δθ são os lados AB e AC de D(Fig. 2). Com esse valor de A(Di), a soma Sn emFig.1

é aproximadamente igual a

Quando passamos ao limite, com n → ∞, essasoma deve convergir para a integral repetida

(a)

Isso, de fato, ocorre, e essa integral é igual àintegral dupla de f sobre D:

.

Uma demonstração rigorosa desse resultado éfeita nos cursos de Análise e está fora dosobjetivos do nosso curso.

Exemplo 1

Vamos calcular a integral de f(x, y) =no círculo x2 + y2 ≤ R2. Seria muito trabalhosoefetuar essa integração em coordenadas carte-sianas. No entanto o cálculo é imediato emcoordenadas polares, pois r = , logo:

=

=

= =

•• Mudança Geral de Variáveis

Vamos considerar, agora, o problema geral demudança de variáveis numa integral dupla,

∫∫∫∫Df(x,y)dxdy (1)

Vamos supor que o domínio D do plano x, yseja transformado num domínio D’ do plano u,v por uma aplicação biunívoca dada pelasequações de transformação

x = x(u, v) y = y(u, v)

Supomos ainda que essas funções sejam con-tínuas, com derivadas contínuas e jacobianodiferente de zero em D’:

Vamos imaginar, no cálculo integral (1), que odomínio D seja dividido em subdomínios pelascurvas u = const. E v = const.. Um subconjun-to Di dessa divisão será delimitado pelas curvasu = u0 , u = u0 + Δu, v = v0 e v = v0 + Δv. Vamosfazer um cálculo aproximado de sua área, con-siderando valores pequenos de Δu e Δv.

Sejam

P = P(u, v) = (x(x, v), y(u, v)) e

P0 = (x0, y0) = (x(u0, v0), y(u0, v0))

Aproximaremos a área de Di pela do paralelo-

gramo, cujos lados são os vetores e

. Note-se que esses vetores são tan-

gentes, no ponto P0, às curvas v = v0 e u = u0, respectivamente. Essa área é o módu-lo do produto vetorial desses vetores:

(2)

Isso sugere que a integral dupla em (1) sejadada pela integral dupla de f|j| sobre D’, isto é,

∫∫∫∫Df(x,y)dxdy = ∫∫∫∫Df[x(u,v), y(u,v)]|j|dudv (3)

De fato, essa fórmula é correta. Não vamos de-monstrá-la aqui, mas apenas nos contentarcom o argumento heurístico que demos acima.Esse argumento sugere ainda que o módulodo jacobiano é o limite das áreas de Di e dosubdomínio correspondente D’i do plano u, v,quando Δu e Δv tendem a zero:

(4)

Esse resultado também é verdadeiro e podeser demonstrado com auxílio do teorema daMédia( veja exercício adiante). O sinal do jaco-biano, por sua vez, está ligado às orientaçõesdos domínios D e D’: se J>0, então quando umponto P percorre a fronteira de D no sentido

64


anti-horário, sua imagem Q percorre a fronteirade D’ no mesmo sentido anti-horário; mas sej<0, então enquanto P percorre o contorno deD no sentido anti-horário, Q estará descreven-do a fronteira de D’ no sentido horário.

Exemplo 2

Note-se que, na integral (a), o fator r queaparece no integrando é precisamente o jaco-biano da transformação

x = r.cosθ, y = r.senθ:

Esse resultado está de acordo com a fórmulageral (3).

Exemplo 3

Para calcular a integral

,

D = {(x, y):

Primeiro, fazemos a mudança de coordenadasx = au, y = bv.

Em conseqüência,

I = a.b∫∫∫∫u2 + v2 ≤ 1(u2 + v2)dudv

Em seguida, introduzimos coordenadas pola-res: u = r.cosθ, v = r.senθ, logo

Nos exercícios de 1 a 5, use coordenadaspolares para calcular as integrais indicadas.

1. ∫∫∫∫x2 + y2 < R2 dxdy

2. ∫∫∫∫x2 + y2 < R2 e–x2–y2dxdy

3. ∫∫∫∫Dxydxdy, D: 0 ≤ y ≤ x ≤ 1

4. ∫∫∫∫Dxydxdy, D: a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2, x ≥ 0, y ≥ 0

5. ∫∫∫∫Dxydxdy, D:

TEMA 05

A PLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA E TRIPLA

Veremos, agora, diversas aplicações práticascom integrais duplas e triplas. Aplicações querevolucionaram em muito o cálculo e outrasciências como a engenharia, a arquitetura, afísica, etc.

•• Centro de Massa e Momento de Inércia

Usamos integrais simples para encontrar o cen-tro de massa de uma lâmina homogênea. Aousarmos integrais simples, podemos conside-rar apenas lâminas de densidade de área cons-tante (exceto em casos especiais). Mas, comintegrais duplas, podemos encontrar o centrode massa de uma lâmina homogênea ou nãohomogênea.

Suponhamos uma lâmina com a forma de umaregião fechada R no plano xy. Seja ρ(x,y) amedida da densidade de área da lâmina emum ponto qualquer (x, y) de R, onde ρ é con-tínua em R. Seja Δ uma partição de R em nretângulos. Se (ξi,γi) é um ponto qualquer no i-ésimo retângulo que tem uma área de medidaΔiA, então uma aproximação da medida damassa do i-ésimo retângulo é dada por ρ(ξi,γi)ΔiA, e a medida da massa total da lâmina éaproximada por:

ρ(ξi,γi)ΔiA

Tomando o limite da soma acima quando anorma de Δ aproxima-se de zero, expressamosa medida M da massa da lâmina por

M = (1)

A medida do momento de massa do i-ésimoretângulo em relação ao eixo x é aproximadapor γiρ(ξi,γi)ΔiA. Então, a soma das medidas dosmomentos de massa dos n-retângulos em re-lação ao eixo x será aproximada pela soma den tais termos. A medida Mx do momento demassa em relação ao eixo x da lâmina inteira édada por

(2)

65

Analogamente, a medida My de seu momentode massa em relação ao eixo y é dada por

(3)

O centro de massa da lâmina é denotado pelo

ponto (x–,–y) e e .

Exemplo 1

Uma lâmina na forma de um triângulo isósce-les tem uma densidade de área que varia como quadrado da distância do vértice do ânguloreto. Se a massa é medida em kg e a distânciaem metros, encontre a massa e o centro demassa da lâmina.

Solução:

Escolhemos os eixos coordenados de tal for-ma que o vértice do ângulo reto na origem e oslados de comprimento a metros do triânguloestejam ao longo dos eixos coordenados (vejaFig. anterior). Seja ρ(x,y) o número de kg/m2 dadensidade da lâmina no ponto (x, y). Então,ρ(x,y) = k.(x2 + y2), onde k é uma constante.Portanto, se M kg é a massa da lâmina, da fór-mula (1) temos:

= k ∫∫∫∫R(x2 + y2)dA

=

Para encontrar o centro de massa, observemosque, devido à simetria, esse deve estar na retay = x. Portanto, se encontramos –x, teremostambém –y. Usando a fórmula (3), temos

= k∫∫R∫∫ x . (x2 + y2)dA

Como M–x = My, temos M=x ; e como

M = obtemos . Portanto o centro

de massa está no ponto .

O momento de inércia de uma partícula, cujamassa é mkg, em relação a um eixo, define-secomo mr2kg – m2, em que r m é a distânciaperpendicular da partícula ao eixo.

Se temos um sistema de n partículas, o mo-mento de inércia do sistema define-se como asoma dos momentos de inércia de todas aspartículas. Isto é, se a i-ésima partícula temuma massa de mikg e está a uma distância deγi m do eixo, então I kg-m2 é o momento deinércia do sistema, onde

(4)

Estendendo esse conceito de momento deinércia a uma distribuição contínua de massaem um plano, tal como barras ou lâminas, porprocessos semelhantes aos usados anterior-mente, temos a definição abaixo.

Suponhamos uma dada distribuição contínua


66


de massa que ocupou uma região R no planoxy, e consideremos que a medida da densi-dade de área dessa distribuição no ponto (x, y)seja ρ(x,y)kg–m2 onde ρ é contínua em R.Então, o momento de inércia Ix kg-m2 em rela-ção ao eixo x dessa distribuição de massa édeterminado por:

(5)

Analogamente, a medida Iy do momento deinércia em relação ao eixo y é dada por:

(6)

E a medida I0 do momento de inércia em rela-ção à origem ou ao eixo z, é dada por:

=

∫∫R∫∫(x2 + y2)ρ(x,y)dA

(7)

O número I0 da fórmula (7) é a medida do quedenominamos o momento polar de inércia.

Exemplo 2

Uma lâmina retangular tem uma densidade deárea constante de ρkg/m2. Encontre o momen-to de inércia da lâmina em relação a um canto.

Solução:

Suponhamos que a lâmina seja limitada pelasretas x= a, y = b, o eixo x e o eixo y. Veja aFig. acima. Se I0 kg-m2 é o momento de inér-cia em relação à origem, então,

= ∫∫R∫∫ρ(x2 + y2)dA

=

=

O momento de inércia, é, então,

kg–m2

Consideremos que a massa total M kg de umalâmina esteja concentrada em um ponto; istoé, suponhamos que uma partícula nesse pontotenha a mesma massa M kg que a lâmina.Então, se essa partícula está a uma distância rm do eixo dado L, o momento de inércia emrelação a L dessa partícula é Mr2kg-m2. Onúmero r é a medida do raio de giração da lâ-mina dada em relação a L. Temos a definição:

Se I é o momento de inércia em relação a umeixo L de uma distribuição de massa em umplano, e M é a medida da massa total da dis-tribuição, então o raio de giração da distribui-ção em relação a L tem medida r, onde

Exemplo 3

Suponhamos que uma lâmina tenha a formade uma região limitada por uma semicircunfe-rência, e a medida da densidade de área dalâmina em um ponto qualquer seja propor-cional à medida da distância do ponto aodiâmetro. Se a massa é medida em kg e a dis-tância em m, encontre o raio de giração dalâmina em relação ao eixo x.

= ∫∫R∫∫kydA

=

67

=

Se Ixkg–m2 é o momento de inércia da lâminaem relação ao eixo x, então

= ∫∫R∫∫ky3dy dx

=

Portanto, se r m é o raio de giração

e assim . O raio de giração, então é

m.

Nos Exercícios de 1 a 5, encontre a massa e ocentro de massa da lâmina dada, conforme adensidade da área for indicada. A massa émedida em kg; a distância, em m.

1. Uma lâmina na forma da região retangular li-

mitada pelas retas x = 3 e y = 2 e os eixoscoordenados. A densidade de área em umponto qualquer é xy2kg-m2.

2. Uma lâmina na forma da região limitada pelaparábola x2 = 8y, a reta y = 2 e o eixo y. Adensidade de área varia com a distância à retay = –1.

3. Uma lâmina na forma da região no primeiroquadrante limitada pela circunferência x2 + y2 = a2 e os eixos coordenados. A densi-dade de área varia com a soma das distânciasaos dois lados retos.

4. Uma lâmina na forma da região limitada pelacurva y = sen x e o eixo x de x = 0 a x = π.A densidade de área varia com a distância aoeixo x.

5. Uma lâmina na forma da região no primeiro qua-drante limitada pela circunferência x2 + y2 = 4, ea reta x+y = 2. A densidade de área em umponto qualquer é xy kg/m2.

Nos Exercícios de 6 a 7, encontre o momento deinércia da lâmina homogênea dada em relaçãoao eixo indicado se a densidade da área éρkg/m2 e a distância é medida em metros.

6. Uma lâmina na forma da região limitada por 4y= 3x, x = 4 e o eixo x; em relação ao eixo y.

7. Uma lâmina na forma da região limitada poruma circunferência de raio a unidades; em re-lação a seu centro.

8. Uma lâmina homogênea de área de densidadeρkg-m2 tem a forma da região limitada por umtriângulo isósceles, que tem uma base de com-primento b m e uma altura de comprimento hm. Encontre o raio de giração da lâmina emrelação à sua reta de simetria.


Centro de Massa e Momento de Inércia (outras considerações)

Seja ρ a densidade de massa de um corpo queocupa um domínio D do espaço. O centro demassa desse corpo é definido como sendo oponto C = (x0,y0,z0) tal que

,

(1)

onde M é a massa total do corpo.

Para bem compreender o significado dessadefinição, devemos notar que xρdV é o produ-to da massa elementar dm = ρdV por sua dis-tância x ao plano Oyz (Fig. 1).Esse produto échamado o momento de massa em relação aoplano Oyz. A primeira integral em (1) é a somados momentos de todas as massas elemen-tares dm ou momento total em relação aoplano Oyz. Do mesmo modo, a segunda e aterceira integrais são momentos totais emrelação aos planos Oxz e Oyz, respectiva-mente. O que as Equações (1) nos dizem éque ao três momentos referidos são, respecti-vamente, iguais aos momentos Mx0, My0 e Mz0

da massa total M, concentrada no centro demassa C. Em outras palavras, os momentos demassa são os mesmos que se obtêm como setoda a massa estivesse concentrada no centrode massa.

As Equações (1) podem ser escritas na formacompacta:

(2)

Onde R = C = (x0,y0,z0) e r = (x, y, z). A inte-gral que aí aparece é o vetor cujas compo-nentes são as integrais das componentes dovetor ρr = (ρx, ρy, ρz). Naturalmente, se a ori-gem do sistema de coordenadas coincidir como centro de massa, R será zero e

∫∫∫∫∫∫DρrdV

Vamos supor que a massa esteja distribuída so-bre uma lâmina de espessura h, disposta sobreo plano x, y e que ρ seja independente de z: ρ =ρ(x,y). Nesse caso, é conveniente introduzir adensidade superficial de massa σ = ρh. Em con-

seqüência, a massa contida num elemento devolume dV = h.dx.dy será dada por

ρdV = ρhdxdy = σdxdy

e a massa total do domínio D do plano será

∫∫∫∫Dσdxdy

As coordenadas do centro de massa C = (x0,y0)serão agora dadas por

e (3)

O centro de massa de um corpo é chamadocentróide ou centro geométrico quando suamassa estiver homogeneamente distribuída,isto é, quando ρ for constante. Nesse caso, afórmula (3) reduz-se a

onde V é o volume de D; e as fórmulas (3)ficam sendo Ax0 = ∫∫∫∫Dxdxdy e Ay0 = ∫∫∫∫Dydxdyonde A é a área de D.

Para introduzir a noção de momento de inércia,vamos considerar um corpo D em rotação emtorno de um eixo L, com velocidade angular ω(Fig.1).

Fig. 1

Então, cada elemento de massa dm = ρdV, auma distância r do eixo, terá velocidade esca-lar ωr, portanto sua energia cinética será

A energia cinética total, Eer, devida à rotação,será a soma de todos esses elementos, isto é,

68


69

Essa última integral é, por definição, o momen-to de inércia I do corpo em relação ao eixo L:

I = ∫∫∫∫∫∫Dr2ρdV (4)

Em termos do momento de inércia, a energiacinética de um corpo em rotação assume a

forma . Note-se que essa energia é

diretamente proporcional ao momento de inér-cia. Quanto maior o momento de inércia, tantomaior será a energia necessária para colocar ocorpo em rotação ou para pará-lo.

A integral (4) mostra-nos que o momento deinércia I será tanto maior quanto mais afastadado eixo L estiver a massa do corpo, como ocor-re nos volantes ou reguladores de velocidade.Observe também a analogia entre a expressãoda energia cinética de rotação e a energia ciné-tica de um corpo de massa m em translação

com velocidade r: .

Vemos que a massa m desempenha aqui pa-pel análogo ao do momento de inércia no casode uma rotação.

No caso de uma lâmina D disposta sobre o pla-no x, y, com densidade superficial de massa σ,o momento de inércia em relação a um eixo L,perpendicular ao plano, é dado por

I = ∫∫Dr2σdxdy

Onde r é a distância do elemento de massa σdxdy ao eixo L.

Exemplo 1

•• Área de uma superfície

A integral dupla pode ser utilizada para sedeterminar a área da porção da superfície z = f(x,y), situada sobre uma região fechada Rno plano xy. Para mostrar isso, devemos, ini-cialmente, definir o que significa a medida des-sa área e depois obter uma fórmula para cal-culá-la. Suponhamos que f e suas derivadasparciais primeiras sejam contínuas em R e su-ponhamos também que f(x, y) > 0 em R. SejaΔ uma partição de R em n sub-regiões retangu-lares. O i-ésimo retângulo tem dimensões demedidas Δix e Δiy e uma área de medida ΔiA.Seja (ξi,γi) um ponto qualquer no i-ésimo retân-gulo, e o ponto Q (ξi,γi,f(ξi,γi)) na superfície.Consideremos o plano tangente à superfície.Projetamos verticalmente para cima o i-ésimoretângulo sobre o plano tangente, e seja Δiσ amedida da área desta projeção. A Fig. 1 mostraa região R, a porção da superfície sobre R, a i-ésima sub-região retangular de R e a projeçãodo i-ésimo retângulo sobre o plano tangente àsuperfície em Q. O número Δiσ é uma aproxi-mação da medida da área da parte da superfí-cie que está sobre o i-ésimo retângulo. Comotemos n dessas partes, a soma

é uma aproximação da medida σ da área daporção da superfície que está sobre R. Isso nosleva a definir σ como:

(1)

Fig. 1


70


Agora, precisamos obter uma fórmula para cal-cular o limite da Eq.(1). Para isso, encontramosuma fórmula para calcular Δiσ como a medidada área de um paralelogramo. Para simplificaro cálculo, tomamos o ponto (ξi,γi) no i-ésimoretângulo, no vértice (xi–1,yi–1). Sejam A e B ve-tores que têm como representantes os seg-mentos de reta orientados com pontos iniciaisem Q e que formam os dois lados adjacentesdo paralelogramo, cuja área tem Δiσ de medida(veja Fig.2).

Fig.2

Então, Δiσ = |AXB|. Como

A = Δixi + fx(ξi,γi)Δixk e

B = Δiyj + fy(ξi,γi)Δiyk

Segue que

= –Δix Δiy fx(ξi,γi) i – Δix Δiy

fy(ξi,γi)j + Δix Δiyk

Portanto veja em (2) abaixo

Δiσ = |A x B| =

Substituindo a Eq. (2) em (1), temos

Esse limite é uma integral dupla que existe emR devido à continuidade de fx e fy que estásobre R,

(3)

Exemplo 1

Encontre a área da superfície do cilindrox2 + z2 = 16. Limitada pelos planos x = 0, x = 2, y = 0 e y = 3.

Solução:

A superfície é mostrada acima. A região R é oretângulo no primeiro quadrante do plano xy,limitado pelas retas x = 2 e y = 3 tem equaçãox2 + z = 16. Resolvendo para z, temos z = . Portanto, f(x, y) = .Assim, se σ é a medida da área da superfície,temos da equação (3)

= 2πunidades quadradas.

Exemplo 2

Encontre a área do parabolóide z = x2 + y2

limitado superiormente pelo plano z = 4.

71

Solução:

A figura acima mostra a superfície dada. Daequação do parabolóide, vemos que f(x, y) = x2 + y2. A região fechada no plano xylimitada pela circunferência x2 + y2 = 4 é aregião R. Se σ unidades quadradas é a áreadesejada, da equação (3), temos:

Como o integrando contém os termos 4(x2 + y2), o cálculo da integral dupla é simpli-ficado se usarmos coordenadas polares. Então,x2 + y2 = r2 e dxdy = dA = r dr dθ. Além disso,r varia de 0 a 2 e θ de 0 a 2π. Temos, então,

, portanto esta é a área em uni-

dades quadradas.

Exemplo 3

Encontre a área da metade superior da esferax2 + y2 + z2 = a2.

Solução:

O hemisfério é mostrado acima. Resolvendo aequação da esfera para z e colocando esseigual a f(x, y), obtemos:

F(x, y) =

Como fx(x,y) = –x/ , e

fy(x,y) = –y/ , notamos que fx e fy

não são definidos na circunferência x2 + y2 = a2, que é a fronteira da região R noplano xy. Além disso, a integral dupla obtida naEq. (3) é

,

que é imprópria, pois o integrando tem umadescontinuidade infinita em cada ponto dafronteira de R. Podemos resolver essa situaçãoconsiderando a região R’ como a limitada pelacircunferência x2 + y2 = b2,onde b< a, toman-do depois o limite, b → a–. Além disso, o cálcu-lo é simplificado se a integral dupla for calcula-da por uma integral iterada e se usarmos coor-denadas polares. Então, temos

= 2πa2, que é a área do hemisfério em unida-des quadradas.


1. Encontre a área da superfície formada pela in-tersecção dos planos, x = 0, x = 1, y = 0, y =1,com o plano 2x + y + z = 4.

2. Encontre a área da superfície no primeiro oc-tante delimitada pelo cilindro x + y = 9 e oplano x = z.

3. Determine a área da porção da superfície daesfera x2 + y2 + z2 = 4x recortada por umafolha do cone y2 + z2 = x2.

4. Determine a área da porção de superfície daesfera x2 + y2 + z2 = 4z, interior ao parabolóidex2 + y2 = 3z.

5. O segmento de reta da origem ao ponto (a, b)gira em torno do eixo x. Encontre a área dasuperfície do cone gerado.

6. Encontre a área da porção do plano x = z queestá compreendida entre os planos y = 0 e y = 6e interior ao hiperbolóide 9x2 – 4y2 + 16z2 = 144.

72


UNIDADE VTeorema de Green

75

Cálculo II – Teorema de Green

TEOREMA DE GREEN

George Green, matemático e físico inglês, compouca formação básica, foi quem desenvolveuo Teorema de Green. Em 1828, Green publicouseu trabalho An Essay on the Application ofMathematical Analysis to the Theories ofElectricity and Magnetism (um ensaio sobre aaplicação da análise matemática e as teoriasde eletricidade e magnetismo). Nesse trabalho,o teorema foi utilizado, mas passou desperce-bido pela pequena tiragem do trabalho. Pos-teriormente, Green procurou a formação supe-rior e, após anos de estudos autodidáticos, en-trou na Universidade de Caius, em Cambridge.Formou-se em quatro anos, com desempenhodesapontador, possivelmente por estar engaja-do em sua pesquisa. Publicou trabalhos sobreluz e som, e morreu em 1844.

Quatro anos depois, seus trabalhos iniciais fo-ram novamente publicados, sendo, então, con-siderados de imensa importância para teoriasmodernas de eletricidade e magnetismo.

Seja U um aberto de R2 e r→

: [a,b] → U um cam-inho seccionalmente C1, fechado e simples, istoé r

→, não se auto-intersecta, exceto nas extremi-

dades. Seja A a região interior a Γ = r→

([a,b]) –parte da dificuldade na formalização da versãomais geral do Teorema de Green deve-se aofato de ser difícil definir com rigor o “interior” deuma curva fechada. Outra dificuldade reside nadefinição de “orientação” de um caminho.

Vamos resignar-nos à seguinte definição: dize-mos que o caminho fechado simples r

→ está ori-

entado no sentido positivo, se r→

percorre a cur-va Γ = r

→([a,b]), deixando à esquerda os pon-

tos do interior de Γ.

Teorema 1 (Teorema de Green).

Seja U um aberto de R2 e F→

= (F1, F2) um cam-po vetorial de classe C1 sobre U. Suponha-seque r

→ : [a,b] → U é um caminho fechado sim-

ples, seccionalmente C1, orientado no sentidopositivo. Seja A o interior de Γ = r

→([a,b]).

Temos então:

(1)

Pelas razões acima referidas, a prova desseteorema para o caso geral está longe de serrealizável no âmbito deste curso. Assim, vamosrestringir-nos a uma classe particular de regi-ões do plano:

Definição 1

Seja U ⊂ IR2 um aberto limitado. Diz-se que U éuma região regular se for, simultaneamente, x-regular e y-regular, isto é,

U = {(x,y)∈ 2: f1(x) < y < f2(x) e a < x < b}

e

U = {(x,y)∈ 2: h1(y) < x < h2(x) e c < y < d},

Com f1,f2,h1,h2 funções de classe C1.

Região x-regular.

Exemplo 1

Um intervalo I = ]a,b[X]c,d[ é uma região re-gular de R2.

76


Exemplo 2

Um círculo D ⊂ IR2, de raio R e centro emP0 = (x0,y0) é uma região regular.

Com efeito,

e

Vamos provar o Teorema de Green no caso emque A é uma região regular.

Nesse caso, a fronteira de A é a curva

Γ = Γ1∪Γ2∪Γ3∪Γ4, com

Γ1 = {(x,y) ∈ IR2 : a ≤ x ≤ b e y = f1(x)},

Γ2 = {(x,y) ∈ IR2 : x = b e f1(b) ≤ y ≤ f2(b)},

Γ3 = {(x,y) ∈ IR2 : a ≤ x ≤ b e y = f2(x)},

Γ4 = {(x,y) ∈ IR2 : x = a e f1(a) ≤ y ≤ f2(a)},

Para obtermos um caminho r→

para Γ orientadopositivamente, podemos considerar:

r→

1(t) = (t,f1(t)) t∈[a,b];

r→

2(t) = (b,t) t∈[f1(b), f2(b)];

r→

3(t) = (a + b – t, f2(a + b – t)) t∈[a,b];

r→

4(t) = (a, f1(a) + f2(a) – t) t∈[f1(a), f2(a)].

Assim,

por outro lado,

Do mesmo modo, uma vez que a região A tam-bém pode ser descrita por

A = {(x,y)∈ : h1(y) < x < h2(y) e c < y < d},

Temos:

e

Assim,

Exemplo 3

Seja Γ o quadrado de vértices em (0, 0), (2, 0),(2, 2) e (0, 2).

Seja F→

o campo vetorial dado por

F→

= (y2, x):

Aplicando o Teorema de Green, obtemos:

Exemplo 4

Seja A a região limitada pelas parábolasy = x2 e y = x2 + 2 para x > 0.

77


Seja F→

o campo vetorial dado por

F→

= (xy,x):Aplicando o Teorema de Green, obtemos:

Caso A1 e A2 sejam duas regiões do plano, talcomo ilustra a figura seguinte, onde se possaaplicar o Teorema de Green, vamos ver que afórmula (1) do Teorema de Green vale aindapara a união A = A1 ∪ A2.

Repare-se que A é interior à curva Γ = Γ1∪Γ2.

Para um dado campo vectorial F→

= (F1,F2), te-mos:

Somando as duas equações, obtemos a fórmu-la do Teorema de Green para a região A:

Essa discussão elucida-nos como tratar regi-ões que têm “buracos”.

Exemplo 5

Considere a coroa circular A = A1∪A2 da figuraseguinte.

Essa região não é o interior de uma curva sim-ples, mas sim a região limitida por duas curvassimples, a saber,

Γe = Γ1∪Γ4 e Γi = Γ2∪Γ3

Repare-se que a fronteira de A é

Γ = Γe∪Γi

Dado um campo vectorial F→

= (F1,F2), podemosaplicar o Teorema de Green para A1 e para A2 :

Somando, obtemos, mais uma vez, a fórmulado Teorema de Green:

Note-se que as orientações indicadas para Γe eΓi “deixam à esquerda os pontos de A".

Ainda em relação à figura anterior, suponha-seque as circunferências têm raios R1 = 1 e R2 = 2.Consideremos o campo vectorial F

→ = (y3, – x3).

Aplicando o Teorema de Green, obtemos:

78


Exemplo 6

Por meio do teorema de Green, calcule

, onde C é a curva fechada que

consiste nos gráficos de y = x2 e y = 2x entreos pontos (0,0) e (2,4).

Solução:

A figura abaixo exibe a região R delimitada porC. Aplicando o teorema de Green, temos:

Exemplo 7

Com o auxílio do teorema de Green, calcule a

integral curvilínea , onde

C é a elipse 4x2 + 9y2 = 36.

Solução:

A figura abaixo ilustra a região R delimitada porC. Aplicando o teorema de Green, temos

Exemplo 8

Com o auxílio do teorema de Green, calcule a in-

tegral curvilínea

se C é a fronteira da região delimitada pelosquartos de círculo de raios a e b e pelos seg-mentos dos eixos x e y, conforme figura a se-guir.

Solução:

Teorema

Se uma região R do plano-xy é delimitadanporuma curva fechada simples, parcialmente sua-ve C, então, a área A de R é

79


Exemplo 9

Use o teorema anterior para achar a área daelipse

Solução:

As equações paramétricas da elipse C são x = a cost, y = b sent; 0 ≤ t ≤ 2π.

1. Aplique o teorema de Green ao cálculo da inte-gral curvilínea.

a) C é a curva fecha-

da definida por y = x2 e y = –x.

b) C é o quadrado

de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1).

c) C é o círculo x2 + y2 = 1.

d) C é o triângulo de vér-

tices (1,1), (2,2) e (3,0).

e) C é a fronteira da

região entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.

2. Calcule a área das regiões delimitadas pelosgráficos das equações:

a) y = 4x2, y = 16x

b) y2 – x2 = 5, y = 3

c) C é a hipociclóide x = acos3 t, y = asen3 t;0 ≤ t ≤ 2π.

A INVENÇÃO DO PLANÍMETRO

Em 1854, o matemático suíço Jacob Amslerinventou um dispositivo mecânico capaz demedir a área de regiões planas limitadas. Naocasião (e até hoje) o instrumento foi enxerga-do com muito entusiasmo. Se considerarmos adificuldade de medir áreas de planos extrema-mente irregulares, teremos idéia do quão ino-vador foi o planímetro no século XIX.

Julgando o planímetro um instrumento bastan-te interessante, pensaremos um pouco mais arespeito do seu funcionamento. Mecanicamen-te, o instrumento tem uma construção muitosimples, possui dois braços de tamanho igualou não, comumente feitos de metal. Esses bra-ços são capazes de variar o ângulo entre eles,desde 0 a 180 graus.

Na extremidade de um dos braços, temos umaponta que pode ser fixada em superfícies pla-nas. Na outra ponta, temos uma rodinha quegira perpendicularmente ao braço na qual é fi-xada. Na ponta dessa rodinha, temos um conta-dor, que mede o número de voltas que ela dáquando a ponta móvel do instrumento desloca-se em uma superfície plana. Quando essa pontase desloca sobre uma curva plana fechada, ocontador indicará a área cercada pela curva.

Ao pensar em um instrumento tão simples, so-mos imediatamente induzidos a imaginar co-mo este pode executar cálculos que, em princí-pio, tem um grande grau de complexidade.

O Teorema de Green aliado ao Planímetro

O desenho seguinte esquematiza o funciona-mento de um planímetro. A área R a ser medi-da não deve conter a extremidade fixa do apa-relho, e percorreremos a curva C com a ex-tremidade móvel, sempre no sentido anti-horá-rio (por causa do marcador).

80


Para usar o Teorema de Green, precisamosdescrever o campo de direções definido peloinstrumento. Para tal, comecemos definindocoordenadas x e y. Como podemos fazer qual-quer escolha, coloquemos a origem na pontado planímetro que é fixada e, a partir dela, doiseixos perpendiculares x e y. Como a rodinhagira perpendicularmente ao braço no qual estáfixada, o campo F(x,y) definido pelo planímetroé perpendicular ao braço móvel, e podemossupor que tenha módulo 1.

Equação do Campo F(x,y)

Vamos considerar aqui que o planímetro temos dois braços com comprimento igual a r. Oprimeiro está centrado na origem escolhida(0,0); o segundo, em um ponto móvel (a,b).Chamemos de v

→ o vetor que define o braço

móvel do planímetro.

Temos v→

= (x – a, y – b) e um vetor perpendi-cular é

→w = (–(y – b), x – a). Como o braço tem

comprimento r, temos:

.

Assim, temos que nosso campo é:

Precisamos, agora, determinar a e b. Para isso,consideraremos a equação dos círculos quepodem ser descritos por cada um dos braçosdo planímetro:

Da segunda linha, temos que:

e logo

Substituindo na equação do círculo centradoem (0,0), e desenvolvendo, teremos:

4y2a2 + (x2 + y2)2 + 4x2a2 – 4xa(x2 + y2) = 4y2r2

4(x2 + y2)a2 – 4x(x2 + y2)a +(x2 + y2)2 – 4y2r2 = 0

Colocando (x2 + y2) = R2 temos:

e logo

ou seja,

A escolha do valor positivo de a implica sim-plesmente que o caminho a ser percorrido pelobraço do planímetro é o sentido anti-horário(sentido padrão de funcionamento). Com essevalor, o valor de b aparece, consequentemen-te, como sendo:

ou seja,

Agora, que calculamos os valores de a e de b

81


temos que o campo para o planímetro é:

Derivando ambas as equações, obtemos:

logo,

e

Assim, pelo Teorema de Green aplicado aoplanímetro, a constante que multiplica a áreasó depende do comprimento dos braços, ouseja

área cercada de C.

O QUE MEDE A INTEGRAL DE LINHA?

Tendo especificado que, para o campo geradopelo planímetro, e de acordo com o Teoremade Green, a integral de linha ∫∫Cf(x,y)dx +g(x,y)dy é igual a um múltiplo da área daregião delimitada pela curva C, torna-se neces-sário definir agora o que exatamente calcula aintegral de linha, e a relação desta com a medi-ção realizada pelo planímetro.

Para entender essa relação, analisaremos al-guns casos de interesse que possibilitarão es-sas definições.

Quando o campo é um campo de forças

Quando o campo é um campo de forças, temosque a integral de linha ∫∫Cf(x,y)dx + g(x,y)dy re-presenta o trabalho realizado pelo campo veto-rial F = (f, g) em uma partícula que se move aolongo da curva C.

Para ver isso, faremos uma breve introduçãoao cálculo do trabalho, desde situações maissimples, em que a força aplicada a uma partí-cula é constante e na direção e no sentido domovimento, até situações com mudanças cons-tantes na direção do movimento, na direção ena intensidade da força sobre a partícula.

Na situação mais simples, em que a força apli-cada a uma partícula é constante e na direçãoe no sentido do movimento, que se dá em linhareta, o trabalho é dado por W = F.(b – a), emque b – a é a distância percorrida pelo objetodurante a atuação da força, e F é o módulo daforça.

No caso em que a força não tem módulo cons-tante, podemos subdividir a distância percorri-da em intervalos de tamanhos Δx e supor quea força é constante em cada um dos pedaci-nhos. Assim, W = FiΔx e, tomando o limite

quando Δx tende a zero, teremos .

Podemos, então, mudar a direção da força atu-ante sobre o objeto. Se seu módulo e direçãoforem constantes, podemos determinar suacomponente na direção do movimento(|F|cosθ) e, assim, determinar o trabalho co-mo W = |F|cosθ(b – a).

No caso em que o módulo da força não é cons-tante, novamente torna-se necessária a inte-gração dessa força ao longo de toda a tra-

jetória e .

Também é possível fazer que a direção de atu-ação da força sobre a partícula varie durante atrajetória, além da variação já incluída domódulo da força.

82


Nesse caso, torna-se necessário definir um ve-tor v

→unitário, que representa a direção do

movimento do objeto.

O produto escalar do vetor força F pelo vetordireção v

→dá-nos o módulo da componente da

força na direção do movimento (|F|cosθ = F.v→

)uma vez que v

→é unitário. Integrando esse pro-

duto escalar por toda a trajetória, obtemos o

trabalho . Lembramos que, nesse ca-

so apenas o vetor F é variável, o vetor v→

é cons-tante. Finalmente, temos o caso em que, alémdo módulo e da direção da força sobre o obje-to serem variáveis, a direção do movimentotambém varia.

Para determinar o trabalho nessa situação, énecessário realizar uma parametrização dacurva por comprimento de arco. Também épreciso determinar um vetor unitário v

→que re-

presente a direção do movimento do objeto. Oproduto escalar dos vetores variáveis Força F edireção v

→terá como resultado o módulo da

componente da força na direção do movimen-to em cada ponto da trajetória. Integrando esseproduto escalar durante todo o comprimento

da curva, obtemos o trabalho .

Seja F = (f(x, y), g(x, y)). Como v→

é um vetortangente a uma trajetória curvilínea parame-trizada por comprimento de arco s, então

e

Assim, no caso em que o campo é um campo

de forças, a integral de linha calcula o trabalhorealizado para se mover sobre a curva C sob aação do campo. O planímetro, em princípio,não determina um campo de forças, e a inte-gral de linha, então, não calcula trabalho.

QUANDO O CAMPO É UM CAMPO QUALQUER

Se o campo é qualquer, a integral de linha nãocalcula o trabalho realizado ao se mover umponto sobre a curva C, mas o exemplo anteriormostra que a integral de linha de um campoqualquer F, ao longo de um curva C, mede aconcordância da circulação do campo F com aorientação da curva C, pois, se em um ponto Fnão tiver componente na direção de C, o valoracrescido por esse ponto na integral de linhaserá nulo, e se tiver componente nessa dire-ção, haverá um acréscimo na integral de linhade valor igual ao módulo dessa componentedo campo. Ela mede também a soma das pro-jeções da força na direção da curva.

Ora, dado um campo de vetores F = (f(x, y),g(x, y)), podemos procurar suas curvas inte-grais, isto é, as curvas que são sempre tan-gentes ao campo. Procuramos curvas (x(s),y(s)) tais que o vetor tangente

ou, na prática, procuramos soluções do sis-

tema de equações diferenciais e

. Se |F| = 1 então a curva sai para-

metrizada por comprimento de arco e F.v→

= 1.Assim, a integral de linha de um campo unitárioem cima de uma curva integral mede o compri-mento desta curva, pois

Relação entre a integral de linha e amedição realizada pelo Planímetro

As figuras a seguir, realizadas usando o soft-ware Maple, mostram o campo gerado peloPlanímetro, no primeiro quadrante, e algumascurvas integrais e ortogonais desse campo.

83


Traduzindo para o funcionamento físico do Pla-nímetro, quando este percorre uma curva inte-gral do campo, a rodinha fixada perpendicular-mente na extremidade do braço móvel, rodaperfeitamente livre. O contador acoplado aessa rodinha mede o número de voltas que eladá ao se deslocar sobre a curva. Seja k estamedida e d o diâmetro da rodinha. O compri-mento total da curva integral será então kπd.Chamando novamente de F = (f, g) o campoassociado ao Planímetro e de C a curva inte-gral, temos:

∫∫C f dx + g dy = comprimento de C = kπd

Quando o Planímetro percorre uma curva orto-gonal, a rodinha não roda nada; logo, o medi-dor acoplado na rodinha indicará zero, ou seja,o valor da integral de linha do campo sobre acurva ortogonal.

Assim, em qualquer um dos casos,

∫∫C fdx + g dy = kπd

em que k é o número medido pelo contadoracoplado à rodinha.

Qualquer curva fechada C, contida no primeiroquadrante, pode ser aproximada por vários seg-mentos de curvas integrais e ortogonais inter-caladas, que denotaremos por C1, C2, ...,Cn.

Então,

∫∫C f dx + g dy ≈ ∫∫C1 f dx + g dy +

+ ∫∫C2 f dx + g dy + ... + ∫∫Cn f dx + g dy

= (k1 + k2 + ... + kn)πd

em que k é o número dado pelo contador aopercorrermos a curva C.

Funcionamento do Planímetro

Chamemos de r o comprimento de cada braçodo Planímetro, d o diâmetro da rodinha coloca-da perpendicularmente ao braço móvel e de ko número dado pelo contador ao se percorrerC no sentido anti-horário. O campo determina-do pelo Planímetro é F = (f, g). Então

área cercada por C ou

seja:

Área cercada por

De todo o conteúdo colocado, podemos ver oquão interessante é esse instrumento que, ba-seado num teorema relativamente simples, temaplicações extensas e extremamente úteis naengenharia, na geologia, etc.

Respostas dos Exercícios

87

Cálculo II – Respostas dos exercícios

UNIDADE IFunções de várias variáveis

TEMA 01

INTRODUÇÃO

Pág. 12

1. 25m

2. –7,34oC .

TEMA 02

DOMÍNIO E IMAGEM

Pág. 15

a)

b)

c) Todos reais (todo plano xy)

d) y ≥ x

y > –x

e)

f)

88


g)

h) x2 + y2 ≤ 3

i) y > u

j) y ≥ –x

l) x2 + y2 ≠ 1

m) x2 + y2 ≠ 4

TEMA 03

GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

Pág. 19

1. a–4 b–3 c–1 d–2

2. a) As isotérmicas são círculos centrados naorigem

b) x2 + y2 = 100

3. A soma das distâncias entre um ponto perten-cente à elipse e cada um de seus focos é con-stante. A usina estará sobre uma elipse que temtenha uma da cidades em cada um de seusfocos, de forma que a soma das distâncias entrea usina e cada cidade seja igual a M.

TEMA 04

LIMITES E CONTINUIDADE PARA FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Pág. 21

Demonstrações

TEMA 05

DERIVADAS PARCIAIS

Pág. 24

Demontrações

TEMA 06

DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR

Pág. 25

Demonstrações

UNIDADE IIDerivada direcional

TEMA 01

VETOR GRADIENTE E DERIVADAS DIRECIONAIS

Pág. 30

Demonstrações

TEMA 02

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Pág. 32

1. a) máximos: f(±1,0) =1, mínimos f(0,±1) =–1

b) x = 100/3, y = 100/3, z = 100/3

c) máximos: f(± 2,1) = 4, mínimos f(± 2,–1) = –4

d) máximo:

mínimo :

e) mínimo:

f) máximo: f(1,3,5) = 70,

mínimo: f(–1,–3,–5) = – 70

2. Base quadrada de lado , altura

3. Demonstração

4. Demonstração.

5. Cubo, aresta de comprimento c/12.

6. x = y 4,62 m e z 2,31 m.

89


UNIDADE IIIIntegrais de linha

TEMA 01

CAMINHOS E CURVAS

pág. 41

Demonstrações

TEMA 02

COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS

pág. 44

1. a)

b)

c) 8a

d)

e) 14

TEMA 03

DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE LINHA

Pág. 48

1. a)

b)

2. a)

b)

c)

3.

4.

5. 56

6. 2π

90


UNIDADE IVIntegrais múltiplas

TEMA 02

INTEGRAIS REPETIDAS

Pág. 58

1. a) 1. ;

b) 2. ;

c) 3.0; d) 4.0; e) 5. 0;

f) ;

g)

2. –24

3. 21,5

4. 8 / 3

5. 42

6.

7. un. Cúbicas

TEMA 03

INTEGRAIS TRIPLAS

Pág. 61

1. a)

b)

2.

3.

4.

5. a) –

b)

c)

6.

7.

8.

9.

10.

11. unid.cúbicas

12. unid.cúbicas

13. 4πunid. Cúbicas

14. unid. cúbicas

15.

16.

17.

TEMA 04

MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS DUPLAS

Pág. 64

1 πR2

2. π(1 – e–R2)

91


3.

4. (b4 – a4)/8

5. 0

TEMA 05

A PLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA E TRIPLA

Pág. 67

1. 12kg, (2, )

2.

3. )

4.

5.

6. 9ρkg–m2

7.

8.

Pág. 72

1. unid. quadradas

2. 9 unid. quadradas

3. 8π unid. quadradas

4. 12πunid. quadradas.

5. unid. quadradas

6. unid. quadradas

UNIDADE VTeorema de Greenn

Pág. 79

1. a)

b)

c) π

d) – 3

e) –3π

2. a)

b)

c)

92


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